दिए गए समीकरण निकाय $a(x + y + z) = x$,$b(x + y + z) = y$,$c(x + y + z) = z$ के लिए जहाँ $a, b, c$ अशून्य वास्तविक संख्याएँ हैं। यदि वास्तविक संख्याएँ $x, y, z$ इस प्रकार हैं कि $xyz \neq 0$,तो $(a + b + c)$ का मान क्या होगा?

$\theta$ के मानों का एक समुच्चय जिसके लिए समीकरण निकाय $(\sin 3 \theta) x-y+z=0$,$(\cos 2 \theta) x+4 y+3 z=0, 2 x+7 y+7 z=0$ के गैर-तुच्छ (non-trivial) हल हैं,वह है

$\left|\begin{array}{ccc}\frac{-bc}{a^2} & \frac{c}{a} & \frac{b}{a} \\ \frac{c}{b} & \frac{-ac}{b^2} & \frac{a}{b} \\ \frac{b}{c} & \frac{a}{c} & \frac{-ab}{c^2}\end{array}\right| = $

मान लीजिए $N = \left| \begin{array}{ccc} 28 & 25 & 38 \\ 42 & 38 & 65 \\ 56 & 47 & 83 \end{array} \right|$ है। तो $N$ को दो परस्पर अभाज्य भाजकों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए।

यदि समीकरणों की प्रणाली $ (k+1)^3 x + (k+2)^3 y = (k+3)^3 $,$ (k+1) x + (k+2) y = k+3 $,और $ x + y = 1 $ सुसंगत है,तो $ k $ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$ मूल बिंदु से गुजरने वाले समतल हैं। मान लीजिए कि $\sigma_1$ सदिश $(1, 1, 1)$ के लंबवत है,$\sigma_2$ सदिश $(a, b, c)$ के लंबवत है,और $\sigma_3$ सदिश $(a^2, b^2, c^2)$ के लंबवत है। $a, b$ और $c$ के सभी धनात्मक मान क्या हैं ताकि $\sigma_1 \cap \sigma_2 \cap \sigma_3$ एक एकल बिंदु हो?