Wave Equation and Characteristics of Waves Questions in Gujarati

(D) તરંગલંબાઈ $\lambda$ એ $\lambda = v / f = 10 / 100 = 0.1 \, m = 10 \, cm$ દ્વારા મળે છે.
કળા તફાવત $\Delta \phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta \phi = (2\pi / \lambda) \times \Delta x$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta \phi = (2\pi / 10) \times 2.5 = (2\pi / 10) \times (10 / 4) = \pi / 2 \, \text{રેડિયન}$.

(A) તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \cos(kx - \omega t + \phi)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 3 \cos \left( \frac{x}{4} - 10t - \frac{\pi}{2} \right)$ ને પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
કંપવિસ્તાર $A = 3$ એકમ.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 10 \text{ rad/s}$.
માધ્યમના કણનો મહત્તમ વેગ શોધવાનું સૂત્ર $v_{\text{max}} = A \omega$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$v_{\text{max}} = 3 \times 10 = 30$ એકમ/સેકન્ડ.

(B) આપેલ તરંગનું સમીકરણ $Y = Y_0 \sin(2\pi ft - \frac{2\pi x}{\lambda})$ છે.
પ્રમાણિત સમીકરણ $Y = A \sin(\omega t - kx)$ સાથે સરખાવતા,કંપવિસ્તાર $A = Y_0$,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi f$,અને તરંગ સંખ્યા $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ મળે છે.
કણનો મહત્તમ વેગ $v_{p,max} = A\omega = Y_0(2\pi f)$ થાય.
તરંગનો વેગ $v_w = \frac{\omega}{k} = \frac{2\pi f}{2\pi / \lambda} = f\lambda$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,$v_{p,max} = 4v_w$.
કિંમતો મૂકતા: $Y_0(2\pi f) = 4(f\lambda)$.
બંને બાજુથી $f$ ઉડાડતા: $2\pi Y_0 = 4\lambda$.
તેથી,$\lambda = \frac{2\pi Y_0}{4} = \frac{\pi Y_0}{2}$.

(B) પ્રગામી તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \cos (\omega t - kx)$ છે.
આપેલ સમીકરણ: $y = 3 \cos (100 \pi t - \pi x)$.
આપેલ સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને તરંગ સંખ્યા $k = \pi \text{ rad/cm}$ મળે છે.
તરંગલંબાઈ $\lambda$ અને તરંગ સંખ્યા $k$ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda = \frac{2\pi}{k}$ છે.
$k$ ની કિંમત મૂકતા: $\lambda = \frac{2\pi}{\pi} = 2 \text{ cm}$.
તેથી,તરંગની તરંગલંબાઈ $2 \text{ cm}$ છે.

(C) જ્યારે કોઈ માધ્યમમાં ગતિ કરતું તરંગ દ્રઢ સીમા (સ્થિર છેડો) સાથે અથડાય છે,ત્યારે તેનું પરાવર્તન થાય છે.
સ્થિર છેડા માટેની સીમા શરતો મુજબ,સીમા પર સ્થાનાંતર હંમેશા શૂન્ય હોવું જોઈએ.
આ શરતને કારણે પરાવર્તિત તરંગ એ આપાત તરંગની સાપેક્ષમાં ઉલટાઈ જાય છે.
તરંગનું ઉલટાવું એ $\pi$ રેડિયન (અથવા $180^{\circ}$) ના કળા તફાવતને અનુરૂપ છે.

(C) આપેલ છે કે $y_1 = 10 \sin(3\pi t + \frac{\pi}{3})$. તેથી કંપવિસ્તાર $A_1 = 10$ છે.
$y_2 = 5[\sin 3\pi t + \sqrt{3} \cos 3\pi t]$ માટે,કૌંસની અંદર $2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$y_2 = 5 \times 2 [\frac{1}{2} \sin 3\pi t + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 3\pi t]$
નિત્યસમ $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ અને $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ છે:
$y_2 = 10 [\sin 3\pi t \cos(\frac{\pi}{3}) + \cos 3\pi t \sin(\frac{\pi}{3})]$
$y_2 = 10 \sin(3\pi t + \frac{\pi}{3})$.
તેથી કંપવિસ્તાર $A_2 = 10$ છે.
આમ,કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\frac{A_1}{A_2} = \frac{10}{10} = 1:1$ થાય.

(D) તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin (kx - \omega t)$ છે.
આપેલ સમીકરણ: $y = 2 \sin (0.5 \pi x - 200 \pi t)$.
આપેલ સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય તરંગ સંખ્યા $k = 0.5 \pi$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 200 \pi$ મળે છે.
તરંગનો વેગ $v$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $v = \frac{\omega}{k}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $v = \frac{200 \pi}{0.5 \pi} = \frac{200}{0.5} = 400 \, cm/sec$.

(A) આપેલ તરંગનું સમીકરણ $y(x, t) = 8.0 \sin \left( 0.5 \pi x - 4 \pi t - \frac{\pi}{4} \right)$ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y(x, t) = A \sin (kx - \omega t + \phi)$ સાથે સરખાવતા:
અહીં,તરંગ સંખ્યા $k = 0.5 \pi$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 4 \pi$ છે.
તરંગની ઝડપ $v$ એ કોણીય આવૃત્તિ અને તરંગ સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે:
$v = \frac{\omega}{k}$
કિંમતો મૂકતા:
$v = \frac{4 \pi}{0.5 \pi} = \frac{4}{0.5} = 8 \ m/s$.
તેથી,તરંગની ઝડપ $8 \ m/s$ છે.

