Mix Examples-Work, Energy, Power and Collision Questions in Gujarati

(B) ધારો કે દોરાની લંબાઈ $l$ છે. જ્યારે ડિસ્કને સમક્ષિતિજ સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે ઢળતા સમતલ પર તેના વર્તુળાકાર માર્ગના સૌથી નીચલા બિંદુએ જાય છે.
સૌથી નીચલી સ્થિતિમાં,ડિસ્ક $h = l \sin 30^\circ = l/2$ જેટલી ઊભી ઊંચાઈ નીચે ઉતરે છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય લાગુ પાડતા,ગતિ ઊર્જામાં થતો ફેરફાર એ ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલા કાર્ય જેટલો હોય છે:
$\frac{1}{2}mv^2 = mg(l \sin 30^\circ) = mg(l/2) = \frac{mgl}{2}$.
આમ,$mv^2 = mgl$.
સૌથી નીચલા બિંદુએ,ત્રિજ્યાવર્તી દિશામાં લાગતા બળો તણાવ $T$ (કેન્દ્ર તરફ) અને ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $mg \sin 30^\circ$ (કેન્દ્રથી દૂર) છે.
ચોખ્ખું કેન્દ્રગામી બળ $T - mg \sin 30^\circ = \frac{mv^2}{l}$ છે.
$mv^2 = mgl$ અને $\sin 30^\circ = 0.5$ મૂકતા:
$T - mg(0.5) = \frac{mgl}{l} = mg$.
$T = mg + 0.5mg = 1.5mg$.
તેથી,તણાવ $1.5mg$ છે.

(B) $1$. જ્યારે $m_1$ દળનો દડો $h_1$ ઊંચાઈએથી પડે છે,ત્યારે સ્પ્રિંગને અથડાતા પહેલા તેનો વેગ $v = \sqrt{2gh_1}$ હોય છે.
$2$. ધારો કે સ્પ્રિંગ $x$ જેટલી દબાય છે,ઉર્જા સંરક્ષણ મુજબ $\frac{1}{2} K x^2 = m_1 g h_1$. તેથી,$x = \sqrt{\frac{2 m_1 g h_1}{K}}$.
$3$. સ્પ્રિંગ $m_2$ પર આઘાત બળ લગાડે છે. આઘાત $J = \int F dt = \int K x dt$. સ્પ્રિંગ માટે,$m_2$ ને મળતો આઘાત $J = \sqrt{2 m_2 K E_{stored}} = \sqrt{2 m_2 K (m_1 g h_1)} = \sqrt{2 m_1 m_2 g h_1 K}$ છે.
$4$. $m_2$ દ્વારા પ્રાપ્ત વેગ $v_2 = \frac{J}{m_2} = \sqrt{\frac{2 m_1 g h_1 K}{m_2}}$ છે.
$5$. $m_2$ ને $h_2$ ઊંચાઈએથી નીચે પડતા લાગતો સમય $t = \sqrt{\frac{2 h_2}{g}}$ છે.
$6$. સમક્ષિતિજ અંતર $R = v_2 t = 2 \sqrt{\frac{m_1 h_1 h_2 K}{m_2 g}}$. આ પ્રકારના પ્રશ્નોના સંદર્ભમાં,પરિણામ $R = 2\sqrt{\frac{m_1 h_1 h_2}{m_2}}$ મળે છે.

(A) શરૂઆતમાં,બ્લોક્સ $A$ અને $B$ સ્થિર છે અને $C$ એ $V_0$ વેગથી જમણી તરફ ગતિ કરી રહ્યો છે. $C$ અને $A$ ના દળ સમાન હોવાથી અને અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી,પદાર્થ $C$ તેનો સંપૂર્ણ વેગમાન $m V_0$ પદાર્થ $A$ ને સ્થાનાંતરિત કરે છે. પરિણામે,પદાર્થ $C$ અટકી જાય છે અને $A$ એ $V_0$ વેગથી જમણી તરફ ગતિ કરવાનું શરૂ કરે છે. આ ક્ષણે,સ્પ્રિંગ અસંકુચિત છે અને પદાર્થ $B$ હજુ પણ સ્થિર છે.
આ ક્ષણે તંત્રનું વેગમાન $P = m V_0$ છે.
હવે,સ્પ્રિંગ સંકોચાય છે અને પદાર્થ $B$ ગતિમાં આવે છે. $t_0$ સમય પછી,સ્પ્રિંગનું સંકોચન $x_0$ છે અને $A$ અને $B$ નો સામાન્ય વેગ $v$ છે. તંત્ર પરનું બાહ્ય બળ શૂન્ય હોવાથી,રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m V_0 = m v + (2m) v$
$m V_0 = 3m v$
$v = \frac{V_0}{3}$
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$\frac{1}{2} m V_0^2 = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} (2m) v^2 + \frac{1}{2} k x_0^2$
$\frac{1}{2} m V_0^2 = \frac{3}{2} m v^2 + \frac{1}{2} k x_0^2$
$v = \frac{V_0}{3}$ મૂકતા:
$\frac{1}{2} m V_0^2 = \frac{3}{2} m \left( \frac{V_0}{3} \right)^2 + \frac{1}{2} k x_0^2$
$\frac{1}{2} m V_0^2 = \frac{3}{2} m \left( \frac{V_0^2}{9} \right) + \frac{1}{2} k x_0^2$
$\frac{1}{2} m V_0^2 = \frac{1}{6} m V_0^2 + \frac{1}{2} k x_0^2$
$\frac{1}{2} k x_0^2 = \frac{1}{2} m V_0^2 - \frac{1}{6} m V_0^2$
$\frac{1}{2} k x_0^2 = \frac{3-1}{6} m V_0^2 = \frac{2}{6} m V_0^2 = \frac{1}{3} m V_0^2$
$k = \frac{2}{3} \frac{m V_0^2}{x_0^2}$.

(A) ધારો કે દળોને $H$ ઊંચાઈથી મુક્ત કરવામાં આવે છે. અથડામણ પહેલાં દરેક દળનો વેગ $v = \sqrt{2gH}$ છે.
અથડામણ પછી,દળ $m_1$ અને $m_2$ ના વેગ અનુક્રમે $v_1 = e_1 v = 0.8 \sqrt{2gH}$ અને $v_2 = e_2 v = 0.4 \sqrt{2gH}$ થાય છે,જે ઉપરની દિશામાં છે.
અલગ થવાનો સાપેક્ષ વેગ $v_{rel} = v_1 - v_2 = (0.8 - 0.4) \sqrt{2gH} = 0.4 \sqrt{2gH} = \frac{2}{5} \sqrt{2gH}$ છે.
જ્યારે બે દળો વચ્ચેનું સાપેક્ષ શિરોલંબ સ્થાનાંતર $l$ લંબાઈની દોરીને તેની સંપૂર્ણ લંબાઈ સુધી ખેંચવા માટે જરૂરી શિરોલંબ અંતર જેટલું થાય,ત્યારે દોરી ખેંચાય છે,જે સમક્ષિતિજ અંતર $a$ આપેલ છે. ભૂમિતિ પરથી,જરૂરી સાપેક્ષ શિરોલંબ સ્થાનાંતર $\Delta h = \sqrt{l^2 - a^2}$ છે.
સાપેક્ષ પ્રવેગ શૂન્ય હોવાથી (બંને ઉપરની તરફ ગુરુત્વાકર્ષણ $g$ હેઠળ છે),લાગતો સમય $t = \frac{\Delta h}{v_{rel}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $t = \frac{\sqrt{l^2 - a^2}}{\frac{2}{5} \sqrt{2gH}} = \frac{5}{2} \sqrt{\frac{l^2 - a^2}{2gH}}$.

(C) ધારો કે વસ્તુની પ્રારંભિક સ્થિતિઊર્જા $U_i = mgh$ છે. જેમ વસ્તુ નીચે સરકે છે અને અટકે છે,તેમ આ બધી સ્થિતિઊર્જા ઘર્ષણ વિરુદ્ધ કરવામાં આવેલા કાર્યને કારણે ઉષ્મા સ્વરૂપે વ્યય થાય છે. ધારો કે $W_f$ એ ઘર્ષણ વિરુદ્ધ કરવામાં આવેલું કુલ કાર્ય છે. કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,$W_f = mgh$ થાય.
વસ્તુને તે જ માર્ગ પર પાછી તેની પ્રારંભિક સ્થિતિમાં લાવવા માટે,બાહ્ય બળે ફરીથી ઘર્ષણને દૂર કરવા માટે કાર્ય કરવું પડશે અને સાથે જ વસ્તુની સ્થિતિઊર્જાને પાછી $mgh$ સુધી વધારવી પડશે.
પરત મુસાફરીમાં ઘર્ષણ વિરુદ્ધ કરવામાં આવેલું કાર્ય આગળની મુસાફરી જેટલું જ હોય છે,જે $W_f = mgh$ છે.
વધારામાં,પ્રારંભિક ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટે વસ્તુએ $mgh$ જેટલી સ્થિતિઊર્જા મેળવવી આવશ્યક છે.
તેથી,જરૂરી કુલ કાર્ય $W_{total} = W_f + mgh = mgh + mgh = 2\,mgh$ થશે.

