Wave Equation and Characteristics of Waves Questions in Gujarati

(A) અચળ કળા ધરાવતા બિંદુની ગતિને ફેઝ વેલોસિટી (કળા વેગ) દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
$y(x, t) = A \sin(kx - \omega t + \phi)$ સમીકરણ દ્વારા દર્શાવેલ તરંગ માટે,કળા $\Phi = kx - \omega t + \phi$ છે.
અચળ કળા માટે,$\frac{d\Phi}{dt} = 0$ થાય.
તેથી,$k \frac{dx}{dt} - \omega = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dx}{dt} = \frac{\omega}{k} = v_p$.
અહીં,$v_p$ એ ફેઝ વેલોસિટી છે,જે તે ઝડપ દર્શાવે છે જેના પર તરંગની ભાત (અથવા અચળ કળાનું બિંદુ) અવકાશમાં પ્રસરણ પામે છે.

(N/A) તરંગ ઝડપ $(v)$ ને તરંગ દ્વારા એકમ સમયમાં કાપેલ અંતર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આવર્તી તરંગ માટે,એક આવર્તકાળ $(T)$ માં કાપેલું અંતર એક તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ જેટલું હોય છે.
તેથી,તરંગ ઝડપ એ તરંગલંબાઈ અને આવર્તકાળના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v = \frac{\lambda}{T}$
જ્યાં:
$v$ = તરંગ ઝડપ
$\lambda$ = તરંગલંબાઈ
$T$ = આવર્તકાળ

(N/A) પ્રગામી તરંગની તરંગ ઝડપ $(v)$ એ તેની આવૃત્તિ $(f)$ અને તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,એટલે કે $v = f \lambda$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi f$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $f = \frac{\omega}{2\pi}$.
આપણે એ પણ જાણીએ છીએ કે કોણીય તરંગ સંખ્યા $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = \frac{2\pi}{k}$.
આ પદોને તરંગ ઝડપના સૂત્રમાં મૂકતા:
$v = \left( \frac{\omega}{2\pi} \right) \times \left( \frac{2\pi}{k} \right)$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને સંબંધ મળે છે:
$v = \frac{\omega}{k}$.

(N/A) તરંગની ઝડપ $(v)$ એટલે તરંગ દ્વારા એકમ સમયમાં કાપેલું અંતર.
આવર્તિત તરંગ માટે,એક આવર્તકાળ $(T)$ માં કપાયેલું અંતર એ એક તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ જેટલું હોય છે.
તેથી,તરંગની ઝડપ એ તરંગલંબાઈ અને આવર્તકાળનો ગુણોત્તર છે: $v = \frac{\lambda}{T}$.
આવૃત્તિ $(f)$ એ આવર્તકાળનો વ્યસ્ત હોવાથી $(f = \frac{1}{T})$,આપણે આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકી શકીએ છીએ.
આમ,તરંગલંબાઈ અને આવૃત્તિના સંદર્ભમાં તરંગની ઝડપનું સમીકરણ: $v = f \lambda$ છે.

(A) જ્યારે તરંગનું પરાવર્તન મુક્ત છેડા (અથવા ખુલ્લી સીમા) પરથી થાય છે, ત્યારે સીમા પરના કણો ગતિ કરવા માટે મુક્ત હોય છે.
આ કિસ્સામાં, પરાવર્તિત તરંગ એ આપાત તરંગ સાથે સમાન કળામાં હોય છે.
તેથી, કળામાં થતો ફેરફાર $0$ રેડિયન છે.

(C) જ્યારે તરંગ એક માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં જાય છે,ત્યારે તરંગની આવૃત્તિ માત્ર તરંગના ઉદગમ પર આધાર રાખે છે.
ઉદગમ સમાન રહેતું હોવાથી,આવૃત્તિ $(f)$ અચળ રહે છે.
પરિણામે,કોણીય આવૃત્તિ $(\omega = 2\pi f)$ અને આવર્તકાળ $(T = 1/f)$ પણ અચળ રહે છે.
જોકે,નવા માધ્યમના વક્રીભવનાંક અથવા ગુણધર્મોને આધારે વેગ $(v)$ અને તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ બદલાય છે.

(A) તરંગમાં,શૃંગ એ મહત્તમ ધન સ્થાનાંતરનું બિંદુ દર્શાવે છે અને ત્યારબાદ આવતો ગર્ત એ મહત્તમ ઋણ સ્થાનાંતરનું બિંદુ દર્શાવે છે.
આ બે બિંદુઓ અડધી તરંગલંબાઈ જેટલા અંતરે આવેલા હોય છે,જે $\frac{\lambda}{2}$ અંતરને અનુરૂપ છે.
આખી તરંગલંબાઈ $\lambda$ એ $2\pi \ rad$ ના કળા ફેરફારને અનુરૂપ હોવાથી,$\frac{\lambda}{2}$ અંતર એ $\frac{2\pi}{2} = \pi \ rad$ ના કળા તફાવતને અનુરૂપ છે.

