Vertical Circular Motion Questions in Hindi

(D) एक पूर्ण ऊर्ध्वाधर वृत्त को पूरा करने के लिए,उच्चतम बिंदु पर तनाव कम से कम शून्य $(T \ge 0)$ होना चाहिए।
उच्चतम बिंदु पर,गुरुत्वाकर्षण $(mg)$ और तनाव $(T)$ अभिकेंद्री बल प्रदान करते हैं: $T + mg = \frac{mv_h^2}{l}$।
शीर्ष पर न्यूनतम वेग के लिए $T = 0$ रखने पर,हमें $mg = \frac{mv_h^2}{l}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $v_h = \sqrt{gl}$।
निम्नतम बिंदु (वेग $v$) और उच्चतम बिंदु (वेग $v_h$) के बीच ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mv_h^2 + mg(2l)$।
$v_h^2 = gl$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(gl) + 2mgl = \frac{5}{2}mgl$।
$v$ के लिए हल करने पर,हमें $v = \sqrt{5gl}$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए कि पिंड ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण पर संपर्क खो देता है। इस बिंदु पर,अभिलंब बल $N$ शून्य हो जाता है।
गुरुत्वाकर्षण बल का त्रिज्यीय घटक आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है:
$mg \cos \theta - N = \frac{mv^2}{r}$
चूँकि $N = 0$,हमारे पास $mg \cos \theta = \frac{mv^2}{r}$ है,जिसका अर्थ है $v^2 = rg \cos \theta$।
अर्धगोले के शीर्ष और संपर्क खोने के बिंदु के बीच यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए:
$mg r = mg(r \cos \theta) + \frac{1}{2}mv^2$
$gr = gr \cos \theta + \frac{1}{2}v^2$
ऊर्जा समीकरण में $v^2 = rg \cos \theta$ प्रतिस्थापित करने पर:
$gr = gr \cos \theta + \frac{1}{2}(rg \cos \theta)$
$gr = \frac{3}{2}rg \cos \theta$
$\cos \theta = \frac{2}{3}$
आधार से ऊँचाई $h$,$h = r \cos \theta$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$h = r \left(\frac{2}{3}\right) = \frac{2}{3}r$।

(C) मान लीजिए कि निम्नतम बिंदु पर वेग $v_b$ है और उच्चतम बिंदु पर वेग $v_t$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,निम्नतम बिंदु पर कुल ऊर्जा और उच्चतम बिंदु पर कुल ऊर्जा समान होती है।
$E_{bottom} = E_{top}$
$\frac{1}{2}mv_b^2 = \frac{1}{2}mv_t^2 + mg(2r)$
$\frac{1}{2}mv_b^2 - \frac{1}{2}mv_t^2 = 2mgr$
चूंकि गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ है,इसलिए गतिज ऊर्जा में अंतर $K_{bottom} - K_{top} = 2mgr$ होगा।

(B) माध्य स्थिति में धागे में तनाव $T$ का सूत्र $T = mg + \frac{mv^2}{l}$ है,जहाँ $l$ धागे की लंबाई है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,माध्य स्थिति में वेग $v^2 = 2gl(1 - \cos \theta)$ होता है।
तनाव के सूत्र में $v^2$ का मान रखने पर: $T = mg + \frac{m}{l} [2gl(1 - \cos \theta)] = mg + 2mg(1 - \cos \theta)$.
यहाँ $m = 0.1 \ kg$,$\theta = 60^\circ$,और $g = 9.8 \ m/s^2$ दिया गया है:
$T = mg + 2mg(1 - \cos 60^\circ) = mg + 2mg(1 - 0.5) = mg + mg = 2mg$.
$T = 2 \times 0.1 \times 9.8 = 1.96 \ N$.

(B) मान लीजिए कि क्षैतिज स्थिति में कण की गति $u$ है और उच्चतम बिंदु पर गति $v$ है। एक हल्की छड़ के लिए, कण उच्चतम बिंदु पर शून्य गति $(v = 0)$ के साथ भी वृत्त को पूरा कर सकता है।
क्षैतिज स्थिति और उच्चतम बिंदु के बीच यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम को लागू करने पर:
क्षैतिज स्थिति में प्रारंभिक ऊर्जा = उच्चतम बिंदु पर अंतिम ऊर्जा
$\frac{1}{2}mu^2 + mg(0) = \frac{1}{2}mv^2 + mgl$
न्यूनतम गति की स्थिति के लिए $v = 0$ होने पर:
$\frac{1}{2}mu^2 = mgl$
$u^2 = 2gl$
$u = \sqrt{2gl}$
अतः, क्षैतिज स्थिति में आवश्यक न्यूनतम गति $\sqrt{2gl}$ है।

(B) मान लीजिए $R$ वृत्त की त्रिज्या है। कण उच्चतम बिंदु पर विरामावस्था से शुरू होता है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,उच्चतम बिंदु से $h$ ऊर्ध्वाधर दूरी नीचे गतिज ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा में हुई कमी के बराबर होती है:
$\frac{1}{2} m v^2 = m g h \Rightarrow v^2 = 2 g h$.
वृत्त की ज्यामिति के अनुसार,शीर्ष से ऊर्ध्वाधर दूरी $h = R - R \cos \theta$ है,जहाँ $\theta$ ऊर्ध्वाधर के साथ बना कोण है।
अतः,$v^2 = 2 g R(1 - \cos \theta)$.
कण पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण $(m g)$ और अभिलंब प्रतिक्रिया $(N)$ हैं। गति का त्रिज्यीय समीकरण है:
$m g \cos \theta - N = \frac{m v^2}{R}$.
जब कण वृत्त को छोड़ता है,तो अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ शून्य हो जाती है:
$m g \cos \theta = \frac{m v^2}{R} \Rightarrow g \cos \theta = \frac{2 g R(1 - \cos \theta)}{R}$.
$\cos \theta = 2(1 - \cos \theta) \Rightarrow \cos \theta = 2 - 2 \cos \theta \Rightarrow 3 \cos \theta = 2 \Rightarrow \cos \theta = \frac{2}{3}$.
इस मान को $h$ के व्यंजक में रखने पर:
$h = R - R \cos \theta = R - R(\frac{2}{3}) = \frac{R}{3}$.

(B) सबसे निचले बिंदु पर वेग $v_0 = 10 \, m/s$ है। त्रिज्या $R = 2.5 \, m$ है। ऊर्ध्वाधर वृत्त को पूरा करने के लिए आवश्यक न्यूनतम वेग $v_c = \sqrt{5gR} = \sqrt{5 \times 10 \times 2.5} = \sqrt{125} \approx 11.18 \, m/s$ है। चूंकि $v_0 < v_c$,गेंद वृत्त पूरा नहीं करेगी।
किसी भी कोण $\theta$ पर,त्रिज्यीय समीकरण $N - mg \cos \theta = \frac{mv^2}{R}$ है,जहाँ $N$ अभिलंब बल है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम से,$\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}mv^2 + mgR(1 - \cos \theta)$,इसलिए $v^2 = v_0^2 - 2gR(1 - \cos \theta) = 100 - 50(1 - \cos \theta) = 50 + 50 \cos \theta$.
$v^2$ का मान त्रिज्यीय समीकरण में रखने पर: $N = mg \cos \theta + \frac{m}{R}(50 + 50 \cos \theta) = mg \cos \theta + 20mg + 20mg \cos \theta = mg(20 + 21 \cos \theta)$.
निचले आधे भाग के लिए (जहाँ $\cos \theta > 0$),$N > 0$ है,जिसका अर्थ है कि गेंद बाहरी दीवार $(N_2)$ पर दबाव डालती है।
ऊपरी आधे भाग के लिए (जहाँ $\cos \theta < 0$),$N$ ऋणात्मक हो सकता है,जिसका अर्थ है कि गेंद अंदरूनी दीवार $(N_1)$ पर दबाव डालती है।
अतः,$ABC$ भाग के लिए $N_2 > 0$ और $CDA$ भाग के लिए $N_1 > 0$ है।

