Mix Examples-Work, Energy, Power and Collision Questions in Gujarati

(C) પગલું $1$: $A$ અને $B$ વચ્ચે સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ.
ધારો કે $v_A = 9 \ m/s$ અને $v_B = 0$. અથડામણ પછી,વેગ $v_A'$ અને $v_B'$ છે.
વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $m(9) + 2m(0) = m v_A' + 2m v_B' \Rightarrow 9 = v_A' + 2v_B'$.
સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે રિસ્ટિટ્યુશનના ગુણાંક $(e=1)$ મુજબ: $v_B' - v_A' = e(v_A - v_B) = 1(9 - 0) = 9 \Rightarrow v_B' - v_A' = 9$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(v_A' + 2v_B') + (v_B' - v_A') = 9 + 9 \Rightarrow 3v_B' = 18 \Rightarrow v_B' = 6 \ m/s$.
પગલું $2$: $B$ અને $C$ વચ્ચે સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ.
ધારો કે $v_B' = 6 \ m/s$ અને $v_C = 0$. અથડામણ પછી,$B$ અને $C$ સાથે મળીને $v_f$ વેગથી ગતિ કરે છે.
વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $2m(v_B') + m(0) = (2m + m)v_f \Rightarrow 2m(6) = 3m v_f \Rightarrow 12 = 3v_f \Rightarrow v_f = 4 \ m/s$.
આમ,પદાર્થ $C$ ની અંતિમ ઝડપ $4 \ m/s$ છે.

(C) ધારો કે $m_1 = 0.36 \text{ kg}$ અને $m_2 = 0.72 \text{ kg}$ છે.
$m_2$ દળના બ્લોક માટે ગતિનું સમીકરણ: $m_2 g - T = m_2 a$.
$m_1$ દળના બ્લોક માટે ગતિનું સમીકરણ: $T - m_1 g = m_1 a$.
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(m_2 - m_1) g = (m_1 + m_2) a$.
$a = \frac{(m_2 - m_1) g}{m_1 + m_2} = \frac{(0.72 - 0.36) \times 10}{0.72 + 0.36} = \frac{0.36 \times 10}{1.08} = \frac{3.6}{1.08} = \frac{10}{3} \text{ m/s}^2$.
તણાવબળ $T$: $T = m_1(g + a) = 0.36 \times (10 + \frac{10}{3}) = 0.36 \times \frac{40}{3} = 0.12 \times 40 = 4.8 \text{ N}$.
સ્થિર સ્થિતિમાંથી $t = 1 \text{ s}$ માં સ્થાનાંતર $s$: $s = \frac{1}{2} a t^2 = \frac{1}{2} \times \frac{10}{3} \times (1)^2 = \frac{5}{3} \text{ m}$.
$m_1$ દળના બ્લોક પર દોરી દ્વારા થયેલું કાર્ય: $W = T \times s = 4.8 \times \frac{5}{3} = 1.6 \times 5 = 8 \text{ J}$.

(A) ધારો કે $1 \, kg$ દળનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે અને $5 \, kg$ દળનો અંતિમ વેગ $v$ છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $1 \cdot u + 5 \cdot 0 = 1 \cdot (-2) + 5 \cdot v \implies u = 5v - 2$ ... $(i)$
ન્યુટનના અથડામણના પ્રાયોગિક નિયમ મુજબ (સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે, પુનઃપ્રાપ્તિ ગુણાંક $e = 1$): $v - (-2) = 1 \cdot (u - 0) \implies u = v + 2$ ... $(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ ને ઉકેલતા: $5v - 2 = v + 2 \implies 4v = 4 \implies v = 1 \, m/s$. તેથી $u = 3 \, m/s$.
$(A)$ કુલ વેગમાન $P = 1 \cdot u = 1 \cdot 3 = 3 \, kg \cdot m/s$. (સાચું)
$(B)$ $5 \, kg$ દળનું વેગમાન $= 5 \cdot v = 5 \cdot 1 = 5 \, kg \cdot m/s$. (ખોટું)
$(C)$ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $v_{cm} = \frac{m_1 u_1 + m_2 u_2}{m_1 + m_2} = \frac{1 \cdot 3 + 5 \cdot 0}{1 + 5} = 0.5 \, m/s$. દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિ ઉર્જા $= \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v_{cm}^2 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot (0.5)^2 = 3 \cdot 0.25 = 0.75 \, J$. (સાચું)
$(D)$ કુલ ગતિ ઉર્જા $= \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot (-2)^2 + \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot (1)^2 = 2 + 2.5 = 4.5 \, J$. (ખોટું)
આમ, વિધાન $(A)$ અને $(C)$ સાચા છે.

(D) ધારો કે ગોળીનું દળ $m = 0.01 \ kg$ અને દડાનું દળ $M = 0.2 \ kg$ છે. દડો શરૂઆતમાં $h = 5 \ m$ ઊંચાઈ પર સ્થિર છે.
ગતિ સમક્ષિતિજ પ્રક્ષિપ્ત ગતિ હોવાથી,જમીન પર પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t$ એ $h = \frac{1}{2} g t^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$g = 10 \ m/s^2$ લેતા,$5 = \frac{1}{2} \times 10 \times t^2$,જેનું સાદુરૂપ આપતા $t = 1 \ s$ મળે છે.
અથડામણ પછી,દડાનો સમક્ષિતિજ વેગ $v_b = \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{20 \ m}{1 \ s} = 20 \ m/s$ છે.
ગોળીનો સમક્ષિતિજ વેગ $v_u = \frac{100 \ m}{1 \ s} = 100 \ m/s$ છે.
સમક્ષિતિજ દિશામાં વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m V = m v_u + M v_b$
$0.01 \times V = (0.01 \times 100) + (0.2 \times 20)$
$0.01 \times V = 1 + 4 = 5$
$V = \frac{5}{0.01} = 500 \ m/s$.

(C) ધારો કે $m_1 = 1.0 \ kg$ અને $m_2 = 2.0 \ kg$. $m_1$ નો પ્રારંભિક વેગ $u_1 = 2.0 \ m \ s^{-1}$ અને $m_2$ નો $u_2 = 0$ છે. ધારો કે સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ પછી તેમના વેગ $v_1$ અને $v_2$ છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $m_1 u_1 = m_1 v_1 + m_2 v_2 \implies 1(2) = 1(v_1) + 2(v_2) \implies v_1 + 2v_2 = 2$ . . . . . $(1)$
સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે રેસ્ટિટ્યુશનના ગુણાંક $(e=1)$ નો ઉપયોગ કરતા: $v_2 - v_1 = e(u_1 - u_2) = 1(2 - 0) = 2$ . . . . . $(2)$
સમીકરણો $(1)$ અને $(2)$ ઉકેલતા,આપણને $v_2 = 4/3 \ m \ s^{-1}$ અને $v_1 = -2/3 \ m \ s^{-1}$ મળે છે.
સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલ $2.0 \ kg$ નો બ્લોક સરળ આવર્ત ગતિ કરે છે. તેનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{m_2/k} = 2\pi \sqrt{2/2} = 2\pi \ s$ છે.
સ્પ્રિંગ અડધા આવર્તકાળ પછી તેની મૂળ સ્થિતિમાં પાછી આવે છે,એટલે કે $\Delta t = T/2 = \pi \ s$.
આ સમય દરમિયાન,$1.0 \ kg$ નો બ્લોક અચળ વેગ $v_1 = -2/3 \ m \ s^{-1}$ થી (સ્પ્રિંગથી દૂર) ગતિ કરે છે. તેનું સ્થાનાંતર $\Delta x_1 = v_1 \Delta t = (-2/3) \times \pi = -2\pi/3 \ m$ છે.
$2.0 \ kg$ નો બ્લોક $x=0$ થી $x_{max}$ સુધી જાય છે અને પાછો $x=0$ પર આવે છે. તેનું સ્થાનાંતર $\Delta x_2 = 0$ છે.
બંને બ્લોક વચ્ચેનું અંતર $|\Delta x_1 - \Delta x_2| = |-2\pi/3 - 0| = 2\pi/3 \approx 2(3.14)/3 = 6.28/3 \approx 2.09 \ m$ થાય.