(A) આપેલ તરંગનું સમીકરણ $y = 0.25 \sin(10\pi x - 2\pi t)$ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y = A \sin(kx - \omega t)$ સાથે સરખાવતા:
$1$. કંપવિસ્તાર $A = 0.25 \text{ m}$ છે.
$2$. તરંગ સંખ્યા $k = 10\pi$. આપણે જાણીએ છીએ કે $k = \frac{2\pi}{\lambda}$,તેથી $\frac{2\pi}{\lambda} = 10\pi$,જે આપણને $\lambda = 0.2 \text{ m}$ આપે છે.
$3$. કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi$. આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega = 2\pi f$,તેથી $2\pi f = 2\pi$,જે આપણને $f = 1 \text{ Hz}$ આપે છે.
$4$. $kx$ અને $\omega t$ પદોની વચ્ચે ઋણ ચિહ્ન હોવાથી,તરંગ ધન $x$-દિશામાં ગતિ કરે છે.
તેથી,તરંગ $+ve$ $x$-દિશામાં $1 \text{ Hz}$ આવૃત્તિ અને $\lambda = 0.2 \text{ m}$ તરંગલંબાઈ સાથે ગતિ કરે છે.

(D) આપેલ છે:
પ્રથમ બિંદુનું અંતર,$x_1 = 10\;m$
બીજા બિંદુનું અંતર,$x_2 = 15\;m$
દોલનનો આવર્તકાળ,$T = 0.05\;s$
તરંગનો વેગ,$v = 300\;m/s$
બે બિંદુઓ વચ્ચેનો પથ તફાવત:
$\Delta x = x_2 - x_1 = 15 - 10 = 5\;m$
સૌ પ્રથમ,$v = f \lambda$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તરંગલંબાઈ $\lambda$ શોધો,જ્યાં $f = \frac{1}{T}$:
$f = \frac{1}{0.05} = 20\;Hz$
$\lambda = \frac{v}{f} = \frac{300}{20} = 15\;m$
કળા તફાવત $\Delta \phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ:
$\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \Delta x$
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta \phi = \frac{2\pi}{15} \times 5 = \frac{2\pi}{3}$

(A) આપેલ છે: કંપવિસ્તાર $A = 2\, cm = 0.02\, m$,ઝડપ $v = 128\, m/s$.
$4\, m$ લંબાઈમાં $5$ પૂર્ણ તરંગો હોવાથી,તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{4\, m}{5} = 0.8\, m$.
આવૃત્તિ $f = \frac{v}{\lambda} = \frac{128}{0.8} = 160\, Hz$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi f = 2 \times 3.14159 \times 160 \approx 1005\, rad/s$.
તરંગ સંખ્યા $k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2 \times 3.14159}{0.8} \approx 7.85\, rad/m$.
તરંગ $x-$અક્ષની ધન દિશામાં ગતિ કરતું હોવાથી,સમીકરણ $y = A \sin(kx - \omega t)$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $y = 0.02 \sin(7.85x - 1005t)$.

(C) આપેલ તરંગ સમીકરણ $y = A \sin(\omega t - kx)$ છે.
તરંગનો વેગ,$v = \frac{\omega}{k}$ --- $(i)$
કણનો વેગ,$v_p = \frac{dy}{dt} = A\omega \cos(\omega t - kx)$.
મહત્તમ કણ વેગ,$(v_p)_{\max} = A\omega$ --- $(ii)$
પ્રશ્ન મુજબ,તરંગનો વેગ એ મહત્તમ કણ વેગ જેટલો છે:
$v = (v_p)_{\max}$
$\frac{\omega}{k} = A\omega$
$\frac{1}{k} = A$
તરંગ સંખ્યા $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ હોવાથી,આપણે તેને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$\frac{\lambda}{2\pi} = A$
$\lambda = 2\pi A$.

(B) આપેલ તરંગ સમીકરણ $y = 3 \sin \frac{\pi}{2}(50t - x)$ છે.
તેને વિસ્તૃત કરતા,આપણને $y = 3 \sin (25\pi t - \frac{\pi}{2}x)$ મળે છે $...(i)$.
પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y = A \sin (\omega t - kx)$ છે $...(ii)$.
$(i)$ અને $(ii)$ ની સરખામણી કરતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 25\pi \text{ rad/s}$ અને તરંગ સંખ્યા $k = \frac{\pi}{2} \text{ m}^{-1}$ મળે છે.
તરંગ વેગ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{25\pi}{\pi/2} = 50 \text{ m/s}$.
કણનો વેગ $v_p = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} [3 \sin (25\pi t - \frac{\pi}{2}x)] = 3 \times 25\pi \cos (25\pi t - \frac{\pi}{2}x) = 75\pi \cos (25\pi t - \frac{\pi}{2}x)$.
મહત્તમ કણ વેગ $(v_p)_{\max} = 75\pi \text{ m/s}$.
મહત્તમ કણ વેગ અને તરંગ વેગનો ગુણોત્તર $\frac{(v_p)_{\max}}{v} = \frac{75\pi}{50} = \frac{3\pi}{2}$ થાય છે.

(A) $+ve$ $x$-દિશામાં ગતિ કરતા તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ:
$y = A \sin(kx - \omega t)$
જ્યાં:
$A$ એ તરંગનો કંપવિસ્તાર છે.
$k$ એ કોણીય તરંગ સંખ્યા છે.
$\omega$ એ તરંગની કોણીય આવૃત્તિ છે.
આપેલ છે: $A = 1\, m$,$\lambda = 2\pi\, m$,અને $f = \frac{1}{\pi}\ Hz$.
તરંગ સંખ્યા $k$ ની ગણતરી:
$k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{2\pi} = 1\, m^{-1}$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ ની ગણતરી:
$\omega = 2\pi f = 2\pi \times \frac{1}{\pi} = 2\, rad/s$.
આ કિંમતોને પ્રમાણિત સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = 1 \sin(1x - 2t) = \sin(x - 2t)$.

(B) આપેલ તરંગ સમીકરણ $y(x, t) = 0.03 \sin \pi (2t - 0.01x)$ છે.
તેનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $y(x, t) = 0.03 \sin (2\pi t - 0.01\pi x)$ મળે છે.
આને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y(x, t) = A \sin (\omega t - kx)$ સાથે સરખાવતા,આપણે તરંગ સંખ્યા $k = 0.01\pi \ rad/m$ મેળવીએ છીએ.
$\Delta x$ અંતરથી અલગ થયેલા બે કણો વચ્ચેનો કળા તફાવત $\Delta \phi$ એ સૂત્ર $\Delta \phi = k \cdot \Delta x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\Delta x = 25 \ m$ આપેલ છે,તેથી $\Delta \phi = (0.01\pi) \times 25$ થાય.
$\Delta \phi = 0.25\pi = \frac{\pi}{4} \ rad$.

