Vertical Circular Motion Questions in Hindi

(D) किसी कण के लिए ऊर्ध्वाधर वृत्तीय गति को पूरा करने के लिए,उच्चतम बिंदु पर तनाव बल कम से कम शून्य होना चाहिए।
उच्चतम बिंदु पर,मोटरबाइक पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण बल $(mg)$ नीचे की ओर और अभिलंब प्रतिक्रिया $(N)$ नीचे की ओर हैं।
शुद्ध अभिकेंद्री बल इन बलों के योग द्वारा प्रदान किया जाता है: $mg + N = \frac{mv^2}{R}$।
न्यूनतम गति $(v_{min})$ ज्ञात करने के लिए,हम अभिलंब प्रतिक्रिया $N = 0$ रखते हैं।
अतः,$mg = \frac{mv_{min}^2}{R}$।
$v_{min}$ के लिए हल करने पर,हमें $v_{min}^2 = gR$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $v_{min} = \sqrt{gR}$।

(D) ऊर्ध्वाधर वृत्त के उच्चतम बिंदु पर,ब्लॉक पर कार्य करने वाले बल उसका भार $(mg)$ जो नीचे की ओर है और डोरी में तनाव $(T)$ जो नीचे की ओर है।
आवश्यक अभिकेंद्र बल $\frac{mv^2}{R} = T + mg$ द्वारा दिया जाता है।
उच्चतम बिंदु पर डोरी को तना हुआ रहने के लिए,तनाव $T$ कम से कम शून्य $(T \ge 0)$ होना चाहिए।
क्रांतिक स्थिति के लिए $T = 0$ रखने पर,हमें $\frac{mv^2}{R} = mg$ प्राप्त होता है।
$v$ के लिए हल करने पर,$v^2 = Rg$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $v = \sqrt{Rg}$।
अतः,उच्चतम बिंदु पर क्रांतिक चाल $\sqrt{Rg}$ है।

(A) ऊर्ध्वाधर वृत्त के उच्चतम बिंदु पर बाल्टी से पानी न गिरने की शर्त यह है कि अभिकेंद्री बल गुरुत्वाकर्षण बल के बराबर या उससे अधिक होना चाहिए।
उच्चतम बिंदु पर न्यूनतम वेग $v$ का सूत्र $v = \sqrt{gR}$ है।
यहाँ,त्रिज्या $R = 1.6\, m$ और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10\, m/s^2$ दिया गया है।
मान रखने पर: $v = \sqrt{10 \times 1.6} = \sqrt{16} = 4\, m/s$.
अतः,आवश्यक न्यूनतम गति $4\, m/s$ है।

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 1 \,kg$,त्रिज्या $r = 1 \,m$,चाल $v = 4 \,m/s$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \,m/s^2$.
आवश्यक अभिकेंद्र बल $F_c = \frac{mv^2}{r} = \frac{1 \times 4^2}{1} = 16 \,N$ है।
पत्थर का भार $W = mg = 1 \times 10 = 10 \,N$ है।
ऊर्ध्वाधर वृत्त के उच्चतम बिंदु पर तनाव $T_{top} = \frac{mv^2}{r} - mg$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $T_{top} = 16 \,N - 10 \,N = 6 \,N$.
चूंकि गणना किया गया तनाव दिए गए मान से मेल खाता है,इसलिए पत्थर वृत्त के उच्चतम बिंदु पर है।

(D) ऊर्ध्वाधर वृत्त के उच्चतम बिंदु पर पानी के नीचे न गिरने के लिए,अभिकेंद्र बल गुरुत्वाकर्षण बल के बराबर होना चाहिए।
उच्चतम बिंदु पर,क्रांतिक वेग की शर्त $v = \sqrt{gR}$ है।
चूंकि कोणीय वेग $\omega = v/R$ है,इसलिए $\omega = \sqrt{g/R}$ प्राप्त होता है।
आवर्तकाल $T = 2\pi / \omega = 2\pi \sqrt{R/g}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $R = 4 \ m$ और $g \approx 10 \ m/s^2$ लेने पर:
$T = 2\pi \sqrt{4/10} = 2\pi \times (2 / \sqrt{10}) \approx 2 \times 3.14 \times (2 / 3.16) \approx 4 \ s$.

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 2 \, kg$,डोरी की लंबाई $r = 1 \, m$,चाल $v = 4 \, m/s$,और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \, m/s^2$ है।
पत्थर का भार $mg = 2 \times 10 = 20 \, N$ है।
आवश्यक अभिकेंद्र बल $F_c = \frac{mv^2}{r} = \frac{2 \times (4)^2}{1} = 32 \, N$ है।
ऊर्ध्वाधर वृत्तीय गति में,किसी भी बिंदु पर तनाव $T = \frac{mv^2}{r} + mg \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ नीचे की ऊर्ध्वाधर रेखा के साथ बना कोण है।
वृत्त के निचले बिंदु पर,$\theta = 0^\circ$ होता है,इसलिए $T_{bottom} = \frac{mv^2}{r} + mg = 32 + 20 = 52 \, N$ होगा।
अतः,जब पत्थर वृत्त के सबसे निचले बिंदु पर होगा तब तनाव $52 \, N$ होगा।

(B) $R$ त्रिज्या के ऊर्ध्वाधर वृत्ताकार लूप को पूरा करने के लिए,लूप के निचले बिंदु पर न्यूनतम वेग $v = \sqrt{5gR}$ होना चाहिए।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,$h$ ऊँचाई पर स्थितिज ऊर्जा लूप के निचले बिंदु पर गतिज ऊर्जा के बराबर होनी चाहिए:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2$
$mgh = \frac{1}{2}m(5gR)$
$h = \frac{5}{2}R$
चूँकि व्यास $D = 2R$,इसलिए $R = \frac{D}{2}$ है।
$h$ के व्यंजक में $R$ का मान रखने पर:
$h = \frac{5}{2} \left( \frac{D}{2} \right) = \frac{5D}{4}$.