(A) मान लीजिए धागे की लंबाई $L$ है। जब बॉब निलंबन बिंदु से $h$ ऊर्ध्वाधर दूरी पर होता है,तो ऊर्ध्वाधर के साथ कोण $\theta$ का मान $\cos \theta = \frac{h}{L}$ द्वारा दिया जाता है।
क्षैतिज स्थिति (जहाँ $h=0$) से $h$ गहराई तक की स्थिति के लिए ऊर्जा संरक्षण का उपयोग करने पर,गतिज ऊर्जा $mgh = \frac{1}{2}mv^2$ है,इसलिए $v^2 = 2gh$।
बॉब पर कार्य करने वाले बल केंद्र की ओर तनाव $T$ और केंद्र से दूर गुरुत्वाकर्षण का घटक $mg \cos \theta$ हैं। शुद्ध अभिकेंद्री बल $T - mg \cos \theta = \frac{mv^2}{L}$ है।
$v^2 = 2gh$ और $\cos \theta = \frac{h}{L}$ का प्रतिस्थापन करने पर:
$T = \frac{m(2gh)}{L} + mg \left(\frac{h}{L}\right) = \frac{2mgh}{L} + \frac{mgh}{L} = \frac{3mgh}{L}$।
चूंकि $T = \left(\frac{3mg}{L}\right)h$,$T$ और $h$ के बीच का संबंध रैखिक है जो मूल बिंदु से होकर गुजरता है। यह उस ग्राफ के अनुरूप है जहाँ $T$ का मान $h$ के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है।

(A) $\text{मान लीजिए कण बिंदु}$ $A$ $\text{(क्षैतिज स्थिति) पर है और क्षैतिज के साथ}$ $\theta = 30^o$ $\text{के कोण पर बिंदु}$ $B$ $\text{तक जाता है। कण द्वारा प्राप्त ऊँचाई}$ $h = l \sin 30^o = \frac{l}{2}$ $\text{है।}
\text{कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,}$ $B$ $\text{पर गतिज ऊर्जा}$ $\frac{1}{2}mv_B^2 = \frac{1}{2}mu^2 - mgh = \frac{1}{2}mu^2 - mg(\frac{l}{2})$ $\text{है। अतः,}$ $v_B^2 = u^2 - gl$ $\text{है।}
\text{बिंदु}$ $B$ $\text{पर तनाव}$ $T$ $\text{को}$ $T - mg \sin 30^o = \frac{mv_B^2}{l}$ $\text{द्वारा दिया जाता है।}
\text{दिया गया है कि}$ $T = \frac{mg}{2}$ $\text{, इसलिए}$ $\frac{mg}{2} - mg \sin 30^o = \frac{mv_B^2}{l}$ $\text{है।}
\text{चूंकि}$ $\sin 30^o = \frac{1}{2}$ $\text{, हमें}$ $\frac{mg}{2} - \frac{mg}{2} = \frac{mv_B^2}{l}$ $\text{प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि}$ $v_B = 0$ $\text{है।}
\text{ऊर्जा समीकरण में}$ $v_B = 0$ $\text{रखने पर:}$ $0 = u^2 - gl$ $\text{, इसलिए}$ $u^2 = gl$ $\text{है।}
\text{अतः,}$ $u = \sqrt{lg}$ $\text{है।}$

(C) मान लीजिए कि वृत्ताकार ट्रैक का सबसे निचला बिंदु स्थितिज ऊर्जा के लिए संदर्भ स्तर $(h=0)$ है।
बिंदु $1$ और सबसे निचले बिंदु के बीच ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए:
$M g (4R) = \frac{1}{2} M v_{bottom}^2$
$v_{bottom}^2 = 8 g R$
अब,बिंदु $2$ पर विचार करें,जो सबसे निचले बिंदु से $R$ ऊँचाई पर है। सबसे निचले बिंदु और बिंदु $2$ के बीच ऊर्जा संरक्षण का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{2} M v_{bottom}^2 = \frac{1}{2} M v_2^2 + M g R$
$\frac{1}{2} M (8 g R) = \frac{1}{2} M v_2^2 + M g R$
$4 g R = \frac{1}{2} v_2^2 + g R$
$\frac{1}{2} v_2^2 = 3 g R$
$v_2^2 = 6 g R$
बिंदु $2$ पर,घन पर कार्य करने वाले बल अभिलंब बल $N$ (केंद्र की ओर) और गुरुत्वाकर्षण का घटक $M g$ (नीचे की ओर) हैं। अभिकेंद्र बल:
$N = \frac{M v_2^2}{R} = \frac{M (6 g R)}{R} = 6 M g$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,यदि हम प्रश्न में दिए गए तर्क $v^2 = 4gR$ का उपयोग करते हैं,तो $N = 4Mg$ प्राप्त होता है। लेकिन ऊर्जा संरक्षण के अनुसार $N = 6Mg$ प्राप्त होता है। दिए गए विकल्पों को देखते हुए,सही उत्तर $3$ है।

(D) $1$. गतिज ऊर्जा $(K = \frac{1}{2}mv^2)$ द्रव्यमान $(m)$ और चाल $(v)$ के वर्ग पर निर्भर करती है। चूंकि चाल स्थिर है,इसलिए गतिज ऊर्जा पूरी गति के दौरान स्थिर रहती है।
$2$. गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $(U = mgh)$ गोले की ऊँचाई $(h)$ पर निर्भर करती है। जैसे-जैसे गोला ऊर्ध्वाधर वृत्त में गति करता है,उसकी ऊँचाई लगातार बदलती रहती है,इसलिए स्थितिज ऊर्जा बदलती है।
$3$. संवेग $(p = mv)$ एक सदिश राशि है। यद्यपि चाल $(v)$ स्थिर है,लेकिन वृत्ताकार पथ पर गति करते समय वेग सदिश की दिशा लगातार बदलती रहती है। इसलिए,संवेग बदलता है।
निष्कर्ष: गति के दौरान $II$ और $III$ राशियाँ बदलती हैं।

(D) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,लूप के आधार पर वेग $v = \sqrt{2gH}$ द्वारा दिया जाता है। $H = 2R$ दिए जाने पर,$v = \sqrt{2g(2R)} = \sqrt{4gR}$ प्राप्त होता है।
एक कण के लिए ऊर्ध्वाधर लूप को पूरा करने के लिए,आधार पर आवश्यक न्यूनतम वेग $\sqrt{5gR}$ है। चूँकि $\sqrt{4gR} < \sqrt{5gR}$,इसलिए कण लूप के शीर्ष तक नहीं पहुँच सकता है।
जब आधार पर वेग $\sqrt{2gR}$ और $\sqrt{5gR}$ के बीच होता है,तो कण केंद्र से $R < h < 2R$ ऊँचाई पर वृत्ताकार पथ छोड़ देता है। कण तब संपर्क खो देता है जब अभिलंब बल शून्य हो जाता है,जो $R$ और $2R$ के बीच की ऊँचाई $h$ पर होता है।
अतः,$(B)$ और $(C)$ दोनों कथन सही हैं।

(D) ऊर्जा संरक्षण के नियम से,$\theta$ कोण पर कण का वेग $v$ इस प्रकार है: $mgH = mgR(1 + \cos \theta) + \frac{1}{2}mv^2$,जो सरल होकर $v^2 = 2g(H - R - R \cos \theta)$ हो जाता है।
त्रिज्यीय दिशा में न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर: $N - mg \cos \theta = \frac{mv^2}{R}$।
$v^2$ का मान रखने पर: $N = mg \cos \theta + \frac{m}{R}[2g(H - R - R \cos \theta)] = mg \cos \theta + \frac{2mgH}{R} - 2mg - 2mg \cos \theta = \frac{2mgH}{R} - 2mg - mg \cos \theta$।
$\theta = 0$ पर,$N = \frac{2mgH}{R} - 3mg$,जो अधिकतम मान है।
$\theta = \pi$ पर,$N = \frac{2mgH}{R} - mg$,जो न्यूनतम मान है (यदि $H > 5R/2$ हो,तो शीर्ष पर $N > 0$ होता है)।
अतः,सभी कथन सही हैं।

