Wave Equation and Characteristics of Waves Questions in Gujarati

(B) તરંગની તરંગલંબાઈ $\lambda$ એ સૂત્ર $\lambda = \frac{v}{f}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $v = 300\, m/s$ અને $f = 500\, Hz$ આપેલ છે,તેથી $\lambda = \frac{300}{500} = 0.6\, m$.
$360^{\circ}$ નો કળા તફાવત એ એક સંપૂર્ણ તરંગલંબાઈ $\lambda$ જેટલા પથ તફાવતને અનુરૂપ છે.
તેથી,$\Delta\phi = 60^{\circ}$ નો કળા તફાવત એ પથ તફાવત $\Delta x$ ને અનુરૂપ છે,જે $\Delta x = \frac{\Delta\phi}{360^{\circ}} \times \lambda$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\Delta x = \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times 0.6\, m = \frac{1}{6} \times 0.6\, m = 0.1\, m$.

(C) આપેલ આવૃત્તિ $f = \frac{1}{8} \, Hz$.
તેથી,આવર્તકાળ $T = \frac{1}{f} = 8 \, s$.
આપેલ તરંગલંબાઈ $\lambda = 24 \, m$.
તરંગની ઝડપ $v = f \lambda = \frac{1}{8} \times 24 = 3 \, m/s$.
તરંગને $x = 9 \, m$ અંતરે રહેલા કણ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t_1 = \frac{x}{v} = \frac{9}{3} = 3 \, s$.
કણ તેની ગતિ મધ્યમાન સ્થિતિથી શરૂ કરે છે (પહેલા ઉપર જાય છે). પ્રથમ વખત નીચેના અંતિમ બિંદુ સુધી પહોંચવા માટે,કણે તેના દોલન ચક્રનો $\frac{3}{4}$ ભાગ પૂર્ણ કરવો પડે.
તરંગ કણ સુધી પહોંચે ત્યારથી કણને નીચેના અંતિમ બિંદુ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t_2 = \frac{3T}{4} = \frac{3}{4} \times 8 = 6 \, s$.
કુલ લાગતો સમય = $t_1 + t_2 = 3 \, s + 6 \, s = 9 \, s$.

(C) પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y = A \sin(\omega t + kx)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 10^{-4} \sin(60t + 2x)$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા:
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 60 \ rad/s$ અને તરંગ સંખ્યા $k = 2 \ m^{-1}$ મળે છે.
$\omega = 2\pi f$ હોવાથી,$60 = 2\pi f$,જેનો અર્થ છે કે $f = \frac{30}{\pi} \ Hz$.
તરંગનો વેગ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{60}{2} = 30 \ m/s$. અહીં $\omega t$ અને $kx$ વચ્ચે ધન ચિહ્ન હોવાથી,તરંગ $x$-અક્ષની ઋણ દિશામાં ગતિ કરે છે.
તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{2} = \pi \ m$.
આ પરિણામોને વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(A) તરંગનું સામાન્ય સમીકરણ $y(x, t) = A \cos(kx - \omega t)$ છે.
અહીં,$k = \alpha$ (તરંગ સંખ્યા) અને $\omega = \beta$ (કોણીય આવૃત્તિ) છે.
તરંગ સંખ્યા $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ છે.
આપેલ છે કે $\lambda = 0.08 \ m$,તેથી $\alpha = \frac{2\pi}{0.08} = 25\pi \ rad/m$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ છે.
આપેલ છે કે $T = 2.0 \ s$,તેથી $\beta = \frac{2\pi}{2.0} = \pi \ rad/s$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ તરંગ સમીકરણ $y = A \sin^2 (\omega t - kx)$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે સમીકરણને આ રીતે લખી શકીએ:
$y = \frac{A}{2} [1 - \cos(2\omega t - 2kx)]$.
કણનો વેગ $v_p$ એ $y$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન છે:
$v_p = \frac{\partial y}{\partial t} = \frac{A}{2} [2\omega \sin(2\omega t - 2kx)] = A\omega \sin(2\omega t - 2kx)$.
કણનો મહત્તમ વેગ $(v_p)_{\max} = A\omega$ છે.
તરંગનો વેગ $v$ એ વિધેયના આર્ગ્યુમેન્ટમાં $t$ ના સહગુણક અને $x$ ના સહગુણકનો ગુણોત્તર છે:
$v = \frac{2\omega}{2k} = \frac{\omega}{k}$.
કારણ કે $k = \frac{2\pi}{\lambda}$,તેથી $v = \frac{\omega}{2\pi / \lambda} = \frac{\omega \lambda}{2\pi}$.
પ્રશ્ન મુજબ,$(v_p)_{\max} = v$:
$A\omega = \frac{\omega \lambda}{2\pi}$.
$A$ માટે ઉકેલતા,આપણને $A = \frac{\lambda}{2\pi}$ મળે છે.

(C) તરંગની આવૃત્તિ માત્ર તરંગના ઉદગમ સ્થાન દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. જ્યારે તરંગ એક માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં જાય છે,ત્યારે તેની આવૃત્તિ અચળ રહે છે,જ્યારે તેનો વેગ અને તરંગલંબાઈ માધ્યમના ગુણધર્મોને આધારે બદલાય છે. તેથી,આવૃત્તિ એ માધ્યમના ગુણધર્મો અને અન્ય તરંગ પરિમાણોથી સ્વતંત્ર છે.

(A) આપેલ તરંગ સમીકરણ $y = a \sin \left( \frac{2\pi}{T}t - \frac{2\pi}{\lambda}x \right)$ છે,જ્યાં કંપવિસ્તાર $a = \frac{10}{\pi} \ cm$ છે.
તરંગનો વેગ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{2\pi/T}{2\pi/\lambda} = \frac{\lambda}{T} = f\lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણનો મહત્તમ વેગ $v_{p,max} = a\omega = a \left( \frac{2\pi}{T} \right)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,તરંગનો વેગ એ કણના મહત્તમ વેગ કરતા બમણો છે:
$v = 2 v_{p,max}$
સમીકરણો મૂકતા:
$\frac{\lambda}{T} = 2 \left( a \cdot \frac{2\pi}{T} \right)$
બંને બાજુથી $T$ દૂર કરતા:
$\lambda = 4\pi a$
$a = \frac{10}{\pi} \ cm$ ની કિંમત મૂકતા:
$\lambda = 4\pi \left( \frac{10}{\pi} \right) = 40 \ cm$.

