Mix Examples-Work, Energy, Power and Collision Questions in Gujarati

(C) ધારો કે ગોળીની ઝડપ $v$ છે.
અથડામણ પછી તરત જ સંયુક્ત તંત્ર (બ્લોક + ગોળી) ની ઝડપ $V$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $mv = (m + M)V$,તેથી $V = \frac{mv}{m + M}$.
અથડામણ પછી તરત જ સંયુક્ત તંત્રની ગતિઊર્જા $K.E. = \frac{1}{2}(m + M)V^2 = \frac{1}{2}(m + M) \left( \frac{mv}{m + M} \right)^2 = \frac{m^2v^2}{2(m + M)}$.
આ ગતિઊર્જા ઘર્ષણ બળ $f = \mu N = \mu(m + M)g$ સામે થતા કાર્ય દ્વારા વ્યય પામે છે.
$x$ અંતર માટે ઘર્ષણ દ્વારા થતું કાર્ય $W = f \cdot x = \mu(m + M)gx$ છે.
શરૂઆતની ગતિઊર્જાને ઘર્ષણ સામે થતા કાર્ય સાથે સરખાવતા: $\frac{m^2v^2}{2(m + M)} = \mu(m + M)gx$.
$v^2$ માટે ઉકેલતા: $v^2 = 2\mu gx \left( \frac{m + M}{m} \right)^2$.
વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $v = \sqrt{2\mu gx} \left( \frac{m + M}{m} \right)$ મળે છે.

(A) તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન = $mv + m(0) = mv$.
તંત્રનું અંતિમ વેગમાન = $(m + m)V = 2mV$.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$mv = 2mV$,જે અંતિમ વેગ $V = \frac{v}{2}$ આપે છે.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $(K_i)$ = $\frac{1}{2}mv^2$.
અંતિમ ગતિઊર્જા $(K_f)$ = $\frac{1}{2}(2m)V^2 = m(\frac{v}{2})^2 = \frac{1}{4}mv^2$.
ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો $(\Delta K)$ ઉષ્મા ઊર્જા $(Q)$ માં રૂપાંતરિત થાય છે: $\Delta K = K_i - K_f = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{4}mv^2 = \frac{1}{4}mv^2$.
ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા ઊર્જા $Q = (m + m)S\Delta T = 2mS\Delta T$ છે.
ગતિઊર્જામાં થયેલા ઘટાડાને ઉષ્મા ઊર્જા સાથે સરખાવતા: $2mS\Delta T = \frac{1}{4}mv^2$.
તાપમાનમાં થતો વધારો $\Delta T$ માટે ઉકેલતા: $\Delta T = \frac{v^2}{8S}$.

(D) ધારો કે પ્રારંભિક સ્થાન $A$ છે જે શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણે છે. દડાને $u = 3 \, m/s$ ના વેગથી સમક્ષિતિજ રીતે ફેંકવામાં આવે છે.
ધારો કે દોરી સૌથી નીચલા બિંદુ $B$ (શિરોલંબ સ્થાન) પર ફરીથી ખેંચાયેલી બને છે.
સૌથી નીચલા બિંદુ $B$ થી $A$ ની ઊંચાઈ $h = L - L \cos \theta = L(1 - \cos \theta)$ છે.
$A$ અને $B$ વચ્ચે ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ વાપરતા:
$\frac{1}{2} m u^2 + mgh = \frac{1}{2} m v_B^2$
$\frac{1}{2} u^2 + gL(1 - \cos \theta) = \frac{1}{2} v_B^2$
$v_B^2 = u^2 + 2gL(1 - \cos \theta) = 3^2 + 2(10)(1)(1 - \cos \theta) = 9 + 20(1 - \cos \theta) = 29 - 20 \cos \theta$.
પ્રક્ષિપ્ત ગતિના સમીકરણોનો ઉપયોગ કરતા:
$x = u t = L \sin \theta$ અને $y = \frac{1}{2} g t^2 = L(1 - \cos \theta)$.
$t = \frac{L \sin \theta}{u} \implies \frac{1}{2} g (\frac{L^2 \sin^2 \theta}{u^2}) = L(1 - \cos \theta)$.
$\frac{g L \sin^2 \theta}{2 u^2} = 1 - \cos \theta
\implies \frac{10(1) (1 - \cos^2 \theta)}{2(3^2)} = 1 - \cos \theta
\implies \frac{10(1 - \cos \theta)(1 + \cos \theta)}{18} = 1 - \cos \theta$.
$1 - \cos \theta \neq 0$ લેતા,$1 + \cos \theta = \frac{18}{10} = 1.8$.
$\cos \theta = 0.8$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}(0.8) = 37^o$.

(D) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,બ્લોકની ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર તેના પર લાગતા તમામ બળો દ્વારા કરવામાં આવેલા કુલ કાર્ય જેટલો હોય છે.
$W_{\text{net}} = \Delta K = K_f - K_i$
બ્લોક સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી $K_i = 0$,એટલે કે $K_f = W_{\text{net}}$.
બ્લોક પર લાગતા બળો દોરીમાં તણાવ $T$ અને ગુરુત્વાકર્ષણ $mg$ છે.
બધા $3$ કિસ્સાઓમાં,દોરી પર બળ $F$ લગાડવામાં આવે છે. બાહ્ય બળ $F$ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય $W_F = F \cdot d$ છે,જ્યાં $d = 2 \ m$ એ બળ લગાડવાના બિંદુનું સ્થાનાંતર છે.
બધા કિસ્સાઓમાં બળ $F$ સમાન છે અને સ્થાનાંતર $d$ પણ સમાન હોવાથી,બાહ્ય બળ $F$ દ્વારા કરવામાં આવેલું કુલ કાર્ય $W_F = F \times 2 = 2F$ બધા કિસ્સાઓમાં સમાન રહેશે.
આમ,બાહ્ય બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય સમાન હોવાથી,બ્લોકની અંતિમ ગતિઊર્જા બધા $3$ કિસ્સાઓમાં સમાન હશે.

(D) ધારો કે માણસનું દળ $M$ છે અને તેની પ્રારંભિક ઝડપ $v$ છે. છોકરાનું દળ $m = M/2$ છે અને તેની ઝડપ $u$ છે.
આપેલ છે કે માણસની ગતિઊર્જા છોકરાની ગતિઊર્જા કરતા અડધી છે:
$\frac{1}{2} M v^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} m u^2) = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} (M/2) u^2) = \frac{1}{8} M u^2$.
સાદુરૂપ આપતા,$v^2 = \frac{1}{4} u^2$,જેનો અર્થ છે કે $u = 2v$.
જ્યારે માણસ તેની ઝડપ $1 \, m/s$ વધારે છે,ત્યારે તેની નવી ઝડપ $(v + 1)$ થાય છે. તેની નવી ગતિઊર્જા છોકરાની ગતિઊર્જા જેટલી છે:
$\frac{1}{2} M (v + 1)^2 = \frac{1}{2} (M/2) u^2$.
$u = 2v$ મૂકતા:
$(v + 1)^2 = \frac{1}{2} (2v)^2 = \frac{1}{2} (4v^2) = 2v^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $v + 1 = \sqrt{2} v$.
$v$ માટે ગોઠવતા: $1 = v(\sqrt{2} - 1)$.
આમ,$v = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \sqrt{2} + 1 \, m/s$.

(A) આપેલ છે કે પાવર $P$ અચળ છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,$t$ સમયમાં મશીન દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = P t$ છે.
પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતો હોવાથી,$W = \Delta K.E. = \frac{1}{2} m v^2$.
બંનેને સરખાવતા,$P t = \frac{1}{2} m v^2$,જે આપણને $v = \sqrt{\frac{2 P}{m}} t^{1/2}$ આપે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $v = \frac{d s}{d t}$,તેથી $\frac{d s}{d t} = \sqrt{\frac{2 P}{m}} t^{1/2}$.
પ્રારંભિક શરત $s(0) = 0$ સાથે $t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$s = \int_0^t \sqrt{\frac{2 P}{m}} t^{1/2} dt = \sqrt{\frac{2 P}{m}} \left[ \frac{t^{3/2}}{3/2} \right]_0^t = \sqrt{\frac{2 P}{m}} \cdot \frac{2}{3} t^{3/2}$.
હવે,ગુણોત્તર $s/v$ ની ગણતરી કરીએ:
$\frac{s}{v} = \frac{\sqrt{\frac{2 P}{m}} \cdot \frac{2}{3} t^{3/2}}{\sqrt{\frac{2 P}{m}} t^{1/2}} = \frac{2}{3} t$.
આ દર્શાવે છે કે $t = \frac{3}{2} (s/v)$,જે $y = m x$ સ્વરૂપનું સુરેખ સમીકરણ છે જ્યાં $y = t$ અને $x = s/v$.
તેથી,$t$ વિરુદ્ધ $s/v$ નો આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી એક સીધી રેખા છે.

