Wave Equation and Characteristics of Waves Questions in Gujarati

(B) આપેલ સમીકરણો:
$y_1 = a \sin(\omega t - kx)$
$y_2 = b \cos(\omega t - kx + \frac{\pi}{3})$
કળા તફાવત શોધવા માટે,આપણે કોસાઇન વિધેયને સાઇન વિધેયમાં રૂપાંતરિત કરીએ છીએ,નિત્યસમ $\cos(\theta) = \sin(\theta + \frac{\pi}{2})$ નો ઉપયોગ કરીને.
$y_2 = b \sin(\omega t - kx + \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2})$
$y_2 = b \sin(\omega t - kx + \frac{2\pi + 3\pi}{6})$
$y_2 = b \sin(\omega t - kx + \frac{5\pi}{6})$
$y_1$ ની કળા $\phi_1 = \omega t - kx$ છે.
$y_2$ ની કળા $\phi_2 = \omega t - kx + \frac{5\pi}{6}$ છે.
કળા તફાવત $\Delta\phi = \phi_2 - \phi_1 = \frac{5\pi}{6}$ થાય.

(A) આપેલ છે: આવૃત્તિ $f = 200 Hz$,ઝડપ $v = 340 m s^{-1}$,અંતર $\Delta x = 85 cm = 0.85 m$.
સૌ પ્રથમ,$\lambda = \frac{v}{f}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તરંગલંબાઈ $\lambda$ શોધો.
$\lambda = \frac{340}{200} = 1.7 m$.
કળા તફાવત $\Delta \phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \times \Delta x$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{1.7} \times 0.85$.
$\Delta \phi = \frac{2 \pi}{1.7} \times \frac{1.7}{2} = \pi$ રેડિયન.

(D) આપેલ તરંગનું સમીકરણ $y = (0.02 \ m) \sin (5 \pi x - 20 t)$ છે.
આને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y = A \sin (kx - \omega t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને તરંગ સંખ્યા $k = 5 \pi \ m^{-1}$ મળે છે.
તરંગલંબાઈ $\lambda$ એ $k = \frac{2 \pi}{\lambda}$ દ્વારા મળે છે,તેથી $\lambda = \frac{2 \pi}{k} = \frac{2 \pi}{5 \pi} = 0.4 \ m$.
તરંગમાં રહેલા કણો સમાન ઝડપ ધરાવે છે જો તેઓ તરંગલંબાઈના અડધા ભાગ $(\frac{\lambda}{2})$ જેટલા અંતરે અથવા તરંગલંબાઈના પૂર્ણાંક ગુણાંકમાં હોય. સમાન ઝડપ ધરાવતા બે કણો વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $\frac{\lambda}{2}$ છે.
તેથી,લઘુત્તમ અંતર $= \frac{0.4 \ m}{2} = 0.2 \ m$.

(A) બે ક્રમિક ન્યૂનતમ વચ્ચેનું અંતર એ તરંગલંબાઈ $\lambda$ જેટલું હોય છે. તેથી,$\lambda = 2.7 \ m$ છે.
આવૃત્તિ $f$ એ એકમ સમયમાં બિંદુ પાસેથી પસાર થતા તરંગોની સંખ્યા તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ છે કે $15.0 \ s$ માં $5$ શૃંગ પસાર થાય છે,તેથી આવૃત્તિ $f = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} \ s^{-1}$ છે.
તરંગની ઝડપ $v$ એ સંબંધ $v = f \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$v = \frac{1}{3} \times 2.7 = 0.9 \ m \ s^{-1}$ મળે છે.

(A) આપેલ તરંગ વિધેય $y(x, t) = e^{-(\sqrt{a}x + \sqrt{b}t)^2}$ છે.
તરંગ ગતિ કરવા માટે, વિધેયનો તર્ક $(x \pm vt)$ સ્વરૂપમાં હોવો જોઈએ.
આપણે ઘાતાંકને $-(\sqrt{a}(x + \sqrt{\frac{b}{a}}t))^2$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
આ $f(x + vt)$ સ્વરૂપમાં છે, જ્યાં $v = \sqrt{\frac{b}{a}}$.
$f(x + vt)$ સ્વરૂપનું વિધેય એ $v = \sqrt{\frac{b}{a}}$ ઝડપ સાથે ઋણ $x$-દિશામાં ગતિ કરતું તરંગ દર્શાવે છે.