(B) પ્રગામી તરંગ માટેનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y(x, t) = A \cos(kx - \omega t)$ છે,જ્યાં $k = \frac{\omega}{v}$ છે.
પ્રથમ તરંગ $y_1 = 0.05 \cos(0.50 \pi x - 100 \pi t)$ માટે:
પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે સરખાવતા,કોણીય આવૃત્તિ $\omega_1 = 100 \pi \text{ rad/s}$ અને તરંગ સંખ્યા $k_1 = 0.50 \pi \text{ rad/m}$ મળે છે.
વેગ $v_1 = \frac{\omega_1}{k_1} = \frac{100 \pi}{0.50 \pi} = 200 \text{ m/s}$ મળે છે.
બીજા તરંગ $y_2 = 0.05 \cos(0.46 \pi x - 92 \pi t)$ માટે:
પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે સરખાવતા,કોણીય આવૃત્તિ $\omega_2 = 92 \pi \text{ rad/s}$ અને તરંગ સંખ્યા $k_2 = 0.46 \pi \text{ rad/m}$ મળે છે.
વેગ $v_2 = \frac{\omega_2}{k_2} = \frac{92 \pi}{0.46 \pi} = 200 \text{ m/s}$ મળે છે.
બંને તરંગોનો વેગ સમાન હોવાથી,તરંગનો વેગ $200 \text{ m/s}$ છે.

(B) સમાન ક્ષણે શૃંગ અને નજીકના ગર્ત વચ્ચેનું અંતર એ તરંગલંબાઈના અડધા $(\lambda/2)$ જેટલું હોય છે.
આપેલ છે કે $\lambda/2 = 4.0 \, cm$,તેથી $\lambda = 8.0 \, cm$.
સમાન સ્થાને શૃંગ અને ગર્ત વચ્ચેનું અંતર એ કંપવિસ્તારના બમણા $(2a)$ જેટલું હોય છે.
આપેલ છે કે $2a = 1.0 \, cm$,તેથી $a = 0.5 \, cm$.
સમાન સ્થાને બે ક્રમિક શૃંગ વચ્ચેનો સમયગાળો એ આવર્તકાળ $(T)$ છે.
આપેલ છે કે $T = 0.4 \, s$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0.4} = 5\pi \, rad/s$ થાય.
કંપન કરતા કણોની મહત્તમ ઝડપ $v_{max} = a\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $v_{max} = 0.5 \times 5\pi = 2.5\pi = \frac{5\pi}{2} \, cm/s$.

(C) ધન $x$-દિશામાં પ્રસરતા તરંગનું સામાન્ય સમીકરણ $y(x, t) = f(x - vt)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ તરંગનો વેગ છે.
સમય $t = 0$ પર,સમીકરણ $y = f(x) = \frac{1}{1 + x^2}$ છે.
કોઈપણ સમયે $t$ પર,સમીકરણ $y = f(x - vt) = \frac{1}{1 + (x - vt)^2}$ બને છે.
આપેલ છે કે $t = 2 \ s$ પર,સમીકરણ $y = \frac{1}{1 + (x - 1)^2}$ છે.
$t = 2 \ s$ માટે બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા:
$vt = 1$
અહીં $t = 2 \ s$ હોવાથી,$v(2) = 1$ મળે.
તેથી,$v = \frac{1}{2} = 0.5 \ m/s$.

(C) પ્રગામી હાર્મોનિક તરંગનું સામાન્ય સમીકરણ $y(x, t) = A \sin(\omega t + kx + \phi)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y(x, t) = 10^{-3} \sin(50t + 2x)$ સાથે સરખાવતા:
અહીં,$\omega = 50 \ rad/s$ અને $k = 2 \ rad/m$ છે.
$t$ અને $x$ પદો વચ્ચેની નિશાની ધન $(+)$ હોવાથી,તરંગ ઋણ $x$-અક્ષની દિશામાં ગતિ કરે છે.
તરંગની ઝડપ $v$ એ કોણીય આવૃત્તિ અને તરંગ સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે: $v = \frac{\omega}{k}$.
કિંમતો મૂકતા: $v = \frac{50}{2} = 25 \ m/s$.
તેથી,તરંગ $25 \ m/s$ ની ઝડપે ઋણ $x$-અક્ષની દિશામાં ગતિ કરે છે.

(A) આપેલ તરંગનું સમીકરણ $y(x, t) = A \sin(kx - \omega t + \phi)$ છે.
$t = 0$ સમયે,સમીકરણ $y(x, 0) = A \sin(kx + \phi)$ બને છે.
આકૃતિ પરથી જોઈ શકાય છે કે $t = 0$ અને $x = 0$ સમયે,સ્થાનાંતર $y(0, 0) = 0$ છે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $0 = A \sin(k(0) + \phi) \Rightarrow \sin(\phi) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\phi = 0$ અથવા $\phi = \pi$.
સાચી કિંમત નક્કી કરવા માટે,આપણે $x = 0$ આગળ તરંગનો ઢાળ તપાસીએ. ઢાળ $\frac{\partial y}{\partial x} = Ak \cos(kx + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x = 0$ આગળ,ઢાળ $Ak \cos(\phi)$ છે.
આલેખ પરથી,$x = 0$ આગળ,જેમ $x$ વધે છે તેમ તરંગ નીચેની તરફ જાય છે,જેનો અર્થ છે કે ઢાળ ઋણ છે.
જો $\phi = 0$ હોય,તો ઢાળ $Ak \cos(0) = Ak$ થાય,જે ધન છે.
જો $\phi = \pi$ હોય,તો ઢાળ $Ak \cos(\pi) = -Ak$ થાય,જે ઋણ છે.
તેથી,કળા $\phi = \pi$ હોવી જોઈએ.

