Mix Examples-Work, Energy, Power and Collision Questions in Gujarati

(A-D) દડા $1$ માટે,ગબડવાની ક્રિયા સરક્યા વિના થાય છે. સ્થિત ઘર્ષણ બળ દડા પર કોઈ કાર્ય કરતું નથી,તેથી ઉર્જાનો વ્યય થતો નથી. આમ,કુલ યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષિત રહે છે.
દડા $3$ માટે,ઘર્ષણ નહિવત છે,તેથી ઘર્ષણ દ્વારા કોઈ કાર્ય થતું નથી. આમ,કુલ યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષિત રહે છે.
દડા $2$ માટે,ગતિજ ઘર્ષણ છે જે ઉર્જાને ઉષ્મા સ્વરૂપે વ્યય કરે છે. આમ,યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષિત રહેતી નથી.
$(b)$ દડા $3$ માં ઉર્જાનો કોઈ વ્યય થતો નથી,તેથી તે $D$ સુધી પહોંચી શકે છે કારણ કે $A$ એ $C$ કરતા ઊંચા સ્તરે છે. દડો $1$ કેટલીક સ્થિતિ ઉર્જાનું ભ્રમણીય ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતર કરે છે,અને દડો $2$ ઘર્ષણને કારણે ઉર્જા ગુમાવે છે. દડો $1$ કે $2$ બંને પાસે $C$ શિખર સુધી પહોંચવા અને $D$ તરફ જવા માટે પૂરતી ઉર્જા નથી.
$(c)$ દડા $1$ અને $2$ ઉર્જા ગુમાવે છે (દડો $1$ ભ્રમણ માટે,દડો $2$ ઉષ્મા માટે),તેથી તેઓ $B$ પસાર કર્યા પછી $A$ જેટલી ઊંચાઈ સુધી પહોંચી શકતા નથી. તેથી,તેઓ પાછા $A$ સુધી પહોંચી શકતા નથી.

(N/A) ધન. જ્યારે પદાર્થને ગુરુત્વાકર્ષણની વિરુદ્ધ ઊંચકવામાં આવે છે,ત્યારે લગાડેલું બળ અને સ્થાનાંતર એક જ દિશામાં હોય છે,તેથી બાહ્ય બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય ધન હોય છે.
$(b)$ અચળ. કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,જો પદાર્થ પર થયેલું કુલ કાર્ય શૂન્ય હોય,તો તેની ગતિઊર્જા અચળ રહે છે,જેનો અર્થ છે કે ઝડપ અચળ રહે છે.
$(c)$ સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક. વ્યાખ્યા મુજબ,સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક સંઘાત માટે રેસ્ટિટ્યૂશન ગુણાંક $(e)$ નું મૂલ્ય $1$ હોય છે.

(A) ગતિઊર્જા $K$ અને વેગમાન $p$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{p^2}{2m}$ છે. તેથી $K \propto p^2$ હોવાથી,જો વેગમાન બમણું $(p_2 = 2p_1)$ કરવામાં આવે,તો નવી ગતિઊર્જા $K_2 = (2)^2 K_1 = 4K_1$ થાય. આમ,તે ચારગણી થાય છે.
$(b)$ વ્યાખ્યા મુજબ,સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક સંઘાત માટે પદાર્થો સંઘાત બાદ એકબીજા સાથે ચોંટી જાય છે,તેથી રેસ્ટિટ્યૂશન ગુણાંક $e = 0$ મળે છે.
$(c)$ ઊર્જા $E = P \times t$. અહીં $E = 1\,kWh$ અને $P = 1\,kW$ આપેલ છે,તેથી સમય $t = \frac{E}{P} = \frac{1\,kWh}{1\,kW} = 1$ કલાક.

(N/A) $1 \text{ યુનિટ} = 1 \text{ kWh} = 1000 \text{ W} \times 3600 \text{ s} = 3.6 \times 10^6 \text{ J}$.
$(b)$ પદાર્થ $20 \%$ ઊર્જા ગુમાવે છે,તેથી તે તેની પ્રારંભિક સ્થિતિ ઊર્જાના $80 \%$ જાળવી રાખે છે.
$mgh_2 = 0.8 \times mgh_1 \Rightarrow h_2 = 0.8 \times 10 \ m = 8 \ m$.
$(c)$ વર્તુળાકાર કક્ષા માટે,કેન્દ્રગામી બળ $F = \frac{mv^2}{r} = -\frac{dU}{dr}$.
આપેલ છે $U = -\frac{k}{2r^2}$,તેથી $F = -\frac{d}{dr}(-\frac{k}{2r^2}) = -\frac{k}{r^3}$.
કેન્દ્રગામી બળનું મૂલ્ય $\frac{mv^2}{r} = \frac{k}{r^3} \Rightarrow \frac{1}{2}mv^2 = \frac{k}{2r^2}$.
આમ,ગતિ ઊર્જા $K = \frac{k}{2r^2}$.
કુલ ઊર્જા $E = K + U = \frac{k}{2r^2} - \frac{k}{2r^2} = 0$.
$(d)$ $E = mc^2$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $m = 1 \ \mu g = 10^{-9} \ kg$ અને $c = 3 \times 10^8 \ m/s$.
$E = 10^{-9} \times (3 \times 10^8)^2 = 10^{-9} \times 9 \times 10^{16} = 9 \times 10^7 \ J$.

(A-D) ખોટું. જો $\overrightarrow P \cdot \overrightarrow Q = 0$ હોય,તો સદિશો પરસ્પર લંબ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $90^o$ છે,$0^o$ નથી.
$(b)$ ખોટું. જો સંઘાત બાદ બે પદાર્થો એકબીજા સાથે ચોંટી જાય,તો તેને સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક સંઘાત કહેવાય છે,સ્થિતિસ્થાપક સંઘાત નહીં.
$(c)$ ખોટું. કાર્યનું સૂત્ર $W = F \cdot d$ છે. જો સમાન બળ $F$ લગાડવામાં આવે,તો જે પદાર્થનું દળ ઓછું હશે તે વધુ પ્રવેગ $(a = F/m)$ અનુભવશે અને સમાન સમયગાળામાં વધુ અંતર $d$ કાપશે. તેથી,હલકા પદાર્થ પર વધુ કાર્ય થાય છે.

(A) સાચું: કાર્ય (ઊર્જા) $W = F \cdot d$ હોવાથી,જો $F$ અને $d$ બંનેને $4$ ગણા કરવામાં આવે,તો નવું કાર્ય $W' = (4F) \cdot (4d) = 16(F \cdot d) = 16W$ થાય. આમ,ઊર્જા $16$ ગણી વધે છે.
$(b)$ ખોટું: અસ્થિતિસ્થાપક સંઘાતમાં માત્ર રેખીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે. કુલ યાંત્રિક ઊર્જાનું સંરક્ષણ થતું નથી કારણ કે કેટલીક ઊર્જા ઉષ્મા,ધ્વનિ વગેરે સ્વરૂપે વ્યય પામે છે.
$(c)$ ખોટું: અસંરક્ષી બળો (જેમ કે ઘર્ષણ) દ્વારા થતું કાર્ય સામાન્ય રીતે યાંત્રિક ઊર્જાનો ઉષ્મા ઊર્જામાં વ્યય કરે છે,સ્થિતિઊર્જામાં વધારો કરતું નથી.

(A) ખોટું. પાવર એ બળ અને વેગનો અદિશ (ડોટ) ગુણાકાર છે,એટલે કે $P = \vec{F} \cdot \vec{v}$.
$(b)$ સાચું. આ $1\,kg$ દળ ધરાવતા પદાર્થ પર $1\,m$ ઊંચાઈએથી ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થતું કાર્ય દર્શાવે છે,જ્યાં $W = mgh = 1 \times 9.8 \times 1 = 9.8\,J$.
$(c)$ ખોટું. શિક્ષક ડસ્ટરને ઘર્ષણની વિરુદ્ધ ખસેડવા માટે બળ લગાડે છે,તેથી તેઓ કાર્ય કરે છે.
$(d)$ ખોટું. ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ હંમેશા અ-ઋણ હોય છે કારણ કે દળ $m > 0$ અને $v^2 \geq 0$ હોય છે.

