Energy and Intensity of Waves Questions in Gujarati

(A) બિન-શોષક માધ્યમમાં બિંદુવત ઉદગમમાંથી આવતા અવાજની તીવ્રતા $I$ એ ઉદગમથી અંતર $r$ ના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,જે $I \propto \frac{1}{r^2}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આપેલ અંતરો $r_P = 2 \ m$ અને $r_Q = 3 \ m$ છે.
$P$ અને $Q$ આગળ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_P}{I_Q} = \frac{r_Q^2}{r_P^2}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{I_P}{I_Q} = \left( \frac{3}{2} \right)^2 = \frac{9}{4}$ મળે છે.
આમ,ગુણોત્તર $9:4$ છે.

(C) બિંદુ સ્ત્રોતમાંથી ઉદ્ભવતા ગોળીય તરંગ માટે,તીવ્રતા $I$ એ $I = \frac{P}{4\pi r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P$ એ સ્ત્રોતનો પાવર છે.
તીવ્રતા $I$ એ કંપવિસ્તાર $A$ ના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોવાથી $(I \propto A^2)$,આપણને $A^2 \propto \frac{1}{r^2}$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે કંપવિસ્તાર $A$ એ અંતર $r$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,એટલે કે $A \propto \frac{1}{r}$.
આપેલ છે કે $r$ અંતરે કંપવિસ્તાર $A_1 = A$ છે.
$r_2 = 2r$ અંતરે,નવો કંપવિસ્તાર $A_2$ નીચે મુજબ હશે:
$\frac{A_2}{A_1} = \frac{r_1}{r_2} = \frac{r}{2r} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$A_2 = \frac{A}{2}$.

(C) તરંગની તીવ્રતા $I$ તેના કંપવિસ્તાર $a$ ના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $I \propto a^2$.
બે કણો માટે આપેલા સમીકરણો:
${y_1} = 0.06 \sin 2\pi (1.04t + {\phi _1})$
${y_2} = 0.03 \sin 2\pi (1.04t + {\phi _2})$
અહીં કંપવિસ્તાર ${a_1} = 0.06$ અને ${a_2} = 0.03$ છે.
તીવ્રતાનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{{{I_1}}}{{{I_2}}} = \frac{{a_1^2}}{{a_2^2}} = \left( \frac{{0.06}}{{0.03}} \right)^2 = (2)^2 = \frac{4}{1}$.
તેથી,તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $4:1$ છે.

(D) સાચો જવાબ $(d)$ છે.
સમતલ તરંગ માટે,તરંગ અગ્ર સમાંતર સમતલો હોય છે અને ઉર્જા સમાન રીતે વહેંચાયેલી હોય છે,તેથી તરંગના પ્રસરણ દરમિયાન તીવ્રતા અચળ રહે છે.
ગોળાકાર તરંગ માટે,સ્ત્રોત દ્વારા ઉત્સર્જિત ઉર્જા વધતા જતા સપાટીના ક્ષેત્રફળ $A = 4\pi r^2$ પર ફેલાય છે. આમ,તીવ્રતા $I = P / A = P / (4\pi r^2)$ એ સ્ત્રોતથી અંતર $r$ ના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
સ્ત્રોત પર કેન્દ્રિત કોઈપણ ગોળાકાર સપાટીમાંથી પસાર થતો કુલ પાવર $P$ (જેને આ સંદર્ભમાં ઘણીવાર કુલ તીવ્રતા કહેવામાં આવે છે) અચળ રહે છે,કારણ કે ઉર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે.

(D) તરંગને એક વિક્ષેપ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જે માધ્યમમાંથી પસાર થાય છે,જે દ્રવ્યના ચોખ્ખા સ્થાનાંતર વગર એક બિંદુથી બીજા બિંદુ સુધી ઉર્જા અને વેગમાનનું વહન કરે છે.
લંબગત તરંગમાં,માધ્યમના કણો તરંગના પ્રસરણની દિશામાં તેમના સરેરાશ સ્થાનની આસપાસ આગળ-પાછળ દોલન કરે છે.
જ્યારે કણો પોતે તરંગ સાથે મુસાફરી કરતા નથી (દ્રવ્યનું કોઈ ચોખ્ખું સ્થાનાંતર થતું નથી),ત્યારે તરંગ માધ્યમ દ્વારા ઉર્જા અને રેખીય વેગમાનનું વહન કરે છે.
તેથી,સ્થાનાંતરિત થતી સાચી રાશિઓ ઉર્જા અને રેખીય વેગમાન છે.

(D) ઘનતા $\rho$ ધરાવતા માધ્યમમાં પ્રગતિશીલ સમતલ તરંગની તીવ્રતા $I$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$I = 2\pi^2 n^2 a^2 \rho v$
જ્યાં $n$ એ આવૃત્તિ છે,$a$ એ કંપવિસ્તાર છે,અને $v$ એ તરંગનો વેગ છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે:
$1. I \propto a^2$ (કંપવિસ્તારના વર્ગના સીધા પ્રમાણમાં)
$2. I \propto v$ (વેગના સીધા પ્રમાણમાં)
$3. I \propto n^2$ (આવૃત્તિના વર્ગના સીધા પ્રમાણમાં)
તેથી,આપેલા તમામ વિધાનો સાચા છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) તરંગની તીવ્રતા $I$ તેના કંપવિસ્તાર $a$ ના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(I \propto a^2)$.
આપેલ તરંગ સમીકરણો પરથી:
$y_1 = 5\sin 2\pi (75t - 0.25x) \implies a_1 = 5$
$y_2 = 10\sin 2\pi (150t - 0.50x) \implies a_2 = 10$
તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{a_1^2}{a_2^2}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{I_1}{I_2} = \frac{5^2}{10^2} = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$.
આમ,તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $1:4$ છે.