(D) કણનો વેગ $v_p = \frac{dy}{dt} = -v \left( \frac{dy}{dx} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ તરંગનો વેગ છે અને $\frac{dy}{dx}$ એ તે બિંદુએ તરંગનો ઢાળ છે.
$(1)$ ઉપરની તરફના વેગ માટે,$v_p$ ધન હોવો જોઈએ. આ માટે ઢાળ $\frac{dy}{dx}$ ઋણ હોવો જરૂરી છે. આલેખ જોતા,બિંદુઓ $D, E$ અને $F$ પર ઢાળ ઋણ છે. તેથી,આ બિંદુઓ ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે.
$(2)$ નીચેની તરફના વેગ માટે,$v_p$ ઋણ હોવો જોઈએ. આ માટે ઢાળ $\frac{dy}{dx}$ ધન હોવો જરૂરી છે. આલેખ જોતા,બિંદુઓ $A, B$ અને $H$ પર ઢાળ ધન છે. તેથી,આ બિંદુઓ નીચેની તરફ ગતિ કરે છે.
$(3)$ શૂન્ય વેગ માટે,ઢાળ $\frac{dy}{dx}$ શૂન્ય હોવો જોઈએ. આ શૃંગ અને ગર્ત પર થાય છે,જે બિંદુઓ $C$ અને $G$ છે.
$(4)$ કણના વેગનું મૂલ્ય ત્યાં મહત્તમ હોય છે જ્યાં ઢાળ $| \frac{dy}{dx} |$ મહત્તમ હોય. આ બિંદુઓ $A, E$ અને $G$ તથા $H$ ની વચ્ચેના બિંદુ પર થાય છે. બિંદુઓ $A$ અને $E$ નો વેગ મહત્તમ છે,ન્યૂનતમ નથી. તેથી,વિધાન $(D)$ ખોટું છે.

(C) પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y = A \sin(\omega t + kx)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 10^{-4} \sin(60t + 2x)$ ને પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 60 \text{ rad/s}$ અને તરંગ સંખ્યા $k = 2 \text{ m}^{-1}$.
$\omega t$ અને $kx$ વચ્ચેનું ચિહ્ન ધન હોવાથી,તરંગ $x$-અક્ષની ઋણ દિશામાં ગતિ કરે છે.
આવૃત્તિ $f = \omega / (2\pi) = 60 / (2\pi) = 30/\pi \text{ Hz}$.
તરંગનો વેગ $v = \omega / k = 60 / 2 = 30 \text{ m/s}$.
તરંગલંબાઈ $\lambda = 2\pi / k = 2\pi / 2 = \pi \text{ m}$.
આ પરિણામોને વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(A) $-z$ દિશામાં ગતિ કરતા તરંગનું સામાન્ય સમીકરણ $x = A \sin(\omega t + kz)$ છે.
આપેલ છે:
કંપવિસ્તાર $A = 1 \ m$.
તરંગલંબાઈ $\lambda = \pi \ m$.
આવૃત્તિ $f = \frac{1}{\pi} \ Hz$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi f = 2\pi \times \frac{1}{\pi} = 2 \ rad/s$.
તરંગ સંખ્યા $k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{\pi} = 2 \ m^{-1}$.
આ કિંમતોને સામાન્ય સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$x = 1 \sin(2t + 2z)$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) તરંગ માટે કળા તફાવત $(\Delta \phi)$ અને પથ તફાવત $(\Delta x)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\frac{\Delta \phi}{2\pi} = \frac{\Delta x}{\lambda}$
અહીં આપેલ છે કે પથ તફાવત $\Delta x = x$ છે,તેથી આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{\Delta \phi}{2\pi} = \frac{x}{\lambda}$
કળા તફાવત $\Delta \phi$ માટે સાદું રૂપ આપતા:
$\Delta \phi = \frac{2\pi x}{\lambda}$

(A) આપેલ તરંગનું સમીકરણ $y = 0.25 \sin(10\pi x - 2\pi t)$ છે.
આને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y = A \sin(kx - \omega t)$ સાથે સરખાવતા:
$1$. કંપવિસ્તાર $A = 0.25 \, m$.
$2$. તરંગ સંખ્યા $k = 10\pi$. કારણ કે $k = \frac{2\pi}{\lambda}$,તેથી $\lambda = \frac{2\pi}{10\pi} = 0.2 \, m$.
$3$. કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi$. કારણ કે $\omega = 2\pi f$,તેથી $f = \frac{2\pi}{2\pi} = 1 \, Hz$.
$4$. $kx$ અને $\omega t$ વચ્ચેનું ચિહ્ન ઋણ હોવાથી,તરંગ ધન $x$-દિશામાં ગતિ કરે છે.
તેથી,તરંગ $1 \, Hz$ આવૃત્તિ અને $\lambda = 0.2 \, m$ તરંગલંબાઇ સાથે $+ve$ $x$-દિશામાં ગતિ કરે છે.

(D) બે બિંદુઓ સમાન કળામાં હોય છે જો તેમનું સરેરાશ સ્થાનથી સ્થાનાંતર સમાન હોય અને તેઓ સમાન દિશામાં ગતિ કરતા હોય.
આપેલ સાઇનસોઇડલ તરંગમાં,બિંદુ $C$ અને $E$ બંને $x$-અક્ષની નીચે છે,તેમનું શિરોલંબ સ્થાનાંતર સમાન છે,અને બંને ઉપરની દિશામાં (સંતુલન સ્થાન તરફ) ગતિ કરી રહ્યા છે. તેથી,બિંદુ $C$ અને $E$ સમાન કળામાં છે.