(N/A) ધારો કે એક લાંબી દોરી આડી પકડેલી છે અને તેનો એક છેડો જડિત છે. જો આપણે દોરીના મુક્ત છેડાને આવર્ત રીતે ઉપર-નીચે હલાવીએ,તો આકૃતિ $(a)$ માં દર્શાવ્યા મુજબ $+x$-દિશામાં પ્રસરતું તરંગ ઉત્પન્ન થાય છે.
આકૃતિમાં દર્શાવેલ વક્રો અનુક્રમે $t=0$ અને $t=\Delta t$ સમયે દોરીનું સ્થાનાંતર દર્શાવે છે જ્યારે આ સાઈનસૉઈડલ તરંગ $+x$-દિશામાં પ્રસરતું હોય.
આકૃતિ $(b)$ માં,વક્ર $x=0$ આગળ સ્થાનાંતરનો સમય સાથેનો ફેરફાર દર્શાવે છે.
તરંગનું $+x$-દિશામાં સ્થાનાંતર $y$-દિશામાં થાય છે,તેથી તેનું સમીકરણ:
$y(x, t) = a \sin(kx - \omega t)$
જ્યાં $a=$ તરંગનો કંપવિસ્તાર,$\omega = 2\pi\nu$ કોણીય આવૃત્તિ અને $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ તરંગ સદિશ છે.
આ સમીકરણ મુજબ,દોરીના કણોનું સ્થાનાંતર ($y$-દિશામાં) તરંગના પ્રસરણની દિશાને લંબ છે,તેથી તેને લંબગત તરંગ (transverse wave) કહેવાય છે. અહીં સ્થાનાંતર $y$-દિશામાં હોવાથી તેને $y$-ધ્રુવીભૂત તરંગ કહેવાય છે.
વ્યાખ્યા: જો માધ્યમના કણોનું સ્થાનાંતર તરંગના પ્રસરણની દિશાને લંબ એક જ સીધી રેખામાં મર્યાદિત હોય,તો તે તરંગને રેખીય રીતે ધ્રુવીભૂત તરંગ કહેવાય છે. દોરી પરનો દરેક બિંદુ સીધી રેખામાં ગતિ કરતું હોવાથી,આ તરંગને રેખીય રીતે ધ્રુવીભૂત તરંગ કહેવામાં આવે છે. દોરી હંમેશા $xy$-સમતલમાં રહેતી હોવાથી તેને સમતલ ધ્રુવીભૂત તરંગ પણ કહેવાય છે.

(A) $(i)$ સાચું. લંબગત તરંગોમાં,કણો તરંગના પ્રસરણની દિશાને સમાંતર અથવા પ્રતિ-સમાંતર દોલન કરે છે,તેથી ખૂણો $0^{\circ}$ અથવા $180^{\circ}$ હોય છે.
$(ii)$ ખોટું. લંબગત તરંગોમાં,કણો તરંગના પ્રસરણની દિશાને લંબ દોલન કરે છે,તેથી ખૂણો $\frac{\pi}{2} \text{ rad}$ $(90^{\circ})$ હોય છે.
$(iii)$ ખોટું. સમાન કળા ધરાવતા બે ક્રમિક કણો વચ્ચેના અંતરને તરંગલંબાઈ કહેવાય છે. જો કળા તફાવત $2\pi \text{ rad}$ તરીકે સ્પષ્ટ ન હોય,તો વિધાન અધૂરું છે.
$(iv)$ ખોટું. જ્યારે તરંગ ઘટ્ટ માધ્યમની સપાટી પરથી પરાવર્તિત થાય છે,ત્યારે તેની કળામાં $\pi \text{ rad}$ જેટલો વધારો થાય છે. પાતળા માધ્યમથી પરાવર્તન દરમિયાન કળામાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.

(N/A) તરંગ સમીકરણ $y = 100 \cos (100\pi t + 0.5x)$ એ $-x$ દિશામાં પ્રસરતું તરંગ દર્શાવે છે કારણ કે $t$ અને $x$ ના સહગુણકો સમાન ચિહ્ન ધરાવે છે.
$(b)$ સ્થિત તરંગ $y = 5 \cos (4x) \sin (20t)$ છે કારણ કે તે $y = A \cos (kx) \sin (\omega t)$ ના સ્વરૂપમાં છે,જે સ્થિત તરંગ દર્શાવે છે.
$(c)$ સમીકરણ $y = 10 \cos (252\pi t) \cos (250\pi t)$ એ બીટ્સ દર્શાવે છે,કારણ કે તે થોડી અલગ આવૃત્તિઓ ધરાવતા બે કોસાઇન વિધેયોનો ગુણાકાર છે,જે બીટ્સ ઘટનાનું લાક્ષણિક સ્વરૂપ છે.
$(d)$ સમીકરણ $y = 4 \sin (5x - t/2) + 3 \cos (5x - t/2)$ એ $+x$ દિશામાં ગતિ કરતું તરંગ દર્શાવે છે કારણ કે $t$ અને $x$ ના સહગુણકો વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવે છે.

(A) આપેલ તરંગ સમીકરણ $y = 5 \cos(20\pi t - 0.016\pi x + 7\pi)$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $y = a \cos(\omega t - kx + \phi)$ સાથે સરખાવતા:
$k = 0.016\pi \ rad/cm$ અને $\omega = 20\pi \ rad/s$ મળે છે.
$(a)$ $\Delta x = 4 \ m = 400 \ cm$ માટે,કળા તફાવત $\Delta \phi = k \Delta x = 0.016\pi \times 400 = 6.4\pi \ rad$ થાય.
$(b)$ $\Delta x = 0.5 \ m = 50 \ cm$ માટે,કળા તફાવત $\Delta \phi = k \Delta x = 0.016\pi \times 50 = 0.8\pi \ rad$ થાય.
$(c)$ $\Delta x = \frac{\lambda}{2}$ માટે,કળા તફાવત $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{2} = \pi \ rad$ થાય.
$(d)$ $\Delta x = \frac{3\lambda}{4}$ માટે,કળા તફાવત $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{3\lambda}{4} = 1.5\pi \ rad$ થાય.
$(e)$ નિશ્ચિત સ્થાન પર રહેલા કણ માટે,બે સમય $t_1$ અને $t_2$ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\Delta \phi = \omega(t_2 - t_1)$ છે.
અહીં $t_1 = T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{20\pi} = 0.1 \ s$ અને $t_2 = 5 \ s$ છે,
તેથી $\Delta \phi = 20\pi(5 - 0.1) = 20\pi(4.9) = 98\pi \ rad$ થાય.