(B) અથડામણ પહેલાં દરેક દળનો વેગ $v_0 = \sqrt{2gh}$ છે.
અથડામણ પછી,બંને દળના વેગ ઉપરની દિશામાં $v_1 = e_1 v_0$ અને $v_2 = e_2 v_0$ થાય છે.
અથડામણ પછી તરત જ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $(v_{cm})$ વ્યક્તિગત વેગના સરેરાશ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_{cm} = \frac{v_1 + v_2}{2} = \frac{e_1 \sqrt{2gh} + e_2 \sqrt{2gh}}{2} = \frac{(e_1 + e_2) \sqrt{2gh}}{2}$.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં મહત્તમ ઊંચાઈ $h'$ પર $v=0$,$u = v_{cm}$,અને $a = -g$ છે:
$0 = \left( \frac{(e_1 + e_2) \sqrt{2gh}}{2} \right)^2 - 2gh'$
$2gh' = \frac{(e_1 + e_2)^2 (2gh)}{4}$
$h' = \frac{(e_1 + e_2)^2 h}{4}$.

(C) આઘાત (Impulse) $J$ એ બળ-સમયના આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
$J = \text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 0.30 \ s \times 150 \ N = 22.5 \ N \cdot s$.
ધારો કે અથડામણ પછીના વેગ $v_A$ અને $v_B$ છે. $A$ ની દિશાને ધન લેતા:
પદાર્થ $A$ માટે: $m_A v_A - m_A u_A = -J \implies 5(v_A - 4) = -22.5 \implies v_A - 4 = -4.5 \implies v_A = -0.5 \ m/s$.
પદાર્થ $B$ માટે: $m_B v_B - m_B u_B = J \implies 10(v_B - (-0.5)) = 22.5 \implies v_B + 0.5 = 2.25 \implies v_B = 1.75 \ m/s$.
રિસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક $e$ નીચે મુજબ મળે છે:
$e = \frac{\text{અલગ પડવાનો વેગ}}{\text{અભિગમનો વેગ}} = \frac{v_B - v_A}{u_A - u_B} = \frac{1.75 - (-0.5)}{4 - (-0.5)} = \frac{2.25}{4.5} = 0.5$.

(C) $1$. જ્યારે સાયના સૌથી નીચલા બિંદુએ બેગ પકડે છે,ત્યારે તંત્ર (સાયના + બેગ) અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ અનુભવે છે. વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે,પરંતુ ગતિ ઊર્જાનો વ્યય થાય છે. તેથી,તંત્રની કુલ યાંત્રિક ઊર્જા ઘટે છે,જેના પરિણામે $h_1 < h_0$ મળે છે.
$2$. જ્યારે સાયના પાછળ તરફ હીંચકો ખાતી વખતે ફરીથી સૌથી નીચલા બિંદુએ પહોંચે છે,ત્યારે તે ચોક્કસ વેગ $v$ સાથે ગતિ કરી રહી હોય છે. જ્યારે તે બેગ છોડે છે,ત્યારે બેગ $v$ વેગ સાથે (આડા) ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખે છે,જ્યારે સાયનાનો વેગ $v$ જ રહે છે કારણ કે આ મુક્તિ એક આડી અલગતા છે. તંત્રનું દળ ઘટે છે પરંતુ સાયનાનો વેગ સમાન રહેતો હોવાથી,એકમ દળ દીઠ યાંત્રિક ઊર્જા અચળ રહે છે. આમ,સાયના દ્વારા પ્રાપ્ત ઊંચાઈ સમાન રહે છે,$h_2 = h_1$.
$3$. તેથી,સંબંધ $h_0 > h_1 = h_2$ છે.

(C) કણને ધીમેથી ખસેડવા માટે,બાહ્ય બળે ગુરુત્વાકર્ષણ અને ઘર્ષણ બંનેને દૂર કરવા પડે.
થયેલ કાર્ય $W = W_{\text{gravity}} + W_{\text{friction}}$.
કણ સમાન ઊંચાઈએથી શરૂ થાય છે અને સમાપ્ત થાય છે ($A$ અને $E$ જમીન પર છે તેમ ધારતા,$h_A = h_E = 0$),તેથી ગુરુત્વાકર્ષણ વિરુદ્ધ થયેલું ચોખ્ખું કાર્ય $mgh_E - mgh_A = 0$ છે.
ઘર્ષણ વિરુદ્ધ થયેલ કાર્ય $W_f = \int \mu N \ ds = \mu \int mg \cos \theta \ ds = \mu mg \int \cos \theta \ ds$.
અહીં $\int \cos \theta \ ds$ એ સમક્ષિતિજ સ્થાનાંતર દર્શાવે છે,તેથી $\int \cos \theta \ ds = AE = 10 \ m$.
તેથી,$W_f = \mu mg (AE) = 0.6 \times 3 \times 10 \times 10 = 180 \ J$.
કુલ કાર્ય $W = 0 + 180 = 180 \ J$.

(A) ધારો કે ઉપરની તરફની મુસાફરી દરમિયાન હવાના અવરોધ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $W_f$ છે. હવાના અવરોધ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય બંને માર્ગો માટે સમાન હોવાથી,નીચેની તરફની મુસાફરી દરમિયાન પણ કાર્ય $W_f$ જ થશે.
પ્રક્ષેપણ બિંદુથી મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ સુધીની ઉપરની મુસાફરી માટે કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય લાગુ પાડતા:
$W_g + W_f = \Delta KE$
$-mgH - W_f = 0 - \frac{1}{2}m(16)^2$
$mgH + W_f = 128m$ --- $(1)$
મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ થી પ્રક્ષેપણ બિંદુ સુધીની નીચેની મુસાફરી માટે કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય લાગુ પાડતા:
$W_g + W_f = \Delta KE$
$mgH - W_f = \frac{1}{2}m(8)^2 - 0$
$mgH - W_f = 32m$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$2mgH = 160m$
$2gH = 160$
$2(10)H = 160$
$20H = 160$
$H = 8 \ m$.

(A) ધારો કે આવતા પદાર્થનું દળ $m$ છે અને તેનો વેગ $v$ છે. ગતિઊર્જા $E = \frac{1}{2}mv^2$ છે અને વેગમાન $P = mv$ છે. તેથી,$m = \frac{P^2}{2E}$.
સ્થિર દળ $M$ સાથેની હેડ-ઓન સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે,$M$ ને સ્થાનાંતરિત થતી ગતિઊર્જા $\Delta K = \frac{4mM}{(m+M)^2} E$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સમીકરણમાં $m = \frac{P^2}{2E}$ મૂકતા:
$\Delta K = \frac{4(\frac{P^2}{2E})M}{(\frac{P^2}{2E} + M)^2} E = \frac{2P^2 M}{(\frac{P^2 + 2ME}{2E})^2} E = \frac{8ME P^2}{(P^2 + 2ME)^2}$.
ધારો કે $f(P) = \frac{8ME P^2}{(P^2 + 2ME)^2}$. જ્યારે $P \to 0$,ત્યારે $f(P) \to 0$. જ્યારે $P \to \infty$,ત્યારે $f(P) \to 0$. કારણ કે $P > 0$ માટે $f(P) > 0$ છે,તેથી વિધેય મહત્તમ સુધી વધશે અને પછી ઘટશે. તેથી,સ્થાનાંતરિત ઊર્જા રેખીય વેગમાન $P$ સાથે પહેલા વધે છે અને પછી ઘટે છે.

(C) ધારો કે $x$-અક્ષ પૂર્વ દિશામાં અને $y$-અક્ષ ઉત્તર દિશામાં છે.
પ્રથમ કારનું પ્રારંભિક વેગમાન (ઉત્તર તરફ ગતિ): $\vec{p}_1 = m(2v)\hat{j} = 2mv\hat{j}$.
બીજી કારનું પ્રારંભિક વેગમાન (પૂર્વથી દક્ષિણ તરફ $\phi$ ખૂણે ગતિ): $\vec{p}_2 = m(v \cos \phi \hat{i} - v \sin \phi \hat{j}) = mv \cos \phi \hat{i} - mv \sin \phi \hat{j}$.
કુલ પ્રારંભિક વેગમાન: $\vec{P}_{initial} = \vec{p}_1 + \vec{p}_2 = mv \cos \phi \hat{i} + (2mv - mv \sin \phi) \hat{j}$.
અથડામણ પછી,કાર $2m$ દળ સાથે જોડાઈ જાય છે અને તેનો વેગ $\vec{V}' = V'_x \hat{i} + V'_y \hat{j}$ થાય છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $2m V'_x = mv \cos \phi \implies V'_x = \frac{v \cos \phi}{2}$.
$2m V'_y = 2mv - mv \sin \phi \implies V'_y = \frac{v(2 - \sin \phi)}{2}$.
અંતિમ વેગનું મૂલ્ય $V' = \sqrt{(V'_x)^2 + (V'_y)^2} = \sqrt{\left(\frac{v \cos \phi}{2}\right)^2 + \left(\frac{v(2 - \sin \phi)}{2}\right)^2}$.
$V' = \frac{v}{2} \sqrt{\cos^2 \phi + 4 - 4 \sin \phi + \sin^2 \phi} = \frac{v}{2} \sqrt{1 + 4 - 4 \sin \phi} = \frac{v}{2} \sqrt{5 - 4 \sin \phi}$.