(C) તરંગનો વેગ $V$ એ $V = f\lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ આવૃત્તિ છે.
સાઈન તરંગ માટે કણનો મહત્તમ વેગ $v$ એ $v = A\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega = 2\pi f$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
બંને વેગને સરખાવતા: $V = v$
$f\lambda = A(2\pi f)$
બંને બાજુ $f$ વડે ભાગતા (ધારો કે $f \neq 0$):
$\lambda = 2\pi A$
$A$ ને કર્તા બનાવતા:
$A = \frac{\lambda}{2\pi}$
આમ,સાચી શરત $A = \frac{\lambda}{2\pi}$ છે.

(D) ગોલીય તરંગ માટે,તીવ્રતા $I$ એ ઉદગમથી અંતર $r$ ના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $I \propto \frac{1}{r^2}$.
તીવ્રતા $I$ એ કંપવિસ્તાર $a$ ના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોવાથી $(I \propto a^2)$,આપણને $a^2 \propto \frac{1}{r^2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a \propto \frac{1}{r}$.
તેથી,ગોલીય તરંગનો કંપવિસ્તાર $\frac{1}{r}$ મુજબ ઘટે છે.
આ કિંમતને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણમાં મૂકતા,ગોલીય પ્રગામી તરંગનું સમીકરણ $y = \frac{a}{r} \sin(\omega t - kr)$ મળે છે.

(A) $v$ વેગથી ગતિ કરતા તરંગનું સામાન્ય સમીકરણ $z(x, t) = f(x - vt)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t = 0$ સમયે,તરંગ $z = \exp[-(x + 2)^2]$ છે. આ $x = -2$ પર કેન્દ્રિત પલ્સ દર્શાવે છે.
$t = 1 \ s$ સમયે,તરંગ $z = \exp[-(2 - x)^2] = \exp[-(x - 2)^2]$ છે. આ તે જ પલ્સ દર્શાવે છે જે હવે $x = 2$ પર કેન્દ્રિત છે.
પલ્સ $1 \ s$ માં $x = -2$ થી $x = 2$ સુધી ખસે છે.
સ્થાનાંતર $\Delta x = 2 - (-2) = 4 \ m$ છે.
સમયગાળો $\Delta t = 1 \ s$ છે.
વેગ $v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{4 \ m}{1 \ s} = 4 \ m/s$.
પલ્સ ધન $x$-દિશામાં ગતિ કરતું હોવાથી,વેગ $+x$ દિશામાં $4 \ m/s$ છે.

(D) ધન $x$-દિશામાં ગતિ કરતા તરંગનું સામાન્ય સમીકરણ $y = A \sin(kx - \omega t + \phi)$ છે.
આપેલ કંપવિસ્તાર $A = 1$ હોવાથી,સમીકરણ $y = \sin(kx - \omega t + \phi)$ બને છે.
$t = 0$ સમયે,સમીકરણ $y = \sin(kx + \phi)$ થાય છે.
આકૃતિ પરથી $t = 0$ અને $x = 0$ સમયે,$y = -0.5$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $-0.5 = \sin(0 + \phi) \Rightarrow \sin(\phi) = -0.5$.
આથી $\phi = -\frac{\pi}{6}$ અથવા $\phi = -\frac{5\pi}{6}$ મળે.
તરંગ ધન $x$-દિશામાં ગતિ કરતું હોવાથી,$x = 0$ આગળનો કણ ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,તેથી વેગ $v = \frac{dy}{dt}$ એ $t = 0, x = 0$ સમયે ધન હોવો જોઈએ.
વિકલ્પો તપાસતા,ધન $x$-દિશામાં ગતિ કરતા તરંગ માટેનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $y = \sin(\omega t - kx + \phi)$ છે.
$t = 0, x = 0, y = -0.5$ મૂકતા,$\sin(\phi) = -0.5$ મળે,તેથી $\phi = -\frac{\pi}{6}$.
આમ,$y = \sin(\omega t - kx - \frac{\pi}{6})$,જે વિકલ્પ $D$ સાથે સુસંગત છે.

(A) તરંગનો વેગ $v = \lambda f$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ આલેખ પરથી,બે ક્રમિક શૃંગ અથવા બે ક્રમિક ગર્ત વચ્ચેનું અંતર તરંગલંબાઇ $\lambda$ દર્શાવે છે.
આલેખ દર્શાવે છે કે એક સંપૂર્ણ તરંગ ચક્ર ($0.1 \ cm$ થી $0.5 \ cm$ સુધી) $0.4 \ cm$ નું અંતર ધરાવે છે.
આમ,તરંગલંબાઇ $\lambda = 0.4 \ cm = 0.4 \times 10^{-2} \ m = 4 \times 10^{-3} \ m$ છે.
આવૃત્તિ $f = 250 \ Hz$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$v = (4 \times 10^{-3} \ m) \times (250 \ Hz)$
$v = 1000 \times 10^{-3} \ m/s$
$v = 1.0 \ m/s$.

(B) બિંદુવત ઉદગમમાંથી બધી દિશાઓમાં સમાન રીતે પ્રસરેતા ગોલીય તરંગ માટે,ઉર્જા ગોળાની સપાટીના ક્ષેત્રફળ $4\pi r^2$ પર વહેંચાય છે.
તીવ્રતા $I$ એ કંપવિસ્તાર $a$ ના વર્ગના સમપ્રમાણમાં $(I \propto a^2)$ હોવાથી અને તીવ્રતા વ્યસ્ત વર્ગના નિયમ $(I \propto 1/r^2)$ નું પાલન કરતી હોવાથી,આપણને $a^2 \propto 1/r^2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a \propto 1/r$.
તેથી,$r$ અંતરે તરંગનો કંપવિસ્તાર $A/r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,$r$ અંતરે માધ્યમનું સ્થાનાંતર $y = \frac{A}{r} \sin(kr - \omega t)$ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે.