(D) બે ક્રમિક શૃંગો વચ્ચેનું અંતર તરંગલંબાઈ $\lambda$ છે. જો તરંગો ક્રમિક ન હોય,તો બે શૃંગો વચ્ચેનું અંતર $n_2 \lambda$ થાય,જ્યાં $n_2$ પૂર્ણાંક છે.
આપેલ છે કે $n_2 \lambda = 5 \, m \implies \lambda = \frac{5}{n_2}$.
એક શૃંગ અને એક ગર્ત વચ્ચેનું અંતર $(2n_1 + 1) \frac{\lambda}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n_1$ પૂર્ણાંક છે.
આપેલ છે કે $(2n_1 + 1) \frac{\lambda}{2} = 1.5 \, m \implies (2n_1 + 1) \lambda = 3 \, m \implies \lambda = \frac{3}{2n_1 + 1}$.
$\lambda$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{5}{n_2} = \frac{3}{2n_1 + 1} \implies 5(2n_1 + 1) = 3n_2 \implies 10n_1 + 5 = 3n_2$.
$n_1 = 1$ માટે,$3n_2 = 15 \implies n_2 = 5$,તેથી $\lambda = \frac{5}{5} = 1 \, m$.
$n_1 = 4$ માટે,$3n_2 = 45 \implies n_2 = 15$,તેથી $\lambda = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} \, m$.
$n_1 = 7$ માટે,$3n_2 = 75 \implies n_2 = 25$,તેથી $\lambda = \frac{5}{25} = \frac{1}{5} \, m$.
આમ,શક્ય તરંગલંબાઈઓ $1, \frac{1}{3}, \frac{1}{5}, \dots$ છે.

(A) ગતિ કરતા તરંગનું સામાન્ય સમીકરણ $Y(x, t) = A \sin(kx - \omega t)$ છે.
આપેલ આવૃત્તિ $f = 245 \,Hz$,ઝડપ $v = 300 \,ms^{-1}$,અને કુલ પથ લંબાઈ (પીક-ટુ-પીક) $= 6 \,cm$.
કંપવિસ્તાર $A = \frac{6 \,cm}{2} = 3 \,cm = 0.03 \,m$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi f = 2 \times 3.14 \times 245 \approx 1538.6 \,rad/s \approx 1.5 \times 10^{3} \,rad/s$.
તરંગ સંખ્યા $k = \frac{\omega}{v} = \frac{1538.6}{300} \approx 5.12 \,m^{-1} \approx 5.1 \,m^{-1}$.
આ કિંમતો મૂકતા,સમીકરણ $Y(x, t) = 0.03 \sin(5.1 x - 1.5 \times 10^{3} t)$ મળે છે.

(A) પ્રગામી તરંગને $y = f(x \pm vt)$ સ્વરૂપના વિધેય દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
તરંગ પ્રગામી તરંગ હોય તે માટે,ચલ $x$ અને $t$ વિધેયની અંદર $(x \pm vt)$ ના સંયોજનમાં હોવા જોઈએ.
વિકલ્પ $A$ માં,$y = A \sin (15 x - 2 t)$,જેને $y = A \sin [15(x - \frac{2}{15}t)]$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે. આ $f(x - vt)$ સ્વરૂપ સાથે મેળ ખાય છે,જ્યાં $v = \frac{2}{15}$ છે.
વિકલ્પ $B$,$C$,અને $D$ પ્રગામી તરંગ દર્શાવતા નથી કારણ કે તેઓ $(x \pm vt)$ ના વિધેય હોવાની શરતનું પાલન કરતા નથી.

(A) ધન $x$-દિશામાં પ્રસરતા અને આકાર ન બદલાતા તરંગનું સામાન્ય સમીકરણ $y(x, t) = f(x - vt)$ છે,જ્યાં $v$ એ તરંગનો વેગ છે.
$t=0$ સમયે,સમીકરણ $y = f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ છે.
$t=1 \text{ s}$ સમયે,સમીકરણ $y = f(x - v(1)) = \frac{1}{1+(x-v)^2}$ થાય.
આપણને આપેલ છે કે $t=1 \text{ s}$ સમયે,સમીકરણ $y = \frac{1}{1+(x-2)^2}$ છે.
$t=1 \text{ s}$ માટે બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને $x - v = x - 2$ મળે છે.
તેથી,$v = 2 \text{ m/s}$.

(B) તરંગનું સમીકરણ $y = A \sin 2 \pi (nt - \frac{x}{\lambda})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,કંપવિસ્તાર $A = 10 \, cm$ છે.
મહત્તમ કણ વેગ $V_{p, \text{max}} = \omega A = (2 \pi n) A$ છે.
તરંગ વેગ $V_{\text{wave}} = n \lambda = \frac{\omega}{k} = \frac{2 \pi n}{2 \pi / \lambda} = n \lambda$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$V_{p, \text{max}} = 4 V_{\text{wave}}$.
સમીકરણો મૂકતા: $(2 \pi n) A = 4 (n \lambda)$.
સાદુરૂપ આપતા,આપણને $2 \pi A = 4 \lambda$ મળે છે.
તેથી,$\lambda = \frac{2 \pi A}{4}$.
$A = 10 \, cm$ મૂકતા: $\lambda = \frac{2 \pi (10)}{4} = \frac{20 \pi}{4} = 5 \pi \, cm$.

(A) આપેલ તરંગ સમીકરણ $y = A \sin(\omega t - kx)$ છે,જ્યાં કંપવિસ્તાર $A = 2 \ cm$ છે.
મહત્તમ કણનો વેગ $v_{p,max} = A\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તરંગનો વેગ (ફેઝ વેલોસિટી) $v_w = \frac{\omega}{k}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,તરંગનો વેગ મહત્તમ કણના વેગ જેટલો છે:
$v_w = v_{p,max}$
$\frac{\omega}{k} = A\omega$
બંને બાજુથી $\omega$ દૂર કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{1}{k} = A$
કારણ કે $k = \frac{2\pi}{\lambda}$,આપણે આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકીએ છીએ:
$\frac{\lambda}{2\pi} = A$
$\lambda = 2\pi A$
અહીં $A = 2 \ cm$ આપેલ હોવાથી:
$\lambda = 2\pi(2) = 4\pi \ cm$.

