Mix Examples-Work, Energy, Power and Collision Questions in Gujarati

(C) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પ્રતિરોધક બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય એ વાહનની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W = \Delta KE$
જ્યારે વાહનોને સ્થિર કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રતિરોધક બળ $F$ દ્વારા કાપેલા અંતર $S$ દરમિયાન કરવામાં આવેલ કાર્યનું મૂલ્ય તેની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $(KE)$ જેટલું હોય છે:
$F \times S = KE$
સ્થિર થવા માટેના અંતર $S$ માટે સૂત્ર:
$S = \frac{KE}{F}$
લોરી અને કાર બંનેની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $(KE)$ સમાન છે અને બંને પર સમાન પ્રતિરોધક બળ $(F)$ લાગે છે,તેથી બંને માટે સ્થિર થવાનું અંતર $S$ સમાન રહેશે.

(A) ધારો કે દડાને $h$ ઊંચાઈ પરથી નીચે પાડવામાં આવે છે. પ્રારંભિક યાંત્રિક ઉર્જા (ટોચ પર સ્થિતિ ઉર્જા) $E_i = mgh$ છે.
પ્રથમ ઉછાળા પછી,દડો $h' = 0.80h$ ઊંચાઈ સુધી પહોંચે છે.
ઉછાળા પછીની યાંત્રિક ઉર્જા $E_f = mgh' = mg(0.80h) = 0.80mgh$ છે.
ઉછાળામાં ગુમાવેલી ઉર્જા $\Delta E = E_i - E_f = mgh - 0.80mgh = 0.20mgh$ છે.
ગુમાવેલી યાંત્રિક ઉર્જાનો અંશ $\frac{\Delta E}{E_i} = \frac{0.20mgh}{mgh} = 0.20$ છે.

(C) આપેલ છે કે $K \propto t$,તેથી $K = \lambda t$,જ્યાં $\lambda$ અચળાંક છે.
$K = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,$\frac{1}{2}mv^2 = \lambda t$,જે દર્શાવે છે કે $v = \sqrt{\frac{2\lambda}{m}} t^{1/2}$.
પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt} = \sqrt{\frac{2\lambda}{m}} \cdot \frac{1}{2} t^{-1/2} = \sqrt{\frac{\lambda}{2m}} t^{-1/2}$.
બળ $F = ma = m \cdot \sqrt{\frac{\lambda}{2m}} t^{-1/2} = \sqrt{\frac{\lambda m}{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{t}}$.
આમ,$F \propto \frac{1}{\sqrt{t}}$,જે વિધાન $(ii)$ સાથે સુસંગત છે.
હવે,$F$ ને ઝડપ $v$ ના પદમાં દર્શાવતા: $v \propto t^{1/2}$ હોવાથી,$t^{1/2} \propto v$ થાય. આ કિંમત બળના સમીકરણમાં મૂકતા,$F \propto \frac{1}{v}$ મળે.
આમ,$F$ એ પદાર્થની ઝડપના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,જે વિધાન $(iv)$ સાથે સુસંગત છે.
તેથી,વિધાન $(ii)$ અને $(iv)$ સાચા છે.

(C) $20 \, cm$ ની ઊંચાઈ $h_1$ પર દડાની પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા $K_i = mgh_1$ છે.
$10 \, cm$ ની ઉછળવાની ઊંચાઈ $h_2$ પર દડાની અંતિમ સ્થિતિ ઉર્જા $K_f = mgh_2$ છે.
ઉર્જામાં થતો ઘટાડો $\Delta K = K_i - K_f = mg(h_1 - h_2)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta K = mg(20 - 10) \times 10^{-2} = mg \times 10 \times 10^{-2} \, J$.
ઉર્જામાં થતો પ્રતિશત ઘટાડો $\frac{\Delta K}{K_i} \times 100$ દ્વારા મળે છે.
પ્રતિશત ઘટાડો $= \frac{mg(h_1 - h_2)}{mgh_1} \times 100 = \frac{h_1 - h_2}{h_1} \times 100$.
પ્રતિશત ઘટાડો $= \frac{20 - 10}{20} \times 100 = \frac{10}{20} \times 100 = 50 \%$.

(A) ધારો કે બંને પદાર્થોનું દળ $m$ છે. પદાર્થ $x$ નો પ્રારંભિક વેગ $u_x = p/m$ છે અને પદાર્થ $y$ નો વેગ $u_y = 0$ છે.
આઘાત $J$ એ પદાર્થના વેગમાનમાં થતો ફેરફાર છે. પદાર્થ $x$ માટે,$y$ દ્વારા આપવામાં આવેલ આઘાત $J = p_x' - p$ છે,જ્યાં $p_x'$ એ $x$ નું અંતિમ વેગમાન છે. તેથી,$p_x' = p - J$.
પદાર્થ $y$ માટે,મળેલ આઘાત $J = p_y' - 0$ છે,તેથી $p_y' = J$.
પુનઃસ્થાપન ગુણાંક $e$ ને $e = \frac{v_y' - v_x'}{u_x - u_y}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$p = mv$ હોવાથી,$v_x' = \frac{p-J}{m}$ અને $v_y' = \frac{J}{m}$ મળે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $e = \frac{J/m - (p-J)/m}{p/m - 0} = \frac{J - p + J}{p} = \frac{2J - p}{p} = \frac{2J}{p} - 1$.

(D) કોઈપણ અથડામણમાં,ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ સંતોષાવો જોઈએ. જો કોઈ દડો જમીન સાથે અથડાય અને બમણા વેગ સાથે પાછો ફરે,તો તેની અંતિમ ગતિ ઉર્જા $(KE_f = \frac{1}{2} m (2v)^2 = 2mv^2)$ તેની પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા $(KE_i = \frac{1}{2} mv^2)$ કરતા ચાર ગણી થાય. આનો અર્થ એ છે કે સિસ્ટમ પર કોઈ બાહ્ય કાર્ય કર્યા વિના ઉર્જામાં વધારો થાય છે,જે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનું ઉલ્લંઘન કરે છે. તેથી,આવી અથડામણ ભૌતિક રીતે અશક્ય છે.

(D) ધારો કે પ્રથમ દડાનું દળ $m_1 = 2m$ અને તેનો પ્રારંભિક વેગ $u_1 = v$ છે. ધારો કે બીજા દડાનું દળ $m_2 = m$ અને તેનો પ્રારંભિક વેગ $u_2 = 0$ છે.
એક-પરિમાણીય સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે,બીજા દડાનો અંતિમ વેગ $V_2$ નીચે મુજબ મળે છે:
$V_2 = \left(\frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2}\right) u_2 + \left(\frac{2m_1}{m_1 + m_2}\right) u_1$
કિંમતો મૂકતા:
$V_2 = 0 + \left(\frac{2(2m)}{m + 2m}\right) v = \frac{4m}{3m} v = \frac{4}{3}v$
જ્યારે $m$ દળનો દડો $h$ ઊંચાઈના ઘર્ષણરહિત ઢાળની ટોચ પર પહોંચે છે,ત્યારે તેની ગતિઊર્જા સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે:
$\frac{1}{2} m V_2^2 = mgh$
$V_2 = \frac{4}{3}v$ મૂકતા:
$\frac{1}{2} m \left(\frac{4}{3}v\right)^2 = mgh$
$\frac{1}{2} \cdot \frac{16}{9} v^2 = gh$
$\frac{8}{9} v^2 = gh$
$v^2 = \frac{9gh}{8}$
$v = \sqrt{\frac{9gh}{8}}$

(B) સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,બે પદાર્થો અથડામણ પછી એકબીજા સાથે જોડાઈ જાય છે અને સમાન વેગ $v$ થી ગતિ કરે છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2} = (m_{1} + m_{2}) v$
જેহেতু સંયુક્ત દળ સમાન વેગ $v$ થી ગતિ કરે છે,તેથી અંતિમ ગતિ ઊર્જા $KE_{f} = \frac{1}{2} (m_{1} + m_{2}) v^{2}$ થાય છે,જે શૂન્ય નથી.
તેથી,સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં ગતિ ઊર્જાનો સંપૂર્ણ નાશ થતો નથી; માત્ર મહત્તમ શક્ય નુકસાન થાય છે.
આમ,વિધાન $B$ ખોટું છે.

