Vertical Circular Motion Questions in Hindi

(B) कोणीय आयाम $\theta$ वाले लोलक के लिए,बॉब द्वारा प्राप्त ऊँचाई $h = l(1 - \cos \theta)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $l$ डोरी की लंबाई है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,माध्य स्थिति पर गतिज ऊर्जा,चरम स्थिति पर स्थितिज ऊर्जा के बराबर होती है:
$\frac{1}{2} m v^2 = m g h = m g l(1 - \cos \theta)$
$v^2 = 2 g l(1 - \cos \theta)$
अधिकतम तनाव $T_{\max}$ माध्य स्थिति (सबसे निचले बिंदु) पर होता है और इसे इस प्रकार दिया जाता है:
$T_{\max} = m g + \frac{m v^2}{l} = m g + \frac{m(2 g l(1 - \cos \theta))}{l} = m g + 2 m g(1 - \cos \theta) = m g(3 - 2 \cos \theta)$
न्यूनतम तनाव $T_{\min}$ चरम स्थिति पर होता है जहाँ वेग शून्य होता है:
$T_{\min} = m g \cos \theta$
दिया गया है कि $T_{\max} = 4 T_{\min}$:
$m g(3 - 2 \cos \theta) = 4 m g \cos \theta$
$3 - 2 \cos \theta = 4 \cos \theta$
$3 = 6 \cos \theta$
$\cos \theta = \frac{1}{2}$
$\theta = 60^{\circ}$

(D) माना प्रारंभिक गति $u = \sqrt{4 g \ell}$ है। डोरी तब ढीली हो जाती है जब तनाव $T = 0$ होता है। माना यह ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण पर होता है।
इस बिंदु पर,गुरुत्वाकर्षण का त्रिज्यीय घटक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है: $mg \cos \theta = \frac{mv^2}{\ell} \Rightarrow v^2 = g \ell \cos \theta$.
निम्नतम बिंदु और उस बिंदु के बीच ऊर्जा संरक्षण का उपयोग करते हुए जहाँ डोरी ढीली हो जाती है:
$\frac{1}{2}mu^2 = \frac{1}{2}mv^2 + mg\ell(1 + \cos \theta)$
$u^2 = 4g\ell$ और $v^2 = g\ell \cos \theta$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2}m(4g\ell) = \frac{1}{2}m(g\ell \cos \theta) + mg\ell(1 + \cos \theta)$
$2g\ell = \frac{1}{2}g\ell \cos \theta + g\ell + g\ell \cos \theta$
$1 = \frac{3}{2} \cos \theta \Rightarrow \cos \theta = \frac{2}{3}$.
अतः,$v^2 = g\ell(\frac{2}{3}) = \frac{2}{3}g\ell$.
प्रक्षेप पथ के उच्चतम बिंदु पर (जहाँ ऊर्ध्वाधर वेग घटक शून्य है),गोलक का वेग पूरी तरह से क्षैतिज होता है और $v_x = v \cos \theta$ के बराबर होता है।
$v_{top} = v \cos \theta = \sqrt{\frac{2}{3}g\ell} \times \frac{2}{3} = \sqrt{\frac{2}{3} \times \frac{4}{9} g\ell} = \sqrt{\frac{8}{27} g\ell}$.

(B) किसी कण के ऊर्ध्वाधर वृत्त में बस 'लूपिंग द लूप' करने के लिए,उच्चतम बिंदु पर तनाव शून्य $(T = 0)$ होना चाहिए।
उच्चतम बिंदु पर,अभिकेंद्र बल गुरुत्वाकर्षण द्वारा प्रदान किया जाता है: $mg = \frac{mv^2}{r}$।
अतः,$v = \sqrt{gr}$।
यहाँ $g = 10 \,m/s^2$ और $r = 2 \,m$ दिया गया है,इसलिए $v = \sqrt{10 \times 2} = \sqrt{20} \approx 4.47 \,m/s$।
अतः,चाल $4.47 \,m/s$ है और तनाव $0 \,N$ है।

(B) दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 200 \,g = 0.2 \,kg$
त्रिज्या $R = 80 \,cm = 0.8 \,m$
कोण $\theta = 60^{\circ}$
गति $v = 1.5 \,m/s$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \,m/s^2$
त्रिज्यीय दिशा में कण पर कार्य करने वाले बल तनाव $T$ (केंद्र की ओर) और भार का घटक $mg \cos \theta$ (केंद्र से दूर) हैं।
अभिकेंद्र बल का सूत्र:
$T - mg \cos \theta = \frac{mv^2}{R}$
तनाव $T$ के लिए सूत्र:
$T = \frac{mv^2}{R} + mg \cos \theta$
मान रखने पर:
$T = \frac{0.2 \times (1.5)^2}{0.8} + 0.2 \times 9.8 \times \cos(60^{\circ})$
$T = \frac{0.45}{0.8} + 0.2 \times 9.8 \times 0.5$
$T = 0.5625 + 0.98 = 1.5425 \,N$
इस प्रकार,$T \approx 1.56 \,N$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) उच्चतम बिंदु पर,पत्थर पर कार्य करने वाले बल तनाव $T$ और भार $mg$ हैं,जो दोनों नीचे की ओर निर्देशित हैं। अभिकेंद्री बल इनके योग द्वारा प्रदान किया जाता है:
$T + mg = \frac{mv_h^2}{R}$
यहाँ $m = 1 \,kg$,$R = 1 \,m$,$T = 14 \,N$ और $g = 10 \,m/s^2$ लेने पर:
$14 + (1)(10) = \frac{1 \cdot v_h^2}{1}$
$24 = v_h^2 \Rightarrow v_h = \sqrt{24} \,m/s$.
अब,उच्चतम बिंदु और निम्नतम बिंदु के बीच यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम को लागू करने पर:
$\frac{1}{2}mv_l^2 = \frac{1}{2}mv_h^2 + mg(2R)$
$\frac{1}{2}(1)v_l^2 = \frac{1}{2}(1)(24) + (1)(10)(2)(1)$
$\frac{1}{2}v_l^2 = 12 + 20 = 32$
$v_l^2 = 64 \Rightarrow v_l = 8 \,m/s$.