(B) આપેલ છે કે $\frac{dK}{dt} = \gamma t$. કારણ કે $K = \frac{1}{2}mv^2$,તેથી $\frac{dK}{dt} = mv \frac{dv}{dt} = \gamma t$.
આમ,$v \frac{dv}{dt} = \frac{\gamma t}{m}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int v dv = \int \frac{\gamma}{m} t dt$,જે $\frac{v^2}{2} = \frac{\gamma t^2}{2m}$ આપે છે.
તેથી,$v = \sqrt{\frac{\gamma}{m}} t$. આ દર્શાવે છે કે ઝડપ સમયના સમપ્રમાણમાં છે,તેથી $(B)$ સાચું છે.
પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt} = \sqrt{\frac{\gamma}{m}}$,જે અચળ છે. કારણ કે $F = ma$,તેથી બળ $F = \sqrt{\gamma m}$ પણ અચળ છે,તેથી $(A)$ સાચું છે.
કારણ કે $v = \frac{dx}{dt} = \sqrt{\frac{\gamma}{m}} t$,સંકલન કરતા $x = \int \sqrt{\frac{\gamma}{m}} t dt = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\gamma}{m}} t^2$ મળે છે. અંતર સમય સાથે વર્ગના પ્રમાણમાં વધે છે,રેખીય રીતે નહીં,તેથી $(C)$ ખોટું છે.
બળ અચળ હોવાથી,તે સંરક્ષી બળ છે,તેથી $(D)$ સાચું છે.
આમ,વિધાનો $(A), (B)$ અને $(D)$ સાચા છે.

(A) પથ $P$ માટે: $\vec{r} = \alpha t \hat{i} + \beta t \hat{j}$. વેગ $\vec{v} = \alpha \hat{i} + \beta \hat{j}$ (અચળ), તેથી પ્રવેગ $\vec{a} = 0$ અને બળ $\vec{F} = 0$. રેખીય વેગમાન $\overrightarrow{p} = m\vec{v}$ અચળ છે. કોણીય વેગમાન $\overrightarrow{L} = \vec{r} \times \overrightarrow{p} = m(\alpha t \hat{i} + \beta t \hat{j}) \times (\alpha \hat{i} + \beta \hat{j}) = m(\alpha\beta t - \beta\alpha t)\hat{k} = 0$ (અચળ). $\vec{F}=0$ હોવાથી, $K$, $U$ અને $E$ અચળ છે. આમ, $P \rightarrow 1, 2, 3, 4, 5$.
પથ $Q$ માટે: $\vec{r} = \alpha \cos \omega t \hat{i} + \beta \sin \omega t \hat{j}$. આ એક લંબગોળ પથ છે. બળ કેન્દ્રીય હોવાથી, કોણીય વેગમાન $\overrightarrow{L}$ સંરક્ષિત છે. બળ સંરક્ષી હોવાથી, કુલ ઊર્જા $E$ સંરક્ષિત છે. આમ, $Q \rightarrow 2, 5$.
પથ $R$ માટે: $\vec{r} = \alpha(\cos \omega t \hat{i} + \sin \omega t \hat{j})$. આ અચળ ઝડપ $v = \alpha\omega$ વાળો વર્તુળાકાર પથ છે. તેથી, $K$ અચળ છે. બળ કેન્દ્રીય હોવાથી, $\overrightarrow{L}$ સંરક્ષિત છે. કેન્દ્રીય સ્થિતિમાનમાં વર્તુળાકાર પથ માટે, $U$ અને $E$ પણ અચળ છે. આમ, $R \rightarrow 2, 3, 4, 5$.
પથ $S$ માટે: $\vec{r} = \alpha t \hat{i} + \frac{\beta}{2} t^2 \hat{j}$. વેગ $\vec{v} = \alpha \hat{i} + \beta t \hat{j}$ (સમય પર આધારિત), તેથી $\overrightarrow{p}$ અચળ નથી. પ્રવેગ $\vec{a} = \beta \hat{j}$ (અચળ બળ). $\overrightarrow{L} = m(\alpha t \hat{i} + \frac{\beta}{2} t^2 \hat{j}) \times (\alpha \hat{i} + \beta t \hat{j}) = m(\alpha\beta t^2 - \frac{\alpha\beta}{2} t^2)\hat{k} = \frac{m\alpha\beta t^2}{2}\hat{k}$ (સમય પર આધારિત). માત્ર કુલ ઊર્જા $E$ સંરક્ષિત છે. આમ, $S \rightarrow 5$.

(B) તળિયાના બિંદુ અને બિંદુ $y$ વચ્ચે યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ:
$\frac{1}{2} mv_0^2 = mgh + \frac{1}{2} mv_1^2$
$\therefore v_1^2 = v_0^2 - 2gh \quad \dots (i)$
બિંદુ $y$ પર,અર્ધવર્તુળાકાર માર્ગ ઢળતા સમતલ પર છે. વર્તુળાકાર માર્ગના કેન્દ્ર તરફ કાર્ય કરતો ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $mg \sin 30^{\circ}$ છે. આ ઘટક જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$mg \sin 30^{\circ} = \frac{mv_1^2}{R}$
$\frac{1}{2} mg = \frac{mv_1^2}{R} \implies v_1^2 = \frac{gR}{2}$
આને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$v_0^2 - 2gh = \frac{gR}{2}$. આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
બિંદુઓ $x$ અને $z$ પર,સ્કેટર બિંદુ $y$ કરતા ઓછી ઊંચાઈ પર છે. ઉર્જા સંરક્ષણ મુજબ,$x$ અને $z$ પરનો વેગ $v$,$y$ પરના વેગ $v_1$ કરતા વધારે છે. જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $F_c = \frac{mv^2}{R}$ હોવાથી,અને $v > v_1$ હોવાથી,$x$ અને $z$ પર જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $y$ કરતા વધારે છે. આમ,વિધાન $(D)$ સાચું છે.

(A) ધારો કે પ્રથમ કણ $P_1$ છે અને બીજો $P_2$ છે. મહત્તમ બિંદુએ,$P_1$ નો વેગ $v_{x1} = u_0 \cos \alpha$ અને $v_{y1} = 0$ છે.
બીજા કણને $P_2$ ને $u_0$ ઝડપ સાથે શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે. $P_1$ ના મહત્તમ બિંદુએ (ઊંચાઈ $H = \frac{u_0^2 \sin^2 \alpha}{2g}$),$P_2$ નો વેગ $v_{y2} = \sqrt{u_0^2 - 2gH} = \sqrt{u_0^2 - u_0^2 \sin^2 \alpha} = u_0 \cos \alpha$ છે.
સમક્ષિતિજ દિશામાં રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$m(u_0 \cos \alpha) + m(0) = (2m)v_x \implies v_x = \frac{u_0 \cos \alpha}{2}$.
શિરોલંબ દિશામાં રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$m(0) + m(u_0 \cos \alpha) = (2m)v_y \implies v_y = \frac{u_0 \cos \alpha}{2}$.
સમક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \frac{v_y}{v_x} = \frac{u_0 \cos \alpha / 2}{u_0 \cos \alpha / 2} = 1$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$\theta = 45^{\circ} = \frac{\pi}{4}$.

(B) ગોળા માટે શિરોલંબ વર્તુળ પૂર્ણ કરવા માટે,સૌથી ઉપરના બિંદુએ લઘુત્તમ વેગ $v_{top} = \sqrt{g \ell}$ હોય છે.
ધારો કે પ્રથમ ગોળાનું દળ $m$ અને દોરીની લંબાઈ $l_1$ છે. અથડામણ પહેલાં સૌથી ઉપરના બિંદુએ તેનો વેગ $u_1 = \sqrt{g l_1}$ છે.
બીજા ગોળાનું દળ $m$ અને દોરીની લંબાઈ $l_2$ છે,અને તે શરૂઆતમાં સ્થિર છે $(u_2 = 0)$.
અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી અને દળ સમાન હોવાથી,બંને ગોળા તેમના વેગની આપ-લે કરે છે.
તેથી,અથડામણ પછી બીજા ગોળાનો વેગ $v_2 = u_1 = \sqrt{g l_1}$ થાય છે.
બીજા ગોળા માટે શિરોલંબ વર્તુળ પૂર્ણ કરવા માટે,તેના સૌથી નીચેના બિંદુએ લઘુત્તમ વેગ $\sqrt{5 g l_2}$ હોવો જોઈએ.
અથડામણ બીજા ગોળાના માર્ગના સૌથી ઉપરના બિંદુએ થાય છે (જે તેના સંભવિત વર્તુળાકાર ગતિનું સૌથી નીચેનું બિંદુ છે). આમ,અથડામણ પછી બીજા ગોળા દ્વારા પ્રાપ્ત થયેલ વેગ એ વર્તુળ પૂર્ણ કરવા માટે સૌથી નીચેના બિંદુએ જરૂરી લઘુત્તમ વેગ જેટલો હોવો જોઈએ.
તેથી,$v_2 = \sqrt{5 g l_2}$.
$v_2$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\sqrt{g l_1} = \sqrt{5 g l_2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $g l_1 = 5 g l_2$.
તેથી,$\frac{l_1}{l_2} = 5$.