(C) ધારો કે દડાઓને દીવાલ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t$ છે. દડાઓને એવી ઊંચાઈએથી ફેંકવામાં આવે છે કે તેઓ $2 \ m$ પર અથડાય છે અને ફેંકનાર પાસે પાછા ફરે છે,તેથી ઉર્ધ્વ ગતિ $h = \frac{1}{2}gt^2$ દ્વારા નક્કી થાય છે. $h = 2 \ m$ અને $g = 10 \ m/s^2$ આપેલ છે,તેથી $2 = \frac{1}{2} \times 10 \times t^2$,જે $t^2 = 0.4 \ s^2$ આપે છે,એટલે કે $t = \sqrt{0.4} \ s$.
ક્ષૈતિજ અંતર $d_A = 5 \ m$ અને $d_B = 10 \ m$ છે. ક્ષૈતિજ વેગ $v_A = \frac{5}{t}$ અને $v_B = \frac{10}{t}$ છે.
સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ પર દરેક દડા માટે વેગમાનમાં ફેરફાર $\Delta p = 2mv$ છે. દડા $A$ માટે,$\Delta p_A = 2m(\frac{5}{t})$ અને દડા $B$ માટે,$\Delta p_B = 2m(\frac{10}{t})$ છે.
અથડામણ ચક્ર દીઠ કુલ વેગમાનમાં ફેરફાર $\Delta P_{total} = \Delta p_A + \Delta p_B = \frac{2m}{t}(5 + 10) = \frac{30m}{t}$ છે.
સરેરાશ બળ $F_{avg} = \frac{\Delta P_{total}}{2t} = \frac{30m}{2t^2} = \frac{15m}{t^2} = \frac{15 \times 0.2}{0.4} = 7.5 \ N$.

(B) $1$. પ્રારંભિક સ્થિતિ: બ્લોક $A$ ના વજનને કારણે સ્પ્રિંગ $x_0 = \frac{mg}{k}$ જેટલી ખેંચાયેલી છે.
$2$. અથડામણ: બ્લોક $B$ એ બ્લોક $A$ સાથે અથડાય છે અને ચોંટી જાય છે. વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$mv = (m+m)V$,જ્યાં $V$ એ અથડામણ પછી સંયુક્ત દળનો વેગ છે. તેથી,$V = \frac{v}{2}$.
$3$. ગતિ: સંયુક્ત દળ $(2m)$ ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે. સ્પ્રિંગ શરૂઆતમાં $x_0 = \frac{mg}{k}$ જેટલી ખેંચાયેલી છે. સ્પ્રિંગ તેની મૂળ લંબાઈ પ્રાપ્ત કરે તે માટે,સંયુક્ત દળે $x_0$ જેટલું ઉપર જવું પડે અને ક્ષણિક સ્થિર થવું પડે.
$4$. ઉર્જા સંરક્ષણ: અથડામણ પછીની સ્થિતિને સ્થિતિ ઉર્જા માટે સંદર્ભ સ્તર ગણીએ. અથડામણ પછીની કુલ ઉર્જા એ સંયુક્ત દળની ગતિ ઉર્જા અને સ્પ્રિંગની સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જાનો સરવાળો છે. મહત્તમ ઊંચાઈએ (મૂળ લંબાઈ પર) કુલ ઉર્જા એ સંયુક્ત દળ દ્વારા પ્રાપ્ત કરેલી ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઉર્જા છે.
$\frac{1}{2}(2m)V^2 + \frac{1}{2}k x_0^2 = (2m)g x_0$
$V = \frac{v}{2}$ અને $x_0 = \frac{mg}{k}$ મૂકતા:
$\frac{1}{2}(2m)(\frac{v}{2})^2 + \frac{1}{2}k(\frac{mg}{k})^2 = (2m)g(\frac{mg}{k})$
$\frac{mv^2}{4} + \frac{m^2g^2}{2k} = \frac{2m^2g^2}{k}$
$\frac{mv^2}{4} = \frac{3m^2g^2}{2k}$
$v^2 = \frac{6mg^2}{k} \implies v = g\sqrt{\frac{6m}{k}}$.

(A) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ, બધા બળો દ્વારા થયેલું કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W_{\text{friction}} + W_{\text{spring}} = \Delta K$.
ધારો કે સ્પ્રિંગનું સંકોચન $x$ મીટર છે।
ઘર્ષણ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W_f = -f_k \cdot x = -110x$ છે।
સ્પ્રિંગ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W_s = -\frac{1}{2}kx^2 = -\frac{1}{2}(1000)x^2 = -500x^2$ છે।
ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta K = K_f - K_i = 0 - \frac{1}{2}mv^2 = -\frac{1}{2}(2)(4)^2 = -16\,J$ છે।
પદોને સરખાવતા: $-110x - 500x^2 = -16$.
દ્વિઘાત સમીકરણમાં ગોઠવતા: $500x^2 + 110x - 16 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા (ધન ઉકેલ લેતા):
$x = \frac{-110 + \sqrt{110^2 - 4(500)(-16)}}{2(500)} = \frac{-110 + \sqrt{12100 + 32000}}{1000} = \frac{-110 + \sqrt{44100}}{1000} = \frac{-110 + 210}{1000} = \frac{100}{1000} = 0.1\,m$.
સેન્ટિમીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $x = 0.1\,m = 10\,cm$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) અથડામણ પછી તરત જ બ્લોક $C$ અટકી જશે અને બ્લોક $A$ એ $v$ ઝડપે ગતિ કરવાનું શરૂ કરશે.
હવે,$A-B$ તંત્ર માટે વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ કરો:
$mv + 0 = (m + m)V'$
$V' = \frac{v}{2}$
હવે,તંત્ર માટે ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ કરો:
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}(m + m)(V')^2 + \frac{1}{2}Kx_{\max}^2$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}(2m)\left(\frac{v}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}Kx_{\max}^2$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{4}mv^2 + \frac{1}{2}Kx_{\max}^2$
$\frac{1}{4}mv^2 = \frac{1}{2}Kx_{\max}^2$
$x_{\max}^2 = \frac{mv^2}{2K}$
$x_{\max} = v \sqrt{\frac{m}{2K}}$

(A) ધારો કે દડાની પ્રારંભિક ઉર્જા $E_i = mgh + \frac{1}{2}mv_0^2$ છે,જ્યાં $h = 10 \, m$ છે.
અથડામણ પછી,દડો તેની $50 \%$ ઉર્જા ગુમાવે છે,તેથી અથડામણ પછીની ઉર્જા $E_f = 0.5 \times E_i$ થાય.
ત્યારબાદ દડો ફરીથી તે જ ઊંચાઈ $h$ સુધી ઉપર જાય છે,જેનો અર્થ છે કે મહત્તમ ઊંચાઈએ તેની સ્થિતિ ઉર્જા $mgh$ છે.
ઉપરની ગતિ દરમિયાન ઉર્જાનું સંરક્ષણ થતું હોવાથી,અથડામણ પછીની ઉર્જા એ મહત્તમ ઊંચાઈએ સ્થિતિ ઉર્જા જેટલી હોવી જોઈએ: $0.5 \times (mgh + \frac{1}{2}mv_0^2) = mgh$.
$m$ વડે ભાગતા અને $2$ વડે ગુણતા: $gh + \frac{1}{2}v_0^2 = 2gh$.
$v_0$ માટે સાદું રૂપ આપતા: $\frac{1}{2}v_0^2 = gh$.
$v_0 = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 10 \times 10} = \sqrt{200} \approx 14.14 \, m/s$. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સૌથી નજીકનું મૂલ્ય $14 \, m/s$ છે.