(B) પ્રગામી તરંગનું સામાન્ય સમીકરણ $s(x, t) = A \sin(kx - \omega t)$ છે.
$1$. કંપવિસ્તાર $(A)$: કણ બે અંતિમ બિંદુઓ વચ્ચે $10 \text{ cm}$ અંતર કાપે છે,જે કુલ પથ લંબાઈ $(2A)$ છે. તેથી,$2A = 10 \text{ cm} = 0.10 \text{ m}$,એટલે કે $A = 0.05 \text{ m}$.
$2$. કોણીય આવૃત્તિ $(\omega)$: $\omega = 2\pi f = 2 \times \pi \times 210 = 420\pi \approx 1320 \text{ rad/s}$.
$3$. તરંગ સંખ્યા $(k)$: $v = \frac{\omega}{k} \implies k = \frac{\omega}{v} = \frac{420\pi}{330} \approx 4 \text{ rad/m}$.
$4$. આ કિંમતોને તરંગના સમીકરણમાં મૂકતા: $s(x, t) = 0.05 \sin(4x - 1320t) \text{ m}$.

(C) તરંગનું આપેલ સમીકરણ $y = 0.02 \sin(\pi x - 8 \pi t)$ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y = A \sin(kx - \omega t)$ સાથે સરખાવતા:
અહીં,કોણીય તરંગ સંખ્યા $k = \pi \ m^{-1}$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 8 \pi \ rad/s$ છે.
તરંગનો વેગ $v$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $v = \frac{\omega}{k}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $v = \frac{8 \pi}{\pi} = 8 \ m/s$ મળે છે.

(A) આપેલ તરંગનું સમીકરણ $y = 5 \times 10^{-3} \sin \left(12.5 \pi x - \frac{\pi}{2} t\right)$ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y = A \sin(kx - \omega t)$ સાથે સરખાવતા:
તરંગ સંખ્યા $k = 12.5 \pi$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{\pi}{2}$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $k = \frac{2 \pi}{\lambda}$,તેથી $\lambda = \frac{2 \pi}{k} = \frac{2 \pi}{12.5 \pi} = \frac{2}{12.5} = 0.16 \ m$.
તે જ રીતે,$\omega = \frac{2 \pi}{T}$,તેથી $T = \frac{2 \pi}{\omega} = \frac{2 \pi}{\pi / 2} = 4 \ s$.
આમ,તરંગલંબાઈ $0.16 \ m$ અને આવર્તકાળ $4 \ s$ છે.

(B) પ્રગામી તરંગનું સામાન્ય સમીકરણ $y(x, t) = A \sin(kx - \omega t)$ છે.
તરંગની ઝડપ $v$ એ કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ અને તરંગ સંખ્યા $k$ ના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v = \frac{\omega}{k} = \frac{t \text{ નો સહગુણક}}{x \text{ નો સહગુણક}}$.
દરેક વિકલ્પ માટે ઝડપની ગણતરી કરતા:
$(a)$ $v = \frac{2}{2} = 1.0 \text{ m/s}$
$(b)$ $v = \frac{3}{2} = 1.5 \text{ m/s}$
$(c)$ $v = \frac{2}{3} \approx 0.67 \text{ m/s}$
$(d)$ $v = \frac{2}{5} = 0.4 \text{ m/s}$
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $(b)$ માં આપેલ સમીકરણ માટે તરંગની ઝડપ સૌથી વધુ છે.

(C) તરંગમાં કણનો મહત્તમ વેગ $v_{\max} = A \omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
આપેલ છે કે કણનો મહત્તમ વેગ એ તરંગના વેગ $(v)$ જેટલો છે,તેથી $v_{\max} = v$.
સમીકરણો મૂકતા,આપણને મળે છે $A \omega = v$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega = 2 \pi f$ અને તરંગનો વેગ $v = f \lambda$,તેથી $\omega = 2 \pi (v / \lambda)$ લખી શકાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $A \times (2 \pi v / \lambda) = v$.
બંને બાજુ $v$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે $A \times (2 \pi / \lambda) = 1$.
તેથી,કંપવિસ્તાર $A = \frac{\lambda}{2 \pi}$ થાય.

(A) પ્રગામી તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin(\omega t - kx + \phi)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 4 \sin(4 \pi t - 0.04 x + \pi / 3)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 4 \pi \ rad/s$ અને તરંગ સંખ્યા $k = 0.04 \ rad/m$ મળે છે.
તરંગનો વેગ $(v)$ એ કોણીય આવૃત્તિ અને તરંગ સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે: $v = \frac{\omega}{k}$.
કિંમતો મૂકતા: $v = \frac{4 \pi}{0.04} = \frac{400 \pi}{4} = 100 \pi \ m/s$.