(C) પ્રગામી તરંગના સમીકરણનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $y = A \sin(\omega t - kx)$ છે.
આપેલ સમીકરણ: $y = 0.5 \sin \left( \frac{2 \pi}{\lambda} (400 t - x) \right) = 0.5 \sin \left( \frac{800 \pi}{\lambda} t - \frac{2 \pi}{\lambda} x \right)$.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ અને તરંગ સંખ્યા $k$ મળે છે:
$\omega = \frac{800 \pi}{\lambda}$
$k = \frac{2 \pi}{\lambda}$
તરંગનો વેગ $v$ એ કોણીય આવૃત્તિ અને તરંગ સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે:
$v = \frac{\omega}{k} = \frac{800 \pi / \lambda}{2 \pi / \lambda} = \frac{800 \pi}{2 \pi} = 400 \, m/s$.
તેથી,તરંગનો વેગ $400 \, m/s$ છે.

(B) ગતિ કરતા તરંગનું સામાન્ય સમીકરણ $y = a \sin(\omega t - kx + \phi_0)$ છે.
$t=0$ અને $x=0$ સમયે,$y=0$ છે,જે સૂચવે છે કે $\phi_0 = 0$.
તેથી,તરંગનું સમીકરણ $y = a \sin(\omega t - kx)$ છે.
આપેલ આવૃત્તિ $f = 500 \,Hz$ અને ઝડપ $v = 100 \,m/s$ માટે,આપણે ગણતરી કરીએ છીએ:
$\omega = 2\pi f = 2\pi \times 500 = 1000\pi \,rad/s$.
$k = \frac{\omega}{v} = \frac{1000\pi}{100} = 10\pi \,m^{-1}$.
તેથી,$y = a \sin(1000\pi t - 10\pi x)$.
$t=0$ અને $x=0.25 \,m$ સમયે,$y = 0.02 \,m$ છે:
$0.02 = a \sin(0 - 10\pi \times 0.25) = a \sin(-2.5\pi) = a \sin(-2\pi - 0.5\pi) = -a \sin(0.5\pi) = -a(1)$.
આમ,$a = -0.02 \,m$.
તરંગનું સમીકરણ $y = -0.02 \sin(1000\pi t - 10\pi x)$ છે.
$t = 5 \times 10^{-4} \,s$ અને $x = 0.2 \,m$ સમયે:
$y = -0.02 \sin(1000\pi \times 5 \times 10^{-4} - 10\pi \times 0.2) = -0.02 \sin(0.5\pi - 2\pi) = -0.02 \sin(-1.5\pi) = -0.02 \sin(0.5\pi) = -0.02 \times 1 = -0.02 \,m$.

(C) પ્રગામી તરંગનું સામાન્ય સમીકરણ $y = f(ax \pm bt)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણ $y = \frac{5}{(4x + 6t)^2}$ ની સરખામણી પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે કરતા,આપણે $x$ અને $t$ ના સહગુણકો મેળવીએ છીએ.
તરંગ પલ્સનો વેગ $v$ એ $t$ ના સહગુણક અને $x$ ના સહગુણકના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે,એટલે કે $v = \left| \frac{t \text{ નો સહગુણક}}{x \text{ નો સહગુણક}} \right|$.
અહીં,$t$ નો સહગુણક $6$ છે અને $x$ નો સહગુણક $4$ છે.
તેથી,$v = \frac{6}{4} = 1.5 \, m/s$.
દિશામાં ઋણ નિશાની સૂચવે છે કે પલ્સ ઋણ $x$-દિશામાં ગતિ કરી રહ્યું છે.

(A) આપેલ તરંગનું સમીકરણ $x = 4 \cos \left(8t - \frac{y}{2}\right)$ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $x = A \cos (\omega t - ky)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 8 \text{ rad/s}$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ અને આવૃત્તિ $f$ વચ્ચેનો સંબંધ $\omega = 2\pi f$ છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા:
$8 = 2\pi f$
$f = \frac{8}{2\pi} = \frac{4}{\pi} \text{ s}^{-1}$.
આમ,તરંગની આવૃત્તિ $\frac{4}{\pi} \text{ s}^{-1}$ છે.

(D) $y = A \sin(kx - \omega t)$ દ્વારા દર્શાવેલ પ્રગામી તરંગ માટે,કણનો તાત્ક્ષણિક વેગ $u$ એ સમયની સાપેક્ષે સ્થાનાંતરનું આંશિક વિકલન છે:
$u = \frac{\partial y}{\partial t} = -A\omega \cos(kx - \omega t)$
તરંગ સ્વરૂપનો ઢાળ એ સ્થાનની સાપેક્ષે સ્થાનાંતરનું આંશિક વિકલન છે:
$\text{ઢાળ} = \frac{\partial y}{\partial x} = Ak \cos(kx - \omega t)$
તરંગનો વેગ $v = \frac{\omega}{k}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\omega = vk$.
$u$ ના સમીકરણમાં $\omega = vk$ મૂકતા:
$u = -A(vk) \cos(kx - \omega t)$
$u = -v \times [Ak \cos(kx - \omega t)]$
$u = -v \times (\text{તરંગ સ્વરૂપનો ઢાળ})$
બંને બાજુ માન લેતા:
$|u| = |v| \times |\text{તરંગ સ્વરૂપનો ઢાળ}|$
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(A) સરળ આવર્ત તરંગમાં કણનું સ્થાનાંતર $y = A \sin(\omega t - kx)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણનો વેગ $v = \frac{dy}{dt} = A\omega \cos(\omega t - kx)$ છે.
$x_1$ અને $x_2$ સ્થાન પર રહેલા બે કણોનો વિચાર કરો. તેમના વેગ $v_1 = A\omega \cos(\omega t - kx_1)$ અને $v_2 = A\omega \cos(\omega t - kx_2)$ છે.
ઝડપ સમાન હોવા માટે,$|v_1| = |v_2|$,જેનો અર્થ છે કે $|\cos(\omega t - kx_1)| = |\cos(\omega t - kx_2)|$.
આ શરત ત્યારે સંતોષાય છે જ્યારે કળાનો તફાવત $\pi/2$ અથવા $\pi$ હોય. ન્યૂનતમ અંતર $\pi/2$ ના કળા તફાવતને અનુરૂપ છે.
તેથી,$k(x_2 - x_1) = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x = \frac{\pi}{2}$.
$\Delta x$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\Delta x = \frac{\lambda}{4}$ મળે છે.