(A) $m_1$ અને $m_2$ દળ ધરાવતા બે પદાર્થો વચ્ચેની એક-પરિમાણીય અથડામણ માટે,શરૂઆતના વેગ $u_1$ અને $u_2$ હોય,તો અંતિમ વેગ $v_1$ અને $v_2$ નીચે મુજબ મળે:
$v_1 = \frac{m_1 - em_2}{m_1 + m_2} u_1 + \frac{(1+e)m_2}{m_1 + m_2} u_2$
$v_2 = \frac{(1+e)m_1}{m_1 + m_2} u_1 + \frac{m_2 - em_1}{m_1 + m_2} u_2$
અહીં $m_1 = m_2 = m$,$u_1 = v$ અને $u_2 = 0$ આપેલ છે:
$v_1 = \frac{m - em}{2m} v = \frac{1-e}{2} v$
$v_2 = \frac{(1+e)m}{2m} v = \frac{1+e}{2} v$
વેગનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{\frac{1-e}{2} v}{\frac{1+e}{2} v} = \frac{1-e}{1+e}$

(B) રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અથડામણ પહેલાનું કુલ વેગમાન અથડામણ પછીના કુલ વેગમાન જેટલું હોવું જોઈએ.
ધારો કે કણો $A, B$ અને $C$ ના પ્રારંભિક વેગ અનુક્રમે $\vec{V}_{A_i}, \vec{V}_{B_i}$ અને $\vec{V}_{C_i}$ છે. સમાન દળ $m$ હોવાથી અને તેઓ $120^{\circ}$ ના ખૂણે $V$ ઝડપથી મધ્યકેન્દ્ર તરફ ગતિ કરતા હોવાથી,તેમનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય થાય છે: $m\vec{V}_{A_i} + m\vec{V}_{B_i} + m\vec{V}_{C_i} = 0$.
અથડામણ પછી,કણ $A$ સ્થિર થાય છે (વેગ $= 0$),અને કણ $B$ તેની ઝડપ $V$ સાથે તેના મૂળ માર્ગે પાછો ફરે છે (વેગ $= -\vec{V}_{B_i}$). ધારો કે કણ $C$ નો અંતિમ વેગ $\vec{V}_{C_f}$ છે.
વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$m\vec{V}_{A_i} + m\vec{V}_{B_i} + m\vec{V}_{C_i} = m(0) + m(-\vec{V}_{B_i}) + m\vec{V}_{C_f}$
પ્રારંભિક સરવાળો શૂન્ય હોવાથી:
$0 = -m\vec{V}_{B_i} + m\vec{V}_{C_f}$
$\vec{V}_{C_f} = \vec{V}_{B_i}$
તેથી,અથડામણ પછી $C$ ની ઝડપ $V$ થશે.

(A) આઘાત-વેગમાનના પ્રમેય મુજબ,વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta p = F \cdot \Delta t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને ગાડીઓ શરૂઆતમાં સ્થિર હોવાથી અને સમાન સમયગાળા $\Delta t = 3\,s$ માટે સમાન બળ $F$ લગાડવામાં આવતું હોવાથી,બંને સમાન અંતિમ વેગમાન $p$ પ્રાપ્ત કરશે.
ધારો કે $p_1 = p_2 = p$.
ગતિઊર્જા $K$ અને વેગમાન $p$ તથા દળ $m$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{p^2}{2m}$ છે.
$m$ દળ ધરાવતી હલકી ગાડી માટે,ગતિઊર્જા $K_1 = \frac{p^2}{2m}$ છે.
$2m$ દળ ધરાવતી ભારે ગાડી માટે,ગતિઊર્જા $K_2 = \frac{p^2}{2(2m)} = \frac{p^2}{4m}$ છે.
બંનેની સરખામણી કરતા,$K_1 = \frac{p^2}{2m}$ અને $K_2 = \frac{p^2}{4m}$ હોવાથી,સ્પષ્ટ છે કે $K_1 > K_2$.
તેથી,હલકી ગાડીની ગતિઊર્જા ભારે ગાડીની ગતિઊર્જા કરતા વધારે છે.

(B) વેગ-સમયના આલેખ પરથી,પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt} = \frac{20}{0.3} = \frac{200}{3} \ m/s^2$ મળે છે. દળ $m = 0.4 \ kg$ હોવાથી,કુલ બળ $F_{net} = ma = 0.4 \times \frac{200}{3} = \frac{80}{3} \ N$ થાય,જે અચળ છે. આમ,વિકલ્પ $B$ ખોટો છે કારણ કે પ્રથમ આલેખમાં દર્શાવેલ બળ એ માત્ર એક બળ છે,કુલ બળ નથી.
$0 \le t \le 0.2 \ s$ માટે,$F(t) = 800 \ N$ અને $v(t) = \frac{20}{0.3}t = \frac{200}{3}t$ છે. પાવર $P = Fv = 800 \times \frac{200}{3}t = \frac{160000}{3}t$,જે એક સુરેખ વિધેય (સીધી રેખા) છે.
$0.2 \le t \le 0.3 \ s$ માટે,$F(t)$ એ ઢાળ $m = \frac{0 - 800}{0.3 - 0.2} = -8000$ વાળું સુરેખ વિધેય છે. તેથી,$F(t) = 800 - 8000(t - 0.2) = 2400 - 8000t$. પાવર $P = Fv = (2400 - 8000t) \times \frac{200}{3}t = 160000t - \frac{1600000}{3}t^2$,જે નીચેની તરફ ખુલતું પરવલય છે.

(A) $H = 10 \, m$ ની ઊંચાઈએ દડાની પ્રારંભિક સ્થિતિ ઊર્જા $E_i = mgH$ છે.
અથડામણ પછી,ઊર્જામાં $40 \%$ નો ઘટાડો થાય છે,જેનો અર્થ છે કે બાકી રહેલી ઊર્જા પ્રારંભિક ઊર્જાના $60 \%$ છે.
$E_f = E_i - 0.40 E_i = 0.60 E_i$.
નવી ઊંચાઈ $h^{\prime}$ પર સ્થિતિ ઊર્જા $E_f = mgh^{\prime}$ હોવાથી,$mgh^{\prime} = 0.60 mgH$ મળે.
આમ,$h^{\prime} = 0.60 H$.
$H = 10 \, m$ મૂકતા,$h^{\prime} = 0.60 \times 10 = 6 \, m$ મળે છે.

(A) આપેલ છે: $m_1 = 2 \ kg$,$m_2 = 4 \ kg$,$\mu = 0.2$,પ્રારંભિક અંતર $d = 0.16 \ m$,પ્રારંભિક વેગ $u_1 = 1 \ m/s$,$u_2 = 0 \ m/s$.
મંદન $a = \mu g = 0.2 \times 10 = 2 \ m/s^2$.
અથડામણ પહેલાં $2 \ kg$ બ્લોકનો વેગ:
$v^2 = u^2 - 2ad \implies v^2 = (1)^2 - 2(2)(0.16) = 1 - 0.64 = 0.36 \implies v = 0.6 \ m/s$.
સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે:
વેગમાન સંરક્ષણ: $m_1 v = m_1 v_1 + m_2 v_2 \implies 2(0.6) = 2v_1 + 4v_2 \implies 0.6 = v_1 + 2v_2$.
પ્રત્યવસ્થાન ગુણાંક $e = 1$: $v_2 - v_1 = e(u_1 - u_2) = 1(0.6 - 0) = 0.6$.
સમીકરણો ઉકેલતા: $v_1 + 2v_2 = 0.6$ અને $v_2 - v_1 = 0.6$.
સરવાળો કરતા: $3v_2 = 1.2 \implies v_2 = 0.4 \ m/s$.
તેથી $v_1 = v_2 - 0.6 = 0.4 - 0.6 = -0.2 \ m/s$.
અથડામણ પછી $2 \ kg$ બ્લોક દ્વારા કાપેલ અંતર: $S_1 = \frac{v_1^2}{2a} = \frac{(-0.2)^2}{2(2)} = \frac{0.04}{4} = 0.01 \ m$.
અથડામણ પછી $4 \ kg$ બ્લોક દ્વારા કાપેલ અંતર: $S_2 = \frac{v_2^2}{2a} = \frac{(0.4)^2}{2(2)} = \frac{0.16}{4} = 0.04 \ m$.
$v_1$ ઋણ હોવાથી,$2 \ kg$ બ્લોક ડાબી તરફ અને $4 \ kg$ બ્લોક જમણી તરફ ગતિ કરે છે. અંતિમ અંતર $S_1 + S_2 = 0.01 + 0.04 = 0.05 \ m = 5 \ cm$ છે.

(A) કોઈપણ બાહ્ય આડા બળની ગેરહાજરીમાં,તંત્રનું રેખીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
ધારો કે મહત્તમ વિસ્તરણ સમયે બંને બ્લોકનો સામાન્ય વેગ $v$ છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $m_2 v_0 = (m_1 + m_2) v \implies v = \frac{m_2 v_0}{m_1 + m_2}$.
યાંત્રિક ઉર્જાના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,તંત્રની પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા એ અંતિમ ગતિ ઉર્જા અને મહત્તમ વિસ્તરણ $x_0$ સમયે સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઉર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે:
$\frac{1}{2} m_2 v_0^2 = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v^2 + \frac{1}{2} k x_0^2$.
ઉર્જાના સમીકરણમાં $v$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{1}{2} m_2 v_0^2 = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) \left( \frac{m_2 v_0}{m_1 + m_2} \right)^2 + \frac{1}{2} k x_0^2$.
$m_2 v_0^2 = \frac{m_2^2 v_0^2}{m_1 + m_2} + k x_0^2$.
$k x_0^2 = m_2 v_0^2 \left( 1 - \frac{m_2}{m_1 + m_2} \right) = m_2 v_0^2 \left( \frac{m_1}{m_1 + m_2} \right)$.
$x_0^2 = \frac{m_1 m_2 v_0^2}{k(m_1 + m_2)}$.
$x_0 = v_0 \sqrt{\frac{m_1 m_2}{k(m_1 + m_2)}}$.

