Longitudinal Stationary Waves (Organ Pipes) and Resonance Tube Questions in Gujarati

(C) $L$ લંબાઈની ઓપન ઓર્ગન પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{v}{2L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$l$ લંબાઈની પ્રથમ પાઇપ માટે,આવૃત્તિ $n_1 = \frac{v}{2l}$ છે.
$(l + \Delta l)$ લંબાઈની બીજી પાઇપ માટે,આવૃત્તિ $n_2 = \frac{v}{2(l + \Delta l)}$ છે.
બીટ આવૃત્તિ એ બે આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે: $f_{beat} = n_1 - n_2 = \frac{v}{2l} - \frac{v}{2(l + \Delta l)}$.
$\frac{v}{2}$ ને સામાન્ય અવયવ તરીકે લેતા: $f_{beat} = \frac{v}{2} \left( \frac{1}{l} - \frac{1}{l + \Delta l} \right)$.
પદને સરળ બનાવતા: $f_{beat} = \frac{v}{2} \left( \frac{l + \Delta l - l}{l(l + \Delta l)} \right) = \frac{v \Delta l}{2l(l + \Delta l)}$.
કારણ કે $\Delta l$ એ $l$ ની સરખામણીમાં ખૂબ નાનું છે,આપણે $l + \Delta l \approx l$ લઈ શકીએ છીએ.
તેથી,$f_{beat} \approx \frac{v \Delta l}{2l^2}$.

(A) એક છેડે બંધ નળી માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_{closed} = \frac{v}{4L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $L$ એ નળીની લંબાઈ છે.
આપેલ છે કે $f_{closed} = 512 \ Hz$.
બંને છેડે ખુલ્લી નળી માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_{open} = \frac{v}{2L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંનેની સરખામણી કરતા,આપણને $f_{open} = 2 \times f_{closed}$ મળે છે.
તેથી,$f_{open} = 2 \times 512 \ Hz = 1024 \ Hz$.

(C) $l_1$ લંબાઈ ધરાવતી બંધ પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_{c1} = \frac{v}{4l_1}$ છે. પ્રથમ ઓવરટોન એ ત્રીજો હાર્મોનિક છે,$f_{c,over1} = 3 \times \frac{v}{4l_1} = \frac{3v}{4l_1}$.
$l_2$ લંબાઈ ધરાવતી ખુલ્લી પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_{o1} = \frac{v}{2l_2}$ છે. પ્રથમ ઓવરટોન એ બીજો હાર્મોનિક છે,$f_{o,over1} = 2 \times \frac{v}{2l_2} = \frac{v}{l_2}$.
આપેલ છે કે પ્રથમ ઓવરટોનની આવૃત્તિ સમાન છે:
$\frac{3v}{4l_1} = \frac{v}{l_2}$
$\frac{3}{4l_1} = \frac{1}{l_2}$
$\frac{l_1}{l_2} = \frac{3}{4}$
તેથી,તેમની લંબાઈનો ગુણોત્તર $3:4$ છે.

(D) $l$ લંબાઈની બંધ પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_0 = \frac{v}{4l}$ છે. પ્રથમ ઓવરટોન એ પછીનો હાર્મોનિક છે,જે $f_1 = \frac{3v}{4l}$ છે.
સમાન લંબાઈ $l$ ની ખુલ્લી પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_{open,0} = \frac{v}{2l}$ છે.
ખુલ્લી પાઇપનો પ્રથમ ઓવરટોન $f_{open,1} = \frac{2v}{2l} = \frac{v}{l}$ છે.
$f_1 = \frac{3v}{4l}$ ની સરખામણી વિકલ્પો સાથે કરતા:
- વિકલ્પ $A$: $f_{open,0} = \frac{v}{2l} = \frac{2v}{4l} \neq \frac{3v}{4l}$.
- વિકલ્પ $B$: $2 \times f_{open,0} = 2 \times \frac{v}{2l} = \frac{v}{l} = \frac{4v}{4l} \neq \frac{3v}{4l}$.
- વિકલ્પ $C$: $f_{open,1} = \frac{v}{l} = \frac{4v}{4l} \neq \frac{3v}{4l}$.
તેથી,આપેલ વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ સાચું નથી.

(C) બંધ પાઇપ (પાત્ર) માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $n$ એ $n = \frac{v}{4l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $l$ એ હવાના સ્તંભની લંબાઈ છે.
સૂત્ર પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $n \propto \frac{1}{l}$.
જ્યારે પાત્રને આંશિક રીતે પાણીથી ભરવામાં આવે છે,ત્યારે હવાના સ્તંભની લંબાઈ $l$ ઘટે છે.
આવૃત્તિ $n$ એ લંબાઈ $l$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,$l$ માં ઘટાડો થવાથી આવૃત્તિ $n$ માં વધારો થાય છે.
તેથી,હવાના સ્તંભની કંપન આવૃત્તિ વધે છે.