(B) $1$. बिंदु $A$ और बिंदु $B$ के बीच यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण का नियम लागू करें। $A$ पर स्थितिज ऊर्जा $U_A = m g (3 h)$ है और $B$ पर $U_B = m g (2 h)$ है।
$2$. चूँकि कण को $A$ पर विरामावस्था से छोड़ा गया है,इसकी प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $0$ है। मान लीजिए $B$ पर वेग $v$ है।
$3$. $m g (3 h) = m g (2 h) + \frac{1}{2} m v^2$
$4$. $m g h = \frac{1}{2} m v^2 \implies v^2 = 2 g h$.
$5$. बिंदु $B$ पर,कण पर कार्य करने वाले बल अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ (नीचे की ओर) और गुरुत्वाकर्षण बल $m g$ (नीचे की ओर) हैं। ये वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करते हैं।
$6$. $N + m g = \frac{m v^2}{h}$
$7$. समीकरण में $v^2 = 2 g h$ रखने पर: $N + m g = \frac{m (2 g h)}{h} = 2 m g$.
$8$. अतः,$N = 2 m g - m g = m g$.

(D) ऊर्ध्वाधर वृत्त में गति कर रहे कण के लिए,उच्चतम बिंदु $C$ पर क्रांतिक स्थिति यह है कि वेग $v_C = \sqrt{g R}$ हो।
हम बिंदु $P$ और $C$ के बीच यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हैं।
मान लीजिए बिंदु $P$ पर स्थितिज ऊर्जा $U_P = 0$ है।
बिंदु $P$ के सापेक्ष बिंदु $C$ की ऊँचाई $h = R - R \cos 60^{\circ} = R(1 - 0.5) = 0.5 R$ है।
ऊर्जा संरक्षण का नियम लागू करने पर: $U_P + K_P = U_C + K_C$
$0 + \frac{1}{2} m v_P^2 = m g (0.5 R) + \frac{1}{2} m v_C^2$
$v_C = \sqrt{g R}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2} m v_P^2 = 0.5 m g R + \frac{1}{2} m (g R)$
$\frac{1}{2} m v_P^2 = 0.5 m g R + 0.5 m g R = m g R$
$v_P^2 = 2 g R$
$v_P = \sqrt{2 g R}$

(B) दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 900 \,g = 0.9 \,kg$
त्रिज्या $r = 1 \,m$
आवृत्ति $N = 10 \,rpm = \frac{10}{60} \,rev/s = \frac{1}{6} \,rev/s$
कोणीय वेग $\omega = 2\pi N = 2\pi \times \frac{1}{6} = \frac{\pi}{3} \,rad/s$
ऊर्ध्वाधर वृत्त के सबसे निचले बिंदु पर, पत्थर पर कार्य करने वाले बल तनाव $T$ (ऊपर की ओर) और भार $mg$ (नीचे की ओर) हैं। अभिकेंद्री बल तनाव और भार के अंतर द्वारा प्रदान किया जाता है:
$T - mg = mr\omega^2$
$T = mg + mr\omega^2$
मान रखने पर:
$T = (0.9 \times 9.8) + (0.9 \times 1 \times (\frac{\pi}{3})^2)$
$T = 8.82 + 0.9 \times \frac{\pi^2}{9}$
दिया गया है $\pi^2 = 9.8$:
$T = 8.82 + 0.9 \times \frac{9.8}{9}$
$T = 8.82 + 0.1 \times 9.8$
$T = 8.82 + 0.98 = 9.8 \,N$

(B) एक पूर्ण ऊर्ध्वाधर वृत्त को पूरा करने के लिए,सबसे निचले बिंदु $A$ पर न्यूनतम वेग $V_A = \sqrt{5gL}$ होना चाहिए।
सबसे ऊपरी बिंदु $B$ पर,डोरी में तनाव बनाए रखने के लिए आवश्यक न्यूनतम वेग $V_B = \sqrt{gL}$ है।
बिंदु $A$ पर गतिज ऊर्जा $(K.E.)_A = \frac{1}{2} m V_A^2 = \frac{1}{2} m (\sqrt{5gL})^2 = \frac{5}{2} mgL$ है।
बिंदु $B$ पर गतिज ऊर्जा $(K.E.)_B = \frac{1}{2} m V_B^2 = \frac{1}{2} m (\sqrt{gL})^2 = \frac{1}{2} mgL$ है।
अतः,गतिज ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{(K.E.)_A}{(K.E.)_B} = \frac{\frac{5}{2} mgL}{\frac{1}{2} mgL} = \frac{5}{1}$ है।

(B) बिंदु $A$ से $B$ तक कार्य-ऊर्जा प्रमेय $(WET)$ लागू करने पर:
$W_{mg} = K_{B} - K_{A}$
चूंकि पथ घर्षण रहित है,गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर है:
$mg \times h = \frac{1}{2} mv_{B}^2 - 0$
ज्यामिति से,पिंड द्वारा $A$ से $B$ तक तय की गई ऊर्ध्वाधर ऊंचाई $h = R \sin(45^{\circ}) + R = \frac{R}{\sqrt{2}} + R$ है।
मान रखने पर:
$mg \times R \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + 1 \right) = \frac{1}{2} mv_{B}^2$
$gR \left( \frac{1 + \sqrt{2}}{\sqrt{2}} \right) = \frac{1}{2} v_{B}^2$
$v_{B}^2 = 2gR \left( \frac{1 + 1.4}{1.4} \right) = 2 \times 10 \times 14 \times \left( \frac{2.4}{1.4} \right)$
$v_{B}^2 = 20 \times 10 \times 2.4 = 480$
$v_{B} = \sqrt{480} \approx 21.9 \ m/s$.
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(D) स्थिति $A$ पर, वेग $V$ उच्चतम बिंदु $B$ तक पहुँचने के लिए पर्याप्त है। ऊर्ध्वाधर वृत्तीय गति के लिए, शीर्ष तक पहुँचने के लिए नीचे न्यूनतम वेग $V = \sqrt{5gL}$ होना चाहिए।
मान लीजिए कोण $\theta$ पर गति $v_{\theta}$ है। प्रश्न के अनुसार, $v_{\theta} = \frac{V}{2} = \frac{\sqrt{5gL}}{2}$ है।
बिंदु $A$ और कोण $\theta$ वाले बिंदु के बीच ऊर्जा संरक्षण का नियम लागू करने पर:
$\frac{1}{2} M V^2 = \frac{1}{2} M v_{\theta}^2 + M g L(1 - \cos \theta)$
$V^2 = 5gL$ और $v_{\theta}^2 = \frac{5gL}{4}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2} M (5gL) = \frac{1}{2} M \left(\frac{5gL}{4}\right) + M g L(1 - \cos \theta)$
$MgL$ से विभाजित करने पर:
$\frac{5}{2} = \frac{5}{8} + 1 - \cos \theta$
$\cos \theta = \frac{5}{8} + 1 - \frac{5}{2} = \frac{5 + 8 - 20}{8} = -\frac{7}{8}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\cos \theta = -0.875$, और हम जानते हैं कि $\cos(3\pi/4) \approx -0.707$ और $\cos(\pi) = -1$, इसलिए कोण $\theta$ को $\frac{3\pi}{4} < \theta < \pi$ की सीमा में होना चाहिए।