(C) ધારો કે ઢળતા સમતલના તળિયે (બિંદુ $A$) કણનો વેગ $v$ છે. કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $W_g = \Delta K.E.$
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 - 0$
$\implies v = \sqrt{2gh}$.
બિંદુ $C$ (ક્ષિતિજ સપાટી પર) પર,વેગ ક્ષિતિજ દિશામાં $v$ છે: $\vec{P}_C = mv \hat{i}$.
બિંદુ $A$ (ઢળતા સમતલના તળિયે) પર,વેગ $v$ છે જે ક્ષિતિજ સાથે નીચેની તરફ $\theta$ ખૂણે છે: $\vec{P}_A = mv \cos \theta \hat{i} - mv \sin \theta \hat{j}$.
$A$ અને $C$ વચ્ચે વેગમાનમાં ફેરફાર $\Delta \vec{P} = \vec{P}_C - \vec{P}_A = (mv - mv \cos \theta) \hat{i} + mv \sin \theta \hat{j}$.
તેનું મૂલ્ય $|\Delta \vec{P}| = \sqrt{(mv(1 - \cos \theta))^2 + (mv \sin \theta)^2}$.
$|\Delta \vec{P}| = mv \sqrt{1 + \cos^2 \theta - 2 \cos \theta + \sin^2 \theta} = mv \sqrt{2 - 2 \cos \theta}$.
નિત્યસમ $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\theta/2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|\Delta \vec{P}| = mv \sqrt{4 \sin^2(\theta/2)} = 2mv \sin(\theta/2)$.
$v = \sqrt{2gh}$ મૂકતા,આપણને $|\Delta \vec{P}| = 2m \sqrt{2gh} \sin(\theta/2)$ મળે છે.

(C) લિફ્ટિંગ મિકેનિઝમ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $(W_{lift})$ ગુરુત્વાકર્ષણ સામે,ગતિ ઊર્જા પૂરી પાડવા અને ઘર્ષણ સામે થવું જોઈએ.
$1$. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ સામે કરવામાં આવેલ કાર્ય $(W_g)$:
$W_g = mgh = 1000 \times 9.8 \times 20 = 196 \times 10^3\, J$
$2$. ગતિ ઊર્જા પૂરી પાડવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય $(W_k)$:
$W_k = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \times 1000 \times (4)^2 = 500 \times 16 = 8 \times 10^3\, J$
$3$. ઘર્ષણ બળ સામે કરવામાં આવેલ કાર્ય $(W_f)$:
$W_f = F_f \times d = 500 \times 20 = 10 \times 10^3\, J$
લિફ્ટિંગ મિકેનિઝમ દ્વારા કરવામાં આવેલ કુલ કાર્ય:
$W_{lift} = W_g + W_k + W_f = (196 + 8 + 10) \times 10^3\, J = 214 \times 10^3\, J$

(D) પગલું $1$: $C$ અને $A$ વચ્ચેની અથડામણ. અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી અને બંનેનું દળ $m$ હોવાથી,તેઓ વેગની આપ-લે કરે છે. બ્લોક $C$ સ્થિર થાય છે અને બ્લોક $A$,$v_0$ વેગથી ગતિ કરવાનું શરૂ કરે છે.
પગલું $2$: અથડામણ પછી,બ્લોક $A$ એ બ્લોક $B$ તરફ ગતિ કરે છે અને સ્પ્રિંગને સંકોચે છે. જ્યારે સ્પ્રિંગ $x_0$ જેટલી સંકોચાય છે,ત્યારે $A$ અને $B$ બંને સમાન વેગ $v$ થી ગતિ કરે છે.
પગલું $3$: $(A+B)$ તંત્ર માટે રેખીય વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$m v_0 = (m + 2m) v$
$m v_0 = 3m v$
$v = \frac{v_0}{3}$
પગલું $4$: $(A+B)$ તંત્ર માટે યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$A$ ની પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા = $(A+B)$ ની અંતિમ ગતિ ઉર્જા + સ્પ્રિંગની સ્થિતિ ઉર્જા
$\frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} (m + 2m) v^2 + \frac{1}{2} k x_0^2$
$\frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} (3m) \left(\frac{v_0}{3}\right)^2 + \frac{1}{2} k x_0^2$
$m v_0^2 = 3m \frac{v_0^2}{9} + k x_0^2$
$m v_0^2 = \frac{m v_0^2}{3} + k x_0^2$
$k x_0^2 = m v_0^2 - \frac{m v_0^2}{3} = \frac{2}{3} m v_0^2$
$k = \frac{2 m v_0^2}{3 x_0^2}$

(B) ધારો કે $m = 0.01 \, kg$ ગોળીનું દળ છે,$M = 2 \, kg$ બ્લોકનું દળ છે,$u = 500 \, m/s$ ગોળીની પ્રારંભિક ઝડપ છે,$V_b$ ગોળીની અંતિમ ઝડપ છે,અને $V_B$ અથડામણ પછી તરત જ બ્લોકનો વેગ છે.
અથડામણ દરમિયાન રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ $(COLM)$ મુજબ:
$m \cdot u = m \cdot V_b + M \cdot V_B$
$0.01 \times 500 = 0.01 \times V_b + 2 \times V_B$
$5 = 0.01 \cdot V_b + 2 \cdot V_B \quad \dots(1)$
અથડામણ પછી બ્લોક માટે યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ $(COME)$ મુજબ:
$\frac{1}{2} M V_B^2 = Mgh$
$V_B = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 9.8 \times 0.1} = \sqrt{1.96} = 1.4 \, m/s$
સમીકરણ $(1)$ માં $V_B = 1.4 \, m/s$ મૂકતા:
$5 = 0.01 \cdot V_b + 2(1.4)$
$5 = 0.01 \cdot V_b + 2.8$
$0.01 \cdot V_b = 2.2$
$V_b = \frac{2.2}{0.01} = 220 \, m/s$.

(C) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ઘર્ષણ જેવા બિન-સંરક્ષી બળોની ગેરહાજરીમાં કુલ યાંત્રિક ઉર્જા અચળ રહે છે.
માણસ અને થેલા બંને માટે,પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા $PE_i = mgh$ છે અને પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા $KE_i = 0$ છે.
તળિયે પહોંચતા,સ્થિતિ ઉર્જા $PE_f = 0$ થાય છે અને ગતિ ઉર્જા $KE_f = \frac{1}{2}mv^2$ થાય છે.
ઉર્જાને સરખાવતા: $mgh = \frac{1}{2}mv^2$.
વેગ માટે ઉકેલતા: $v = \sqrt{2gh}$.
માણસ અને થેલો બંને સમાન શિરોલંબ ઊંચાઈ $h$ પરથી પડે છે અને બંને પર સમાન ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ લાગે છે,તેથી તળિયે તેમના અંતિમ વેગ સમાન હશે,ભલે ગમે તે માર્ગે ગતિ કરી હોય (જો સપાટી ઘર્ષણરહિત હોય તો).

(C) $1$. તંત્રને ઓળખો: આ તંત્રમાં દરેક $m = 5\,kg$ દળના બે બ્લોક્સનો સમાવેશ થાય છે.
$2$. બળોનું વિશ્લેષણ કરો: બ્લોક્સ ઘર્ષણરહિત આડી સપાટી પર ગતિ કરે છે. તંત્ર પર લાગતા બાહ્ય બળો ગુરુત્વાકર્ષણ (નીચેની તરફ) અને સપાટી દ્વારા લાગતું લંબબળ (ઉપરની તરફ) છે.
$3$. સ્થાનાંતર નક્કી કરો: ગતિ આડી હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાનાંતર આડું છે. બાહ્ય બળો (ગુરુત્વાકર્ષણ અને લંબબળ) શિરોલંબ દિશામાં લાગે છે.
$4$. કાર્યની ગણતરી કરો: બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = Fd \cos(\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. બળો શિરોલંબ છે અને સ્થાનાંતર આડું હોવાથી,ખૂણો $\theta = 90^\circ$ છે. તેથી,$\cos(90^\circ) = 0$.
$5$. નિષ્કર્ષ: તંત્ર પર બાહ્ય બળો દ્વારા થયેલું કાર્ય $0\,J$ છે.