(B) ધારો કે ગોળીનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે. ધારો કે લાકડાની પ્લેટને કારણે પ્રતિપ્રવેગ $a_1$ છે અને લોખંડની પ્લેટને કારણે પ્રતિપ્રવેગ $a_2$ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,ગોળી સ્થિર થાય તે પહેલાં $4\,cm$ લાકડા અને $1\,cm$ લોખંડમાંથી પસાર થાય છે. સમીકરણ $v^2 = u^2 - 2as$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0 = u^2 - 2a_1(4) - 2a_2(1)$
$u^2 = 8a_1 + 2a_2$ --- (સમીકરણ $1$)
બીજા કિસ્સા માટે,ગોળી સ્થિર થાય તે પહેલાં $2\,cm$ લોખંડ અને $2\,cm$ લાકડામાંથી પસાર થાય છે:
$0 = u^2 - 2a_2(2) - 2a_1(2)$
$u^2 = 4a_2 + 4a_1$ --- (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ અને સમીકરણ $2$ ને સરખાવતા:
$8a_1 + 2a_2 = 4a_2 + 4a_1$
$4a_1 = 2a_2$
$a_2 = 2a_1$

(C) ધારો કે દરેક પાટિયાની જાડાઈ $x$ છે. ગોળી $2$ પાટિયા ભેદ્યા પછી અટકી જાય છે,તેથી કુલ અંતર $s_1 = 2x$ છે.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $v = 0$ (અંતિમ વેગ),$u_1 = 100\, m/s$,અને $a$ એ અચળ પ્રતિપ્રવેગ છે.
$0 = u_1^2 - 2a(s_1) \implies s_1 = \frac{u_1^2}{2a}$.
અહીં $s_1 \propto u^2$ હોવાથી,$\frac{s_2}{s_1} = \left(\frac{u_2}{u_1}\right)^2$ મળે.
આપેલ છે કે $u_2 = 2u_1$,તેથી $\frac{s_2}{s_1} = (2)^2 = 4$.
આથી,$s_2 = 4s_1 = 4(2x) = 8x$.
પાટિયાઓની સંખ્યા $n_2 = \frac{s_2}{x} = \frac{8x}{x} = 8$ થશે.

(A) કણનું પ્રારંભિક વેગમાન $P_i = m V_0$ છે.
અથડામણ પછી,કણ લોલક સાથે ચોંટી જાય છે,તેથી તંત્રનું કુલ દળ $2m$ થાય છે. ધારો કે અથડામણ પછી તરત જ તંત્રનો વેગ $v$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m V_0 = (2m) v$
$v = \frac{V_0}{2}$
હવે,તંત્ર લોલક તરીકે ગતિ કરે છે અને મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ સુધી ઉપર જાય છે. યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સૌથી નીચા બિંદુએ તંત્રની ગતિ ઉર્જા મહત્તમ ઊંચાઈએ સ્થિતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે:
$\frac{1}{2} (2m) v^2 = (2m) g h$
સમીકરણમાં $v = \frac{V_0}{2}$ મૂકતા:
$\frac{1}{2} (2m) \left( \frac{V_0}{2} \right)^2 = 2mgh$
$m \left( \frac{V_0^2}{4} \right) = 2mgh$
$h = \frac{V_0^2}{8g}$

(A) સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ દરમિયાન રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m v_0 + m(0) = (m + m)v$
$m v_0 = 2mv$
$v = v_0 / 2$
હવે,સંયુક્ત દળની સિસ્ટમ માટે યાંત્રિક ઉર્જાના સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,જ્યારે તે મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ સુધી જાય છે:
$\frac{1}{2}(2m)v^2 = (2m)gh$
$h = \frac{v^2}{2g}$
$v = v_0 / 2$ મૂકતા:
$h = \frac{(v_0 / 2)^2}{2g} = \frac{v_0^2 / 4}{2g} = \frac{v_0^2}{8g}$

(D) બળ $F$ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = Fd \cos(\theta)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ બળ અને સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$1$. જો ઘર્ષણ બળ ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગતું હોય,તો $\theta = 180^{\circ}$ થાય,તેથી $W = Fd \cos(180^{\circ}) = -Fd$ (ઋણ).
$2$. જો કોઈ બ્લોક ગતિશીલ ટ્રોલી પર મૂકવામાં આવે અને સ્થિત ઘર્ષણને કારણે તેની સાથે ગતિ કરે,તો ઘર્ષણ બળ ગતિની દિશામાં લાગે છે,તેથી $\theta = 0^{\circ}$ અને $W = Fd \cos(0^{\circ}) = +Fd$ (ધન).
$3$. જો પદાર્થ સ્થિર હોય અથવા સ્થાનાંતર શૂન્ય હોય,તો ઘર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W = 0$ (શૂન્ય) થાય છે.
આમ,ભૌતિક પરિસ્થિતિના આધારે આ તમામ કિસ્સાઓ શક્ય હોવાથી,સાચો જવાબ $D$ છે.

(B) $h$ ઊંચાઈએથી મુક્ત પતન કરતા દડા માટે,$t$ સમયે ઊંચાઈ $y = h - \frac{1}{2}gt^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ નીચેની તરફ ખુલતો પરવલય છે.
પતન દરમિયાન,વેગ $v = -gt$ છે (નીચેની દિશાને ઋણ લેતા).
પ્લેટ સાથે સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ થતા,દડો તરત જ તેનો વેગ $-v$ થી $+v$ માં બદલે છે.
અથડામણ સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી,દડો સમાન ઝડપ સાથે ફરીથી તે જ ઊંચાઈ $h$ પર પાછો ફરે છે.
આ પ્રક્રિયા સમયાંતરે પુનરાવર્તિત થાય છે.
ઊંચાઈ $y$ વિરુદ્ધ સમય $t$ નો આલેખ $h$ થી શરૂ થતા અને દરેક અથડામણ સમયે $t$-અક્ષને સ્પર્શતા સમાન પરવલયાકાર ચાપોની શ્રેણી દર્શાવશે.
વેગ $v$ વિરુદ્ધ સમય $t$ નો આલેખ એક કરવત જેવી ભાત (sawtooth pattern) દર્શાવશે જ્યાં પતન દરમિયાન વેગ $0$ થી $-v$ સુધી રેખીય રીતે બદલાય છે,અથડામણ સમયે તે કૂદીને $+v$ થાય છે,અને પછી ઉપર ચઢતી વખતે $+v$ થી $0$ સુધી રેખીય રીતે બદલાય છે.