(D) બંધ નળીની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{v}{4l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $l$ એ નળીની લંબાઈ છે.
$1$. હવાને હાઇડ્રોજન વાયુ સાથે બદલવી: $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ હોવાથી,ધ્વનિની ઝડપ મોલર દળના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(v \propto \frac{1}{\sqrt{M}})$. હાઇડ્રોજનનું મોલર દળ $(M_{H_2})$ હવાના મોલર દળ $(M_{air})$ કરતા ઓછું હોવાથી,હાઇડ્રોજનમાં ધ્વનિની ઝડપ વધારે હોય છે,જે આવૃત્તિ $n$ માં વધારો કરે છે. તેથી,વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે.
$2$. નળીની લંબાઈ ઘટાડવી: $n \propto \frac{1}{l}$ હોવાથી,લંબાઈ $l$ ઘટાડવાથી મૂળભૂત આવૃત્તિ $n$ વધે છે. તેથી,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.
$3$. નળીનો બંધ છેડો ખોલવો: ખુલ્લી નળીની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n_{open} = \frac{v}{2l}$ હોય છે,જે બંધ નળીની મૂળભૂત આવૃત્તિ $(n_{closed} = \frac{v}{4l})$ કરતા બમણી હોય છે. તેથી,છેડો ખોલવાથી આવૃત્તિ વધે છે. વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.
આમ,ત્રણેય પદ્ધતિઓ મૂળભૂત આવૃત્તિમાં વધારો કરે છે,તેથી સાચો જવાબ $(D)$ છે.

(D) એક છેડે બંધ પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિનું સૂત્ર $n = \frac{v}{4l}$ છે.
અહીં,$n = 166 \,Hz$ અને $v = 332 \,m/s$ છે.
લંબાઈ $l$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $l = \frac{v}{4n}$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $l = \frac{332}{4 \times 166} = \frac{332}{664} = 0.5 \,m$.
આમ,હવાના સ્તંભની લંબાઈ $0.5 \,m$ છે.

(A) ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $(n)$ શોધવાનું સૂત્ર: $n = \frac{v}{2l}$ છે.
આપેલ છે:
અવાજનો વેગ $(v)$ = $350 \ m/s$.
પાઇપની લંબાઈ $(l)$ = $50 \ cm = 0.5 \ m$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$n = \frac{350}{2 \times 0.5} = \frac{350}{1} = 350 \ Hz$.
તેથી,મૂળભૂત આવૃત્તિ $350 \ Hz$ છે.

(B) $l$ લંબાઈ ધરાવતી બંધ ઓર્ગન પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ (પ્રથમ સ્વર) $n_1 = \frac{v}{4l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $v = 330 \ m/s$ અને $l = 1 \ m$ આપેલ છે,તેથી $n_1 = \frac{330}{4 \times 1} = \frac{330}{4} \ Hz$ મળે.
બંધ પાઇપમાં સ્વરોની આવૃત્તિઓ એકી ગુણકોમાં હોય છે: $n_k = (2k - 1)n_1$,જ્યાં $k = 1, 2, 3, ...$.
પ્રથમ સ્વર $n_1 = 1 \times n_1$ છે.
બીજો સ્વર (પ્રથમ ઓવરટોન) $n_2 = 3 \times n_1 = 3 \times \frac{330}{4} \ Hz$ થાય.

(C) $l$ લંબાઈની બંધ ઓર્ગન પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n_{\text{closed}} = \frac{v}{4l} = f$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમાન લંબાઈ $l$ ધરાવતી ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n_{\text{open}} = \frac{v}{2l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને $n_{\text{open}} = 2 \times \left( \frac{v}{4l} \right) = 2f$ મળે છે.
તેથી,ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $2f$ છે.

(B) મનુષ્ય સાંભળી શકે તેવી ન્યૂનતમ આવૃત્તિ $f_{min} = 20 \ Hz$ છે.
$l$ લંબાઈની બંધ પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિનું સૂત્ર $f = \frac{v}{4l}$ છે.
માત્ર સાંભળી શકાય તેવો ધ્વનિ ઉત્પન્ન કરતી પાઇપની મહત્તમ લંબાઈ $l$ શોધવા માટે,આપણે ન્યૂનતમ શ્રાવ્ય આવૃત્તિનો ઉપયોગ કરીશું:
$20 = \frac{336}{4l}$
$l = \frac{336}{4 \times 20}$
$l = \frac{336}{80}$
$l = 4.2 \ m$.
આમ,પાઇપની મહત્તમ લંબાઈ $4.2 \ m$ છે.

(C) $L_1$ લંબાઈ ધરાવતી બંધ ઓર્ગન પાઇપ માટે,$k$-માં ઓવરટોનની આવૃત્તિ $n = \frac{(2k+1)v}{4L_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. પ્રથમ ઓવરટોન માટે,$k=1$,તેથી $n_1 = \frac{3v}{4L_1}$.
$L_2$ લંબાઈ ધરાવતી ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ માટે,$m$-માં ઓવરટોનની આવૃત્તિ $n = \frac{(m+1)v}{2L_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ત્રીજા ઓવરટોન માટે,$m=3$,તેથી $n_2 = \frac{4v}{2L_2} = \frac{2v}{L_2}$.
બંને પાઇપ એક જ ટ્યુનિંગ ફોર્ક સાથે અનુનાદમાં હોવાથી,$n_1 = n_2$.
બંનેને સરખાવતા: $\frac{3v}{4L_1} = \frac{2v}{L_2}$.
ગુણોત્તર $\frac{L_1}{L_2}$ માટે ગોઠવતા: $\frac{L_1}{L_2} = \frac{3v}{4} \times \frac{1}{2v} = \frac{3}{8}$.
આમ,ગુણોત્તર $3:8$ છે.