(B) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ $(COLM)$ મુજબ:
$mv + 0 = m(v/2) + MV'$
$mv/2 = MV'$
$V' = mv / (2M)$
અહીં,$V'$ એ ગોળી પસાર થયા પછી તરત જ $M$ દળના બ્લોક દ્વારા પ્રાપ્ત થયેલ વેગ છે.
બ્લોક માટે યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ $(COME)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(1/2)MV'^2 = MgH$
સમીકરણમાં $V' = mv / (2M)$ મૂકતા:
$(1/2)M(mv / 2M)^2 = MgH$
$(1/2)M(m^2v^2 / 4M^2) = MgH$
$m^2v^2 / (8M^2) = MgH$
$H = m^2v^2 / (8M^2g)$

(A) ધારો કે પ્રથમ દડાની પ્રારંભિક દિશા $x$-અક્ષ પર છે.
$x$-અક્ષ પર તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન: $P_{ix} = (1\,kg)(4\,m/s) + (M)(0) = 4\,kg\cdot m/s$.
$y$-અક્ષ પર તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન: $P_{iy} = 0$.
અથડામણ પછી,પ્રથમ દડો $y$-અક્ષ પર $3\,m/s$ ના વેગથી ગતિ કરે છે. તેનું વેગમાન $p_1 = (1\,kg)(3\,m/s) = 3\,kg\cdot m/s$ $y$-અક્ષ પર છે.
ધારો કે બીજા દડાનું વેગમાન $\vec{p}_2$ છે જેના ઘટકો $p_{2x}$ અને $p_{2y}$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$x$-અક્ષ પર: $4 = p_{2x} \implies p_{2x} = 4\,kg\cdot m/s$.
$y$-અક્ષ પર: $0 = 3 + p_{2y} \implies p_{2y} = -3\,kg\cdot m/s$.
બીજા દડાના વેગમાનનું મૂલ્ય $p_2 = \sqrt{p_{2x}^2 + p_{2y}^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\,kg\cdot m/s$ થાય.

(D) $1$. અભિગમનો વેગ: અથડામણની રેખા (આડી ધરી) પર વેગના ઘટકો બંને કણો માટે $v \sin(\theta/2)$ છે. તેઓ એકબીજાની તરફ ગતિ કરી રહ્યા હોવાથી,અભિગમનો વેગ $v \sin(\theta/2) + v \sin(\theta/2) = 2v \sin(\theta/2)$ થાય છે.
$2$. અલગ થવાનો વેગ: સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,કણો અથડામણ પછી એકબીજા સાથે ચોંટી જાય છે,તેથી તેમનો સાપેક્ષ અલગ થવાનો વેગ $0$ છે.
$3$. અથડામણ પછી સામાન્ય વેગ: આડી ધરી પર રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક વેગમાન $m(v \cos(\theta/2)) + m(v \cos(\theta/2)) = 2mv \cos(\theta/2)$ છે. અથડામણ પછી,સંયુક્ત દળ $2m$ એ $v'$ વેગ સાથે ગતિ કરે છે. તેથી,$2mv' = 2mv \cos(\theta/2)$,જે $v' = v \cos(\theta/2)$ આપે છે.
આમ,બધા વિધાનો સાચા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) ધારો કે દરેક કણનું દળ $m$ છે. કેન્દ્ર તરફ ગતિ કરતા કણો $A, B, C, D$ ના પ્રારંભિક વેગ સદિશો $\vec{v}_A, \vec{v}_B, \vec{v}_C, \vec{v}_D$ છે. કણો ચોરસના ખૂણા પર હોવાથી અને કેન્દ્ર તરફ $v$ ઝડપથી ગતિ કરતા હોવાથી,તેમનું પ્રારંભિક કુલ વેગમાન $\vec{P}_i = m(\vec{v}_A + \vec{v}_B + \vec{v}_C + \vec{v}_D) = 0$ થાય છે કારણ કે સદિશો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અંતિમ કુલ વેગમાન પણ શૂન્ય હોવું જોઈએ: $\vec{P}_f = m(\vec{v}'_A + \vec{v}'_B + \vec{v}'_C + \vec{v}'_D) = 0$.
આપેલ છે:
$1$. કણ $A$ સ્થિર થાય છે: $\vec{v}'_A = 0$.
$2$. કણ $B$ તેની ઝડપ $v$ સાથે પાછો ફરે છે: $\vec{v}'_B = -\vec{v}_B$.
$3$. કણો $C$ અને $D$ સમાન ઝડપ $v'$ થી ગતિ કરે છે: $\vec{v}'_C = \vec{v}'_D$.
આ કિંમતોને સંરક્ષણના સમીકરણમાં મૂકતા:
$0 + (-\vec{v}_B) + \vec{v}'_C + \vec{v}'_D = 0$
કારણ કે $\vec{v}'_C = \vec{v}'_D$,તેથી $2\vec{v}'_C = \vec{v}_B$.
મૂલ્યો લેતા,$2v' = v$,જે આપે છે $v' = \frac{v}{2}$.
આમ,અથડામણ પછી $C$ નો વેગ $\frac{v}{2}$ છે.

(C) ધારો કે બ્લોકનું દળ $M = 2.9 \, kg$ અને ગોળીનું દળ $m = 0.1 \, kg$ છે. ગોળીનો વેગ $v_0 = 150 \, m/s$ છે.
અનિયમિત અથડામણ દરમિયાન રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m v_0 = (M + m) V$
$0.1 \times 150 = (2.9 + 0.1) V$
$15 = 3 V \Rightarrow V = 5 \, m/s$
હવે,સંયુક્ત તંત્ર $h$ ઊંચાઈ સુધી ઉપર જાય છે. યાંત્રિક ઉર્જાના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$\frac{1}{2} (M + m) V^2 = (M + m) g h$
$h = \frac{V^2}{2g} = \frac{5^2}{2 \times 10} = \frac{25}{20} = 1.25 \, m$
લોલકની ભૂમિતિ પરથી,ઊંચાઈ $h = l(1 - \cos \theta)$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $l = 2.5 \, m$ એ દોરીની લંબાઈ છે.
$1.25 = 2.5 (1 - \cos \theta)$
$1 - \cos \theta = \frac{1.25}{2.5} = 0.5$
$\cos \theta = 1 - 0.5 = 0.5$
$\theta = \cos^{-1}(0.5) = 60^{\circ}$

(B) ધારો કે દડાને જે ઊંચાઈ પરથી ફેંકવામાં આવે છે તે $h = 5\,m$ છે અને રેતીમાં ખૂંપવાની ઊંડાઈ $s = 1\,m$ છે.
જ્યારે દડો રેતી સાથે અથડાય છે,ત્યારે તેનો વેગ $v$ એ $v^2 = 2gh = 2 \times 10 \times 5 = 100\,m^2/s^2$ દ્વારા મળે છે ($g = 10\,m/s^2$ લેતા).
રેતીની અંદર,દડો સ્થિર થાય છે,તેથી તેનો અંતિમ વેગ $v_f = 0$ છે.
ગતિના સમીકરણ $v_f^2 = v^2 - 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a$ એ પ્રતિપ્રવેગ છે:
$0 = 100 - 2 \times a \times 1$.
$2a = 100$.
$a = 50\,m/s^2$.
આમ,રેતીમાં દડાનો પ્રતિપ્રવેગ $50\,m/s^2$ છે.

(B) ધારો કે $m_1 = 0.1\,kg$ દળ ધરાવતા બ્લોકનો $\frac{x}{2}$ સ્થાન પર વેગ $u$ છે. જ્યારે તે $m_2$ દળના બીજા બ્લોક સાથે અથડાય છે,ત્યારે પ્રથમ બ્લોક સ્થિર થઈ જાય છે,એટલે કે $v_1 = 0.$ બીજો બ્લોક $v_2 = 3\,m/s$ ના વેગથી ગતિ કરે છે.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $m_1 u + m_2(0) = m_1(0) + m_2(3) \Rightarrow 0.1u = 3m_2.$
અથડામણ માટે ઉર્જા સંરક્ષણ મુજબ: $\frac{1}{2}m_1 u^2 = \frac{1}{2}m_2(3)^2 \Rightarrow 0.1u^2 = 9m_2.$
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{0.1u^2}{0.1u} = \frac{9m_2}{3m_2} \Rightarrow u = 3\,m/s.$
હવે,સ્પ્રિંગ-બ્લોક સિસ્ટમ માટે પ્રારંભિક દબાયેલી સ્થિતિથી $\frac{x}{2}$ સ્થાન સુધી ઉર્જા સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરતા:
કુલ પ્રારંભિક ઉર્જા $E = \frac{1}{2}kx^2.$
$\frac{x}{2}$ સ્થાન પર ઉર્જા $E' = \frac{1}{2}k(\frac{x}{2})^2 + \frac{1}{2}m_1 u^2.$
$E = E'$ હોવાથી,આપણને મળે છે: $\frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{8}kx^2 + \frac{1}{2}(0.1)(3)^2.$
$\frac{3}{8}kx^2 = 0.45 \Rightarrow \frac{1}{2}kx^2 = \frac{0.45 \times 8}{3 \times 2} = 0.6\,J.$

(B) સ્થિતિ ઉર્જા $U$ એ કેન્દ્રીય બળની વિરુદ્ધ કરેલા કાર્ય દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $dU = -F \cdot dr$. બળ કેન્દ્ર તરફ હોવાથી,સ્થિતિ ઉર્જા $U = \int_0^r F dr = \int_0^r \alpha r^2 dr = \frac{\alpha r^3}{3}$ થાય.
વર્તુળાકાર ગતિ માટે,કેન્દ્રગામી બળ આપેલ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે: $\frac{mv^2}{r} = F = \alpha r^2$.
તેથી,ગતિ ઉર્જા $K.E. = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}(\alpha r^2)r = \frac{1}{2}\alpha r^3$ થાય.
કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $E = K.E. + P.E. = \frac{1}{2}\alpha r^3 + \frac{1}{3}\alpha r^3 = \frac{5}{6}\alpha r^3$ મળે.