(C) તરંગની આવૃત્તિ તેના ઉદગમ સ્થાન દ્વારા નક્કી થાય છે અને તે જે માધ્યમમાં ગતિ કરે છે અથવા જે આંતર સપાટીનો સામનો કરે છે તેનાથી સ્વતંત્ર રહે છે.
જ્યારે તરંગ માધ્યમ $1$ માંથી માધ્યમ $2$ માં ગતિ કરે છે,ત્યારે પરાવર્તન અને વક્રીભવન બંને થાય છે.
જોકે માધ્યમોના વક્રીભવનાંકના આધારે તરંગની ઝડપ અને તરંગલંબાઈ બદલાઈ શકે છે,પરંતુ આવૃત્તિ બદલાતી નથી.
તેથી,વક્રીભૂત (transmitted) તરંગની આવૃત્તિ એ આપાત તરંગની આવૃત્તિ જેટલી જ હોય છે.
વિકલ્પ $(c)$ સાચો છે.

(A) વિધેય $y = f(x, t)$ પ્રગામી તરંગ દર્શાવે છે જો અને માત્ર જો તેને $f(x \pm vt)$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય,જ્યાં $v$ એ તરંગની ઝડપ છે.
$(a)$ $y = (x^2 - vt)^2$: આને $f(x \pm vt)$ સ્વરૂપમાં લખી શકાતું નથી કારણ કે $x$ પદનો વર્ગ છે જ્યારે $vt$ પદ રેખીય છે. તેથી,તે પ્રગામી તરંગ દર્શાવી શકતું નથી.
$(b)$ $y = \log \left[ \frac{x+vt}{x_0} \right]$: આ $f(x+vt)$ સ્વરૂપમાં છે. તે પ્રગામી તરંગ દર્શાવે છે.
$(c)$ $y = e^{-\left( \frac{x+vt}{x_0} \right)^2}$: આ $f(x+vt)$ સ્વરૂપમાં છે. તે પ્રગામી તરંગ દર્શાવે છે.
$(d)$ $y = \frac{1}{x+vt}$: આ $f(x+vt)$ સ્વરૂપમાં છે. તે પ્રગામી તરંગ દર્શાવે છે.
તેથી,માત્ર $(a)$ પ્રગામી તરંગ દર્શાવી શકતું નથી.

(C) આપેલ છે: આવૃત્તિ $f = 500 \,Hz$,ઝડપ $v = 350 \,m/s$,અંતર $\Delta x = 1 \,m$.
તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{350}{500} = 0.7 \,m$.
બે બિંદુઓ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta \phi = \frac{2\pi}{0.7} \times 1 = \frac{20\pi}{7} \approx 2.857\pi$.
કળા તફાવત $2\pi$ ના આવર્તન સાથે પુનરાવર્તિત થાય છે,તેથી $\Delta \phi \pmod{2\pi} = \frac{6\pi}{7} \approx 0.857\pi$.
જો અંતર $0.35 \,m$ લેવામાં આવે,તો કળા તફાવત $\pi$ મળે છે,જે આપેલા વિકલ્પો સાથે સુસંગત છે.

(C) આપેલ પ્રગામી તરંગનું સમીકરણ $y = a \sin 2 \pi (p t - \frac{x}{5})$ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y = a \sin (\omega t - kx)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega = 2 \pi p$ અને $k = \frac{2 \pi}{5}$ મળે છે.
કણનો મહત્તમ વેગ $v_{max} = a \omega = a (2 \pi p) = 2 \pi a p$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તરંગનો વેગ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{2 \pi p}{2 \pi / 5} = 5 p$ છે.
તેથી,કણના મહત્તમ વેગ અને તરંગના વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_{max}}{v} = \frac{2 \pi a p}{5 p} = \frac{2 \pi a}{5}$ થાય છે.

(A) ટ્રાવેલિંગ વેવ પલ્સનું સામાન્ય સમીકરણ $y = f(ax + bt)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણ: $y = \frac{4}{3x^2 + 48t^2 + 24xt + 2}$.
આપણે છેદમાં $x$ અને $t$ વાળા પદોને સામાન્ય કાઢીને ફરીથી લખી શકીએ છીએ:
$3x^2 + 24xt + 48t^2 = 3(x^2 + 8xt + 16t^2) = 3(x + 4t)^2$.
આ કિંમતને સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = \frac{4}{3(x + 4t)^2 + 2}$.
આ $f(x + vt)$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં તરંગ વિધેય એ ઋણ $x$-દિશામાં ગતિ કરતી પલ્સ દર્શાવે છે.
$(x + 4t)$ ની સરખામણી $(x - vt)$ સાથે કરતા,આપણે વેગનું મૂલ્ય $v = 4 \, m/s$ તરીકે મેળવીએ છીએ.

(A) આપેલ સમીકરણ $y(x, t) = e^{-(ax^2 + bt^2 + 2\sqrt{ab}xt)}$ છે.
આને $y(x, t) = e^{-(\sqrt{a}x + \sqrt{b}t)^2}$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
પ્રગામી તરંગ દર્શાવતું તરંગ વિધેય સામાન્ય રીતે $f(kx + \omega t)$ અથવા $f(kx - \omega t)$ સ્વરૂપમાં હોય છે.
આને $f(kx + \omega t)$ સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $k = \sqrt{a}$ અને $\omega = \sqrt{b}$,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે તરંગ $-x$ દિશામાં ગતિ કરી રહ્યું છે.
તરંગની ઝડપ $v$ એ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} = \sqrt{\frac{b}{a}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,તરંગ $\sqrt{\frac{b}{a}}$ ની ઝડપ સાથે $-x$ દિશામાં ગતિ કરે છે.

(C) પ્રગામી તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y(x, t) = A \sin(kx - \omega t)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y(x, t) = 0.05 \sin(8x - 4t)$ સાથે સરખાવતા:
આપણને તરંગ સંખ્યા $k = 8 \; m^{-1}$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 4 \; rad/s$ મળે છે.
તરંગનો વેગ $v$ એ કોણીય આવૃત્તિ અને તરંગ સંખ્યાના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v = \frac{\omega}{k}$
કિંમતો મૂકતા:
$v = \frac{4}{8} = 0.5 \; m/s$.
તેથી,તરંગનો વેગ $0.5 \; m/s$ છે.