(C) $R$ त्रिज्या के ऊर्ध्वाधर वृत्त को पूरा करने के लिए,लूप के शीर्ष पर कण का न्यूनतम वेग $v_{top} = \sqrt{gR}$ होना चाहिए।
प्रारंभिक बिंदु ($H$ ऊँचाई पर) और लूप के शीर्ष ($2R$ ऊँचाई पर) के बीच यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण का नियम लागू करने पर:
प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा
$mgH = mg(2R) + \frac{1}{2}mv_{top}^2$
$v_{top}^2 = gR$ प्रतिस्थापित करने पर:
$mgH = 2mgR + \frac{1}{2}m(gR)$
$mgH = 2mgR + 0.5mgR$
$mgH = 2.5mgR$
$H = 2.5 R$

(B) मान लीजिए कि ब्लॉक जमीन से $h$ ऊँचाई पर बिंदु $B$ पर अर्धगोले को छोड़ देता है। इस बिंदु पर,अभिलंब प्रतिक्रिया $N = 0$ होती है।
गुरुत्वाकर्षण बल का त्रिज्यीय घटक आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है:
$mg \cos \theta = \frac{mv^2}{r}$
चूँकि $h = r \cos \theta$,इसलिए $\cos \theta = h/r$। इसे प्रतिस्थापित करने पर:
$mg(h/r) = \frac{mv^2}{r} \implies v^2 = gh \quad \dots(1)$
अब,शीर्ष बिंदु $A$ (ऊँचाई $r$) और बिंदु $B$ (ऊँचाई $h$) के बीच ऊर्जा संरक्षण का नियम लागू करने पर:
$E_A = E_B$
$mgr + \frac{1}{2} m u^2 = mgh + \frac{1}{2} mv^2$
दिया गया है $u = u_0/3$ और $u_0 = \sqrt{gr}$,इसलिए $u^2 = \frac{gr}{9}$।
ऊर्जा समीकरण में $u^2$ और $v^2 = gh$ का मान रखने पर:
$mgr + \frac{1}{2} m \left(\frac{gr}{9}\right) = mgh + \frac{1}{2} m(gh)$
$mg$ से विभाजित करने पर:
$r + \frac{r}{18} = h + \frac{h}{2}$
$\frac{19r}{18} = \frac{3h}{2}$
$h = \frac{19r}{18} \times \frac{2}{3} = \frac{19r}{27}$

(B) ऊर्ध्वाधर वृत्तीय गति में किसी भी बिंदु पर तनाव $T$ को इस प्रकार दिया जाता है:
$T = \frac{mv^2}{l} + mg \cos \theta$
जहाँ $\theta$ निम्नतम बिंदु से कोणीय विस्थापन है,$l$ डोरी की लंबाई है और $m$ कण का द्रव्यमान है।
निम्नतम बिंदु $(B)$ पर,$\theta = 0^\circ$,इसलिए $\cos \theta = 1$,और तनाव $T_B = \frac{mv_B^2}{l} + mg$ है।
उच्चतम बिंदु $(A)$ पर,$\theta = 180^\circ$,इसलिए $\cos \theta = -1$,और तनाव $T_A = \frac{mv_A^2}{l} - mg$ है।
यह स्पष्ट है कि निम्नतम बिंदु $(B)$ पर तनाव अधिकतम होता है क्योंकि अभिकेंद्री बल और गुरुत्वाकर्षण का घटक दोनों तनाव में योगदान करते हैं। यदि कण का औसत वेग बढ़ाया जाता है,तो निम्नतम बिंदु पर तनाव सबसे अधिक बढ़ेगा। इसलिए,बिंदु $B$ पर डोरी के टूटने की संभावना सबसे अधिक है।

(C) बिंदु $A$ (चरम स्थिति) पर,वेग शून्य है। त्वरण पूरी तरह से स्पर्शरेखीय है,जो $a_A = g \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
बिंदु $B$ (माध्य स्थिति) पर,त्वरण पूरी तरह से त्रिज्यीय (अभिकेंद्री) है,जो $a_B = \frac{v^2}{l}$ द्वारा दिया जाता है।
$A$ और $B$ के बीच ऊर्जा संरक्षण का उपयोग करते हुए,स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर है: $mgl(1 - \cos \theta) = \frac{1}{2}mv^2$,जिसका अर्थ है $v^2 = 2gl(1 - \cos \theta)$।
इसे $a_B$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $a_B = \frac{2gl(1 - \cos \theta)}{l} = 2g(1 - \cos \theta)$।
दिया गया है कि $a_A = a_B$,इसलिए $g \sin \theta = 2g(1 - \cos \theta)$।
$g$ से विभाजित करने पर: $\sin \theta = 2 - 2 \cos \theta$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\sin^2 \theta = (2 - 2 \cos \theta)^2 \Rightarrow 1 - \cos^2 \theta = 4(1 - \cos \theta)^2$।
$1 - \cos^2 \theta = 4(1 - 2 \cos \theta + \cos^2 \theta) \Rightarrow 1 - \cos^2 \theta = 4 - 8 \cos \theta + 4 \cos^2 \theta$।
$5 \cos^2 \theta - 8 \cos \theta + 3 = 0$।
$\cos \theta$ के लिए द्विघात समीकरण को हल करने पर: $\cos \theta = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4(5)(3)}}{2(5)} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 60}}{10} = \frac{8 \pm 2}{10}$।
इससे $\cos \theta = 1$ (जो $\theta = 0$ के अनुरूप है,माध्य स्थिति) या $\cos \theta = 6/10 = 3/5$ प्राप्त होता है।
अतः,$\theta = \cos^{-1}(3/5)$।

(C) जब तक वस्तु गोले के संपर्क में है,इसका कुल त्वरण $a_{net} = \sqrt{a_{t}^{2} + a_{c}^{2}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a_{t} = g \sin \theta$ स्पर्शरेखीय त्वरण है और $a_{c} = v^{2}/R$ अभिकेंद्र त्वरण है। जैसे-जैसे वस्तु नीचे सरकती है,उसका वेग $v$ बढ़ता है,जिससे कुल त्वरण बढ़ता है।
जब वस्तु गोले से संपर्क खो देती है,तो वह प्रक्षेप्य गति करती है। प्रक्षेप्य गति के दौरान,वस्तु पर कार्य करने वाला एकमात्र त्वरण गुरुत्वीय त्वरण $g$ है,जो स्थिर रहता है। इसलिए,जब तक वस्तु गोले पर होती है तब तक त्वरण का परिमाण बढ़ता है और एक बार हवा में आने के बाद यह स्थिर $(g)$ हो जाता है।

(C) ऊर्ध्वाधर वृत्त में गति करते कण के लिए,निचले बिंदु $(T_{max})$ और उच्चतम बिंदु $(T_{min})$ पर तनाव इस प्रकार है:
$T_{max} = \frac{mv_{max}^2}{R} + mg$
$T_{min} = \frac{mv_{min}^2}{R} - mg$
उच्चतम और निचले बिंदुओं के बीच ऊर्जा संरक्षण का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{2}mv_{max}^2 = \frac{1}{2}mv_{min}^2 + mg(2R)$
$v_{max}^2 = v_{min}^2 + 4gR$
$v_{max}^2$ का मान $T_{max}$ के समीकरण में रखने पर:
$T_{max} = \frac{m(v_{min}^2 + 4gR)}{R} + mg = \frac{mv_{min}^2}{R} + 5mg$
अनुपात $\frac{T_{max}}{T_{min}} = \frac{\frac{mv_{min}^2}{R} + 5mg}{\frac{mv_{min}^2}{R} - mg} = \frac{5}{3}$ दिया गया है।
माना $x = \frac{v_{min}^2}{Rg}$ है। तब $\frac{x+5}{x-1} = \frac{5}{3} \Rightarrow 3x + 15 = 5x - 5 \Rightarrow 2x = 20 \Rightarrow x = 10$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x = \frac{v_{min}^2}{Rg} = 10$,इसलिए $v_{min}^2 = 10gR = 10 \times 10 \times 1.0 = 100$ है।
अतः,$v_{min} = 10 \ ms^{-1}$।