(A) $1.$ ધારો કે બ્લોક $h = R = 40 \ m$ ની ઊંચાઈ પરથી મુક્ત કરવામાં આવે છે. તળિયેથી બિંદુ $Q$ ની ઊભી ઊંચાઈ $h_Q = R - R \sin(30^{\circ}) = R - R/2 = R/2 = 20 \ m$ છે.
શરૂઆતના બિંદુ અને બિંદુ $Q$ વચ્ચે કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય લાગુ પાડતા:
$W_{gravity} + W_{friction} = \Delta K$
$Mg(R - h_Q) - 150 = \frac{1}{2} M v^2$
$1 \times 10 \times (40 - 20) - 150 = \frac{1}{2} \times 1 \times v^2$
$200 - 150 = 0.5 v^2 \Rightarrow 50 = 0.5 v^2 \Rightarrow v^2 = 100 \Rightarrow v = 10 \ m s^{-1}$.
આમ,$Q$ પર ઝડપ $10 \ m s^{-1}$ છે. (વિકલ્પ $B$)
$2.$ બિંદુ $Q$ પર,બ્લોક પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ $(Mg)$ અને લંબબળ $(N)$ છે. ટ્રેકને લંબ ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $Mg \cos(60^{\circ}) = Mg/2$ છે.
કેન્દ્રગામી બળ $N - Mg \cos(60^{\circ}) = \frac{M v^2}{R}$ છે.
$N - 1 \times 10 \times 0.5 = \frac{1 \times 100}{40}$
$N - 5 = 2.5 \Rightarrow N = 7.5 \ N$. (વિકલ્પ $A$)
તેથી,સાચી જોડી $(B, A)$ છે.

(B) અથડામણ પહેલાં,બોલ ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ નીચે પડે છે. સમય $t$ પર તેનો વેગ $v = gt$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ગતિ ઊર્જા $K = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} m(gt)^2 = \frac{1}{2} mg^2 t^2$ છે. તેથી $K \propto t^2$ હોવાથી,$K$ વિરુદ્ધ $t$ નો આલેખ પરવલયાકાર (parabolic) હોય છે.
અથડામણ દરમિયાન,બોલ સંકોચાય છે. જેમ જેમ સંકોચન વધે છે,તેમ ગતિ ઊર્જા સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે. મહત્તમ સંકોચન સમયે,બોલનો વેગ શૂન્ય થઈ જાય છે,તેથી ગતિ ઊર્જા શૂન્ય થઈ જાય છે. મહત્તમ સંકોચન પછી,બોલ વિસ્તરવાનું શરૂ કરે છે,અને સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઊર્જા ફરીથી ગતિ ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે જ્યાં સુધી બોલ સપાટી છોડે નહીં.
આમ,સંકોચન તબક્કા દરમિયાન ગતિ ઊર્જા ઘટીને શૂન્ય થાય છે અને વિસ્તરણ તબક્કા દરમિયાન ફરીથી તેના મૂળ મૂલ્ય સુધી વધે છે. આ વર્તણૂક પરવલયાકાર વધારા દ્વારા અને ત્યારબાદ શૂન્ય સુધીના તીવ્ર ઘટાડા અને ત્યારબાદના પરવલયાકાર વધારા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,આલેખ $B$ આ ફેરફારને સૌથી યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(A) બળ $F = -\frac{dU}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે। સંતુલન બિંદુઓ ત્યાં હોય છે જ્યાં $F = 0$, એટલે કે $\frac{dU}{dx} = 0$.
$(A)$ માટે: $U_1(x) = \frac{U_0}{2} [1 - (x/a)^2]^2$. $\frac{dU_1}{dx} = -\frac{2U_0 x}{a^2} [1 - (x/a)^2]$. $x=0, a, -a$ પર $F=0$ થાય છે। $|x| < a$ માટે, $F$ એ $x=0$ તરફ આકર્ષી છે। તેથી $(A) \rightarrow (P, Q, R, S)$.
$(B)$ માટે: $U_2(x) = \frac{U_0}{2} (x/a)^2$. $\frac{dU_2}{dx} = \frac{U_0 x}{a^2}$. $x=0$ પર $F=0$ થાય છે। ઉર્જા $U_0/4$ માટે, તે $x=0$ ની આસપાસ દોલન કરે છે। તેથી $(B) \rightarrow (Q, T)$.
$(C)$ માટે: $U_3(x) = \frac{U_0}{2} (x/a)^2 e^{-(x/a)^2}$. $\frac{dU_3}{dx} = \frac{U_0 x}{a^2} e^{-(x/a)^2} [1 - (x/a)^2]$. $x=0, a, -a$ પર $F=0$ થાય છે। ઉર્જા $U_0/4$ માટે, તે $x=a$ અથવા $x=-a$ ની આસપાસ દોલન કરી શકે છે। તેથી $(C) \rightarrow (P, Q, R, T)$.
$(D)$ માટે: $U_4(x) = \frac{U_0}{2} [x/a - 1/3(x/a)^3]$. $\frac{dU_4}{dx} = \frac{U_0}{2a} [1 - (x/a)^2]$. $x=a, -a$ પર $F=0$ થાય છે। $|x| < a$ માટે, તે $x=0$ તરફ આકર્ષી છે। તેથી $(D) \rightarrow (P, R, S)$.

(D) ધારો કે હૂપની ટોચ ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઉર્જા માટે સંદર્ભ સ્તર $(U_g = 0)$ છે.
ટોચ પર,સ્પ્રિંગ $x_i = 2R - R = R$ જેટલી ખેંચાયેલી છે. પ્રારંભિક ઉર્જા $E_i = U_{g,i} + U_{s,i} + K_i = 0 + \frac{1}{2}kR^2 + 0 = \frac{1}{2}kR^2$ છે.
જ્યારે સ્પ્રિંગની લંબાઈ $R$ થાય છે,ત્યારે મણકો શિરોલંબ સાથે $\theta = 60^\circ$ ના ખૂણે હોય છે,કારણ કે તળિયેથી અંતર $R$ છે અને ત્રિજ્યા $R$ છે,જે સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે.
ટોચથી મણકાની ઊંચાઈ $h = R + R \cos 60^\circ = R + \frac{R}{2} = \frac{3R}{2}$ છે.
આ બિંદુએ ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઉર્જા $U_{g,f} = -mg(\frac{3R}{2})$ છે.
સ્પ્રિંગ તેની કુદરતી લંબાઈ પર છે,તેથી $U_{s,f} = 0$.
અંતિમ ગતિ ઉર્જા $K_f = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
યાંત્રિક ઉર્જાના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $E_i = E_f \implies \frac{1}{2}kR^2 = -\frac{3mgR}{2} + \frac{1}{2}mv^2$.
$2/m$ વડે ગુણતા: $\frac{kR^2}{m} = -3gR + v^2$.
આમ,$v = \sqrt{3gR + \frac{kR^2}{m}}$.

(A) $1$. ગોળા $B$ ને અથડાય તે પહેલાં ગોળા $A$ નો વેગ:
યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા, ઊંચાઈમાં થતો ફેરફાર $h = R - R \cos(60^{\circ}) = R - R/2 = R/2$ છે.
$v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2g(R/2)} = \sqrt{gR}$.
$2$. ધારો કે $u = \sqrt{gR}$ એ સંઘાત પહેલાં $A$ નો વેગ છે.
ધારો કે $v_1$ અને $v_2$ એ સ્થિતિસ્થાપક સંઘાત પછી અનુક્રમે $A$ અને $B$ ના વેગ છે.
$3$. વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ $(COM)$ મુજબ:
$mu = mv_1 + (m/2)v_2$
$u = v_1 + v_2/2$
$2u = 2v_1 + v_2$ --- $(i)$
$4$. સ્થિતિસ્થાપક સંઘાત માટે, રિસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક $e = 1$:
$e = (v_2 - v_1) / u = 1$
$v_2 - v_1 = u$ --- (ii)
$5$. સમીકરણ $(i)$ અને (ii) ઉકેલતા:
(ii) પરથી, $v_2 = u + v_1$.
તેને $(i)$ માં મૂકતા: $2u = 2v_1 + (u + v_1)$
$2u = 3v_1 + u$
$u = 3v_1$
$v_1 = u/3 = \frac{1}{3} \sqrt{gR}$.