(B) તરંગની તીવ્રતા $I$ એ તેના કંપવિસ્તાર $a$ ના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $I \propto a^2$.
આપેલ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{1}{16}$ છે.
સંબંધ $\frac{I_1}{I_2} = \left( \frac{a_1}{a_2} \right)^2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\left( \frac{a_1}{a_2} \right)^2 = \frac{1}{16}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{a_1}{a_2} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$ મળે છે.
તેથી,તેમના કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $1:4$ છે.

(A) તરંગની તીવ્રતા $I$ તેના કંપવિસ્તાર $a$ ના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $I \propto a^2$.
ધારો કે કંપવિસ્તાર $a_1$ અને $a_2$ છે. આપેલ છે કે $\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{1}$.
મહત્તમ તીવ્રતા $I_{\max}$ એ $(a_1 + a_2)^2$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે અને ન્યૂનતમ તીવ્રતા $I_{\min}$ એ $(a_1 - a_2)^2$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{a_1 + a_2}{a_1 - a_2} \right)^2 = \left( \frac{\frac{a_1}{a_2} + 1}{\frac{a_1}{a_2} - 1} \right)^2$.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{a_1}{a_2} = 2$ મૂકતા:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{2 + 1}{2 - 1} \right)^2 = \left( \frac{3}{1} \right)^2 = \frac{9}{1}$.
આમ,ગુણોત્તર $9:1$ છે.

(C) તરંગની તીવ્રતા $I$ તેના કંપવિસ્તાર $a$ ના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $I \propto a^2$.
બે તરંગો જેના કંપવિસ્તાર $a_1$ અને $a_2$ છે,તેમના માટે મહત્તમ તીવ્રતા અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{a_1 + a_2}{a_1 - a_2} \right)^2 = \left( \frac{\frac{a_1}{a_2} + 1}{\frac{a_1}{a_2} - 1} \right)^2$.
અહીં કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\frac{a_1}{a_2} = \frac{4}{3}$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{\frac{4}{3} + 1}{\frac{4}{3} - 1} \right)^2 = \left( \frac{\frac{7}{3}}{\frac{1}{3}} \right)^2 = (7)^2 = \frac{49}{1}$.
આમ,ગુણોત્તર $49:1$ થશે.

(A) $P$ પાવર ધરાવતા સ્ત્રોતથી $r$ અંતરે ગોળાકાર તરંગની તીવ્રતા $I$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $I = \frac{P}{A} = \frac{P}{4\pi r^2}$.
આપેલ છે: પાવર $P = 4 W$,અંતર $r = 200 m$.
કિંમતો મૂકતા: $I = \frac{4}{4\pi \times (200)^2}$.
$I = \frac{1}{\pi \times 40000} = \frac{1}{125663.7} W/m^2$.
$I \approx 7.957 \times 10^{-6} W/m^2$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $I \approx 8 \times 10^{-6} W/m^2$ મળે છે.

(A) ધ્વનિ તરંગની તીવ્રતા $I$ એ દબાણ કંપવિસ્તાર $P_0$ ના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જે સંબંધ $I \propto P_0^2$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
જો દબાણ કંપવિસ્તાર ત્રણ ગણો કરવામાં આવે,તો નવો દબાણ કંપવિસ્તાર $P_0' = 3P_0$ થશે.
નવી તીવ્રતા $I'$ એ $I' \propto (P_0')^2 = (3P_0)^2 = 9P_0^2$ થશે.
તેથી,$I' = 9I$.
આમ,ધ્વનિની તીવ્રતા $9$ ના ગુણાંકમાં વધશે.

(C) ધ્વનિ તરંગની તીવ્રતાનું સૂત્ર $I = 2{\pi ^2}{a^2}{n^2}\rho v$ છે,જ્યાં $a$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $n$ એ આવૃત્તિ છે.
આના પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $I \propto {a^2}{n^2}$.
ધારો કે પ્રારંભિક કંપવિસ્તાર $a_1$ અને આવૃત્તિ $n_1$ છે. અંતિમ કંપવિસ્તાર $a_2 = 2a_1$ અને આવૃત્તિ $n_2 = n_1/4$ છે.
તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_2}{I_1} = \left( \frac{a_2}{a_1} \right)^2 \times \left( \frac{n_2}{n_1} \right)^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{I_2}{I_1} = (2)^2 \times (1/4)^2 = 4 \times (1/16) = 1/4$.
તેથી,$I_2 = I_1/4$,જેનો અર્થ છે કે તીવ્રતા $4$ ના ગુણાંકમાં ઘટશે.

(D) તરંગની ઉર્જા ઘનતા $(u)$ તેના કંપવિસ્તાર $(A)$ ના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$u \propto A^2$.
આપેલ કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $A_1 : A_2 = 5 : 2$ છે.
તેમની ઉર્જા ઘનતાનો ગુણોત્તર $\frac{u_1}{u_2} = \left( \frac{A_1}{A_2} \right)^2$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{u_1}{u_2} = \left( \frac{5}{2} \right)^2 = \frac{25}{4}$.
આમ,તેમની ઉર્જા ઘનતાનો ગુણોત્તર $25 : 4$ છે.

(D) ધ્વનિ તરંગની ઉર્જા $E$ એ સંબંધ $E \propto a^2 n^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $n$ એ આવૃત્તિ છે.
બંને અવાજોની ઉર્જા સમાન હોવાથી,આપણી પાસે $E_A = E_B$ છે.
તેથી,$a_A^2 n_A^2 = a_B^2 n_B^2$.
આપેલ છે કે $B$ ની આવૃત્તિ $A$ ની આવૃત્તિ કરતા આઠમા ભાગની છે,તેથી $n_B = \frac{1}{8} n_A$,અથવા $\frac{n_A}{n_B} = 8$.
ઉર્જા સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{a_B^2}{a_A^2} = \frac{n_A^2}{n_B^2}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{a_B}{a_A} = \frac{n_A}{n_B} = 8$.
આમ,$a_B = 8 a_A$.
તેથી,$B$ ના સૂરનો કંપવિસ્તાર $A$ કરતા આઠ ગણો છે.