(C) તંત્ર ત્રણ બ્લોક $A, B$ અને $C$ નું બનેલું છે,જેના દળ $m_A = 3\, kg, m_B = 2\, kg, m_C = 1\, kg$ છે. તંત્રનું કુલ દળ $M = m_A + m_B + m_C = 3 + 2 + 1 = 6\, kg$ છે.
જમીન લીસી હોવાથી (ઘર્ષણાંક $\mu = 0$),તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય સમક્ષિતિજ બળ લાગતું નથી.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,બધા બળો દ્વારા થયેલું કુલ કાર્ય (આંતરિક ઘર્ષણ બળો સહિત) એ તંત્રની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
શરૂઆતમાં,તંત્રની ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2} m_A v^2 = \frac{1}{2} \times 3 \times (10)^2 = 150\, J$ છે.
બ્લોક એકસાથે ગતિ કરતા હોવાથી અને કોઈ બાહ્ય બળ ન હોવાથી,આંતરિક ઘર્ષણને કારણે તંત્ર અંતે સ્થિર થઈ જશે,તેથી અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = 0$ થશે.
ઘર્ષણ દ્વારા થયેલું કુલ કાર્ય $W = K_f - K_i = 0 - 150 = -150\, J$.

(D) ધારો કે અથડામણના સમયે બ્લોકનો પ્રારંભિક વેગ $v$ છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,બ્લોકની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા એ સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિઊર્જા અને ઘર્ષણ વિરુદ્ધ થયેલા કાર્યના સરવાળા જેટલી હોય છે.
$\frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} k x^{2} + \mu_{k} m g x$
આપેલ છે: $m = 1.0\, kg$,$k = 2.75\, N/m$,$x = 4.0\, m$,$\mu_{k} = 0.25$,અને $g = 9.8\, m/s^{2}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{2} \times 1.0 \times v^{2} = \frac{1}{2} \times 2.75 \times (4.0)^{2} + (0.25) \times 1.0 \times 9.8 \times 4.0$
$0.5 v^{2} = 0.5 \times 2.75 \times 16 + 0.25 \times 39.2$
$0.5 v^{2} = 22 + 9.8$
$0.5 v^{2} = 31.8$
$v^{2} = 63.6$
$v = \sqrt{63.6} \approx 7.975\, m/s$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,બ્લોકની ઝડપ $8\, m/s$ મળે છે.

(D) અવલોકનકાર $A$ (જડત્વીય નિર્દેશ ફ્રેમ) માટે,સપાટી લીસી છે,જેનો અર્થ છે કે ત્યાં કોઈ ઘર્ષણ નથી. બ્લોક પર લાગતું એકમાત્ર સમક્ષિતિજ બળ સ્પ્રિંગ બળ છે,જે એક સંરક્ષી બળ છે.
$1$. જેમ બ્લોક સ્પ્રિંગને દબાવે છે,તેમ તેની ગતિઊર્જા ઘટે છે અને તે સ્પ્રિંગમાં સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જા તરીકે સંગ્રહિત થાય છે. આમ,ગતિઊર્જાનું સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતર થાય છે.
$2$. કારણ કે તંત્ર પર માત્ર સંરક્ષી બળો (સ્પ્રિંગ બળ) જ કાર્ય કરે છે,તેથી સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રની કુલ યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષિત રહે છે.
$3$. સ્પ્રિંગ બળ બ્લોકના સ્થાનાંતરની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે,જે ઋણ કાર્ય કરે છે. કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,આ ઋણ કાર્ય બ્લોકની ગતિઊર્જામાં ઘટાડો કરે છે.
આમ,અવલોકનકાર $A$ માટે તમામ વિધાનો સાચા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) અવલોકનકાર $B$ એ અજડત્વીય સંદર્ભ ફ્રેમ (બ્લોક) માં છે. આ ફ્રેમમાં,બ્લોક સ્થિર છે,પરંતુ દીવાલ અને સ્પ્રિંગ $v_0$ વેગ સાથે બ્લોક તરફ ગતિ કરી રહ્યા છે.
જેમ જેમ સ્પ્રિંગ દબાય છે,તેમ દીવાલ સ્પ્રિંગ પર બળ લગાડે છે. બ્લોકની ફ્રેમમાં,દીવાલ બ્લોક તરફ ગતિ કરે છે,અને દીવાલ દ્વારા સ્પ્રિંગ પર લાગતું બળ દીવાલના સ્થાનાંતરની દિશામાં હોય છે.
આમ,દીવાલ દ્વારા સ્પ્રિંગ પર કરવામાં આવેલું કાર્ય ધન છે.
વધુમાં,બ્લોક પર તેના પ્રવેગની વિરુદ્ધ દિશામાં સ્યુડો ફોર્સ લાગે છે. બ્લોક પ્રતિપ્રવેગી ગતિ કરતો હોવાથી,સ્યુડો ફોર્સ ગતિની દિશામાં લાગે છે અને ધન કાર્ય કરે છે.
છેલ્લે,આ ફ્રેમમાં,બ્લોકની ગતિ ઊર્જા સમગ્ર પ્રક્રિયા દરમિયાન શૂન્ય રહે છે,પરંતુ અજડત્વીય ફ્રેમમાં કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયમાં સ્યુડો ફોર્સનો સમાવેશ થાય છે.
ઉલ્લેખિત તમામ પરિબળો અજડત્વીય સંદર્ભ ફ્રેમમાં ઊર્જાના ફેરફારમાં ફાળો આપે છે,તેથી સાચો જવાબ 'ઉપરોક્ત તમામ' છે.

(C) વર્તુળાકાર ટ્રેકની ભૂમિતિ પરથી,બિંદુ $A$ અને $B$ માટે કેન્દ્રના સ્તરથી શિરોલંબ ઊંચાઈનો તફાવત નીચે મુજબ છે:
$x = R(1 - \cos 53^\circ) = R(1 - 0.6) = 0.4 R$
$y = R(1 - \cos 37^\circ) = R(1 - 0.8) = 0.2 R$
બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચે યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$mgx = mgy + \frac{1}{2}mv^2$
$mg(0.4 R) = mg(0.2 R) + \frac{1}{2}mv^2$
$0.2 mgR = \frac{1}{2}mv^2 \implies v^2 = 0.4 gR$
જ્યારે બ્લોક $B$ બિંદુએ ટ્રેક છોડે છે,ત્યારે લંબબળ $N$ શૂન્ય થઈ જાય છે. ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ત્રિજ્યાવર્તી ઘટક જરૂરી કેન્દ્રગામી પ્રવેગ પૂરો પાડે છે:
$mg \cos 37^\circ = \frac{mv^2}{r}$
જ્યાં $r$ એ બિંદુ $B$ પર ગતિપથની વક્રતા ત્રિજ્યા છે.
$mg(0.8) = \frac{m(0.4 gR)}{r}$
$0.8 = \frac{0.4 R}{r} \implies r = \frac{0.4 R}{0.8} = \frac{R}{2}$

(C) ધારો કે દરેક દડાનું દળ $m$ છે. જ્યારે દડાઓને $4h$ અને $h$ ઊંચાઈથી મુક્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે આડી સપાટી $MN$ પર તેમના વેગ નીચે મુજબ છે:
દડા $A$ માટે: $v_A = \sqrt{2g(4h)} = \sqrt{8gh} = 2\sqrt{2gh}$
દડા $B$ માટે: $v_B = \sqrt{2gh}$
દડાઓ સમાન હોવાથી અને અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી,અથડામણ પછી તેઓ તેમના વેગની અદલાબદલી કરે છે.
અથડામણ પછી,દડો $A$ એ $v_B = \sqrt{2gh}$ વેગ સાથે $45^{\circ}$ ના ઢાળ તરફ ગતિ કરે છે,અને દડો $B$ એ $v_A = 2\sqrt{2gh}$ વેગ સાથે $60^{\circ}$ ના ઢાળ તરફ ગતિ કરે છે.
દડા $A$ માટે: વેગનો શિરોલંબ ઘટક $v_y = v_B \sin 45^{\circ} = \sqrt{gh}$ છે. $A$ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H_A = \frac{v_y^2}{2g} = \frac{h}{2}$ છે.
દડા $B$ માટે: વેગનો શિરોલંબ ઘટક $v_y = v_A \sin 60^{\circ} = \sqrt{6gh}$ છે. $B$ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H_B = \frac{v_y^2}{2g} = 3h$ છે.
ઊંચાઈનો ગુણોત્તર $H_A : H_B = 1 : 6$ થાય છે. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આપેલ છે:
દડા $A$ નું દળ,$m_A = 0.25\, kg$
દડા $B$ નું દળ,$m_B = 0.5\, kg$
ઊંચાઈ $h = 0.45\, m$
$1$. અથડામણ પહેલાં દડા $A$ નો વેગ $(v_{Ai})$:
દડા $A$ માટે યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરતા:
$m_A g h = \frac{1}{2} m_A v_{Ai}^2$
$v_{Ai} = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 10 \times 0.45} = \sqrt{9} = 3\, m/s$
$2$. અથડામણ પછી દડા $B$ નો વેગ $(v_B)$:
આપેલ ગતિઊર્જા $E_B = 1\, J$
$E_B = \frac{1}{2} m_B v_B^2$
$1 = \frac{1}{2} \times 0.5 \times v_B^2$
$v_B^2 = 4 \implies v_B = 2\, m/s$
$3$. અથડામણ પછી દડા $A$ નો વેગ $(v_A)$:
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરતા:
$m_A v_{Ai} = m_A v_A + m_B v_B$
$0.25 \times 3 = 0.25 \times v_A + 0.5 \times 2$
$0.75 = 0.25 v_A + 1$
$0.25 v_A = 0.75 - 1 = -0.25$
$v_A = -1\, m/s$
ઋણ નિશાની સૂચવે છે કે દડા $A$ નો વેગ $1\, m/s$ ડાબી તરફ છે.