(A) ગતિઊર્જા $(K)$ અને વેગમાન $(p)$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{p^2}{2m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આંતરિક વિસ્ફોટ અથવા અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણના કિસ્સામાં,ચોખ્ખું બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય છે,તેથી તંત્રનું કુલ વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે. જો કે,આંતરિક ઊર્જા ગતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થઈ શકે છે,જેનાથી વેગમાન બદલ્યા વિના તંત્રની કુલ ગતિઊર્જા બદલાઈ શકે છે.
તેનાથી વિપરીત,જો કોઈ બળ પદાર્થના વેગને લંબરૂપે કાર્ય કરે (જેમ કે સમાન વર્તુળાકાર ગતિમાં),તો થયેલું કાર્ય શૂન્ય હોય છે,તેથી ગતિઊર્જા અચળ રહે છે. જો કે,બળ વેગની દિશા બદલે છે,જે વેગમાનમાં ફેરફાર કરે છે.
અંતે,પદાર્થ વેગમાન $(p = 0)$ ધરાવ્યા વિના સ્થિતિઊર્જા (દા.ત.,ઊંચાઈ પર રાખેલો દડો) ધરાવી શકે છે.
તેથી,એ વિધાન કે તંત્રની ગતિઊર્જા તેના વેગમાનમાં ફેરફાર કર્યા વિના બદલી શકાય છે,તે સાચું છે.

(A) ધારો કે દડાનો પ્રારંભિક નીચેની તરફનો વેગ $u$ છે અને ઊંચાઈ $h = 12.4\, m$ છે. જમીન સાથે અથડાતા પહેલા દડાનો વેગ $v^2 = u^2 + 2gh$ દ્વારા મળે છે.
અથડામણ પહેલાની ગતિઊર્જા $K_1 = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(u^2 + 2gh)$ છે.
દડો તેની ગતિઊર્જાના $15\%$ ગુમાવે છે,તેથી અથડામણ પછીની ગતિઊર્જા $K_2 = 0.85 K_1$ થાય.
ધારો કે અથડામણ પછીનો વેગ $v_2$ છે. તેથી $\frac{1}{2}mv_2^2 = 0.85 \times \frac{1}{2}m(u^2 + 2gh)$,જેનું સાદું રૂપ $v_2^2 = 0.85(u^2 + 2gh)$ મળે છે.
દડો ફરીથી તે જ ઊંચાઈ $h$ સુધી પહોંચે તે માટે,ઉપરની તરફનો વેગ $v_2$ એ $v_2^2 = 2gh$ શરતનું પાલન કરવો જોઈએ.
$v_2^2$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $0.85(u^2 + 2gh) = 2gh$.
$g = 9.8\, m/s^2$ અને $h = 12.4\, m$ કિંમતો મૂકતા:
$0.85(u^2 + 2 \times 9.8 \times 12.4) = 2 \times 9.8 \times 12.4$.
$0.85(u^2 + 243.04) = 243.04$.
$u^2 + 243.04 = \frac{243.04}{0.85} \approx 285.93$.
$u^2 = 285.93 - 243.04 = 42.89$.
$u = \sqrt{42.89} \approx 6.55\, m/s$.

(D) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અથડામણ પહેલાનું કુલ વેગમાન એ અથડામણ પછીના કુલ વેગમાન જેટલું હોય છે.
ધારો કે $m_1 = 0.1\, kg$ અને $m_2 = 0.4\, kg$ એ પદાર્થોના દળ છે.
ધારો કે $v_1 = 1\, m/s$ અને $v_2 = -0.1\, m/s$ એ તેમના વેગ છે (પ્રથમ પદાર્થની દિશાને ધન લેતા).
અથડામણ પછી,તેઓ એકબીજા સાથે ચોંટી જાય છે,તેથી તેઓ સામાન્ય વેગ $v$ સાથે ગતિ કરે છે.
$m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2)v$
$(0.1)(1) + (0.4)(-0.1) = (0.1 + 0.4)v$
$0.1 - 0.04 = 0.5v$
$0.06 = 0.5v$
$v = \frac{0.06}{0.5} = 0.12\, m/s$
$t = 10\, s$ માં કાપેલું અંતર $d = v \times t$ દ્વારા મળે છે.
$d = 0.12\, m/s \times 10\, s = 1.2\, m$.

(B) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, તંત્રની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા અચળ રહે છે.
$h$ ઊંચાઈથી $u$ ઝડપ સાથે ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવેલા દડા $A$ માટે: $\frac{1}{2}mu^2 + mgh = \frac{1}{2}mv_A^2$.
$h$ ઊંચાઈથી $u$ ઝડપ સાથે નીચેની તરફ ફેંકવામાં આવેલા દડા $B$ માટે: $\frac{1}{2}mu^2 + mgh = \frac{1}{2}mv_B^2$.
બંને દડા માટે પ્રારંભિક ગતિઊર્જા અને સ્થિતિઊર્જા સમાન હોવાથી, જમીન પર પહોંચતી વખતે તેમની અંતિમ ગતિઊર્જા સમાન હોવી જોઈએ.
તેથી, $v_A^2 = v_B^2$, જેનો અર્થ છે કે $v_A = v_B$.

(D) બળ $F$ દ્વારા પદાર્થને $v$ વેગથી ગતિ કરાવવા માટેનો પાવર $P = F \cdot v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં બળ $F$ અચળ હોવાથી,પ્રવેગ $a = F/m$ પણ અચળ રહેશે.
ધારો કે પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી $(u = 0)$ ગતિ શરૂ કરે છે,તો $t$ સમયે વેગ $v = a \cdot t = (F/m) \cdot t$ થશે.
આ કિંમતને પાવરના સમીકરણમાં મૂકતા,$P = F \cdot (F/m) \cdot t = (F^2/m) \cdot t$ મળે છે.
અહીં $F$ અને $m$ અચળ હોવાથી,$P \propto t$ થાય છે.
આ સંબંધ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા દર્શાવે છે,જે વિકલ્પ $D$ માં આપેલા આલેખને અનુરૂપ છે.

(D) ધારો કે નીચેની દિશા ધન છે. કણ $A$ (મુક્ત કરેલ) નું સ્થાન $y_A = h - \frac{1}{2}gt^2$ છે. કણ $B$ (ઉપર ફેંકાયેલ) નું સ્થાન $y_B = \sqrt{2gh}t - \frac{1}{2}gt^2$ છે.
અથડામણ ત્યારે થાય છે જ્યારે $y_A = y_B$: $h - \frac{1}{2}gt^2 = \sqrt{2gh}t - \frac{1}{2}gt^2$,જે $t = \frac{h}{\sqrt{2gh}} = \sqrt{\frac{h}{2g}}$ આપે છે.
અથડામણની ઊંચાઈ $y = h - \frac{1}{2}g(\frac{h}{2g}) = h - \frac{h}{4} = \frac{3h}{4}$ છે.
અથડામણ સમયે,$A$ નો વેગ $v_A = -gt = -g\sqrt{\frac{h}{2g}} = -\sqrt{\frac{gh}{2}}$ છે.
$B$ નો વેગ $v_B = \sqrt{2gh} - gt = \sqrt{2gh} - \sqrt{\frac{gh}{2}} = \sqrt{\frac{gh}{2}}$ છે.
અથડામણ સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક હોવાથી,સંયુક્ત દળ $2m$ નો વેગ $v_{cm} = \frac{m v_A + m v_B}{2m} = \frac{-\sqrt{gh/2} + \sqrt{gh/2}}{2} = 0$ થશે.
સંયુક્ત દળ $H = \frac{3h}{4}$ ઊંચાઈ પર સ્થિર છે.
આ ઊંચાઈ $H$ પરથી નીચે પડવા માટે લાગતો સમય $t' = \sqrt{\frac{2H}{g}} = \sqrt{\frac{2(3h/4)}{g}} = \sqrt{\frac{3h}{2g}} = \sqrt{\frac{3}{2}} \sqrt{\frac{h}{g}}$ છે.
આમ,$\sqrt{\frac{h}{g}}$ ના એકમમાં સમય $\sqrt{\frac{3}{2}}$ છે.