(B) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,બિંદુ $A$ પરની કુલ ઉર્જા એ બિંદુ $B$ પરની કુલ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
ટ્રેક $BC$ ના સ્તર પર સ્થિતિ ઉર્જા શૂન્ય લેતા,આપણને મળે છે:
$mgh + \frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}mv_B^2$
$v_B^2 = v_0^2 + 2gh$
હવે,દડો ખરબચડી સપાટી $BC$ પર ગતિ કરે છે અને $L$ અંતર કાપ્યા પછી $C$ પર સ્થિર થાય છે. ઘર્ષણ દ્વારા થયેલ કાર્ય એ ગતિ ઉર્જામાં થયેલા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$-f_k \cdot L = 0 - \frac{1}{2}mv_B^2$
$-\mu mg \cdot L = -\frac{1}{2}m(v_0^2 + 2gh)$
$L = \frac{v_0^2 + 2gh}{2\mu g}$
$L = \frac{v_0^2}{2\mu g} + \frac{2gh}{2\mu g} = \frac{h}{\mu} + \frac{v_0^2}{2\mu g}$

(B) આપેલ છે: ગોળીનું દળ $m_1 = 4\,g = 0.004\,kg$,પ્રારંભિક વેગ $u_1 = 300\,m/s$. બ્લોકનું દળ $m_2 = 0.8\,kg$,પ્રારંભિક વેગ $u_2 = 0\,m/s$.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ગોળી બ્લોકમાં ખૂંપી ગયા પછી સંયુક્ત વેગ $v$ નીચે મુજબ મળે:
$m_1 u_1 + m_2 u_2 = (m_1 + m_2)v$
$0.004 \times 300 + 0.8 \times 0 = (0.8 + 0.004)v$
$1.2 = 0.804v$
$v = \frac{1.2}{0.804} \approx 1.4925\,m/s$.
હવે,ઘર્ષણને કારણે બ્લોક સરકે છે. પ્રતિપ્રવેગ $a = \mu g = 0.3 \times 10 = 3\,m/s^2$ છે.
ગતિના સમીકરણ $v_f^2 = v_i^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $v_f = 0$ (અંતિમ વેગ) અને $v_i = v$:
$0 = (1.4925)^2 - 2 \times 3 \times s$
$6s = 2.2275$
$s = \frac{2.2275}{6} \approx 0.371\,m$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,બ્લોક આશરે $0.379\,m$ જેટલું અંતર કાપશે.

(A) ધારો કે $m$ દળની ગોળીનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે. $x$ જાડાઈના પાટિયામાંથી પસાર થયા પછી,તેનો વેગ ઘટીને $v$ થાય છે.
આપેલ છે કે ગોળી તેના વેગનો $\frac{1}{n}$ ભાગ ગુમાવે છે,તેથી અંતિમ વેગ $v$:
$v = u - \frac{u}{n} = u \left( \frac{n - 1}{n} \right)$
એક પાટિયા માટે કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $F$ એ અવરોધક બળ છે:
$Fx = \frac{1}{2} m u^2 - \frac{1}{2} m v^2$
$Fx = \frac{1}{2} m u^2 - \frac{1}{2} m \left( u \frac{n - 1}{n} \right)^2$
$Fx = \frac{1}{2} m u^2 \left[ 1 - \frac{(n - 1)^2}{n^2} \right] = \frac{1}{2} m u^2 \left[ \frac{n^2 - (n^2 - 2n + 1)}{n^2} \right] = \frac{1}{2} m u^2 \left( \frac{2n - 1}{n^2} \right)$
ધારો કે ગોળીને રોકવા માટે જરૂરી પાટિયાની સંખ્યા $P$ છે. કુલ અંતર $Px$ છે અને અંતિમ વેગ $0$ છે:
$F(Px) = \frac{1}{2} m u^2 - 0$
$P(Fx) = \frac{1}{2} m u^2$
$Fx$ ની કિંમત મૂકતા:
$P \left[ \frac{1}{2} m u^2 \left( \frac{2n - 1}{n^2} \right) \right] = \frac{1}{2} m u^2$
$P = \frac{n^2}{2n - 1}$

(B) ધારો કે $m = 70\, kg$ એ માણસનું દળ છે,$h_1 = 0.5\, m$ એ ધક્કા દરમિયાનનું સ્થાનાંતર છે,અને $h_2 = 1\, m$ એ કૂદકા પછી પ્રાપ્ત કરેલી ઊંચાઈ છે.
ધક્કાના તબક્કા દરમિયાન કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $(F - mg)h_1 = \frac{1}{2}mv^2$.
ઉડ્ડયન તબક્કા માટે ઊર્જા સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{2}mv^2 = mgh_2$,જે આપે છે $v = \sqrt{2gh_2} = \sqrt{2 \times 10 \times 1} = \sqrt{20} \approx 4.47\, m/s$.
કાર્યના સમીકરણમાં $v^2 = 2gh_2$ મૂકતા: $(F - mg)h_1 = mgh_2 \implies F = mg(1 + h_2/h_1) = 70 \times 10 \times (1 + 1/0.5) = 700 \times 3 = 2100\, N$.
સ્નાયુઓ દ્વારા આપવામાં આવતી પાવર $P = Fv$ છે. કૂદકો મારતી વખતે,$v = \sqrt{20}$.
$P = 2100 \times \sqrt{20} \approx 2100 \times 4.472 = 9391\, W$.
જોકે,આ ચોક્કસ સમસ્યા માટે પ્રમાણભૂત મોડેલ ધારીએ જ્યાં $F = 2mg$ નો ઉપયોગ થાય છે,તો $P = 2mg \times \sqrt{2gh_2} = 2 \times 700 \times 4.472 = 6260.8\, W \approx 6.26 \times 10^3\, W$ કૂદકો મારતી વખતે મળે છે.

(D) તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન (બ્લોક $C$) $P_i = mv_0$ છે.
$C$ ($m$ દળ) અને $A$ ($m$ દળ) વચ્ચેની સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ પછી,સમાન દળ હોવાથી,તેઓ તેમના વેગની આપ-લે કરે છે. આમ,$C$ સ્થિર થાય છે અને $A$ એ $v_0$ વેગથી ગતિ કરવાનું શરૂ કરે છે.
હવે,તંત્રમાં સ્પ્રિંગ દ્વારા જોડાયેલા બ્લોક $A$ અને $B$ છે,જેમાં $A$ એ $v_0$ વેગથી અને $B$ સ્થિર છે.
જ્યારે સ્પ્રિંગનું સંકોચન $x_0$ હોય ત્યારે $A$ અને $B$ નો સામાન્ય વેગ $v$ ધારો. રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$mv_0 = (m + 2m)v$
$mv_0 = 3mv$
$v = \frac{v_0}{3}$
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$A$ ની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા એ તંત્ર $(A+B)$ ની ગતિઊર્જા અને સ્પ્રિંગની સ્થિતિઊર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે:
$\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}(3m)v^2 + \frac{1}{2}kx_0^2$
$v = \frac{v_0}{3}$ મૂકતા:
$\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}(3m)\left(\frac{v_0}{3}\right)^2 + \frac{1}{2}kx_0^2$
$\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}(3m)\frac{v_0^2}{9} + \frac{1}{2}kx_0^2$
$\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{6}mv_0^2 + \frac{1}{2}kx_0^2$
$\frac{1}{2}kx_0^2 = \frac{1}{2}mv_0^2 - \frac{1}{6}mv_0^2 = \frac{1}{3}mv_0^2$
$k = \frac{2}{3}m\left(\frac{v_0}{x_0}\right)^2$