(B) બંધ પાઇપ (રેઝોનન્સ એર કોલમ) માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિનું સૂત્ર $n = \frac{v}{4l}$ છે,જ્યાં $n$ એ આવૃત્તિ છે,$v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $l$ એ એર કોલમની લંબાઈ છે.
આપેલ છે: $n = 250 \ Hz$ અને $l = 20 \ cm = 0.2 \ m$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$250 = \frac{v}{4 \times 0.2}$
$250 = \frac{v}{0.8}$
$v = 250 \times 0.8 = 200 \ m/s$.
તેથી,હવામાં ધ્વનિની ઝડપ $200 \ m/s$ છે.

(B) $L$ લંબાઈની ખુલ્લી ટ્યુબની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_0 = \frac{v}{2L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ હવામાં અવાજની ઝડપ છે.
જ્યારે ટ્યુબને પાણીમાં શિરોલંબ એવી રીતે ડુબાડવામાં આવે છે કે તેની અડધી લંબાઈ પાણીની અંદર હોય,ત્યારે ટ્યુબ અસરકારક રીતે બંધ પાઇપ (એક છેડે પાણીની સપાટી દ્વારા બંધ) બની જાય છે,જેની નવી લંબાઈ $L' = L/2$ છે.
$L'$ લંબાઈની બંધ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f' = \frac{v}{4L'}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સૂત્રમાં $L' = L/2$ મૂકતા,આપણને $f' = \frac{v}{4(L/2)} = \frac{v}{2L}$ મળે છે.
આની મૂળ આવૃત્તિ સાથે સરખામણી કરતા,આપણને $f' = f_0$ મળે છે.

(B) બંધ ઓર્ગન પાઇપ માટે,નોટ્સની આવૃત્તિઓનું સૂત્ર $f_n = \frac{(2n-1)v}{4L}$ છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$ એ $n^{th}$ નોટ દર્શાવે છે.
અહીં,$L = 1.5 \, m$ અને $v = 330 \, m/s$ છે.
પ્રથમ નોટ (મૂળભૂત આવૃત્તિ) $n = 1$ ને અનુરૂપ છે.
બીજી નોટ $n = 2$ ને અનુરૂપ છે.
સૂત્રમાં $n = 2$ મૂકતા:
$f_2 = \frac{(2 \times 2 - 1)v}{4L} = \frac{3v}{4L}$.
$f_2 = \frac{3 \times 330}{4 \times 1.5} = \frac{990}{6} = 165 \, Hz$.

(B) બંને છેડે ખુલ્લી પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $(n_1)$ નું સૂત્ર: $n_1 = \frac{v}{2l}$ છે.
અહીં,$v = 330 \ ms^{-1}$ અને $l = 30 \ cm = 0.3 \ m$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $n_1 = \frac{330}{2 \times 0.3} = \frac{330}{0.6} = 550 \ Hz$.
ખુલ્લી પાઇપમાં હાર્મોનિક્સની આવૃત્તિઓ $n_k = k \times n_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k = 1, 2, 3, \dots$ એ હાર્મોનિક નંબર છે.
આપણને સ્ત્રોતની આવૃત્તિ $f = 1.1 \ kHz = 1100 \ Hz$ આપેલ છે.
$n_k = f$ લેતા,આપણને મળે છે: $k \times 550 = 1100$.
$k$ માટે ઉકેલતા: $k = \frac{1100}{550} = 2$.
આમ,$2^{nd}$ હાર્મોનિક મોડ અનુનાદિત થાય છે.

(B) બંધ ઓર્ગન પાઈપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{v}{4l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે બે પાઈપોની લંબાઈ $l_1 = 1 \ m$ અને $l_2$ છે (જ્યાં $l_2 < l_1$).
આવૃત્તિઓ $n_1 = \frac{v}{4l_1}$ અને $n_2 = \frac{v}{4l_2}$ છે.
જેમ કે $l_2 < l_1$,તેથી $n_2 > n_1$. બીટ આવૃત્તિ $n_2 - n_1 = 4 \ Hz$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{v}{4l_2} - \frac{v}{4l_1} = 4$.
$\frac{300}{4} \left( \frac{1}{l_2} - \frac{1}{1} \right) = 4$.
$75 \left( \frac{1}{l_2} - 1 \right) = 4$.
$\frac{1}{l_2} - 1 = \frac{4}{75} = 0.0533$.
$\frac{1}{l_2} = 1.0533$.
$l_2 = \frac{1}{1.0533} \approx 0.9493 \ m = 94.93 \ cm$.
આમ,ટૂંકી પાઈપની લંબાઈ આશરે $94.9 \ cm$ છે.