(C) ગોળાકાર ધ્વનિ તરંગની તીવ્રતા સ્ત્રોતથી અંતરના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $I \propto \frac{1}{r^2}$.
આપેલ છે: $r_1 = 2 \ m$ પર $I_1 = 1 \times 10^{-2} \ \mu W/m^2$.
આપણે $r_2 = 10 \ m$ પર $I_2$ શોધવાનું છે.
સંબંધ $\frac{I_2}{I_1} = \frac{r_1^2}{r_2^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{I_2}{1 \times 10^{-2}} = \frac{2^2}{10^2} = \frac{4}{100} = 0.04$.
તેથી,$I_2 = 0.04 \times 10^{-2} \ \mu W/m^2 = 4 \times 10^{-4} \ \mu W/m^2$.

(B) ધ્વનિ તરંગની તીવ્રતા દર $1 \ m$ અંતર કાપતા $10\%$ ઘટે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $1 \ m$ પછી,તીવ્રતા પ્રારંભિક તીવ્રતાના $90\%$ એટલે કે $0.9 \ I_0$ થાય છે.
$3 \ m$ અંતર કાપ્યા પછી,તીવ્રતા $I_3$ નીચે મુજબ હશે:
$I_3 = I_0 \times (0.9) \times (0.9) \times (0.9)$
$I_3 = I_0 \times (0.9)^3$
$I_3 = I_0 \times 0.729$
પ્રારંભિક તીવ્રતા $I_0 = 100 \ dB$ આપેલ હોવાથી,અંતિમ તીવ્રતા:
$I_3 = 100 \times 0.729 = 72.9 \ dB$.

(D) $r$ અંતરે રહેલા બિંદુવત સ્ત્રોતની તીવ્રતા $I$ વ્યસ્ત વર્ગના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $I \propto \frac{1}{r^2}$.
લોગેરિધમિક વિકલન લેતા,આપણને મળે છે: $\frac{\Delta I}{I} = -2 \frac{\Delta r}{r}$.
આપેલ છે કે અંતર $r$ માં $2\%$ નો વધારો થાય છે,તેથી $\frac{\Delta r}{r} = 0.02$.
આ કિંમત મૂકતા: $\frac{\Delta I}{I} = -2 \times 0.02 = -0.04$.
આ $4\%$ ના ઘટાડાને દર્શાવે છે.
તેથી,તીવ્રતા $4\%$ જેટલી ઘટશે.

(B) ગોળાકાર ધ્વનિ તરંગની તીવ્રતા $I$ એ વ્યસ્ત વર્ગના નિયમનું પાલન કરે છે: $I \propto \frac{1}{r^2}$.
અહીં $r_1 = 200 \ cm$ અને $r_2 = 400 \ cm$ આપેલ છે,તેથી તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_2}{I_1} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 = \left(\frac{200}{400}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$ થાય.
આમ,$I_1 = 4I_2$.
ડેસિબલમાં તીવ્રતાનું સ્તર $L = 10 \log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તીવ્રતાના સ્તરોનો તફાવત $L_1 - L_2 = 10 \log_{10}\left(\frac{I_1}{I_2}\right)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $L_1 - L_2 = 10 \log_{10}(4) = 10 \times 0.602 = 6.02 \ dB \approx 6 \ dB$.
તેથી,$L_2 = L_1 - 6 \ dB = 80 \ dB - 6 \ dB = 74 \ dB$.

(B) બે તરંગોના વ્યતિકરણ માટે,પરિણામી તીવ્રતા $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો કળા તફાવત $\phi$ સમય સાથે યાદચ્છિક રીતે બદલાતો હોય,તો કોસાઇન પદની સરેરાશ કિંમત $(\cos \phi)_{av} = 0$ થાય છે.
તેથી,સરેરાશ પરિણામી તીવ્રતા $I = I_1 + I_2$ થાય છે.
$n$ સમાન સ્ત્રોતો માટે,દરેકની તીવ્રતા $I_0$ હોય,તો કુલ સરેરાશ તીવ્રતા એ વ્યક્તિગત તીવ્રતાનો સરવાળો છે: $I = I_0 + I_0 + \dots + I_0$ ($n$ વખત).
આમ,$I = n\,I_0$.
અહીં $n = 10$ આપેલ હોવાથી,પરિણામી તીવ્રતા $I = 10\,I_0$ થશે.

(C) ડેસિબલમાં ધ્વનિની તીવ્રતાનું સ્તર $\beta = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r_1 = 1 \ m$ અંતરે,$\beta_1 = 40 \ dB$. તેથી,$40 = 10 \log_{10} \left( \frac{I_1}{I_0} \right) \implies \frac{I_1}{I_0} = 10^4$.
$r_2$ અંતરે,$\beta_2 = 20 \ dB$. તેથી,$20 = 10 \log_{10} \left( \frac{I_2}{I_0} \right) \implies \frac{I_2}{I_0} = 10^2$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{I_1}{I_2} = \frac{10^4}{10^2} = 10^2 = 100$.
તીવ્રતા $I \propto \frac{1}{r^2}$ હોવાથી,$\frac{I_1}{I_2} = \frac{r_2^2}{r_1^2}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા: $100 = \frac{r_2^2}{(1)^2} \implies r_2^2 = 100 \implies r_2 = 10 \ m$.