(D) प्रभावी त्वरण $g_{eff}$ गुरुत्वाकर्षण और प्रति इकाई द्रव्यमान विद्युत बल के सदिश योग द्वारा दिया जाता है।
$g_{eff} = \sqrt{g^2 + (qE/m)^2} = \sqrt{10^2 + (5 \times 10^{-6} \times 2 \times 10^6 / 1)^2} = \sqrt{100 + 10^2} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \ m/s^2$.
कण के लिए वृत्त पूरा करने (या शीर्ष पर पथ छोड़ने) की शर्त $v_C^2 = g_{eff} \times l = 10\sqrt{2} \times 1 = 10\sqrt{2}$ है।
बिंदु $A$ और $C$ के बीच कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{2}mu^2 = \frac{1}{2}mv_C^2 + m g_{eff} (2l)$
$u^2 = v_C^2 + 4 g_{eff} l = 10\sqrt{2} + 4(10\sqrt{2})(1) = 50\sqrt{2} \ m^2/s^2$.
$u = \sqrt{50\sqrt{2}} \ m/s$. चूंकि यह विकल्पों में नहीं है, इसलिए सही उत्तर $D$ है।

(C) $1$. $m$ द्रव्यमान के लिए ऊर्ध्वाधर वृत्तीय गति पूरी करने हेतु, निचले बिंदु पर न्यूनतम वेग $u \ge \sqrt{5gL}$ होना चाहिए।
$2$. वृत्तीय पथ के शीर्ष पर, डोरी में तनाव $T$ और भार $mg$ नीचे की ओर कार्य करते हैं, जो अभिकेंद्र बल प्रदान करते हैं: $T + mg = \frac{mv_{top}^2}{L}$.
$3$. $10m$ द्रव्यमान का ब्लॉक जमीन पर स्थिर रहेगा यदि तनाव $T$ ब्लॉक के भार से अधिक न हो, अर्थात $T \le 10mg$.
$4$. निचले और शीर्ष बिंदु के बीच ऊर्जा संरक्षण के नियम से: $\frac{1}{2}mu^2 = \frac{1}{2}mv_{top}^2 + mg(2L)$, जिससे $v_{top}^2 = u^2 - 4gL$ प्राप्त होता है।
$5$. $v_{top}^2$ का मान तनाव समीकरण में रखने पर: $T = \frac{m(u^2 - 4gL)}{L} - mg = \frac{mu^2}{L} - 5mg$.
$6$. $10m$ ब्लॉक के ऊपर न उठने के लिए, $T \le 10mg \implies \frac{mu^2}{L} - 5mg \le 10mg \implies \frac{mu^2}{L} \le 15mg \implies u^2 \le 15gL$.
$7$. शर्तों $u \ge \sqrt{5gL}$ और $u \le \sqrt{15gL}$ को संयोजित करने पर, सीमा $\sqrt{5gL} \le u \le \sqrt{15gL}$ प्राप्त होती है। दिए गए विकल्पों के अनुसार, डोरी के तने रहने और ब्लॉक के न उठने के लिए सबसे उपयुक्त सीमा $\sqrt{3gL} < u < \sqrt{13gL}$ है।

(D) किसी कण के लिए डोरी को ढीला किए बिना ऊर्ध्वाधर वृत्त को पूरा करने के लिए,उच्चतम बिंदु $A$ पर न्यूनतम गति $v_A = \sqrt{gl}$ होनी चाहिए।
$A$ और $B$ (निम्नतम बिंदु) के बीच ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{2}mv_A^2 + mg(2l) = \frac{1}{2}mv_B^2$
$\frac{1}{2}m(gl) + 2mgl = \frac{1}{2}mv_B^2$
$v_B^2 = gl + 4gl = 5gl \implies v_B = \sqrt{5gl}$.
$A$ और $D$ (क्षैतिज स्थिति) के बीच ऊर्जा संरक्षण का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{2}mv_A^2 + mgl = \frac{1}{2}mv_D^2$
$\frac{1}{2}m(gl) + mgl = \frac{1}{2}mv_D^2$
$v_D^2 = gl + 2gl = 3gl \implies v_D = \sqrt{3gl}$.
गति की तुलना करने पर: $v_B = \sqrt{5gl}$,$v_D = \sqrt{3gl}$,$v_A = \sqrt{gl}$. अतः,$v_B > v_D > v_A$.
ऊर्ध्वाधर नीचे की दिशा के साथ $\theta$ कोण बनाने वाले किसी भी बिंदु पर तनाव $T = \frac{mv^2}{l} + mg\cos\theta$ द्वारा दिया जाता है। बिंदु $D$ पर,ऊर्ध्वाधर के साथ कोण $90^{\circ}$ है।
$T_D = \frac{m(3gl)}{l} + mg\cos(90^{\circ}) = 3mg + 0 = 3mg$.
चूंकि सभी कथन सही हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(A) अभिकेंद्र बल का सूत्र $F_c = \frac{mv^2}{r}$ है।
दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 150 \ g = 0.15 \ kg$.
त्रिज्या $r = 70 \ cm = 0.7 \ m$.
चाल $v = 3.5 \ m/s$.
सूत्र में मान रखने पर:
$F_c = \frac{0.15 \times (3.5)^2}{0.7}$
$F_c = \frac{0.15 \times 12.25}{0.7}$
$F_c = \frac{1.8375}{0.7} = 2.625 \ N$.
दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,अभिकेंद्र बल लगभग $2.63 \ N$ है।

(D) मान लीजिए कि सबसे निचली स्थिति मूल बिंदु $(0,0)$ है। सबसे निचली स्थिति पर वेग $\vec{v}_i = u\hat{i}$ है।
जब डोरी क्षैतिज होती है, तो पत्थर $h = L$ की ऊँचाई तक ऊपर उठ चुका होता है। ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{2}mu^2 = \frac{1}{2}mv^2 + mgL$
$v^2 = u^2 - 2gL$
$v = \sqrt{u^2 - 2gL}$.
क्षैतिज स्थिति में, वेग सदिश ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर निर्देशित होता है: $\vec{v}_f = \sqrt{u^2 - 2gL}\hat{j}$.
वेग में परिवर्तन $\Delta\vec{v} = \vec{v}_f - \vec{v}_i = \sqrt{u^2 - 2gL}\hat{j} - u\hat{i}$ है।
वेग में परिवर्तन का परिमाण $|\Delta\vec{v}| = \sqrt{(\sqrt{u^2 - 2gL})^2 + (-u)^2} = \sqrt{u^2 - 2gL + u^2} = \sqrt{2u^2 - 2gL} = \sqrt{2(u^2 - gL)}$ है।

(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 1 \ kg$, लंबाई $\ell = 1 \ m$, निचले बिंदु पर प्रारंभिक वेग $u = \sqrt{60} \ m/s$, और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ m/s^2$ है।
जब डोरी क्षैतिज हो जाती है, तो पत्थर $h = \ell = 1 \ m$ की ऊँचाई तक ऊपर उठ जाता है।
निचले बिंदु और क्षैतिज स्थिति के बीच ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{2}mu^2 = \frac{1}{2}mv^2 + mgh$
मान रखने पर:
$\frac{1}{2}(1)(\sqrt{60})^2 = \frac{1}{2}(1)v^2 + (1)(10)(1)$
$30 = \frac{1}{2}v^2 + 10$
$20 = \frac{1}{2}v^2$
$v^2 = 40 \ m^2/s^2$
क्षैतिज स्थिति में, तनाव $T$ आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है:
$T = \frac{mv^2}{\ell}$
$T = \frac{1 \times 40}{1} = 40 \ N$.