(A) રેઝોનન્સ કોલમમાં,બંધ છેડો એ સ્થાનાંતર નોડ અને દબાણ એન્ટિનોડ તરીકે કાર્ય કરે છે.
બંધ છેડા પર,ધ્વનિ તરંગને કારણે દબાણમાં થતો ફેરફાર તેના મહત્તમ કંપવિસ્તાર ${\rho _0}$ સુધી પહોંચે છે.
કોઈપણ બિંદુએ કુલ દબાણ એ વાતાવરણીય દબાણ ${\rho _A}$ અને ધ્વનિ તરંગને કારણે થતા દબાણના ફેરફારનો સરવાળો છે.
તેથી,બંધ છેડા પર મહત્તમ દબાણ ${\rho _{\max }} = {\rho _A} + {\rho _0}$ છે.
બંધ છેડા પર ન્યૂનતમ દબાણ ${\rho _{\min }} = {\rho _A} - {\rho _0}$ છે.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ દબાણનો ગુણોત્તર $\frac{{{\rho _{\max }}}}{{{\rho _{\min }}}} = \frac{{{\rho _A} + {\rho _0}}}{{{\rho _A} - {\rho _0}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(C) બંધ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{v}{4l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $v$ અચળ હોવાથી,$n \propto \frac{1}{l}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{n_1}{n_2} = \frac{l_2}{l_1}$.
લંબાઈનો ગુણોત્તર $l_1 : l_2 = 25 : 26$ આપેલ છે,તેથી $\frac{n_1}{n_2} = \frac{26}{25}$,અથવા $n_1 = \frac{26}{25}n_2$.
બીટ આવૃત્તિ $|n_1 - n_2| = 10$ છે.
$n_1$ ની કિંમત મૂકતા,$\frac{26}{25}n_2 - n_2 = 10$.
$\frac{1}{25}n_2 = 10 \implies n_2 = 250 \text{ Hz}$.
તેથી $n_1 = \frac{26}{25} \times 250 = 260 \text{ Hz}$.
આમ,આવૃત્તિઓ $260 \text{ Hz}$ અને $250 \text{ Hz}$ છે.

(A) ધારો કે $l_1$ એ બંધ ઓર્ગન પાઇપની લંબાઈ છે અને $l_2$ એ ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપની લંબાઈ છે.
બંધ ઓર્ગન પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $n_1 = \frac{v}{4l_1}$ છે.
ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $n_2 = \frac{v}{2l_2}$ છે.
આપેલ છે કે મૂળભૂત આવૃત્તિઓ સમાન છે,તેથી $n_1 = n_2$.
તેથી,$\frac{v}{4l_1} = \frac{v}{2l_2}$.
આને સરળ બનાવતા,આપણને $\frac{1}{4l_1} = \frac{1}{2l_2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{l_1}{l_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
આમ,બંધ પાઇપ અને ખુલ્લી પાઇપની લંબાઈનો ગુણોત્તર $1:2$ છે.

(B) સ્થિત તરંગમાં બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે નિસ્પંદ બિંદુઓ ખુલ્લા છેડાથી $16 \ cm$ અને $46 \ cm$ પર છે,તેથી તેમની વચ્ચેનું અંતર:
$\frac{\lambda}{2} = 46 \ cm - 16 \ cm = 30 \ cm$.
તેથી,તરંગલંબાઇ $\lambda = 2 \times 30 \ cm = 60 \ cm = 0.6 \ m$.
ધ્વનિની ઝડપ $v$ એ સૂત્ર $v = f \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ આવૃત્તિ છે.
આપેલ છે $f = 500 \ Hz$ અને $\lambda = 0.6 \ m$:
$v = 500 \times 0.6 = 300 \ m/s$.

(A) બંધ પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $n$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $n = \frac{v}{4l}$.
અહીં,અવાજની ઝડપ $v = 332 \, m/s$ અને હવાના સ્તંભની લંબાઈ $l = 42 \, m$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$n = \frac{332}{4 \times 42}$
$n = \frac{332}{168}$
$n \approx 1.976 \, Hz$,જે આશરે $2 \, Hz$ છે.

(A) બંધ પાઇપ માટે,અનુનાદ ત્યારે થાય છે જ્યારે પાઇપની લંબાઈ $l$ એ મૂળભૂત આવૃત્તિના એકી ગુણકોને અનુરૂપ હોય.
બંધ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ (પ્રથમ હાર્મોનિક) નું સૂત્ર $n = \frac{v}{4l}$ છે,જ્યાં $v$ એ અવાજની ઝડપ છે અને $l$ એ પાઇપની લંબાઈ છે.
આપેલ આવૃત્તિ $n$ માટે લઘુત્તમ લંબાઈ $l$ શોધવા માટે,આપણે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવીએ છીએ:
$l = \frac{v}{4n}$.
તેથી,બંધ પાઇપની લઘુત્તમ લંબાઈ $\frac{v}{4n}$ છે.

(B) ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $n_{open} = \frac{v}{2L} = 320 \ Hz$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમાન લંબાઈ $L$ ધરાવતી બંધ ઓર્ગન પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $n_{closed} = \frac{v}{4L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને $n_{closed} = \frac{1}{2} \times n_{open}$ મળે છે.
આપેલ કિંમત મૂકતા: $n_{closed} = \frac{1}{2} \times 320 \ Hz = 160 \ Hz$.

(C) બંધ પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $n_1 = \frac{v}{4L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હાર્મોનિક્સની આવૃત્તિઓ $n_k = (2k-1)n_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k = 1, 2, 3, \dots$ છે.
$1^{st}$ ઓવરટોન એ $3^{rd}$ હાર્મોનિક $(3n_1)$ છે.
$2^{nd}$ ઓવરટોન એ $5^{th}$ હાર્મોનિક $(5n_1)$ છે.
આપેલ મૂળભૂત આવૃત્તિ $n_1 = 50\,Hz$ છે.
તેથી,$2^{nd}$ ઓવરટોનની આવૃત્તિ $n_3 = 5 \times n_1 = 5 \times 50\,Hz = 250\,Hz$ થાય છે.