(A) પ્રથમ તરંગનું સમીકરણ $y_1 = a \sin(\omega t + kx + 0.57)$ છે.
તેથી,પ્રથમ તરંગની કળા $\phi_1 = (\omega t + kx + 0.57)$ છે.
બીજા તરંગનું સમીકરણ $y_2 = a \cos(\omega t + kx)$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(\theta) = \sin(\theta + \pi/2)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે લખી શકીએ કે $y_2 = a \sin(\omega t + kx + \pi/2)$.
તેથી,બીજા તરંગની કળા $\phi_2 = (\omega t + kx + \pi/2)$ છે.
કળા તફાવત $\Delta \phi = \phi_2 - \phi_1$ દ્વારા મળે છે.
$\Delta \phi = (\omega t + kx + \pi/2) - (\omega t + kx + 0.57)$.
$\Delta \phi = \pi/2 - 0.57$.
કારણ કે $\pi \approx 3.14$,તેથી $\pi/2 \approx 1.57$.
$\Delta \phi = 1.57 - 0.57 = 1.0 \ radian$.

(B) આપેલ છે: માધ્યમ $A$ માં તરંગલંબાઈ,$\lambda_{A} = 100 \, mm = 0.10 \, m$.
માધ્યમ $B$ માં તરંગલંબાઈ,$\lambda_{B} = 0.25 \, m$.
માધ્યમ $A$ માં વેગ,$v_{A} = 80 \, cm s^{-1} = 0.80 \, m s^{-1}$.
જ્યારે તરંગ એક માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં જાય છે ત્યારે તેની આવૃત્તિ $f$ અચળ રહે છે,તેથી $f = \frac{v_{A}}{\lambda_{A}} = \frac{v_{B}}{\lambda_{B}}$.
$v_{B}$ માટે સૂત્ર બનાવતા,$v_{B} = v_{A} \times \frac{\lambda_{B}}{\lambda_{A}}$.
કિંમતો મૂકતા: $v_{B} = 0.80 \times \frac{0.25}{0.10}$.
$v_{B} = 0.80 \times 2.5 = 2.0 \, m s^{-1}$.

(D) આપેલ છે: તરંગની આવૃત્તિ,$f = 150 \, Hz$.
આકૃતિ પરથી,$20 \, cm$ નું અંતર $2.5$ તરંગલંબાઈ (અથવા $\frac{5}{2}$ ચક્ર) આવરી લે છે.
તેથી,$\frac{5}{2} \lambda = 20 \, cm$.
$\lambda = \frac{20 \times 2}{5} \, cm = 8 \, cm = 0.08 \, m$.
તરંગનો વેગ $v = f \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v = 150 \, Hz \times 0.08 \, m = 12 \, ms^{-1}$.
આમ,તરંગલંબાઈ $0.08 \, m$ છે અને વેગ $12 \, ms^{-1}$ છે.

(C) તરંગના પ્રસરણની દિશા નક્કી કરવા માટે,આપણે $x = x_1$ પરના કણની ગતિ જોઈએ છીએ.
$x = x_1$ પર,કણ તરંગના ચઢતા ઢાળ પર છે અને ઉપરની તરફ ગતિ કરી રહ્યો છે.
$+x$ દિશામાં ગતિ કરતા તરંગ માટે,ચઢતા ઢાળ પરના કણો (જ્યાં ઢાળ ધન હોય છે) ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે.
તેનાથી વિપરીત,$-x$ દિશામાં ગતિ કરતા તરંગ માટે,ચઢતા ઢાળ પરના કણો નીચેની તરફ ગતિ કરે છે.
આમ,$x = x_1$ પરનો કણ ઉપરની તરફ ગતિ કરતો હોવાથી,તરંગ $+x$ દિશામાં પ્રસરણ પામી રહ્યું છે.

(B) ધન $X-$ દિશામાં આકાર બદલ્યા વિના પ્રસરતા તરંગ માટેનું સામાન્ય સમીકરણ $y = f(x - vt)$ છે.
$t = 0$ સમયે,સમીકરણ $y = f(x) = 1/(1 + x^2)$ છે.
$t = 2$ સેકન્ડ પર,સમીકરણ $y = f(x - 2v) = 1/[1 + (x - 2v)^2]$ છે.
આને $t = 2$ સેકન્ડ પર આપેલા સમીકરણ $y = 1/[1 + (x - 1)^2]$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$x - 2v = x - 1$
$2v = 1$
$v = 0.5 \, ms^{-1}$.

(C) આપેલ તરંગ સમીકરણ $y = A \sin(\omega t - kx)$ છે.
કોઈપણ સમયે $t$ પર $x$ ના સાપેક્ષમાં વક્રનો ઢાળ શોધવા માટે,આપણે $y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં આંશિક વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{\partial y}{\partial x} = A \cos(\omega t - kx) \cdot (-k) = -kA \cos(\omega t - kx)$.
ઢાળનું મૂલ્ય $|\frac{\partial y}{\partial x}| = |kA \cos(\omega t - kx)|$ છે.
બિંદુ $B$ પર,સ્થાનાંતર $y = 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\sin(\omega t - kx) = 0$. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે $(\omega t - kx) = n\pi$ (જ્યાં $n$ એક પૂર્ણાંક છે).
આ બિંદુઓ પર,$\cos(\omega t - kx) = \pm 1$ થાય છે.
તેથી,$B$ પર ઢાળનું મૂલ્ય $|-kA(\pm 1)| = kA$ છે.

(D) લંબગત તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin 2\pi \left( \frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 5 \sin 2\pi \left[ \frac{t}{0.04} - \frac{x}{50} \right]$ ને પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને પદ $\frac{x}{\lambda} = \frac{x}{50}$ મળે છે.
તેથી,તરંગલંબાઈ $\lambda = 50 \, cm$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $y = A_1 \sin \omega t + A_2 \cos \omega t$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $A_1 = \frac{1}{\sqrt{a}}$ અને $A_2 = \frac{1}{\sqrt{b}}$ છે.
$y = A_1 \sin \omega t + A_2 \cos \omega t$ સ્વરૂપના સમીકરણ માટે,પરિણામી કંપવિસ્તાર $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$A_1$ અને $A_2$ ની કિંમતો મૂકતા:
$A = \sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{a}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{b}}\right)^2}$
$A = \sqrt{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$
$A = \sqrt{\frac{b + a}{ab}}$
$A = \frac{\sqrt{a + b}}{\sqrt{ab}}$

(C) તરંગલંબાઈ $\lambda$ એ બે ક્રમિક શિખરો વચ્ચેનું અંતર છે,તેથી $\lambda = 100 \ m$.
આપેલ તરંગનો વેગ $v = 25 \ m/s$ છે.
તરંગની આવૃત્તિ $f$ એ સૂત્ર $v = f \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $f = \frac{v}{\lambda}$.
કિંમતો મૂકતા,$f = \frac{25}{100} = 0.25 \ Hz$.
સમયગાળો $T$ એ એક સંપૂર્ણ ઉછાળા માટે લાગતો સમય છે,જે આવૃત્તિનો વ્યસ્ત છે: $T = \frac{1}{f}$.
તેથી,$T = \frac{1}{0.25} = 4 \ s$.