(C) બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = Fd \cos \theta$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ બળ અને સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$(1)$ કેન્દ્રગામી બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય શૂન્ય હોય છે કારણ કે બળ હંમેશા સ્થાનાંતરને લંબ હોય છે ($\theta = 90^\circ$,$\cos 90^\circ = 0$). તેથી,$(1-c)$.
$(2)$ જ્યારે પદાર્થ બળની દિશામાં ગતિ કરે ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય ધન હોય છે (નીચે તરફની ગતિ,$\theta = 0^\circ$,$\cos 0^\circ = 1$). તેથી,$(2-a)$.
$(3)$ જ્યારે પદાર્થ ઉપર તરફ ગતિ કરે ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણ બળની વિરુદ્ધ થયેલું કાર્ય ઋણ હોય છે (સ્થાનાંતર બળની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે,$\theta = 180^\circ$,$\cos 180^\circ = -1$). તેથી,$(3-b)$.
આમ,સાચી જોડ $(1-c, 2-a, 3-b)$ છે.

(D) વ્યક્તિનું દળ $m = 60 \, kg$. સીડીની ઊંચાઈ $h = 10 \, m$. $1 \, kg$ ચરબી બાળવા માટે જરૂરી ઉર્જા $= 7000 \, kcal = 7 \times 10^6 \, cal$. $5 \, kg$ ચરબી બાળવા માટે જરૂરી કુલ ઉર્જા $= 5 \times 7 \times 10^6 = 35 \times 10^6 \, cal$.
ઉપર જતી વખતે કરેલું કાર્ય $= mgh = 60 \times 9.8 \times 10 = 5880 \, J$.
નીચે આવતી વખતે કરેલું કાર્ય ઉપર જવાના કાર્ય કરતાં અડધું છે (કારણ કે ચરબી બળવાનું પ્રમાણ ઉપર જતી વખતે બમણું છે),તેથી નીચે આવતી વખતે કરેલું કાર્ય $= 2940 \, J$.
એક રાઉન્ડ ટ્રીપમાં કરેલું કુલ કાર્ય $= 5880 + 2940 = 8820 \, J$.
કેલરીમાં રૂપાંતર $(1 \, cal = 4.2 \, J)$: એક ટ્રીપ દીઠ કુલ ઉર્જા $= 8820 / 4.2 = 2100 \, cal$.
ટ્રીપની સંખ્યા $n = \frac{\text{જરૂરી કુલ ઉર્જા}}{\text{ટ્રીપ દીઠ ઉર્જા}} = \frac{35 \times 10^6}{2100} = 16666.67$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં,વ્યક્તિએ $16667$ વખત ઉપર-નીચે જવું પડશે.

(C) ધારો કે અથડામણ પછી $m$ દળના કણનો વેગ $v_1$ છે અને $10m$ દળના કણનો વેગ $v_2$ છે.
$1$. $y$-અક્ષ પર વેગમાનનું સંરક્ષણ:
$y$-અક્ષ પર પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય હોવાથી,$y$-અક્ષ પરના અંતિમ વેગમાનના ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરશે:
$m v_1 \sin \theta_1 = 10m v_2 \sin \theta_2$
$v_1 \sin \theta_1 = 10 v_2 \sin \theta_2$ --- $(i)$
$2$. ગતિઊર્જાની શરત:
$m$ દળના કણની અંતિમ ગતિઊર્જા તેની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા કરતા અડધી છે:
$\frac{1}{2} m v_1^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} m u^2)$
$v_1^2 = \frac{u^2}{2} \Rightarrow v_1 = \frac{u}{\sqrt{2}}$ --- (ii)
$3$. સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે ઊર્જાનું સંરક્ષણ:
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા = અંતિમ ગતિઊર્જા
$\frac{1}{2} m u^2 = \frac{1}{2} m v_1^2 + \frac{1}{2} (10m) v_2^2$
$u^2 = v_1^2 + 10 v_2^2$
$v_1^2 = \frac{u^2}{2}$ મૂકતા:
$u^2 = \frac{u^2}{2} + 10 v_2^2$
$\frac{u^2}{2} = 10 v_2^2 \Rightarrow v_2^2 = \frac{u^2}{20} \Rightarrow v_2 = \frac{u}{\sqrt{20}}$ --- (iii)
$4$. (ii) અને (iii) ને $(i)$ માં મૂકતા:
$(\frac{u}{\sqrt{2}}) \sin \theta_1 = 10 (\frac{u}{\sqrt{20}}) \sin \theta_2$
$\sin \theta_1 = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{20}} \sin \theta_2$
$\sin \theta_1 = 10 \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} \sin \theta_2$
$\sin \theta_1 = \sqrt{10} \sin \theta_2$
$\sin \theta_1 = \sqrt{n} \sin \theta_2$ સાથે સરખાવતા,$n = 10$ મળે છે.

(A) $1$. સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ દરમિયાન રેખીય વેગમાનનું સંરક્ષણ:
$m_b u = (m_b + m_B) v$
$0.1 \times 20 = (0.1 + 1.9) v$
$2 = 2v \Rightarrow v = 1\, m/s$
$2$. $h = 1\, m$ ઊંચાઈએથી નીચે પડતા સંયુક્ત તંત્ર માટે યાંત્રિક ઊર્જાનું સંરક્ષણ:
$KE_f = PE_i + KE_i$
$KE_f = mgh + \frac{1}{2} m v^2$
$KE_f = (2)(10)(1) + \frac{1}{2}(2)(1)^2$
$KE_f = 20 + 1 = 21\, J$

(D) બધી અથડામણો સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક હોવાથી,અંતિમ અથડામણ પછી,બધા બ્લોક્સ એકસાથે સામાન્ય વેગ $v^{\prime}$ થી ગતિ કરશે.
આખા તંત્ર માટે વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
પ્રારંભિક વેગમાન = અંતિમ વેગમાન
$mv = (m + m + 2m + 4m + 8m)v^{\prime}$
$mv = 16mv^{\prime}$
$v^{\prime} = \frac{v}{16}$
તંત્રની પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા:
$E_{i} = \frac{1}{2}mv^{2}$
તંત્રની અંતિમ ગતિ ઉર્જા:
$E_{f} = \frac{1}{2}(16m)(v^{\prime})^{2} = \frac{1}{2}(16m)\left(\frac{v}{16}\right)^{2} = \frac{1}{2}m\frac{v^{2}}{16}$
ઉર્જાનો વ્યય $\Delta E = E_{i} - E_{f} = \frac{1}{2}mv^{2} - \frac{1}{2}m\frac{v^{2}}{16} = \frac{1}{2}mv^{2}\left(1 - \frac{1}{16}\right) = \frac{1}{2}mv^{2}\left(\frac{15}{16}\right)$
ઉર્જા વ્યયની ટકાવારી $p = \frac{\Delta E}{E_{i}} \times 100$
$p = \frac{\frac{1}{2}mv^{2}(\frac{15}{16})}{\frac{1}{2}mv^{2}} \times 100 = \frac{15}{16} \times 100 = 93.75\%$
નજીકના પૂર્ણાંકમાં,$p$ નું મૂલ્ય $94$ ની નજીક છે.

(D) કણ $A$ નો પ્રારંભિક વેગ: $\vec{u}_{1} = (\sqrt{3} \hat{i} + \hat{j}) \, m/s$.
કણ $B$ નો પ્રારંભિક વેગ: $\vec{u}_{2} = 0$.
આપેલ છે કે $m_{1} = 2m_{2}$.
અથડામણ પછી કણ $A$ નો વેગ: $\vec{V}_{1} = (\hat{i} + \sqrt{3} \hat{j}) \, m/s$.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m_{1} \vec{u}_{1} + m_{2} \vec{u}_{2} = m_{1} \vec{V}_{1} + m_{2} \vec{V}_{2}$
$2m_{2}(\sqrt{3} \hat{i} + \hat{j}) + 0 = 2m_{2}(\hat{i} + \sqrt{3} \hat{j}) + m_{2} \vec{V}_{2}$
$m_{2}$ વડે ભાગતા:
$2(\sqrt{3} \hat{i} + \hat{j}) = 2(\hat{i} + \sqrt{3} \hat{j}) + \vec{V}_{2}$
$\vec{V}_{2} = 2(\sqrt{3} \hat{i} + \hat{j} - \hat{i} - \sqrt{3} \hat{j}) = 2[(\sqrt{3}-1) \hat{i} + (1-\sqrt{3}) \hat{j}] = 2(\sqrt{3}-1) (\hat{i} - \hat{j})$.
હવે,$\vec{V}_{1}$ અને $\vec{V}_{2}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{\vec{V}_{1} \cdot \vec{V}_{2}}{|\vec{V}_{1}| |\vec{V}_{2}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{V}_{1} \cdot \vec{V}_{2} = (\hat{i} + \sqrt{3} \hat{j}) \cdot [2(\sqrt{3}-1) (\hat{i} - \hat{j})] = 2(\sqrt{3}-1) (1 - \sqrt{3}) = -2(\sqrt{3}-1)^{2}$.
$|\vec{V}_{1}| = \sqrt{1^{2} + (\sqrt{3})^{2}} = 2$.
$|\vec{V}_{2}| = 2(\sqrt{3}-1) \sqrt{1^{2} + (-1)^{2}} = 2\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)$.
$\cos \theta = \frac{-2(\sqrt{3}-1)^{2}}{2 \cdot 2\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)} = \frac{-(\sqrt{3}-1)}{2\sqrt{2}} = \frac{1-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$.
કારણ કે $\cos 105^{\circ} = \cos(60^{\circ} + 45^{\circ}) = \cos 60^{\circ} \cos 45^{\circ} - \sin 60^{\circ} \sin 45^{\circ} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$,તેથી $\theta = 105^{\circ}$.