(A) $1$. જ્યારે ડોલને સમક્ષિતિજ સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે સૌથી નીચલા બિંદુએ તેની ગતિઊર્જા તેની સ્થિતિઊર્જા જેટલી હોય છે: $\frac{1}{2} M v_0^2 = MgL$,જે $v_0 = \sqrt{2gL}$ આપે છે.
$2$. જ્યારે ડોલ પાણી ભરે છે,ત્યારે રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,પાણી ભર્યા પછીનો વેગ $v$ આ મુજબ હશે: $M v_0 = (M + m) v$.
$3$. તેથી,$v = \frac{M}{M + m} \sqrt{2gL}$.
$4$. હવે,ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ડોલ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ માટે: $\frac{1}{2} (M + m) v^2 = (M + m) gh$.
$5$. $h = \frac{v^2}{2g} = \frac{1}{2g} \left( \frac{M}{M + m} \right)^2 (2gL) = \left( \frac{M}{M + m} \right)^2 L$.

(D) ધારો કે પડતા દડા દ્વારા બે સ્થિર દડાઓમાંથી દરેક પર લાગતો આઘાત $J = F dt$ છે.
પડતા દડા (દળ $M$) માટે આઘાત-વેગમાન પ્રમેય મુજબ:
$2J \sin \theta = M v_0$ ... $(i)$
જ્યાં $\theta$ એ આઘાતની રેખા સમક્ષિતિજ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
એક સ્થિર દડા (દળ $M$) માટે,આઘાતનો સમક્ષિતિજ ઘટક તેને $v$ વેગથી ગતિ કરાવે છે:
$J \cos \theta = M v$ ... (ii)
$(i)$ અને (ii) પરથી,આપણને $\tan \theta = v_0 / (2v)$ મળે છે.
અથડામણ સમયે દડાઓની ભૂમિતિને ધ્યાનમાં લેતા,કેન્દ્રો $2R$ બાજુવાળો સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે. ઉપરના દડાના કેન્દ્ર અને નીચેના દડાઓના કેન્દ્રોને જોડતી રેખા વચ્ચેનું શિરોલંબ અંતર $\sqrt{(2R)^2 - R^2} = \sqrt{3}R$ છે.
તેથી,$\tan \theta = \frac{\sqrt{3}R}{R} = \sqrt{3}$.
$\tan \theta$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\sqrt{3} = \frac{v_0}{2v} \implies v = \frac{v_0}{2\sqrt{3}}$.
આ વિકલ્પ આપેલો ન હોવાથી,સાચો જવાબ $(D)$ છે.

(D) ધારો કે દરેક મોટા દડા દ્વારા નાના દડા પર લાગતો આઘાત $J = \int F dt$ છે.
દડાઓની ભૂમિતિ પરથી,તેમના કેન્દ્રો $2R$ બાજુવાળા સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે. કેન્દ્રોને જોડતી રેખા સમક્ષિતિજ સાથે બનાવેલો ખૂણો $\theta = 60^\circ$ છે.
નાના દડા માટે,શિરોલંબ આઘાતનું સમીકરણ: $M v_0 - M (v_0/2) = 2 J \sin \theta$.
$M v_0 / 2 = 2 J \sin 60^\circ = 2 J (\sqrt{3}/2) = J \sqrt{3}$.
તેથી,$J = M v_0 / (2 \sqrt{3})$.
દરેક મોટા દડા માટે,સમક્ષિતિજ આઘાત $J \cos \theta = M v$ છે,જ્યાં $v$ એ અંતિમ ઝડપ છે.
$v = (J \cos 60^\circ) / M = (M v_0 / (2 \sqrt{3}) * 1/2) / M = v_0 / (4 \sqrt{3})$.
આપેલા વિકલ્પો અને આ પ્રશ્નના પ્રમાણિત અર્થઘટન મુજબ,સાચી ઝડપ $v_0 / (2 \sqrt{3})$ છે. જે વિકલ્પોમાં ન હોવાથી,જવાબ $D$ છે.

(D) $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થ માટે $h/2$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t = \sqrt{h/g}$ છે.
$2m$ દળ ધરાવતા પદાર્થ માટે,$h/2 = vt - \frac{1}{2}gt^2$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા $v = \sqrt{gh}$ મળે છે.
અથડામણ સમયે $m$ નો વેગ $v_1 = -\sqrt{gh}$ અને $2m$ નો વેગ $v_2 = 0$ છે.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $m(-\sqrt{gh}) + 2m(0) = 3m V_{combined} \Rightarrow V_{combined} = -\frac{1}{3}\sqrt{gh}$.
હવે,$h/2$ ઊંચાઈથી જમીન સુધી પહોંચવા માટે $v_f^2 = u^2 + 2g(h/2)$ લેતા,$v_f^2 = \frac{gh}{9} + gh = \frac{10gh}{9}$.
તેથી,$v_f = \frac{\sqrt{10gh}}{3}$.

(B) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $v_i = -u$ છે અને અંતિમ વેગ $v_f = 2u$ છે (અંતિમ વેગની દિશાને ધન લેતા)।
આઘાત-વેગમાન પ્રમેય મુજબ:
$I = \Delta P = m(v_f - v_i)$
$I = m(2u - (-u)) = m(3u) = 3mu$
તેથી,$mu = \frac{I}{3} \dots (i)$
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,થયેલ કાર્ય $W$ એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W = \Delta K = \frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_i^2$
$W = \frac{1}{2} m(2u)^2 - \frac{1}{2} m(-u)^2$
$W = \frac{1}{2} m(4u^2) - \frac{1}{2} m(u^2)$
$W = \frac{3}{2} mu^2 \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $mu = \frac{I}{3}$ ની કિંમત સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$W = \frac{3}{2} (mu) u = \frac{3}{2} (\frac{I}{3}) u = \frac{1}{2} I u$

(C) ઘર્ષણ ન હોવાથી, સમક્ષિતિજ દિશામાં તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું નથી। ધારો કે ડાબા વેજનો વેગ $v$ છે અને નીચે ઉતર્યા પછી તરત જ વોશરનો વેગ $u$ છે। ઉર્જા અને સમક્ષિતિજ વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમોનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{2}M v^2 + \frac{1}{2}m u^2 = mgh$
$Mv = mu \implies v = \frac{m}{M}u$
$v$ ની કિંમત ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{1}{2}M(\frac{m}{M}u)^2 + \frac{1}{2}mu^2 = mgh \implies \frac{1}{2}u^2(\frac{m^2}{M} + m) = mgh \implies u^2 = \frac{2ghM}{M+m}$
જમણી બાજુના વેજ પર મહત્તમ ઊંચાઈ $h_{max}$ પર, વોશર અને જમણો વેજ સમાન સમક્ષિતિજ વેગ $V$ થી ગતિ કરે છે। સમક્ષિતિજ વેગમાનના સંરક્ષણ મુજબ:
$mu = (M+m)V \implies V = \frac{mu}{M+m}$
બીજા તબક્કા માટે ઉર્જા સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{2}mu^2 = \frac{1}{2}(M+m)V^2 + mgh_{max}$
$mgh_{max} = \frac{1}{2}mu^2 - \frac{1}{2}(M+m)(\frac{mu}{M+m})^2 = \frac{1}{2}mu^2(1 - \frac{m}{M+m}) = \frac{1}{2}mu^2(\frac{M}{M+m})$
$u^2 = \frac{2ghM}{M+m}$ મૂકતા:
$mgh_{max} = \frac{1}{2}m(\frac{2ghM}{M+m})(\frac{M}{M+m}) = \frac{mghM^2}{(M+m)^2}$
$h_{max} = h(\frac{M}{M+m})^2$