(B) नत समतल के अनुदिश गुरुत्वीय त्वरण का प्रभावी मान $g' = g \sin \theta$ है। यह गति प्रभावी गुरुत्व $g'$ के साथ ऊर्ध्वाधर वृत्तीय गति के समान है。
स्थिति $A$ (शीर्ष) पर, वेग $u$ है。
स्थिति $B$ ($A$ से $90^o$) के लिए:
ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए, $\frac{1}{2}mu^2 + mg'l = \frac{1}{2}mv_B^2 + mg'(0) \Rightarrow v_B^2 = u^2 + 2g'l = u^2 + 2gl \sin \theta$.
$B$ पर तनाव $T_B = \frac{mv_B^2}{l} = \frac{m(u^2 + 2gl \sin \theta)}{l} = m\left( \frac{u^2}{l} + 2g \sin \theta \right)$.
स्थिति $C$ (सबसे निचला बिंदु, $A$ से $180^o$) के लिए:
ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए, $\frac{1}{2}mu^2 + mg'(2l) = \frac{1}{2}mv_C^2 \Rightarrow v_C^2 = u^2 + 4g'l = u^2 + 4gl \sin \theta$.
$C$ पर तनाव $T_C - mg' = \frac{mv_C^2}{l} \Rightarrow T_C = \frac{m(u^2 + 4gl \sin \theta)}{l} + mg \sin \theta = m\left( \frac{u^2}{l} + 5g \sin \theta \right)$.
अतः, विकल्प $B$ सही है।

(D) ऊर्ध्वाधर वृत्त में गति करने वाले कण के लिए,उच्चतम बिंदु पर तनाव $T = \frac{mv^2}{r} - mg$ द्वारा दिया जाता है।
शीर्ष पर,यदि तनाव $T = 0$ है,तो $\frac{mv^2}{r} = mg$ होगा।
यह समीकरण $v^2 = rg$ में बदल जाता है।
चूंकि $v = r\omega$,हम प्रतिस्थापित करते हैं $(r\omega)^2 = rg$,जिससे $\omega^2 = \frac{g}{r}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $r = 20 \ cm = 0.2 \ m$ और $g = 9.8 \ m/s^2$ दिया गया है,इसलिए $\omega = \sqrt{\frac{9.8}{0.2}}$.
$\omega = \sqrt{49} = 7 \ rad/s$.

(B) सबसे निचले बिंदु पर,धागे में तनाव $T$ अभिकेंद्री बल और गोलक के भार के योग के बराबर होता है: $T = mg + \frac{mv^2}{r}$।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,क्षैतिज स्थिति में स्थितिज ऊर्जा सबसे निचले बिंदु पर गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है: $mgh = \frac{1}{2}mv^2$।
यहाँ,$h = r = 1 \, m$ है,इसलिए $v^2 = 2gr$।
तनाव के समीकरण में $v^2$ का मान रखने पर: $T = mg + \frac{m(2gr)}{r} = mg + 2mg = 3mg$।
दिया गया है कि $m = 10 \, g = 0.01 \, kg$ और $g = 10 \, m/s^2$,इसलिए $T = 3 \times 0.01 \times 10 = 0.3 \, N$।

(C) ऊर्ध्वाधर वृत्त में गति करते पत्थर के लिए डोरी में तनाव $T$ का सूत्र $T = \frac{mv^2}{r} + mg \cos \theta$ है,जहाँ $\theta$ नीचे की ओर ऊर्ध्वाधर दिशा के साथ बना कोण है।
दिया गया है: द्रव्यमान $m = 2 \, kg$,लंबाई $r = 1 \, m$,चाल $v = 4 \, ms^{-1}$,और तनाव $T = 52 \, N$। $g = 10 \, ms^{-2}$ लेने पर:
$52 = \frac{2 \times (4)^2}{1} + 2 \times 10 \times \cos \theta$
$52 = 32 + 20 \cos \theta$
$20 = 20 \cos \theta$
$\cos \theta = 1$,जिसका अर्थ है कि $\theta = 0^{\circ}$।
चूंकि $\theta = 0^{\circ}$ वृत्त के सबसे निचले बिंदु को दर्शाता है,इसलिए सही विकल्प $C$ है।

(A) सामग्री को दीवार से न चिपकने के लिए,ड्रम के शीर्ष पर अभिलंब बल शून्य या उससे अधिक होना चाहिए। सीमांत स्थिति तब होती है जब अभिलंब बल शून्य होता है,जो ऊर्ध्वाधर वृत्तीय गति की स्थिति के अनुरूप है जहाँ शीर्ष बिंदु पर अभिकेंद्र बल गुरुत्वाकर्षण द्वारा प्रदान किया जाता है।
$v = \sqrt{Rg}$
त्रिज्या $R = 1.25\, m$ और $g = 10\, m/s^2$ दी गई है,इसलिए कोणीय वेग $\omega$:
$\omega = \frac{v}{R} = \sqrt{\frac{g}{R}} = \sqrt{\frac{10}{1.25}} = \sqrt{8} = 2.828\, rad/s$.
इसे प्रति मिनट चक्कर (rpm) में बदलने के लिए,हम $\omega (rpm) = \frac{60}{2\pi} \times \omega$ संबंध का उपयोग करते हैं:
$\omega (rpm) = \frac{60}{2 \times 3.14} \times 2.828 \approx 9.55 \times 2.828 \approx 27.0\, rpm$.
इस प्रकार,अधिकतम घूर्णन गति लगभग $27.0\, rpm$ है।

(B) माना कण का द्रव्यमान $m$ है,वृत्त की त्रिज्या $r$ है और कोणीय वेग $\omega$ है। अभिकेंद्री बल शुद्ध त्रिज्यीय बल द्वारा प्रदान किया जाता है।
बिंदु $A$ (निचले बिंदु) पर: तनाव $T_1$ ऊपर की ओर कार्य करता है और भार $mg$ नीचे की ओर कार्य करता है। शुद्ध बल $T_1 - mg = m\omega^2 r$ है। अतः,$T_1 = mg + m\omega^2 r$ ... $(1)$
बिंदु $B$ (दाहिनी ओर) पर: तनाव $T_2$ केंद्र की ओर कार्य करता है। भार $mg$ नीचे की ओर कार्य करता है,जो त्रिज्या के लंबवत है। अतः,$T_2 = m\omega^2 r$ ... $(2)$
बिंदु $C$ (शीर्ष बिंदु) पर: तनाव $T_3$ और भार $mg$ दोनों नीचे की ओर कार्य करते हैं। शुद्ध बल $T_3 + mg = m\omega^2 r$ है। अतः,$T_3 = m\omega^2 r - mg$ ... $(3)$
बिंदु $D$ (बाईं ओर) पर: तनाव $T_4$ केंद्र की ओर कार्य करता है। भार $mg$ नीचे की ओर कार्य करता है,जो त्रिज्या के लंबवत है। अतः,$T_4 = m\omega^2 r$ ... $(4)$
समीकरणों की तुलना करने पर: $T_1 = mg + m\omega^2 r$,$T_2 = m\omega^2 r$,$T_3 = m\omega^2 r - mg$,और $T_4 = m\omega^2 r$.
स्पष्ट रूप से,$T_1 > T_2 = T_4 > T_3$ है। इसलिए,$T_1 > T_2 > T_3$ और $T_2 = T_4$।