(D) मान लीजिए $\theta$ त्रिज्या सदिश द्वारा ऊर्ध्वाधर के साथ बनाया गया कोण है। यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए,$\theta$ कोण पर मनके की गति $v$ इस प्रकार है: $mgR(1 - \cos \theta) = \frac{1}{2}mv^2 \Rightarrow v^2 = 2gR(1 - \cos \theta)$.
मनके पर कार्य करने वाले त्रिज्यीय बलों पर विचार करते हुए,गति का समीकरण है: $mg \cos \theta - N = \frac{mv^2}{R}$,जहाँ $N$ तार द्वारा मनके पर लगाया गया अभिलंब बल है।
$v^2$ का मान रखने पर: $N = mg \cos \theta - \frac{m}{R} [2gR(1 - \cos \theta)] = mg \cos \theta - 2mg + 2mg \cos \theta = mg(3 \cos \theta - 2)$.
तार द्वारा मनके पर लगाया गया अभिलंब बल $N$ त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर होता है यदि $N > 0$,अर्थात $3 \cos \theta - 2 > 0 \Rightarrow \cos \theta > 2/3$.
अभिलंब बल $N$ त्रिज्यीय रूप से अंदर की ओर होता है यदि $N < 0$,अर्थात $\cos \theta < 2/3$.
न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार,मनके द्वारा तार पर लगाया गया बल तार द्वारा मनके पर लगाए गए अभिलंब बल $N$ के बराबर और विपरीत होता है। शुरुआत में,$\theta = 0$ पर,$\cos \theta = 1 > 2/3$,इसलिए $N$ त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर है,जिसका अर्थ है कि मनका तार को त्रिज्यीय रूप से अंदर की ओर धकेलता है। जैसे-जैसे $\theta$ बढ़ता है,$\cos \theta$ घटता है,और जब $\cos \theta < 2/3$ होता है,तो $N$ त्रिज्यीय रूप से अंदर की ओर हो जाता है,जिसका अर्थ है कि मनका तार को त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर धकेलता है। इस प्रकार,मनके द्वारा तार पर लगाया गया बल शुरुआत में त्रिज्यीय रूप से अंदर की ओर और बाद में त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर होता है।

(B) डोरी के उच्चतम बिंदु $D$ पर ढीली होने के लिए,$D$ पर वेग $v_D = \sqrt{g l}$ होना चाहिए।
बिंदु $A$ और $D$ के बीच ऊर्जा संरक्षण का नियम लागू करने पर:
$\frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} m v_D^2 + mg(2l)$
$\frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} m (gl) + 2mgl = \frac{5}{2} mgl \Rightarrow v_0^2 = 5gl$.
बिंदु $B$ पर,ऊर्ध्वाधर के साथ कोण $30^\circ$ है। $A$ से $B$ की ऊँचाई $h_B = l(1 - \cos 30^\circ) = l(1 - \frac{\sqrt{3}}{2})$ है।
$KE_B = \frac{1}{2} m v_0^2 - mgh_B = \frac{5}{2} mgl - mgl(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}) = mgl(\frac{3 + \sqrt{3}}{2})$.
बिंदु $C$ पर,ऊर्ध्वाधर के साथ कोण $60^\circ$ है। $A$ से $C$ की ऊँचाई $h_C = l(1 - \cos 60^\circ) = \frac{l}{2}$ है।
$KE_C = \frac{1}{2} m v_0^2 - mgh_C = \frac{5}{2} mgl - mgl(\frac{1}{2}) = 2mgl$.
अनुपात $\frac{KE_B}{KE_C} = \frac{mgl(\frac{3 + \sqrt{3}}{2})}{2mgl} = \frac{3 + \sqrt{3}}{4} \approx 1.18$. दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $1$ है।

(C) माना द्रव्यमान $m = 0.1 \ kg$,त्रिज्या $R = 2 \ m$,और $g = 10 \ m/s^2$ है। बिंदु $A$ पर वेग $v_A = 10 \ m/s$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए: $E_A = E_B = E_C$.
बिंदु $A$ पर (संदर्भ स्तर,$h_A = 0$): $E_A = \frac{1}{2} m v_A^2 = \frac{1}{2} m (10)^2 = 50m$.
बिंदु $B$ पर,ऊर्ध्वाधर से कोण $30^\circ$ है,इसलिए ऊँचाई $h_B = R(1 - \cos 30^\circ) = 2(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}) = 2 - \sqrt{3}$ है।
$E_B = \frac{1}{2} m v_B^2 + mgh_B = 50m \implies \frac{1}{2} v_B^2 + 10(2 - \sqrt{3}) = 50 \implies v_B^2 = 60 + 20\sqrt{3}$.
$K.E._B = \frac{1}{2} m v_B^2 = m(30 + 10\sqrt{3})$.
बिंदु $C$ पर,ऊर्ध्वाधर से कोण $90^\circ$ है (चित्रानुसार),इसलिए ऊँचाई $h_C = R = 2 \ m$ है।
$E_C = \frac{1}{2} m v_C^2 + mgh_C = 50m \implies \frac{1}{2} v_C^2 + 10(2) = 50 \implies v_C^2 = 60$.
$K.E._C = \frac{1}{2} m v_C^2 = 30m$.
अनुपात $\frac{K.E._B}{K.E._C} = \frac{m(30 + 10\sqrt{3})}{30m} = \frac{3 + \sqrt{3}}{3}$.

(D) मान लीजिए शीर्ष पर वेग $v_t = n\sqrt{gR}$ है। शीर्ष पर गतिज ऊर्जा $K_t = \frac{1}{2}mv_t^2 = \frac{1}{2}m(n^2gR)$ है।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए शीर्ष और निचले बिंदुओं के बीच: $K_t + U_t = K_b + U_b$.
निचले बिंदु पर स्थितिज ऊर्जा को $0$ मानते हुए,शीर्ष पर स्थितिज ऊर्जा $mg(2R)$ है।
अतः,$\frac{1}{2}mn^2gR + 2mgR = \frac{1}{2}mv_b^2$.
दोनों पक्षों को $\frac{2}{m}$ से गुणा करने पर,$n^2gR + 4gR = v_b^2$,अर्थात $v_b^2 = (n^2+4)gR$.
निचले बिंदु पर गतिज ऊर्जा $K_b = \frac{1}{2}mv_b^2 = \frac{1}{2}m(n^2+4)gR$ है।
निचले बिंदु पर गतिज ऊर्जा और शीर्ष पर गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{K_b}{K_t} = \frac{\frac{1}{2}m(n^2+4)gR}{\frac{1}{2}mn^2gR} = \frac{n^2+4}{n^2}$ है।