(C) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જ્યારે બ્લોક્સ એકસાથે ગતિ કરે ત્યારે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $(v_{cm})$ નીચે મુજબ મળે છે:
$m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) v_{cm}$
$10 \times 3 + 5 \times 0 = (10 + 5) v_{cm}$
$30 = 15 v_{cm} \Rightarrow v_{cm} = 2 \ m/s$
સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત ઉર્જા એ અથડામણ દરમિયાન ગતિ ઉર્જામાં થયેલા ઘટાડા જેટલી હોય છે:
$\frac{1}{2} kx^2 = K_i - K_f$
$\frac{1}{2} kx^2 = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 - \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v_{cm}^2$
$\frac{1}{2} (3000) x^2 = \frac{1}{2} (10) (3)^2 - \frac{1}{2} (15) (2)^2$
$1500 x^2 = 45 - 30$
$1500 x^2 = 15$
$x^2 = \frac{15}{1500} = \frac{1}{100}$
$x = 0.1 \ m$

(B) આપેલ છે:
દળ $m = 5 \ kg$
પ્રવેગ $a = 2 \ m/s^2$
સમય $t = 3 \ s$
પ્રારંભિક વેગ $u = 0$
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \ m/s^2$
પગલું $1$: દોરામાં તણાવ $T$ ની ગણતરી કરો.
લિફ્ટ ઉપરની તરફ પ્રવેગિત હોવાથી,તણાવ $T$ નીચે મુજબ મળે:
$T = m(g + a)$
$T = 5(10 + 2) = 5(12) = 60 \ N$
પગલું $2$: $3 \ s$ માં બ્લોકનું સ્થાનાંતર $S$ શોધો.
ગતિના સમીકરણ $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = 0(3) + \frac{1}{2}(2)(3)^2$
$S = 0 + 1(9) = 9 \ m$
પગલું $3$: તણાવ બળ દ્વારા થયેલ કાર્યની ગણતરી કરો.
કાર્ય $W = T \cdot S \cdot \cos(\theta)$
તણાવ બળ સ્થાનાંતરની દિશામાં હોવાથી,$\theta = 0^{\circ}$,તેથી $\cos(0^{\circ}) = 1$.
$W = (60 \ N)(9 \ m)(1) = 540 \ J$

(B) આપેલ છે: દળ $m = 4 \ kg$,લાગુ પાડેલ બળ $F = 18 \ N$,ગતિજ ઘર્ષણાંક $\mu_k = 0.2$,સમય $t = 10 \ s$,પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \ m/s$.
$1$. ગતિજ ઘર્ષણ બળ $f$ ની ગણતરી કરો:
$f = \mu_k \cdot N = \mu_k \cdot mg = 0.2 \times 4 \times 10 = 8 \ N$.
$2$. પદાર્થનો ચોખ્ખો પ્રવેગ $a$ શોધો:
$F_{net} = F - f = 18 - 8 = 10 \ N$.
$a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{10}{4} = 2.5 \ m/s^2$.
$3$. $10 \ s$ માં સ્થાનાંતર $S$ ની ગણતરી કરો:
$S = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 2.5 \times (10)^2 = 0.5 \times 2.5 \times 100 = 125 \ m$.
$4$. લાગુ પાડેલા બળ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W$ શોધો:
$W = F \cdot S \cdot \cos(0^\circ) = 18 \times 125 \times 1 = 2250 \ J$.

(A) આપેલ વેગનો નિયમ $v = k\sqrt{S}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રવેગ $a = v \frac{dv}{dS}$ થાય.
$v$ નું $S$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dv}{dS} = k \cdot \frac{1}{2\sqrt{S}} = \frac{k^2}{2v}$.
તેથી,$a = v \cdot \frac{k^2}{2v} = \frac{k^2}{2}$.
પ્રવેગ અચળ હોવાથી,આપણે ગતિનું સમીકરણ $v = u + at$ વાપરી શકીએ. સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂઆત કરતા $(u=0)$,$v = \frac{k^2 t}{2}$ મળે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,તમામ બળો દ્વારા થયેલ કુલ કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = \Delta K.E. = \frac{1}{2}mv^2 - 0$.
$v$ ની કિંમત મૂકતા: $W = \frac{1}{2}m \left(\frac{k^2 t}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}m \left(\frac{k^4 t^2}{4}\right) = \frac{1}{8}mk^4 t^2$.

(B) વર્તુળાકાર ગતિમાં,કેન્દ્રગામી બળ વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ લાગે છે,જે હંમેશા પદાર્થના તાત્કાલિક વેગ (સ્થાનાંતર સદિશ) ને લંબ હોય છે. કાર્યનું સૂત્ર $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = F d cos( \theta)$ હોવાથી અને અહીં $ \theta = 90^{\circ}$ હોવાથી,કેન્દ્રગામી બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W_c = 0$ થાય છે.
સ્પર્શકીય બળ વર્તુળાકાર માર્ગના સ્પર્શક દિશામાં લાગે છે,જે તાત્કાલિક વેગ (અથવા સ્થાનાંતર) ની દિશામાં હોય છે. તેથી,સ્પર્શકીય બળ અને સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો $0^{\circ}$ છે. $cos(0^{\circ}) = 1$ હોવાથી,સ્પર્શકીય બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W_t = F_t \cdot d$ થાય છે.

(C) વિધાન $A$ ખોટું છે કારણ કે,વ્યાખ્યા મુજબ,અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં ગતિ ઊર્જાનો વ્યય થાય છે.
વિધાન $B$ સાચું છે કારણ કે,રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જો સિસ્ટમ પર લાગતું ચોખ્ખું બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય,તો સિસ્ટમનું કુલ રેખીય વેગમાન અચળ રહે છે.
તેથી,$A$ ખોટું છે અને $B$ સાચું છે.

(D) પૂર્વ દિશામાં ગતિ કરતા કણનું વેગમાન $\vec{p_1} = mv \hat{i}$ છે.
ઉત્તર દિશામાં ગતિ કરતા કણનું વેગમાન $\vec{p_2} = mv \hat{j}$ છે.
ધારો કે અથડામણ પછી $2m$ દળના સંયુક્ત કણનો વેગ $\vec{V'} = v_x \hat{i} + v_y \hat{j}$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$\vec{p_1} + \vec{p_2} = \vec{p_{final}}$.
$mv \hat{i} + mv \hat{j} = (2m) \vec{V'}$.
$2m$ વડે ભાગતા,આપણને $\vec{V'} = \frac{v}{2} \hat{i} + \frac{v}{2} \hat{j}$ મળે છે.
પરિણામી વેગનું મૂલ્ય $V' = \sqrt{(\frac{v}{2})^2 + (\frac{v}{2})^2} = \sqrt{\frac{v^2}{4} + \frac{v^2}{4}} = \sqrt{\frac{v^2}{2}} = \frac{v}{\sqrt{2}}$ થાય.

(B) જમીન સાથે અથડાતા પહેલા દડાનો વેગ $v_1 = \sqrt{2gh_1}$ છે.
અથડાયા પછી તરત જ દડાનો વેગ $v_2 = \sqrt{2gh_2}$ છે.
વેગમાં થતો ઘટાડો $\Delta v = v_1 - v_2$ છે.
વેગમાં થતા ઘટાડાનો ગુણોત્તર $\frac{\Delta v}{v_1} = \frac{v_1 - v_2}{v_1} = 1 - \frac{v_2}{v_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v_1$ અને $v_2$ ના પદો મૂકતા,આપણને $\frac{\Delta v}{v_1} = 1 - \sqrt{\frac{h_2}{h_1}}$ મળે છે.
અહીં $h_1 = 5 \ m$ અને $h_2 = 1.8 \ m$ આપેલ છે,તેથી $\frac{\Delta v}{v_1} = 1 - \sqrt{\frac{1.8}{5}} = 1 - \sqrt{0.36} = 1 - 0.6 = 0.4$ થાય.
$0.4$ ને અપૂર્ણાંકમાં ફેરવતા,આપણને $\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ મળે છે.