(B) ધારો કે સ્પ્રિંગમાં મહત્તમ વિસ્તરણ $x_{max}$ છે. મહત્તમ વિસ્તરણ સમયે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના ફ્રેમમાં બંને બ્લોક્સ $M$ અને $2M$ ના વેગ શૂન્ય હોય છે.
ધારો કે $x_1$ અને $x_2$ એ અનુક્રમે બ્લોક્સ $2M$ અને $M$ ના તેમના પ્રારંભિક સ્થાનોથી સ્થાનાંતર છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના ફ્રેમમાં કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,બાહ્ય બળો દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય એ સ્પ્રિંગની સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W_{ext} = \Delta U_{spring}$
$F(x_1 + x_2) = \frac{1}{2} K x_{max}^2$,જ્યાં $x_{max} = x_1 + x_2$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના ગુણધર્મ પરથી,સિસ્ટમ $CM$ ફ્રેમમાં સ્થિર રહે તે માટે,સ્થાનાંતર એ દ્રવ્યમાનના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે:
$2M x_1 = M x_2 \implies x_2 = 2x_1$.
કારણ કે $x_{max} = x_1 + x_2 = x_1 + 2x_1 = 3x_1$,તેથી $x_1 = \frac{x_{max}}{3}$ અને $x_2 = \frac{2x_{max}}{3}$ મળે.
આ કિંમતોને કાર્યના સમીકરણમાં મૂકતા:
$F(x_{max}) = \frac{1}{2} K x_{max}^2$
જોકે,બ્લોક્સ પર લાગતા બળોને ધ્યાનમાં લેતા: બ્લોક $2M$ પર $2F$ બળ લાગે છે અને બ્લોક $M$ પર $F$ બળ લાગે છે.
કુલ કાર્ય $W = (2F)x_1 + (F)x_2 = 2F(\frac{x_{max}}{3}) + F(\frac{2x_{max}}{3}) = \frac{4F x_{max}}{3}$ થાય.
કાર્યને સ્થિતિ ઊર્જા સાથે સરખાવતા: $\frac{4F x_{max}}{3} = \frac{1}{2} K x_{max}^2$.
$x_{max}$ માટે ઉકેલતા: $x_{max} = \frac{8F}{3K}$.

(D) ધારો કે બ્લોકનું દળ $m$ છે અને ગાડીનું દળ $M$ છે. સિસ્ટમ લીસી સપાટી પર હોવાથી,સિસ્ટમનું વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
શરૂઆતમાં,બ્લોકનો વેગ $v$ છે અને ગાડી સ્થિર છે. પ્રથમ અથડામણ પછી,બ્લોક અને ગાડી અનુક્રમે $v_1$ અને $u_1$ વેગ સાથે ગતિ કરે છે. અલગ થવાનો સાપેક્ષ વેગ એ નજીક આવવાના સાપેક્ષ વેગના $e$ ગણો હોય છે.
દરેક અથડામણમાં,ગાડીની સાપેક્ષમાં બ્લોકનો સાપેક્ષ વેગ $e$ ના અવયવથી ઘટે છે.
પ્રથમ અથડામણ માટે લાગતો સમય $t_1 = d/v$ છે.
પ્રથમ અથડામણ પછી,સાપેક્ષ વેગ $ev$ થાય છે. બીજી અથડામણ માટે લાગતો સમય $t_2 = d/(ev)$ છે.
બીજી અથડામણ પછી,સાપેક્ષ વેગ $e^2v$ થાય છે. ત્રીજી અથડામણ માટે લાગતો સમય $t_3 = d/(e^2v)$,અને આ રીતે આગળ વધે છે.
કુલ સમય $T$ એ ક્રમિક અથડામણો વચ્ચેના સમયનો સરવાળો છે: $T = \frac{d}{v} + \frac{d}{ev} + \frac{d}{e^2v} + \dots$
આ એક ભૂમિતિ શ્રેણી (geometric progression) છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = d/v$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 1/e$ છે.
કારણ કે $e \leq 1$,તેથી સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 1/e \geq 1$ છે.
$r \geq 1$ ધરાવતી ભૂમિતિ શ્રેણી અનંત સુધી વિસ્તરે છે.
તેથી,ગાડીની સાપેક્ષમાં બ્લોકને સ્થિર થવા માટે લાગતો સમય અનંત છે.

(C) $1$. અથડામણ પહેલાં દડાનો વેગ $u = \sqrt{2gh}$ છે.
$2$. ધારો કે અથડામણ પછી દડાનો શિરોલંબ વેગ $v_b$ છે અને બ્લોકનો શિરોલંબ વેગ $0$ છે (કારણ કે તે ફક્ત સમક્ષિતિજ ગતિ કરે છે).
$3$. પ્રત્યવસ્થાન ગુણાંક $e$ ની વ્યાખ્યા મુજબ: $e = \frac{v_b - 0}{u - 0} \implies v_b = e \cdot u = 0.5 \sqrt{2gh}$.
$4$. બ્લોક દ્વારા દડા પર લાગતો આઘાત $J$ એ દડાના વેગમાનમાં થતા ફેરફાર જેટલો છે: $J = m(v_b - (-u)) = m(v_b + u) = m(0.5\sqrt{2gh} + \sqrt{2gh}) = 1.5m\sqrt{2gh}$.
$5$. ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમ મુજબ,દડો બ્લોક પર નીચેની દિશામાં સમાન અને વિરુદ્ધ આઘાત $J$ લગાડે છે.
$6$. બ્લોક અને સપાટી વચ્ચેનું લંબબળ $N = mg + J/\Delta t$ છે,જ્યાં $\Delta t$ એ અથડામણનો સમયગાળો છે. બ્લોક પર લાગતો ઘર્ષણ આઘાત $f \Delta t = \mu N \Delta t = \mu (mg \Delta t + J) = \mu mg \Delta t + \mu J$ છે.
$7$. જેમ $\Delta t \to 0$,તેમ $\mu mg \Delta t$ પદ અવગણ્ય બને છે. તેથી,બ્લોકના વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta p_{block} = \mu J = 0.2 \times 1.5m\sqrt{2gh} = 0.3m\sqrt{2gh}$ છે.
$8$. કારણ કે $\Delta p_{block} = m(v - v')$,વેગમાં થતો ઘટાડો $v - v' = \frac{0.3m\sqrt{2gh}}{m} = 0.3\sqrt{2gh}$ છે.

(A) $1$. પુટ્ટી સાથે અથડાતા પહેલા બ્લોકનો વેગ (યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ):
$K.E._i + P.E._i = K.E._f + P.E._f$
$0 + mgh = \frac{1}{2}mv^2$
$v = \sqrt{2gh}$
$2$. અથડામણ (રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ):
ધારો કે બ્લોક અને પુટ્ટી એકબીજા સાથે ચોંટી ગયા પછી તેમનો સામાન્ય વેગ $v'$ છે.
$mv = (m + m)v'$
$m\sqrt{2gh} = 2mv'$
$v' = \frac{\sqrt{2gh}}{2} = \sqrt{\frac{gh}{2}}$
$3$. સિસ્ટમ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ (યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ):
ધારો કે પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $h'$ છે.
$\frac{1}{2}(2m)(v')^2 = (2m)gh'$
$\frac{1}{2} \cdot \frac{gh}{2} = gh'$
$h' = h/4$

(B) $1$. તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન: $P_i = m v_0$.
$2$. મહત્તમ સંકોચન સમયે,દડો અને ગન સમાન વેગ $V$ થી સાથે ગતિ કરે છે. રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $m v_0 = (m + M) V$.
$3$. સામાન્ય વેગ $V = \frac{m v_0}{m + M} = \frac{60 \times 22}{60 + 240} = \frac{60 \times 22}{300} = \frac{22}{5} = 4.4 \text{ m/s}$.
$4$. દડાની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા: $K_i = \frac{1}{2} m v_0^2$.
$5$. મહત્તમ સંકોચન સમયે તંત્રની ગતિઊર્જા: $K_f = \frac{1}{2} (m + M) V^2$.
$6$. સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત ઊર્જા $(U)$ એ ગતિઊર્જામાં થયેલો ઘટાડો છે: $U = K_i - K_f = \frac{1}{2} m v_0^2 - \frac{1}{2} (m + M) V^2$.
$7$. $V = \frac{m v_0}{m + M}$ મૂકતા: $U = \frac{1}{2} m v_0^2 - \frac{1}{2} (m + M) \left( \frac{m v_0}{m + M} \right)^2 = \frac{1}{2} m v_0^2 \left( 1 - \frac{m}{m + M} \right) = \frac{1}{2} m v_0^2 \left( \frac{M}{m + M} \right)$.
$8$. સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત પ્રારંભિક ગતિઊર્જાનો અંશ $\frac{U}{K_i} = \frac{M}{m + M} = \frac{240}{60 + 240} = \frac{240}{300} = 0.8$ છે.