(D) निम्नतम बिंदु और बिंदु $P$ के बीच यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण का नियम लागू करने पर:
$\frac{1}{2} mv_0^2 = mg \ell(1 + \sin \theta) + \frac{1}{2} mv_p^2$ ... $(i)$
बिंदु $P$ पर,डोरी में तनाव $T_p$ शून्य हो जाता है। गुरुत्वाकर्षण बल का त्रिज्यीय घटक आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है:
$mg \sin \theta = \frac{mv_p^2}{\ell} \implies mv_p^2 = mg \ell \sin \theta$ ... $(ii)$
$(ii)$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2} mv_0^2 = mg \ell(1 + \sin \theta) + \frac{1}{2} mg \ell \sin \theta$
$v_0^2 = 2g \ell(1 + \sin \theta) + g \ell \sin \theta = 2g \ell + 3g \ell \sin \theta$
$v_0 = \sqrt{g \ell(2 + 3 \sin \theta)}$ ... $(iii)$
$(ii)$ से,$v_p = \sqrt{g \ell \sin \theta}$.
अतः,अनुपात है:
$\frac{v_p}{v_0} = \frac{\sqrt{g \ell \sin \theta}}{\sqrt{g \ell(2 + 3 \sin \theta)}} = \sqrt{\frac{\sin \theta}{2 + 3 \sin \theta}}$

(D) मान लीजिए कि कण ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण पर सतह को छोड़ता है,जिसे ऊपर से मापा जाता है।
सतह छोड़ने के बिंदु पर,अभिलंब प्रतिक्रिया $N = 0$ होती है।
त्रिज्यीय गति का समीकरण $mg \cos \theta - N = \frac{mv^2}{R}$ है। चूँकि $N = 0$ है,इसलिए $v^2 = Rg \cos \theta$ प्राप्त होता है।
शीर्ष बिंदु और सतह छोड़ने के बिंदु के बीच ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार:
$mgR = mg(R \cos \theta) + \frac{1}{2}mv^2$.
$v^2 = Rg \cos \theta$ प्रतिस्थापित करने पर:
$mgR = mgR \cos \theta + \frac{1}{2}m(Rg \cos \theta) = mgR \cos \theta + \frac{1}{2}mgR \cos \theta = \frac{3}{2}mgR \cos \theta$.
इस प्रकार,$\cos \theta = \frac{2}{3}$.
नीचे से ऊँचाई $h$,$h = R + R \cos \theta = R(1 + \cos \theta)$ द्वारा दी जाती है।
$\cos \theta = \frac{2}{3}$ और $R = 1.8 \ m$ रखने पर:
$h = 1.8 \times (1 + \frac{2}{3}) = 1.8 \times \frac{5}{3} = 0.6 \times 5 = 3.0 \ m$.

(D) टक्कर के दौरान रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$mv = M V' + m(v/2)$
$mv - mv/2 = M V'$
$mv/2 = M V'$
$V' = \frac{mv}{2M}$
पेंडुलम के बॉब के लिए एक ऊर्ध्वाधर वृत्त को पूरा करने के लिए,निम्नतम बिंदु पर न्यूनतम वेग $V'$ का मान $\sqrt{5g\ell}$ होना चाहिए।
$V'$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{mv}{2M} = \sqrt{5g\ell}$
$v = \frac{2M}{m} \sqrt{5g\ell}$

(A) लोलक-गोलक के लिए ऊर्ध्वाधर वृत्त को पूरा करने के लिए,निम्नतम बिंदु पर आवश्यक न्यूनतम वेग $v = \sqrt{5 g \ell}$ है।
टक्कर के दौरान रैखिक संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार:
$m u + M(0) = m(u/2) + M v$
$v = \sqrt{5 g \ell}$ रखने पर:
$m u = m(u/2) + M \sqrt{5 g \ell}$
$m u - m u/2 = M \sqrt{5 g \ell}$
$m u / 2 = M \sqrt{5 g \ell}$
$u = \frac{2 M}{m} \sqrt{5 g \ell}$

(B) ऊर्ध्वाधर वृत्तीय गति में,कण पर कार्य करने वाला बल गुरुत्वाकर्षण $(mg)$ है।
वृत्तीय पथ के स्पर्शरेखा के अनुदिश कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण का घटक $F_t = mg \sin \theta$ है,जहाँ $\theta$ ऊर्ध्वाधर के साथ बना कोण है।
स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t$ को $a_t = \frac{F_t}{m} = \frac{mg \sin \theta}{m} = g \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\theta = 30^{\circ}$ और $g = 10 \ m/s^2$ दिया गया है।
अतः,$a_t = 10 \times \sin 30^{\circ} = 10 \times 0.5 = 5 \ m/s^2$।

(B) ऊर्ध्वाधर वृत्त के उच्चतम बिंदु पर क्रांतिक चाल $v = \sqrt{gR}$ द्वारा दी जाती है।
जब डोरी क्षैतिज होती है,तो पिंड उच्चतम बिंदु से $R$ की ऊर्ध्वाधर दूरी नीचे आ चुका होता है।
ऊर्जा संरक्षण या गति के समीकरण $v'^2 = v^2 + 2ah$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = g$ और $h = R$ है:
$(v')^2 = v^2 + 2gR$
$v^2 = gR$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(v')^2 = gR + 2gR = 3gR$
अभिकेंद्र त्वरण $a_c$ को $a_c = \frac{(v')^2}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
$(v')^2$ का मान रखने पर:
$a_c = \frac{3gR}{R} = 3g$.
अतः,अभिकेंद्र त्वरण $3g$ है।

(C) ऊर्ध्वाधर वृत्तीय गति के लिए:
$1$. यदि $v_0 = \sqrt{5 g \ell}$ है,तो बॉब वृत्त पूरा करता है। सबसे निचले बिंदु पर,$T - mg = \frac{mv_0^2}{\ell} = 5mg$,इसलिए $T = 6mg$। अतः,$(P) \rightarrow (1)$।
$2$. यदि $v_0 = \sqrt{g \ell}$ है,क्योंकि $v_0 < \sqrt{2 g \ell}$,बॉब दोलन करेगा। अतः,$(Q) \rightarrow (3)$।
$3$. यदि $v_0 = 2 \sqrt{g \ell}$ है,क्योंकि $\sqrt{2 g \ell} < v_0 < \sqrt{5 g \ell}$,डोरी किसी बिंदु पर ढीली हो जाएगी। अतः,$(R) \rightarrow (2)$।
$4$. यदि $v_0 = 3 \sqrt{g \ell}$ है,उच्चतम बिंदु पर,$v^2 = v_0^2 - 4g\ell = 9g\ell - 4g\ell = 5g\ell$। तब $T + mg = \frac{mv^2}{\ell} = 5mg$,इसलिए $T = 4mg$। अतः,$(S) \rightarrow (4)$।
इसलिए,सही मिलान $P-1, Q-3, R-2, S-4$ है।