(B) દડા દ્વારા કાપવામાં આવેલ કુલ ઊર્ધ્વ અંતર $(s+h)$ છે.
દડો સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો ઘટાડો $mg(s+h)$ છે.
જ્યારે સ્પ્રિંગ $h$ જેટલા અંતરે દબાય છે,ત્યારે આ ઊર્જા સ્પ્રિંગમાં સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઊર્જા તરીકે સંગ્રહિત થાય છે.
સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઊર્જા $\frac{1}{2} kh^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,દડાની સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો ઘટાડો એ સ્પ્રિંગની સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા વધારા જેટલો હોય છે:
$mg(s+h) = \frac{1}{2} kh^2$
સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ માટે ઉકેલતા:
$k = \frac{2mg(s+h)}{h^2}$

(D) $m$ દળ અને $p$ વેગમાન ધરાવતા પદાર્થની ગતિઊર્જા $K$ નીચે મુજબના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$K = \frac{p^2}{2m}$
વેગમાન માટે આ સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$p = \sqrt{2mK}$
જ્યાર ગતિઊર્જા $K$ બંને પદાર્થો માટે સમાન હોય,ત્યારે વેગમાન $p$ એ દળના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં હોય છે:
$p \propto \sqrt{m}$
ભારે પદાર્થનું દળ $m$ હલકા પદાર્થની સરખામણીમાં વધારે હોવાથી,તેનું વેગમાન $p$ પણ વધારે હશે.

(B) અચળ બળ $\vec{F}$ દ્વારા થતું કાર્ય $W$ એ બળ અને સ્થાનાંતરના અદિશ ગુણાકાર (dot product) દ્વારા મળે છે: $W = \vec{F} \cdot \vec{r}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $W = (3\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}) \cdot (2\hat{i} - 3\hat{j} - 3\hat{k})$.
$W = (3 \times 2) + (-2 \times -3) + (-1 \times -3) = 6 + 6 + 3 = 15 \text{ J}$.
પાવર $P$ એ કાર્ય થવાના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $P = \frac{W}{t}$.
અહીં $t = 2 \text{ s}$ આપેલ છે,તેથી $P = \frac{15}{2} = 7.5 \text{ W}$.
આમ,કાર્ય $15 \text{ J}$ અને પાવર $7.5 \text{ W}$ છે.

(C) બંને પદાર્થો પર લાગતો આઘાત $J = F \cdot t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. બંને પદાર્થો સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતા હોવાથી,આઘાત એ દરેક પદાર્થ માટે વેગમાનમાં થતા ફેરફાર જેટલો હોય છે.
આમ,$p_{1} = p_{2} = F \cdot t$.
$m$ દળ અને $p$ વેગમાન ધરાવતા પદાર્થની ગતિઊર્જા $E = \frac{p^{2}}{2m}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
તેથી,$E_{1} = \frac{p_{1}^{2}}{2m_{1}}$ અને $E_{2} = \frac{p_{2}^{2}}{2m_{2}}$.
ગુણોત્તર લેતા,આપણને $\frac{E_{1}}{E_{2}} = \frac{p_{1}^{2} / 2m_{1}}{p_{2}^{2} / 2m_{2}}$ મળે છે.
$p_{1} = p_{2}$ હોવાથી,આ ગુણોત્તર $\frac{E_{1}}{E_{2}} = \frac{m_{2}}{m_{1}}$ તરીકે સરળ બને છે.

(C) જ્યારે બ્લોક $A$ એ $u = 0.15 \,ms^{-1}$ વેગ સાથે ગતિ કરે છે, ત્યારે તે સ્પ્રિંગને સંકોચે છે, જે બ્લોક $B$ ને જમણી તરફ ધકેલે છે। સ્પ્રિંગ ત્યાં સુધી સંકોચાતી રહે છે જ્યાં સુધી બંને બ્લોકનો વેગ સમાન ન થાય। ધારો કે આ સામાન્ય વેગ $v$ છે।
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m_A u = (m_A + m_B) v$
$v = \frac{m_A u}{m_A + m_B} = \frac{2 \times 0.15}{2 + 3} = \frac{0.3}{5} = 0.06 \,ms^{-1}$
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, બ્લોક $A$ ની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા એ તંત્રની અંતિમ ગતિઊર્જા અને મહત્તમ સંકોચન $x$ સમયે સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે:
$\frac{1}{2} m_A u^2 = \frac{1}{2} (m_A + m_B) v^2 + \frac{1}{2} k x^2$
$\frac{1}{2} \times 2 \times (0.15)^2 = \frac{1}{2} \times (2 + 3) \times (0.06)^2 + \frac{1}{2} \times 10.8 \times x^2$
$0.0225 = 5 \times 0.0018 + 5.4 x^2$
$0.0225 = 0.009 + 5.4 x^2$
$5.4 x^2 = 0.0135$
$x^2 = \frac{0.0135}{5.4} = 0.0025$
$x = \sqrt{0.0025} = 0.05 \,m$

(B) $\text{આપેલ છે: દડાનું દળ } m = 0.2 \,kg, \text{ઊંચાઈ } h = 10 \,m, \text{ગુરુત્વપ્રવેગ } g = 10 \,ms^{-2} \text{ છે.}
\text{જમીન સાથે અથડાતા પહેલાની કુલ ઉર્જા } E_i = \frac{1}{2}mu^2 + mgh \text{ છે.}
\text{અથડામણ પછી, દડો તેની } 50 \%$ $\text{ઉર્જા ગુમાવે છે, તેથી બાકી રહેલી ઉર્જા } E_f = \frac{E_i}{2} \text{ છે.}
\text{દડો ફરીથી તે જ ઊંચાઈ } h \text{ સુધી ઉપર જાય છે, જેનો અર્થ છે કે તેની મહત્તમ ઊંચાઈએ સ્થિતિ ઉર્જા } mgh \text{ છે.}
\text{બાકી રહેલી ઉર્જાને મહત્તમ ઊંચાઈએ સ્થિતિ ઉર્જા સાથે સરખાવતા: } \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mu^2 + mgh) = mgh.
\frac{1}{2}mu^2 + mgh = 2mgh.
\frac{1}{2}mu^2 = mgh.
u^2 = 2gh.
u = \sqrt{2 \times 10 \times 10} = \sqrt{200} \approx 14.14 \,ms^{-1}.
\text{આપેલા વિકલ્પો મુજબ, પ્રારંભિક વેગ } 14 \,ms^{-1} \text{ છે.}$

(C) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 7 \text{ m/s}$, રિસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક $e = 0.75$, ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = 10 \text{ m/s}^2$.
પ્રારંભિક ઊંચાઈ $H = \frac{u^2}{2g} = \frac{7^2}{2 \times 10} = \frac{49}{20} = 2.45 \text{ m}$.
દડો $v_1 = eu = 0.75 \times 7 = 5.25 \text{ m/s}$ ના વેગ સાથે પાછો ઉછળે છે.
પ્રથમ ઉછાળા પછી પ્રાપ્ત કરેલી ઊંચાઈ $H_1 = \frac{v_1^2}{2g} = e^2 H = (0.75)^2 \times 2.45 = 0.5625 \times 2.45 = 1.378125 \text{ m}$.
દડા દ્વારા કાપેલું કુલ અંતર $S = H + 2H_1 + 2H_2 + \dots = H + 2(e^2H + e^4H + \dots) = H(1 + 2e^2(1 + e^2 + e^4 + \dots))$.
અનંત ભૂમિતિ શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર $S_{\infty} = \frac{a}{1-r}$ નો ઉપયોગ કરતા, $S = H(1 + 2e^2(\frac{1}{1-e^2})) = H(\frac{1-e^2+2e^2}{1-e^2}) = H(\frac{1+e^2}{1-e^2})$.
કિંમતો મૂકતા: $S = 2.45 \times \frac{1 + (0.75)^2}{1 - (0.75)^2} = 2.45 \times \frac{1 + 0.5625}{1 - 0.5625} = 2.45 \times \frac{1.5625}{0.4375} = 2.45 \times 3.5714 = 8.75 \text{ m}$.

(B) આપેલ છે: ગોળીનું દળ $m_b = 0.03 \,kg$, પ્રારંભિક વેગ $v_b = 700 \,ms^{-1}$. બ્લોકનું દળ $m_B = 4 \,kg$, ઊંચાઈ $h = 0.2 \,m$.
તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન $= m_b v_b = 0.03 \times 700 = 21 \,kg \cdot ms^{-1}$.
ધારો કે અથડામણ પછી ગોળીનો વેગ $v_1$ અને બ્લોકનો વેગ $v_2$ છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $21 = 0.03 v_1 + 4 v_2$ ... $(i)$
બ્લોક માટે, ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $\frac{1}{2} m_B v_2^2 = m_B g h$.
$v_2 = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 9.8 \times 0.2} = \sqrt{3.92} \approx 1.98 \,ms^{-1}$.
$v_2$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા: $21 = 0.03 v_1 + 4(1.98)$.
$21 = 0.03 v_1 + 7.92$.
$0.03 v_1 = 13.08$.
$v_1 = \frac{13.08}{0.03} = 436 \,ms^{-1}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ, ગોળીનો વેગ આશરે $433 \,ms^{-1}$ છે.