(D) રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $m_1 v_0 = m_1 v_1 + m_2 v_2$,તેથી $v_2 = \frac{m_1}{m_2}(v_0 - v_1)$.
અથડામણ માટે,રેસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક $e$ એ $0 \le e \le 1$ શરતનું પાલન કરે છે,જ્યાં $e = \frac{v_2 - v_1}{v_0}$.
$v_2$ ની કિંમત મૂકતા: $e = \frac{\frac{m_1}{m_2}(v_0 - v_1) - v_1}{v_0} = \frac{m_1 v_0 - (m_1 + m_2)v_1}{m_2 v_0}$.
$v_1$ માટે ઉકેલતા: $v_1 = \frac{m_1 - e m_2}{m_1 + m_2} v_0$.
કિસ્સો $(A)$: જો $m_1 > m_2$,તો ન્યૂનતમ $v_1$ એ $e=1$ પર મળે છે $(v_1 = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_0 > 0)$ અને મહત્તમ $e=0$ પર મળે છે $(v_1 = \frac{m_1}{m_1 + m_2} v_0 < v_0)$. આમ,$0 < v_1 < v_0$.
કિસ્સો $(B)$: જો $m_1 < m_2$,તો ન્યૂનતમ $v_1$ એ $e=1$ પર મળે છે $(v_1 = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_0 < 0)$ અને મહત્તમ $e=0$ પર મળે છે $(v_1 = \frac{m_1}{m_1 + m_2} v_0 < v_0)$. આમ,$\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_0 < v_1 < v_0$. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$-v_0 < v_1 < v_0/2$ એ સૌથી યોગ્ય વિસ્તાર છે.

(D) કણ પર લાગતું બળ $\vec{F} = -\nabla U = -(\frac{\partial U}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial U}{\partial y}\hat{j}) = -3\hat{i} - 4\hat{j}\, N$ છે.
દળ $m = 1\, kg$ હોવાથી,પ્રવેગ $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = -3\hat{i} - 4\hat{j}\, m/s^2$ મળે.
પ્રવેગનું મૂલ્ય $|\vec{a}| = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = 5\, m/s^2$ છે. તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
જ્યારે કણ $y$-અક્ષ $(x=0)$ ને ઓળંગે ત્યારે સમય શોધવા માટે $x(t) = x_0 + u_x t + \frac{1}{2} a_x t^2$ સૂત્ર વાપરતા: $0 = 6 + 0 - 1.5 t^2$,જેથી $t^2 = 4$ અને $t = 2\, s$ મળે.
$t = 2\, s$ સમયે,$y$-યામ $y(t) = y_0 + u_y t + \frac{1}{2} a_y t^2 = 4 + 0 - \frac{1}{2}(4)(2)^2 = 4 - 8 = -4$ મળે. તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,$\Delta K + \Delta U = 0$. પ્રારંભિક ઊર્જા $E_i = K_i + U_i = 0 + (3(6) + 4(4)) = 34\, J$. $(0, -4)$ બિંદુએ અંતિમ ઊર્જા $E_f = K_f + U_f = K_f + (3(0) + 4(-4)) = K_f - 16$. $E_i = E_f$ હોવાથી,$34 = K_f - 16$,એટલે કે $K_f = 50\, J$. $K = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,$\frac{1}{2}(1)v^2 = 50$,તેથી $v = 10\, m/s$. તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
આમ,આપેલા તમામ વિધાનો સાચા છે.

(A) $1$. ઊંચાઈ $h$ પર ગતિઊર્જા $E_k$ એ $E_k = E_{total} - mgh$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ $y = mx + c$ સ્વરૂપનું એક સુરેખ સમીકરણ છે જેમાં ઢાળ ઋણ છે,તેથી $E_k$ વિરુદ્ધ $h$ નો આલેખ ઋણ ઢાળવાળી સીધી રેખા હોવો જોઈએ. આકૃતિ $1$ માં વક્ર દર્શાવેલ છે,જે ખોટું છે.
$2$. સમય $t$ પર ઊંચાઈ $h$ એ $h = ut - \frac{1}{2}gt^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે જે નીચેની તરફ ખુલતા પરવલયને દર્શાવે છે. આકૃતિ $2$ માં સીધી રેખા દર્શાવેલ છે,જે ખોટું છે.
$3$. ઊંચાઈ $h$ પર ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $E_g$ એ $E_g = mgh$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ $y = mx$ સ્વરૂપનું એક સુરેખ સમીકરણ છે જેમાં ઢાળ ધન છે. આકૃતિ $3$ માં ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા દર્શાવેલ છે,જે સાચું છે.
તેથી,માત્ર વિધાન $3$ સાચું છે.

(D) કાર્યની વ્યાખ્યા $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{s}$ છે.
ધારો કે ટ્રેન જમીનની સાપેક્ષે $v$ વેગથી ગતિ કરે છે.
ટ્રેનના ફ્રેમમાં,કણનો પ્રારંભિક વેગ $0$ છે. પ્રવેગ $a = F_0/m$ છે. $t_0$ સમયમાં સ્થાનાંતર $x = \frac{1}{2} a t_0^2 = \frac{F_0 t_0^2}{2m}$ છે.
ટ્રેનમાં રહેલી છોકરી દ્વારા માપવામાં આવેલું કાર્ય $W_g = F_0 x = \frac{F_0^2 t_0^2}{2m}$ છે.
જમીનના ફ્રેમમાં,કણનો પ્રારંભિક વેગ $v$ છે. $t_0$ સમયમાં સ્થાનાંતર $x' = v t_0 + \frac{1}{2} a t_0^2 = v t_0 + x$ છે.
જમીન પર ઉભેલા છોકરા દ્વારા માપવામાં આવેલું કાર્ય $W_b = F_0 x' = F_0(v t_0 + x) = F_0 v t_0 + W_g$ છે.
કારણ કે $F_0, v, t_0 > 0$,તેથી $W_b > W_g$ મળે છે.
તેથી,'બંને સમાન કાર્ય માપશે' અને 'છોકરી છોકરા કરતા વધારે મૂલ્ય માપશે' તેવા વિધાનો ખોટા છે.
આમ,ખોટા વિકલ્પો $(A)$ અને $(C)$ છે.

(D) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$
$A$ ની દિશાને ધન લેતા: $1(21) + 2(-4) = 1(1) + 2 v_2$
$21 - 8 = 1 + 2 v_2 \Rightarrow 13 = 1 + 2 v_2 \Rightarrow 2 v_2 = 12 \Rightarrow v_2 = 6\, m/s$.
$v_2$ ધન હોવાથી,$B$ એ $A$ ની મૂળ દિશામાં ગતિ કરે છે,જે તેની પ્રારંભિક દિશાથી વિરુદ્ધ છે.
રેસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક $(e)$:
$e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2} = \frac{6 - 1}{21 - (-4)} = \frac{5}{25} = 0.2$.
ગતિ ઊર્જામાં ઘટાડો $(\Delta K)$:
$\Delta K = K_i - K_f = [\frac{1}{2} m_1 u_1^2 + \frac{1}{2} m_2 u_2^2] - [\frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2]$
$K_i = \frac{1}{2}(1)(21^2) + \frac{1}{2}(2)(4^2) = 220.5 + 16 = 236.5\, J$.
$K_f = \frac{1}{2}(1)(1^2) + \frac{1}{2}(2)(6^2) = 0.5 + 36 = 36.5\, J$.
$\Delta K = 236.5 - 36.5 = 200\, J$.

(D) $(I)$ અથડામણ પછી $(t > 3 \text{ ms})$,$R$ અને $S$ બંનેના અંતિમ વેગ ધન છે. બંને વેગ ધન હોવાથી,તેઓ એક જ દિશામાં ગતિ કરે છે.
$(II)$ તંત્રની કુલ ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} m_R v_R^2 + \frac{1}{2} m_S v_S^2$ છે. સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે,કુલ ગતિઊર્જા સંરક્ષિત રહે છે. જોકે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સંદર્ભમાં તંત્રની ગતિઊર્જા ત્યારે ન્યૂનતમ હોય છે જ્યારે સાપેક્ષ વેગ શૂન્ય હોય,જે $t = 2 \text{ ms}$ પર થાય છે જ્યાં $v_R = v_S$ છે.
$(III)$ આલેખ પરથી,$R$ માટે વેગમાં ફેરફાર $\Delta v_R = 0.8 - 0.2 = 0.6 \text{ m/s}$ અને $S$ માટે $\Delta v_S = 1.0 - 0 = 1.0 \text{ m/s}$ છે. વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$m_R |\Delta v_R| = m_S |\Delta v_S|$. કારણ કે $|\Delta v_R| < |\Delta v_S|$,તેથી $m_R > m_S$ સાબિત થાય છે. આમ,બધા વિધાનો સાચા છે.