(C) ધારો કે પ્રથમ દડાનું દળ $m_1 = 10 \, kg$ છે અને તેનો પ્રારંભિક વેગ $\vec{u}_1 = 10 \sqrt{3} \hat{i} \, m/s$ છે. બીજા દડાનું દળ $m_2 = 20 \, kg$ છે અને તે સ્થિર છે $(\vec{u}_2 = 0)$.
અથડામણ પછી,પ્રથમ દડો સ્થિર થઈ જાય છે. બીજો દડો $10 \, kg$ ના બે સમાન ટુકડાઓમાં વિભાજિત થાય છે.
ધારો કે પ્રથમ ટુકડાનો વેગ $\vec{v}_1 = 10 \hat{j} \, m/s$ છે.
ધારો કે બીજા ટુકડાનો વેગ $\vec{v}_2 = v_x \hat{i} - v_y \hat{j}$ છે (આકૃતિ મુજબ,તે $x$-અક્ષની નીચે $30^{\circ}$ ના ખૂણે ગતિ કરે છે).
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m_1 \vec{u}_1 + m_2 \vec{u}_2 = m_1 \vec{v}_{1,final} + m_p \vec{v}_1 + m_p \vec{v}_2$
$10(10 \sqrt{3} \hat{i}) + 0 = 0 + 10(10 \hat{j}) + 10 \vec{v}_2$
$100 \sqrt{3} \hat{i} = 100 \hat{j} + 10 \vec{v}_2$
$10 \vec{v}_2 = 100 \sqrt{3} \hat{i} - 100 \hat{j}$
$\vec{v}_2 = 10 \sqrt{3} \hat{i} - 10 \hat{j}$
વેગ $\vec{v}_2$ નું મૂલ્ય $x = |\vec{v}_2| = \sqrt{(10 \sqrt{3})^2 + (-10)^2} = \sqrt{300 + 100} = \sqrt{400} = 20 \, m/s$ છે.

(C) આપેલ છે:
બ્લોકનું દળ $M = 5.99 \, kg$
ગોળીનું દળ $m = 10 \, g = 0.01 \, kg$
કુલ દળ $M + m = 5.99 + 0.01 = 6.00 \, kg$
ઊર્ધ્વ ઊંચાઈ $h = 9.8 \, cm = 0.098 \, m$
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8 \, ms^{-2}$
પગલું $1$: અથડામણ પછી (બ્લોક $+$ ગોળી) તંત્ર માટે યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ વાપરતા.
$(M + m)gh = \frac{1}{2}(M + m)v_1^2$
$v_1 = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 9.8 \times 0.098} = \sqrt{19.6 \times 0.098} = \sqrt{1.9208} \approx 1.3856 \, m/s$
પગલું $2$: અથડામણ દરમિયાન રેખીય વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ વાપરતા.
$mv = (M + m)v_1$
$v = \frac{(M + m)v_1}{m} = \frac{6.00 \times 1.3856}{0.01} = 600 \times 1.3856 = 831.36 \, m/s$
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,ઝડપ $831.5 \, m/s$ મળે છે.

(A) $1$. જ્યારે બ્લોક $C$ બ્લોક $A$ સાથે અથડાય છે,ત્યારે તે તેની સાથે ચોંટી જાય છે (ધારી લઈએ કે અથડામણ સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક છે). તંત્ર $(C+A)$ માટે રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણ મુજબ: $mv = (m+m)V_A \Rightarrow V_A = v/2$.
$2$. હવે,આપણી પાસે એક તંત્ર છે જેમાં બ્લોક $A$ ($C$ સાથે જોડાયેલ) $v/2$ વેગથી બ્લોક $B$ તરફ ગતિ કરે છે,જે શરૂઆતમાં સ્થિર છે.
$3$. સ્પ્રિંગમાં મહત્તમ સંકોચન ત્યારે થાય છે જ્યારે બંને બ્લોક $(A+C)$ અને $B$ સમાન વેગ $V_{cm}$ થી ગતિ કરે.
$4$. સમગ્ર તંત્ર $(C+A+B)$ માટે રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણ મુજબ: $mv = (m+m+m)V_{cm} \Rightarrow V_{cm} = v/3$.
$5$. યાંત્રિક ઉર્જાના સંરક્ષણ મુજબ: $\frac{1}{2}(2m)(v/2)^2 = \frac{1}{2}(3m)(v/3)^2 + \frac{1}{2}Kx_{max}^2$.
$6$. $\frac{1}{2}(2m)(v^2/4) = \frac{1}{2}(3m)(v^2/9) + \frac{1}{2}Kx_{max}^2 \Rightarrow \frac{mv^2}{4} = \frac{mv^2}{6} + \frac{1}{2}Kx_{max}^2$.
$7$. $\frac{1}{2}Kx_{max}^2 = \frac{mv^2}{4} - \frac{mv^2}{6} = \frac{3mv^2 - 2mv^2}{12} = \frac{mv^2}{12}$.
$8$. $x_{max}^2 = \frac{mv^2}{6K} \Rightarrow x_{max} = v\sqrt{\frac{m}{6K}}$.
*નોંધ: જો અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હોય,તો $C$ સ્થિર થઈ જાય છે અને $A$ $v$ વેગથી ગતિ કરે છે. ત્યારે $mv = (m+m)V_{cm} \Rightarrow V_{cm} = v/2$. ઉર્જા: $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}(2m)(v/2)^2 + \frac{1}{2}Kx_{max}^2 \Rightarrow \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{4}mv^2 + \frac{1}{2}Kx_{max}^2 \Rightarrow \frac{1}{2}Kx_{max}^2 = \frac{1}{4}mv^2 \Rightarrow x_{max} = v\sqrt{\frac{m}{2K}}$. આ વિકલ્પ $A$ સાથે મેળ ખાય છે.*

(B) શિરોલંબ વર્તુળ પૂર્ણ કરવા માટે, સૌથી નીચેના બિંદુએ ગોળા માટે જરૂરી ન્યૂનતમ વેગ $V' = \sqrt{5gR}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $V' = \sqrt{5 \times 10 \times 0.5} = \sqrt{25} = 5\, \text{m/s}$.
હવે, અથડામણ દરમિયાન રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા:
$m_1 v = m_2 V' - m_1 v_{recoil}$
અહીં, $m_1 = 10\, \text{g} = 0.01\, \text{kg}$, $m_2 = 1\, \text{kg}$, $V' = 5\, \text{m/s}$, અને $v_{recoil} = 100\, \text{m/s}$.
$0.01 \times v = 1 \times 5 - 0.01 \times 100$
$0.01 \times v = 5 - 1$
$0.01 \times v = 4$
$v = \frac{4}{0.01} = 400\, \text{m/s}$.