(B) સમતલ પ્રગામી લંબગત તરંગમાં,માધ્યમના કણો તેમના સરેરાશ સ્થાનની આસપાસ સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરે છે. તેથી,કણો માટે $SHM$ ના ખ્યાલો લાગુ પડે છે.
કણનો મહત્તમ વેગ $v_{p,max} = A \omega$ છે,જે સરેરાશ સ્થાન પર જોવા મળે છે.
આપેલ તરંગના સમીકરણ પરથી:
$y = A \sin (2 \pi f t - 2 \pi x / \lambda)$
આને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y = A \sin (\omega t - kx)$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi f$
તરંગ સંખ્યા $k = 2 \pi / \lambda$
તરંગનો વેગ $v$ નીચે મુજબ છે:
$v = \omega / k = (2 \pi f) / (2 \pi / \lambda) = \lambda f$
આપેલ શરત મુજબ,કણનો મહત્તમ વેગ તરંગના વેગ કરતાં ચાર ગણો છે:
$A \omega = 4 v$
$A (2 \pi f) = 4 (\lambda f)$
$2 \pi A f = 4 \lambda f$
$\lambda = (2 \pi A) / 4$
$\lambda = \pi A / 2$

(D) તરંગ ઋણ $x$-દિશામાં ગતિ કરી રહ્યું છે.
કોઈ બિંદુ પર કણની ગતિની દિશા નક્કી કરવા માટે,આપણે કલ્પના કરી શકીએ કે તરંગ થોડું ડાબી બાજુ (ઋણ $x$-દિશા) તરફ ખસે છે.
તરંગ પ્રસરણની દિશાને સાપેક્ષ તરંગના શૃંગ અથવા ગર્તની 'આગળની' બાજુ પરના બિંદુઓ ચોક્કસ દિશામાં ગતિ કરશે.
ઋણ $x$-દિશામાં ગતિ કરતા તરંગ માટે:
- તરંગના ચઢતા ભાગ પરના બિંદુઓ (ઢાળ ઋણ છે) ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે.
- તરંગના ઉતરતા ભાગ પરના બિંદુઓ (ઢાળ ધન છે) નીચેની તરફ ગતિ કરે છે.
આકૃતિ જોતા:
- બિંદુ $a$ એ શૃંગના ચઢતા ઢાળ પર છે,તેથી તે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે.
- બિંદુ $g$ એ ગર્તના ચઢતા ઢાળ પર છે,તેથી તે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે.
- બિંદુ $f$ એ ગર્તના તળિયે છે,તેથી તે તેના અંતિમ સ્થાને છે અને ક્ષણિક રીતે સ્થિર છે.
તેથી,બિંદુ $a$ અને $g$ બંને ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે.
સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(C, D) ઋણ $x$-દિશામાં ગતિ કરતા તરંગ માટે, કોઈપણ બિંદુ $x$ પર કણનો વેગ $v_p = -v \cdot (\text{ઢાળ})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $v$ એ તરંગની ઝડપ છે અને ઢાળ $\frac{\partial y}{\partial x}$ છે.
તરંગ ઋણ $x$-દિશામાં ગતિ કરતું હોવાથી, $v$ ઋણ છે. તેથી, $v_p = |v| \cdot (\text{ઢાળ})$.
આમ, કણ નીચેની તરફ $(v_p < 0)$ ગતિ કરે છે જ્યાં તરંગનો ઢાળ ઋણ હોય.
આલેખ જોતા:
- બિંદુ $a$ પર, ઢાળ ધન છે, તેથી તે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે.
- બિંદુ $b$ પર, ઢાળ શૂન્ય છે (તે શૃંગ છે).
- બિંદુ $c$ પર, ઢાળ ઋણ છે, તેથી તે નીચેની તરફ ગતિ કરે છે.
- બિંદુ $d$ પર, ઢાળ ઋણ છે, તેથી તે નીચેની તરફ ગતિ કરે છે.
- બિંદુ $e$ પર, ઢાળ ધન છે, તેથી તે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે.
- બિંદુ $f$ પર, ઢાળ શૂન્ય છે (તે ગર્ત છે).
- બિંદુ $g$ પર, ઢાળ ધન છે, તેથી તે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે.
- બિંદુ $h$ પર, ઢાળ ધન છે, તેથી તે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે.
આમ, બિંદુઓ $c$ અને $d$ નીચેની તરફ ગતિ કરી રહ્યા છે.

(D) લંબગત તરંગમાં,શૃંગ (crests) અને ગર્ત (troughs) પરના કણોનો ત્વરિત વેગ શૂન્ય હોય છે કારણ કે તેઓ તેમના સ્થાનાંતરની અંતિમ સ્થિતિ પર હોય છે.
ઋણ $x$-અક્ષની દિશામાં ગતિ કરતા તરંગ માટે,બિંદુઓ $b$ અને $f$ અનુક્રમે શૃંગ અને ગર્ત દર્શાવે છે.
આ અંતિમ સ્થિતિઓ પર,કણોનો ઉર્ધ્વ વેગ ક્ષણિક રીતે શૂન્ય હોય છે.
તેથી,આ ક્ષણે બિંદુઓ $b$ અને $f$ એ સ્થિર બિંદુઓ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(C) લંબગત હાર્મોનિક તરંગમાં, કણનો વેગ $v_p = -v \cdot (\text{slope})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $v$ એ તરંગની ઝડપ છે અને ઢાળ $\frac{\partial y}{\partial x}$ છે.
ઋણ $x$-દિશામાં ગતિ કરતા તરંગ માટે, કણનો વેગ $v_p = v \cdot (\text{slope})$ થાય છે.
કણનો વેગ સરેરાશ સ્થાન (જ્યાં સ્થાનાંતર $y = 0$ હોય) પર મહત્તમ હોય છે કારણ કે ત્યાં ઢાળ મહત્તમ હોય છે.
આકૃતિ જોતા, બિંદુઓ $o$, $d$, અને $h$ સરેરાશ સ્થાન $(y = 0)$ પર છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી, બિંદુ $d$ સરેરાશ સ્થાન પર છે.
બિંદુઓ $b$ અને $f$ અંતિમ સ્થાનો પર છે જ્યાં વેગ શૂન્ય છે.
તેથી, મહત્તમ વેગ સાથે ગતિ કરતું બિંદુ $d$ છે.