(A) ऊर्ध्वाधर वृत्ताकार पथ को पूरा करने के लिए,वृत्त के निचले बिंदु पर न्यूनतम वेग $v = \sqrt{5gR}$ होना चाहिए।
यहाँ $R = 2\ m$ और $g = 10\ m/s^2$ दिया गया है,इसलिए आवश्यक वेग $v = \sqrt{5 \times 10 \times 2} = \sqrt{100} = 10\ m/s$ होगा।
खुरदरी सतह पर,प्रारंभिक वेग $u = 20\ m/s$,अंतिम वेग $v = 10\ m/s$ और त्वरण $a = -\mu g = -0.5 \times 10 = -5\ m/s^2$ है।
गति के समीकरण $v^2 - u^2 = 2ax$ का उपयोग करने पर:
$10^2 - 20^2 = 2 \times (-5) \times x$
$100 - 400 = -10x$
$-300 = -10x$
$x = 30\ m$.

(B) ऊर्ध्वाधर वृत्तीय गति में,किसी भी बिंदु पर डोरी में तनाव $T$ का मान $T = \frac{mv^2}{r} + mg cos \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ नीचे की ऊर्ध्वाधर रेखा के साथ बना कोण है।
सबसे निचले बिंदु पर,$\theta = 0^{\circ}$ होता है,इसलिए $\cos 0^{\circ} = 1$। तनाव $T_{low} = \frac{mv^2}{r} + mg$ होता है।
सबसे उच्चतम बिंदु पर,$\theta = 180^{\circ}$ होता है,इसलिए $\cos 180^{\circ} = -1$। तनाव $T_{high} = \frac{mv^2}{r} - mg$ होता है।
चूंकि तनाव वृत्त के सबसे निचले बिंदु पर अधिकतम होता है,इसलिए इस स्थिति में तार के टूटने की संभावना सबसे अधिक होती है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(B) ऊर्ध्वाधर वृत्त के शीर्ष पर,पत्थर पर कार्य करने वाले बल तनाव $(T_{top})$ और भार $(mg)$ हैं,जो दोनों नीचे की ओर कार्य करते हैं। अभिकेंद्री बल उनके योग द्वारा प्रदान किया जाता है:
$T_{top} + mg = \frac{mv^2}{R}$
$T_{top} = \frac{mv^2}{R} - mg = \frac{1 \times (40)^2}{2} - (1 \times 10) = 800 - 10 = 790 \ N$
ऊर्ध्वाधर वृत्त के निम्नतम बिंदु पर,तनाव $(T_{bot})$ ऊपर की ओर और भार $(mg)$ नीचे की ओर कार्य करता है। परिणामी बल अभिकेंद्री बल प्रदान करता है:
$T_{bot} - mg = \frac{mv^2}{R}$
$T_{bot} = \frac{mv^2}{R} + mg = \frac{1 \times (40)^2}{2} + (1 \times 10) = 800 + 10 = 810 \ N$
शीर्ष और निम्नतम बिंदु पर तनाव का अनुपात है:
$\frac{T_{top}}{T_{bot}} = \frac{790}{810} = \frac{79}{81}$

(C) ऊर्ध्वाधर वृत्त के उच्चतम बिंदु पर पानी को बाल्टी से गिरने से रोकने के लिए,अभिकेंद्र बल का मान पानी पर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल के बराबर या उससे अधिक होना चाहिए।
उच्चतम बिंदु पर,पानी के बाल्टी में बने रहने की शर्त $m \omega^2 r \geq mg$ है।
न्यूनतम कोणीय वेग $\omega$ के लिए $m \omega^2 r = mg$,जिसे सरल करने पर $\omega = \sqrt{\frac{g}{r}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि कोणीय आवृत्ति $\omega$ और आवृत्ति $f$ के बीच संबंध $\omega = 2 \pi f$ है,इसलिए हम लिख सकते हैं कि $2 \pi f = \sqrt{\frac{g}{r}}$।
अतः,घूर्णन की न्यूनतम आवृत्ति $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{g}{r}}$ है।

(C) पानी को कैन से बाहर न गिरने देने के लिए,ऊर्ध्वाधर वृत्त के उच्चतम बिंदु पर अभिकेंद्र बल पानी के भार के बराबर होना चाहिए।
उच्चतम बिंदु पर,पानी के न गिरने की शर्त बलों के संतुलन द्वारा दी जाती है:
$\frac{m v^2}{r} = m g$
जहाँ $m$ पानी का द्रव्यमान है,$v$ गति है,और $r$ त्रिज्या है।
न्यूनतम गति $v$ के लिए हल करने पर:
$v^2 = r g \implies v = \sqrt{r g}$
एक पूर्ण परिक्रमण का आवर्तकाल $T$,परिधि को गति से विभाजित करने पर प्राप्त होता है:
$T = \frac{2 \pi r}{v}$
$v$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$T = \frac{2 \pi r}{\sqrt{r g}} = 2 \pi \sqrt{\frac{r}{g}}$

(C) गुरुत्वाकर्षण के अधीन कण की गति में,कण पर कार्य करने वाला एकमात्र बल गुरुत्वाकर्षण बल है,जो एक संरक्षी बल है।
चूंकि कण पर कोई गैर-संरक्षी बल (जैसे घर्षण या वायु प्रतिरोध) कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए गति के दौरान निकाय की कुल यांत्रिक ऊर्जा स्थिर रहती है।
अतः,पथ के विभिन्न बिंदुओं पर कुल ऊर्जा संरक्षित रहती है।

(C) ऊर्ध्वाधर वृत्तीय गति में,किसी भी बिंदु पर वस्तु की चाल $V$ ऊर्जा संरक्षण के नियम द्वारा निर्धारित की जाती है।
जब डोरी क्षैतिज होती है,तो वस्तु वृत्त के केंद्र के समान ऊर्ध्वाधर स्तर पर होती है।
यह मानते हुए कि वस्तु को शीर्ष से छोड़ा गया है या वृत्त को पूरा करने के लिए पर्याप्त वेग दिया गया है,क्षैतिज स्थिति पर वेग $V = \sqrt{3gr}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ वृत्त की त्रिज्या है।
अभिकेंद्र त्वरण $a_c$ को $a_c = \frac{V^2}{r}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$V$ का मान रखने पर,हमें $a_c = \frac{(\sqrt{3gr})^2}{r} = \frac{3gr}{r} = 3g$ प्राप्त होता है।

