Vertical Circular Motion Questions in Hindi

(A) माना पिंड का द्रव्यमान $m$ है। बिंदु $A$ पर,अभिलंब बल $N$ वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है। चूँकि भार $mg$ ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है और अभिलंब बल केंद्र $O$ की ओर क्षैतिज रूप से कार्य करता है,इसलिए $A$ पर पिंड पर लगने वाला कुल बल $N$ और $mg$ का सदिश योग है।
कुल बल का परिमाण $F_A = \sqrt{N^2 + (mg)^2}$ है।
दिया गया है $F_A = \sqrt{2} mg$,इसलिए $\sqrt{N^2 + (mg)^2} = \sqrt{2} mg$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$N^2 + m^2g^2 = 2m^2g^2$,जिससे $N^2 = m^2g^2$ प्राप्त होता है,अतः $N = mg$ है।
$A$ पर अभिकेंद्र बल का समीकरण $N = \frac{mv_A^2}{R}$ है,इसलिए $mg = \frac{mv_A^2}{R}$,जिसका अर्थ है $v_A^2 = Rg$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रारंभिक बिंदु $P$ ($H$ ऊँचाई) पर कुल ऊर्जा बिंदु $A$ ($R$ ऊँचाई) पर कुल ऊर्जा के बराबर होती है:
$mgH = \frac{1}{2}mv_A^2 + mgR$ है।
$v_A^2 = Rg$ प्रतिस्थापित करने पर:
$mgH = \frac{1}{2}m(Rg) + mgR = \frac{3}{2}mgR$ है।
अतः,$H = \frac{3}{2}R$ है।

(B) ऊर्ध्वाधर वृत्ताकार पथ के उच्चतम बिंदु पर,यात्री पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ (नीचे की ओर) और अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ (नीचे की ओर) हैं।
वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक कुल अभिकेंद्र बल इन बलों के योग द्वारा प्रदान किया जाता है:
$N + mg = \frac{mv^2}{R}$
यात्री के नीचे न गिरने के लिए,न्यूनतम शर्त यह है कि शीर्ष बिंदु पर अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ शून्य हो जाए।
$N = 0$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$mg = \frac{mv^2}{R}$
$v^2 = gR$
$v = \sqrt{gR}$
यहाँ $g = 10 \ m \ s^{-2}$ और $R = 10 \ m$ दिया गया है,इन मानों को रखने पर:
$v = \sqrt{10 \times 10} = \sqrt{100} = 10 \ m \ s^{-1}$.
अतः,आवश्यक न्यूनतम गति $10 \ m \ s^{-1}$ है।

(C) नत समतल के निचले बिंदु $(P)$ पर, गेंद की स्थितिज ऊर्जा गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है:
$\frac{1}{2} m v^2 = m g h$
$\Rightarrow v = \sqrt{2 g h} \quad \dots (i)$
ऊर्ध्वाधर वृत्तीय गति को पूरा करने के लिए, निचले बिंदु पर गेंद का वेग कम से कम $\sqrt{5 g R}$ होना चाहिए।
$\Rightarrow v \geq \sqrt{5 g R}$
समीकरण $(i)$ से $v$ का मान रखने पर:
$\sqrt{2 g h} \geq \sqrt{5 g R}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$2 g h \geq 5 g R$
$h \geq \frac{5}{2} R$
यहाँ $R = 20 \,cm$ दिया गया है, अतः न्यूनतम ऊँचाई $h_{\min}$ है:
$h_{\min} = \frac{5}{2} \times 20 \,cm = 50 \,cm$

(D) जब कोई कण ऊर्ध्वाधर वृत्त में गति करता है,तो लूप को पूरा करने के लिए उच्चतम बिंदु पर आवश्यक न्यूनतम गति का सूत्र है:
$v_{\min} = \sqrt{gR}$
इस व्यंजक से,हम देख सकते हैं कि न्यूनतम गति त्रिज्या के वर्गमूल के सीधे आनुपातिक है:
$v_{\min} \propto \sqrt{R}$
मान लीजिए प्रारंभिक त्रिज्या $R_1 = R$ है और प्रारंभिक न्यूनतम गति $(v_{\min})_1 = v$ है।
मान लीजिए नई त्रिज्या $R_2 = 2R$ है और नई न्यूनतम गति $(v_{\min})_2$ है।
आनुपातिकता संबंध का उपयोग करते हुए:
$\frac{(v_{\min})_1}{(v_{\min})_2} = \sqrt{\frac{R_1}{R_2}}$
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{v}{(v_{\min})_2} = \sqrt{\frac{R}{2R}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
नई न्यूनतम गति के लिए हल करने पर:
$(v_{\min})_2 = \sqrt{2}v$