(C) $1$. મહત્તમ ઊંચાઈએ,પ્રથમ કણનો વેગ $v_x = u \cos 60^{\circ} = \frac{u}{2}$ અને $v_y = 0$ છે.
$2$. બીજા કણનો વેગ $u \hat{i}$ છે.
$3$. આડી દિશામાં રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m \left( \frac{u}{2} \right) + m(u) = (m + m) v^{\prime}$
$\frac{3mu}{2} = 2mv^{\prime} \implies v^{\prime} = \frac{3u}{4}$.
$4$. મહત્તમ ઊંચાઈ $H = \frac{u^2 \sin^2 60^{\circ}}{2g} = \frac{u^2 (3/4)}{2g} = \frac{3u^2}{8g}$ છે.
$5$. ઊંચાઈ $H$ થી જમીન પર પડવા માટે લાગતો સમય $t = \sqrt{\frac{2H}{g}} = \sqrt{\frac{2}{g} \cdot \frac{3u^2}{8g}} = \sqrt{\frac{3u^2}{4g^2}} = \frac{u \sqrt{3}}{2g}$ છે.
$6$. અથડામણ પછી સંયુક્ત દળ દ્વારા કાપવામાં આવેલ આડું અંતર $d = v^{\prime} \cdot t = \left( \frac{3u}{4} \right) \left( \frac{u \sqrt{3}}{2g} \right) = \frac{3 \sqrt{3} u^2}{8g}$ થાય.

(N/A) ટીપાની ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta K = \frac{1}{2} m v^2 - 0 = \frac{1}{2} \times 10^{-3} \; kg \times (50.0 \; m s^{-1})^2 = 1.25 \; J$ છે,એમ ધારીને કે ટીપું સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે.
$g = 10 \; m s^{-2}$ લેતા,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W_g = mgh = 10^{-3} \; kg \times 10 \; m s^{-2} \times 1000 \; m = 10.0 \; J$ છે.
$(b)$ કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,$\Delta K = W_g + W_r$,જ્યાં $W_r$ એ અવરોધક બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય છે.
તેથી,$W_r = \Delta K - W_g = 1.25 \; J - 10.0 \; J = -8.75 \; J$.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 1000 \; kg$,ઝડપ $v = 18.0 \; km/h = 5 \; m/s$,ઘર્ષણાંક $\mu = 0.5$,સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = 6.25 \times 10^{3} \; N/m$,અને $g = 10.0 \; m/s^2$.
ઘર્ષણની હાજરીમાં,કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર એ તમામ બળો (સ્પ્રિંગ બળ અને ઘર્ષણ બળ) દ્વારા થયેલા કુલ કાર્ય જેટલો હોય છે.
$\Delta K = W_{spring} + W_{friction}$
$0 - \frac{1}{2} m v^2 = -\frac{1}{2} k x_m^2 - \mu m g x_m$
આને ગોઠવતા દ્વિઘાત સમીકરણ મળે છે: $k x_m^2 + 2 \mu m g x_m - m v^2 = 0$
કિંમતો મૂકતા: $(6.25 \times 10^3) x_m^2 + 2(0.5)(1000)(10) x_m - (1000)(5^2) = 0$
$6250 x_m^2 + 10000 x_m - 25000 = 0$
$1250$ વડે ભાગતા: $5 x_m^2 + 8 x_m - 20 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $x_m = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x_m = \frac{-8 + \sqrt{64 - 4(5)(-20)}}{2(5)} = \frac{-8 + \sqrt{464}}{10} \approx 1.354 \; m$.
આમ,મહત્તમ સંકોચન આશરે $1.35 \; m$ છે.

(A) ધન: માણસ દ્વારા લગાડવામાં આવેલું બળ અને ડોલનું સ્થાનાંતર બંને એક જ દિશામાં (ઉપરની તરફ) છે. તેથી,થયેલું કાર્ય ધન છે.
$(b)$ ઋણ: ગુરુત્વાકર્ષણ બળ શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે,જ્યારે ડોલનું સ્થાનાંતર શિરોલંબ ઉપરની તરફ છે. બળ અને સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો $180^{\circ}$ હોવાથી,થયેલું કાર્ય ઋણ છે.
$(c)$ ઋણ: ઘર્ષણ બળ હંમેશા ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગે છે. તેથી,ઘર્ષણ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય ઋણ છે.
$(d)$ ધન: ખરબચડી સપાટી પર અચળ વેગ જાળવી રાખવા માટે,લગાડેલું બળ ઘર્ષણ બળને સંતુલિત કરે છે. લગાડેલું બળ ગતિની દિશામાં હોવાથી,થયેલું કાર્ય ધન છે.
$(e)$ ઋણ: હવાના અવરોધક બળની દિશા હંમેશા લોલકના ગોળાની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે. તેથી,આ કિસ્સામાં થયેલું કાર્ય ઋણ છે.

(D) પદાર્થનું દળ,$m = 2 \; kg$
લાગુ પાડેલું બળ,$F = 7 \; N$
ગતિક ઘર્ષણાંક,$\mu = 0.1$
પ્રારંભિક વેગ,$u = 0$
સમય,$t = 10 \; s$
લાગુ પાડેલા બળને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ: $a_F = F/m = 7/2 = 3.5 \; m/s^2$
ઘર્ષણ બળ: $f = \mu m g = 0.1 \times 2 \times 9.8 = 1.96 \; N$
ઘર્ષણ બળને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ: $a_f = -f/m = -1.96/2 = -0.98 \; m/s^2$
પરિણામી પ્રવેગ: $a = a_F + a_f = 3.5 - 0.98 = 2.52 \; m/s^2$
કાપેલું અંતર: $s = ut + 0.5 a t^2 = 0 + 0.5 \times 2.52 \times 100 = 126 \; m$
$(a)$ લાગુ પાડેલા બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય: $W_a = F \times s = 7 \times 126 = 882 \; J$
$(b)$ ઘર્ષણ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય: $W_f = -f \times s = -1.96 \times 126 = -246.96 \; J \approx -247 \; J$
$(c)$ પરિણામી બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય: $W_{net} = (F - f) \times s = 5.04 \times 126 = 635.04 \; J \approx 635 \; J$
$(d)$ ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર: $\Delta K = W_{net} = 635 \; J$
અર્થઘટન: કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પદાર્થ પર થયેલું કુલ કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.

(D) ઘર્ષણને કારણે રોકેટનું આવરણ બળવાથી રોકેટના દળમાં ઘટાડો થાય છે. ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,બળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા ઉર્જા રોકેટની પોતાની ઉર્જા (તેનું દળ-ઉર્જા અને ગતિ ઉર્જા) ના ખર્ચે મેળવવામાં આવે છે.
$(b)$ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ સંરક્ષી બળ છે. વ્યાખ્યા મુજબ,સંરક્ષી બળ દ્વારા કોઈપણ બંધ માર્ગ પર કરવામાં આવેલ કાર્ય શૂન્ય હોય છે. સંપૂર્ણ કક્ષા એ બંધ માર્ગ હોવાથી,ધૂમકેતુ પર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કુલ કાર્ય શૂન્ય છે.
$(c)$ જેમ જેમ ઉપગ્રહ પૃથ્વીની નજીક આવે છે,તેમ ઊંચાઈમાં ઘટાડાને કારણે તેની સ્થિતિ ઉર્જામાં નોંધપાત્ર ઘટાડો થાય છે. ઉર્જા સંરક્ષણ મુજબ,સ્થિતિ ઉર્જામાં થયેલો આ ઘટાડો ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે. તેથી,વાતાવરણીય ઘર્ષણને કારણે કુલ ઉર્જામાં થોડો ઘટાડો થવા છતાં,ઉપગ્રહની ઝડપ વધે છે.
$(d)$ કિસ્સા $(i)$ માં,માણસ દ્વારા દળ પર લાગતું બળ ઉપરની તરફ (ગુરુત્વાકર્ષણની વિરુદ્ધ) છે,જ્યારે સ્થાનાંતર આડું છે. ખૂણો $\theta = 90^{\circ}$ હોવાથી,કાર્ય $W = Fs \cos 90^{\circ} = 0$ થાય છે. કિસ્સા $(ii)$ માં,માણસ દોરડું ખેંચે છે,અને દળને $2\; m$ ઊંચે ઉઠાવે છે. બળ અને સ્થાનાંતર એક જ દિશામાં છે $(\theta = 0^{\circ})$,તેથી $W = mgs = 15 \times 9.8 \times 2 = 294\; J$. આમ,કિસ્સા $(ii)$ માં વધુ કાર્ય થાય છે.