(D) જ્યારે તરંગ માધ્યમ $1$ (ઝડપ $v_1$) થી માધ્યમ $2$ (ઝડપ $v_2$) માં ગતિ કરે છે,ત્યારે પારગમિત તરંગ હંમેશા આપાત તરંગ જેવી જ કળા જાળવી રાખે છે કારણ કે કંપવિસ્તાર સહગુણક $\frac{2v_2}{v_1+v_2}$ હંમેશા ધન હોય છે.
પરાવર્તિત તરંગનો કંપવિસ્તાર $A_r = \left( \frac{v_2 - v_1}{v_1 + v_2} \right) A_i$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો $v_2 > v_1$ હોય,તો પદ $\frac{v_2 - v_1}{v_1 + v_2}$ ધન છે,જેનો અર્થ છે કે પરાવર્તિત તરંગ આપાત તરંગ સાથે સમાન કળામાં છે.
જો $v_2 < v_1$ હોય,તો પદ $\frac{v_2 - v_1}{v_1 + v_2}$ ઋણ છે,જે $\pi$ રેડિયનનો કળા તફાવત (કળા ઉલટાવવી) રજૂ કરે છે.
તેથી,પરાવર્તિત તરંગની કળા $v_1$ અને $v_2$ ના સાપેક્ષ મૂલ્યો પર આધાર રાખે છે.

(C) ઋણ $x$-દિશામાં ગતિ કરતા તરંગ માટે, કોઈપણ બિંદુએ કણનો વેગ $v_p = -v \cdot (\text{ઢાળ})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $v$ એ તરંગની ઝડપ છે અને ઢાળ $\frac{\partial y}{\partial x}$ છે.
તરંગ ઋણ $x$-દિશામાં ગતિ કરતું હોવાથી, જ્યાં ઢાળ ઋણ હોય ત્યાં કણનો વેગ $v_p$ ધન (ઉપરની તરફ) હોય છે, અને જ્યાં ઢાળ ધન હોય ત્યાં $v_p$ ઋણ (નીચેની તરફ) હોય છે.
આલેખ જોતા:
- બિંદુ $b$ પર, ઢાળ ઋણ છે, તેથી કણ ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે.
- બિંદુ $c$ પર, ઢાળ ઋણ છે, તેથી કણ ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે.
- બિંદુ $f$ પર, ઢાળ ધન છે, તેથી કણ નીચેની તરફ ગતિ કરે છે.
- બિંદુ $i$ પર, ઢાળ શૂન્ય છે (શૃંગ પર), તેથી કણ ક્ષણિક સ્થિર છે.
તેથી, ઋણ $y$-દિશામાં ગતિ કરતું બિંદુ $f$ છે.

(B) ઋણ $x$-દિશામાં ગતિ કરતા તરંગ માટે, કોઈપણ બિંદુએ કણનો વેગ $v_p = -v \cdot (\text{ઢાળ})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં, $v$ એ તરંગની ઝડપ (ધન મૂલ્ય) છે અને ઢાળ એ તે બિંદુએ $\frac{dy}{dx}$ છે.
કણ ઋણ $y$-દિશામાં ગતિ કરે તે માટે, $v_p$ ઋણ હોવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $-v \cdot (\text{ઢાળ}) < 0$, જેનો અર્થ છે કે ઢાળ ધન હોવો જોઈએ.
આલેખ જોતા, જે વિસ્તારોમાં વક્ર વધતો હોય (ડાબેથી જમણે ઉપર જતો હોય) ત્યાં ઢાળ ધન હોય છે.
આ વિસ્તારો બિંદુઓ $d, e, f$ ને અનુરૂપ છે.
આમ, બિંદુઓ $d, e, f$ ઋણ $y$-દિશામાં ગતિ કરી રહ્યા છે.

(A, C, D) તરંગમાં,સ્થિર બિંદુઓ તે છે જ્યાં સ્થાનાંતર તેના મહત્તમ અથવા ન્યૂનતમ મૂલ્ય પર હોય છે (એટલે કે,શૃંગ અને ગર્ત).
આ બિંદુઓ પર,તે ચોક્કસ ક્ષણે કણનો વેગ શૂન્ય હોય છે.
આકૃતિ જોતા,બિંદુઓ $a$,$e$,$i$,અને $k$ એ અંતિમ સ્થાનો (શૃંગ અથવા ગર્ત) પર છે.
તેથી,સ્થિર બિંદુઓ $a$,$e$,$i$,અને $k$ છે.

(D) તરંગના સ્થાનાંતર-સ્થાન આલેખમાં,સંતુલન સ્થિતિ $(y = 0)$ થી મહત્તમ સ્થાનાંતર ધરાવતા બિંદુઓ તરંગના શૃંગ અને ગર્ત હોય છે.
આપેલી આકૃતિ જોતા,બિંદુઓ $a$,$e$,અને $i$ તરંગના શૃંગ (peaks) અને ગર્ત (valleys) દર્શાવે છે.
બિંદુ $a$ મહત્તમ ધન સ્થાનાંતર પર છે.
બિંદુ $e$ મહત્તમ ઋણ સ્થાનાંતર પર છે.
બિંદુ $i$ મહત્તમ ધન સ્થાનાંતર પર છે.
તેથી,આ તમામ બિંદુઓ ($a$,$e$,અને $i$) મહત્તમ સ્થાનાંતરની સ્થિતિ દર્શાવે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ તરંગનું સમીકરણ $y(x, t) = 0.005 \cos(\alpha x - \beta t)$ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y(x, t) = a \cos(kx - \omega t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને તરંગ સંખ્યા $k = \alpha$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \beta$ મળે છે.
તરંગ સંખ્યાનું સૂત્ર $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ છે. અહીં $\lambda = 0.08 \ m$ આપેલ હોવાથી,$\alpha = \frac{2\pi}{0.08} = 25\pi \ rad/m$ થાય.
કોણીય આવૃત્તિનું સૂત્ર $\omega = \frac{2\pi}{T}$ છે. અહીં $T = 2.0 \ s$ આપેલ હોવાથી,$\beta = \frac{2\pi}{2.0} = \pi \ rad/s$ થાય.
આમ,$\alpha = 25\pi$ અને $\beta = \pi$ મળે છે.