(B) दिया गया है: कठोर तार की लंबाई $l = 1 \,m$, गेंद का द्रव्यमान $m = 500 \,g = 0.5 \,kg$, सबसे निचले बिंदु पर प्रारंभिक वेग $u = 6 \,m/s$। मान लीजिए कि जब तार ऊपर की ओर ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta = 60^{\circ}$ का कोण बनाता है, तो गेंद का वेग $v$ है।
सबसे निचले बिंदु (मान लीजिए $P$) और बिंदु $C$ के बीच ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करने पर:
$P$ पर कुल ऊर्जा = $C$ पर कुल ऊर्जा
$\frac{1}{2}mu^2 + 0 = \frac{1}{2}mv^2 + mgh$
जहाँ $h$ सबसे निचले बिंदु से बिंदु $C$ की ऊँचाई है। ज्यामिति से, $h = l + l \cos 60^{\circ} = l(1 + \cos 60^{\circ}) = 1(1 + 0.5) = 1.5 \,m$।
मान रखने पर:
$\frac{1}{2} \times (6)^2 = \frac{1}{2}v^2 + g \times 1.5$
$18 = \frac{1}{2}v^2 + 10 \times 1.5$
$18 = \frac{1}{2}v^2 + 15$
$\frac{1}{2}v^2 = 3 \implies v^2 = 6 \,m^2/s^2$।
त्वरण का त्रिज्यीय घटक (अभिकेंद्र त्वरण) $a_r = \frac{v^2}{l}$ द्वारा दिया जाता है।
$a_r = \frac{6}{1} = 6 \,m/s^2$।

(C)
बाल्टी से पानी बाहर न गिरे, इसके लिए बाल्टी को ऊर्ध्वाधर वृत्ताकार गति पूरी करनी होगी।
सबसे ऊपरी बिंदु पर, आवश्यक न्यूनतम वेग:
$v_{top} = \sqrt{gR}$
सबसे निचले बिंदु (bottom) और सबसे ऊपरी बिंदु (top) के बीच ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{2} m v_{bottom}^2 = \frac{1}{2} m v_{top}^2 + mg(2R)$
$v_{bottom}^2 = v_{top}^2 + 4gR$
$v_{bottom}^2 = gR + 4gR = 5gR$
$v_{bottom} = \sqrt{5gR}$
यहाँ $g = 10 \,m/s^2$ और $R = 0.5 \,m$ दिया गया है:
$v_{bottom} = \sqrt{5 \times 10 \times 0.5} = \sqrt{25} = 5 \,m/s$

(C) ऊर्ध्वाधर वृत्त को पूरा करने के लिए,तल पर न्यूनतम वेग $v = \sqrt{5Rg}$ होना चाहिए,जहाँ $R$ वृत्त की त्रिज्या है।
नत समतल के शीर्ष और तल के बीच यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम को लागू करने पर:
$P_1 + K_1 = P_2 + K_2$
$mgh + 0 = 0 + \frac{1}{2} m v^2$
$mgh = \frac{1}{2} m (\sqrt{5Rg})^2$
$mgh = \frac{1}{2} m (5Rg)$
$h = \frac{5R}{2}$
चूँकि $R = 2 \ m$ दिया गया है,इसलिए:
$h = \frac{5 \times 2}{2} = 5 \ m$

(A) गोलक के लिए ऊर्ध्वाधर वृत्त पूरा करने हेतु,सबसे निचले बिंदु पर न्यूनतम वेग $v_0 = \sqrt{5gL}$ होता है।
सबसे निचले बिंदु और उस बिंदु के बीच जहाँ डोरी क्षैतिज है ($L$ ऊँचाई पर),ऊर्जा संरक्षण का नियम लागू करने पर:
$\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}mv^2 + mgL$
$\frac{1}{2}m(5gL) = \frac{1}{2}mv^2 + mgL$
$\frac{5}{2}gL = \frac{1}{2}v^2 + gL \implies \frac{3}{2}gL = \frac{1}{2}v^2 \implies v^2 = 3gL$.
क्षैतिज स्थिति में,गोलक पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. अभिकेंद्र बल (क्षैतिज): $F_x = \frac{mv^2}{L} = \frac{m(3gL)}{L} = 3mg$.
$2$. गुरुत्वाकर्षण बल (ऊर्ध्वाधर): $F_y = mg$.
कुल बल $F_{\text{net}} = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} = \sqrt{(3mg)^2 + (mg)^2} = \sqrt{9m^2g^2 + m^2g^2} = \sqrt{10}mg$.