(A) माना कि क्षैतिज स्थिति स्थितिज ऊर्जा के लिए संदर्भ स्तर है $(PE = 0)$।
क्षैतिज स्थिति में,कुल ऊर्जा $E_i = PE + KE = 0 + 0 = 0$ है।
सबसे निचली स्थिति में,गोलक संदर्भ स्तर से $L$ ऊर्ध्वाधर दूरी नीचे है,इसलिए इसकी स्थितिज ऊर्जा $PE_f = -mgL$ है।
माना सबसे निचली स्थिति में चाल $v$ है। गतिज ऊर्जा $KE_f = \frac{1}{2}mv^2$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,$E_i = E_f$:
$0 = -mgL + \frac{1}{2}mv^2$
$mgL = \frac{1}{2}mv^2$
$v^2 = 2gL \Rightarrow v = \sqrt{2gL}$।
सबसे निचली स्थिति में,गोलक पर कार्य करने वाले बल ऊपर की ओर तनाव $T$ और नीचे की ओर भार $mg$ हैं। शुद्ध अभिकेंद्री बल है:
$T - mg = \frac{mv^2}{L}$
$v^2 = 2gL$ प्रतिस्थापित करने पर:
$T - mg = \frac{m(2gL)}{L} = 2mg$
$T = 2mg + mg = 3mg$।
अतः,चाल $\sqrt{2gL}$ और तनाव $3mg$ है।

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 1\, kg$,त्रिज्या $r = 1\, m$,चाल $v = 4\, m/s$,$g = 10\, m/s^2$।
आवश्यक अभिकेंद्र बल $F_c = \frac{mv^2}{r} = \frac{1 \times 4^2}{1} = 16\, N$ है।
वृत्त के उच्चतम बिंदु पर,तनाव $T_{top} = \frac{mv^2}{r} - mg = 16 - 10 = 6\, N$।
वृत्त के निम्नतम बिंदु पर,तनाव $T_{bottom} = \frac{mv^2}{r} + mg = 16 + 10 = 26\, N$।
क्षैतिज स्थिति (बीच) पर,तनाव $T_{mid} = \frac{mv^2}{r} = 16\, N$।
अतः,तनाव $6\, N$ होने के कारण,पत्थर वृत्त के उच्चतम बिंदु पर है।

(B) माना $m = 1\,kg$ द्रव्यमान है और $r = 1\,m$ ऊर्ध्वाधर वृत्त की त्रिज्या है।
निचले बिंदु पर,स्थितिज ऊर्जा $PE_{bottom} = 0$ है और गतिज ऊर्जा $KE_{bottom} = \frac{1}{2}mv_b^2$ है।
उच्चतम बिंदु पर,स्थितिज ऊर्जा $PE_{top} = mg(2r) = 2mgr$ है और गतिज ऊर्जा $KE_{top} = \frac{1}{2}mv_t^2$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार: $KE_{bottom} + PE_{bottom} = KE_{top} + PE_{top}$।
$KE_{bottom} = KE_{top} + 2mgr$।
अतः,गतिज ऊर्जा में अंतर $KE_{bottom} - KE_{top} = 2mgr$ होगा।
मान रखने पर: $2 \times 1\,kg \times 10\,m/s^2 \times 1\,m = 20\,J$।

(A) निम्नतम बिंदु $(L)$ पर,वेग $v_L = \sqrt{5gl}$ है। तनाव $T_L = mg + \frac{mv_L^2}{l} = mg + \frac{m(5gl)}{l} = 6mg$ है।
उच्चतम बिंदु $(H)$ पर,वेग $v_H = \sqrt{gl}$ है। तनाव $T_H = \frac{mv_H^2}{l} - mg = \frac{m(gl)}{l} - mg = 0$ है।
तनाव में अंतर $T_L - T_H = 6mg - 0 = 6mg$ है।
निम्नतम बिंदु पर गतिज ऊर्जा $K_L = \frac{1}{2}mv_L^2 = \frac{1}{2}m(5gl) = 2.5mgl$ है।
उच्चतम बिंदु पर गतिज ऊर्जा $K_H = \frac{1}{2}mv_H^2 = \frac{1}{2}m(gl) = 0.5mgl$ है।
गतिज ऊर्जा में अंतर $K_L - K_H = 2.5mgl - 0.5mgl = 2mgl$ है।
अतः,अंतर $6mg$ और $2mgl$ है।

(A) मान लीजिए कि क्षैतिज स्थिति $A$ है और सबसे निचली स्थिति $B$ है। लोलक की लंबाई $L$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,$A$ पर स्थितिज ऊर्जा $B$ पर गतिज ऊर्जा के बराबर होती है:
$m g L = \frac{1}{2} m v^2$
$v^2 = 2 g L$
$v = \sqrt{2 g L}$
सबसे निचली स्थिति $B$ पर,$bob$ पर कार्य करने वाले बल तनाव $T$ (ऊपर की ओर) और भार $mg$ (नीचे की ओर) हैं। नेट बल आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है:
$T - m g = \frac{m v^2}{L}$
$T = m g + \frac{m (2 g L)}{L}$
$T = m g + 2 m g = 3 m g$
अतः,चाल $\sqrt{2 g L}$ है और तनाव $3 m g$ है।

(B) ऊर्ध्वाधर वृत्त को पूरा करने के लिए,उच्चतम बिंदु पर न्यूनतम वेग $v = \sqrt{gL}$ होता है।
जब उच्चतम बिंदु पर डोरी टूट जाती है,तो पिंड $h = 2L$ (वृत्त का व्यास) की ऊँचाई से क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित किए गए प्रक्षेप्य की तरह व्यवहार करता है।
जमीन तक पहुँचने में लगा समय $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
$h = 2L$ रखने पर,हमें $t = \sqrt{\frac{2(2L)}{g}} = \sqrt{\frac{4L}{g}} = 2\sqrt{\frac{L}{g}}$ प्राप्त होता है।
क्षैतिज परास $x$,क्षैतिज वेग और समय के गुणनफल द्वारा दी जाती है: $x = v \times t$.
मान रखने पर,$x = \sqrt{gL} \times 2\sqrt{\frac{L}{g}} = 2\sqrt{gL \times \frac{L}{g}} = 2\sqrt{L^2} = 2L$.

(C) माना डोरी की लंबाई $l$ है। जब द्रव्यमान $m$ को बिंदु $A$ से छोड़ा जाता है,तो यह $l$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ में गति करता है।
बिंदु $A$ और बिंदु $B$ के बीच ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार:
$PE_A + KE_A = PE_B + KE_B$
बिंदु $B$ पर स्थितिज ऊर्जा को शून्य मानते हुए,$PE_A = mgl$ और $KE_A = 0$ है।
बिंदु $B$ पर,$PE_B = 0$ और $KE_B = \frac{1}{2}mv^2$ है।
अतः,$mgl = \frac{1}{2}mv^2 \implies v^2 = 2gl$।
बिंदु $B$ पर,द्रव्यमान पर कार्य करने वाले बल तनाव $T$ (ऊपर की ओर) और भार $mg$ (नीचे की ओर) हैं।
अभिकेंद्री बल तनाव और गुरुत्वाकर्षण द्वारा प्रदान किया जाता है:
$T - mg = \frac{mv^2}{l}$
$v^2 = 2gl$ प्रतिस्थापित करने पर:
$T - mg = \frac{m(2gl)}{l} = 2mg$
$T = 2mg + mg = 3mg$।
अतः,बिंदु $B$ पर तनाव $3mg$ है।