(D) સ્થિતિસ્થાપક સંઘાતમાં,કુલ ગતિઊર્જા ફક્ત સંઘાત પહેલાં અને પછી જ સંરક્ષિત રહે છે. સંઘાતના ટૂંકા સમયગાળા દરમિયાન,બોલના આકારમાં વિકૃતિ આવે છે અને ગતિઊર્જાનો કેટલોક ભાગ સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે. તેથી,સંપર્ક સમય દરમિયાન ગતિઊર્જા સંરક્ષિત રહેતી નથી.
આથી,વિધાન $(A)$ ખોટું છે.
ઊર્જા સંરક્ષણનો નિયમ એ એક સાર્વત્રિક નિયમ છે જે તમામ ભૌતિક પ્રક્રિયાઓને લાગુ પડે છે,જેમાં ઘર્ષણની વિરુદ્ધ કરવામાં આવતું કાર્ય પણ સામેલ છે (જ્યાં ઊર્જાનું ઉષ્મામાં રૂપાંતર થાય છે). તેથી,કારણ $(R)$ પણ ખોટું છે.
બંને વિધાનો ખોટા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(B) આપેલ છે:
ગોળીનું દળ,$m = 0.01 \,kg$
ગોળીની પ્રારંભિક ઝડપ,$u = 500 \,ms^{-1}$
બ્લોકનું દળ,$M = 2 \,kg$
બ્લોકની શિરોલંબ ઊંચાઈ,$h = 0.1 \,m$
ધારો કે બ્લોકમાંથી બહાર નીકળ્યા પછી ગોળીની ઝડપ $v_b$ છે અને અથડામણ પછી તરત જ બ્લોકનો વેગ $V$ છે.
અથડામણ પછી બ્લોક માટે ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$\frac{1}{2} M V^2 = Mgh$
$V = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 9.8 \times 0.1} = \sqrt{1.96} = 1.4 \,ms^{-1}$
અથડામણ દરમિયાન રેખીય વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$m u = m v_b + M V$
$0.01 \times 500 = (0.01 \times v_b) + (2 \times 1.4)$
$5 = 0.01 v_b + 2.8$
$0.01 v_b = 5 - 2.8 = 2.2$
$v_b = \frac{2.2}{0.01} = 220 \,ms^{-1}$
આમ,બ્લોકમાંથી બહાર નીકળ્યા પછી ગોળીની ઝડપ $220 \,ms^{-1}$ છે.

(B) ધારો કે દળ $m_P = 3m$,$m_R = 2m$,અને $m_Q = 3m$ છે. કણ $R$ એ $v$ વેગથી $Q$ તરફ ગતિ કરે છે.
$1$. $R$ અને $Q$ વચ્ચેની પ્રથમ અથડામણ:
અથડામણ પછીના વેગ માટે સ્થિતિસ્થાપક અથડામણનું સૂત્ર વાપરતા: $v_1' = \frac{(m_1-m_2)v_1 + 2m_2v_2}{m_1+m_2}$ અને $v_2' = \frac{(m_2-m_1)v_2 + 2m_1v_1}{m_1+m_2}$.
$R$ અને $Q$ માટે $(m_R=2m, m_Q=3m)$: $v_R' = \frac{(2m-3m)v + 0}{2m+3m} = -v/5$ અને $v_Q' = \frac{(3m-2m)0 + 2(2m)v}{2m+3m} = 4v/5$.
$2$. હવે $R$ એ $-v/5$ વેગથી $P$ $(m_P=3m)$ તરફ ગતિ કરે છે:
$R$ અને $P$ માટે $(m_R=2m, m_P=3m)$: $v_R'' = \frac{(2m-3m)(-v/5) + 0}{2m+3m} = v/25$ અને $v_P'' = \frac{(3m-2m)0 + 2(2m)(-v/5)}{2m+3m} = -4v/25$.
અહીં $v_R''$ ધન છે અને $v_Q'$ પણ ધન છે $(4v/5 > v/25)$,તેથી $R$ ફરી ક્યારેય $Q$ ને પકડી શકશે નહીં. ઉપરાંત,$P$ ઋણ દિશામાં ગતિ કરે છે,તેથી હવે કોઈ અથડામણ થશે નહીં.
કુલ અથડામણ = $3$.

(C) ધારો કે બંને પદાર્થોનું દળ $m$ છે. શરૂઆતમાં,પદાર્થ $A$ નું વેગમાન $P$ છે,તેથી તેનો વેગ $v_A = P/m$ છે. પદાર્થ $B$ સ્થિર છે,તેથી $v_B = 0$ છે.
અથડામણ દરમિયાન,પદાર્થ $A$ એ પદાર્થ $B$ પર $J$ જેટલો આઘાત લગાડે છે. ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,પદાર્થ $B$ એ પદાર્થ $A$ પર સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં $J$ જેટલો આઘાત લગાડે છે.
વિધાન $(b)$ સાચું છે કારણ કે $B$ દ્વારા $A$ પર લાગતો આઘાત એ $A$ દ્વારા $B$ પર લાગતા આઘાત જેટલા જ મૂલ્યનો હોય છે.
અથડામણ પછી,$B$ નું વેગમાન $P_B = J$ થાય છે,તેથી તેનો વેગ $v_B' = J/m$ છે.
$A$ નું વેગમાન $P_A' = P - J$ થાય છે,તેથી તેનો વેગ $v_A' = (P - J)/m$ છે.
રિસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક $e$ એ છૂટા પડવાના સાપેક્ષ વેગ અને નજીક આવવાના સાપેક્ષ વેગના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$e = \frac{v_B' - v_A'}{v_A - v_B} = \frac{\frac{J}{m} - \frac{P-J}{m}}{\frac{P}{m} - 0} = \frac{2J - P}{P} = \frac{2J}{P} - 1$.
આમ,વિધાન $(c)$ પણ સાચું છે.
તેથી,વિધાન $(b)$ અને $(c)$ સાચા છે.

(C) જ્યારે દડાને $h$ ઊંચાઈ પરથી છોડવામાં આવે છે, ત્યારે જમીન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t_0 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ છે અને અથડામણ પહેલાંની ઝડપ $v_0 = \sqrt{2gh}$ છે。
પ્રથમ અથડામણ પછી, તેની ઝડપ $v_1 = ev_0 = e\sqrt{2gh}$ થાય છે, જ્યાં $e$ એ રિસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક છે。
દડો ઉપર જાય છે અને $t_1 = \frac{v_1}{g}$ સમયે અટકે છે. તે પછી તે પાછો જમીન પર આવે છે, જેમાં સમાન સમય $t_1$ લાગે છે. આમ, પ્રથમ અને બીજી અથડામણ વચ્ચેનો સમય $2t_1 = \frac{2v_1}{g}$ છે。
દડો ઉછળવાનું બંધ કરે તે પહેલાંનો કુલ સમય $T$:
$T = t_0 + 2t_1 + 2t_2 + \dots = \sqrt{\frac{2h}{g}} \left( \frac{1+e}{1-e} \right)$.
આપેલ છે $h = 180 \,m$, $g = 10 \,ms^{-2}$, અને $e = 0.5$:
$T = \sqrt{\frac{2 \times 180}{10}} \left( \frac{1+0.5}{1-0.5} \right) = 6 \times 3 = 18 \,s$.
કુલ અંતર $H$:
$H = h + 2h_1 + 2h_2 + \dots = h \left( \frac{1+e^2}{1-e^2} \right) = 180 \left( \frac{1 + 0.25}{1 - 0.25} \right) = 300 \,m$.
સરેરાશ ઝડપ $= \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{300}{18} = \frac{50}{3} \,ms^{-1}$.
સરેરાશ વેગ $= \frac{\text{કુલ સ્થાનાંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{180}{18} = 10 \,ms^{-1}$.