(C) જ્યારે તરંગ એક માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં જાય છે, ત્યારે તેનો વેગ $(v)$ અને તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ માધ્યમના ગુણધર્મો (જેમ કે વક્રીભવનાંક અથવા ઘનતા) પર આધાર રાખીને બદલાય છે.
જોકે, તરંગની આવૃત્તિ $(f)$ ફક્ત તરંગના ઉદગમ સ્થાન દ્વારા નક્કી થાય છે અને તે જે માધ્યમમાંથી પ્રસરણ પામે છે તેનાથી સ્વતંત્ર રહે છે.
તેથી, આવૃત્તિ એ માધ્યમના ગુણધર્મોથી સ્વતંત્ર છે, જ્યારે વેગ અને તરંગલંબાઈ તેના પર આધારિત છે.

(B) ગતિ કરતા તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin (\omega t - kx)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $x = A \sin (2t - 0.1x)$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને તરંગ સંખ્યા $k = 0.1$ મળે છે.
તરંગ સંખ્યા $k$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda$ વચ્ચેનો સંબંધ $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ છે.
$k$ ની કિંમત મૂકતા:
$0.1 = \frac{2\pi}{\lambda}$
$\lambda = \frac{2\pi}{0.1} = 20\pi$.
તેથી,તરંગની તરંગલંબાઈ $20\pi$ છે.

(A) તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ એ સમાન કળામાં રહેલા બે નજીકના કણો વચ્ચેના અંતર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
આવર્તકાળ $(T)$ એ તરંગ દ્વારા એક તરંગલંબાઈ જેટલું અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,તરંગની ઝડપ $(v)$ એ એકમ સમયમાં કાપેલું અંતર છે.
તેથી,$v = \frac{\lambda}{T}$,એટલે કે $\text{તરંગની ઝડપ} = \frac{\text{તરંગલંબાઈ}}{\text{આવર્તકાળ}}$.
કારણ કે કારણ એ તરંગલંબાઈને યોગ્ય રીતે વ્યાખ્યાયિત કરે છે અને વિધાનમાં આપેલા સંબંધનો આધાર પૂરો પાડે છે,તેથી કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી છે.

(N/A) પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y(x, t) = a \sin (kx - \omega t)$ છે.
$(a)$ આપેલ સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,કંપવિસ્તાર $a = 0.005 \, m = 5 \, mm$ મળે છે.
$(b)$ કોણીય તરંગ સંખ્યા $k = 80.0 \, m^{-1}$ છે. તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટેનું સૂત્ર $\lambda = 2\pi / k = 2\pi / 80.0 \approx 0.0785 \, m = 7.85 \, cm$ છે.
$(c)$ કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 3.0 \, rad \, s^{-1}$ છે. આવર્તકાળ $T = 2\pi / \omega = 2\pi / 3.0 \approx 2.09 \, s$ છે. આવૃત્તિ $\nu = 1 / T = 3.0 / 2\pi \approx 0.48 \, Hz$ છે.
$x = 30.0 \, cm = 0.3 \, m$ અને $t = 20 \, s$ પર સ્થાનાંતર માટે:
$y = 0.005 \sin (80.0 \times 0.3 - 3.0 \times 20) = 0.005 \sin (24 - 60) = 0.005 \sin (-36 \, rad)$.
$\sin(-36 \, rad) \approx \sin(-36 + 12\pi) \approx \sin(1.699 \, rad) \approx 0.992$ હોવાથી,
$y \approx 0.005 \times 0.992 \approx 0.00496 \, m \approx 5 \, mm$.

(NONE) આનું પ્રતિપ વિધાન સાચું નથી. વિધેય $y=f(x \pm vt)$ પ્રગામી તરંગ ત્યારે જ દર્શાવે જો તે $x$ અને $t$ ના તમામ મૂલ્યો માટે સીમિત (finite) રહે.
$(a)$ $y = (x-vt)^2$ માટે: જેમ $x \to \infty$ અથવા $t \to \infty$ થાય,તેમ $y \to \infty$ થાય છે. આ વિધેય $x$ અને $t$ ના તમામ મૂલ્યો માટે સીમિત રહેતું નથી,તેથી તે ભૌતિક રીતે શક્ય પ્રગામી તરંગ દર્શાવતું નથી.
$(b)$ $y = \log[(x+vt)/x_0]$ માટે: જેમ $x+vt \to 0$ થાય,તેમ $y \to -\infty$ થાય છે. આ વિધેય $x$ અને $t$ ના તમામ મૂલ્યો માટે સીમિત રહેતું નથી,તેથી તે ભૌતિક રીતે શક્ય પ્રગામી તરંગ દર્શાવતું નથી.
$(c)$ $y = 1/(x+vt)$ માટે: જેમ $x+vt \to 0$ થાય,તેમ $y \to \infty$ થાય છે. આ વિધેય $x$ અને $t$ ના તમામ મૂલ્યો માટે સીમિત રહેતું નથી,તેથી તે ભૌતિક રીતે શક્ય પ્રગામી તરંગ દર્શાવતું નથી.