(C) ધ્વનિ તરંગની ઉર્જા ઘનતા $(E)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E = 2{\pi ^2}\rho {n^2}{A^2}$.
અહીં,$\rho$ એ માધ્યમની ઘનતા છે,$n$ એ આવૃત્તિ છે,અને $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
માધ્યમના કણોની મહત્તમ ઝડપ નીચે મુજબ છે: ${v_{\max }} = \omega A = 2\pi nA$.
${v_{\max }}$ માટેના સમીકરણનો વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે: ${({v_{\max }})^2} = 4{\pi ^2}{n^2}{A^2}$.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $E = \frac{1}{2}\rho {({v_{\max }})^2}$.
આનો અર્થ એ છે કે $E \propto {({v_{\max }})^2}$.
જેમ કે $E$ એ ${v_{\max }}$ ના વર્ગના પ્રમાણમાં છે,તેથી $E$ અને ${v_{\max }}$ વચ્ચેનો આલેખ ઉપરની તરફ ખુલતો પરવલય હશે,જે આલેખ $C$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યો છે.

(D) ધ્વનિ તરંગની તીવ્રતા $I$ એ તેના કંપવિસ્તાર $a$ ના વર્ગ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ ના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $I \propto a^2 \omega^2$.
આપેલ આલેખ પરથી:
તરંગ $A$ માટે,કંપવિસ્તાર $a_A = 2$ એકમ અને આવર્તકાળ $T_A = 2$ એકમ છે (કારણ કે તે $2$ એકમ સમયમાં એક ચક્ર પૂર્ણ કરે છે).
તરંગ $B$ માટે,કંપવિસ્તાર $a_B = 1$ એકમ અને આવર્તકાળ $T_B = 1$ એકમ છે (કારણ કે તે $1$ એકમ સમયમાં એક ચક્ર પૂર્ણ કરે છે).
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi/T$ હોવાથી,$\omega_A / \omega_B = T_B / T_A = 1/2$ મળે.
હવે,તીવ્રતાનો ગુણોત્તર:
$\frac{I_A}{I_B} = \left( \frac{a_A}{a_B} \right)^2 \times \left( \frac{\omega_A}{\omega_B} \right)^2$
$\frac{I_A}{I_B} = \left( \frac{2}{1} \right)^2 \times \left( \frac{1}{2} \right)^2 = 4 \times \frac{1}{4} = 1$
આમ,ગુણોત્તર $I_A/I_B$ એ $1:1$ છે.

(A) તરંગ એ એક એવી વિક્ષેપ છે જે માધ્યમ અથવા શૂન્યાવકાશમાં ગતિ કરે છે,જે દ્રવ્યના સ્થાનાંતર વગર એક બિંદુથી બીજા બિંદુ સુધી ઉર્જાનું વહન કરે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) તરંગની તીવ્રતા $I$ એ તેના કંપવિસ્તાર $a$ ના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $I \propto a^2$.
આપેલ છે કે તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{1}{25}$ છે.
કારણ કે $\frac{I_1}{I_2} = \frac{a_1^2}{a_2^2}$,તેથી $\frac{a_1^2}{a_2^2} = \frac{1}{25}$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $\frac{a_1}{a_2} = \sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5}$ મળે છે.
તેથી,તેમના કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $1:5$ છે.

(A) તરંગની તીવ્રતા $I$ એ તેના કંપવિસ્તાર $a$ ના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $I \propto a^2$.
અહીં તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{4}{1}$ આપેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{I_1}{I_2} = \left( \frac{a_1}{a_2} \right)^2$,તેથી $\left( \frac{a_1}{a_2} \right)^2 = \frac{4}{1}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $\frac{a_1}{a_2} = \sqrt{\frac{4}{1}} = \frac{2}{1}$ મળે છે.
તેથી,કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $2:1$ છે.

(C) તરંગની તીવ્રતા $I$ તેના કંપનવિસ્તાર $a$ ના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $I \propto a^2$.
$a_1$ અને $a_2$ કંપનવિસ્તાર ધરાવતા બે તરંગો માટે,મહત્તમ તીવ્રતા અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{a_1 + a_2}{a_1 - a_2} \right)^2 = \left( \frac{\frac{a_1}{a_2} + 1}{\frac{a_1}{a_2} - 1} \right)^2$
કંપનવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\frac{a_1}{a_2} = \frac{4}{3}$ આપેલ છે,તેથી કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{\frac{4}{3} + 1}{\frac{4}{3} - 1} \right)^2 = \left( \frac{\frac{7}{3}}{\frac{1}{3}} \right)^2 = (7)^2 = \frac{49}{1}$
આમ,મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $49:1$ છે.

(D) બિંદુવત ઉદગમસ્થાન માટે તીવ્રતા $I$ એ અંતર $r$ ના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $I \propto \frac{1}{r^2}$.
અહીં અંતર $r$ માં $2\%$ નો વધારો થાય છે,તેથી નવું અંતર $r_2 = r_1 + 0.02r_1 = 1.02r_1$ થાય.
તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_2}{I_1} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2 = \left( \frac{r_1}{1.02r_1} \right)^2 = (1.02)^{-2}$ મળે.
દ્વિપદી અંદાજ $(1+x)^n \approx 1+nx$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $x = 0.02$ અને $n = -2$ છે:
$I_2 = I_1(1 + 0.02)^{-2} \approx I_1(1 - 2 \times 0.02) = I_1(1 - 0.04)$.
$I_2 = I_1 - 0.04I_1$.
આમ,તીવ્રતામાં $4\%$ નો ઘટાડો થશે.

(A) તરંગની તીવ્રતા $I$ એ એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ પાવર $P$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
પાણીની સપાટી પર બે પરિમાણમાં ફેલાતા વર્તુળાકાર તરંગ માટે,ક્ષેત્રફળ $A$ એ પરિઘના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જે $2\pi r$ છે.
આમ,તીવ્રતા $I = \frac{P}{2\pi r}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $I \propto \frac{1}{r}$.
તીવ્રતા $I$ એ કંપવિસ્તાર $A_{amp}$ ના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોવાથી $(I \propto A_{amp}^2)$,આપણને $A_{amp}^2 \propto \frac{1}{r}$ મળે છે.
તેથી,કંપવિસ્તાર $A_{amp}$ એ $r^{-1/2}$ ના સમપ્રમાણમાં છે.