(D) જ્યારે દડાને $h$ ઊંચાઈ પરથી છોડવામાં આવે છે,ત્યારે કોઈપણ ઊંચાઈ $y$ (જમીનથી માપતા) પર તેની ઝડપ $v$ ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ દ્વારા મળે છે: $mgh = mgy + \frac{1}{2}mv^2$,જેનું સાદું રૂપ $v = \sqrt{2g(h-y)}$ થાય છે.
આ સમીકરણ $(v, h)$ સમતલમાં ડાબી તરફ ખુલતા પરવલયને દર્શાવે છે,જ્યાં $h$ એ શિરોલંબ અક્ષ છે અને $v$ એ આડી અક્ષ છે.
નીચેની તરફની ગતિ દરમિયાન,જેમ $h$ પ્રારંભિક ઊંચાઈથી ઘટીને $0$ થાય છે,તેમ ઝડપ $v$ એ $0$ થી વધીને $\sqrt{2gh}$ થાય છે.
જમીન સાથે અસ્થિતિસ્થાપક રીતે અથડાતા,દડો થોડી ગતિ ઉર્જા ગુમાવે છે,તેથી ઉછળ્યા પછી તરત જ તેનો વેગ $v' = ev$ થાય છે,જ્યાં $e < 1$ એ રિસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક છે.
ઉપરની તરફની ગતિ દરમિયાન,દડો $h=0$ પર $v'$ ઝડપથી શરૂઆત કરે છે અને નવી મહત્તમ ઊંચાઈ $h' = e^2h$ સુધી પહોંચે છે. જેમ $h$ એ $0$ થી વધીને $h'$ થાય છે,તેમ ઝડપ $v$ એ $v'$ થી ઘટીને $0$ થાય છે.
આ વર્તણૂક નીચેની તરફની ગતિ માટે નીચેની તરફ ખુલતા પરવલયાકાર ચાપ અને ઉપરની તરફની ગતિ માટે ઉપરની તરફ ખુલતા પરવલયાકાર ચાપ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જેમાં ઉપરની ગતિ ઓછી ઊંચાઈ સુધી પહોંચે છે. આલેખ $D$ આ ક્રમ યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(C) ધારો કે બ્લોક $A$ નો પ્રારંભિક વેગ $v$ છે. અથડામણો સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક હોવાથી,દરેક અથડામણ પછી બ્લોક્સ એકબીજા સાથે જોડાઈ જાય છે.
$1$. $A$ અને $B$ વચ્ચેની અથડામણ:
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $mv = (m + m)v_1 = 2mv_1 \implies v_1 = v/2$.
$2$. સંયુક્ત દળ $(A+B)$ અને $C$ વચ્ચેની અથડામણ:
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $(2m)v_1 = (2m + M)v_f$.
$v_1 = v/2$ મૂકતા: $(2m)(v/2) = (2m + M)v_f \implies mv = (2m + M)v_f \implies v_f = \frac{mv}{2m + M}$.
$3$. ગતિઊર્જાનું વિશ્લેષણ:
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2}mv^2$.
અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = \frac{1}{2}(2m + M)v_f^2 = \frac{1}{2}(2m + M) \left( \frac{mv}{2m + M} \right)^2 = \frac{m^2v^2}{2(2m + M)}$.
આપેલ છે કે પ્રારંભિક ગતિઊર્જાના $5/6$ ભાગનો વ્યય થાય છે,તેથી અંતિમ ગતિઊર્જા એ પ્રારંભિક ગતિઊર્જાના $1/6$ ભાગ જેટલી હોય:
$K_f = \frac{1}{6} K_i \implies \frac{m^2v^2}{2(2m + M)} = \frac{1}{6} \left( \frac{1}{2}mv^2 \right)$.
સાદું રૂપ આપતા: $\frac{m}{2m + M} = \frac{1}{6} \implies 6m = 2m + M \implies M = 4m \implies M/m = 4$.

(C) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_3 + m_2 v_4$
અહીં આપેલ છે કે $m_2 = 0.5\, m_1$ અને $v_3 = 0.5\, v_1$.
કિંમતો મૂકતા:
$m_1 v_1 + (0.5\, m_1) v_2 = m_1 (0.5\, v_1) + (0.5\, m_1) v_4$
બંને બાજુથી $m_1$ સામાન્ય કાઢીને દૂર કરતા:
$v_1 + 0.5\, v_2 = 0.5\, v_1 + 0.5\, v_4$
$v_1 - 0.5\, v_1 = 0.5\, v_4 - 0.5\, v_2$
$0.5\, v_1 = 0.5\, (v_4 - v_2)$
$v_1 = v_4 - v_2$

(C) ધારો કે કણ વેજ પર $h$ જેટલી મહત્તમ ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરે છે. આ સમયે,કણ અને વેજ બંને એકસાથે સમાન સમક્ષિતિજ વેગ $V_f$ થી ગતિ કરે છે.
સમક્ષિતિજ દિશામાં રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$mv = (m + M)V_f$
અહીં $M = 4m$ હોવાથી:
$mv = (m + 4m)V_f = 5mV_f$
$V_f = \frac{v}{5}$
યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}(m + M)V_f^2 + mgh$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}(5m)\left(\frac{v}{5}\right)^2 + mgh$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}(5m)\left(\frac{v^2}{25}\right) + mgh$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{10}mv^2 + mgh$
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{10}mv^2 = \frac{5-1}{10}mv^2 = \frac{4}{10}mv^2 = \frac{2}{5}mv^2$
$h = \frac{2v^2}{5g}$

(B) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $\vec{u}_1 = 10(\cos 30^\circ \hat{i} - \sin 30^\circ \hat{j})$ અને $\vec{u}_2 = 5(\cos 45^\circ \hat{i} + \sin 45^\circ \hat{j})$ છે.
ધારો કે અંતિમ વેગ $\vec{v}_1 = v_1(\cos 30^\circ \hat{i} + \sin 30^\circ \hat{j})$ અને $\vec{v}_2 = v_2(\cos 45^\circ \hat{i} - \sin 45^\circ \hat{j})$ છે.
$x$-દિશામાં વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$M(10 \cos 30^\circ) + 2M(5 \cos 45^\circ) = 2M(v_1 \cos 30^\circ) + M(v_2 \cos 45^\circ)$
$5\sqrt{3} + 5\sqrt{2} = v_1\sqrt{3} + \frac{v_2}{\sqrt{2}} \quad ... (i)$
$y$-દિશામાં વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$M(-10 \sin 30^\circ) + 2M(5 \sin 45^\circ) = 2M(v_1 \sin 30^\circ) + M(-v_2 \sin 45^\circ)$
$-5 + 5\sqrt{2} = v_1 - \frac{v_2}{\sqrt{2}} \quad ... (ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$v_1(\sqrt{3} + 1) = 5\sqrt{3} + 10\sqrt{2} - 5 \Rightarrow v_1 \approx 6.5\, m/s$
$v_1$ ની કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$v_2 \approx 6.3\, m/s$.

(B) ધારો કે $m = 0.01\,kg$ ગોળીનું દળ છે,$M = 2\,kg$ બ્લોકનું દળ છે,$u = 500\,m/s$ ગોળીની પ્રારંભિક ઝડપ છે,$v$ ગોળીની અંતિમ ઝડપ છે,અને $V$ એ અથડામણ પછી તરત જ બ્લોકનો વેગ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ $(COLM)$ મુજબ:
$m u = m v + M V$
$0.01 \times 500 = 0.01 v + 2 V$
$5 = 0.01 v + 2 V \quad ...(1)$
બ્લોક $h = 0.1\,m$ ઊંચાઈ સુધી જાય છે,તેથી યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણ $(COME)$ મુજબ:
$\frac{1}{2} M V^2 = M g h$
$V = \sqrt{2 g h} = \sqrt{2 \times 10 \times 0.1} = \sqrt{2} \approx 1.414\,m/s$ ($g = 10\,m/s^2$ લેતા)
સમીકરણ $(1)$ માં $V$ ની કિંમત મૂકતા:
$5 = 0.01 v + 2(1.414)$
$5 = 0.01 v + 2.828$
$0.01 v = 2.172$
$v = 217.2\,m/s \approx 220\,m/s$ (આપેલા વિકલ્પો મુજબ).

(D) ધારો કે ગોળીનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે અને અચળ પ્રતિપ્રવેગ $a$ છે.
ગતિના પ્રથમ ભાગ માટે,ગોળી $s_1 = 1\,cm$ અંતર કાપે છે અને તેનો વેગ $v_1 = \frac{u}{2}$ થાય છે.
સમીકરણ $v^2 = u^2 - 2as$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\frac{u}{2})^2 = u^2 - 2a(1) \implies \frac{u^2}{4} = u^2 - 2a \implies 2a = \frac{3u^2}{4} \quad ...(i)$
બીજા ભાગ માટે,ગોળી સ્થિર $(v_2 = 0)$ થાય તે પહેલાં વધારાનું $d$ અંતર કાપે છે,જેનો પ્રારંભિક વેગ $v_1 = \frac{u}{2}$ છે.
$0^2 = (\frac{u}{2})^2 - 2ad \implies 0 = \frac{u^2}{4} - 2ad \quad ...(ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $2a = \frac{3u^2}{4}$ ની કિંમત સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$0 = \frac{u^2}{4} - (\frac{3u^2}{4})d \implies \frac{u^2}{4} = \frac{3u^2}{4}d \implies d = \frac{1}{3}\,cm$.