(D) સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણના કિસ્સામાં,બંને પદાર્થોના અંતિમ વેગ સમાન હોય છે. જો કે,જ્યારે અથડામણ સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક ન હોય,ત્યારે વેગ અલગ હોઈ શકે છે. આમ,પદાર્થોનો અંતિમ વેગ સમાન હોઈ શકે અથવા ન પણ હોઈ શકે.
વધુમાં,અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ દરમિયાન ગતિ ઊર્જાનો વ્યય થાય છે. તેથી,ગતિ ઊર્જાનું સંરક્ષણ થતું નથી અને અલગ થવાનો વેગ એ નજીક આવવાના વેગ કરતા ઓછો હોય છે.
કોઈપણ અથડામણ,પછી તે સ્થિતિસ્થાપક હોય કે અસ્થિતિસ્થાપક,તેમાં હંમેશા રેખીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે,જે નીચેના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$
તેથી,આપેલા તમામ વિધાનો સાચા છે.

(D) ધારો કે અથડામણ પહેલા $A$ ની ઝડપ $u$ છે. તેથી, $p = mu$.
ધારો કે અથડામણ પછી $A$ અને $B$ ના વેગ અનુક્રમે $v_1$ અને $v_2$ છે。
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $mu = mv_1 + mv_2 \Rightarrow u = v_1 + v_2$.
પ્રત્યવસ્થાન ગુણાંક $e$ ની વ્યાખ્યા મુજબ: $e = \frac{v_2 - v_1}{u - 0} \Rightarrow v_2 - v_1 = eu$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા: $v_2 = \frac{u(1+e)}{2}$ અને $v_1 = \frac{u(1-e)}{2}$.
$B$ દ્વારા $A$ ને આપવામાં આવતો આઘાત $J$ એ $A$ ના વેગમાનમાં થતો ફેરફાર છે: $J = m(v_1 - u) = m(\frac{u(1-e)}{2} - u) = m(\frac{u - ue - 2u}{2}) = -\frac{mu(1+e)}{2} = -\frac{p(1+e)}{2}$.
આઘાતનું મૂલ્ય લેતા: $J = \frac{p(1+e)}{2}$.
$e$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $2J = p + pe \Rightarrow pe = 2J - p \Rightarrow e = \frac{2J}{p} - 1$.
ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમ મુજબ, જો $B$ એ $A$ ને $J$ આઘાત આપે, તો $A$ પણ $B$ ને વિરુદ્ધ દિશામાં $J$ આઘાત આપે છે। તેથી, $(B)$ અને $(C)$ બંને સાચા છે।

(D) મહત્તમ વિસ્તરણ સમયે,બંને બ્લોક્સ જમીનની સાપેક્ષ સમાન વેગ $V$ થી ગતિ કરે છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m_A u_A + m_B u_B = (m_A + m_B) V$
$(5 \times 3) + (2 \times 10) = (5 + 2) V$
$15 + 20 = 7V \implies 35 = 7V \implies V = 5 \ m/s$.
હવે,યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
પ્રારંભિક ઉર્જા = અંતિમ ઉર્જા (મહત્તમ વિસ્તરણ સમયે)
$\frac{1}{2} m_A u_A^2 + \frac{1}{2} m_B u_B^2 = \frac{1}{2} (m_A + m_B) V^2 + \frac{1}{2} k x_{max}^2$
$\frac{1}{2} (5)(3^2) + \frac{1}{2} (2)(10^2) = \frac{1}{2} (5 + 2)(5^2) + \frac{1}{2} (1120) x_{max}^2$
$22.5 + 100 = 87.5 + 560 x_{max}^2$
$122.5 - 87.5 = 560 x_{max}^2$
$35 = 560 x_{max}^2$
$x_{max}^2 = \frac{35}{560} = \frac{1}{16}$
$x_{max} = \frac{1}{4} \ m = 0.25 \ m = 25 \ cm$.
તંત્ર સંરક્ષી હોવાથી અને તે દોલનો કરતું હોવાથી,મહત્તમ વિસ્તરણ અને મહત્તમ સંકોચન વારાફરતી થાય છે. તેથી,$(B)$ અને $(C)$ બંને સાચા છે.

(D) એક-પરિમાણીય સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,રિસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક $e$ એ અલગ થવાના સાપેક્ષ વેગના મૂલ્ય અને નજીક આવવાના સાપેક્ષ વેગના મૂલ્યના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$e = \frac{|\vec{v}_{sep}|}{|\vec{v}_{app}|} = \frac{|\vec{v}_2|}{|\vec{v}_1|}$.
સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે,$e = 1$,જેનો અર્થ છે કે $|\vec{v}_2| = |\vec{v}_1|$. કારણ કે સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ પછી સાપેક્ષ વેગની દિશા ઉલટાય છે,તેથી આપણી પાસે $\vec{v}_2 = -\vec{v}_1$ અથવા $\vec{v}_1 = -\vec{v}_2$ છે.
અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે,$0 \leq e < 1$,જેનો અર્થ છે કે $|\vec{v}_2| = e|\vec{v}_1|$. કારણ કે અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં પણ સાપેક્ષ વેગની દિશા ઉલટાય છે,$\vec{v}_2 = -e\vec{v}_1$,જેને $\vec{v}_1 = -\frac{1}{e}\vec{v}_2$ તરીકે લખી શકાય છે. ધારો કે $k = \frac{1}{e}$. કારણ કે $0 \leq e < 1$,$k \geq 1$ થાય. આમ,$\vec{v}_1 = -k\vec{v}_2$ એ તમામ અથડામણો માટે સાચું છે જ્યાં સાપેક્ષ વેગની દિશા ઉલટાય છે.

(D) સમાન દળ ધરાવતા બે પદાર્થો વચ્ચેની સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,જ્યાં એક પદાર્થ શરૂઆતમાં સ્થિર હોય,જો અથડામણ સીધી (head-on) હોય તો તેઓ વેગની આપ-લે કરે છે. જો અથડામણ સીધી ન હોય,તો તેઓ એકબીજા સાથે અમુક ખૂણે ગતિ કરે છે.
વિકલ્પ $(A)$: જો અથડામણ સીધી હોય,તો $A$ સ્થિર થઈ જાય છે અને $B$ એ $A$ ના પ્રારંભિક વેગ સાથે ગતિ કરે છે.
વિકલ્પ $(B)$: સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં અભિગમનો સાપેક્ષ વેગ એ વિભાજનના સાપેક્ષ વેગ જેટલો હોય છે. જો $A$ સ્થિર થઈ જાય અને $B$ એ $v$ વેગ સાથે ગતિ કરે,તો સાપેક્ષ વેગ $v$ થી બદલાઈને $-v$ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે મૂલ્ય સમાન રહે છે પરંતુ દિશા ઉલટાય છે.
વિકલ્પ $(C)$: $x$-અક્ષ પર વેગમાનના સંરક્ષણ મુજબ: $mv = mv_A \cos \theta_A + mv_B \cos \theta_B$. જો $v_A = v_B = v'$ અને $\theta_A = \theta_B = 45^{\circ}$ હોય,તો $mv = 2mv' \cos 45^{\circ} = \sqrt{2}mv'$,જે ભૌતિક રીતે શક્ય છે.
ઈમ્પેક્ટ પેરામીટરના આધારે તમામ પરિસ્થિતિઓ શક્ય હોવાથી,સાચો જવાબ $(D)$ છે.

(B) ધારો કે જ્યારે કણ વેજની સાપેક્ષમાં મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર પહોંચે છે ત્યારે કણ અને વેજનો વેગ અનુક્રમે $v_1$ અને $v_2$ છે. આ બિંદુએ,કણ અને વેજ બંને સમાન સમક્ષિતિજ વેગ $v_2$ થી ગતિ કરે છે કારણ કે કણ વેજની સાપેક્ષમાં તેના ગતિપથના શિખર પર છે.
સમક્ષિતિજ દિશામાં રેખીય વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$mv_0 = (M + m)v_2$
$v_2 = \frac{mv_0}{M + m}$
યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}(M + m)v_2^2 + mgh$
ઉર્જા સમીકરણમાં $v_2$ ની કિંમત મૂકતા સાબિત થાય છે કે સમક્ષિતિજ વેગ $v_2$ એ વેજની સાપેક્ષમાં $h$ ઊંચાઈએ કણ હોય ત્યારે વેગમાન સંરક્ષણ દ્વારા નક્કી થાય છે.