(C) પ્રગામી તરંગમાં,જ્યારે તરંગનું પ્રસરણ થાય છે ત્યારે માધ્યમ દ્વારા એક બિંદુથી બીજા બિંદુ સુધી ઊર્જાનું વહન થાય છે.
સ્થિર (સ્થિત) તરંગમાં,ઊર્જા નિસ્પંદ બિંદુઓ (nodes) ની વચ્ચે માધ્યમમાં સીમિત રહે છે અને માધ્યમમાં આગળ વધતી કે વહન પામતી નથી.
તેથી,જે ગુણધર્મ તેમને અલગ પાડે છે તે ઊર્જાનું વહન છે.

(C) બિંદુવત ઉદ્ગમમાંથી નીકળતા ગોલીય તરંગ માટે,તીવ્રતા $I$ એ અંતર $r$ ના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $I \propto 1/r^2$.
તીવ્રતા $I$ એ કંપવિસ્તાર $A$ ના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોવાથી $(I \propto A^2)$,આપણે લખી શકીએ કે $A^2 \propto 1/r^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $A \propto 1/r$ મળે છે.
તેથી,બે અલગ-અલગ અંતરે કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $A_1/A_2 = r_2/r_1$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $r_1 = r$,$A_1 = A$,અને $r_2 = 2r$ આપેલ છે,આ કિંમતો મૂકતા:
$A/A_2 = (2r)/r = 2$.
$A_2$ માટે ઉકેલતા,આપણને $A_2 = A/2$ મળે છે.

(B) સપાટી દ્વારા એકમ સમયમાં આંતરવામાં આવતી ઉર્જા એ પાવર $P$ છે,જે તીવ્રતા $I$ અને ક્ષેત્રફળ $S$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
તીવ્રતા $I \propto A^2$ હોવાથી,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે,આંતરવામાં આવતો પાવર $P \propto A^2 S$ થાય.
ધારો કે પ્રારંભિક પાવર $P_1 = E = k A^2 S$ છે,જ્યાં $k$ અચળાંક છે.
નવી પરિસ્થિતિઓ માટે,નવું ક્ષેત્રફળ $S' = \frac{1}{2} S$ અને નવો કંપવિસ્તાર $A' = 2A$ છે.
નવો પાવર $P_2 = k (A')^2 S' = k (2A)^2 (\frac{1}{2} S)$ દ્વારા મળે છે.
$P_2 = k (4A^2) (\frac{1}{2} S) = 2 k A^2 S$.
આમ,$E = k A^2 S$ હોવાથી,આપણને $P_2 = 2E$ મળે છે.

(A) જ્યારે તરંગ માધ્યમમાં ગતિ કરે છે,ત્યારે દરેક કણનું સ્થાનાંતર અને વેગ સમય સાથે બદલાય છે.
દોરીના કોઈપણ એકમ લંબાઈના ભાગ માટે,તેની ગતિ ઉર્જા $(K.E.)$ અને સ્થિતિ ઉર્જા $(P.E.)$ બંને સમય સાથે સમયાંતરે બદલાય છે.
જો કે,તરંગના પ્રસરણ દરમિયાન એકમ લંબાઈની કુલ ઉર્જા ($K.E.$ અને $P.E.$ નો સરવાળો) અચળ રહે છે.
તેથી,દોલન ઉર્જા,જે તત્વની કુલ ઉર્જા છે,તે અચળ રહે છે.

(C) તરંગની તીવ્રતા $I$ નું સૂત્ર $I = 2\pi^2 f^2 A^2 \rho v$ છે,જ્યાં $f$ આવૃત્તિ છે,$A$ કંપવિસ્તાર છે,$\rho$ ઘનતા છે અને $v$ તરંગની ઝડપ છે.
તરંગ $1$ માટે: $A_1 = 2a$ અને $\omega_1 = \omega$ (તેથી $f_1 = \omega / 2\pi$).
તીવ્રતા $I_1 \propto f_1^2 A_1^2 = (\omega/2\pi)^2 (2a)^2 = 4 \cdot (\omega/2\pi)^2 a^2$.
તરંગ $2$ માટે: $A_2 = a$ અને $\omega_2 = 2\omega$ (તેથી $f_2 = 2\omega / 2\pi$).
તીવ્રતા $I_2 \propto f_2^2 A_2^2 = (2\omega/2\pi)^2 (a)^2 = 4 \cdot (\omega/2\pi)^2 a^2$.
આમ $I_1 = I_2$ હોવાથી,વિધાન-$1$ સાચું છે.
વિધાન-$2$ ખોટું છે કારણ કે તીવ્રતા એ કંપવિસ્તાર અને આવૃત્તિ બંનેના વર્ગના પ્રમાણમાં હોય છે $(I \propto A^2 f^2)$. તેથી,વિધાન-$1$ સાચું છે અને વિધાન-$2$ ખોટું છે.

(B) લાંબા રેખીય ધ્વનિ સ્ત્રોત માટે,$r$ અંતરે તીવ્રતા $I = \frac{P}{2 \pi r L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ડેસિબલમાં ધ્વનિ સ્તર $\beta = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right) = 10 \log_{10} \left( \frac{P}{2 \pi L I_0 r} \right)$ છે.
ધારો કે $\beta_A$ એ $r$ અંતરે ધ્વનિ સ્તર છે અને $\beta_B$ એ $10r$ અંતરે ધ્વનિ સ્તર છે.
$\beta_A - \beta_B = 10 \log_{10} \left( \frac{P}{2 \pi L I_0 r} \right) - 10 \log_{10} \left( \frac{P}{2 \pi L I_0 (10r)} \right)$.
$\beta_A - \beta_B = 10 \log_{10} \left( \frac{P / (2 \pi L I_0 r)}{P / (2 \pi L I_0 10r)} \right) = 10 \log_{10} (10) = 10 \ dB$.
આપેલ છે કે $\beta_A = 80 \ dB$,તેથી $80 \ dB - \beta_B = 10 \ dB$.
તેથી,$\beta_B = 80 \ dB - 10 \ dB = 70 \ dB$.