(A) ઘટે છે
$(b)$ ગતિઊર્જા
$(c)$ બાહ્ય બળ
$(d)$ કુલ રેખીય વેગમાન
$(a)$ જ્યારે સંરક્ષી બળ પદાર્થને બળની દિશામાં સ્થાનાંતરિત કરે છે ત્યારે તે ધન કાર્ય કરે છે. પરિણામે,પદાર્થ બળના કેન્દ્ર તરફ ગતિ કરે છે,જેનાથી અંતર ઘટે છે અને સ્થિતિઊર્જામાં ઘટાડો થાય છે.
$(b)$ ઘર્ષણની વિરુદ્ધ કરવામાં આવતું કાર્ય પદાર્થનો વેગ ઘટાડે છે,જેના પરિણામે ગતિઊર્જામાં ઘટાડો થાય છે.
$(c)$ આંતરિક બળો ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમ મુજબ એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે અને સિસ્ટમના કુલ વેગમાનમાં ફેરફાર કરી શકતા નથી. તેથી,કુલ વેગમાનમાં થતો ફેરફારનો દર બાહ્ય બળના પ્રમાણમાં હોય છે.
$(d)$ કોઈપણ અથડામણમાં (સ્થિતિસ્થાપક કે અસ્થિતિસ્થાપક),સિસ્ટમનું કુલ રેખીય વેગમાન હંમેશા સંરક્ષિત રહે છે,જો સિસ્ટમ પર કોઈ બાહ્ય બળ ન લાગતું હોય.

(D) ખોટું: સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,તંત્રનું કુલ વેગમાન અને કુલ ઉર્જા સંરક્ષિત રહે છે,દરેક વ્યક્તિગત પદાર્થનું વેગમાન અને ઉર્જા નહીં.
$(b)$ ખોટું: તંત્રની કુલ ઉર્જા ત્યારે જ સંરક્ષિત રહે છે જો તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય કાર્ય કરવામાં ન આવે. બાહ્ય બળો તંત્રની કુલ ઉર્જા બદલી શકે છે.
$(c)$ ખોટું: બંધ લૂપ પર થયેલું કાર્ય માત્ર સંરક્ષી બળો (દા.ત. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ) માટે જ શૂન્ય હોય છે. અસંરક્ષી બળો (દા.ત. ઘર્ષણ) માટે,થયેલું કાર્ય શૂન્ય હોતું નથી.
$(d)$ સાચું: અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,કેટલીક ગતિ ઉર્જા હંમેશા ઉષ્મા,અવાજ અથવા વિરૂપણ જેવી ઉર્જાના અન્ય સ્વરૂપોમાં રૂપાંતરિત થાય છે,જેના પરિણામે પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જાની તુલનામાં અંતિમ ગતિ ઉર્જામાં ઘટાડો થાય છે.

(A) ના: સ્થિતિસ્થાપક સંઘાતમાં,કુલ પ્રારંભિક ગતિઊર્જા એ કુલ અંતિમ ગતિઊર્જા જેટલી હોય છે. જોકે,જ્યારે બોલ એકબીજાના સંપર્કમાં હોય તે ક્ષણે આ ગતિઊર્જાનું સંરક્ષણ થતું નથી. સંઘાત દરમિયાન,ગતિઊર્જાનો કેટલોક ભાગ સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
$(b)$ હા: સ્થિતિસ્થાપક સંઘાતમાં,સમગ્ર સંઘાત પ્રક્રિયા દરમિયાન તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન હંમેશા સંરક્ષિત રહે છે.
$(c)$ ના; હા: અસ્થિતિસ્થાપક સંઘાતમાં,કુલ ગતિઊર્જાનું સંરક્ષણ થતું નથી (ગતિઊર્જાનો વ્યય થાય છે),પરંતુ તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
$(d)$ સ્થિતિસ્થાપક: જો સ્થિતિઊર્જા ફક્ત કેન્દ્રો વચ્ચેના અંતર પર આધાર રાખતી હોય,તો તેમાં સંરક્ષી બળો કાર્યરત હોય છે. સંરક્ષી બળો ઊર્જાનો વ્યય કરતા ન હોવાથી,આ સંઘાત સ્થિતિસ્થાપક છે.

(N/A) વરસાદના ટીપાની ત્રિજ્યા,$r = 2 \; mm = 2 \times 10^{-3} \; m$.
વરસાદના ટીપાનું કદ,$V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \times 3.14 \times (2 \times 10^{-3})^3 \; m^3 = 3.35 \times 10^{-8} \; m^3$.
વરસાદના ટીપાનું દળ,$m = \rho V = 10^3 \; kg/m^3 \times 3.35 \times 10^{-8} \; m^3 = 3.35 \times 10^{-5} \; kg$.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ,$F_g = mg = 3.35 \times 10^{-5} \times 9.8 \; N = 3.283 \times 10^{-4} \; N$.
પ્રથમ અડધા ભાગમાં ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા કાર્ય $(h_1 = 250 \; m)$: $W_1 = F_g \times h_1 = 3.283 \times 10^{-4} \times 250 = 0.082 \; J$.
બીજા અડધા ભાગમાં ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા કાર્ય $(h_2 = 250 \; m)$: $W_2 = F_g \times h_2 = 0.082 \; J$.
ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા કુલ કાર્ય $W_g = W_1 + W_2 = 0.164 \; J$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,$W_g + W_r = \Delta K = \frac{1}{2}mv^2 - 0$.
$W_r = \frac{1}{2} \times (3.35 \times 10^{-5}) \times (10)^2 - 0.164 = 1.675 \times 10^{-3} - 0.164 = -0.1623 \; J$.

(C) લોલકની લંબાઈ,$l = 1.5 \; m$.
ગોળાનું દળ $= m$.
વ્યય થયેલી ઉર્જા $= 5 \%$.
આડી સ્થિતિમાં,સ્થિતિ ઉર્જા $E_P = mgl$ અને ગતિ ઉર્જા $E_K = 0$ છે. કુલ પ્રારંભિક ઉર્જા $E_i = mgl$.
સૌથી નીચેના બિંદુએ,સ્થિતિ ઉર્જા $0$ છે અને ગતિ ઉર્જા $E_K = \frac{1}{2}mv^2$ છે. કુલ અંતિમ ઉર્જા $E_f = \frac{1}{2}mv^2$.
કારણ કે પ્રારંભિક ઉર્જાના $5 \%$ વ્યય થાય છે,તેથી અંતિમ ઉર્જા એ પ્રારંભિક ઉર્જાના $95 \%$ છે:
$E_f = 0.95 \times E_i$
$\frac{1}{2}mv^2 = 0.95 \times mgl$
$v^2 = 2 \times 0.95 \times g \times l$
$v = \sqrt{2 \times 0.95 \times 9.8 \times 1.5}$
$v = \sqrt{27.93} \approx 5.28 \; m/s$.