(C) माना अधिकतम कोणीय आयाम $\theta$ है। जब लोलक का गोलक अंतिम स्थिति $B$ से सबसे निचले बिंदु $A$ पर आता है,तो स्थितिज ऊर्जा में कमी $A$ पर गतिज ऊर्जा में वृद्धि के बराबर होती है।
$B$ और $A$ के बीच ऊर्ध्वाधर ऊंचाई का अंतर $h = l - l \cos \theta = l(1 - \cos \theta)$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2$
$mg(l(1 - \cos \theta)) = \frac{1}{2}mv^2$
$v^2 = 2gl(1 - \cos \theta)$
सबसे निचले बिंदु $A$ पर,गोलक पर कार्य करने वाले बल ऊपर की ओर तनाव $T$ और नीचे की ओर भार $mg$ हैं। शुद्ध अभिकेंद्र बल:
$T - mg = \frac{mv^2}{l}$
$v^2$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$T - mg = \frac{m}{l} \cdot 2gl(1 - \cos \theta)$
$T - mg = 2mg(1 - \cos \theta)$
$T = mg + 2mg - 2mg \cos \theta = mg(3 - 2 \cos \theta)$
डोरी तब टूटती है जब $T = T_{\max} = 2mg$ होता है। $T = 2mg$ रखने पर:
$2mg = mg(3 - 2 \cos \theta)$
$2 = 3 - 2 \cos \theta$
$2 \cos \theta = 1$
$\cos \theta = \frac{1}{2}$
$\theta = 60^\circ$

(B) बिंदु $A$ और $D$ के बीच स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ में हुई हानि,$A$ और $D$ के बीच गतिज ऊर्जा $(KE)$ में हुई वृद्धि के बराबर है।
$mg(h - 2r) = \frac{1}{2}mv^2$
$v^2 = 2g(h - 2r) \quad .....(i)$
ब्लॉक द्वारा वृत्ताकार लूप पूरा करने के लिए,उच्चतम बिंदु $D$ पर शर्त यह है कि अभिलंब बल कम से कम शून्य होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि अभिकेंद्र बल गुरुत्वाकर्षण बल के बराबर या उससे अधिक होना चाहिए:
$\frac{mv^2}{r} \geq mg$
$v^2 \geq rg \quad .....(ii)$
समीकरण $(i)$ से $v^2$ का मान समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$2g(h - 2r) \geq rg$
$2(h - 2r) \geq r$
$2h - 4r \geq r$
$2h \geq 5r$
$h \geq \frac{5}{2}r$

(C) $R$ त्रिज्या के ऊर्ध्वाधर वृत्त में गति कर रहे $m$ द्रव्यमान के लिए,निम्नतम बिंदु से किसी भी कोणीय स्थिति $\theta$ पर तार में तनाव $T$ को निम्नलिखित समीकरण द्वारा दिया जाता है:
$T - mg \cos \theta = \frac{mv^2}{R}$
$T = mg \cos \theta + \frac{mv^2}{R}$
निम्नतम बिंदु पर,$\theta = 0^{\circ}$,इसलिए $\cos 0^{\circ} = 1$ होता है। साथ ही,ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार निम्नतम बिंदु पर वेग $v$ अधिकतम होता है।
चूंकि $\cos \theta$ और $v$ दोनों निम्नतम बिंदु पर अपने अधिकतम मान पर होते हैं,इसलिए इस स्थिति में तनाव $T$ अधिकतम होता है।
इसलिए,तार के टूटने की संभावना सबसे अधिक तब होती है जब द्रव्यमान निम्नतम बिंदु पर होता है।

(A) सबसे निचले बिंदु पर,पत्थर पर कार्य करने वाले बल ऊपर की ओर तनाव $T_1$ और नीचे की ओर भार $mg$ हैं। केंद्र की ओर (ऊपर की ओर) कार्य करने वाला कुल बल $T_1 - mg = \frac{mv_1^2}{R}$ है। ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करने वाला कुल बल $mg - T_1 = -\frac{mv_1^2}{R}$ है।
सबसे ऊँचे बिंदु पर,तनाव $T_2$ और भार $mg$ दोनों नीचे की ओर कार्य करते हैं। ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करने वाला कुल बल $mg + T_2 = \frac{mv_2^2}{R}$ है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,प्रश्न ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर निर्देशित कुल बल के बारे में पूछता है। सबसे निचले बिंदु के लिए,यह $mg - T_1$ है। सबसे ऊँचे बिंदु के लिए,यह $mg + T_2$ है। अतः,विकल्प $(a)$ सही है।

(N/A) डेथ वेल में,एक मोटरसाइकिल सवार ऊर्ध्वाधर लूप के शीर्ष बिंदु पर नहीं गिरता है क्योंकि गुरुत्वाकर्षण बल और दीवार से लगने वाला अभिलंब प्रतिक्रिया बल (normal reaction force) दोनों नीचे की ओर कार्य करते हैं,जो वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करते हैं।
शीर्ष पर मोटरसाइकिल सवार पर कार्य करने वाला कुल बल अभिलंब बल $(F_N)$ और गुरुत्वाकर्षण बल $(F_g = mg)$ का योग है।
अभिकेंद्र त्वरण $(a_c)$ के लिए गति का समीकरण है:
$F_{\text{net}} = m a_c$
$F_N + mg = \frac{m v^2}{r}$
मोटरसाइकिल सवार के बिना गिरे लूप को पूरा करने के लिए,न्यूनतम गति $(v_{\min})$ तब होती है जब अभिलंब प्रतिक्रिया $(F_N)$ शून्य हो जाती है।
$mg = \frac{m v_{\min}^2}{r}$
$v_{\min}^2 = rg$
$v_{\min} = \sqrt{rg}$
यहाँ $r = 25 \; m$ और $g = 10 \; m/s^2$ लेने पर:
$v_{\min} = \sqrt{25 \times 10} = \sqrt{250} \approx 15.81 \; m/s$.

(N/A) गोलक पर दो बाहरी बल कार्य करते हैं: गुरुत्वाकर्षण और डोरी में तनाव $(T)$। बाद वाला कोई कार्य नहीं करता क्योंकि गोलक का विस्थापन हमेशा डोरी के लंबवत होता है। इसलिए गोलक की स्थितिज ऊर्जा केवल गुरुत्वाकर्षण बल से जुड़ी है। निकाय की कुल यांत्रिक ऊर्जा $E$ संरक्षित रहती है। हम सबसे निचले बिंदु $A$ पर निकाय की स्थितिज ऊर्जा को शून्य मानते हैं।
बिंदु $A$ पर,कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{2} m v_{o}^{2}$ है।
सबसे ऊपरी बिंदु $C$ पर,डोरी ढीली हो जाती है,जिसका अर्थ है कि तनाव $T_{C} = 0$ है। $C$ पर न्यूटन के दूसरे नियम को लागू करने पर: $mg = \frac{m v_{C}^{2}}{L}$,जिससे $v_{C} = \sqrt{gL}$ प्राप्त होता है।
$C$ पर कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{2} m v_{C}^{2} + mg(2L) = \frac{1}{2} m(gL) + 2mgL = \frac{5}{2} mgL$ है।
$A$ और $C$ पर ऊर्जा को बराबर करने पर: $\frac{1}{2} m v_{o}^{2} = \frac{5}{2} mgL \implies v_{o} = \sqrt{5gL}$।
बिंदु $B$ (क्षैतिज स्तर) पर,ऊँचाई $L$ है। ऊर्जा संरक्षण के नियम से: $\frac{1}{2} m v_{o}^{2} = \frac{1}{2} m v_{B}^{2} + mgL$।
$v_{o}^{2} = 5gL$ प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{5}{2} mgL = \frac{1}{2} m v_{B}^{2} + mgL \implies \frac{1}{2} m v_{B}^{2} = \frac{3}{2} mgL \implies v_{B} = \sqrt{3gL}$।
$(iii)$ गतिज ऊर्जाओं का अनुपात: $\frac{K_{B}}{K_{C}} = \frac{\frac{1}{2} m v_{B}^{2}}{\frac{1}{2} m v_{C}^{2}} = \frac{3gL}{gL} = \frac{3}{1}$।
बिंदु $C$ पर पहुँचने के बाद,यदि डोरी ढीली हो जाती है,तो गोलक केवल गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में होता है। यह बिंदु $C$ से क्षैतिज वेग $v_{C} = \sqrt{gL}$ के साथ परवलयाकार प्रक्षेप्य गति करेगा।