(C) રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક વેગમાન એ અંતિમ વેગમાન જેટલું હોય છે: $P_i = P_f$।
ધારો કે બ્લોકનું દળ $m$ છે. તેથી,$m \times 40 = (m/2) \times v + (m/2) \times 60$।
$m/2$ વડે ભાગતા,આપણને $80 = v + 60$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $v = 20 \, m/s$।
પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા: $(K.E.)_i = \frac{1}{2} m (40)^2 = 800m$।
અંતિમ ગતિ ઉર્જા: $(K.E.)_f = \frac{1}{2} (m/2) (20)^2 + \frac{1}{2} (m/2) (60)^2 = \frac{1}{4} m (400 + 3600) = 1000m$।
ગતિ ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta K.E. = (K.E.)_f - (K.E.)_i = 1000m - 800m = 200m$ છે।
આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta K.E.}{(K.E.)_i} = \frac{200m}{800m} = \frac{1}{4}$ છે।
આપેલ છે કે આંશિક ફેરફાર $x:4$ છે,તેથી $x/4 = 1/4$,એટલે કે $x = 1$।

(C) ધારો કે કુલ દળ $3M$ છે. પ્રારંભિક વેગ $V_0 = 40\, m/s$ છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$P_{initial} = P_{final}$
$3M \cdot V_0 = M \cdot V_1 + 2M \cdot V_2$
$3 \cdot 40 = 60 + 2 \cdot V_2$
$120 = 60 + 2 \cdot V_2 \Rightarrow 2 \cdot V_2 = 60 \Rightarrow V_2 = 30\, m/s$.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2} \cdot (3M) \cdot V_0^2 = \frac{1}{2} \cdot 3M \cdot (40)^2 = 2400M$.
અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = \frac{1}{2} \cdot M \cdot V_1^2 + \frac{1}{2} \cdot (2M) \cdot V_2^2 = \frac{1}{2} \cdot M \cdot (60)^2 + M \cdot (30)^2 = 1800M + 900M = 2700M$.
ગતિઊર્જામાં ફેરફાર $\Delta K = K_f - K_i = 2700M - 2400M = 300M$.
ગતિઊર્જામાં આંશિક ફેરફાર = $\frac{\Delta K}{K_i} = \frac{300M}{2400M} = \frac{1}{8}$.

(A) સિસ્ટમની પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા $K_i = \frac{1}{2}mv^2$ છે,જ્યાં $m = 40,000\, \text{kg}$ અને $v = 72\, \text{km/h} = 20\, \text{m/s}$ છે.
$K_i = \frac{1}{2} \times 40,000 \times (20)^2 = 80,00,000\, \text{J} = 80 \times 10^5\, \text{J}$.
કાર્ય-ઉર્જા પ્રમેય મુજબ,કુલ કાર્ય એ ગતિ ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W_{\text{friction}} + W_{\text{spring}} = K_f - K_i$.
આપેલ છે કે ઘર્ષણને કારણે $90\%$ ઉર્જાનો વ્યય થાય છે,તેથી $W_{\text{friction}} = -0.9 K_i$.
સિસ્ટમ સ્થિર થાય છે,તેથી $K_f = 0$. આમ,$-0.9 K_i + W_{\text{spring}} = -K_i$.
$W_{\text{spring}} = -0.1 K_i$.
સ્પ્રિંગ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W_{\text{spring}} = -\frac{1}{2}kx^2$ છે,જ્યાં $x = 1.0\, \text{m}$ છે.
$-\frac{1}{2}k(1)^2 = -0.1 \times (80 \times 10^5)$.
$\frac{1}{2}k = 8 \times 10^5$.
$k = 16 \times 10^5\, \text{N/m}$.
તેથી,સ્પ્રિંગ અચળાંક $16 \times 10^5\, \text{N/m}$ છે.

(B) ઇનપુટ પાવર $P_{\text{input}}$ એ સ્થિતિ ઊર્જાના ફેરફારના દર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P_{\text{input}} = \frac{mgh}{t} = \left(\frac{m}{t}\right)gh$.
આપેલ છે કે $\frac{m}{t} = 15 \, kg/s$,$g = 10 \, m/s^2$,અને $h = 60 \, m$.
$P_{\text{input}} = 15 \times 10 \times 60 = 9000 \, W = 9 \, kW$.
ઘર્ષણને કારણે પાવરનો વ્યય ઇનપુટ પાવરના $10 \%$ છે.
$\text{Loss} = 10 \% \text{ of } 9 \, kW = 0.1 \times 9 \, kW = 0.9 \, kW$.
ટર્બાઇન દ્વારા ઉત્પન્ન થતી પાવર એ આઉટપુટ પાવર છે: $P_{\text{output}} = P_{\text{input}} - \text{Loss} = 9 \, kW - 0.9 \, kW = 8.1 \, kW$.

(C) ધારો કે પ્રથમ પદાર્થનું દળ $m_1 = 2 \, \text{kg}$ અને તેનો પ્રારંભિક વેગ $u_1 = 4 \, \text{m/s}$ છે.
ધારો કે બીજા પદાર્થનું દળ $m_2$ અને તેનો પ્રારંભિક વેગ $u_2 = 0 \, \text{m/s}$ છે.
અથડામણ પછી,પ્રથમ પદાર્થ $v_1 = \frac{1}{4} \times 4 = 1 \, \text{m/s}$ ના વેગથી ગતિ કરે છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$.
$2 \times 4 + m_2 \times 0 = 2 \times 1 + m_2 v_2 \implies 8 = 2 + m_2 v_2 \implies m_2 v_2 = 6$.
સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે,રેસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક $e = 1 = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2}$.
$1 = \frac{v_2 - 1}{4 - 0} \implies v_2 - 1 = 4 \implies v_2 = 5 \, \text{m/s}$.
$v_2$ ની કિંમત વેગમાનના સમીકરણમાં મૂકતા: $m_2 \times 5 = 6 \implies m_2 = 1.2 \, \text{kg}$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $v_{cm} = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}$ છે.
$v_{cm} = \frac{2 \times 1 + 1.2 \times 5}{2 + 1.2} = \frac{2 + 6}{3.2} = \frac{8}{3.2} = \frac{80}{32} = 2.5 \, \text{m/s}$.
આપેલ છે કે $v_{cm} = \frac{x}{10} \, \text{m/s}$,તેથી $\frac{x}{10} = 2.5 \implies x = 25$.

(A) ધારો કે $A$ નો પ્રારંભિક વેગ $u_A = 9 \ m/s$ અને $B$ નો વેગ $u_B = 0$ છે. $A$ અને $B$ વચ્ચેની સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ પછી,ધારો કે તેમના વેગ $v_A$ અને $v_B$ છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરતા: $m(9) + 2m(0) = m v_A + 2m v_B \Rightarrow 9 = v_A + 2v_B$ (સમીકરણ $1$).
સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે પ્રત્યવસ્થાન ગુણાંક $(e=1)$ નો ઉપયોગ કરતા: $v_B - v_A = e(u_A - u_B) = 1(9 - 0) = 9 \Rightarrow v_B - v_A = 9$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ અને સમીકરણ $2$ નો સરવાળો કરતા: $3v_B = 18 \Rightarrow v_B = 6 \ m/s$.
હવે,$B$ એ $C$ (જે શરૂઆતમાં સ્થિર છે) સાથે સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ કરે છે. ધારો કે સંયુક્ત દળ $(B+C)$ નો અંતિમ વેગ $v_C$ છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરતા: $2m(v_B) + 2m(0) = (2m + 2m)v_C$.
$2m(6) = 4m v_C \Rightarrow 12m = 4m v_C \Rightarrow v_C = 3 \ m/s$.

(D) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક કુલ ઉર્જા એ અંતિમ કુલ ઉર્જા જેટલી હોય છે: $U_i + K_i = U_f + K_f$.
અહીં,$U_i = 0$ (સ્પ્રિંગની પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા),$K_i = \frac{1}{2} m v_i^2$,$U_f = \frac{1}{2} k x^2$,અને $K_f = \frac{1}{2} m v_f^2$.
આપેલ છે: $m = 0.5 \, kg$,$v_i = 12 \, ms^{-1}$,$v_f = 6 \, ms^{-1}$,અને $x = 30 \, cm = 0.3 \, m$.
કિંમતો મૂકતા: $0 + \frac{1}{2} \times 0.5 \times (12)^2 = \frac{1}{2} \times k \times (0.3)^2 + \frac{1}{2} \times 0.5 \times (6)^2$.
$2$ વડે ગુણતા: $0.5 \times (144) = k \times (0.09) + 0.5 \times (36)$.
$72 = 0.09k + 18$.
$0.09k = 72 - 18 = 54$.
$k = \frac{54}{0.09} = 600 \, Nm^{-1}$.

(C) ધારો કે ગોળાનું દળ $m_b = 50 \; g = 0.05 \; kg$ અને ગોળીનું દળ $m_u = 75 \; g = 0.075 \; kg$ છે. લોલકની લંબાઈ $R = 2 \; m$ છે.
ગોળો શિરોલંબ વર્તુળ પૂર્ણ કરે તે માટે,સૌથી નીચલા બિંદુએ લઘુત્તમ વેગ $u = \sqrt{5gR}$ હોવો જોઈએ.
કિંમતો મૂકતા: $u = \sqrt{5 \times 10 \times 2} = \sqrt{100} = 10 \; m/s$.
અથડામણ દરમિયાન સમક્ષિતિજ દિશામાં રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m_u v = m_u (v/3) + m_b u$
$0.075 v = 0.075 (v/3) + 0.05 (10)$
$0.075 v - 0.025 v = 0.5$
$0.05 v = 0.5$
$v = 10 \; m/s$.