(B) जब लोलक को $90^{\circ}$ से छोड़ा जाता है,तो वह माध्य स्थिति तक आता है। ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,खोई हुई स्थितिज ऊर्जा प्राप्त गतिज ऊर्जा के बराबर होती है:
$mgl = \frac{1}{2}mv^2 \implies v^2 = 2gl$.
माध्य स्थिति पर,बॉब पर कार्य करने वाले बल तनाव $T$ (ऊपर की ओर) और भार $mg$ (नीचे की ओर) हैं। अभिकेंद्री बल:
$T - mg = \frac{mv^2}{l}$.
$v^2 = 2gl$ रखने पर:
$T - mg = \frac{m(2gl)}{l} = 2mg$.
$T = 2mg + mg = 3mg$.
अतः,डोरी की न्यूनतम मजबूती $3mg$ होनी चाहिए।

(A) ऊर्ध्वाधर वृत्ताकार गति में,धागे में तनाव पथ के सबसे निचले बिंदु पर अधिकतम होता है।
सबसे निचले बिंदु पर,गति का समीकरण है: $T_{max} = m \omega_{max}^2 r + mg$.
दिया गया है: $T_{max} = 30 \, N$,$m = 0.5 \, kg$,$r = 2 \, m$,और $g = 10 \, m/s^2$.
समीकरण में मान रखने पर: $30 = (0.5) \cdot \omega_{max}^2 \cdot 2 + (0.5) \cdot 10$.
$30 = \omega_{max}^2 + 5$.
$\omega_{max}^2 = 30 - 5 = 25$.
$\omega_{max} = \sqrt{25} = 5 \, rad/s$.

(B) मान लीजिए कि कण उच्चतम बिंदु $P$ पर है। जब यह ऊर्ध्वाधर से $\theta$ कोण पर घूमता है,तो उच्चतम बिंदु से इसकी ऊर्ध्वाधर दूरी $h = R - R \cos \theta$ होती है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,इस बिंदु पर गतिज ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा में हुई कमी के बराबर होती है:
$\frac{1}{2} m v^2 = m g h = m g R(1 - \cos \theta) \Rightarrow v^2 = 2 g R(1 - \cos \theta)$.
कण पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण $(m g)$ और अभिलंब प्रतिक्रिया $(N)$ हैं। त्रिज्यीय गति का समीकरण है:
$m g \cos \theta - N = \frac{m v^2}{R}$.
जब कण वृत्त को छोड़ता है,तो अभिलंब प्रतिक्रिया $N = 0$ होती है। इस मान को समीकरण में रखने पर:
$m g \cos \theta = \frac{m v^2}{R} \Rightarrow g \cos \theta = \frac{2 g R(1 - \cos \theta)}{R}$.
$\cos \theta = 2 - 2 \cos \theta \Rightarrow 3 \cos \theta = 2 \Rightarrow \cos \theta = \frac{2}{3}$.
$\cos \theta$ का मान $h$ के व्यंजक में रखने पर:
$h = R - R \cos \theta = R - R \left(\frac{2}{3}\right) = \frac{R}{3}$.

(B) ऊर्ध्वाधर वृत्तीय गति में,निम्नतम बिंदु से किसी भी कोण $\theta$ पर तार में तनाव $T$ का सूत्र $T = mg \cos \theta + \frac{mv^2}{r}$ होता है।
निम्नतम बिंदु पर,$\theta = 0^\circ$ होता है,इसलिए $\cos 0^\circ = 1$ होता है और वेग $v$ अधिकतम होता है। अतः,निम्नतम बिंदु पर तनाव $T$ अधिकतम होता है।
चूंकि तनाव निम्नतम बिंदु पर अधिकतम होता है,इसलिए इस स्थिति में तार के टूटने की संभावना सबसे अधिक होती है।

(A) धागा जो अधिकतम तनाव सहन कर सकता है वह $T_{max} = 3.7 \, kg \cdot wt = 3.7 \times 10 \, N = 37 \, N$ है।
ऊर्ध्वाधर वृत्तीय गति में,पथ के सबसे निचले बिंदु पर तनाव अधिकतम होता है।
सबसे निचले बिंदु पर तनाव का सूत्र $T = mg + m\omega^2r$ है।
दिया गया द्रव्यमान $m = 500 \, g = 0.5 \, kg$,त्रिज्या $r = 4 \, m$,और $g = 10 \, m/s^2$ है।
मान रखने पर: $37 = (0.5 \times 10) + (0.5 \times \omega^2 \times 4)$.
$37 = 5 + 2\omega^2$.
$32 = 2\omega^2$.
$\omega^2 = 16$.
$\omega = 4 \, rad/s$.

(C) उच्चतम बिंदु पर,कार्य करने वाले बल तनाव $T$ और भार $mg$ हैं,जो दोनों नीचे की ओर निर्देशित हैं। अभिकेंद्री बल इन बलों द्वारा प्रदान किया जाता है: $T + mg = \frac{mv_1^2}{l}$.
उच्चतम बिंदु पर डोरी के ढीले होने के लिए,तनाव $T$ शून्य होना चाहिए $(T = 0)$।
अतः,$mg = \frac{mv_1^2}{l}$,जिससे शीर्ष पर क्रांतिक वेग $v_1 = \sqrt{gl}$ प्राप्त होता है।
निम्नतम बिंदु (वेग $v_2$) और उच्चतम बिंदु (वेग $v_1$) के बीच ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए:
तली पर कुल ऊर्जा = शीर्ष पर कुल ऊर्जा।
निम्नतम बिंदु को स्थितिज ऊर्जा के लिए संदर्भ स्तर $(PE = 0)$ मानते हुए:
$\frac{1}{2}mv_2^2 + 0 = \frac{1}{2}mv_1^2 + mg(2l)$.
$v_1^2 = gl$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2}mv_2^2 = \frac{1}{2}m(gl) + 2mgl$.
$\frac{1}{2}mv_2^2 = \frac{5}{2}mgl$.
$v_2^2 = 5gl$.
$v_2 = \sqrt{5gl}$.