(A) ખુલ્લી ઓર્ગન પાઈપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{v}{2l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ લંબાઈ $l_1 = 25 \ cm = 0.25 \ m$ અને $l_2 = 25.5 \ cm = 0.255 \ m$ છે.
બીટ આવૃત્તિ $n_1 - n_2 = 10 \ \text{beats/sec}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{v}{2l_1} - \frac{v}{2l_2} = 10$.
$\frac{v}{2} \left( \frac{1}{0.25} - \frac{1}{0.255} \right) = 10$.
$\frac{v}{2} \left( \frac{0.255 - 0.25}{0.25 \times 0.255} \right) = 10$.
$\frac{v}{2} \left( \frac{0.005}{0.06375} \right) = 10$.
$v \left( \frac{0.005}{0.1275} \right) = 10$.
$v = \frac{10 \times 0.1275}{0.005} = 2000 \times 0.1275 = 255 \ m/s$.

(A) બંને છેડે ખુલ્લી નળી માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f$ નું સૂત્ર $f = \frac{v}{2L}$ છે,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિનો વેગ છે અને $L$ એ નળીની લંબાઈ છે.
આપેલ છે: $f = 350 \ Hz$ અને $v = 350 \ m/s$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $350 = \frac{350}{2L}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $1 = \frac{1}{2L}$,જે દર્શાવે છે કે $2L = 1$.
તેથી,$L = 0.5 \ m$.
લંબાઈને સેન્ટિમીટરમાં ફેરવતા: $L = 0.5 \times 100 \ cm = 50 \ cm$.

(B) ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{v}{2l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે,બીટ આવૃત્તિ $4 \ Hz$ છે,તેથી $\Delta n = n_1 - n_2 = 4$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{v}{2l_1} - \frac{v}{2l_2} = 4$.
અહીં $l_1 = 1.00 \ m$ અને $l_2 = 1.025 \ m$ છે.
$\frac{v}{2} \left( \frac{1}{1.00} - \frac{1}{1.025} \right) = 4$.
$\frac{v}{2} \left( \frac{1.025 - 1.00}{1.00 \times 1.025} \right) = 4$.
$\frac{v}{2} \left( \frac{0.025}{1.025} \right) = 4$.
$v = \frac{4 \times 2 \times 1.025}{0.025} = \frac{8.2}{0.025} = 328 \ m/s$.

(A) એક છેડે ખુલ્લી પાઇપમાં (બંધ પાઇપ),સીમા શરતો મુજબ બંધ છેડા પર નિસ્પંદ બિંદુ (node) અને ખુલ્લા છેડા પર પ્રસ્પંદ બિંદુ (antinode) હોવું જરૂરી છે.
$L$ લંબાઈની પાઇપ માટે,શક્ય તરંગલંબાઇ $\lambda_n = \frac{4L}{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 1, 3, 5, ...$ છે.
તેને અનુરૂપ આવૃત્તિઓ $f_n = \frac{nv}{4L}$ છે,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે.
કારણ કે $n$ માત્ર એકી પૂર્ણાંક મૂલ્યો જ લઈ શકે છે,તેથી એક છેડે ખુલ્લી પાઇપમાં માત્ર એકી હાર્મોનિક્સ જ હાજર હોય છે.

(D) ધારો કે પાઇપની લંબાઈ $l$ છે અને ધ્વનિની ઝડપ $v$ છે.
ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_{open} = \frac{v}{2l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંધ ઓર્ગન પાઇપની આવૃત્તિઓ $f_n = \frac{nv}{4l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ એકી પૂર્ણાંક છે $(n = 1, 3, 5, ...)$.
બંધ પાઇપનો ત્રીજો હાર્મોનિક $n = 3$ ને અનુરૂપ છે,તેથી $f_{closed, 3} = \frac{3v}{4l}$.
પ્રશ્ન મુજબ,બંધ પાઇપના ત્રીજા હાર્મોનિકની આવૃત્તિ ખુલ્લી પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ કરતા $100 \ Hz$ વધારે છે:
$f_{closed, 3} = f_{open} + 100$
સમીકરણો મૂકતા:
$\frac{3v}{4l} = \frac{v}{2l} + 100$
પદોને ગોઠવતા:
$\frac{3v}{4l} - \frac{2v}{4l} = 100$
$\frac{v}{4l} = 100$
આપણે ખુલ્લી પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ શોધવાની છે,જે $f_{open} = \frac{v}{2l}$ છે.
કારણ કે $\frac{v}{4l} = 100$,તેથી $\frac{v}{2l} = 2 \times 100 = 200 \ Hz$.

(C) $l$ લંબાઈ ધરાવતી ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ (નળી $A$) માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $n_A = \frac{v}{2l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે.
સમાન લંબાઈ $l$ ધરાવતી બંધ ઓર્ગન પાઇપ (નળી $B$) માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $n_B = \frac{v}{4l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નળી $A$ અને નળી $B$ ની મૂળભૂત આવૃત્તિનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{n_A}{n_B} = \frac{v/2l}{v/4l} = \frac{4l}{2l} = \frac{2}{1}$.
તેથી,ગુણોત્તર $2:1$ છે.

(B) સ્થિત તરંગ એ સમાન આવૃત્તિ અને કંપવિસ્તાર ધરાવતા બે તરંગો જે વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે,તેમના સંપાતીકરણથી બને છે.
આપેલ આપાત તરંગ $y_1 = a \sin (\omega t - kx)$ છે.
બંધ ઓર્ગન પાઇપ માટે,બંધ છેડે પરાવર્તન થતી વખતે $\pi$ જેટલો કળા તફાવત ઉદભવે છે.
તેથી,પરાવર્તિત તરંગ $y_2 = a \sin (\omega t + kx + \pi)$ થશે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin (\theta + \pi) = -\sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $y_2 = -a \sin (\omega t + kx)$ મળે છે.
આ બે તરંગોનું સંપાતીકરણ $y = y_1 + y_2 = a \sin (\omega t - kx) - a \sin (\omega t + kx)$ છે.
નિત્યસમ $\sin C - \sin D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$y = 2a \cos \omega t \sin (-kx) = -2a \sin kx \cos \omega t$ મળે છે.
નોંધ: ચિહ્ન યામ પદ્ધતિના ઉદગમ સ્થાન પર આધાર રાખે છે; તરંગ $y = -a \sin (\omega t + kx)$ એ સાચો પરાવર્તિત ઘટક છે.