(C) ધારો કે ગોળીનું દળ $m = 10 \ g = 0.01 \ kg$,પ્લેટ $A$ નું દળ $M_A = 500 \ g = 0.5 \ kg$,અને પ્લેટ $B$ નું દળ $M_B = 1.49 \ kg$ છે.
ધારો કે ગોળીનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે અને પ્લેટ $A$ માંથી પસાર થયા પછી તેનો વેગ $v_1$ છે.
ધારો કે ગોળી પસાર થયા પછી પ્લેટ $A$ નો વેગ $v_A$ છે અને ગોળી પ્લેટ $B$ માં ખૂંપી ગયા પછી પ્લેટ $B$ નો વેગ $v_B$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$v_A = v_B = v$.
પ્લેટ $A$ માટે,રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m u = m v_1 + M_A v \Rightarrow m(u - v_1) = M_A v \quad ... (1)$
પ્લેટ $B$ માટે,રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m v_1 = (m + M_B) v \Rightarrow v = \frac{m v_1}{m + M_B} \quad ... (2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $v$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$m(u - v_1) = M_A \left( \frac{m v_1}{m + M_B} \right)$
$u - v_1 = v_1 \left( \frac{M_A}{m + M_B} \right)$
$u = v_1 \left( 1 + \frac{M_A}{m + M_B} \right) = v_1 \left( \frac{m + M_B + M_A}{m + M_B} \right)$
$v_1 = u \left( \frac{m + M_B}{m + M_B + M_A} \right) = u \left( \frac{0.01 + 1.49}{0.01 + 1.49 + 0.5} \right) = u \left( \frac{1.5}{2.0} \right) = 0.75 u = \frac{3}{4} u$.
ગોળીની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2} m u^2$ છે.
પ્લેટ $A$ માંથી પસાર થયા પછી ગોળીની ગતિઊર્જા $K_f = \frac{1}{2} m v_1^2 = \frac{1}{2} m \left( \frac{3}{4} u \right)^2 = \frac{9}{16} K_i$ છે.
ગતિઊર્જામાં થતો ટકાવારી ઘટાડો:
$\text{ટકાવારી ઘટાડો} = \frac{K_i - K_f}{K_i} \times 100 = \left( 1 - \frac{9}{16} \right) \times 100 = \frac{7}{16} \times 100 = 43.75 \%$.

(D) ધારો કે દડાનું દળ $m$ છે, ઊંચાઈ $h = 40 \,m$ છે અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \,m/s^2$ છે.
જમીન સાથે અથડાય તે પહેલાંની કુલ યાંત્રિક ઊર્જા $E_i = \frac{1}{2}mv^2 + mgh$ છે.
તેની ઊર્જાના $\frac{1}{3}$ ભાગ ગુમાવ્યા પછી, બાકી રહેલી ઊર્જા $E_f = \frac{2}{3}E_i$ છે.
આ બાકી રહેલી ઊર્જાનો ઉપયોગ તે જ ઊંચાઈ $h$ સુધી પાછા ઉછળવા માટે થાય છે, તેથી પાછા ઉછળતી વખતે મહત્તમ ઊંચાઈએ સ્થિતિ ઊર્જા $mgh$ છે.
ઊર્જાને સરખાવતા: $\frac{2}{3}(\frac{1}{2}mv^2 + mgh) = mgh$.
$m$ વડે ભાગતા: $\frac{2}{3}(\frac{1}{2}v^2 + gh) = gh$.
$\frac{1}{3}v^2 + \frac{2}{3}gh = gh$.
$\frac{1}{3}v^2 = gh - \frac{2}{3}gh = \frac{1}{3}gh$.
$v^2 = gh$.
$v = \sqrt{10 \times 40} = \sqrt{400} = 20 \,m/s$.

(D) પુનઃપ્રાપ્તિનો ગુણાંક $e$ એ અલગ થવાના સાપેક્ષ વેગ અને અભિગમના સાપેક્ષ વેગના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે:
$e = \frac{v_{\text{sep}}}{v_{\text{app}}}$
પ્રથમ અથડામણ માટે,આપણને આપેલ છે કે અભિગમનો સાપેક્ષ વેગ એ અલગ થવાના સાપેક્ષ વેગ કરતા બમણો છે:
$v_{\text{app}, 1} = 2 v_{\text{sep}, 1} \implies e_1 = \frac{v_{\text{sep}, 1}}{v_{\text{app}, 1}} = \frac{1}{2}$
આપણને પુનઃપ્રાપ્તિના ગુણાંકનો ગુણોત્તર $e_1 : e_2 = 3 : 1$ આપેલ છે,જેનો અર્થ છે:
$e_2 = \frac{e_1}{3} = \frac{1/2}{3} = \frac{1}{6}$
કારણ કે $e_2 = \frac{v_{\text{sep}, 2}}{v_{\text{app}, 2}} = \frac{1}{6}$,તેથી બીજી અથડામણમાં અભિગમના સાપેક્ષ વેગ અને અલગ થવાના સાપેક્ષ વેગનો ગુણોત્તર:
$\frac{v_{\text{app}, 2}}{v_{\text{sep}, 2}} = \frac{1}{e_2} = 6 = 6: 1$

(B) પ્રારંભિક વેગમાન $p_i = 24 \ kg \ m \ s^{-1}$.
દળ $m = 8 \ kg$.
પ્રારંભિક વેગ $v_i = \frac{p_i}{m} = \frac{24}{8} = 3 \ m \ s^{-1}$.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2} m v_i^2 = \frac{1}{2} \times 8 \times (3)^2 = 4 \times 9 = 36 \ J$.
આઘાત $J = F \times \Delta t = 24 \times 3 = 72 \ N \ s$.
વેગમાનમાં ફેરફાર $\Delta p = J = p_f - p_i$.
અંતિમ વેગમાન $p_f = p_i + J = 24 + 72 = 96 \ kg \ m \ s^{-1}$.
અંતિમ વેગ $v_f = \frac{p_f}{m} = \frac{96}{8} = 12 \ m \ s^{-1}$.
અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = \frac{1}{2} m v_f^2 = \frac{1}{2} \times 8 \times (12)^2 = 4 \times 144 = 576 \ J$.
ગતિઊર્જામાં થતો વધારો $\Delta K = K_f - K_i = 576 - 36 = 540 \ J$.

(A) પગલું $1$: $m$ દળની ગોળી $M_1$ સાથે અથડાય છે અને તેમાં ખૂંપી જાય છે. આ સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ છે. રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m v = (m + M_1) v_1$
જ્યાં $v_1$ એ પ્રથમ અથડામણ પછી $(m + M_1)$ સિસ્ટમનો વેગ છે.
$v_1 = \frac{m v}{m + M_1}$
પગલું $2$: હવે $(m + M_1)$ સિસ્ટમ $v_1$ વેગ સાથે ગતિ કરે છે અને $M_2$ સાથે સ્થિતિસ્થાપક રીતે અથડાય છે,જે શરૂઆતમાં સ્થિર છે $(u_2 = 0)$.
બે દળ $m_A$ અને $m_B$ વચ્ચેની સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે,જ્યાં $m_B$ શરૂઆતમાં સ્થિર હોય,ત્યારે $m_B$ નો અંતિમ વેગ $v_B$ નીચે મુજબ મળે છે:
$v_B = \frac{2 m_A}{m_A + m_B} u_A$
અહીં,$m_A = (m + M_1)$,$m_B = M_2$,અને $u_A = v_1$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$v_2 = \frac{2(m + M_1)}{(m + M_1) + M_2} v_1$
$v_2 = \frac{2(m + M_1)}{m + M_1 + M_2} \cdot \frac{m v}{m + M_1}$
$v_2 = \frac{2 m v}{m + M_1 + M_2}$
આમ,અથડામણ પછી $M_2$ નો વેગ $\frac{2 m v}{M_1 + M_2 + m}$ છે.