(A) माना पिंड का द्रव्यमान $m$ है और डोरी की लंबाई $l$ है। पिंड को माध्य स्थिति (निम्नतम बिंदु) पर क्षैतिज वेग $v$ दिया जाता है।
अपने प्रक्षेप पथ के उच्चतम बिंदु पर,ऊर्ध्वाधर के साथ कोण $\theta = 60^{\circ}$ है। इस बिंदु पर पिंड का वेग शून्य हो जाता है।
निम्नतम बिंदु और $60^{\circ}$ वाले बिंदु के बीच यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{2}mv^2 = mg(l - l\cos 60^{\circ})$
$\frac{1}{2}mv^2 = mgl(1 - 0.5) = 0.5mgl$
$v^2 = gl$
माध्य स्थिति (निम्नतम बिंदु) पर,तनाव $T$ का मान $T - mg = \frac{mv^2}{l}$ द्वारा दिया जाता है।
$v^2 = gl$ प्रतिस्थापित करने पर:
$T = mg + \frac{m(gl)}{l} = mg + mg = 2\,mg$.

(A) मान लीजिए कि उच्चतम बिंदु पर डोरी में तनाव $T$ है। ऊर्ध्वाधर वृत्तीय गति को पूरा करने के लिए उच्चतम बिंदु पर कण के लिए आवश्यक न्यूनतम गति $v = \sqrt{gr}$ है।
उच्चतम बिंदु पर,केंद्र की ओर कार्य करने वाले बल तनाव $T$ और भार $mg$ हैं। अभिकेंद्री बल इन बलों द्वारा प्रदान किया जाता है:
$\frac{mv^2}{r} = T + mg$
समीकरण में $v^2 = gr$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{m(gr)}{r} = T + mg$
$mg = T + mg$
$T = 0$
इस प्रकार,जब कण ऊर्ध्वाधर वृत्त को पूरा करने में सक्षम होता है,तो उच्चतम बिंदु पर तनाव शून्य होता है।

(C) ऊर्ध्वाधर वृत्त के सबसे निचले बिंदु पर,द्रव्यमान $m$ पर दो बल कार्य करते हैं: केंद्र की ओर ऊपर की दिशा में तनाव बल $T$ और नीचे की दिशा में भार बल $mg$।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,अभिकेंद्र त्वरण प्रदान करने वाला परिणामी बल $T - mg = \frac{mv^2}{r}$ है।
इस समीकरण को तनाव $T$ के लिए हल करने पर,हमें $T = \frac{mv^2}{r} + mg$ प्राप्त होता है।

(A) ऊर्ध्वाधर वृत्त को पूरा करने के लिए,पथ के निचले बिंदु पर न्यूनतम वेग $v_{\min}$ का सूत्र $v_{\min} = \sqrt{5gr}$ होता है।
यहाँ,त्रिज्या $r = 6.4 \, m$ और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \, m/s^2$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$v_{\min} = \sqrt{5 \times 10 \times 6.4}$
$v_{\min} = \sqrt{50 \times 6.4}$
$v_{\min} = \sqrt{320}$
$v_{\min} \approx 17.88 \, m/s$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $17.7 \, m/s$ है।

(D) पूर्ण ऊर्ध्वाधर वृत्त को पूरा करने के लिए,ब्लॉक को लूप के उच्चतम बिंदु पर ट्रैक के साथ संपर्क बनाए रखना चाहिए।
मान लीजिए कि $r$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ के उच्चतम बिंदु पर ब्लॉक का वेग $v_{top}$ है।
उच्चतम बिंदु पर,ब्लॉक पर कार्य करने वाले बल नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण $(mg)$ और ट्रैक द्वारा नीचे की ओर लगाया गया अभिलंब बल $(N)$ हैं।
गति का समीकरण है: $mg + N = \frac{mv_{top}^2}{r}$।
ब्लॉक के वृत्त को पूरा करने के लिए,अभिलंब बल कम से कम शून्य होना चाहिए $(N \ge 0)$।
$N = 0$ रखने पर,हमें शीर्ष पर न्यूनतम वेग मिलता है: $mg = \frac{mv_{top}^2}{r} \Rightarrow v_{top}^2 = gr$।
प्रारंभिक बिंदु ($h$ ऊँचाई पर) और लूप के उच्चतम बिंदु ($2r$ ऊँचाई पर) के बीच यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए:
प्रारंभिक ऊर्जा $(E_i)$ = अंतिम ऊर्जा $(E_f)$
$mgh = mg(2r) + \frac{1}{2}mv_{top}^2$
$v_{top}^2 = gr$ प्रतिस्थापित करने पर:
$mgh = 2mgr + \frac{1}{2}m(gr)$
$mgh = 2mgr + 0.5mgr = 2.5mgr$
$h = 2.5r = 5r/2$।
चूंकि ब्लॉक के पास वृत्त को पूरा करने के लिए कम से कम इतनी ऊर्जा होनी चाहिए,इसलिए शर्त $h \ge 5r/2$ है।