(B) આપેલ તરંગ સમીકરણ $y(x, t) = e^{-(ax^2 + bt^2 + 2\sqrt{ab}xt)}$ છે.
આપણે ઘાતાંકને પૂર્ણવર્ગ તરીકે લખી શકીએ છીએ:
$ax^2 + bt^2 + 2\sqrt{ab}xt = (\sqrt{a}x + \sqrt{b}t)^2 = a(x + \sqrt{\frac{b}{a}}t)^2$.
આમ,$y(x, t) = e^{-a(x + \sqrt{\frac{b}{a}}t)^2}$.
આ $y = f(x + vt)$ પ્રકારનું વિધેય છે,જે $-x$ દિશામાં ગતિ કરતા તરંગને દર્શાવે છે.
$x + \sqrt{\frac{b}{a}}t$ ની સરખામણી $x + vt$ સાથે કરતા,આપણને તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{b}{a}}$ મળે છે.
તેથી,તે $\sqrt{\frac{b}{a}}$ ઝડપ સાથે $-x$ દિશામાં ગતિ કરતું તરંગ દર્શાવે છે.

(A) તરંગમાં કણનો વેગ નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v_p = -(\text{slope}) \times v_{\text{wave}}$.
તરંગ ધન $x$-દિશામાં ગતિ કરતું હોવાથી,$v_{\text{wave}}$ ધન છે.
બિંદુ $A$ પર,તરંગના સ્થાનાંતર વક્રનો ઢાળ ધન છે. તેથી,$v_p = -(\text{ધન}) \times (\text{ધન}) = \text{ઋણ}$. આમ,કણ $A$ એ $-ve$ $y$-દિશામાં ગતિ કરી રહ્યો છે.
બિંદુ $B$ પર,તરંગના સ્થાનાંતર વક્રનો ઢાળ ઋણ છે. તેથી,$v_p = -(\text{ઋણ}) \times (\text{ધન}) = \text{ધન}$. આમ,કણ $B$ એ $+ve$ $y$-દિશામાં ગતિ કરી રહ્યો છે.
તેથી,કણ $A$ એ $-ve$ $y$-દિશામાં અને કણ $B$ એ $+ve$ $y$-દિશામાં ગતિ કરે છે.

(B) પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $Y = A \sin(\omega t - kx)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $Y = 5 \sin(10\pi t - 0.1\pi x)$ સાથે સરખાવતા,આપણને તરંગ સંખ્યા $k = 0.1\pi \ rad/m$ મળે છે.
$\Delta x$ અંતરે રહેલા બે બિંદુઓ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\Delta\phi$ એ સૂત્ર $\Delta\phi = k \cdot \Delta x$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $\Delta x = 10 \ m$ અને $k = 0.1\pi \ rad/m$ આપેલ છે,તેથી:
$\Delta\phi = (0.1\pi) \times 10 = \pi \ rad$.
આમ,કળા તફાવત $\pi$ છે.

(A) તરંગ પલ્સ $v_w = 2 \ cm/s$ ની ઝડપે ગતિ કરે છે.
$t = 0$ સમયે,પલ્સની પાછળની ધાર મુક્ત છેડાથી $2 \ cm$ ના અંતરે છે.
$t = \frac{3}{4} \ s$ માં,પલ્સ $d = v_w \times t = 2 \times \frac{3}{4} = 1.5 \ cm$ અંતર કાપે છે.
પાછળની ધાર $2 \ cm$ દૂર હોવાથી,$0.75 \ s$ પછી,તે મુક્ત છેડાથી $2 - 1.5 = 0.5 \ cm$ ના અંતરે હશે.
આનો અર્થ એ છે કે મુક્ત છેડો હાલમાં ત્રિકોણાકાર પલ્સની પાછળની ઢાળ પર સ્થિત છે.
પાછળની ધારનો ઢાળ $m = \frac{\text{ઊંચાઈ}}{\text{પાયો}} = \frac{1 \ cm}{1 \ cm} = 1$ છે.
તરંગ પલ્સ માટે,કણનો વેગ $v_p = -v_w \times \text{ઢાળ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પાછળની ધારનો ઢાળ ઋણ હોવાથી,મુક્ત છેડા પર કણનો વેગ $v_p = -2 \times (-1) = 2 \ cm/s$ થશે.

(A) ગતિ કરતા તરંગનું સામાન્ય સમીકરણ $y(x, t) = A \cos(kx - \omega t)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y(x, t) = 0.005 \cos(\alpha x - \beta t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = k$ અને $\beta = \omega$ મળે છે.
તરંગ સદિશ $k$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda$ વચ્ચેનો સંબંધ $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ છે.
અહીં $\lambda = 0.08 \ m$ આપેલ છે,તેથી $\alpha = k = \frac{2\pi}{0.08} = 25\pi \ m^{-1}$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ અને આવર્તકાળ $T$ વચ્ચેનો સંબંધ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ છે.
અહીં $T = 2.0 \ s$ આપેલ છે,તેથી $\beta = \omega = \frac{2\pi}{2.0} = \pi \ rad/s$.
આમ,$\alpha = 25\pi$ અને $\beta = \pi$ થાય છે.

(A) ગતિ કરતા તરંગનું સામાન્ય સમીકરણ $y = A \sin(\omega t - kx + \phi)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 10^{-4} \sin(600t - 2x + \frac{\pi}{3})$ સાથે સરખાવતા:
આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 600 \, \text{rad/s}$ અને તરંગ સંખ્યા $k = 2 \, \text{rad/m}$ મળે છે.
તરંગની ઝડપ $v$ શોધવાનું સૂત્ર $v = \frac{\omega}{k}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$v = \frac{600}{2} = 300 \, \text{m/s}$.