(B) ધારો કે ગોળીનું દળ $m$ છે અને તેનો પ્રારંભિક વેગ $v$ છે.
ગોળીની ગતિઊર્જા $K.E. = \frac{1}{2} m v^2$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ ઊર્જાના $40 \%$ ભાગનો ઉપયોગ ગોળીને તેના ગલનબિંદુ સુધી ગરમ કરવા અને પછી તેને ઓગાળવા માટે થાય છે.
તાપમાન $127^{\circ} C$ થી $327^{\circ} C$ સુધી વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q_1 = m c \Delta T = m \times 125 \times (327 - 127) = m \times 125 \times 200 = 25000 m \, J$ છે.
ગોળીને ઓગાળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q_2 = m L = m \times 2.5 \times 10^{4} = 25000 m \, J$ છે.
કુલ જરૂરી ઉષ્મા $Q = Q_1 + Q_2 = 25000 m + 25000 m = 50000 m \, J$ છે.
ગતિઊર્જાના $40 \%$ ને કુલ ઉષ્મા સાથે સરખાવતા: $0.40 \times (\frac{1}{2} m v^2) = 50000 m$.
$0.2 v^2 = 50000$.
$v^2 = 250000$.
$v = 500 \, m \, s^{-1}$.

(B) દળનો પ્રવાહ દર $m = 9 \times 10^{4}\,kg$ પ્રતિ કલાક છે. તેને સેકન્ડમાં ફેરવતા, $m = \frac{9 \times 10^{4}}{3600}\,kg/s = 25\,kg/s$.
પ્રતિ સેકન્ડ ગુરુત્વીય સ્થિતિ ઊર્જા (પાવર) $P_{in} = mgh = 25 \times 10 \times 40 = 10000\,W$ છે.
આપેલ છે કે આ ઊર્જાના $50\%$ ભાગનું વિદ્યુત ઊર્જામાં રૂપાંતર થાય છે, તેથી ઉપલબ્ધ વિદ્યુત પાવર $P_{elec} = 0.5 \times P_{in} = 0.5 \times 10000 = 5000\,W$ છે.
જો દરેક લેમ્પ $100\,W$ વાપરે, તો પ્રજ્વલિત કરી શકાય તેવા લેમ્પની સંખ્યા $n = \frac{P_{elec}}{100} = \frac{5000}{100} = 50$ છે.

(C) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $V$ છે અને અચળ પ્રતિપ્રવેગ $a$ છે.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 - 2as$ નો ઉપયોગ કરતા:
પ્રથમ $4 \ cm$ માટે,વેગ $V/3$ થાય છે:
$(V/3)^2 = V^2 - 2a(4) \Rightarrow V^2/9 = V^2 - 8a \Rightarrow 8a = 8V^2/9 \Rightarrow a = V^2/9$.
હવે,બુલેટ સંપૂર્ણપણે અટકી જાય તે માટે,અંતિમ વેગ $0$ થાય છે જ્યારે અંતર $s = 4+x$ હોય:
$0^2 = V^2 - 2a(4+x) \Rightarrow V^2 = 2(V^2/9)(4+x)$.
બંને બાજુ $V^2$ વડે ભાગતા:
$1 = (2/9)(4+x) \Rightarrow 9/2 = 4+x \Rightarrow 4.5 = 4+x \Rightarrow x = 0.5 \ cm$.

(A) બ્લોક $H$ ઊંચાઈએથી સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂઆત કરે છે,તેથી તેની પ્રારંભિક યાંત્રિક ઉર્જા $E_i = mgH$ છે.
જેમ બ્લોક ગતિ કરે છે,તે $d$ લંબાઈની ખરબચડી સમક્ષિતિજ સપાટીનો સામનો કરે છે અને પછી સ્પ્રિંગને $x$ અંતર સુધી દબાવે છે. આગળની મુસાફરી દરમિયાન ઘર્ષણ વિરુદ્ધ થયેલ કાર્ય $W_{f1} = \mu mgd$ છે.
સ્પ્રિંગના સંકોચન દરમિયાન,બ્લોક ખરબચડી સપાટી પર વધારાનું $x$ અંતર કાપે છે,તેથી આ ભાગ દરમિયાન ઘર્ષણ વિરુદ્ધ થયેલ કાર્ય $W_{f2} = \mu mgx$ છે.
આગળની મુસાફરી દરમિયાન ઘર્ષણ વિરુદ્ધ થયેલ કુલ કાર્ય $W_{f,total} = \mu mg(d+x)$ છે.
જ્યારે બ્લોક પાછો ફરે છે,ત્યારે તે ખરબચડી સપાટી પર સમાન અંતર $x$ (સ્પ્રિંગનું વિસ્તરણ) અને $d$ કાપે છે,તેથી પાછા ફરતી વખતે ઘર્ષણ વિરુદ્ધ થયેલ કાર્ય પણ $W_{f,return} = \mu mg(d+x)$ છે.
કાર્ય-ઉર્જા પ્રમેય મુજબ,પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા એ ઘર્ષણ વિરુદ્ધ થયેલ કુલ કાર્ય અને $h$ ઊંચાઈએ અંતિમ સ્થિતિ ઉર્જા $mgh$ ના સરવાળા જેટલી હોય છે:
$mgH = W_{f,total} + W_{f,return} + mgh$
$mgH = \mu mg(d+x) + \mu mg(d+x) + mgh$
$mgH = 2\mu mg(d+x) + mgh$
$mg$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$H = 2\mu(d+x) + h$
$h = H - 2\mu(d+x)$

(D) જ્યારે દડો $h = l \sin \theta$ જેટલી ઊંચાઈ નીચે પડે છે અને દોરી સમક્ષિતિજથી $\theta$ ખૂણે ફરે છે,ત્યારે દડાનો વેગ $v$ યાંત્રિક ઉર્જાના સંરક્ષણના નિયમ દ્વારા મેળવી શકાય છે:
$\frac{1}{2} m v^2 = m g h = m g l \sin \theta$
$\Rightarrow v^2 = 2 g l \sin \theta$
ત્રિજ્યાવર્તી પ્રવેગ $a_r$ નીચે મુજબ છે:
$a_r = \frac{v^2}{l} = \frac{2 g l \sin \theta}{l} = 2 g \sin \theta$
સ્પર્શકીય પ્રવેગ $a_t$ એ વર્તુળાકાર પથના સ્પર્શક પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળના ઘટક દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે. સમક્ષિતિજથી $\theta$ ખૂણે,શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો $(90^\circ - \theta)$ થાય છે. તેથી,સ્પર્શક પર વજનનો ઘટક $m g \cos \theta$ છે:
$a_t = \frac{F_t}{m} = g \cos \theta$
કુલ પ્રવેગ $a$ નું મૂલ્ય:
$a = \sqrt{a_r^2 + a_t^2}$
$a = \sqrt{(2 g \sin \theta)^2 + (g \cos \theta)^2}$
$a = \sqrt{4 g^2 \sin^2 \theta + g^2 \cos^2 \theta}$
$a = g \sqrt{4 \sin^2 \theta + (1 - \sin^2 \theta)}$
$a = g \sqrt{3 \sin^2 \theta + 1}$

(A) સાચો જવાબ $A$ છે.
સ્થિતિસ્થાપક સંઘાતમાં,ગતિઊર્જા $(KE)$ સમગ્ર પ્રક્રિયા દરમિયાન સંરક્ષિત રહે છે,જેમાં સંઘાતનો સમયગાળો પણ સામેલ છે. તેથી,એવું વિધાન કે સંઘાત દરમિયાન $KE$ સંરક્ષિત રહેતું નથી,તે ખોટું છે.
વિકલ્પ $D$ ના સંદર્ભમાં,દડાનું વેગમાન સંરક્ષિત રહેતું નથી કારણ કે સંઘાત દરમિયાન દડા પર બાહ્ય આઘાતી બળ (જમીન દ્વારા લાગતું લંબબળ) લાગે છે. જોકે,બહુવિકલ્પ પ્રશ્નોના સંદર્ભમાં જ્યાં વ્યાખ્યાના આધારે સૌથી વધુ ખોટું વિધાન શોધવાનું હોય,ત્યારે વિકલ્પ $A$ એ સ્થિતિસ્થાપક સંઘાતની વ્યાખ્યા મુજબ સ્પષ્ટપણે ખોટું છે.