(N/A) આપેલ લંબગત હાર્મોનિક તરંગનું સમીકરણ $y(x, t) = 3.0 \sin (36 t + 0.018 x + \pi / 4)$ છે.
$x = 0, 2$ અને $4 \; cm$ માટે,સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$y(0, t) = 3.0 \sin (36 t + \pi / 4)$
$y(2, t) = 3.0 \sin (36 t + 0.036 + \pi / 4)$
$y(4, t) = 3.0 \sin (36 t + 0.072 + \pi / 4)$
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 36 \; rad/s$ છે,તેથી આવર્તકાળ $T = 2\pi / \omega = \pi / 18 \; s$ થાય.
આ આલેખનો આકાર સાઇનસૉઇડલ (sinusoidal) છે. પ્રગામી તરંગમાં,કંપવિસ્તાર અને આવૃત્તિ તમામ બિંદુઓ માટે અચળ રહે છે,પરંતુ તરંગ સમીકરણમાં $kx$ પદને કારણે કળા (phase) એક બિંદુથી બીજા બિંદુએ બદલાય છે.

(N/A) પ્રગામી હાર્મોનિક તરંગનું સમીકરણ $y(x, t) = 2.0 \cos 2 \pi(10 t - 0.0080 x + 0.35)$ આપેલ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y = a \cos(2 \pi \nu t - kx + \phi_0)$ સાથે સરખાવતા:
પ્રસરણ અચળાંક $k = 0.0160 \pi \, rad/cm$ મળે છે.
$\Delta x$ અંતરે રહેલા બે બિંદુઓ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\Delta \phi = k \Delta x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(a)$ $\Delta x = 4 \, m = 400 \, cm$ માટે:
$\Delta \phi = (0.0160 \pi \, rad/cm) \times (400 \, cm) = 6.4 \pi \, rad$.
$(b)$ $\Delta x = 0.5 \, m = 50 \, cm$ માટે:
$\Delta \phi = (0.0160 \pi \, rad/cm) \times (50 \, cm) = 0.8 \pi \, rad$.
$(c)$ $\Delta x = \lambda / 2$ માટે:
$k = 2 \pi / \lambda$ હોવાથી,$\Delta \phi = (2 \pi / \lambda) \times (\lambda / 2) = \pi \, rad$.
$(d)$ $\Delta x = 3 \lambda / 4$ માટે:
$\Delta \phi = (2 \pi / \lambda) \times (3 \lambda / 4) = 1.5 \pi \, rad$.

(A) આપેલ હાર્મોનિક તરંગનું સમીકરણ $y(x, t) = 7.5 \sin (0.0050 x + 12 t + \pi / 4)$ છે.
$(a)$ $x = 1 \; cm$ અને $t = 1 \; s$ માટે:
$y(1, 1) = 7.5 \sin (0.0050 + 12 + \pi / 4) = 7.5 \sin (12.0050 + 0.785) = 7.5 \sin (12.79 \; rad)$.
ડિગ્રીમાં ફેરવતા: $12.79 \times (180 / \pi) \approx 732.81^{\circ}$.
$y = 7.5 \sin (732.81^{\circ}) = 7.5 \sin (8 \times 90^{\circ} + 12.81^{\circ}) = 7.5 \sin (12.81^{\circ}) \approx 7.5 \times 0.2217 \approx 1.663 \; cm$.
દોલનનો વેગ $v = \frac{\partial y}{\partial t} = 7.5 \times 12 \cos (0.0050 x + 12 t + \pi / 4) = 90 \cos (0.0050 x + 12 t + \pi / 4)$.
$x = 1 \; cm, t = 1 \; s$ માટે: $v = 90 \cos (12.79 \; rad) = 90 \cos (12.81^{\circ}) \approx 90 \times 0.975 = 87.75 \; cm/s$.
તરંગના પ્રસરણનો વેગ $v_p = \omega / k = 12 / 0.0050 = 2400 \; cm/s$.
અહીં $87.75 \; cm/s \neq 2400 \; cm/s$ હોવાથી,દોલનનો વેગ તરંગના પ્રસરણ વેગ જેટલો નથી.
$(b)$ તરંગલંબાઈ $\lambda = 2 \pi / k = 2 \pi / 0.0050 = 1256 \; cm = 12.56 \; m$.
સમાન સ્થાનાંતર અને વેગ ધરાવતા બિંદુઓ તરંગલંબાઈ $\lambda$ ના પૂર્ણાંક ગુણાંકમાં હોય છે. તેથી,બિંદુઓ $x = (1 \; cm \pm n \lambda)$ છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$.

(N/A) ધન $x$-દિશામાં પ્રસરતા તરંગનું સમીકરણ $y(x, t) = a \sin(\omega t - kx + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$y(0, 0) = 0$ આપેલ હોવાથી,$a \sin(\phi) = 0$,તેથી $\phi = 0$.
રેખીય દળ ઘનતા $\mu = 8.0 \times 10^{-3} \; kg \; m^{-1}$.
આવૃત્તિ $v = 256 \; Hz$.
કંપવિસ્તાર $a = 5.0 \; cm = 0.05 \; m$.
તણાવબળ $T = mg = 90 \times 9.8 = 882 \; N$.
તરંગનો વેગ $v = \sqrt{T/\mu} = \sqrt{882 / (8.0 \times 10^{-3})} = \sqrt{110250} \approx 332 \; m/s$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi v = 2 \times 3.14159 \times 256 \approx 1608 \; rad/s$.
પ્રસરણ અચળાંક $k = \omega / v = 1608 / 332 \approx 4.84 \; m^{-1}$.
આ કિંમતો મૂકતા,સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $y(x, t) = 0.05 \sin(1608t - 4.84x) \; m$ મળે છે.