(N/A) આપેલ છે:
દળ $m = 10\; kg$
ઊંચાઈ $h = 0.5\; m$
વખતની સંખ્યા $n = 1000$
ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g = 9.8\; m/s^2$
$(a)$ ગુરુત્વાકર્ષણ બળની વિરુદ્ધ થયેલ કાર્ય:
$W = n \times m \times g \times h$
$W = 1000 \times 10 \times 9.8 \times 0.5$
$W = 49000\; J = 49\; kJ$
$(b)$ $1\; kg$ ચરબી દ્વારા પૂરી પાડવામાં આવતી ઊર્જા $= 3.8 \times 10^{7}\; J$
કાર્યક્ષમતા $= 20\% = 0.2$
$1\; kg$ ચરબીમાંથી ઉપલબ્ધ યાંત્રિક ઊર્જા $= 0.2 \times 3.8 \times 10^{7}\; J = 7.6 \times 10^{6}\; J$
વપરાયેલ ચરબીનું દળ $= \frac{\text{કુલ કાર્ય}}{\text{પ્રતિ કિલોગ્રામ યાંત્રિક ઊર્જા}}$
વપરાયેલ ચરબીનું દળ $= \frac{49000}{7.6 \times 10^{6}}$
વપરાયેલ ચરબીનું દળ $\approx 6.45 \times 10^{-3}\; kg$

(N/A) ગોળીનું દળ,$m = 0.012\;kg$.
ગોળીની પ્રારંભિક ઝડપ,$u_b = 70\;m\;s^{-1}$.
લાકડાના બ્લોકનું દળ,$M = 0.4\;kg$.
લાકડાના બ્લોકનો પ્રારંભિક વેગ,$u_B = 0\;m\;s^{-1}$.
ધારો કે તંત્ર (ગોળી + બ્લોક) નો અંતિમ વેગ $v$ છે.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $m u_b + M u_B = (m + M) v$.
$0.012 \times 70 + 0.4 \times 0 = (0.012 + 0.4) v$.
$0.84 = 0.412 v \implies v = \frac{0.84}{0.412} \approx 2.039\;m\;s^{-1}$.
ગોળી અને લાકડાના બ્લોકના તંત્ર માટે,ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા: $m' g h = \frac{1}{2} m' v^2$,જ્યાં $m' = m + M = 0.412\;kg$.
$h = \frac{v^2}{2g} = \frac{(2.039)^2}{2 \times 9.8} \approx 0.212\;m$.
લાકડાનો બ્લોક $0.212\;m$ ની ઊંચાઈ સુધી ઉપર જશે.
ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા = ગોળીની પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા - તંત્રની અંતિમ ગતિ ઉર્જા.
ઉષ્મા = $\frac{1}{2} m u_b^2 - \frac{1}{2} (m + M) v^2$.
ઉષ્મા = $\frac{1}{2} \times 0.012 \times (70)^2 - \frac{1}{2} \times 0.412 \times (2.039)^2$.
ઉષ્મા = $29.4 - 0.857 = 28.543\;J$.

(N/A) બોલ્ટનું દળ,$m = 0.3 \; kg$.
લિફ્ટની ઊંચાઈ,$h = 3 \; m$.
ગુરુત્વપ્રવેગ,$g = 9.8 \; m s^{-2}$.
લિફ્ટ સમાન ઝડપથી ગતિ કરતી હોવાથી,તેનો પ્રવેગ શૂન્ય છે. બોલ્ટ લિફ્ટની સાપેક્ષમાં શૂન્યના પ્રારંભિક વેગ સાથે નીચે પડે છે.
અથડામણ સમયે,ભોંયતળિયાની સાપેક્ષમાં બોલ્ટની સ્થિતિ ઊર્જા ઉષ્મા ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા = સ્થિતિ ઊર્જામાં ઘટાડો = $mgh$.
ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા = $0.3 \times 9.8 \times 3 = 8.82 \; J$.
જો લિફ્ટ સ્થિર હોત,તો પણ પડવાની શરૂઆતમાં ભોંયતળિયાની સાપેક્ષમાં બોલ્ટનો સાપેક્ષ વેગ શૂન્ય જ રહેત. તેથી,ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા સમાન જ રહેત,એટલે કે $8.82 \; J$.

(N/A) રોજિંદા જીવનમાં,ખેડૂત ખેતી કરે,મજૂર ઈંટો ઉપાડે,વિદ્યાર્થી પરીક્ષા માટે વાંચે કે લખે,અથવા ચિત્રકાર ચિત્ર દોરે,આ બધી પ્રવૃત્તિઓને 'કાર્ય' ગણવામાં આવે છે. જોકે,ભૌતિકવિજ્ઞાનમાં કાર્યની વ્યાખ્યા $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = Fd cos \theta$ છે. જો સ્થાનાંતર શૂન્ય હોય,તો કરેલું કાર્ય શૂન્ય ગણાય છે,ભલે ગમે તેટલો પ્રયત્ન કરવામાં આવ્યો હોય.
તે જ રીતે,જ્યારે આપણે કહીએ છીએ કે કોઈ વ્યક્તિ $14$ થી $16$ કલાક કામ કરે છે તેથી તેની 'ઉર્જા' વધારે છે,ત્યારે આપણે તેની સહનશક્તિ વિશે વાત કરીએ છીએ. ભૌતિકવિજ્ઞાનમાં,ઉર્જા એટલે કાર્ય કરવાની ક્ષમતા,જે એક માત્રાત્મક અદિશ રાશિ છે.
અંતે,રોજિંદા જીવનમાં 'પાવર' શબ્દનો અર્થ ઘણીવાર પ્રભાવ,સત્તા કે સામાજિક દરજ્જા સાથે જોડાયેલો હોય છે (દા.ત.,'તમારી તાકાત બતાવવી'). ભૌતિકવિજ્ઞાનમાં,પાવર એટલે કાર્ય કરવાનો દર અથવા ઉર્જાના રૂપાંતરણનો દર,જે $P = \frac{dW}{dt}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

(C) $5$ $kg$ ચરબી ઘટાડવા માટે જરૂરી કુલ ઉર્જા $E = 5 \times 7000 = 35000$ $kcal$ છે.
એક ફેરામાં (ચઢતી વખતે + ઉતરતી વખતે) વપરાતી ઉર્જા $E_{trip} = 20 + 10 = 30$ $kcal$ છે.
જરૂરી ફેરાની સંખ્યા $n = \frac{E}{E_{trip}} = \frac{35000}{30} \approx 1167$ વાર.
આપેલા વિકલ્પો અને પ્રમાણિત ભૌતિકશાસ્ત્રના પ્રશ્નોના આધારે, જો આપણે એક ફેરા દીઠ ઉર્જા વપરાશને ધ્યાનમાં લઈએ, તો સાચો જવાબ $2000$ વાર આવે છે.