(B) माना उच्चतम बिंदु पर वेग $v$ है। उच्चतम बिंदु पर कण पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण बल $Mg$ (नीचे की ओर),स्थिर-वैद्युत प्रतिकर्षण बल $F_e = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q^2}{R^2}$ (ऊपर की ओर) और तनाव $T$ (नीचे की ओर) हैं।
दिया गया है कि $Mg = \frac{Q^2}{4 \pi \epsilon_0 R^2}$,इसलिए केंद्र की ओर परिणामी बल $F_{net} = Mg - F_e + T = \frac{M v^2}{R}$ है।
उच्चतम बिंदु पर $T = 0$ है,इसलिए $Mg - \frac{Q^2}{4 \pi \epsilon_0 R^2} = \frac{M v^2}{R}$।
चूंकि $Mg = \frac{Q^2}{4 \pi \epsilon_0 R^2}$ है,इसलिए $0 = \frac{M v^2}{R}$,जिसका अर्थ है कि $v = 0$।
अब,निम्नतम बिंदु (वेग $v_0$) और उच्चतम बिंदु (वेग $v = 0$) के बीच ऊर्जा संरक्षण का नियम लागू करने पर:
निम्नतम बिंदु पर कुल ऊर्जा = उच्चतम बिंदु पर कुल ऊर्जा।
$\frac{1}{2} M v_0^2 + U_{lowest} = \frac{1}{2} M v^2 + U_{highest}$।
स्थितिज ऊर्जा में गुरुत्वाकर्षण और स्थिर-वैद्युत दोनों घटक शामिल हैं।
$U_{grav} = Mgh$,$U_{elec} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q^2}{r}$।
ऊर्जा में परिवर्तन: $\frac{1}{2} M v_0^2 = Mg(2R) + \Delta U_{elec}$।
चूंकि केंद्र से दूरी $R$ स्थिर है,इसलिए वृत्ताकार पथ के दौरान स्थिर-वैद्युत स्थितिज ऊर्जा स्थिर रहती है।
अतः,$\frac{1}{2} M v_0^2 = Mg(2R)$।
$v_0^2 = 4gR$।
$v_0 = 2 \sqrt{gR}$।

(B) मान लीजिए कि कण बिंदु $P$ पर है जहाँ धागा क्षैतिज के साथ $30^{\circ}$ का कोण बनाता है। ऊर्ध्वाधर के साथ कोण $\theta = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$ होगा।
इस बिंदु पर, त्रिज्यीय दिशा में कार्य करने वाले बल तनाव $T$ और गुरुत्वाकर्षण का घटक $mg \cos 60^{\circ}$ हैं।
गति का समीकरण $T + mg \cos 60^{\circ} = \frac{mv^2}{r}$ है।
यह दिया गया है कि इस बिंदु पर तनाव $T = 0$ है, इसलिए $mg \cos 60^{\circ} = \frac{mv^2}{r}$।
चूंकि $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$, हमें $mg(\frac{1}{2}) = \frac{mv^2}{r}$ प्राप्त होता है, जो सरल होकर $v^2 = \frac{gr}{2}$ हो जाता है।
अब, निचले बिंदु $A$ और बिंदु $P$ के बीच यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण का नियम लागू करने पर।
बिंदु $A$ के ऊपर बिंदु $P$ की ऊँचाई $h = r + r \sin 30^{\circ} = r + r(\frac{1}{2}) = \frac{3r}{2}$ है।
मान लीजिए बिंदु $A$ पर वेग $u$ है। तब, $\frac{1}{2}mu^2 = \frac{1}{2}mv^2 + mgh$।
मान रखने पर: $\frac{1}{2}mu^2 = \frac{1}{2}m(\frac{gr}{2}) + mg(\frac{3r}{2})$।
$u^2 = \frac{gr}{2} + 3gr = \frac{7gr}{2}$।
अतः, निचले बिंदु पर वेग $u = \sqrt{\frac{7}{2}gr}$ होगा।

(B) ऊर्ध्वाधर वृत्ताकार लूप के उच्चतम बिंदु पर,वस्तु पर कार्य करने वाले बल अभिलंब बल $N$ (नीचे की ओर) और गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ (नीचे की ओर) हैं।
ये बल आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करते हैं: $N + mg = \frac{mv^2}{R}$.
यह दिया गया है कि वस्तु तल पर अपने भार का तीन गुना बल लगाती है,इसलिए अभिलंब बल $N = 3mg$ है।
इसे अभिकेंद्री बल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $3mg + mg = \frac{mv^2}{R} \Rightarrow 4mg = \frac{mv^2}{R} \Rightarrow v^2 = 4gR$.
अब,हम $h$ ऊँचाई पर प्रारंभिक बिंदु और $2R$ ऊँचाई पर लूप के उच्चतम बिंदु के बीच यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण का नियम लागू करते हैं।
प्रारंभ में कुल ऊर्जा $mgh$ (स्थितिज ऊर्जा) है।
उच्चतम बिंदु पर कुल ऊर्जा $mg(2R) + \frac{1}{2}mv^2$ (स्थितिज ऊर्जा + गतिज ऊर्जा) है।
ऊर्जाओं की तुलना करने पर: $mgh = 2mgR + \frac{1}{2}m(4gR) = 2mgR + 2mgR = 4mgR$.
अतः,$h = 4R$.
इसकी तुलना $h = \alpha R$ से करने पर,हमें $\alpha = 4$ प्राप्त होता है।