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Question

(B) रैखिक समीकरण निकाय के अशून्य हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए।$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} a & -a^2 & a^3 \ -a^2 & a

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(B) रैखिक समीकरण निकाय के अशून्य हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए।$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} a & -a^2 & a^3 \ -a^2 & a^3 & a \ a^3 & a & -a^2 \end{array}ight| = 0$प्रत्येक पंक्ति से $a$ कॉमन लेने पर:$\Delta = a^3 \left|\begin{array}{ccc} 1 & -a & a^2 \ -a & a^2 & 1 \ a^2 & 1 & -a \end{array}ight| = 0$सारणिक का विस्तार करने पर:$a^3 [1(-a^3 - 1) + a(a^2 - a^2) + a^2(-a - a^4)] = 0$$a^3 [-a^3 - 1 - a^3 - a^6] = 0$$-a^3 (a^6 + 2a^3 + 1) = 0$$-a^3 (a^3 + 1)^2 = 0$चूंकि $a^3 + 1 = (a+1)(a^2 - a + 1) = 0$,इसलिए मूल $a = -1$ और $a = -\omega, -\omega^2$ हैं,जहाँ $\omega$ इकाई का घनमूल है।दिया गया है कि $a$ एक अवास्तविक सम्मिश्र संख्या है,इसलिए $a = -\omega$ या $a = -\omega^2$ है।चूंकि $|-\omega| = |-\omega^2| = 1$,इसलिए $|a| = 1$ है।

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