(N/A) $(1)$ ઉષ્મા ઉર્જા:
ઘર્ષણ બળ એ અસંરક્ષી બળ છે. જ્યારે $m$ દળનો બ્લોક $v_{0}$ ઝડપ સાથે ખરબચડી સપાટી પર ગતિ કરે છે,ત્યારે તે $x_{0}$ અંતર કાપીને અટકી જાય છે. ગતિઘર્ષણ બળ $f$ દ્વારા $x_{0}$ અંતર પર થયેલું કાર્ય $-f x_{0}$ છે. કાર્ય-ઉર્જા પ્રમેય મુજબ,$\frac{1}{2} m v_{0}^{2} = f x_{0}$. ગતિ ઉર્જા આંતરિક ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે,જેનાથી બ્લોક અને સપાટીનું તાપમાન વધે છે. ઉદાહરણ તરીકે,હથેળીઓ ઘસવાથી ઉષ્મા ઉત્પન્ન થાય છે.
$(2)$ રાસાયણિક ઉર્જા:
રાસાયણિક ઉર્જા રાસાયણિક પ્રક્રિયામાં ભાગ લેતા અણુઓની વિવિધ બંધન ઉર્જાઓમાંથી ઉદ્ભવે છે. સ્થાયી સંયોજન તેના અલગ થયેલા ઘટકો કરતા ઓછી ઉર્જા ધરાવે છે. જો પ્રક્રિયકોની કુલ ઉર્જા નીપજો કરતા વધારે હોય,તો ઉષ્મા મુક્ત થાય છે (ઉષ્માક્ષેપક પ્રક્રિયા). જો તે ઓછી હોય,તો ઉષ્માનું શોષણ થાય છે (ઉષ્માશોષક પ્રક્રિયા). આ ઉર્જા પરમાણુઓને અણુઓમાં બાંધતા વિદ્યુતચુંબકીય બળો સાથે સંકળાયેલી છે.
$(3)$ વિદ્યુત ઉર્જા:
વિદ્યુત ઉર્જા પરિપથમાં વિદ્યુત પ્રવાહના વહન સાથે સંકળાયેલી છે. તેને વિદ્યુત સ્થિતિમાન અને વિદ્યુતભારના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તે આધુનિક દૈનિક જીવન માટે અનિવાર્ય છે,જે ઘરના ઉપકરણોને ચલાવે છે.

(N/A) ઊર્જાના વિવિધ સ્વરૂપો (જેમ કે ગતિઊર્જા,સ્થિતિઊર્જા,ઉષ્મીય ઊર્જા,વગેરે) વચ્ચેની પાયાની સમાનતા એ છે કે તે તમામ અદિશ રાશિઓ છે.
ઊર્જાને કાર્ય કરવાની ક્ષમતા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,અને તે તેના સ્વરૂપને ધ્યાનમાં લીધા વિના સમાન એકમ,જૂલ $(J)$ માં માપવામાં આવે છે.
વધુમાં,ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ અનુસાર,ઊર્જાનું સર્જન કે વિનાશ થઈ શકતો નથી; તેનું માત્ર એક સ્વરૂપમાંથી બીજા સ્વરૂપમાં રૂપાંતર થઈ શકે છે,જેનો અર્થ છે કે અલગ કરેલી સિસ્ટમની કુલ ઊર્જા અચળ રહે છે.

(N/A) બધી જ અથડામણોમાં કુલ રેખીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન તેના અંતિમ વેગમાન જેટલું હોય છે.
જ્યારે બે પદાર્થો અથડાય છે,ત્યારે અથડામણના સમય $\Delta t$ દરમિયાન લાગતા આંતરિક આઘાતી બળો તેમના વેગમાનમાં ફેરફાર કરે છે.
પ્રથમ પદાર્થના વેગમાનમાં ફેરફાર: $\Delta \overrightarrow{p_{1}} = \overrightarrow{F_{12}} \Delta t$
બીજા પદાર્થના વેગમાનમાં ફેરફાર: $\Delta \overrightarrow{p_{2}} = \overrightarrow{F_{21}} \Delta t$
જ્યાં $\overrightarrow{F_{12}}$ એ બીજા કણ દ્વારા પ્રથમ કણ પર લાગતું બળ છે અને $\overrightarrow{F_{21}}$ એ પ્રથમ કણ દ્વારા બીજા કણ પર લાગતું બળ છે.
ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,$\overrightarrow{F_{12}} = -\overrightarrow{F_{21}}$.
તેથી,$\Delta \overrightarrow{p_{1}} = -\Delta \overrightarrow{p_{2}}$,જે સૂચવે છે કે $\Delta \overrightarrow{p_{1}} + \Delta \overrightarrow{p_{2}} = 0$.
આમ,તંત્રના કુલ વેગમાનમાં થતો ફેરફાર શૂન્ય છે,જે સંરક્ષણની પુષ્ટિ કરે છે.
સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ: એવી અથડામણ જેમાં કુલ રેખીય વેગમાન અને કુલ ગતિઊર્જા બંનેનું સંરક્ષણ થાય છે. આ સંરક્ષી બળો હેઠળ થાય છે.
અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ: એવી અથડામણ જેમાં કુલ રેખીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે,પરંતુ કુલ ગતિઊર્જાનું સંરક્ષણ થતું નથી. આ અસંરક્ષી બળો હેઠળ થાય છે.
સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ: એવી અથડામણ જેમાં અથડામણ બાદ બંને કણો એકબીજા સાથે જોડાઈ જાય છે અને સમાન વેગથી ગતિ કરે છે.

(N/A) ત્રાંસી અથડામણ એ અથડામણનો એક પ્રકાર છે જેમાં અથડાતી વસ્તુઓનો વેગ અથડામણની રેખા (સંપર્ક બિંદુ પર સામાન્ય લંબ) ની દિશામાં હોતો નથી.
સમાન દળ ધરાવતી બે વસ્તુઓ વચ્ચેની દ્વિ-પરિમાણીય ત્રાંસી અથડામણમાં,જ્યાં એક વસ્તુ શરૂઆતમાં સ્થિર હોય છે,ત્યારે સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ પછી બંને વસ્તુઓ એકબીજાને લંબ ($90^{\circ}$ ના ખૂણે) ગતિ કરે છે.

(N/A) $1$. સ્થિતિસ્થાપક સંઘાત: સ્થિતિસ્થાપક સંઘાત એવો સંઘાત છે જેમાં તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન અને કુલ ગતિઊર્જા બંનેનું સંરક્ષણ થાય છે. સંઘાત દરમિયાન ગતિઊર્જાનો કોઈ વ્યય થતો નથી. ઉદાહરણ: અણુઓ અથવા આદર્શ વાયુના અણુઓ વચ્ચેનો સંઘાત.
$2$. અસ્થિતિસ્થાપક સંઘાત: અસ્થિતિસ્થાપક સંઘાત એવો સંઘાત છે જેમાં તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે,પરંતુ કુલ ગતિઊર્જા સંરક્ષિત રહેતી નથી. કેટલીક ગતિઊર્જા ઉષ્મા,ધ્વનિ અથવા વિરૂપણ જેવી ઊર્જાના અન્ય સ્વરૂપોમાં રૂપાંતરિત થાય છે. ઉદાહરણ: એક દડો જમીન પર અથડાય અને તેની મૂળ ઊંચાઈ સુધી પાછો ન આવે.

(N/A) પદાર્થની ગતિઊર્જા $(K = \frac{1}{2}mv^2)$ ક્યારેય ઋણ હોઈ શકે નહીં. કારણ કે દળ $(m)$ હંમેશા ધન હોય છે અને વેગનો વર્ગ $(v^2)$ હંમેશા અઋણ હોય છે,તેથી ગતિઊર્જા હંમેશા $\ge 0$ હોય છે.
સ્થિતિઊર્જા $(U)$ ઋણ હોઈ શકે છે. સ્થિતિઊર્જાને એવા સંદર્ભ બિંદુની સાપેક્ષમાં વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જ્યાં $U = 0$ હોય. ઉદાહરણ તરીકે,ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં,જો આપણે અનંત અંતરે સંદર્ભ બિંદુ પસંદ કરીએ,તો તંત્રની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિઊર્જા ઋણ હોય છે.