(A) $1$. વેજ લીસો હોવાથી અને તંત્ર (કણ + વેજ) પર કોઈ બાહ્ય આડા બળો લાગતા ન હોવાથી,તંત્રનું આડું વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
$2$. ધારો કે જ્યારે કણ મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર પહોંચે છે ત્યારે કણ અને વેજનો સામાન્ય આડો વેગ $v$ છે.
$3$. આડી દિશામાં વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $m v_0 = (m + M) v$,તેથી $v = \frac{m v_0}{m + M}$.
$4$. યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: કણની પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા એ તંત્રની અંતિમ ગતિ ઉર્જા અને $h$ ઊંચાઈ પર કણની સ્થિતિ ઉર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે.
$5$. $\frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} (m + M) v^2 + mgh$.
$6$. $v = \frac{m v_0}{m + M}$ ને ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} (m + M) \left( \frac{m v_0}{m + M} \right)^2 + mgh$.
$7$. $\frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} \frac{m^2 v_0^2}{m + M} + mgh$.
$8$. $mgh = \frac{1}{2} m v_0^2 \left( 1 - \frac{m}{m + M} \right) = \frac{1}{2} m v_0^2 \left( \frac{M}{m + M} \right)$.
$9$. $h$ માટે ઉકેલતા,આપણને $h = \left( \frac{M}{m + M} \right) \frac{v_0^2}{2g}$ મળે છે.

(C) $1$. સપાટી લીસી હોવાથી અને તંત્ર (કણ + વેજ) પર કોઈ બાહ્ય સમક્ષિતિજ બળ લાગતું ન હોવાથી,સમક્ષિતિજ દિશામાં તંત્રનું રેખીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
$2$. તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર અચળ વેગથી ગતિ કરે છે. તે સ્થિર નથી.
$3$. જ્યારે કણ મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર પહોંચે છે,ત્યારે તેનો સમક્ષિતિજ વેગ વેજ જેટલો જ હોય છે. ધારો કે આ વેગ $V$ છે. વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $mv_0 = (m+M)V$,તેથી $V = \frac{mv_0}{m+M}$.
$4$. જ્યારે કણ નીચે તરફ ગતિ કરવાનું શરૂ કરે છે,ત્યારે તે અંતે વેજને છોડી દેશે. સમક્ષિતિજ દિશામાં ઉર્જા અને વેગમાનના સંરક્ષણને કારણે,જ્યારે કણ સમક્ષિતિજ સપાટી પર પાછો ફરે છે,ત્યારે વેજની સાપેક્ષમાં તેનો વેગ તેના પ્રારંભિક વેગ $v_0$ જેટલા જ મૂલ્યનો પરંતુ વિરુદ્ધ દિશામાં હશે.
$5$. આમ,જ્યારે કણ સમક્ષિતિજ સપાટી પર પાછો ફરે છે ત્યારે વેજની સાપેક્ષમાં કણનો વેગ $v_0$ હોય છે.

(D) $1$. સપાટી લીસી હોવાથી અને તંત્ર (કણ + વેજ) પર કોઈ બાહ્ય સમક્ષિતિજ બળ લાગતું ન હોવાથી,તંત્રનું રેખીય વેગમાન સમક્ષિતિજ દિશામાં સંરક્ષિત રહે છે.
$2$. સમક્ષિતિજ દિશામાં પ્રારંભિક વેગમાન: $P_i = mv_0$.
$3$. સમક્ષિતિજ દિશામાં અંતિમ વેગમાન: કણ વિરુદ્ધ દિશામાં $v_1$ વેગથી ગતિ કરે છે અને વેજ મૂળ દિશામાં $v_2$ વેગથી ગતિ કરે છે,તેથી અંતિમ વેગમાન $P_f = Mv_2 - mv_1$ થાય.
$4$. રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $mv_0 = Mv_2 - mv_1$. આ વિકલ્પ $(B)$ સાથે સુસંગત છે.
$5$. અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી (લીસી સપાટી અને ઉર્જા સંરક્ષણ સૂચવે છે),ગતિ ઉર્જા પણ સંરક્ષિત રહે છે: $\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}Mv_2^2$.
$6$. વેગમાન સંરક્ષણ પરથી: $mv_0 + mv_1 = Mv_2$. વેજના સંદર્ભમાં,અભિગમનો સાપેક્ષ વેગ એ અલગ થવાના સાપેક્ષ વેગ જેટલો હોય છે. કણ $v_0$ વેગથી વેજ પાસે આવે છે અને વેજની સાપેક્ષે $v_1$ વેગથી દૂર જાય છે. આમ,$v_0 = v_1 + v_2$. તેથી,વિકલ્પ $(C)$ પણ સાચો છે.

(C) જ્યારે કણ વેજ પર $h$ ઊંચાઈએ પહોંચે છે,ત્યારે કણ અને વેજ બંને સમાન સમક્ષિતિજ વેગ $V$ થી ગતિ કરે છે. સમક્ષિતિજ દિશામાં વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $mv_0 = (m + M)V$,તેથી $V = \frac{mv_0}{m + M}$.
યાંત્રિક ઊર્જાના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}(m + M)V^2 + mgh$.
$V$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}(m + M) \left( \frac{mv_0}{m + M} \right)^2 + mgh$.
સાદું રૂપ આપતા: $\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2} \frac{m^2 v_0^2}{m + M} + mgh$.
$mgh = \frac{1}{2}mv_0^2 \left( 1 - \frac{m}{m + M} \right) = \frac{1}{2}mv_0^2 \left( \frac{M}{m + M} \right)$.
આમ,$\frac{1}{2}mv_0^2 = mgh \left( \frac{m + M}{M} \right)$.
આ પ્રશ્ન માટે વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(D) $1$. સમક્ષિતિજ દિશામાં વેગમાનનું સંરક્ષણ: $mv_0 = (m+M)v$,જ્યાં $v$ એ મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર કણ અને વેજનો સામાન્ય વેગ છે. તેથી,$v = \frac{m}{m+M} v_0$.
$2$. યાંત્રિક ઊર્જાનું સંરક્ષણ: $\frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} (m+M) v^2 + mgh$.
$3$. ઊર્જાના સમીકરણમાં $v$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} (m+M) \left( \frac{m}{m+M} v_0 \right)^2 + mgh = \frac{1}{2} \frac{m^2}{m+M} v_0^2 + mgh$.
$4$. વેજની ગતિઊર્જામાં થતો વધારો: $\Delta K_M = \frac{1}{2} M v^2 = \frac{1}{2} M \left( \frac{m}{m+M} v_0 \right)^2 = \frac{mM}{(m+M)^2} \frac{1}{2} m v_0^2$. આ વિકલ્પ $(C)$ સાથે સુસંગત છે.
$5$. આ પ્રકારના ભૌતિકવિજ્ઞાનના પ્રશ્નોના સંદર્ભમાં,વિકલ્પ $(D)$ એ સાચો જવાબ છે કારણ કે તે આ સિસ્ટમ માટે મેળવેલા સંબંધોનો સમૂહ દર્શાવે છે.

(D) ધારો કે દડો જ્યારે હાથ છોડે છે ત્યારે તેનો વેગ $v$ છે. દડાની હાથ છોડ્યા પછીની ગતિ માટે,$v_f^2 - v_i^2 = 2as$ સૂત્ર વાપરતા:
$0^2 - v^2 = 2(-10)(2)$
$v^2 = 40 \ m^2/s^2$
હવે,દડો હાથમાં હોય ત્યારની ગતિનો વિચાર કરીએ. ધારો કે પ્રવેગ $a'$ છે. $v^2 - u^2 = 2a's'$ સૂત્ર વાપરતા,જ્યાં $u=0$ અને $s'=0.2 \ m$ છે:
$40 - 0 = 2(a')(0.2)$
$40 = 0.4a'$
$a' = 100 \ m/s^2$
દડો હાથમાં હોય ત્યારે ન્યૂટનનો ગતિનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા:
$F - mg = ma'$
$F - (0.2)(10) = (0.2)(100)$
$F - 2 = 20$
$F = 22 \ N$

(A) ધારો કે બ્લોક સ્થિર થાય તે પહેલાં સ્પ્રિંગને $x$ મીટર જેટલી દબાવે છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,બ્લોકની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા એ સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિઊર્જા અને ઘર્ષણ વિરુદ્ધ થયેલા કાર્યના સરવાળા જેટલી હોય છે.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $(K_i)$ = $\frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times (4)^2 = 16 \ J$.
ઘર્ષણ વિરુદ્ધ થયેલું કાર્ય $(W_f)$ = $f_k \times x = 15x$.
સ્પ્રિંગની સ્થિતિઊર્જા $(U_s)$ = $\frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} \times 10,000 \times x^2 = 5,000x^2$.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $K_i = U_s + W_f$.
$16 = 5,000x^2 + 15x$.
$5,000x^2 + 15x - 16 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-15 + \sqrt{15^2 - 4(5,000)(-16)}}{2 \times 5,000} = \frac{-15 + \sqrt{225 + 320,000}}{10,000} \approx 0.055 \ m$.
$x = 5.5 \ cm$.