(C) જ્યારે ખુલ્લી પાઇપ તેના મૂળભૂત મોડમાં કંપન કરે છે,ત્યારે પાઇપના છેડાઓ પર સ્થાનાંતરના નિસ્પંદ બિંદુઓ (nodes) રચાય છે અને પાઇપની મધ્યમાં સ્થાનાંતરનું પ્રસ્પંદ બિંદુ (antinode) રચાય છે.
દબાણમાં ફેરફાર એ સ્થાનાંતરના ફેરફાર સાથે વ્યસ્ત સંબંધ ધરાવે છે. જ્યાં સ્થાનાંતર મહત્તમ હોય (પ્રસ્પંદ બિંદુ),ત્યાં દબાણમાં ફેરફાર ન્યૂનતમ હોય છે (નિસ્પંદ બિંદુ). જ્યાં સ્થાનાંતર ન્યૂનતમ હોય (નિસ્પંદ બિંદુ),ત્યાં દબાણમાં ફેરફાર મહત્તમ હોય છે (પ્રસ્પંદ બિંદુ).
તેથી,દબાણમાં ફેરફાર પાઇપના છેડાઓ પર મહત્તમ હોય છે,જ્યાં સ્થાનાંતરના નિસ્પંદ બિંદુઓ આવેલા હોય છે.

(C) આપેલ આવૃત્તિઓ $100 \ Hz$,$300 \ Hz$ અને $500 \ Hz$ છે.
આ આવૃત્તિઓ $1:3:5$ ના ગુણોત્તરમાં છે.
એક છેડે બંધ પાઇપ માટે,શક્ય આવૃત્તિઓ $f_n = n \cdot f_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 1, 3, 5, \dots$ (માત્ર એકી હાર્મોનિક્સ).
અહીં અવલોકન કરેલી આવૃત્તિઓ મૂળભૂત આવૃત્તિ $(100 \ Hz)$ ના એકી ગુણાંકમાં હોવાથી,પાઇપ એક છેડે બંધ અને બીજા છેડે ખુલ્લી હોવી જોઈએ.

(B) $0.5 \ m$ લંબાઈની ખુલ્લી પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_o = \frac{v}{2L_o}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$l_c$ લંબાઈની બંધ પાઇપનો પ્રથમ ઓવરટોન એ ત્રીજો હાર્મોનિક છે,જે $f_c = \frac{3v}{4l_c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$f_o = f_c$,તેથી:
$\frac{v}{2 \times 0.5} = \frac{3v}{4l_c}$.
સમીકરણનું સાદુંરૂપ આપતા:
$\frac{v}{1} = \frac{3v}{4l_c}$.
બંને બાજુથી $v$ ને દૂર કરતા:
$1 = \frac{3}{4l_c}$.
$l_c$ માટે ઉકેલતા:
$4l_c = 3 \implies l_c = \frac{3}{4} = 0.75 \ m$.

(B) બંધ ઓર્ગન પાઇપમાં માત્ર એકી હાર્મોનિક્સ (odd harmonics) ઉત્પન્ન થાય છે. મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_1 = 50 \ Hz$ છે. શક્ય આવૃત્તિઓ $f_n = n \times f_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ એકી પૂર્ણાંક સંખ્યા છે $(n = 1, 3, 5, 7, \dots)$.
આમ,શક્ય આવૃત્તિઓ $50 \ Hz, 150 \ Hz, 250 \ Hz, 350 \ Hz$ વગેરે છે.
$100 \ Hz$ એ મૂળભૂત આવૃત્તિનો બેકી ગુણાંક હોવાથી,તે બંધ ઓર્ગન પાઇપ દ્વારા ઉત્પન્ન થઈ શકતી નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) સ્થિત તરંગમાં બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{2}$ હોય છે.
$6$ ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ માટે,આવા $5$ અંતરાલ હોય છે.
તેથી,કુલ અંતર $d = 5 \times \frac{\lambda}{2} = 85 \text{ cm}$ થાય.
તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટે ઉકેલતા: $\lambda = \frac{2 \times 85}{5} = 34 \text{ cm} = 0.34 \text{ m}$.
ધ્વનિની ઝડપ $v$ એ $v = f \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f = 1000 \text{ Hz}$ છે.
$v = 1000 \times 0.34 = 340 \text{ m/s}$.