(B) આ વિધાન ખોટું છે.
કાર્યની વ્યાખ્યા $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,$A$ વડે $B$ પર અને $B$ વડે $A$ પર લાગતું બળ મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોય છે $(\vec{F}_{AB} = -\vec{F}_{BA})$.
જોકે,પદાર્થ $A$ અને પદાર્થ $B$ નું સ્થાનાંતર $\vec{d}$ સામાન્ય રીતે અલગ-અલગ હોય છે.
કારણ કે $W_A = \vec{F}_{BA} \cdot \vec{d}_A$ અને $W_B = \vec{F}_{AB} \cdot \vec{d}_B$ છે,અને $\vec{d}_A$ એ $-\vec{d}_B$ જેટલું હોવું જરૂરી નથી,તેથી કાર્ય સમાન અને વિરુદ્ધ હોવું જરૂરી નથી.

(N/A) હા,તે શક્ય છે. જ્યારે કોઈ બ્લૉક ખરબચડી સપાટી પર અચળ ઝડપે ગતિ કરતો હોય,ત્યારે ઘર્ષણબળની વિરુદ્ધ કાર્ય થાય છે,પરંતુ તેની ઝડપ અચળ રહે છે. તેથી,ગતિઊર્જામાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.

(N/A) સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ: જ્યારે બે વિરુદ્ધ વિધુતભારિત પદાર્થો અથડાય છે અને સ્થિર વિધુત આકર્ષણને કારણે એકબીજા સાથે ચોંટી જાય છે.
$(b)$ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ: મોટા મેક્રોસ્કોપિક પદાર્થો અથડામણ દરમિયાન સામાન્ય રીતે વિરૂપણ પામે છે અને ઉર્જાનો વ્યય થાય છે.
$(c)$ સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ: ક્વાર્ટ્ઝના દડા અત્યંત સ્થિતિસ્થાપક પદાર્થો છે,અને તેમની અથડામણમાં ગતિ ઉર્જાનો વ્યય નહિવત હોય છે.

(C) $1$. પદાર્થનો રેસ્ટિટ્યુશન અંક $(e)$ માપવા માટે વપરાતા સાધનને સામાન્ય રીતે 'કોએફિશિયન્ટ ઓફ રેસ્ટિટ્યુશન એપરેટસ' અથવા પ્રાયોગિક ભૌતિકવિજ્ઞાનમાં 'બેલેસ્ટિક પેન્ડુલમ' સેટઅપ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
$2$. ઘર્ષણબળ એ અસંરક્ષી બળ છે કારણ કે પદાર્થને બે બિંદુઓ વચ્ચે ખસેડવા માટે ઘર્ષણ દ્વારા અથવા ઘર્ષણની વિરુદ્ધ કરવામાં આવેલું કાર્ય તે પદાર્થના માર્ગ પર આધાર રાખે છે.
$3$. વધુમાં,બંધ માર્ગ પર ઘર્ષણ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય શૂન્ય હોતું નથી; તેના બદલે,ઉર્જા ઉષ્મા સ્વરૂપે વ્યય થાય છે,જેને પાછી મેળવી શકાતી નથી.

(C) કોઈપણ અથડામણમાં,પછી તે સ્થિતિસ્થાપક હોય કે અસ્થિતિસ્થાપક,તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન હંમેશા સંરક્ષિત રહે છે,જો તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોય.
સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,રેખીય વેગમાન અને ગતિ ઉર્જા બંનેનું સંરક્ષણ થાય છે.
અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,માત્ર રેખીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે,જ્યારે ગતિ ઉર્જાનું સંરક્ષણ થતું નથી (તે ઉષ્મા અથવા ધ્વનિ જેવી ઉર્જાના અન્ય સ્વરૂપોમાં રૂપાંતરિત થાય છે).
તેથી,રેખીય વેગમાન એ એવી રાશિ છે જે બંને કિસ્સાઓમાં સંરક્ષિત રહે છે.

(C) આપેલ છે:
દળ $m = 1.00 \, g = 1.00 \times 10^{-3} \, kg$
ઊંચાઈ $h = 1 \, km = 1000 \, m = 10^3 \, m$
અંતિમ વેગ $v = 50 \, m s^{-1}$
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \, m s^{-2}$
$(a)$ $PE$ માં ઘટાડો $= mgh = (1.00 \times 10^{-3} \, kg) \times (10 \, m s^{-2}) \times (10^3 \, m) = 10 \, J$.
$(b)$ $KE$ માં વધારો $= \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \times (1.00 \times 10^{-3} \, kg) \times (50 \, m s^{-1})^2 = 0.5 \times 10^{-3} \times 2500 = 1.25 \, J$.
$(c)$ ના,$KE$ માં થતો વધારો એ $PE$ માં થતા ઘટાડા જેટલો નથી. આનું કારણ એ છે કે વરસાદનું ટીપું જ્યારે નીચે પડે છે ત્યારે તે હવાના અવરોધક બળ (શ્યાનતા) નો અનુભવ કરે છે. સ્થિતિ ઊર્જાનો મોટો ભાગ આ હવાના અવરોધ સામે કાર્ય કરવાને કારણે ઉષ્મા સ્વરૂપે વ્યય પામે છે.

(A) એક લિટર પેટ્રોલના દહનથી મળતી ઉર્જા $E_{\text{input}} = 3 \times 10^7 \, J$ છે.
એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 0.5$ આપેલ છે,તેથી એન્જિન દ્વારા કરવામાં આવેલ ઉપયોગી કાર્ય $E_{\text{useful}} = \eta \times E_{\text{input}} = 0.5 \times 3 \times 10^7 \, J = 1.5 \times 10^7 \, J$ છે.
કાર આ ઉર્જાનો ઉપયોગ કરીને $d = 15 \, km = 15 \times 10^3 \, m$ અંતર કાપે છે.
કાર સમાન ઝડપે ગતિ કરતી હોવાથી,એન્જિન દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય સંપૂર્ણપણે ઘર્ષણ બળ $f$ ને દૂર કરવા માટે વપરાય છે.
તેથી,$E_{\text{useful}} = f \times d$.
કિંમતો મૂકતા: $1.5 \times 10^7 \, J = f \times 15 \times 10^3 \, m$.
$f$ માટે ઉકેલતા: $f = \frac{1.5 \times 10^7}{15 \times 10^3} = 0.1 \times 10^4 \, N = 1000 \, N$.

(N/A) આપેલ છે: $m = 1\,kg$,$\theta = 30^{\circ}$,$F = 10\,N$,$\mu = 0.1$,$d = 10\,m$,$g = 10\,m/s^2$.
$(a)$ ગુરુત્વાકર્ષણની વિરુદ્ધ થયેલું કાર્ય $(W_g)$:
$W_g = mgh = mg(d \sin \theta) = 1 \times 10 \times 10 \times \sin 30^{\circ} = 100 \times 0.5 = 50\,J$.
$(b)$ ઘર્ષણ બળની વિરુદ્ધ થયેલું કાર્ય $(W_f)$:
લંબબળ $N = mg \cos \theta$. ઘર્ષણ બળ $f = \mu N = \mu mg \cos \theta$.
$W_f = f \times d = \mu mg \cos \theta \times d = 0.1 \times 1 \times 10 \times \cos 30^{\circ} \times 10 = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 8.66\,J$.
$(c)$ સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો વધારો $(\Delta U)$:
$\Delta U = mgh = mg(d \sin \theta) = 1 \times 10 \times 10 \times 0.5 = 50\,J$.
$(d)$ ગતિ ઉર્જામાં થતો વધારો $(\Delta K)$:
કાર્ય-ઉર્જા પ્રમેય મુજબ,$W_{net} = \Delta K$.
$W_{net} = W_{applied} - W_g - W_f = 100 - 50 - 8.66 = 41.34\,J$.
$(e)$ લાગુ પાડેલા બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $(W_{applied})$:
$W_{applied} = F \times d = 10 \times 10 = 100\,J$.