(N/A) તરંગના પ્રસરણમાં ભાગ લેતા કણના મહત્તમ સ્થાનાંતરના મૂલ્યને તરંગનો કંપવિસ્તાર કહે છે. તેને $a$ અથવા $A$ સંજ્ઞા વડે દર્શાવવામાં આવે છે.
તરંગના સમીકરણ મુજબ:
$y = a \sin(kx - \omega t + \phi)$
કારણ કે $\sin(kx - \omega t + \phi)$ નું મૂલ્ય મહત્તમ $\pm 1$ હોય છે,તેથી આપણે લખી શકીએ:
$y_{\max} = a(\pm 1) = \pm a$
તેથી,તરંગનો કંપવિસ્તાર $= |y_{\max}| = a$.
તરંગનો કંપવિસ્તાર હંમેશા ધન હોય છે. તેનો $SI$ એકમ $m$ છે અને તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^0 L^1 T^0]$ છે.
પ્રારંભિક કળા $(\phi)$: જો આપણને $t = 0$ સમયે તરંગના ઉદગમ સ્થાને કણનું પ્રારંભિક સ્થાન અને તેની ગતિની દિશા ખબર હોય,તો આપણે પ્રારંભિક કળા $\phi$ નું મૂલ્ય શોધી શકીએ છીએ:
$y(x, t) = a \sin(\omega t - kx + \phi)$
$x = 0$ અને $t = 0$ મૂકતા,$y(0, 0) = a \sin \phi$.
અહીં $\sin \phi$ જાણીને,આપણે પ્રારંભિક કળા $\phi$ શોધી શકીએ છીએ.
તરંગના સમીકરણ $y = y(x, t) = a \sin(\omega t - kx + \phi)$ માં,સાઈન વિધેયનો આર્ગ્યુમેન્ટ $(\omega t - kx + \phi)$ છે,જેને ઉદગમથી $x$ અંતરે $t$ સમયે તરંગની કુલ કળા કહેવામાં આવે છે. તે $t$ સમયે તરંગના ઉદગમથી $x$ અંતરે રહેલા કણના દોલનની કુલ કળા દર્શાવે છે.

(N/A) તરંગલંબાઈ: તરંગ પરના કોઈપણ બે ક્રમિક બિંદુઓ અથવા કણો કે જેમની વચ્ચેનો કળા તફાવત $2 \pi \text{ rad}$ હોય,તે અંતરને તરંગની તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ કહેવાય છે. તેનો $SI$ એકમ મીટર $(m)$ છે.
તરંગ સંખ્યા: એકમ અંતરમાં રહેલી તરંગોની સંખ્યાને તરંગ સંખ્યા $(\bar{\nu})$ કહેવાય છે. તે તરંગલંબાઈના વ્યસ્ત તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
તરંગલંબાઈ માટેનું સમીકરણ: $y(x, t) = a \sin(kx - \omega t)$ દ્વારા દર્શાવતા તરંગ માટે,સ્થાનાંતર $\lambda = \frac{2 \pi}{k}$ અંતર પછી પુનરાવર્તિત થાય છે.
તરંગ સંખ્યા માટેનું સમીકરણ: $\bar{\nu} = \frac{1}{\lambda} = \frac{k}{2 \pi}$.
એકમ:
- તરંગલંબાઈ $(\lambda)$: $SI$ એકમ મીટર $(m)$ છે.
- તરંગ સંખ્યા $(\bar{\nu})$: $SI$ એકમ મીટર$^{-1}$ $(m^{-1})$ છે.

(N/A) આવર્તકાળ: માધ્યમના કોઈ પણ કણ દ્વારા એક પૂર્ણ દોલન પૂર્ણ કરવા માટે લાગતા સમયને આવર્તકાળ $(T)$ કહે છે.
તરંગના સ્થાનાંતરના સમીકરણમાં,$y(x, t) = a \sin (kx - \omega t + \phi)$. જો $\phi = 0$ હોય,તો $x = 0$ આગળ કણની ગતિ જોતા,$y(0, t) = a \sin(-\omega t) = -a \sin(\omega t)$. આ કણની કંપવિસ્તાર $a$ અને આવર્તકાળ $T$ સાથેની સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ દર્શાવે છે. સાઈન વિધેય $2\pi$ ના અંતરાલે પુનરાવર્તિત થતું હોવાથી,$\omega T = 2\pi$,તેથી $\omega = \frac{2\pi}{T}$.
કોણીય આવૃત્તિ: તરંગમાં માધ્યમના કણોના દોલનની કોણીય આવૃત્તિને તરંગની કોણીય આવૃત્તિ કહે છે. તેની સંજ્ઞા $\omega$ છે,તેનો $SI$ એકમ $\text{rad } s^{-1}$ છે અને તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^0 L^0 T^{-1}]$ છે.
આવૃત્તિ: માધ્યમનો કણ એક સેકન્ડમાં જેટલા દોલનો પૂર્ણ કરે તેને દોલનની આવૃત્તિ કહે છે. તેની સંજ્ઞા $\nu$ અથવા $f$ છે. $f = \frac{1}{T}$ હોવાથી,આવૃત્તિનો $SI$ એકમ $s^{-1}$ અથવા $\text{Hz}$ (હર્ટ્ઝ) છે અને તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^0 L^0 T^{-1}]$ છે.

(N/A) હાર્મોનિક તરંગ માટે સ્થાનાંતર વિધેય નીચે મુજબના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $s(x, t) = a \sin(kx - \omega t + \phi)$.
અહીં,$s(x, t)$ એ $x$ સ્થાન અને $t$ સમયે માધ્યમના ઘટકનું સ્થાનાંતર દર્શાવે છે.
$a$ એ તરંગનો કંપવિસ્તાર છે.
$k$ એ કોણીય તરંગ સંખ્યા છે,જે $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે,જે $\omega = 2\pi f$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$\phi$ એ પ્રારંભિક કળા અચળાંક છે.

(N/A) તરંગ ઝડપ: એકમ સમયમાં તરંગ દ્વારા કાપવામાં આવેલા અંતરને તરંગ ઝડપ કહે છે.
તેનો એકમ $m/s$ છે અને તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^0 L^1 T^{-1}]$ છે.
ધારો કે $\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે (એક આવર્તકાળ $T$ માં તરંગ દ્વારા કપાયેલું અંતર).
વ્યાખ્યા મુજબ,તરંગ ઝડપ $v = \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{\lambda}{T}$.
આવૃત્તિ $f = \frac{1}{T}$ હોવાથી,$v = f \lambda$ મળે.
સમીકરણને $2\pi$ વડે ગુણતા અને ભાગતા,$v = \frac{2\pi f \lambda}{2\pi}$ મળે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi f$ અને તરંગ સંખ્યા $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ ના સંબંધોનો ઉપયોગ કરતા:
$v = \frac{\omega}{k}$.