(A) डोरी से बंधे पत्थर को ऊर्ध्वाधर वृत्त पूरा करने के लिए,सबसे निचले बिंदु पर आवश्यक न्यूनतम चाल $v$ का सूत्र $v = \sqrt{5gr}$ है,जहाँ $g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $r$ डोरी की लंबाई है।
सूत्र $v = \sqrt{5gr}$ से यह स्पष्ट है कि चाल $v$ केवल गुरुत्वीय त्वरण $g$ और त्रिज्या (डोरी की लंबाई) $r$ पर निर्भर करती है।
यह पत्थर के द्रव्यमान $m$ पर निर्भर नहीं करती है। अतः,न्यूनतम चाल पत्थर के द्रव्यमान से स्वतंत्र है।

(C) किसी वस्तु के लिए ऊर्ध्वाधर वृत्तीय गति को पूरा करने के लिए,उच्चतम बिंदु पर डोरी में तनाव (या अभिलंब बल) कम से कम शून्य होना चाहिए।
उच्चतम बिंदु पर,प्लेन पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण बल $(mg)$ हैं जो नीचे की ओर कार्य करता है और अभिलंब बल $(N)$ जो नीचे की ओर कार्य करता है।
कुल अभिकेंद्र बल इन बलों के योग द्वारा प्रदान किया जाता है: $N + mg = \frac{mv^2}{r}$।
न्यूनतम वेग के लिए,हम अभिलंब बल $N = 0$ रखते हैं।
इस प्रकार,$mg = \frac{mv^2}{r}$।
$v$ के लिए हल करने पर,हमें $v^2 = gr$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $v = \sqrt{gr}$।

(D) ऊर्ध्वाधर वृत्त के सबसे निचले बिंदु पर,तनाव $T$ का मान $T = mg + F_c$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $F_c$ अभिकेंद्री बल है।
$T = mg + m\omega^2 r$.
कोणीय वेग $\omega$ (रेडियन प्रति सेकंड में) $\omega = \frac{2\pi n}{60} = \frac{\pi n}{30} \text{ rad/s}$ होता है।
$\omega$ का मान तनाव के समीकरण में रखने पर:
$T = mg + m \left( \frac{\pi n}{30} \right)^2 r$.
$T = mg + m \left( \frac{\pi^2 n^2}{900} \right) r$.
$T = m \left\{ g + \frac{\pi^2 n^2 r}{900} \right\}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) किसी वस्तु के लिए $h$ ऊँचाई से विरामावस्था से शुरू करके एक ऊर्ध्वाधर वृत्ताकार लूप को पूरा करने के लिए,आवश्यक न्यूनतम ऊँचाई का सूत्र $h = \frac{5}{2}r$ है,जहाँ $r$ लूप की त्रिज्या है।
दिया गया है कि प्रारंभिक ऊँचाई $h = 5 \, m$ है।
सूत्र में $h$ का मान रखने पर:
$5 = \frac{5}{2}r$
$r = \frac{5 \times 2}{5}$
$r = 2 \, m$
अतः,लूप की त्रिज्या $2 \, m$ होनी चाहिए।

(B) उच्चतम बिंदु पर,क्रांतिक चाल $v_{top} = \sqrt{gr}$ होती है।
उच्चतम बिंदु और क्षैतिज स्थिति के बीच ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करने पर:
$E_{top} = E_{horizontal}$
$\frac{1}{2}mv_{top}^2 + mg(2r) = \frac{1}{2}mv_{hor}^2 + mgr$
$\frac{1}{2}m(gr) + 2mgr = \frac{1}{2}mv_{hor}^2 + mgr$
$\frac{1}{2}gr + mgr = \frac{1}{2}v_{hor}^2$
$\frac{3}{2}gr = \frac{1}{2}v_{hor}^2 \implies v_{hor}^2 = 3gr$.
अभिकेंद्र त्वरण $a_c = \frac{v^2}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
$v_{hor}^2$ का मान रखने पर:
$a_c = \frac{3gr}{r} = 3g$.

(C) ऊर्ध्वाधर वृत्त में गति कर रहे कण के लिए निम्नतम बिंदु से $\theta$ कोण पर डोरी में तनाव का सूत्र $T = \frac{mv^2}{r} + mg \cos \theta$ है।
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार, $\theta$ कोण पर वेग $v$ और निम्नतम बिंदु पर वेग $u$ के बीच संबंध $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mu^2 - mgr(1 - \cos \theta)$ है।
तनाव के समीकरण में $v^2$ का मान रखने पर, हमें $T = \frac{m}{r}(u^2 - 2gr(1 - \cos \theta)) + mg \cos \theta = \frac{mu^2}{r} - 2mg + 3mg \cos \theta$ प्राप्त होता है।
चूंकि $T$, $\cos \theta$ का फलन है, और $\cos 30^\circ > \cos 60^\circ$ है, इसलिए $T_1 > T_2$ सिद्ध होता है।

(C) गोले का व्यास $D = 42\, m$ है,इसलिए त्रिज्या $r = D/2 = 21\, m$ है।
मान लीजिए कि कण ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण पर गोले को छोड़ता है। जिस बिंदु पर यह छूटता है,वहाँ अभिलंब प्रतिक्रिया $N = 0$ होती है।
गुरुत्वाकर्षण का त्रिज्यीय घटक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है: $mg \cos \theta = \frac{mv^2}{r}$,इसलिए $v^2 = rg \cos \theta$।
शीर्ष से छूटने के बिंदु तक ऊर्जा संरक्षण के नियम से: $mg r = mg r \cos \theta + \frac{1}{2} mv^2$।
$v^2 = rg \cos \theta$ को प्रतिस्थापित करने पर: $mgr = mgr \cos \theta + \frac{1}{2} mgr \cos \theta$।
$1 = \cos \theta + \frac{1}{2} \cos \theta = \frac{3}{2} \cos \theta$,जिससे $\cos \theta = 2/3$ प्राप्त होता है।
केंद्र से ऊँचाई $h = r \cos \theta = 21 \times (2/3) = 14\, m$ है।
तल से ऊँचाई $H = r + h = 21 + 14 = 35\, m$ होगी।