(C) આપેલ તરંગ સમીકરણ $x = x_0 \sin 2 \pi (nt - x/\lambda)$ છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $x = A \sin (\omega t - kx)$ સાથે સરખાવતા,કંપવિસ્તાર $A = x_0$,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi n$,અને તરંગ સંખ્યા $k = 2 \pi / \lambda$ મળે છે.
મહત્તમ કણ વેગ $V_p$ એ $V_p = A \omega = x_0 (2 \pi n) = 2 \pi n x_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તરંગ વેગ $V_w$ એ $V_w = \frac{\omega}{k} = \frac{2 \pi n}{2 \pi / \lambda} = n \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$V_p = 4 V_w$.
પદોને મૂકતા,આપણને $2 \pi n x_0 = 4 (n \lambda)$ મળે છે.
બંને બાજુ $n$ વડે ભાગતા,$2 \pi x_0 = 4 \lambda$ મળે છે.
તેથી,$\lambda = \frac{2 \pi x_0}{4} = \frac{\pi x_0}{2}$.

(C) તરંગની આવૃત્તિ $f = 500 Hz$ અને વેગ $v = 300 ms^{-1}$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે $v = f \lambda$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીને તરંગલંબાઈ $\lambda$ શોધીએ:
$\lambda = \frac{v}{f} = \frac{300}{500} = 0.6 m = 60 cm$.
કળા તફાવત $\Delta \phi = 60^{\circ}$ આપેલ છે,જે $\frac{\pi}{3}$ રેડિયન થાય છે.
કળા તફાવત $\Delta \phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \Delta x$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\pi}{3} = \frac{2 \pi}{60 cm} \Delta x$.
$\Delta x$ માટે ઉકેલતા: $\Delta x = \frac{\pi}{3} \times \frac{60 cm}{2 \pi} = \frac{60}{6} cm = 10 cm$.

(A) સમતલ પ્રગામી તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \cos(2\pi(\nu t - \frac{x}{\lambda}))$ છે,જ્યાં $\nu$ એ આવૃત્તિ છે.
આપેલ સમીકરણ: $y = 2 \cos 6.284(330t - x)$.
અહીં $6.284 \approx 2\pi$ હોવાથી,આપણે સમીકરણને $y = 2 \cos 2\pi(330t - x)$ તરીકે લખી શકીએ.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આવૃત્તિ $\nu = 330 \text{ Hz}$ મળે છે.
આવર્તકાળ $T$ એ આવૃત્તિનો વ્યસ્ત છે,એટલે કે $T = \frac{1}{\nu}$.
તેથી,$T = \frac{1}{330} \text{ s}$.

(A) લંબગત તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin(\omega t + kx + \phi)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 3 \sin(36t + 0.018x + \pi/4)$ સાથે સરખાવતા,આપણને તરંગ સંખ્યા $k = 0.018 \ cm^{-1}$ મળે છે.
બે ક્રમિક શૃંગો વચ્ચેનું અંતર એ તરંગલંબાઈ $\lambda$ જેટલું હોય છે.
તરંગલંબાઈ અને તરંગ સંખ્યા વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda = 2\pi / k$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda = 2 \times 3.14 / 0.018 = 6.28 / 0.018$.
ગણતરી કરતા: $\lambda \approx 348.88 \ cm$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં ફેરવતા,આપણને $\lambda = 349 \ cm$ મળે છે.

(C) આપેલ તરંગ સમીકરણ $y(x, t) = 2.0 \cos(2\pi(10t - 0.0080x + 0.35))$ છે.
આને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y = A \cos(2\pi ft - kx + \phi)$ સાથે સરખાવતા, આપણે તરંગ સંખ્યા $k$ મેળવી શકીએ છીએ.
કોસાઈન વિધેયની અંદરનું પદ $2\pi(10t - 0.0080x + 0.35) = 20\pi t - 0.016\pi x + 0.7\pi$ છે.
તેથી, તરંગ સંખ્યા $k = 0.016\pi \text{ cm}^{-1}$ મળે છે.
$\Delta x$ અંતરે રહેલા બે બિંદુઓ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\Delta\phi = k \Delta x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\Delta x = 0.5 \text{ m} = 50 \text{ cm}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા, $\Delta\phi = (0.016\pi \text{ cm}^{-1}) \times 50 \text{ cm} = 0.8\pi \text{ rad}$ મળે છે.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $C$ છે.