(C) $10 \, m$ ની ઊંચાઈ પર દડાની પ્રારંભિક સ્થિતિ ઊર્જા $E_i = mgh_1 = mg(10)$ છે.
જ્યારે દડો જમીન સાથે અથડાય છે,ત્યારે અથડામણ પહેલાં તેની ગતિ ઊર્જા $K_i = mgh_1 = 10mg$ હોય છે.
અથડામણને કારણે $40 \%$ ઊર્જાનો વ્યય થાય છે. તેથી,અથડામણ પછી બાકી રહેલી ઊર્જા પ્રારંભિક ઊર્જાના $60 \%$ છે.
બાકી રહેલી ઊર્જા $E_f = (1 - 0.40) E_i = 0.60 \times 10mg = 6mg$.
અથડામણ પછી,દડો નવી ઊંચાઈ $h_2$ સુધી ઉપર જાય છે. મહત્તમ ઊંચાઈએ,ગતિ ઊર્જા ફરીથી સ્થિતિ ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
$mgh_2 = 6mg$.
$h_2$ માટે ઉકેલતા,આપણને $h_2 = 6 \, m$ મળે છે.

(B) આપેલ વેગ $v = k \sqrt{x}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$v^2 = k^2 x$ મળે.
આને ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2ax$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે,આપણને $2a = k^2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે પ્રવેગ $a = \frac{k^2}{2}$ છે.
પ્રવેગ અચળ હોવાથી,$t$ સમયમાં સ્થાનાંતર $x = \frac{1}{2} a t^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{k^2}{2} \right) t^2 = \frac{k^2 t^2}{4}$ થાય.
કણ પર લાગતું બળ $F = ma = m \left( \frac{k^2}{2} \right) = \frac{m k^2}{2}$ છે.
થયેલું કાર્ય $W = F \cdot x = \left( \frac{m k^2}{2} \right) \left( \frac{k^2 t^2}{4} \right) = \frac{m k^4 t^2}{8}$ થાય.

(C) શરૂઆતમાં,શેલ સ્થિર છે,તેથી પ્રારંભિક વેગમાન $0$ છે. વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અંતિમ વેગમાન પણ $0$ હોવું જોઈએ.
ધારો કે $m_2$ દળની ઝડપ $v$ છે. તો $m_1 u = m_2 v$,જે આપણને $v = \frac{m_1 u}{m_2}$ આપે છે.
આંતરિક બળો દ્વારા થયેલું કાર્ય એ તંત્રની ગતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W = K_f - K_i = \left(\frac{1}{2} m_1 u^2 + \frac{1}{2} m_2 v^2\right) - 0$.
$v = \frac{m_1 u}{m_2}$ કિંમત મૂકતા:
$W = \frac{1}{2} m_1 u^2 + \frac{1}{2} m_2 \left(\frac{m_1 u}{m_2}\right)^2 = \frac{1}{2} m_1 u^2 + \frac{1}{2} \frac{m_1^2 u^2}{m_2}$.
$W = \frac{1}{2} m_1 u^2 \left(1 + \frac{m_1}{m_2}\right)$.

(A) ધારો કે ગોળીનો પ્રારંભિક વેગ $v$ છે. એક પાટિયામાંથી પસાર થયા પછી, વેગ $v' = v - \frac{1}{20}v = \frac{19}{20}v$ થાય છે.
$x$ જાડાઈના એક પાટિયા અને અવરોધક બળ $F$ માટે કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$-Fx = \frac{1}{2}m(v')^2 - \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m \left[ \left( \frac{19}{20}v \right)^2 - v^2 \right] = \frac{1}{2}mv^2 \left( \frac{361}{400} - 1 \right) = -\frac{1}{2}mv^2 \left( \frac{39}{400} \right)$.
તેથી, $Fx = \frac{39}{800}mv^2$.
ધારો કે ગોળીને અટકાવવા માટે જરૂરી પાટિયાઓની સંખ્યા $n$ છે. $nx$ અંતર પછી અંતિમ વેગ $0$ થશે:
$-F(nx) = \frac{1}{2}m(0)^2 - \frac{1}{2}mv^2 = -\frac{1}{2}mv^2$.
$Fx$ ની કિંમત મૂકતા:
$n \left( \frac{39}{800}mv^2 \right) = \frac{1}{2}mv^2$.
$n = \frac{800}{2 \times 39} = \frac{400}{39} \approx 10.25$.
પાટિયાઓની સંખ્યા પૂર્ણાંક હોવી જોઈએ, તેથી ગોળીને સંપૂર્ણપણે અટકાવવા માટે $11$ પાટિયાની જરૂર પડશે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $t = \sqrt{x} + 2$.
$x$ માટે ગોઠવતા: $\sqrt{x} = t - 2$,જેનો અર્થ છે કે $x = (t - 2)^2$.
વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષે સ્થાનનું વિકલન છે: $v = \frac{dx}{dt} = 2(t - 2)$.
$t = 0 \ s$ સમયે,પ્રારંભિક વેગ $u = v(0) = 2(0 - 2) = -4 \ m/s$.
$t = 4 \ s$ સમયે,અંતિમ વેગ $v_f = v(4) = 2(4 - 2) = 4 \ m/s$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,થયેલું કાર્ય $W$ એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = \Delta K = \frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m u^2$.
કિંમતો મૂકતા: $W = \frac{1}{2} m (4)^2 - \frac{1}{2} m (-4)^2 = \frac{1}{2} m (16) - \frac{1}{2} m (16) = 0 \ J$.

(A) કાર્ય કરવાનો દર એટલે પાવર,$P = Fv$. આપેલ છે કે $P = 2x$.
કારણ કે $F = ma = m \frac{dv}{dt} = m \frac{dv}{dx} \frac{dx}{dt} = mv \frac{dv}{dx}$,તેથી:
$P = (mv \frac{dv}{dx}) v = mv^2 \frac{dv}{dx} = 2x$.
સંકલન માટે પદોને ગોઠવતા:
$mv^2 dv = 2x dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int mv^2 dv = \int 2x dx$.
$\frac{mv^3}{3} = x^2 + C$.
ધારો કે કણ ઉગમબિંદુ પર સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂઆત કરે છે ($x=0$ પર $v=0$),તેથી અચળાંક $C = 0$.
તેથી,$\frac{mv^3}{3} = x^2$.
$v^3 = \frac{3x^2}{m}$.
$v = \left[\frac{3x^2}{m}\right]^{1/3}$.

(B) આપેલ છે: ઉર્જા $Q = 5000 \,cal$,દળ $m = 60 \,kg$,કાર્યક્ષમતા $\eta = 30 \% = 0.3$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \,m/s^2$,ઉષ્માનો યાંત્રિક તુલ્યાંક $J = 4.2 \,J/cal$.
થયેલ ઉપયોગી યાંત્રિક કાર્ય $W = \eta \times Q \times J$ છે.
$h$ ઊંચાઈ સુધી ચઢવા માટે થયેલ કાર્ય $W = mgh$ છે.
બંનેને સરખાવતા: $mgh = \eta J Q$.
$h$ માટે ઉકેલતા: $h = \frac{\eta J Q}{mg} = \frac{0.3 \times 4.2 \times 5000}{60 \times 10}$.
$h = \frac{6300}{600} = 10.5 \,m$.

(A) વિધાનોનું વિશ્લેષણ:
$(A)$ જ્યારે માણસ ડોલ ઊંચકે છે,ત્યારે તેના દ્વારા લાગુ પાડવામાં આવેલું બળ સ્થાનાંતરની દિશામાં (ઉપરની તરફ) હોય છે. તેથી,કાર્ય ધન છે. વિધાન $(A)$ ખોટું છે.
$(B)$ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ નીચેની તરફ લાગે છે જ્યારે સ્થાનાંતર ઉપરની તરફ છે. બળ અને સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો $180^{\circ}$ હોવાથી,કાર્ય ઋણ છે. વિધાન $(B)$ સાચું છે.
$(C)$ ઘર્ષણ હંમેશા ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગે છે. નીચે સરકતા પદાર્થ માટે,ઘર્ષણ સપાટી પર ઉપરની તરફ લાગે છે,જ્યારે સ્થાનાંતર નીચેની તરફ છે. તેથી,કાર્ય ઋણ છે. વિધાન $(C)$ ખોટું છે.
$(D)$ ખરબચડી સમક્ષિતિજ સપાટી પર અચળ વેગથી ગતિ કરતા પદાર્થ માટે,લાગુ પાડેલું બળ ગતિક ઘર્ષણને સંતુલિત કરે છે. બળ સ્થાનાંતરની દિશામાં હોવાથી,કાર્ય ધન છે. વિધાન $(D)$ ખોટું છે.
$(E)$ હવાના અવરોધ હંમેશા લોલકના ગોળાની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગે છે. તેથી,કાર્ય ઋણ છે. વિધાન $(E)$ સાચું છે.
તેથી,વિધાનો $(B)$ અને $(E)$ સાચા છે.