(D) ऊर्ध्वाधर वृत्त के उच्चतम बिंदु पर तनाव $T$ का सूत्र $T = m\omega^2r - mg$ है।
दिया गया है: द्रव्यमान $m = 0.4\, kg$,आवृत्ति $n = 2\, rev/sec$,त्रिज्या $r = 2\, m$,और गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8\, m/s^2$.
कोणीय वेग $\omega = 2\pi n = 2 \times \pi \times 2 = 4\pi\, rad/s$.
मान रखने पर:
$T = 0.4 \times (4\pi)^2 \times 2 - 0.4 \times 9.8$
$T = 0.4 \times 16 \times \pi^2 \times 2 - 3.92$
गणना करने पर,$T \approx 115.86\, N$ प्राप्त होता है।

(C) ऊर्ध्वाधर वृत्त के उच्चतम बिंदु पर बाल्टी से पानी न गिरे,इसके लिए अभिकेंद्री बल का मान गुरुत्वाकर्षण बल के बराबर या उससे अधिक होना चाहिए।
$m\omega^2 R \ge mg$
$\omega^2 \ge g/R$
$\omega_{\min} = \sqrt{g/R}$
समय-काल $T$ का सूत्र $T = 2\pi / \omega$ है।
अधिकतम समय-काल $T_{\max}$ ज्ञात करने के लिए,हम न्यूनतम कोणीय वेग $\omega_{\min}$ का उपयोग करते हैं।
$T_{\max} = 2\pi \sqrt{R/g}$
यहाँ $R = 2\,m$ और $g = 10\,m/s^2$ दिया गया है:
$T_{\max} = 2\pi \sqrt{2/10} = 2\pi \sqrt{1/5} = 2\pi / \sqrt{5}$
$\pi \approx 3.14$ और $\sqrt{5} \approx 2.236$ का उपयोग करने पर:
$T_{\max} = 2 \times 3.14 / 2.236 \approx 6.28 / 2.236 \approx 2.81\,s$.
निकटतम पूर्णांक में,हमें $3\,s$ प्राप्त होता है।

(A) अचर चाल $v$ के साथ ऊर्ध्वाधर वृत्तीय गति में,निम्नतम बिंदु पर तनाव $T_{\max} = \frac{mv^2}{r} + mg$ और उच्चतम बिंदु पर तनाव $T_{\min} = \frac{mv^2}{r} - mg$ होता है।
दिए गए अनुपात $\frac{T_{\max}}{T_{\min}} = \frac{5}{3}$ के अनुसार:
$\frac{\frac{mv^2}{r} + mg}{\frac{mv^2}{r} - mg} = \frac{5}{3}$
तिर्यक गुणा करने पर: $3(\frac{mv^2}{r} + mg) = 5(\frac{mv^2}{r} - mg)$
$3\frac{mv^2}{r} + 3mg = 5\frac{mv^2}{r} - 5mg$
$8mg = 2\frac{mv^2}{r}$
$4gr = v^2$
$v = \sqrt{4gr} = \sqrt{4 \times 9.8 \times 2.5} = \sqrt{98} \, m/s$.

(A) माना पिंड का द्रव्यमान $m = 1\, kg$ है और वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = 1\, m$ है। माना $g = 10\, m/s^2$ है।
निम्नतम बिंदु पर स्थितिज ऊर्जा $0$ है और उच्चतम बिंदु पर स्थितिज ऊर्जा $mg(2r) = 2mgr$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,निम्नतम बिंदु पर कुल ऊर्जा = उच्चतम बिंदु पर कुल ऊर्जा: $KE_{low} + PE_{low} = KE_{high} + PE_{high}$।
$KE_{low} + 0 = KE_{high} + 2mgr$।
अतः,गतिज ऊर्जाओं के बीच का अंतर $KE_{low} - KE_{high} = 2mgr$ है।
मान रखने पर: $2 \times 1\, kg \times 10\, m/s^2 \times 1\, m = 20\, J$।

(D) ऊर्ध्वाधर वृत्त में गति करते हुए पत्थर के लिए अधिकतम तनाव $T_{max}$ निचले बिंदु पर और न्यूनतम तनाव $T_{min}$ उच्चतम बिंदु पर होता है।
तनाव के लिए व्यंजक:
$T_{max} = \frac{mv_B^2}{L} + mg$
$T_{min} = \frac{mv_T^2}{L} - mg$
दिया गया अनुपात $\frac{T_{max}}{T_{min}} = 4$ है,इसलिए:
$\frac{\frac{mv_B^2}{L} + mg}{\frac{mv_T^2}{L} - mg} = 4$
उच्चतम और निम्नतम बिंदुओं के बीच ऊर्जा संरक्षण का नियम उपयोग करने पर:
$\frac{1}{2}mv_B^2 = \frac{1}{2}mv_T^2 + mg(2L)$
$v_B^2 = v_T^2 + 4gL$
$v_B^2$ का मान तनाव अनुपात समीकरण में रखने पर:
$\frac{v_T^2 + 4gL + gL}{v_T^2 - gL} = 4$
$\frac{v_T^2 + 5gL}{v_T^2 - gL} = 4$
$v_T^2 + 5gL = 4v_T^2 - 4gL$
$3v_T^2 = 9gL$
$v_T^2 = 3gL$
$g = 10\, m/s^2$ और $L = \frac{10}{3}\, m$ का मान रखने पर:
$v_T^2 = 3 \times 10 \times \frac{10}{3} = 100$
$v_T = 10\, m/s$.