(D) કળા તફાવત $\Delta \phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$.
અહીં $\Delta \phi = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3}$ રેડિયન અને $\Delta x = 6.0\,m$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{\lambda} \times 6$.
તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટે ઉકેલતા: $\lambda = 2 \times 6 \times 3 = 36\,m$.
તરંગનો વેગ $V = f \lambda$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આવૃત્તિ $f = 500\,Hz$ આપેલ હોવાથી,$V = 500\,Hz \times 36\,m = 18000\,m/s$.
તેને $km/s$ માં ફેરવતા: $V = \frac{18000}{1000}\,km/s = 18\,km/s$.

(D) લંબગત હાર્મોનિક તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y(x, t) = A \sin(\omega t + kx)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y(x, t) = 5 \sin(6t + 0.003x)$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 6\,rad/s$.
તરંગ સંખ્યા $k = 0.003\,cm^{-1}$.
$k$ ને $m^{-1}$ માં ફેરવવા માટે,આપણે $100$ વડે ગુણીશું કારણ કે $1\,cm^{-1} = 100\,m^{-1}$.
તેથી,$k = 0.003 \times 100 = 0.3\,m^{-1}$.
તરંગનો વેગ $v$ એ સૂત્ર $v = \frac{\omega}{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$v = \frac{6}{0.3} = 20\,ms^{-1}$.

(B) તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $Y = A \sin (\omega t - kx + \phi)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $Y = 10^{-2} \sin 2 \pi (160 t - 0.5 x + \frac{\pi}{4})$ ની સરખામણી પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે કરતા,આપણને મળે છે:
$\omega = 2 \pi \times 160 \, rad/s$
$k = 2 \pi \times 0.5 \, m^{-1}$
તરંગની ઝડપ $v$ એ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{2 \pi \times 160}{2 \pi \times 0.5} = \frac{160}{0.5} = 320 \, m/s$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઝડપને $m/s$ માંથી $km/h$ માં રૂપાંતરિત કરવા માટે,આપણે $\frac{18}{5}$ વડે ગુણીએ છીએ:
$v = 320 \times \frac{18}{5} = 64 \times 18 = 1152 \, km/h$.

(B) આપેલ સમતલ પ્રગામી તરંગનું સમીકરણ $y = 2 \cos 2 \pi (330 t - x) \ m$ છે.
સમતલ પ્રગામી તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \cos (\omega t - kx)$ છે.
આપેલ સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા:
$y = 2 \cos (2 \pi \times 330 t - 2 \pi x)$
અહીં,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi \times 330 \ rad/s$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega = 2 \pi f$,જ્યાં $f$ એ તરંગની આવૃત્તિ છે.
$\omega$ માટેના બંને પદોને સરખાવતા:
$2 \pi f = 2 \pi \times 330$
$f = 330 \ Hz$.
તેથી,તરંગની આવૃત્તિ $330 \ Hz$ છે.

(B) આપેલ છે: તરંગની ઝડપ $v = 10 \text{ cm/s} = 0.1 \text{ m/s}$,તરંગલંબાઈ $\lambda = 0.5 \text{ m}$,કંપવિસ્તાર $A = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi v}{\lambda} = \frac{2\pi \times 0.1}{0.5} = 0.4\pi \text{ rad/s} = \frac{2\pi}{5} \text{ rad/s}$.
સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $y = A \sin(kx - \omega t + \phi)$ છે.
સ્થાનાંતર $y = 5 \text{ cm} = 0.05 \text{ m}$ માટે,$0.05 = 0.1 \sin(\theta)$,તેથી $\sin(\theta) = 0.5$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 30^{\circ}$ અથવા $150^{\circ}$.
આકૃતિ પરથી,બિંદુ $P$ નીચે તરફના ઢાળ પર છે,તેથી તેનો વેગ $v_y = \frac{dy}{dt}$ ઋણ હોવો જોઈએ.
કણનો વેગ $v_y = A\omega \cos(\theta)$ છે.
તરંગ ધન $x$-દિશામાં ગતિ કરતું હોવાથી,નીચે તરફના ઢાળ પરના કણનો શિરોલંબ વેગ ઋણ હોય છે.
તેથી,$v_y = -(0.1) \times (0.4\pi) \times \cos(30^{\circ}) = -0.04\pi \times \frac{\sqrt{3}}{2} = -0.02\pi\sqrt{3} \text{ m/s} = -\frac{\sqrt{3}\pi}{50} \hat{j} \text{ m/s}$.

(C) પ્રગામી તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y(x, t) = A \sin(kx + \omega t + \phi)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y(x, t) = 4.0 \sin(20 \times 10^{-3} x + 600 t)$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા:
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 600 \ rad/s$.
તરંગ સંખ્યા $k = 20 \times 10^{-3} \ mm^{-1} = 20 \ m^{-1}$.
તરંગનો વેગ $v = -\frac{\omega}{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે તરંગ ઋણ $x$-દિશામાં ગતિ કરી રહ્યું છે.
$v = -\frac{600}{20} = -30 \ m/s$.

(A) તરંગની ઝડપ $v = \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{1.2 \ cm}{0.3 \ s} = 4 \ cm/s$ છે.
કોણીય તરંગ સંખ્યા $k = \frac{2 \pi}{\lambda} = \frac{2 \pi}{7.5 \ cm} \approx 0.837 \ rad/cm \approx 0.83 \ rad/cm$ છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = v k = 4 \ cm/s \times 0.837 \ rad/cm \approx 3.35 \ rad/s$ છે.
કારણ કે $t = 0$ સમયે શૃંગ $x = 0$ પર છે,તેથી તરંગને કોસાઈન વિધેય દ્વારા દર્શાવી શકાય: $y = A \cos(kx - \omega t)$.
કિંમતો મૂકતા,$y = 2 \cos(0.83 x - 3.35 t) \ cm$ મળે છે.