(A) આપેલ છે:
દળ $M = 5\,kg$
પ્રારંભિક વેગમાન $P_i = 10\,kg\,m/s$
બળ $F = 2\,N$
સમયગાળો $\Delta t = 5\,s$
આઘાત-વેગમાનના પ્રમેય મુજબ,વેગમાનમાં થતો ફેરફાર એ લાગુ પાડેલા આઘાત જેટલો હોય છે:
$\Delta P = F \times \Delta t = P_f - P_i$
$2\,N \times 5\,s = P_f - 10\,kg\,m/s$
$10 = P_f - 10$
અંતિમ વેગમાન $P_f = 20\,kg\,m/s$
ગતિઊર્જા $KE$ અને વેગમાન $P$ વચ્ચેનો સંબંધ $KE = \frac{P^2}{2M}$ છે.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $KE_i = \frac{P_i^2}{2M} = \frac{10^2}{2 \times 5} = \frac{100}{10} = 10\,J$
અંતિમ ગતિઊર્જા $KE_f = \frac{P_f^2}{2M} = \frac{20^2}{2 \times 5} = \frac{400}{10} = 40\,J$
ગતિઊર્જામાં થતો વધારો = $KE_f - KE_i = 40\,J - 10\,J = 30\,J$.

(A) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ, અવરોધક બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W = \Delta KE$
અંતિમ ગતિઊર્જા $0$ છે અને પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K$ છે, તેથી કાર્ય $W = -F \cdot S = 0 - K$ થાય, જ્યાં $F$ એ અવરોધક બળ છે અને $S$ એ સ્થિર થવા માટેનું અંતર છે.
આમ, $S = \frac{K}{F}$.
ટ્રક અને કાર બંનેની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K$ સમાન છે અને બંને પર સમાન અવરોધક બળ $F$ લાગે છે, તેથી તેઓ સમાન અંતર $S$ કાપીને સ્થિર થશે. તેથી, વિધાન $I$ સાચું છે.
વિધાન $II$ માટે, જોકે ઝડપ (વેગનું મૂલ્ય) બદલાતી નથી, પરંતુ જ્યારે કાર પૂર્વથી ઉત્તર તરફ વળે છે ત્યારે વેગની દિશા બદલાય છે.
પ્રવેગને વેગમાં થતા ફેરફારના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે $(\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt})$. વેગની દિશા બદલાતી હોવાથી, વેગ સદિશ બદલાય છે, જેનો અર્થ છે કે પ્રવેગ શૂન્ય હોઈ શકે નહીં.
તેથી, વિધાન $II$ ખોટું છે.

(D) બસ અચળ ઝડપે ગતિ કરતી હોવાથી,કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ બસ પર થયેલું કુલ કાર્ય શૂન્ય છે.
$W_{\text{net}} = W_{\text{engine}} + W_{\text{friction}} = 0$
તેથી,$W_{\text{engine}} = -W_{\text{friction}}$.
ઘર્ષણ દ્વારા થતું કાર્ય $W_{\text{friction}} = -f_k \cdot d = -(\mu mg) \cdot d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\mu = 0.04$,$m = 500\,kg$,$g = 9.8\,m/s^2$,અને $d = 4\,km = 4000\,m$.
$W_{\text{engine}} = \mu mgd = 0.04 \times 500 \times 9.8 \times 4000$.
$W_{\text{engine}} = 20 \times 9.8 \times 4000 = 196 \times 4000 = 784000\,J$.
$kJ$ માં ફેરવતા,$W_{\text{engine}} = 784\,kJ$.

(D) $m$ દળ અને $p$ રેખીય વેગમાન ધરાવતા પદાર્થની ગતિઊર્જા $K = \frac{p^2}{2m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં આપેલ છે કે રેખીય વેગમાન સમાન છે,એટલે કે $p_1 = p_2 = p$.
તેથી,ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_1}{K_2} = \frac{p^2 / 2m_1}{p^2 / 2m_2} = \frac{m_2}{m_1}$ થાય.
આપેલ છે કે $\frac{K_1}{K_2} = \frac{16}{9}$,તેથી $\frac{m_2}{m_1} = \frac{16}{9}$ મળે.
આમ,તેમના દળનો ગુણોત્તર $\frac{m_1}{m_2} = \frac{9}{16}$ થાય.

(B) $1$. અથડામણ દરમિયાન રેખીય વેગમાનનું સંરક્ષણ:
$m u = (M + m) V$
આપેલ છે $m = 10^{-2} \,kg$,$u = 200 \,m/s$,$M = 1 \,kg$.
$10^{-2} \times 200 = (1 + 0.01) V$
$2 = 1.01 V$
$V = \frac{2}{1.01} \approx 1.98 \,m/s \approx 2 \,m/s$.
$2$. અથડામણ પછી ગોળા-ગોળીના તંત્ર માટે યાંત્રિક ઉર્જાનું સંરક્ષણ:
$\frac{1}{2} (M + m) V^2 = (M + m) g h$
$h = \frac{V^2}{2g}$
$h = \frac{2^2}{2 \times 10} = \frac{4}{20} = 0.2 \,m$.

(D) જમીન સાથે અથડાય તે પહેલાં દડાનો વેગ ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ દ્વારા મળે છે. તે સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે $(u=0)$,તેથી $v = \sqrt{2gh}$.
$h$ ઊંચાઈ પર દડાની પ્રારંભિક સ્થિતિ ઊર્જા $PE_i = mgh$ છે. અથડામણ પહેલાંની ગતિ ઊર્જા $KE_i = mgh$ છે.
દડો $h' = h/2$ ઊંચાઈ સુધી ઉછળે છે. આ મહત્તમ ઊંચાઈએ સ્થિતિ ઊર્જા $PE_f = mg(h/2) = \frac{1}{2}mgh$ છે.
ઊર્જામાં થતો ઘટાડો $\Delta E = PE_i - PE_f = mgh - \frac{1}{2}mgh = \frac{1}{2}mgh$ છે.
ઊર્જામાં થતો ટકાવારી ઘટાડો $\frac{\Delta E}{PE_i} \times 100 = \frac{\frac{1}{2}mgh}{mgh} \times 100 = 50 \%$ છે.
આમ,ટકાવારી ઘટાડો $50 \%$ છે અને અથડામણ પહેલાંનો વેગ $\sqrt{2gh}$ છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) ધારો કે બ્લોકને $h = L \sin(30^{\circ}) = 10 \times 0.5 = 5 \text{ m}$ ઊંચાઈથી મુક્ત કરવામાં આવે છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $W_{\text{gravity}} + W_{\text{friction}} + W_{\text{spring}} = \Delta KE = 0$.
ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલ કાર્ય: $W_g = mgh = 5 \times 10 \times 5 = 250 \text{ J}$.
આડી સપાટી પર ઘર્ષણ દ્વારા થયેલ કાર્ય: $W_f = -\mu mg(d + x) = -0.5 \times 5 \times 10 \times (2 + x) = -25(2 + x) = -50 - 25x$.
સ્પ્રિંગ દ્વારા થયેલ કાર્ય: $W_s = -\frac{1}{2} kx^2 = -\frac{1}{2} \times 100 \times x^2 = -50x^2$.
કુલ કાર્યને શૂન્ય સાથે સરખાવતા: $250 - 50 - 25x - 50x^2 = 0$.
$200 - 25x - 50x^2 = 0$.
$25$ વડે ભાગતા: $8 - x - 2x^2 = 0$,અથવા $2x^2 + x - 8 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(2)(-8)}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{65}}{4}$ નો ઉપયોગ કરતા.
$x > 0$ હોવાથી,$x = \frac{-1 + 8.06}{4} \approx 1.76 \text{ m}$.