(D) मान लीजिए कि सबसे निचला बिंदु $A$ है और क्षैतिज स्थिति $B$ है। $A$ पर, वेग $\vec{u} = u \hat{i}$ है。
$A$ और $B$ के बीच ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{2}mu^2 = \frac{1}{2}mv^2 + mgL$
$v^2 = u^2 - 2gL$
$v = \sqrt{u^2 - 2gL}$.
स्थिति $B$ पर, वेग ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर है, इसलिए $\vec{v} = v \hat{j} = \sqrt{u^2 - 2gL} \hat{j}$ है。
वेग में परिवर्तन $\Delta \vec{v} = \vec{v} - \vec{u} = v \hat{j} - u \hat{i}$ है。
वेग में परिवर्तन का परिमाण $|\Delta \vec{v}| = \sqrt{v^2 + u^2} = \sqrt{(u^2 - 2gL) + u^2} = \sqrt{2u^2 - 2gL} = \sqrt{2(u^2 - gL)}$ है।

(D) जब कोई पिंड $h$ ऊँचाई से विरामावस्था से शुरू होकर $R$ त्रिज्या के ऊर्ध्वाधर वृत्ताकार लूप को सफलतापूर्वक पूरा करता है,तो आवश्यक न्यूनतम ऊँचाई ऊर्जा संरक्षण और लूप के शीर्ष पर अभिलंब बल के शून्य न होने की शर्त से प्राप्त होती है।
लूप के शीर्ष पर,आवश्यक न्यूनतम वेग $v = \sqrt{gR}$ है।
$A$ बिंदु और लूप के शीर्ष के बीच ऊर्जा संरक्षण का नियम लागू करने पर:
$mgh = mg(2R) + \frac{1}{2}mv^2$
$mgh = 2mgR + \frac{1}{2}m(gR)$
$h = 2R + 0.5R = 2.5R = \frac{5}{2}R$
यहाँ $h = 5\, cm$ दिया गया है,इसलिए:
$5 = \frac{5}{2}R$
$R = 2\, cm$.
अतः,पिंड द्वारा लूप को पूरा करने के लिए $R$ का अधिकतम मान $2\, cm$ है।

(B) निम्नतम बिंदु और उच्चतम बिंदु के बीच गतिज ऊर्जा का अंतर इन दो बिंदुओं के बीच स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
निम्नतम बिंदु पर,ऊँचाई $h_1 = 0$ है।
उच्चतम बिंदु पर,ऊँचाई $h_2 = 2R$ है।
स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = mg(h_2 - h_1) = mg(2R - 0) = 2mgR$ है।
दी गई त्रिज्या $R = 20 \ cm = 0.2 \ m$ है।
अतः,$\Delta K = 2 \times mg \times 0.2 = 0.4 \ mg \ J$।

(B) जब एक सरल लोलक ऊर्ध्वाधर अर्धवृत्त पूरा करता है,तो सबसे निचले (माध्य) बिंदु पर उसका वेग $v$ ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत द्वारा दिया जाता है।
उच्चतम बिंदु पर स्थितिज ऊर्जा $mgl$ होती है,जो सबसे निचले बिंदु पर गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2}mv^2$ में परिवर्तित हो जाती है।
अतः,$\frac{1}{2}mv^2 = mgl$.
$v = \sqrt{2gl}$.
दिया गया है: $l = 75 \, cm = 0.75 \, m$ और $g = 9.8 \, m/s^2$.
$v = \sqrt{2 \times 9.8 \times 0.75}$.
$v = \sqrt{14.7} \, m/s$.

(D) टक्कर के दौरान रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$m v = m(v/2) + M v_1$,जहाँ $v_1$ पेंडुलम बॉब द्वारा प्राप्त वेग है।
$M v_1 = m(v - v/2) = mv/2$
$v_1 = \frac{m}{2M} v$
पेंडुलम बॉब के पूर्ण ऊर्ध्वाधर वृत्त को पूरा करने के लिए,सबसे निचले बिंदु पर न्यूनतम वेग $v_1 = \sqrt{5g\ell}$ होना चाहिए।
$v_1$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{m}{2M} v = \sqrt{5g\ell}$
$v = \frac{2M}{m} \sqrt{5g\ell}$

(C) मान लीजिए $T_L$ सबसे निचले बिंदु पर तनाव है और $T_H$ सबसे ऊपरी बिंदु पर तनाव है।
सबसे निचले बिंदु पर,कुल बल अभिकेंद्र त्वरण प्रदान करता है: $T_L - mg = \frac{mv_L^2}{l} \implies T_L = mg + \frac{mv_L^2}{l}$.
सबसे ऊपरी बिंदु पर,कुल बल अभिकेंद्र त्वरण प्रदान करता है: $T_H + mg = \frac{mv_H^2}{l} \implies T_H = \frac{mv_H^2}{l} - mg$.
सबसे निचले बिंदु (ऊंचाई $0$) और सबसे ऊपरी बिंदु (ऊंचाई $2l$) के बीच ऊर्जा संरक्षण का नियम लागू करने पर: $\frac{1}{2}mv_L^2 = \frac{1}{2}mv_H^2 + mg(2l) \implies v_L^2 = v_H^2 + 4gl$.
$T_L$ के व्यंजक में $v_L^2$ का मान रखने पर: $T_L = mg + \frac{m(v_H^2 + 4gl)}{l} = mg + \frac{mv_H^2}{l} + 4mg = 5mg + \frac{mv_H^2}{l}$.
अब,तनाव में अंतर है: $T_L - T_H = (5mg + \frac{mv_H^2}{l}) - (\frac{mv_H^2}{l} - mg) = 5mg + mg = 6mg$.