(N/A) તરંગ સમીકરણ એ દ્વિતીય ક્રમનું રેખીય આંશિક વિકલન સમીકરણ છે જે વિવિધ પ્રકારના તરંગો જેવા કે ધ્વનિ તરંગો,પ્રકાશના તરંગો અને પાણીના તરંગોના પ્રસરણનું વર્ણન કરે છે.
$x$-અક્ષ પર $v$ જેટલી તરંગ ઝડપ સાથે ગતિ કરતા એક-પરિમાણીય તરંગ માટે,તરંગ સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$\frac{\partial^2 y}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 y}{\partial t^2}$
જ્યાં $y(x, t)$ એ $x$ સ્થાન અને $t$ સમયે તરંગનું સ્થાનાંતર દર્શાવે છે.

(N/A) વ્યાખ્યા: તરંગના પ્રસરણ દરમિયાન માધ્યમના કણોનું તેમના સરેરાશ અથવા સંતુલન સ્થાનથી થતું મહત્તમ સ્થાનાંતર એટલે તરંગનો કંપવિસ્તાર.
એકમ: કંપવિસ્તારનો $SI$ એકમ મીટર $(m)$ છે.
પારિમાણિક સૂત્ર: કંપવિસ્તાર એ લંબાઈ દર્શાવતું હોવાથી,તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^0 L^1 T^0]$ છે.

(N/A) તરંગલંબાઈ એટલે લંબગત તરંગમાં બે ક્રમિક શૃંગ અથવા બે ક્રમિક ગર્ત વચ્ચેનું અંતર,અથવા સંગત તરંગમાં બે ક્રમિક સંઘનન અથવા બે ક્રમિક વિઘનન વચ્ચેનું અંતર.
તે એક સંપૂર્ણ દોલન દરમિયાન તરંગ દ્વારા કાપવામાં આવેલું અંતર દર્શાવે છે.
તરંગલંબાઈનો $SI$ એકમ મીટર $(m)$ છે.

(N/A) કોણીય તરંગ સંખ્યા,જેને પ્રસરણ અચળાંક તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે,તેને તરંગના એકમ અંતર દીઠ થતા કળા (phase) ફેરફાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તે એકમ લંબાઈ દીઠ કળામાં થતા ફેરફારના રેડિયનનું માપ દર્શાવે છે.
ગાણિતિક રીતે,કોણીય તરંગ સંખ્યા $k$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$k = \frac{2\pi}{\lambda}$
જ્યાં $\lambda$ એ તરંગની તરંગલંબાઈ છે.
કોણીય તરંગ સંખ્યાનો $SI$ એકમ $\text{rad/m}$ અથવા $\text{m}^{-1}$ છે.

(N/A) તરંગના આવર્તકાળની વ્યાખ્યા નીચે મુજબ છે: જ્યારે તરંગ માધ્યમમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે માધ્યમના કણ દ્વારા એક સંપૂર્ણ દોલન કે કંપન પૂર્ણ કરવા માટે લાગતા સમયને તરંગનો આવર્તકાળ કહે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,તરંગ દ્વારા એક તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ જેટલું અંતર કાપવા માટે લાગતા સમયને આવર્તકાળ કહેવામાં આવે છે.
તેને $T$ સંજ્ઞા વડે દર્શાવવામાં આવે છે અને તેનો $SI$ એકમ સેકન્ડ $(s)$ છે.

(N/A) તરંગની કોણીય આવૃત્તિ $(\omega)$ એટલે સમયની સાપેક્ષમાં તરંગના કળામાં થતા ફેરફારનો દર.
તે એકમ સમયમાં તરંગ કેટલા રેડિયન દોલન કરે છે તે દર્શાવે છે.
ગાણિતિક રીતે, તે $\omega = 2\pi f$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $f$ એ તરંગની આવૃત્તિ છે.
કોણીય આવૃત્તિનો $SI$ એકમ રેડિયન પ્રતિ સેકન્ડ $(rad/s)$ છે.

(N/A) તરંગ ઝડપ એટલે એકમ સમયમાં તરંગ દ્વારા કાપવામાં આવેલું અંતર। તે એવી ઝડપ છે જેના દ્વારા તરંગ વિક્ષેપ માધ્યમમાં આગળ વધે છે। ગાણિતિક રીતે, તે તરંગની આવૃત્તિ $(f)$ અને તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ ના ગુણાકાર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v = f \lambda$। કોણીય આવૃત્તિ $(\omega)$ અને તરંગ સંખ્યા $(k)$ ના સંદર્ભમાં, તેને $v = \frac{\omega}{k}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે।

(N/A) પ્રગામી તરંગનું સામાન્ય સમીકરણ $y(x, t) = A \sin(kx - \omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$k$ એ કોણીય તરંગ સંખ્યા છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
તરંગનો કળા (phase) $\Phi = kx - \omega t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અચળ કળા માટે (તરંગ પરના ચોક્કસ બિંદુનું સ્થાન),આપણી પાસે $kx - \omega t = \text{constant}$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને $k \frac{dx}{dt} - \omega = 0$ મળે છે.
તરંગ વેગ $v$ ને $v = \frac{dx}{dt}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,તેથી આપણે આને સમીકરણમાં મૂકીએ છીએ:
$kv - \omega = 0$.
તેથી,સંબંધ $v = \frac{\omega}{k}$ છે.

(N/A) તરંગ ઝડપ એટલે એકમ સમયમાં તરંગ દ્વારા કાપવામાં આવેલું અંતર. તે એ ઝડપ દર્શાવે છે કે જેની સાથે તરંગ સ્વરૂપ અથવા વિક્ષેપ માધ્યમમાં આગળ વધે છે.
ગાણિતિક રીતે, તે આવૃત્તિ $(f)$ અને તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ ના ગુણાકાર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v = f \lambda$.
તરંગ ઝડપનો $SI$ એકમ મીટર પ્રતિ સેકન્ડ $(m/s)$ છે.