(C) બધી દિશાઓમાં અવાજ ઉત્સર્જિત કરતા બિંદુવત ઉદગમ માટે,$r$ અંતરે તીવ્રતા $I$ એ $I = \frac{P}{4\pi r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P$ એ ઉદગમની પાવર છે. આમ,$I \propto \frac{1}{r^2}$.
તીવ્રતા $I$ એ કંપવિસ્તાર $A$ ના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોવાથી $(I \propto A^2)$,આપણને $A^2 \propto \frac{1}{r^2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $A \propto \frac{1}{r}$.
તેથી,બિંદુઓ $P$ અને $Q$ આગળ કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\frac{A_P}{A_Q} = \frac{r_Q}{r_P}$ થાય.
અહીં $r_P = 9 \ m$ અને $r_Q = 25 \ m$ આપેલ હોવાથી,ગુણોત્તર $\frac{A_P}{A_Q} = \frac{25}{9}$ મળે છે.

(B) દોરીમાં લંબગત તરંગ દ્વારા વહન થતો પાવર $P = F v_p$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $F$ એ તણાવ બળનો લંબગત ઘટક છે અને $v_p$ એ બિંદુ $P$ પરના કણનો લંબગત વેગ છે.
$x$-દિશામાં ગતિ કરતા તરંગ માટે,લંબગત બળ $F = -T \frac{\partial y}{\partial x}$ છે.
કારણ કે $\frac{\partial y}{\partial x} = -\frac{v_p}{v}$,જ્યાં $v$ એ તરંગની ઝડપ છે,તેથી $F = T \frac{v_p}{v}$ મળે.
આમ,પાવર $P = (T \frac{v_p}{v}) v_p = \frac{T}{v} v_p^2$ થાય.
આપેલ છે કે $P = 40 \ mW = 40 \times 10^{-3} \ W$,$T = 20 \ N$,અને $v = 20 \ m/s$.
કિંમતો મૂકતા: $40 \times 10^{-3} = \frac{20}{20} v_p^2$.
$40 \times 10^{-3} = v_p^2$.
$v_p = \sqrt{0.04} \ m/s = 0.2 \ m/s$.
$cm/s$ માં ફેરવતા: $v_p = 0.2 \times 100 \ cm/s = 20 \ cm/s$.

(B) દોરીનું દળ $m = 100 \, g = 0.1 \, kg$ છે.
તરંગનો કંપવિસ્તાર $A = 2 \, mm = 2 \times 10^{-3} \, m$ છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 5000 \, rad/s$ છે.
દોરીમાં તરંગની કુલ ઉર્જા $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{1}{2} \times (0.1) \times (5000)^2 \times (2 \times 10^{-3})^2$
$E = 0.05 \times (25 \times 10^6) \times (4 \times 10^{-6})$
$E = 0.05 \times 100 = 5 \, J$.

(A) ધ્વનિ તરંગની તીવ્રતા $I$ એ સંબંધ $I = \frac{1}{2} \rho v \omega^2 A^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ માધ્યમની ઘનતા છે,$v$ એ તરંગનો વેગ છે,$\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે,અને $A$ એ સ્થળાંતર કંપવિસ્તાર છે.
સમાન માધ્યમમાં ગતિ કરતા તમામ તરંગો માટે $\rho$ અને $v$ અચળ હોવાથી,તીવ્રતા એ કોણીય આવૃત્તિ અને કંપવિસ્તારના ગુણાકારના વર્ગના પ્રમાણમાં હોય છે: $I \propto (\omega A)^2$.
દરેક વિકલ્પ માટે $(\omega A)$ ની કિંમત ગણીએ:
$A) \omega A = 500 \times 10 \times 10^{-4} = 0.5$
$B) \omega A = 2000 \times 2 \times 10^{-4} = 0.4$
$C) \omega A = 115 \times 2 \times 10^{-4} = 0.023$
$D) \omega A = 200 \times 20 \times 10^{-4} = 0.4$
કિંમતોની સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $A$ માં $(\omega A)$ નું મૂલ્ય સૌથી વધુ છે,તેથી તેની તીવ્રતા સૌથી વધુ છે.

(A) પ્રગામી તરંગની તીવ્રતા $I$ નું સૂત્ર $I = \frac{1}{2} \rho \omega^2 A^2 v$ છે,જ્યાં $\rho$ એ માધ્યમની ઘનતા,$\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ,$A$ એ કંપવિસ્તાર અને $v$ એ તરંગની ઝડપ છે.
આપાત અને પરાવર્તિત તરંગો સમાન માધ્યમમાં ગતિ કરે છે,તેથી બંને માટે $\rho$,$\omega$ અને $v$ સમાન રહે છે. આથી,તીવ્રતાનો ગુણોત્તર એ કંપવિસ્તારના ગુણોત્તરના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $\frac{I_i}{I_r} = \frac{\frac{1}{2} \rho \omega^2 a_i^2 v}{\frac{1}{2} \rho \omega^2 a_r^2 v} = \left( \frac{a_i}{a_r} \right)^2$.
પારગમિત તરંગ બીજા માધ્યમમાં ગતિ કરતું હોવાથી,ત્યાં ઘનતા $\rho$ અને તરંગની ઝડપ $v$ બદલાય છે,તેથી $I_t$ અને $a_t$ વચ્ચેનો સંબંધ આપાત તરંગ કરતા અલગ અચળાંકો ધરાવે છે. તેથી,માત્ર આપાત અને પરાવર્તિત તરંગો માટે જ $\frac{I_i}{I_r} = \left( \frac{a_i}{a_r} \right)^2$ સંબંધ સાચો છે.