(B) લંબગત તરંગમાં કણોના વેગની દિશા નક્કી કરવા માટે,આપણે તરંગને પ્રસરણની દિશામાં થોડું આગળ વધતું કલ્પી શકીએ છીએ.
તરંગ જમણીથી ડાબી તરફ ગતિ કરી રહ્યું હોવાથી,તરંગનો આકાર ડાબી તરફ ખસશે.
$1$. બિંદુ $D, E, F$ પર: જેમ તરંગ ડાબી તરફ ગતિ કરે છે,તેમ આ બિંદુઓ પરનો આકાર નીચેની તરફ ખસશે,જેનો અર્થ છે કે આ કણોનો વેગ નીચેની તરફ છે.
$2$. બિંદુ $C, G$ પર: આ અંતિમ સ્થાનો (શૃંગ અને ગર્ત) છે,તેથી તેમનો તાત્ક્ષણિક વેગ શૂન્ય છે.
$3$. બિંદુ $A, B, H$ પર: જેમ તરંગ ડાબી તરફ ગતિ કરે છે,તેમ આ બિંદુઓ પરનો આકાર ઉપરની તરફ ખસશે,જેનો અર્થ છે કે આ કણોનો વેગ ઉપરની તરફ છે.
તેથી,$D, E$ અને $F$ પરના કણોનો વેગ નીચેની તરફ છે. સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) લંબગત હાર્મોનિક તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin (\omega t + kx + \phi)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 3 \sin (36t + 0.018x + \frac{\pi}{4})$ સાથે સરખાવતા,આપણને તરંગ સંખ્યા $k = 0.018 \, cm^{-1}$ મળે છે.
બે ક્રમિક શૃંગો વચ્ચેનું અંતર એ તરંગલંબાઈ $\lambda$ જેટલું હોય છે.
તરંગલંબાઈ અને તરંગ સંખ્યા વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda = \frac{2\pi}{k}$ છે.
$k$ ની કિંમત મૂકતા: $\lambda = \frac{2 \times 3.1416}{0.018} \approx 349.06 \, cm$.
આને મીટરમાં ફેરવવા માટે,આપણે $100$ વડે ભાગાકાર કરીએ છીએ: $\lambda = \frac{349.06}{100} \approx 3.49 \, m$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $3.5 \, m$ છે.

(A) કળા તફાવત $\Delta \phi$ એ પથ તફાવત $\Delta x$ અને પ્રસરણ અચળાંક $k$ સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે: $\Delta \phi = k \cdot \Delta x$.
આપેલ છે:
પ્રસરણ અચળાંક $k = \frac{5 \pi}{7} \, rad/m$.
પથ તફાવત $\Delta x = \frac{49}{22} \, m$.
$\pi = \frac{22}{7}$ લેતા,કિંમતો મૂકતા:
$\Delta \phi = \left( \frac{5}{7} \times \frac{22}{7} \right) \times \frac{49}{22}$.
$\Delta \phi = \left( \frac{5 \times 22}{49} \right) \times \frac{49}{22}$.
$\Delta \phi = 5 \, rad$.

(C) સાઈન તરંગમાં,કણનું સ્થાનાંતર $y = A \sin(\omega t - kx)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણનો વેગ $v_p = \frac{dy}{dt} = A\omega \cos(\omega t - kx)$ છે.
બે કણો જે $x_1$ અને $x_2$ સ્થાન પર છે,તેમની ઝડપ સમાન હોવા માટે,તેમના વેગનું મૂલ્ય $|v_{p1}| = |v_{p2}|$ હોવું જોઈએ.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે કળા તફાવત $\pi$ નો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોય. ખાસ કરીને,$\Delta x = \frac{\lambda}{2}$ અંતરે રહેલા કણોના વેગ મૂલ્યમાં સમાન પરંતુ દિશામાં વિરુદ્ધ હોય છે $(v_1 = -v_2)$,જેનો અર્થ છે કે તેમની ઝડપ સમાન છે.
આમ,સમાન ઝડપ ધરાવતા બે કણો વચ્ચેનું ન્યૂનતમ અંતર $\frac{\lambda}{2}$ છે.

(B) તરંગમાં કણનો વેગ $v_p = -v \cdot (\text{ઢાળ})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $v$ એ તરંગની ઝડપ છે.
જો સ્પંદ ધન દિશામાં ગતિ કરે $(v > 0)$, તો $v_p = -v \cdot (\text{ઢાળ})$.
$1$. બિંદુ $P$ પાસે (શિખરની પાછળની ધાર પર), ઢાળ ધન છે. તેથી, $v_p = -v \cdot (\text{ધન}) = \text{ઋણ}$. આમ, જો સ્પંદ ધન દિશામાં ગતિ કરે તો $P$ નીચેની તરફ ગતિ કરે છે.
$2$. તેનાથી ઉલટું, જો સ્પંદ ઋણ દિશામાં ગતિ કરે $(v < 0)$, તો $v_p = -(-v) \cdot (\text{ઢાળ}) = v \cdot (\text{ઢાળ})$. $P$ પાસે ઢાળ ધન હોવાથી, $v_p$ ધન (ઉપરની તરફ) મળે છે.
$3$. વિકલ્પ $A$: જો $P$ સ્થિર હોય, તો તે વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા બે તરંગોના સંપાતીકરણ (સ્થિત તરંગ) સૂચવે છે, જે સાચું છે.
$4$. વિકલ્પ $B$: જો $P$ ઉપરની તરફ ગતિ કરે, તો સ્પંદ ઋણ દિશામાં ગતિ કરતું હોવું જોઈએ. તેથી, વિકલ્પ $B$ ખોટું છે.
$5$. વિકલ્પ $C$: જો $P$ નીચેની તરફ ગતિ કરે, તો સ્પંદ ધન દિશામાં ગતિ કરતું હોવું જોઈએ. તેથી, વિકલ્પ $C$ પણ ખોટું છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $y(x, t) = e^{-(ax^2 + bt^2 + 2\sqrt{ab}xt)}$ છે.
ઘાતાંકને પૂર્ણવર્ગ તરીકે લખતા: $ax^2 + bt^2 + 2\sqrt{ab}xt = (\sqrt{a}x + \sqrt{b}t)^2$.
તેથી,તરંગ વિધેય $y(x, t) = e^{-(\sqrt{a}x + \sqrt{b}t)^2}$ થાય.
સામાન્ય ગતિશીલ તરંગ વિધેય $f(kx + \omega t)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં જો $kx$ અને $\omega t$ વચ્ચેની નિશાની ધન હોય તો તરંગ $-x$ દિશામાં ગતિ કરે છે.
$y(x, t) = e^{-(\sqrt{a}x + \sqrt{b}t)^2}$ ની સરખામણી $f(kx + \omega t)$ સાથે કરતા,આપણને $k = \sqrt{a}$ અને $\omega = \sqrt{b}$ મળે છે.
તરંગની ઝડપ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} = \sqrt{\frac{b}{a}}$ છે.
આ સમીકરણ $f(kx + \omega t)$ સ્વરૂપનું હોવાથી,તરંગ $-x$ દિશામાં ગતિ કરે છે.