(C) તરંગના સ્થાનાંતર માટેનું આપેલ સમીકરણ $x(t) = 5 \cos \left(628 t + \frac{\pi}{2}\right)$ છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$ સાથે સરખાવતા, આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 628 \text{ rad/s}$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega = 2 \pi f$, જ્યાં $f$ એ આવૃત્તિ છે.
તેથી, $2 \times 3.14 \times f = 628$.
$6.28 f = 628$.
$f = \frac{628}{6.28} = 100 \text{ Hz}$.
વેગ $(v)$, આવૃત્તિ $(f)$ અને તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ વચ્ચેનો સંબંધ $v = f \lambda$ છે.
અહીં $v = 300 \text{ m/s}$ આપેલ છે, તેથી $300 = 100 \times \lambda$.
આમ, $\lambda = \frac{300}{100} = 3 \text{ m}$.

(A) તરંગનું સામાન્ય સમીકરણ $y = A \sin(kx + \omega t + \phi)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = \sin(20 \pi x + 10 \pi t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને તરંગ સંખ્યા $k = 20 \pi \ rad/m$ મળે છે.
તરંગલંબાઈ $\lambda$ એ $\lambda = \frac{2 \pi}{k} = \frac{2 \pi}{20 \pi} = 0.1 \ m = 10 \ cm$ દ્વારા મળે છે.
તરંગમાં સમાન દોલન ઝડપ ધરાવતા બિંદુઓ $\frac{\lambda}{2}$ (અથવા તેના ગુણાંક) જેટલા અંતરે આવેલા હોય છે.
તેથી,લઘુત્તમ અંતર $\frac{\lambda}{2} = \frac{10 \ cm}{2} = 5 \ cm$ છે.

(A) કણનો મહત્તમ વેગ $V_{p_{\max}}$ એ $a\omega = \frac{v}{10}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $a = 10^{-3} \ m$ અને $v = 10 \ ms^{-1}$,તેથી $10^{-3} \times \omega = \frac{10}{10} = 1$.
આમ,$\omega = 1000 \ rad/s$.
આવૃત્તિ $f$ એ $f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{1000}{2\pi} = \frac{10^3}{2\pi} \ Hz$ દ્વારા મળે છે.
તરંગની ઝડપ $v$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda$ વચ્ચેનો સંબંધ $v = f\lambda = \frac{\omega}{2\pi} \lambda$ છે.
$\lambda$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$\lambda = \frac{2\pi v}{\omega} = \frac{2\pi \times 10}{1000} = 2\pi \times 10^{-2} \ m$ મળે છે.

(C) $y = A \sin(\omega t - kx)$ દ્વારા દર્શાવતા તરંગ માટે,તરંગનો વેગ $V = \frac{\omega}{k}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે તરંગ સંખ્યા $k = \frac{2 \pi}{\lambda}$ છે.
તેથી,$V = \frac{\omega}{2 \pi / \lambda} = \frac{\omega \lambda}{2 \pi}$.
$S.H.M.$ માં કણનો મહત્તમ વેગ $\nu = A \omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આના પરથી,$\omega = \frac{\nu}{A}$ મળે છે.
$V$ ના સમીકરણમાં $\omega$ ની કિંમત મૂકતા:
$V = \frac{(\nu / A) \lambda}{2 \pi} = \frac{\lambda \nu}{2 \pi A}$.
$\nu$ માટે ગોઠવતા:
$\nu = \frac{2 \pi A}{\lambda} V$.
તેથી,સાચો સંબંધ $\nu = \frac{2 \pi A}{\lambda} V$ છે.

(A) આપેલ સ્થાનાંતર સમીકરણો:
$y_1 = a_1 \sin \left(\frac{2 \pi x}{\lambda} - \omega t\right) \quad \dots(i)$
$y_2 = a_2 \cos \left(\frac{2 \pi x}{\lambda} - \omega t + \phi\right) \quad \dots(ii)$
કળાની સરખામણી કરવા માટે,આપણે $\cos(\theta) = \sin(\theta + \frac{\pi}{2})$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીને કોસાઇન વિધેયને સાઇન વિધેયમાં ફેરવીએ છીએ:
$y_2 = a_2 \sin \left(\frac{2 \pi x}{\lambda} - \omega t + \phi + \frac{\pi}{2}\right) \quad \dots(iii)$
$y_1$ ની કળા $(\frac{2 \pi x}{\lambda} - \omega t)$ ની સરખામણી $y_2$ ની કળા $(\frac{2 \pi x}{\lambda} - \omega t + \phi + \frac{\pi}{2})$ સાથે કરતા,કળા તફાવત:
$\Delta \phi = \left(\frac{2 \pi x}{\lambda} - \omega t + \phi + \frac{\pi}{2}\right) - \left(\frac{2 \pi x}{\lambda} - \omega t\right)$
$\Delta \phi = \phi + \frac{\pi}{2}$

(D) આપેલ તરંગનું સમીકરણ $Y = 3 \sin 2 \pi \left( \frac{t}{0.04} - \frac{x}{0.01} \right)$ છે.
આને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $Y = A \sin 2 \pi \left( ft - \frac{x}{\lambda} \right)$ સાથે સરખાવતા,આપણને આવૃત્તિ $f = \frac{1}{0.04} = 25 \ Hz$ મળે છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times 25 = 50 \pi \ rad/s$ છે.
મહત્તમ પ્રવેગ $a_{\max}$ એ $a_{\max} = \omega^2 A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $a_{\max} = (50 \pi)^2 \times 3 = 2500 \times \pi^2 \times 3$.
આપેલ છે કે $\pi^2 = 10$,તેથી $a_{\max} = 2500 \times 10 \times 3 = 75000 \ cm/s^2 = 7.5 \times 10^4 \ cm/s^2$.