(B) उच्चतम बिंदु पर क्रांतिक वेग $v = \sqrt{rg}$ है।
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,जब डोरी क्षैतिज हो जाती है तो वेग $v'$ का मान $v'^2 = v^2 + 2g(r)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ वृत्त की त्रिज्या है।
$v^2 = rg$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $v'^2 = rg + 2rg = 3rg$ प्राप्त होता है।
अभिकेंद्र त्वरण $a_c$ का सूत्र $a_c = \frac{v'^2}{r}$ है।
$v'^2$ का मान रखने पर,हमें $a_c = \frac{3rg}{r} = 3g$ प्राप्त होता है।

(D) गतिज ऊर्जा का सूत्र $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ है।
ऊर्ध्वाधर वृत्तीय गति को पूरा करने के लिए,निम्नतम बिंदु पर न्यूनतम वेग $v_l = \sqrt{5rg}$ होना चाहिए।
उच्चतम बिंदु पर न्यूनतम वेग $v_h = \sqrt{rg}$ होता है।
उच्चतम बिंदु पर गतिज ऊर्जा $(K.E.)_h = \frac{1}{2}m(v_h)^2 = \frac{1}{2}m(rg)$ है।
निम्नतम बिंदु पर गतिज ऊर्जा $(K.E.)_l = \frac{1}{2}m(v_l)^2 = \frac{1}{2}m(5rg)$ है।
अतः,उच्चतम बिंदु और निम्नतम बिंदु पर गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{(K.E.)_h}{(K.E.)_l} = \frac{\frac{1}{2}m(rg)}{\frac{1}{2}m(5rg)} = \frac{1}{5} = 0.2$ है।

(A) ऊर्ध्वाधर वृत्तीय गति में,कण पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण (एक संरक्षी बल) और तनाव (जो विस्थापन के लंबवत कार्य करता है) हैं। चूंकि तनाव द्वारा किया गया कार्य शून्य है और गुरुत्वाकर्षण एक संरक्षी बल है,इसलिए कण की कुल यांत्रिक ऊर्जा (गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग) पूरी गति के दौरान स्थिर रहती है। अतः,कुल ऊर्जा संरक्षित रहती है।

(B) मान लीजिए उच्चतम बिंदु पर गति $v_h$ है और निम्नतम बिंदु पर गति $v_l$ है।
उच्चतम बिंदु पर,तनाव $T_h = \frac{mv_h^2}{L} - mg$ द्वारा दिया जाता है।
निम्नतम बिंदु पर,तनाव $T_l = \frac{mv_l^2}{L} + mg$ द्वारा दिया जाता है।
उच्चतम और निम्नतम बिंदुओं के बीच ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करने पर: $\frac{1}{2}mv_l^2 = \frac{1}{2}mv_h^2 + mg(2L)$,जो सरल होकर $v_l^2 = v_h^2 + 4gL$ हो जाता है।
$T_l$ के व्यंजक में $v_l^2$ का मान रखने पर: $T_l = \frac{m(v_h^2 + 4gL)}{L} + mg = \frac{mv_h^2}{L} + 4mg + mg = \frac{mv_h^2}{L} + 5mg$.
दिया गया अनुपात $\frac{T_l}{T_h} = 3$ है,इसलिए $\frac{\frac{mv_h^2}{L} + 5mg}{\frac{mv_h^2}{L} - mg} = 3$.
मान लीजिए $x = \frac{v_h^2}{L}$ है। तो $\frac{x + 5g}{x - g} = 3 \implies x + 5g = 3x - 3g \implies 2x = 8g \implies x = 4g$.
चूंकि $x = \frac{v_h^2}{L}$,इसलिए $\frac{v_h^2}{L} = 4g$,जिससे $v_h^2 = 4gL$ प्राप्त होता है।
अतः,$v_h = 2\sqrt{gL}$.

(B) दिया गया है: अधिकतम तनाव $T_{max} = 3.7 \ kg \ wt = 3.7 \times 10 \ N = 37 \ N$. द्रव्यमान $m = 500 \ g = 0.5 \ kg$. त्रिज्या $r = 4 \ m$. $g = 10 \ m/s^2$.
ऊर्ध्वाधर वृत्ताकार गति में,पथ के सबसे निचले बिंदु पर तनाव अधिकतम होता है।
सबसे निचले बिंदु पर तनाव का सूत्र $T = mg + \frac{mv^2}{r}$ है।
मान रखने पर: $37 = (0.5 \times 10) + \frac{0.5 \times v^2}{4}$.
$37 = 5 + \frac{0.5 \times v^2}{4}$.
$32 = \frac{0.5 \times v^2}{4}$.
$128 = 0.5 \times v^2$.
$v^2 = 256$.
$v = 16 \ m/s$.
चूंकि $v = r\omega$,इसलिए $\omega = \frac{v}{r} = \frac{16}{4} = 4 \ rad/s$ प्राप्त होता है।

(B) किसी कण के लिए ऊर्ध्वाधर वृत्तीय गति पूर्ण करने हेतु,शीर्ष बिंदु $A$ पर न्यूनतम वेग $v_A = \sqrt{g\ell}$ होता है।
बिंदु $A$ और बिंदु $C$ के बीच ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{2}mv_A^2 + mg(2\ell) = \frac{1}{2}mv_C^2 + mg\ell$
$\frac{1}{2}m(g\ell) + 2mg\ell = \frac{1}{2}mv_C^2 + mg\ell$
$\frac{1}{2}g\ell + mg\ell = \frac{1}{2}mv_C^2$
$\frac{3}{2}g\ell = \frac{1}{2}v_C^2 \implies v_C^2 = 3g\ell$।
बिंदु $A$ पर अभिकेंद्र त्वरण $a_A = \frac{v_A^2}{\ell} = \frac{g\ell}{\ell} = g$ है।
बिंदु $C$ पर अभिकेंद्र त्वरण $a_C = \frac{v_C^2}{\ell} = \frac{3g\ell}{\ell} = 3g$ है।
अभिकेंद्र त्वरण में वृद्धि $\Delta a = a_C - a_A = 3g - g = 2g$ है।