(D) $r$ त्रिज्या का ऊर्ध्वाधर लूप पूरा करने के लिए,लूप के शीर्ष पर न्यूनतम वेग $v_{top} = \sqrt{gr}$ होना चाहिए।
प्रारंभिक बिंदु (ऊँचाई $H$) और लूप के शीर्ष (ऊँचाई $2r$) के बीच ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए:
$mgH = mg(2r) + \frac{1}{2}mv_{top}^2$
$mgH = 2mgr + \frac{1}{2}m(gr)$
$H = 2.5r = \frac{5r}{2}$.
चित्र के अनुसार,यदि $h$ लूप के शीर्ष की ऊँचाई है,तो $H = 2r + h$ के रूप में संबंध स्थापित करने पर:
$2.5r = 2r + h \implies 0.5r = h \implies r = 2h$.
अतः $H = 2.5(2h) = 5h$.
इस प्रकार,$H/h = 5$.

(C) माना गोले की त्रिज्या $r$ है। दिया गया व्यास $D = 42 \, m$ है,इसलिए $r = 21 \, m$ है।
जब कण संपर्क छोड़ता है,तो अभिलंब बल $N = 0$ होता है।
इस बिंदु पर,गुरुत्वाकर्षण का घटक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है: $mg \cos \theta = \frac{mv^2}{r}$,इसलिए $v^2 = rg \cos \theta$।
गोले के शीर्ष से संपर्क छूटने के बिंदु तक ऊर्जा संरक्षण के नियम से:
$mg(2r) = mg(r + r \cos \theta) + \frac{1}{2}mv^2$।
$v^2 = rg \cos \theta$ प्रतिस्थापित करने पर:
$2mgr = mgr(1 + \cos \theta) + \frac{1}{2}mgr \cos \theta$।
$2 = 1 + \cos \theta + \frac{1}{2} \cos \theta$।
$1 = \frac{3}{2} \cos \theta \implies \cos \theta = \frac{2}{3}$।
केंद्र से ऊँचाई $x = r \cos \theta = r(\frac{2}{3}) = \frac{2}{3}r$ है।
तल से ऊँचाई $h = r + x = r + \frac{2}{3}r = \frac{5}{3}r$ है।
$h = \frac{5}{3} \times 21 = 35 \, m$।

(A) ऊर्ध्वाधर वृत्त के उच्चतम बिंदु पर पानी न गिरे,इसके लिए अभिकेंद्र बल गुरुत्वाकर्षण बल के बराबर या उससे अधिक होना चाहिए।
$mv^2 / r = mg$
$v^2 = rg$
$v = \sqrt{rg}$
यहाँ $r = 1.6 \, m$ और $g = 10 \, m/s^2$ दिया गया है।
$v = \sqrt{1.6 \times 10} = \sqrt{16} = 4 \, m/s$.
अतः,आवश्यक न्यूनतम वेग $4 \, m/s$ है।

(D) ऊर्ध्वाधर वृत्तीय गति में,वृत्त को पूरा करने के लिए उच्चतम बिंदु $A$ पर आवश्यक न्यूनतम वेग $v_A = \sqrt{gr}$ होता है।
बिंदु $A$ और बिंदु $B$ (क्षैतिज स्थिति) के बीच ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{2}mv_A^2 + mg(2r) = \frac{1}{2}mv_B^2 + mgr$
$\frac{1}{2}mgr + 2mgr = \frac{1}{2}mv_B^2 + mgr$
$\frac{3}{2}mgr = \frac{1}{2}mv_B^2 \implies v_B = \sqrt{3gr}$.
बिंदु $A$ और बिंदु $C$ (निम्नतम बिंदु) के बीच ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{2}mv_A^2 + mg(2r) = \frac{1}{2}mv_C^2 + 0$
$\frac{1}{2}mgr + 2mgr = \frac{1}{2}mv_C^2$
$\frac{5}{2}mgr = \frac{1}{2}mv_C^2 \implies v_C = \sqrt{5gr}$.
अतः,वेग का अनुपात $v_A : v_B : v_C = \sqrt{gr} : \sqrt{3gr} : \sqrt{5gr} = 1 : \sqrt{3} : \sqrt{5}$ है।

(B) ऊर्ध्वाधर वृत्तीय गति को पूरा करने के लिए निम्नतम बिंदु पर आवश्यक न्यूनतम वेग का सूत्र $v = \sqrt{5gr}$ है,जहाँ $g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $r$ डोरी की लंबाई है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $v \propto \sqrt{r}$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक लंबाई $r_1 = r$ और प्रारंभिक वेग $v_1 = v$ है।
मान लीजिए नई लंबाई $r_2 = r/4$ और नया वेग $v_2$ है।
समानुपातिकता $v_2 / v_1 = \sqrt{r_2 / r_1}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$v_2 / v = \sqrt{(r/4) / r} = \sqrt{1/4} = 1/2$.
अतः,नया वेग $v_2 = v/2$ होगा।

(B) किसी वस्तु द्वारा $r$ त्रिज्या के ऊर्ध्वाधर वृत्ताकार लूप को पूरा करने के लिए,वह न्यूनतम ऊँचाई $h$ जहाँ से उसे छोड़ा जाना चाहिए,ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत द्वारा दी जाती है।
लूप के शीर्ष पर,आवश्यक न्यूनतम वेग $v = \sqrt{gr}$ है।
प्रारंभिक बिंदु और लूप के शीर्ष के बीच ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करने पर:
$mgh = mg(2r) + \frac{1}{2}mv^2$
$mgh = 2mgr + \frac{1}{2}m(gr)$
$mgh = 2mgr + 0.5mgr = 2.5mgr$
$h = 2.5r = \frac{5}{2}r$
चूँकि व्यास $D = 2r$ है,इसलिए $r = \frac{D}{2}$ होगा।
$h$ के व्यंजक में $r$ का मान रखने पर:
$h = \frac{5}{2} \left( \frac{D}{2} \right) = \frac{5D}{4}$