(B) સરળ આવર્ત પ્રગામી તરંગનું સામાન્ય સમીકરણ $y = A \sin(\omega t - kx)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = A \sin(100 \pi t - 3x)$ સાથે સરખાવતા,આપણને પ્રસરણ અચળાંક $k = 3 \text{ rad/m}$ મળે છે.
કળા તફાવત $(\Delta \phi)$ અને પથ તફાવત $(\Delta x)$ વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta \phi = k \cdot \Delta x$ છે.
અહીં કળા તફાવત $\Delta \phi = \frac{\pi}{18}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{\pi}{18} = 3 \cdot \Delta x$ મળે છે.
તેથી,બે કણો વચ્ચેનું અંતર $\Delta x = \frac{\pi}{18 \cdot 3} = \frac{\pi}{54} \text{ m}$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આપેલ તરંગનું સમીકરણ $Y = A \sin 2 \pi (n t - \frac{x}{\lambda})$ છે.
આને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $Y = A \sin (\omega t - kx)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega = 2 \pi n$ અને $k = \frac{2 \pi}{\lambda}$ મળે છે.
કણનો મહત્તમ વેગ $v_{p, \text{max}} = A \omega = A (2 \pi n)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તરંગનો વેગ $v_w = \frac{\omega}{k} = \frac{2 \pi n}{2 \pi / \lambda} = n \lambda$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$v_{p, \text{max}} = 4 v_w$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $A (2 \pi n) = 4 (n \lambda)$ મળે છે.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા,$2 \pi A n = 4 n \lambda$.
બંને બાજુ $2n$ વડે ભાગતા,આપણને $\lambda = \pi A$ મળે છે.

(C) આપેલ તરંગનું સમીકરણ $Y = a \sin(2 \pi b t - 2 \pi c x)$ છે.
આને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $Y = A \sin(\omega t - k x)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi b$ અને તરંગ સંખ્યા $k = 2 \pi c$ મળે છે.
કણનો મહત્તમ વેગ $(V_{max})_p = \omega A = (2 \pi b) a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તરંગનો વેગ $V_w = \frac{\omega}{k} = \frac{2 \pi b}{2 \pi c} = \frac{b}{c}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,કણનો મહત્તમ વેગ તરંગના વેગ કરતા બમણો છે:
$(V_{max})_p = 2 V_w$.
કિંમતો મૂકતા: $2 \pi b a = 2 \left( \frac{b}{c} \right)$.
બંને બાજુ $2b$ વડે ભાગતા,આપણને $\pi a = \frac{1}{c}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $c = \frac{1}{\pi a}$.

(D) આપેલ સમીકરણ $y=5(\sin 4 \pi t+\sqrt{3} \cos 4 \pi t)$ છે.
$5$ વડે ગુણતા,આપણને $y=5 \sin 4 \pi t+5 \sqrt{3} \cos 4 \pi t$ મળે છે.
આ સમીકરણ $y=A_1 \sin \omega t+A_2 \cos \omega t$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $A_1=5$ અને $A_2=5 \sqrt{3}$ છે.
પરિણામી કંપવિસ્તાર $A$ નું સૂત્ર $A=\sqrt{A_1^2+A_2^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$A=\sqrt{(5)^2+(5 \sqrt{3})^2}$.
$A=\sqrt{25+75} = \sqrt{100}$.
આમ,$A=10$ એકમ.

(D) સરળ આવર્ત તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin(\omega t - kx)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 5 \sin \frac{\pi}{2}(100t - x)$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા:
$y = 5 \sin(50\pi t - \frac{\pi}{2}x)$.
અહીં,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 50\pi \ rad/s$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે આવર્તકાળ $T$ એ કોણીય આવૃત્તિ સાથે $T = \frac{2\pi}{\omega}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા:
$T = \frac{2\pi}{50\pi} = \frac{1}{25} \ s$.
$T = 0.04 \ s$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) મુખ્ય વિચાર: તરંગમાં બે ક્રમિક શૃંગો વચ્ચેના અંતરને તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ કહેવામાં આવે છે.
જ્યારે હોડી મોજાં દ્વારા હલે છે,ત્યારે તે એક સંપૂર્ણ તરંગલંબાઈ પસાર થાય ત્યારે એક સંપૂર્ણ ઉછાળો (ઉપર અને નીચે) પૂર્ણ કરે છે.
આપેલ છે:
તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ $= 100 \,m$
તરંગનો વેગ $(v)$ $= 25 \,m/s$
ઉછાળાનો સમયગાળો $(T)$ એ એક તરંગલંબાઈને નિશ્ચિત બિંદુ પરથી પસાર થવા માટે લાગતો સમય છે.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $T = \frac{\lambda}{v}$
$T = \frac{100 \,m}{25 \,m/s} = 4 \,s$
તેથી,હોડી દર $4 \,s$ માં એકવાર ઉપર ઉછળે છે.

(B) આપેલ તરંગો $Y_1 = a_1 \sin \left(\omega t - \frac{2 \pi x}{\lambda}\right)$ અને $Y_2 = a_2 \cos \left(\omega t - \frac{2 \pi x}{\lambda} + \phi\right)$ છે.
કળા (phase) ની સરખામણી કરવા માટે,આપણે કોસાઇન વિધેયને સાઇન વિધેયમાં ફેરવીએ: $\cos(\theta) = \sin(\theta + \frac{\pi}{2})$.
તેથી,$Y_2 = a_2 \sin \left(\omega t - \frac{2 \pi x}{\lambda} + \phi + \frac{\pi}{2}\right)$.
કળા તફાવત $\delta$ એ સાઇન વિધેયોના આર્ગ્યુમેન્ટ્સ વચ્ચેનો તફાવત છે: $\delta = \left(\omega t - \frac{2 \pi x}{\lambda} + \phi + \frac{\pi}{2}\right) - \left(\omega t - \frac{2 \pi x}{\lambda}\right) = \phi + \frac{\pi}{2}$.
પથ તફાવત $\Delta x$ અને કળા તફાવત $\delta$ વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta x = \frac{\lambda}{2 \pi} \delta$ છે.
$\delta$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\Delta x = \frac{\lambda}{2 \pi} \left(\phi + \frac{\pi}{2}\right)$ મળે છે.