(B) પ્રારંભિક દળ $M = 8 \ kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 2 \ m/s$. પ્રારંભિક વેગમાન $P_i = M \cdot u = 8 \times 2 = 16 \ kg \cdot m/s$. પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા $K_i = \frac{1}{2} M u^2 = \frac{1}{2} \times 8 \times 2^2 = 16 \ J$. વિસ્ફોટ પછી,પદાર્થ $m = 4 \ kg$ ના બે સમાન ભાગોમાં વહેંચાય છે. ધારો કે તેમના વેગ $v_1$ અને $v_2$ છે. વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $m v_1 + m v_2 = P_i \implies 4(v_1 + v_2) = 16 \implies v_1 + v_2 = 4$. અંતિમ ગતિ ઉર્જા $K_f = K_i + \Delta E = 16 + 16 = 32 \ J$. વળી,$K_f = \frac{1}{2} m v_1^2 + \frac{1}{2} m v_2^2 = \frac{1}{2} \times 4 \times (v_1^2 + v_2^2) = 2(v_1^2 + v_2^2) = 32 \implies v_1^2 + v_2^2 = 16$. $v_1 + v_2 = 4$ અને $v_1^2 + v_2^2 = 16$ ને ઉકેલતા: $(v_1 + v_2)^2 = v_1^2 + v_2^2 + 2 v_1 v_2 \implies 16 = 16 + 2 v_1 v_2 \implies v_1 v_2 = 0$. આનો અર્થ એ છે કે કાં તો $v_1 = 0$ અથવા $v_2 = 0$. જો $v_1 = 0$ હોય,તો $v_2 = 4 \ m/s$. આમ,એક ભાગ સ્થિર થઈ જાય છે અને બીજો ભાગ મૂળ પદાર્થની દિશામાં ગતિ કરે છે.

(D) ધારો કે દળ $m_1 = m$ અને $m_2 = 4m$ છે. બંને પર સમાન બળ $F$ લગાડવામાં આવે છે.
પ્રથમ પદાર્થનો પ્રવેગ: $a_1 = F/m$.
બીજા પદાર્થનો પ્રવેગ: $a_2 = F/(4m) = a_1/4$.
તેઓ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂઆત કરે છે,તેથી $t$ સમય પછી તેમનો વેગ $v = at$ થશે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(at)^2 = \frac{1}{2}ma^2t^2$.
પ્રથમ પદાર્થ માટે: $K_1 = \frac{1}{2}m(a_1)^2t_1^2$.
બીજા પદાર્થ માટે: $K_2 = \frac{1}{2}(4m)(a_2)^2t_2^2 = \frac{1}{2}(4m)(a_1/4)^2t_2^2 = \frac{1}{2}(4m)(a_1^2/16)t_2^2 = \frac{1}{2}m(a_1^2/4)t_2^2$.
આપેલ છે કે $K_1 = K_2$,તેથી $\frac{1}{2}m a_1^2 t_1^2 = \frac{1}{2}m (a_1^2/4) t_2^2$.
સાદું રૂપ આપતા,$t_1^2 = t_2^2/4$,જેનો અર્થ થાય છે $t_1^2/t_2^2 = 1/4$.
તેથી,$t_1/t_2 = 1/2$.

(D) પદાર્થ $A$ માટે:
મહત્તમ ઊંચાઈ $H_{\max} = \frac{u^2}{2g}$.
આપેલ છે $m_A = 2m$, $u_A = u$.
અહીં ધ્યાનમાં લેવાની ઊંચાઈ $h = \frac{H_{\max}}{2} = \frac{u^2}{4g}$ છે.
ઊંચાઈ $h$ પર પદાર્થ $A$ માટે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$(KE)_A = \text{કુલ ઉર્જા} - (PE)_A = \frac{1}{2} m_A u_A^2 - m_A gh = \frac{1}{2}(2m)u^2 - (2m)g\left(\frac{u^2}{4g}\right) = mu^2 - \frac{1}{2}mu^2 = \frac{1}{2}mu^2$.
પદાર્થ $B$ માટે:
આપેલ છે $m_B = m$, $u_B = 2u$.
ઊંચાઈ $h = \frac{u^2}{4g}$ પર પદાર્થ $B$ ની સ્થિતિઊર્જા:
$(PE)_B = m_B gh = m g \left(\frac{u^2}{4g}\right) = \frac{1}{4}mu^2$.
$(KE)_A$ અને $(PE)_B$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{(KE)_A}{(PE)_B} = \frac{\frac{1}{2}mu^2}{\frac{1}{4}mu^2} = 2:1$.

(A) ધારો કે બંને વાહનોનું વેગમાન $p$ છે. બ્રેકિંગ બળ $F$ બંને માટે સમાન છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,બ્રેકિંગ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$|W| = |\Delta K|$
$F \cdot S = \frac{p^2}{2m}$
આમ,સ્થિર થવા માટે કાપેલું અંતર $S = \frac{p^2}{2mF}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $p$ અને $F$ બંને વાહનો માટે અચળ હોવાથી,$S \propto \frac{1}{m}$ થાય.
તેથી,ટ્રક દ્વારા કાપેલ અંતર $(S_T)$ અને કાર દ્વારા કાપેલ અંતર $(S_C)$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{S_T}{S_C} = \frac{m_C}{m_T} = \frac{M/10}{M} = \frac{1}{10}$.
આમ,ગુણોત્તર $1: 10$ છે.

(C) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રક્ષેપણ બિંદુ પરની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા એ જમીનના સ્તર પરની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા જેટલી હોય છે.
$E_{initial} = E_{final}$
$K_i + U_i = K_f + U_f$
અહીં,$K_i = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \times 25 \times (4)^2 = \frac{1}{2} \times 25 \times 16 = 200 \,J$.
$U_i = mgh = 25 \times 10 \times 2 = 500 \,J$.
જમીન પર,$U_f = 0$.
તેથી,$200 + 500 = K_f + 0$.
$K_f = 700 \,J$.

(B) આપેલ છે: પદાર્થ $A$ નું દળ $(m_A = 20 \ kg)$,પદાર્થ $B$ નું દળ $(m_B = 5 \ kg)$,બળ $(F = 40 \ N)$.
બંને પદાર્થો સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી તેમની ગતિઊર્જા $K_A = K_B = K$ છે.
ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $K = \frac{p^2}{2m}$ છે,જ્યાં $p$ એ વેગમાન છે.
$K_A = K_B$ હોવાથી,$\frac{p_A^2}{2m_A} = \frac{p_B^2}{2m_B} \implies \frac{p_A}{p_B} = \sqrt{\frac{m_A}{m_B}} = \sqrt{\frac{20}{5}} = \sqrt{4} = 2$.
આઘાત-વેગમાનના પ્રમેય મુજબ,$F \cdot t = \Delta p$. પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય હોવાથી,$p = F \cdot t$.
આમ,$\frac{p_A}{p_B} = \frac{F \cdot t_A}{F \cdot t_B} = \frac{t_A}{t_B}$.
તેથી,$\frac{t_A}{t_B} = 2$,જેનો અર્થ છે કે $t_A: t_B = 2: 1$.

(B) કૂવાની ત્રિજ્યા $r = 1 \ m$ અને ઊંડાઈ $h = 14 \ m$ છે.
પાણીનું કદ $V = \pi r^2 h = \pi \times (1)^2 \times 14 = 14\pi \ m^3$.
પાણીનું દળ $m = \text{ઘનતા} \times \text{કદ} = 1000 \ kg/m^3 \times 14\pi \ m^3 = 14000\pi \ kg$.
કૂવો ખાલી કરવા માટે કરવું પડતું કાર્ય એ પાણીની સ્થિતિઊર્જા જેટલું હોય છે,જ્યાં દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $h/2 = 7 \ m$ ઊંડાઈએ છે.
$W = mgh_{cm} = (14000\pi) \times 10 \times 7 = 980000\pi \ J$.
પાવર $P = 1.4 \ kW = 1400 \ W$.
સમય $t = W / P = (980000\pi) / 1400 = 700\pi \ s$.
$\pi \approx 3.14$ લેતા,$t = 700 \times 3.14 = 2198 \ s \approx 2200 \ s$.

(B) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પ્રતિરોધક બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય પદાર્થની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W = \Delta K$
$F \cdot d = \frac{1}{2} m v^2$
અહીં બંને પદાર્થો માટે પ્રતિરોધક બળ $F$ સમાન હોવાથી,સ્થિર થાય તે પહેલાં કાપેલું અંતર $d$ નીચે મુજબ મળે:
$d = \frac{m v^2}{2F}$
પદાર્થ $A$ માટે:
$d_A = \frac{m_A v_A^2}{2F} = \frac{1.5 \times (20)^2}{2F} = \frac{1.5 \times 400}{2F} = \frac{600}{2F}$
પદાર્થ $B$ માટે:
$d_B = \frac{m_B v_B^2}{2F} = \frac{3 \times (15)^2}{2F} = \frac{3 \times 225}{2F} = \frac{675}{2F}$
અંતરનો ગુણોત્તર:
$\frac{d_A}{d_B} = \frac{600}{675} = \frac{24}{27} = \frac{8}{9}$
આમ,ગુણોત્તર $8: 9$ છે.