(D) ધારો કે અવાજની પ્રારંભિક તીવ્રતા $I_0$ છે.
એક સ્લેબમાંથી પસાર થયા પછી,તીવ્રતામાં $30\%$ નો ઘટાડો થાય છે,તેથી બાકી રહેલી તીવ્રતા $I_1 = I_0 - 0.30 I_0 = 0.70 I_0$ છે.
જ્યારે બીજા સમાન સ્લેબમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે તીવ્રતા ફરીથી તે સ્લેબ પર આપાત થતી તીવ્રતાના $30\%$ જેટલી ઘટે છે.
તેથી,અંતિમ તીવ્રતા $I_2 = 0.70 I_1 = 0.70 \times (0.70 I_0) = 0.49 I_0$ થાય.
તીવ્રતામાં કુલ ઘટાડો $I_0 - I_2 = I_0 - 0.49 I_0 = 0.51 I_0$ છે.
તેથી,તીવ્રતામાં $51\%$ નો ઘટાડો થાય છે.

(A) આલેખ પરથી,પ્રથમ તરંગ (સળંગ રેખા) માટે,કંપવિસ્તાર $A_1 = 1$ અને આવર્તકાળ $T_1 = 2$ એકમ છે.
બીજા તરંગ (તૂટક રેખા) માટે,કંપવિસ્તાર $A_2 = 2$ અને આવર્તકાળ $T_2 = 4$ એકમ છે.
તરંગની તીવ્રતા $I$ એ $I = 2 \pi^2 \rho v f^2 A^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f = 1/T$.
આમ,$I \propto (A/T)^2$.
તેથી,તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \left( \frac{A_1}{A_2} \cdot \frac{T_2}{T_1} \right)^2$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{I_1}{I_2} = \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{2} \right)^2 = (1)^2 = 1 : 1$.

(A, C) સમતલ તરંગમાં કોઈ ત્રિજ્યાવર્તી આધાર હોતો નથી,તેથી તે અચળ તીવ્રતા સાથે ગતિ કરે છે.
ગોલીય તરંગ માટે,ઉદગમ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P$ એ $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાની સપાટી પર વિતરિત થાય છે,જે $4 \pi r^2$ છે.
આમ,તીવ્રતા $I$ એ $I = \frac{P}{4 \pi r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ દર્શાવે છે કે ગોલીય તરંગની તીવ્રતા ઉદગમથી અંતરના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં ઘટે છે $(I \propto \frac{1}{r^2})$.
વધુમાં,ઉદગમ પર કેન્દ્રિત કોઈપણ ગોલીય સપાટીમાંથી પસાર થતો કુલ પાવર અચળ રહે છે,પરંતુ તીવ્રતા (એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ પાવર) અંતર સાથે ઘટે છે.
તેથી,વિકલ્પો $A$ અને $C$ સાચા છે.

(A) જ્યારે સ્થિર પાણીમાં પથ્થર ફેંકવામાં આવે છે, ત્યારે તે ગોળાકાર તરંગો બનાવે છે। જેમ તરંગ બહારની તરફ ફેલાય છે તેમ તેની ઉર્જા $E$ સંરક્ષિત રહે છે.
$dr$ પહોળાઈ અને $h$ કંપવિસ્તાર ધરાવતા ગોળાકાર તરંગની ઉર્જા તેના દળ અને તેના કંપવિસ્તારના વર્ગના પ્રમાણમાં હોય છે. તરંગનું દળ તેની પરિઘ $(2 \pi r)$ અને તેની પહોળાઈ $(dr)$ ના પ્રમાણમાં હોય છે.
આમ, ઉર્જા $E$ નીચે મુજબ મળે છે:
$E \propto (2 \pi r) \cdot dr \cdot h^2$
જેમ તરંગ બહારની તરફ પ્રસરણ પામે છે તેમ કુલ ઉર્જા $E$ અચળ રહેતી હોવાથી, આપણને મળે છે:
$r \cdot h^2 \approx \text{અચળ}$
તેથી, $h^2 \propto \frac{1}{r}$, જેનો અર્થ છે કે $h \propto r^{-1/2}$.
આમ, તરંગનો કંપવિસ્તાર $r^{-1/2}$ મુજબ બદલાય છે.

(C) તરંગ એ એક પ્રકારનું વિક્ષેપ છે જે માધ્યમ અથવા અવકાશમાં ગતિ કરે છે,જે દ્રવ્ય (દળ) ના ચોખ્ખા સ્થળાંતર વગર એક બિંદુથી બીજા બિંદુ સુધી ઊર્જાનું વહન કરે છે.
જ્યારે માધ્યમના કણો તેમના સંતુલન સ્થાનની આસપાસ દોલન કરે છે,ત્યારે તેઓ તરંગની સાથે આગળ વધતા નથી.
વેગ એ તરંગના પ્રસરણનો એક ગુણધર્મ છે,તે એવી વસ્તુ નથી જે તરંગ દ્વારા 'વહન' કરવામાં આવે છે.
તેથી,તરંગો દ્વારા વહન કરવામાં આવતી મૂળભૂત રાશિ ઊર્જા છે.

(A) હા,તરંગો ઉર્જા અને વેગમાન બંનેનું વહન કરે છે.
જ્યારે કોઈ તરંગ માધ્યમમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે માધ્યમના કણો તેમના સરેરાશ સ્થાનની આસપાસ દોલન કરે છે.
માધ્યમની સ્થિતિસ્થાપકતા અને જડત્વને કારણે,આ કણો તેમની ઉર્જા અને વેગમાન તેમના પાડોશી કણોને સ્થાનાંતરિત કરે છે.
આ પ્રક્રિયા ચાલુ રહે છે,જેનાથી તરંગ પદાર્થના ચોખ્ખા સ્થાનાંતર વગર એક બિંદુથી બીજા બિંદુ સુધી ઉર્જા અને વેગમાન બંનેનું વહન કરી શકે છે.