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $= m$ $kg$,त्रिज्या $r = 49$ $cm = 0.49$ $m$,आवृत्ति $f = 30$ $rpm = 0.5$ $rev/s$।
कोणीय वेग $\omega = 2\pi f = 2 \times \pi \times 0.5 = \pi$ $rad/s$।
सबसे निचले बिंदु पर,तनाव $T = mg + mr\omega^2$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $T = m(10) + m(0.49)(\pi^2)$।
$\pi^2 = 10$ का उपयोग करने पर: $T = 10m + m(0.49)(10) = 10m + 4.9m = 14.9m$ $N$।
निकटतम पूर्णांक में,$T \approx 15m$ $N$।

(D) ऊर्ध्वाधर वृत्तीय गति में, डोरी में तनाव पथ के सबसे निचले बिंदु पर अधिकतम होता है।
सबसे निचले बिंदु पर बल का समीकरण: $T_{max} = m \omega_{max}^2 r + mg$ है।
दिया गया है: $T_{max} = 30 \,N$, $m = 0.5 \,kg$, $r = 2 \,m$, और $g = 10 \,m/s^2$।
समीकरण में मान रखने पर:
$30 = (0.5) \cdot \omega_{max}^2 \cdot (2) + (0.5) \cdot (10)$।
$30 = 1 \cdot \omega_{max}^2 + 5$।
$30 - 5 = \omega_{max}^2$।
$25 = \omega_{max}^2$।
$\omega_{max} = \sqrt{25} = 5 \,rad/s$।

(B) एक दृढ़ छड़ से जुड़े द्रव्यमान के लिए ऊर्ध्वाधर वृत्त को पूरा करने के लिए,निचले बिंदु पर न्यूनतम वेग यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण के नियम द्वारा निर्धारित किया जाता है।
निचले बिंदु पर,स्थितिज ऊर्जा $0$ है (निचले बिंदु को संदर्भ स्तर के रूप में लेते हुए)।
शीर्ष बिंदु पर,ऊँचाई $h = 2L$ है और वेग $v_{top} = 0$ हो सकता है क्योंकि छड़ सहारा प्रदान करती है (डोरी के विपरीत)।
ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए:
$E_{bottom} = E_{top}$
$\frac{1}{2} mv^2 = mg(2L) + \frac{1}{2} m(v_{top})^2$
न्यूनतम वेग के लिए,हम $v_{top} = 0$ रखते हैं:
$\frac{1}{2} mv^2 = 2mgL$
$v^2 = 4gL$
$v = 2 \sqrt{gL}$

(B) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,जब लोलक $90^{\circ}$ की स्थिति से माध्य स्थिति तक आता है,तो खोई हुई स्थितिज ऊर्जा प्राप्त गतिज ऊर्जा के बराबर होती है:
$mgl = \frac{1}{2} mv^2$
$v^2 = 2gl$
माध्य स्थिति पर,लोलक पर कार्य करने वाले बल तनाव $T$ (ऊपर की ओर) और भार $mg$ (नीचे की ओर) हैं। परिणामी बल आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है:
$T - mg = \frac{mv^2}{L}$
समीकरण में $v^2 = 2gl$ रखने पर:
$T - mg = \frac{m(2gl)}{L}$
$T - mg = 2mg$
$T = 3mg$
अतः,डोरी में अधिकतम तनाव $3mg$ है।

(D) ऊर्ध्वाधर वृत्त के निम्नतम बिंदु पर,डोरी में तनाव $T$ आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है और पिंड के भार को संतुलित करता है।
निम्नतम बिंदु पर तनाव का समीकरण $T = \frac{mv^2}{r} + mg$ है।
ऊर्ध्वाधर लूप को पूरा करने के लिए,निम्नतम बिंदु पर न्यूनतम वेग $v = \sqrt{5gr}$ होना चाहिए।
$v$ के इस मान को तनाव के समीकरण में रखने पर:
$T = \frac{m(\sqrt{5gr})^2}{r} + mg$
$T = \frac{m(5gr)}{r} + mg$
$T = 5mg + mg$
$T = 6mg$.
अतः,निम्नतम बिंदु पर आभासी भार (तनाव) $6mg$ है।

(C) मान लीजिए कि गोले का द्रव्यमान $m$ है और धागे की लंबाई $l$ है।
निलंबन बिंदु की ऊँचाई तक पहुँचने के लिए,गोले को $l$ के बराबर ऊर्ध्वाधर ऊँचाई तय करनी होगी।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,सबसे निचले बिंदु पर दी गई गतिज ऊर्जा,निलंबन बिंदु की ऊँचाई पर प्राप्त स्थितिज ऊर्जा के बराबर होनी चाहिए।
मान लीजिए कि गोले को दिया गया न्यूनतम क्षैतिज वेग $v$ है।
सबसे निचले बिंदु पर गतिज ऊर्जा = $\frac{1}{2}mv^2$।
निलंबन बिंदु की ऊँचाई पर स्थितिज ऊर्जा = $mgl$।
दोनों को बराबर करने पर: $\frac{1}{2}mv^2 = mgl$।
$v$ के लिए हल करने पर: $v^2 = 2gl$,जिससे $v = \sqrt{2gl}$ प्राप्त होता है।

(B) माना द्रव्यमान $m = 150 \ kg$ है और तार द्वारा सहन किया जा सकने वाला अधिकतम तनाव $T_{max} = 2940 \ N$ है।
जब भार सबसे निचले बिंदु (संतुलन स्थिति) पर होता है,तो तार में तनाव $T = mg + \frac{mv^2}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रश्न यह है कि $\theta$ कोण से मुक्त करने पर संतुलन स्थिति में तार न टूटे।
संतुलन स्थिति में,तनाव $T$ का मान $T_{max} = 2940 \ N$ से अधिक नहीं होना चाहिए।
$\theta$ कोण से संतुलन स्थिति तक ऊर्जा संरक्षण का उपयोग करने पर:
$mgL(1 - \cos \theta) = \frac{1}{2}mv^2 \Rightarrow mv^2 = 2mgL(1 - \cos \theta)$.
संतुलन स्थिति में तनाव $T = mg + \frac{mv^2}{L} = mg + 2mg(1 - \cos \theta) = mg(3 - 2 \cos \theta)$.
$T = T_{max}$ रखने पर:
$2940 = 150 \times 9.8 \times (3 - 2 \cos \theta)$.
$2940 = 1470 \times (3 - 2 \cos \theta)$.
$2 = 3 - 2 \cos \theta$.
$2 \cos \theta = 1 \Rightarrow \cos \theta = 0.5$.
अतः,$\theta = 60^{\circ}$.