(B) બંધ પાઇપ માટે,શક્ય આવૃત્તિઓ મૂળભૂત આવૃત્તિ $(n)$ ના એકી ગુણકો હોય છે,જે $n, 3n, 5n, 7n, \dots$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
ખુલ્લી પાઇપ માટે,શક્ય આવૃત્તિઓ મૂળભૂત આવૃત્તિ $(n)$ ના તમામ ગુણકો હોય છે,જે $n, 2n, 3n, 4n, \dots$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આપેલ આવૃત્તિઓ $255, 425$ અને $595 \text{ Hz}$ છે.
ધારો કે મૂળભૂત આવૃત્તિ $n$ છે. આપણે આ આવૃત્તિઓનો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $(GCD)$ શોધીએ.
$255 = 3 \times 85$
$425 = 5 \times 85$
$595 = 7 \times 85$
આમ,બધી આપેલી આવૃત્તિઓ $85 \text{ Hz}$ ના એકી ગુણકો $(3n, 5n, 7n)$ હોવાથી,પાઇપ એક છેડે બંધ હોવી જોઈએ.
તેથી,મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = 85 \text{ Hz}$ છે.

(A) બંધ ઓર્ગન પાઇપમાં,મૂળભૂત આવૃત્તિ (પ્રથમ હાર્મોનિક) એ લંબાઈ $l_1 = \frac{\lambda}{4}$ ને અનુરૂપ છે.
બંધ ઓર્ગન પાઇપમાં ત્રીજો હાર્મોનિક એ લંબાઈ $l_3 = \frac{3\lambda}{4}$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,ત્રીજા હાર્મોનિકની લંબાઈ અને મૂળભૂત આવૃત્તિ વચ્ચેનો સંબંધ $l_3 = 3 \times l_1$ છે.
આપેલ છે કે $l_1 = 24.7 \, cm$,તેથી આપણે ગણતરી કરીએ છીએ કે $l_3 = 3 \times 24.7 \, cm = 74.1 \, cm$.

(C) ખુલ્લી પાઈપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_1 = \frac{v}{2l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $v = 330 \ m/s$,$l = 33 \ cm = 0.33 \ m$.
$f_1 = \frac{330}{2 \times 0.33} = \frac{330}{0.66} = 500 \ Hz$.
આપેલ આવૃત્તિ $f = 1000 \ Hz$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $f = p \times f_1$,જ્યાં $p$ એ હાર્મોનિક નંબર છે.
$1000 = p \times 500 \implies p = 2$.
આમ,આ આવૃત્તિ પાઈપના બીજા હાર્મોનિકને અનુરૂપ છે.

(C) $l$ લંબાઈની બંધ ઓર્ગન પાઈપની આવૃત્તિ $n = \frac{v}{4l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ લંબાઈઓ $l_1 = 100 \,cm = 1 \,m$ અને $l_2 = 101 \,cm = 1.01 \,m$ છે.
પ્રતિ સેકન્ડ બીટ્સની સંખ્યા $n_b = \frac{16}{20} = 0.8 \,Hz$ છે.
બીટ આવૃત્તિ એ મૂળભૂત આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે: $n_b = n_1 - n_2 = \frac{v}{4l_1} - \frac{v}{4l_2}$.
કિંમતો મૂકતા: $0.8 = \frac{v}{4} \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{1.01} \right)$.
$0.8 = \frac{v}{4} \left( \frac{1.01 - 1}{1.01} \right) = \frac{v}{4} \left( \frac{0.01}{1.01} \right)$.
$0.8 = \frac{0.01v}{4.04}$.
$v = \frac{0.8 \times 4.04}{0.01} = 80 \times 4.04 = 323.2 \,m/s$.

(A) $L$ લંબાઈની ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{v}{2L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપમાં ઉત્પન્ન થતા હાર્મોનિક્સની આવૃત્તિઓ $f_k = k \cdot n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k = 1, 2, 3, 4, ...$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપમાં બેકી અને એકી બંને પ્રકારના હાર્મોનિક્સ હાજર હોય છે.
તેથી,આવૃત્તિઓ $n, 2n, 3n, 4n, ...$ છે.

(D) રેઝોનન્સ ટ્યુબમાં ધ્વનિનો વેગ $v$ એ સૂત્ર $v = 2n(l_2 - l_1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ છે,$l_1$ એ પ્રથમ રેઝોનન્સ લંબાઈ છે અને $l_2$ એ બીજી રેઝોનન્સ લંબાઈ છે.
આપેલ છે: $n = 512 \ Hz$,$l_1 = 30.7 \ cm$,$l_2 = 63.2 \ cm$.
કિંમતો મૂકતા:
$v = 2 \times 512 \times (63.2 - 30.7) \ cm/s$
$v = 1024 \times 32.5 \ cm/s = 33280 \ cm/s$.
ધ્વનિની વાસ્તવિક ઝડપ $v_0 = 332 \ m/s = 33200 \ cm/s$ તરીકે આપવામાં આવી છે.
ધ્વનિના વેગમાં ત્રુટિ $\Delta v = |v - v_0| = |33280 - 33200| \ cm/s = 80 \ cm/s$ છે.

(C) ખુલ્લી પાઇપ માટે,$N$ મા હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $n = \frac{N \cdot v}{2l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ હાર્મોનિકનો ક્રમ છે,$v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $l$ એ પાઇપની લંબાઈ છે.
$N$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$N = \frac{n \cdot 2l}{v}$
આપેલ છે:
$n = 480 \ Hz$
$l = 1 \ m$
$v = 330 \ m/s$
કિંમતો મૂકતા:
$N = \frac{480 \times 2 \times 1}{330}$
$N = \frac{960}{330} \approx 2.91$
હાર્મોનિકનો ક્રમ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી આપણે તેને નજીકના પૂર્ણાંકમાં ફેરવીએ છીએ,જે $3$ છે. તેથી,આ તૃતીય હાર્મોનિક છે.