(B) આપેલ છે: અંતર $r_{1} = 8 \,km = 8000 \,m$, તીવ્રતા સ્તર $L_{1} = 30 \,dB$.
પાયા પરનું અંતર $r_{2} = 80 \,m$, તીવ્રતા સ્તર $L_{2} = ?$.
તીવ્રતા સ્તર $L$ એ $L = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_{0}} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ કે અવાજનો સ્ત્રોત બિંદુવત સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે, તીવ્રતા $I = \frac{P}{4 \pi r^{2}}$, જેનો અર્થ છે કે $I \propto \frac{1}{r^{2}}$.
તીવ્રતા સ્તરોમાં તફાવત નીચે મુજબ છે:
$L_{2} - L_{1} = 10 \log_{10} \left( \frac{I_{2}}{I_{1}} \right) = 10 \log_{10} \left( \frac{r_{1}}{r_{2}} \right)^{2} = 20 \log_{10} \left( \frac{r_{1}}{r_{2}} \right)$.
કિંમતો મૂકતા:
$L_{2} - 30 = 20 \log_{10} \left( \frac{8000}{80} \right)$
$L_{2} - 30 = 20 \log_{10} (100)$
$L_{2} - 30 = 20 \times 2 = 40$
$L_{2} = 40 + 30 = 70 \,dB$.
આમ, ટાવરના પાયા પર તીવ્રતા $70 \,dB$ છે.

(B) બિંદુ સ્ત્રોતથી $r$ અંતરે ધ્વનિની તીવ્રતા $I = \frac{P}{4\pi r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P$ એ સ્ત્રોતની પાવર છે. આમ,$I \propto \frac{1}{r^2}$.
ડેસિબલ $(dB)$ માં ધ્વનિની તીવ્રતાનું સ્તર $\beta$ ને $\beta = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $I_0$ એ સંદર્ભ તીવ્રતા છે.
ધારો કે $r_1 = 4 \,m$ પર $\beta_1 = 10 \,dB$ છે અને $r_2 = 2 \,m$ પર સ્તર $\beta_2$ છે.
$\beta_2 - \beta_1 = 10 \log_{10} \left( \frac{I_2}{I_1} \right) = 10 \log_{10} \left( \frac{r_1^2}{r_2^2} \right) = 20 \log_{10} \left( \frac{r_1}{r_2} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $\beta_2 - 10 = 20 \log_{10} \left( \frac{4}{2} \right) = 20 \log_{10}(2)$.
$\log_{10}(2) \approx 0.301$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\beta_2 - 10 = 20 \times 0.301 = 6.02$.
તેથી,$\beta_2 = 10 + 6.02 = 16.02 \,dB \approx 16 \,dB$.

(A) દોરી પરના ગતિશીલ તરંગમાં,પ્રાથમિક ભાગની સ્થિતિ ઊર્જા તે બિંદુએ દોરીના ઢાળના વર્ગના પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $dU_p \propto (\frac{\partial y}{\partial x})^2$.
$1$. બિંદુ $a$ અને $c$ પર,તરંગનો ઢાળ મહત્તમ હોય છે (ધન અથવા ઋણ મહત્તમ).
$2$. બિંદુ $b$ અને $d$ પર,દોરી તેના અંતિમ સ્થાનો (ગર્ત અને શૃંગ) પર હોય છે,જ્યાં ઢાળ શૂન્ય હોય છે.
$3$. સ્થિતિ ઊર્જા ત્યાં મહત્તમ હોય છે જ્યાં ઢાળ મહત્તમ હોય છે,તેથી ભાગ $a$ અને $c$ પાસે મહત્તમ સ્થિતિ ઊર્જા હોય છે.
$4$. જોકે,આપેલા વિકલ્પોને જોતા,ઢાળ સંતુલન સ્થિતિમાં (જ્યાં તરંગ $x$-અક્ષને છેદે છે) મહત્તમ હોય છે. આમ,$a$ અને $c$ એ મહત્તમ સ્થિતિ ઊર્જા ધરાવતા બિંદુઓ છે. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,જો માત્ર એક જ પસંદ કરવાનું હોય,તો $a$ એ મહત્તમ ઢાળ ધરાવતા વિસ્તારનું સૌથી યોગ્ય પ્રતિનિધિત્વ છે.

(D) તરંગની તીવ્રતા $I = 2 \pi^2 \rho v f^2 A^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ ઘનતા છે,$v$ તરંગની ઝડપ છે,$f$ આવૃત્તિ છે અને $A$ કંપવિસ્તાર છે.
આપેલ તરંગો માટે:
તરંગ $1$: $y_1 = 5 \sin(150 \pi t - 0.5 \pi x)$. કંપવિસ્તાર $A_1 = 5$,કોણીય આવૃત્તિ $\omega_1 = 150 \pi$,તરંગ સંખ્યા $k_1 = 0.5 \pi$. તરંગની ઝડપ $v_1 = \frac{\omega_1}{k_1} = \frac{150 \pi}{0.5 \pi} = 300 \ m/s$.
તરંગ $2$: $y_2 = 10 \sin(300 \pi t - 1.0 \pi x)$. કંપવિસ્તાર $A_2 = 10$,કોણીય આવૃત્તિ $\omega_2 = 300 \pi$,તરંગ સંખ્યા $k_2 = 1.0 \pi$. તરંગની ઝડપ $v_2 = \frac{\omega_2}{k_2} = \frac{300 \pi}{1.0 \pi} = 300 \ m/s$.
કારણ કે $v_1 = v_2$ અને માધ્યમ સમાન છે $(\rho_1 = \rho_2)$,તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2 \times \left(\frac{f_1}{f_2}\right)^2 = \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2 \times \left(\frac{\omega_1}{\omega_2}\right)^2$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{I_1}{I_2} = \left(\frac{5}{10}\right)^2 \times \left(\frac{150 \pi}{300 \pi}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$.