(A) ધારો કે તરંગનું સમીકરણ $y = A \sin(\omega t - kx)$ છે.
કણનો વેગ $v_p = \frac{\partial y}{\partial t} = A\omega \cos(\omega t - kx)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણની મહત્તમ ઝડપ $v_{p, \text{max}} = A\omega$ છે.
તરંગની ઝડપ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{\omega}{2\pi / \lambda} = \frac{\omega \lambda}{2\pi}$ છે.
કણની ઝડપ હંમેશા તરંગની ઝડપ કરતા ઓછી રહે તે માટે,કણની મહત્તમ ઝડપ તરંગની ઝડપ કરતા ઓછી હોવી જોઈએ:
$v_{p, \text{max}} < v$
$A\omega < \frac{\omega \lambda}{2\pi}$
બંને બાજુ $\omega$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$A < \frac{\lambda}{2\pi}$.

(B) આપેલ તરંગનો વેગ,$v = 1450 \, m/s$.
વિરુદ્ધ કળામાં રહેલા બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર તરંગલંબાઈના અડધા જેટલું હોય છે,એટલે કે $\frac{\lambda}{2}$.
આપેલ છે કે,$\frac{\lambda}{2} = 0.1 \, m$,તેથી,$\lambda = 0.2 \, m$.
તરંગના વેગ,આવૃત્તિ $(f)$ અને તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ વચ્ચેનો સંબંધ $v = f \lambda$ છે.
આવૃત્તિ માટે સૂત્ર: $f = \frac{v}{\lambda}$.
કિંમતો મૂકતા: $f = \frac{1450}{0.2} = 7250 \, Hz$.

(C) પ્રગામી તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = a \sin(kx - \omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણ $y = a \sin \left( \frac{\pi}{2}x - 200\pi t \right)$ ને પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 200\pi \ rad/s$ મળે છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ અને આવૃત્તિ $\nu$ વચ્ચેનો સંબંધ $\omega = 2\pi \nu$ છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા:
$2\pi \nu = 200\pi$
$\nu = \frac{200\pi}{2\pi} = 100 \ Hz$.
તેથી,તરંગની આવૃત્તિ $100 \ Hz$ છે.

(D) જ્યારે તરંગ ઘટ્ટ માધ્યમની સીમા પરથી પરાવર્તિત થાય છે,ત્યારે તરંગમાં $\pi$ રેડિયન $(180^\circ)$ નો કળા તફાવત ઉદભવે છે.
માધ્યમ સમાન રહેતું હોવાથી,તરંગની ઝડપ $(v = f \lambda)$ બદલાતી નથી.
આવૃત્તિ $(f)$ ઉદગમ દ્વારા નક્કી થતી હોવાથી તે અચળ રહે છે.
પરિણામે,તરંગલંબાઈ $(\lambda = v/f)$ પણ બદલાતી નથી.
જોકે,કેટલીક ઉર્જા ઘટ્ટ માધ્યમમાં પ્રસારિત થાય છે,જેના કારણે પરાવર્તિત તરંગનો કંપવિસ્તાર અને તીવ્રતા ઘટે છે.
તેથી,તરંગલંબાઈ એવી રાશિ છે જે બદલાતી નથી.

(B) આપેલ તરંગ સમીકરણો:
$y_1 = a \sin(\omega t)$
$y_2 = b \cos(\omega t)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(\theta) = \sin(\theta + \frac{\pi}{2})$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $y_2$ ને આ રીતે લખી શકીએ:
$y_2 = b \sin(\omega t + \frac{\pi}{2})$
પ્રથમ તરંગની કળા $\phi_1 = \omega t$ છે.
બીજા તરંગની કળા $\phi_2 = \omega t + \frac{\pi}{2}$ છે.
કળા તફાવત $\Delta\phi = \phi_2 - \phi_1 = (\omega t + \frac{\pi}{2}) - \omega t = \frac{\pi}{2}$ થાય.

(A) આપેલ તરંગ સમીકરણ $y = a \sin(2 \pi bt - 2 \pi cx)$ છે.
આને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y = A \sin(\omega t - kx)$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi b$
તરંગ સંખ્યા $k = 2 \pi c$
કંપવિસ્તાર $A = a$
તરંગનો વેગ $v_w = \frac{\omega}{k} = \frac{2 \pi b}{2 \pi c} = \frac{b}{c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણનો મહત્તમ વેગ $v_p = \omega A = (2 \pi b) a = 2 \pi ab$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,કણનો મહત્તમ વેગ તરંગના વેગ કરતા બમણો છે:
$v_p = 2 v_w$
$2 \pi ab = 2 \left( \frac{b}{c} \right)$
$\pi a = \frac{1}{c}$
$c = \frac{1}{\pi a}$