(C) किसी पिंड के लिए ऊर्ध्वाधर वृत्ताकार गति को पूरा करने के लिए,उच्चतम बिंदु पर पिंड पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण $(mg)$ और अभिलंब प्रतिक्रिया $(N)$ हैं।
उच्चतम बिंदु पर,कुल अभिकेंद्र बल गुरुत्वाकर्षण और अभिलंब प्रतिक्रिया का योग होता है: $mg + N = \frac{mv^2}{r}$।
न्यूनतम गति ज्ञात करने के लिए,हम उस सीमांत स्थिति पर विचार करते हैं जहाँ पिंड के उच्चतम बिंदु से गुजरते ही अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ शून्य हो जाती है।
अतः,$mg = \frac{mv_{min}^2}{r}$।
$v_{min}$ के लिए हल करने पर,हमें $v_{min}^2 = gr$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $v_{min} = \sqrt{gr}$।
इसलिए,स्टंटमैन को ट्रैक के उच्चतम बिंदु पर जो न्यूनतम गति बनाए रखनी चाहिए,वह $\sqrt{gr}$ है।

(C) मान लीजिए कि नीचे वेग $u$ है और शीर्ष पर वेग $v$ है। नीचे तनाव $T_{max} = \frac{m u^2}{r} + mg$ है और शीर्ष पर तनाव $T_{min} = \frac{m v^2}{r} - mg$ है।
नीचे और शीर्ष के बीच ऊर्जा संरक्षण का उपयोग करने पर: $\frac{1}{2} m u^2 = \frac{1}{2} m v^2 + mg(2r) \Rightarrow u^2 = v^2 + 4rg$.
$u^2$ का मान $T_{max}$ के व्यंजक में रखने पर: $T_{max} = \frac{m(v^2 + 4rg)}{r} + mg = \frac{m v^2}{r} + 5mg$.
दिया गया है कि $\frac{T_{max}}{T_{min}} = 4$, इसलिए $\frac{\frac{m v^2}{r} + 5mg}{\frac{m v^2}{r} - mg} = 4$.
मान लीजिए $x = \frac{m v^2}{r}$. तब $\frac{x + 5mg}{x - mg} = 4 \Rightarrow x + 5mg = 4x - 4mg \Rightarrow 3x = 9mg \Rightarrow x = 3mg$.
इस प्रकार, $\frac{m v^2}{r} = 3mg \Rightarrow v^2 = 3rg$.
यहाँ $r = \frac{5}{3} \,m$ और $g = 10 \,ms^{-2}$ दिया गया है, इसलिए $v^2 = 3 \times \frac{5}{3} \times 10 = 50$.
अतः, $v = \sqrt{50} \,ms^{-1}$.

(C) वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल दिए गए बल द्वारा प्रदान किया जाता है: $\frac{mv^2}{r} = \frac{c}{r^2}$.
इससे,हमें गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{c}{2r}$ प्राप्त होती है।
स्थितिज ऊर्जा $U$ को $F = -\frac{dU}{dr}$ द्वारा परिभाषित किया जाता है,इसलिए $U = -\int F dr = -\int \frac{c}{r^2} dr = -\frac{c}{r}$.
कुल ऊर्जा $E$ गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग है: $E = K + U = \frac{c}{2r} - \frac{c}{r} = -\frac{c}{2r}$.

(B) माना उच्चतम बिंदु $A$ और निम्नतम बिंदु $B$ पर तनाव क्रमशः $T_A$ और $T_B$ हैं।
उच्चतम बिंदु $A$ पर,कण पर कार्य करने वाले बल तनाव $T_A$ (नीचे की ओर) और भार $mg$ (नीचे की ओर) हैं। शुद्ध अभिकेंद्र बल है:
$T_A + mg = \frac{mv_A^2}{r}$
दिया है $v_A = \sqrt{7gr}$,अतः:
$T_A + mg = \frac{m(7gr)}{r} = 7mg$
$T_A = 6mg$
बिंदु $A$ और $B$ के बीच ऊर्जा संरक्षण के नियम से:
$\frac{1}{2}mv_A^2 + mg(2r) = \frac{1}{2}mv_B^2$
$\frac{1}{2}m(7gr) + 2mgr = \frac{1}{2}mv_B^2$
$3.5mgr + 2mgr = 0.5mv_B^2$
$5.5mgr = 0.5mv_B^2 \Rightarrow v_B^2 = 11gr$
निम्नतम बिंदु $B$ पर,बल तनाव $T_B$ (ऊपर की ओर) और भार $mg$ (नीचे की ओर) हैं। शुद्ध अभिकेंद्र बल है:
$T_B - mg = \frac{mv_B^2}{r}$
$T_B = mg + \frac{m(11gr)}{r} = 12mg$
तनाव का अनुपात है:
$\frac{T_A}{T_B} = \frac{6mg}{12mg} = \frac{1}{2}$
अतः,अनुपात $1: 2$ है।

(B) ऊर्ध्वाधर वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = 4 \,m$ है और गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \,ms^{-2}$ है।
ऊर्ध्वाधर वृत्त में एक पूर्ण चक्कर पूरा करने के लिए सबसे निचले बिंदु पर आवश्यक न्यूनतम क्षैतिज गति $v$ का सूत्र $v = \sqrt{5gr}$ है।
सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर:
$v = \sqrt{5 \times 9.8 \times 4}$
$v = \sqrt{196}$
$v = 14 \,ms^{-1}$.
अतः, आवश्यक न्यूनतम क्षैतिज गति $14 \,ms^{-1}$ है।

(A) माना $L = 1 \,m$ लोलक की लंबाई है और $v_0 = 7 \,ms^{-1}$ निम्नतम बिंदु पर वेग है।
केंद्र से $h$ ऊँचाई पर किसी भी बिंदु पर, ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार वेग $v$ इस प्रकार है: $\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}mv^2 + mg(L+h)$.
मान रखने पर: $\frac{1}{2}(7)^2 = \frac{1}{2}v^2 + 10(1+h) \implies 24.5 = 0.5v^2 + 10 + 10h \implies v^2 = 29 - 20h$.
जब तनाव $T$ शून्य हो जाता है तो गोलक वृत्तीय पथ छोड़ देता है। $h$ ऊँचाई पर गति का समीकरण $T + mg \sin(\theta) = \frac{mv^2}{L}$ है, जहाँ $\sin(\theta) = \frac{h}{L} = h$.
$T=0$ रखने पर, हमें प्राप्त होता है $mg(h/L) = \frac{mv^2}{L} \implies v^2 = gh = 10h$.
$v^2$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $29 - 20h = 10h \implies 30h = 29 \implies h = \frac{29}{30} \approx 0.966 \,m$. दिए गए विकल्पों के अनुसार, निकटतम मान $0.95 \,m$ है।