(A) એક છેડે ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ માટે,પ્રથમ ઓવરટોનની આવૃત્તિ $n_c = \frac{3v}{4l_c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $l_c$ એ બંધ પાઇપની લંબાઈ છે.
બંને છેડે ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ માટે,ત્રીજા હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $n_o = \frac{3v}{2l_o}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l_o$ એ ખુલ્લી પાઇપની લંબાઈ છે.
પાઇપ્સ અનુનાદમાં હોવાથી,$n_c = n_o$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{3v}{4l_c} = \frac{3v}{2l_o}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\frac{1}{4l_c} = \frac{1}{2l_o}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{l_c}{l_o} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
આમ,બંધ પાઇપ અને ખુલ્લી પાઇપની લંબાઈનો ગુણોત્તર $1:2$ છે.

(B) $l$ લંબાઈની ખુલ્લી નળી માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $n_0 = \frac{v}{2l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે નળીને પાણીમાં એવી રીતે ડૂબાડવામાં આવે છે કે તેની લંબાઈના $75\%$ ભાગ પાણીની અંદર હોય,ત્યારે હવાના સ્તંભની અસરકારક લંબાઈ $l' = l - 0.75l = 0.25l = \frac{l}{4}$ થાય છે.
હવે આ નળી બંધ ઓર્ગન પાઇપ તરીકે કાર્ય કરે છે (એક છેડે પાણી દ્વારા બંધ).
આ બંધ નળીની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{v}{4l'}$ છે.
$l' = \frac{l}{4}$ મૂકતા,આપણને $n = \frac{v}{4(l/4)} = \frac{v}{l}$ મળે છે.
કારણ કે $n_0 = \frac{v}{2l}$,તેથી $v = 2l n_0$.
આ કિંમત $n$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $n = \frac{2l n_0}{l} = 2n_0$ મળે છે.
તેથી,નળીની નવી આવૃત્તિ અને તારની આવૃત્તિનો ગુણોત્તર $\frac{n}{n_0} = 2$ થશે.

(B) ધારો કે $x$ એ એન્ડ કરેક્શન છે.
મૂળભૂત મોડ (પ્રથમ રેઝોનન્સ) માટે,હવાના સ્તંભની લંબાઈ $l_1 = 0.1 \ m$ છે. રેઝોનન્સની શરત $f = \frac{v}{4(l_1 + x)}$ છે.
પ્રથમ ઓવરટોન (બીજા રેઝોનન્સ) માટે,હવાના સ્તંભની લંબાઈ $l_2 = 0.35 \ m$ છે. રેઝોનન્સની શરત $f = \frac{3v}{4(l_2 + x)}$ છે.
સમાન ટ્યુનિંગ ફોર્કનો ઉપયોગ થતો હોવાથી,આવૃત્તિ $f$ અચળ રહે છે. તેથી,$\frac{v}{4(l_1 + x)} = \frac{3v}{4(l_2 + x)}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $l_2 + x = 3(l_1 + x)$.
કિંમતો મૂકતા: $0.35 + x = 3(0.1 + x)$.
$0.35 + x = 0.3 + 3x$.
$0.05 = 2x$.
$x = 0.025 \ m$.

(C) $L_1 = L$ લંબાઈની બંધ ઓર્ગન પાઇપના પ્રથમ ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_1 = \frac{3v_1}{4L_1}$ છે,જ્યાં $v_1 = \sqrt{\frac{1}{\beta \rho_1}}$ અને $\beta$ એ સંકોચનીયતા છે.
$L_2$ લંબાઈની ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપના પ્રથમ ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_2 = \frac{2v_2}{2L_2} = \frac{v_2}{L_2}$ છે,જ્યાં $v_2 = \sqrt{\frac{1}{\beta \rho_2}}$ છે.
આપેલ છે કે આવૃત્તિઓ સમાન છે $(f_1 = f_2)$:
$\frac{3}{4L} \sqrt{\frac{1}{\beta \rho_1}} = \frac{1}{L_2} \sqrt{\frac{1}{\beta \rho_2}}$
બંને બાજુથી સામાન્ય પદ $\sqrt{\frac{1}{\beta}}$ ને દૂર કરતા:
$\frac{3}{4L\sqrt{\rho_1}} = \frac{1}{L_2\sqrt{\rho_2}}$
$L_2$ માટે ઉકેલતા:
$L_2 = \frac{4L}{3} \sqrt{\frac{\rho_1}{\rho_2}}$

(C) ખુલ્લી પાઇપ માટે,$2^{nd}$ હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_1 = \frac{2v}{2L} = \frac{v}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે એક છેડો બંધ કરવામાં આવે,ત્યારે પાઇપ બંધ ઓર્ગન પાઇપ બની જાય છે. બંધ પાઇપ માટે અનુનાદિત આવૃત્તિઓ $f_n = \frac{nv}{4L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ એકી પૂર્ણાંક છે $(n = 1, 3, 5, \dots)$.
આપણને આપેલ છે કે $f_2 > f_1$. બંધ પાઇપના સૂત્રમાં $v = f_1 L$ મૂકતા,આપણને $f_2 = \frac{n(f_1 L)}{4L} = \frac{n}{4}f_1$ મળે છે.
કારણ કે $f_2 > f_1$,તેથી $\frac{n}{4} > 1$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $n > 4$.
$4$ થી મોટી સૌથી નાની એકી સંખ્યા $n = 5$ છે.
તેથી,$f_2 = \frac{5}{4}f_1$ અને $n = 5$.