(D) ऊर्ध्वाधर वृत्त के उच्चतम बिंदु पर पानी को गिरने से रोकने के लिए,अभिकेंद्र बल कम से कम गुरुत्वाकर्षण बल के बराबर होना चाहिए।
उच्चतम बिंदु पर,पानी न गिरने की शर्त $mg = m\omega^2 r$ है,जहाँ $r = 4 \ m$ त्रिज्या (डोरी की लंबाई) है और $\omega$ कोणीय वेग है।
$\omega = \frac{2\pi}{T}$ का उपयोग करने पर,हमें $g = \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 r$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर ($g = 10 \ m/s^2$ और $r = 4 \ m$):
$10 = \frac{4\pi^2}{T^2} \times 4$.
$\pi^2 \approx 10$ मानने पर,$10 = \frac{4 \times 10 \times 4}{T^2}$ प्राप्त होता है।
$10 = \frac{160}{T^2} \implies T^2 = 16$.
अतः,$T = 4 \ s$.

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 2 \, kg$,त्रिज्या $r = 1 \, m$,चाल $v = 5 \, m/s$,$g = 10 \, m/s^2$.
अभिकेंद्र बल $F_c = \frac{mv^2}{r} = \frac{2 \times (5)^2}{1} = 50 \, N$.
भार $W = mg = 2 \times 10 = 20 \, N$.
वृत्त के निम्नतम बिंदु पर,तनाव $T$ का मान $T = F_c + mg = 50 + 20 = 70 \, N$ होता है।
अतः,डोरी में तनाव $70 \, N$ वृत्त के निम्नतम बिंदु पर होगा।

(A) ऊर्ध्वाधर वृत्तीय गति में,गतिज ऊर्जा सबसे निचले बिंदु पर अधिकतम $(K_{max})$ और सबसे ऊंचे बिंदु पर न्यूनतम $(K_{min})$ होती है।
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,सबसे निचले बिंदु और सबसे ऊंचे बिंदु पर गतिज ऊर्जा का अंतर स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$K_{max} - K_{min} = \Delta U = mg(h_{max} - h_{min}) = mg(2r)$.
दिया गया है: $m = 2 \, kg$,$r = 2 \, m$,और $g = 10 \, m/s^2$ लेने पर।
$K_{max} - K_{min} = 2 \times 10 \times (2 \times 2) = 2 \times 10 \times 4 = 80 \, J$.

(C) ऊर्ध्वाधर तल में एक पूर्ण वृत्त पूरा करने के लिए,सबसे निचले बिंदु पर आवश्यक न्यूनतम वेग $v$ का सूत्र $v = \sqrt{5gl}$ है।
सबसे निचले बिंदु पर गतिज ऊर्जा $K$ का सूत्र $K = \frac{1}{2}mv^2$ है।
गतिज ऊर्जा के सूत्र में $v$ का मान रखने पर:
$K = \frac{1}{2}m(\sqrt{5gl})^2$
$K = \frac{1}{2}m(5gl)$
$K = 2.5\;mgl$.

(C) $R$ त्रिज्या का ऊर्ध्वाधर वृत्त पूरा करने के लिए,निम्नतम बिंदु $A$ पर न्यूनतम गति $v_A = \sqrt{5gR}$ होनी चाहिए।
दिया गया है कि वृत्त का व्यास $D$ है,इसलिए त्रिज्या $R = \frac{D}{2}$ है।
वेग समीकरण में $R$ का मान रखने पर,हमें $v_A = \sqrt{5g \left(\frac{D}{2}\right)} = \sqrt{\frac{5gD}{2}}$ प्राप्त होता है।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,$h$ ऊँचाई पर स्थितिज ऊर्जा बिंदु $A$ पर गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है:
$mgh = \frac{1}{2}mv_A^2$
$gh = \frac{1}{2}v_A^2$
$v_A^2 = \frac{5gD}{2}$ का मान रखने पर:
$gh = \frac{1}{2} \left(\frac{5gD}{2}\right)$
$h = \frac{5D}{4}$

(B) ऊर्ध्वाधर लूप को पूरा करने के लिए,वस्तु को उच्चतम बिंदु $C$ पर न्यूनतम वेग बनाए रखना चाहिए ताकि डोरी में तनाव $T_C$ (या अभिलंब बल) कम से कम शून्य हो।
उच्चतम बिंदु $C$ पर,वस्तु पर कार्य करने वाले बल नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण $(mg)$ और नीचे की ओर तनाव $(T_C)$ हैं। अभिकेंद्री बल इन बलों के योग द्वारा प्रदान किया जाता है:
$T_C + mg = \frac{mv_C^2}{R}$
न्यूनतम वेग के लिए,हम $T_C = 0$ रखते हैं,जो देता है:
$mg = \frac{mv_C^2}{R} \Rightarrow v_C = \sqrt{gR}$
अब,हम निम्नतम बिंदु $A$ और उच्चतम बिंदु $C$ के बीच यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण का नियम लागू करते हैं। मान लीजिए $v_0$ बिंदु $A$ पर वेग है:
$A$ पर कुल ऊर्जा = $C$ पर कुल ऊर्जा
$\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}mv_C^2 + mg(2R)$
$v_C^2 = gR$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}m(gR) + 2mgR$
$\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{5}{2}mgR$
$v_0^2 = 5gR$
$v_0 = \sqrt{5gR}$