(A) કુલ પ્રારંભિક વેગમાન $\vec{P}_{total} = \vec{p}_1 + \vec{p}_2 = p \hat{i} - p \hat{i} = 0$ છે.
કોઈ બાહ્ય બળ ન હોવાથી,કુલ અંતિમ વેગમાન પણ શૂન્ય હોવું જોઈએ: $\vec{p}_1^{\prime} + \vec{p}_2^{\prime} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\vec{p}_2^{\prime} = -\vec{p}_1^{\prime}$.
વિકલ્પ $(A)$ માં,$\vec{p}_1^{\prime} + \vec{p}_2^{\prime} = (a_1+a_2)\hat{i} + (b_1+b_2)\hat{j} + c_1\hat{k} \neq 0$.
વિકલ્પ $(B)$ માં,$\vec{p}_1^{\prime} + \vec{p}_2^{\prime} = (c_1+c_2)\hat{k} \neq 0$.
વિકલ્પ $(C)$ માં,$\vec{p}_1^{\prime} + \vec{p}_2^{\prime} = (a_1+a_2)\hat{i} + (b_1+b_2)\hat{j} + (c_1-c_1)\hat{k} = (a_1+a_2)\hat{i} + (b_1+b_2)\hat{j} \neq 0$.
વિકલ્પ $(D)$ માં,$\vec{p}_1^{\prime} + \vec{p}_2^{\prime} = (a_1+a_2)\hat{i} + 2b_1\hat{j} \neq 0$.
આમ,રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ આ તમામ વિકલ્પો માન્ય નથી.

(B,B,C) $1.$ $A$ ની $B$ થી ઊંચાઈ $h_1 = \sqrt{3} \tan 60^{\circ} = 3 \ m$ છે. $B$ પર પહોંચતા પહેલા બ્લોકનો વેગ $v = \sqrt{2gh_1} = \sqrt{60} \ m/s$ છે. અથડામણ સંપૂર્ણપણે અસ્થિતિસ્થાપક હોવાથી,બીજા ઢાળને લંબ વેગનો ઘટક નાશ પામે છે. બીજા ઢાળ પરનો વેગ $v_B = v \cos(60^{\circ}-30^{\circ}) = v \cos 30^{\circ} = \sqrt{60} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{45} \ m/s$ છે. આમ,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.
$2.$ $B$ ની $C$ થી ઊંચાઈ $h_2 = 3\sqrt{3} \tan 30^{\circ} = 3 \ m$ છે. $B$ થી $C$ સુધી કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{2}Mv_C^2 - \frac{1}{2}Mv_B^2 = Mgh_2$. $v_B^2 = 45$ અને $h_2 = 3$ મૂકતા: $v_C^2 = 45 + 2 \cdot 10 \cdot 3 = 105$. તેથી,$v_C = \sqrt{105} \ m/s$. આમ,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.
$3.$ સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે,ઢાળને સમાંતર વેગનો ઘટક બદલાતો નથી,જ્યારે ઢાળને લંબ ઘટક દિશા બદલે છે. અથડામણ પહેલાં વેગ $v = \sqrt{60} \ m/s$ છે જે સમક્ષિતિજ સાથે $60^{\circ}$ ખૂણે છે. બીજો ઢાળ સમક્ષિતિજ સાથે $30^{\circ}$ છે. વેગ સદિશ અને બીજા ઢાળ વચ્ચેનો ખૂણો $30^{\circ}$ છે. વેગના ઘટકો $v_{\parallel} = v \cos 30^{\circ}$ અને $v_{\perp} = v \sin 30^{\circ}$ છે. સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ પછી,$v'_{\parallel} = v \cos 30^{\circ}$ અને $v'_{\perp} = v \sin 30^{\circ}$ (ઢાળથી દૂર). શિરોલંબ ઘટક $v_y = v'_{\parallel} \sin 30^{\circ} - v'_{\perp} \cos 30^{\circ} = (v \cos 30^{\circ}) \sin 30^{\circ} - (v \sin 30^{\circ}) \cos 30^{\circ} = 0$ છે. આમ,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.

(A-D) $1$. સ્લાઇડના તળિયે વેગ: ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$\frac{1}{2} m u_0^2 = mgh$,તેથી $u_0 = \sqrt{2gh}$. આમ,$\vec{u}_0 = \sqrt{2gh} \hat{x}$. વિધાન $(A)$ સાચું છે.
$2$. દડાની ગતિ: દડો $H = 3h$ ઊંચાઈથી પ્રક્ષિપ્ત ગતિ કરે છે. ઉડ્ડયન સમય $T = \sqrt{2H/g} = \sqrt{6h/g}$.
સમક્ષિતિજ વેગ $v_x = u_0 = \sqrt{2gh}$. અથડામણ પહેલાંનો શિરોલંબ વેગ $v_{1y} = \sqrt{2gH} = \sqrt{2g(3h)} = \sqrt{6gh}$.
$3$. જમીન સાથે અથડામણ: સમક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \frac{v_{1y}}{v_x} = \frac{\sqrt{6gh}}{\sqrt{2gh}} = \sqrt{3}$ દ્વારા મળે છે. તેથી,$\theta = 60^{\circ}$. વિધાન $(C)$ સાચું છે.
$4$. ઉછળ્યા પછીનો વેગ: સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = \sqrt{2gh}$ રહે છે. ઉછળ્યા પછીનો શિરોલંબ ઘટક $v_{2y} = e v_{1y} = \frac{1}{\sqrt{3}} \sqrt{6gh} = \sqrt{2gh}$. તેથી,$\vec{v} = \sqrt{2gh} \hat{x} + \sqrt{2gh} \hat{z}$. વિધાન $(B)$ સાચું છે.
$5$. મહત્તમ ઊંચાઈ $h_1$: $h_1 = \frac{v_{2y}^2}{2g} = \frac{2gh}{2g} = h$.
$6$. અંતર $d$: $d = v_x T = \sqrt{2gh} \cdot \sqrt{6h/g} = \sqrt{12h^2} = 2\sqrt{3}h$.
$7$. ગુણોત્તર $d/h_1 = \frac{2\sqrt{3}h}{h} = 2\sqrt{3}$. વિધાન $(D)$ સાચું છે.

(C) ધારો કે $m_1 = 1.0 \,kg$ અને $m_2 = 2.0 \,kg$. $m_1$ નો પ્રારંભિક વેગ $u_1 = 2.0 \,m \,s^{-1}$ અને $m_2$ નો $u_2 = 0$ છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $m_1 u_1 = m_1 v_1 + m_2 v_2 \implies 1(2) = 1(v_1) + 2(v_2) \implies v_1 + 2v_2 = 2$ $(i)$
સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે, રિસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક $e = 1$: $v_2 - v_1 = e(u_1 - u_2) = 1(2 - 0) = 2$ $(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ ને ઉકેલતા: બંનેનો સરવાળો કરતા $3v_2 = 4 \implies v_2 = \frac{4}{3} \,m \,s^{-1}$ મળે. $(ii)$ માં કિંમત મૂકતા, $v_1 = v_2 - 2 = \frac{4}{3} - 2 = -\frac{2}{3} \,m \,s^{-1}$ મળે.
સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલ $2.0 \,kg$ નો બ્લોક સરળ આવર્ત ગતિ કરે છે. સ્પ્રિંગને તેની મૂળ સ્થિતિમાં પાછા આવવા માટે લાગતો સમય આવર્તકાળના અડધા જેટલો છે: $\Delta t = \frac{T}{2} = \pi \sqrt{\frac{m_2}{k}} = \pi \sqrt{\frac{2}{2}} = \pi \,s$.
આ સમય દરમિયાન, $1.0 \,kg$ નો બ્લોક $v_1 = -\frac{2}{3} \,m \,s^{-1}$ ના અચળ વેગથી (ડાબી તરફ) ગતિ કરે છે. $2.0 \,kg$ નો બ્લોક જમણી તરફ ગતિ કરે છે, સ્પ્રિંગને દબાવે છે અને સંતુલન સ્થિતિમાં પાછો આવે છે.
$1.0 \,kg$ બ્લોકનું સ્થાનાંતર: $s_1 = v_1 \Delta t = -\frac{2}{3} \pi \,m$.
$2.0 \,kg$ બ્લોકનું સ્થાનાંતર: $s_2 = 0$ (કારણ કે તે પ્રારંભિક સ્થિતિમાં પાછો આવે છે).
બ્લોક્સ વચ્ચેનું અંતર $|s_2 - s_1| = |0 - (- \frac{2}{3} \pi)| = \frac{2}{3} \pi = \frac{2 \times 3.14159}{3} \approx 2.094 \,m$. બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા, અંતર $2.09 \,m$ મળે છે.