(B) સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,કણો એકબીજા સાથે જોડાઈ જાય છે અને સમાન વેગથી ગતિ કરે છે. તંત્રની ગતિ ઉર્જા સંપૂર્ણપણે નાશ પામતી નથી કારણ કે વેગમાન સંરક્ષણના કારણે અંતિમ તંત્ર પાસે કેટલીક ગતિ ઉર્જા બાકી રહે છે. તેથી,વિધાન $-1$ સાચું છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણનો સિદ્ધાંત એ એક પાયાનો નિયમ છે જે બાહ્ય બળોની ગેરહાજરીમાં તમામ પ્રકારની અથડામણો (સ્થિતિસ્થાપક કે અસ્થિતિસ્થાપક) માટે લાગુ પડે છે. તેથી,વિધાન $-2$ સાચું છે.
વિધાન $-2$ એ સમજાવે છે કે અથડામણ પછી તંત્ર શા માટે ઉર્જા જાળવી રાખે છે,કારણ કે વેગમાન સંરક્ષણ આપણને અંતિમ સમાન વેગ અને સંયુક્ત પદાર્થની બાકી રહેલી ગતિ ઉર્જાની ગણતરી કરવામાં મદદ કરે છે. તેથી,વિધાન $-2$ એ વિધાન $-1$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(C) વિધાન-$1$ સાચું છે. સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક સંઘાતમાં,ગતિઊર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે. જો બે કણો અથડાય,તો તેઓ વેગ અથવા વેગમાનની આપ-લે કરે છે,પરંતુ તંત્રની કુલ ગતિઊર્જા અચળ રહે છે. તેથી,તેઓ તેમની તમામ ઊર્જા ગુમાવતા નથી.
વિધાન-$2$ સાચું છે. રેખીય વેગમાન સંરક્ષણનો સિદ્ધાંત એ ન્યૂટનના ગતિના નિયમો પરથી તારવેલો મૂળભૂત નિયમ છે,જે બાહ્ય બળોની ગેરહાજરીમાં તમામ પ્રકારના સંઘાત (સ્થિતિસ્થાપક,અસ્થિતિસ્થાપક અથવા સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક) માટે સાચો ઠરે છે.
જોકે,વિધાન-$2$ એ એવું કારણ નથી કે શા માટે કણો સ્થિતિસ્થાપક સંઘાતમાં તેમની તમામ ઊર્જા ગુમાવતા નથી. ગતિઊર્જાનું સંરક્ષણ એ સ્થિતિસ્થાપક સંઘાતનો વિશિષ્ટ ગુણધર્મ છે જે કુલ ઊર્જાના વ્યયને અટકાવે છે. તેથી,વિધાન-$2$ એ વિધાન-$1$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

(C) તંત્રની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2} m u^2$ છે।
સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં, કણો એકબીજા સાથે ચોંટી જાય છે અને સામાન્ય વેગ $v = \frac{mu}{m+M}$ સાથે ગતિ કરે છે।
તંત્રની અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = \frac{1}{2} (m+M) v^2 = \frac{1}{2} (m+M) \left( \frac{mu}{m+M} \right)^2 = \frac{1}{2} \frac{m^2 u^2}{m+M} = \left( \frac{m}{m+M} \right) \left( \frac{1}{2} m u^2 \right)$ છે।
ઉર્જાનો વ્યય $\Delta K = K_i - K_f = \frac{1}{2} m u^2 - \left( \frac{m}{m+M} \right) \left( \frac{1}{2} m u^2 \right) = \left( 1 - \frac{m}{m+M} \right) \left( \frac{1}{2} m u^2 \right) = \left( \frac{M}{m+M} \right) \left( \frac{1}{2} m u^2 \right)$ છે।
આપેલ સમીકરણ $f \left( \frac{1}{2} m u^2 \right)$ સાથે સરખાવતા, આપણને $f = \frac{M}{m+M}$ મળે છે।
વિધાન-$1$ માં $f = \frac{m}{M+m}$ આપેલ છે, જે ખોટું છે।
વિધાન-$2$ સાચું છે કારણ કે સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં મહત્તમ ઉર્જાનો વ્યય થાય છે।

(B) $1000$ વખત દળ ઊંચકવા માટે થયેલું કાર્ય $W = n \times mgh$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $n = 1000$, $m = 10 \ kg$, $g = 9.8 \ m/s^2$, અને $h = 1 \ m$ છે.
$W = 1000 \times 10 \times 9.8 \times 1 = 98000 \ J$.
કાર્યક્ષમતા $\eta = 20\% = 0.2$ આપેલ હોવાથી, ચરબીમાંથી જરૂરી કુલ ઊર્જા ઇનપુટ $E_{in} = \frac{W}{\eta} = \frac{98000}{0.2} = 490000 \ J = 4.9 \times 10^5 \ J$ છે.
$1 \ kg$ ચરબી દ્વારા પૂરી પાડવામાં આવતી ઊર્જા $3.8 \times 10^7 \ J/kg$ છે.
તેથી, વપરાયેલી ચરબીનું દળ $M_{fat} = \frac{E_{in}}{3.8 \times 10^7} = \frac{4.9 \times 10^5}{3.8 \times 10^7} \approx 1.289 \times 10^{-2} \ kg = 12.89 \times 10^{-3} \ kg$ થાય.

(A) ધારો કે બંને કણોનું દળ $m$ છે. પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2}mv_0^2$ છે.
અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = K_i + 0.5K_i = 1.5K_i = \frac{3}{2} \left( \frac{1}{2}mv_0^2 \right) = \frac{3}{4}mv_0^2$ છે.
ધારો કે અંતિમ વેગ $v_1$ અને $v_2$ છે. ગતિઊર્જાના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$\frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}mv_2^2 = \frac{3}{4}mv_0^2 \implies v_1^2 + v_2^2 = \frac{3}{2}v_0^2 \quad (i)$
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$mv_0 = mv_1 + mv_2 \implies v_1 + v_2 = v_0 \quad (ii)$
સમીકરણ $(ii)$ નો વર્ગ કરતા:
$(v_1 + v_2)^2 = v_0^2 \implies v_1^2 + v_2^2 + 2v_1v_2 = v_0^2$
આમાં $(i)$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{3}{2}v_0^2 + 2v_1v_2 = v_0^2 \implies 2v_1v_2 = v_0^2 - \frac{3}{2}v_0^2 = -\frac{1}{2}v_0^2$
સાપેક્ષ વેગનો વર્ગ:
$(v_1 - v_2)^2 = v_1^2 + v_2^2 - 2v_1v_2 = \frac{3}{2}v_0^2 - \left( -\frac{1}{2}v_0^2 \right) = \frac{3}{2}v_0^2 + \frac{1}{2}v_0^2 = 2v_0^2$
તેથી,સાપેક્ષ વેગનું મૂલ્ય $|v_1 - v_2| = \sqrt{2}v_0$ થાય.

(B) બળ $F$ એ સ્થિતિ ઉર્જા $U$ ના ઋણ વિકલન દ્વારા મળે છે:
$F = -\frac{dU}{dr} = -\frac{d}{dr} \left( -\frac{k}{2r^2} \right) = -\frac{k}{r^3}$.
કણ $a$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરતો હોવાથી,કેન્દ્રગામી બળનું મૂલ્ય આકર્ષી બળના મૂલ્ય જેટલું હોવું જોઈએ:
$\frac{mv^2}{a} = \frac{k}{a^3} \Rightarrow mv^2 = \frac{k}{a^2}$.
ગતિ ઉર્જા $(K.E.)$ નીચે મુજબ છે:
$K.E. = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{k}{a^2} \right) = \frac{k}{2a^2}$.
$r = a$ પર સ્થિતિ ઉર્જા $(P.E.)$ છે:
$P.E. = -\frac{k}{2a^2}$.
કુલ ઉર્જા $(E)$ એ ગતિ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જાનો સરવાળો છે:
$E = K.E. + P.E. = \frac{k}{2a^2} + \left( -\frac{k}{2a^2} \right) = 0$.

(A) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,અસંરક્ષી બળો (ઘર્ષણ) દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય એ તંત્રની કુલ યાંત્રિક ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
પ્રારંભિક યાંત્રિક ઊર્જા $E_i = mgh$.
અંતિમ યાંત્રિક ઊર્જા $E_f = mgh'$.
ઘર્ષણ બળ $f_k = \mu mg$ દ્વારા કુલ અંતર $d$ પર કરવામાં આવેલું કાર્ય $W_f = -f_k \cdot d = -\mu mgd$ છે.
સ્પ્રિંગ એ સંરક્ષી બળ હોવાથી,જ્યારે તે બ્લોકને પાછો ધકેલે છે ત્યારે તેમાં સંગ્રહિત ઊર્જા પાછી મળે છે.
તેથી,યાંત્રિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર એ ઘર્ષણ દ્વારા થયેલા કાર્ય જેટલો હોય છે:
$E_f - E_i = W_f$
$mgh' - mgh = -\mu mgd$
$mgh' = mgh - \mu mgd$