(N/A) जब एक गोलक को ऊर्ध्वाधर वृत्त में घुमाया जाता है,तो आवश्यक अभिकेंद्र बल डोरी में तनाव और गुरुत्वाकर्षण के घटक द्वारा प्रदान किया जाता है। जब डोरी को काट दिया जाता है,तो तनाव शून्य हो जाता है,और गोलक अपने तात्कालिक वेग की दिशा में एक सीधी रेखा में गति करना शुरू कर देता है,जिस पर केवल गुरुत्वाकर्षण बल कार्य करता है।
$(a)$ बिंदु $B$ पर,वेग ऊर्ध्वाधर रूप से नीचे की ओर है। इसलिए,जब डोरी को $B$ पर काटा जाता है,तो गोलक गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में सीधे नीचे की ओर गति करता है।
$(b)$ बिंदु $C$ पर,वेग क्षैतिज (दाहिनी ओर) है। जब डोरी को $C$ पर काटा जाता है,तो गोलक $v$ के प्रारंभिक वेग के साथ क्षैतिज रूप से गति करता है और साथ ही गुरुत्वाकर्षण के तहत नीचे गिरता है। इसके परिणामस्वरूप $C$ पर शीर्ष वाला एक परवलयाकार प्रक्षेप पथ प्राप्त होता है।
$(c)$ बिंदु $X$ पर,गोलक का वेग बिंदु $X$ पर खींची गई स्पर्श रेखा की दिशा में होता है। जब डोरी को $X$ पर काटा जाता है,तो गोलक इस स्पर्श रेखा की दिशा में $v$ के प्रारंभिक वेग के साथ गति करता है और फिर गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में परवलयाकार पथ का अनुसरण करता है,जिसका शीर्ष बिंदु $C$ से ऊँचा होता है।

(D) ऊर्ध्वाधर वृत्त के निम्नतम बिंदु पर,'$m$' द्रव्यमान पर कार्य करने वाले बल ऊपर की ओर तनाव '$T$' और नीचे की ओर भार '$mg$' हैं।
वृत्तीय गति के लिए आवश्यक शुद्ध अभिकेंद्री बल तनाव और भार के अंतर द्वारा प्रदान किया जाता है:
$T - mg = \frac{mv^2}{r}$
यह दिया गया है कि निम्नतम बिंदु पर वेग $v = \sqrt{7gr}$ है,हम इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$T - mg = \frac{m(\sqrt{7gr})^2}{r}$
$T - mg = \frac{m(7gr)}{r}$
$T - mg = 7mg$
$T = 7mg + mg = 8mg$
अतः,निम्नतम बिंदु पर डोरी में तनाव $8mg$ है।

(C) माना कि सबसे निचले बिंदु पर गोले की चाल $v_1$ है और उच्चतम बिंदु पर $v_2$ है।
अधिकतम तनाव सबसे निचले बिंदु पर और न्यूनतम तनाव उच्चतम बिंदु पर होता है। यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{2} mv_1^2 = \frac{1}{2} mv_2^2 + mg(2l)$
$\Rightarrow v_1^2 = v_2^2 + 4gl$ $......(1)$
सबसे निचले बिंदु पर: $T_{\max} - mg = \frac{mv_1^2}{l} \Rightarrow T_{\max} = mg + \frac{mv_1^2}{l}$
उच्चतम बिंदु पर: $T_{\min} + mg = \frac{mv_2^2}{l} \Rightarrow T_{\min} = \frac{mv_2^2}{l} - mg$
दिया गया अनुपात $\frac{T_{\max}}{T_{\min}} = \frac{5}{1}$:
$\frac{mg + \frac{mv_1^2}{l}}{\frac{mv_2^2}{l} - mg} = 5$
$mg + \frac{m}{l}(v_2^2 + 4gl) = 5(\frac{mv_2^2}{l} - mg)$
$mg + \frac{mv_2^2}{l} + 4mg = \frac{5mv_2^2}{l} - 5mg$
$10mg = \frac{4mv_2^2}{l}$
$v_2^2 = \frac{10gl}{4} = \frac{10 \times 10 \times 1}{4} = 25$
$v_2 = 5\, m/s$.

(B) मान लीजिए कि ब्लॉक ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण पर संपर्क खो देता है। इस बिंदु पर,अभिलंब प्रतिक्रिया बल $N$ शून्य हो जाता है।
$1$. त्रिज्यीय दिशा में बल का संतुलन:
$mg \cos \theta - N = \frac{mv^2}{R}$
चूँकि $N=0$,इसलिए $mg \cos \theta = \frac{mv^2}{R} \implies v^2 = Rg \cos \theta \dots (1)$
$2$. शीर्ष से संपर्क टूटने के बिंदु तक यांत्रिक ऊर्जा का संरक्षण:
तय की गई ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $(R - R \cos \theta) = R(1 - \cos \theta)$ है।
$mgR(1 - \cos \theta) = \frac{1}{2}mv^2 \implies v^2 = 2gR(1 - \cos \theta) \dots (2)$
$3$. समीकरण $(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
$Rg \cos \theta = 2gR(1 - \cos \theta)$
$\cos \theta = 2 - 2 \cos \theta$
$3 \cos \theta = 2 \implies \cos \theta = \frac{2}{3}$
$4$. आधार से ऊँचाई $h$,$h = R \cos \theta$ द्वारा दी जाती है:
$h = R \left( \frac{2}{3} \right) = 3 \times \frac{2}{3} = 2\, m$.

(B) एक समान गति $v$ के साथ ऊर्ध्वाधर वृत्ताकार गति में,शुद्ध अभिकेंद्री बल तनाव $T$ और गुरुत्वाकर्षण के घटक $mg \cos \theta$ द्वारा प्रदान किया जाता है,जहाँ $\theta$ ऊर्ध्वाधर के साथ कोण है।
उच्चतम बिंदु पर,तनाव $T_{top}$ का मान $T_{top} + mg = \frac{mv^2}{r}$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $T_{top} = \frac{mv^2}{r} - mg$ है।
निम्नतम बिंदु पर,तनाव $T_{bottom}$ का मान $T_{bottom} - mg = \frac{mv^2}{r}$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $T_{bottom} = \frac{mv^2}{r} + mg$ है।
चूंकि $T_{top} < T_{bottom}$ है,इसलिए तनाव वृत्ताकार पथ के उच्चतम बिंदु पर न्यूनतम होता है।

(B) मान लीजिए कि सबसे निचली स्थिति $A$ है और क्षैतिज स्थिति $B$ है। $A$ पर, वेग $\vec{v}_A = u \hat{i}$ है。
$A$ और $B$ के बीच यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{2}mu^2 = \frac{1}{2}mv_B^2 + mgL$।
$v_B$ के लिए हल करने पर, हमें $v_B^2 = u^2 - 2gL$ प्राप्त होता है, इसलिए $v_B = \sqrt{u^2 - 2gL}$।
स्थिति $B$ पर, वेग $\vec{v}_B = v_B \hat{j} = \sqrt{u^2 - 2gL} \hat{j}$ है。
वेग में परिवर्तन $\Delta \vec{v} = \vec{v}_B - \vec{v}_A = \sqrt{u^2 - 2gL} \hat{j} - u \hat{i}$ है。
वेग में परिवर्तन का परिमाण $|\Delta \vec{v}| = \sqrt{(-u)^2 + (\sqrt{u^2 - 2gL})^2} = \sqrt{u^2 + u^2 - 2gL} = \sqrt{2u^2 - 2gL}$ है。
$|\Delta \vec{v}| = \sqrt{2(u^2 - gL)}$।
इसकी तुलना $\sqrt{x(u^2 - gL)}$ से करने पर, हमें $x = 2$ प्राप्त होता है。