Mix Examples-Waves and Sound Questions in Gujarati

(B) હવામાં ધ્વનિની ઝડપ આશરે $340 \ m/s$ છે,જ્યારે પ્રકાશની ઝડપ આશરે $3 \times 10^8 \ m/s$ છે.
તરંગની ઝડપ $v$ એ $v = f \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ આવૃત્તિ છે અને $\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે. આપેલી આવૃત્તિ માટે,તરંગલંબાઈ એ તરંગની ઝડપના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
પ્રકાશની ઝડપ ધ્વનિની ઝડપ કરતા ઘણી વધારે હોવાથી,દ્રશ્યમાન વર્ણપટમાં પ્રકાશની તરંગલંબાઈ એ શ્રાવ્ય ધ્વનિ તરંગોની તરંગલંબાઈ કરતા ઘણી નાની હોય છે.
તેથી,$\lambda_S > \lambda_V$.

(D) લંબગત તરંગ માટે કણની મહત્તમ ઝડપ $v_{\max} = a\omega = a(2\pi n)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $v_{\max} = v/10,$ જ્યાં $v = 10 \ m/s,$ તેથી $v_{\max} = 10/10 = 1 \ m/s.$
$a = 10^{-3} \ m$ મૂકતા,આપણને $10^{-3} \times 2\pi n = 1 \implies n = \frac{10^3}{2\pi} \ Hz$ મળે છે.
તરંગની ઝડપના સંબંધ $v = n\lambda$ નો ઉપયોગ કરતા,$\lambda = \frac{v}{n} = \frac{10}{10^3 / 2\pi} = 2\pi \times 10^{-2} \ m$ મળે છે.
આમ,વિકલ્પ $(A)$ અને $(C)$ બંને સાચા છે.

(B) બે તરંગોના કંપનવિસ્તાર ${a_1} = 5$ અને ${a_2} = 10$ છે.
તરંગની તીવ્રતા તેના કંપનવિસ્તારના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે,$I \propto a^2$.
મહત્તમ તીવ્રતા અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(a_1 + a_2)^2}{(a_1 - a_2)^2}$.
કંપનવિસ્તારની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{5 + 10}{5 - 10} \right)^2 = \left( \frac{15}{-5} \right)^2 = (-3)^2 = 9$.
તેથી,ગુણોત્તર $9$ છે.

(D) ઓડિટોરિયમનો રિવર્બરેશન સમય $T$ એ સેબિનના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $T = \frac{0.161 V}{\sum \alpha S}$,જ્યાં $V$ એ ઓડિટોરિયમનું કદ છે,$S$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\alpha$ એ શોષણ ગુણાંક છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $T$ એ ઓડિટોરિયમના કદ $V$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
તેથી,$T \propto V$.

(A) ધારો કે $S$ એ ધ્વનિનો સ્ત્રોત છે અને $P$ એ વ્યક્તિ અથવા શ્રોતા છે.
$S$ માંથી આવતા તરંગો સીધા $SP$ માર્ગે $P$ બિંદુએ પહોંચે છે અને છત પરના બિંદુ $A$ પરથી પરાવર્તિત થઈને $SAP$ માર્ગે પણ પહોંચે છે.
$M$ એ $SP$ નું મધ્યબિંદુ છે (એટલે કે $SM = MP = 60 \ m$) અને $\angle SMA = 90^\circ$.
સીધા તરંગની પથ લંબાઈ $SP = 120 \ m$ છે.
પરાવર્તિત તરંગની પથ લંબાઈ $SAP = SA + AP = 2 \times SA$ છે.
$\triangle SMA$ માં,$SA = \sqrt{SM^2 + MA^2} = \sqrt{60^2 + 25^2} = \sqrt{3600 + 625} = \sqrt{4225} = 65 \ m$.
તેથી,$SAP = 2 \times 65 = 130 \ m$.
ભૌમિતિક પથ તફાવત $\Delta x_{geom} = SAP - SP = 130 - 120 = 10 \ m$ છે.
જ્યારે તરંગ સખત છત પરથી પરાવર્તિત થાય છે,ત્યારે $\pi$ જેટલો વધારાનો કળા તફાવત ઉદ્ભવે છે,જે $\lambda/2$ જેટલા પથ તફાવતને સમકક્ષ છે.
આમ,અસરકારક પથ તફાવત $\Delta x = 10 + \lambda/2$ થાય.
સહાયક વ્યતિકરણ માટે,અસરકારક પથ તફાવત $\lambda$ નો પૂર્ણાંક ગુણક હોવો જોઈએ,એટલે કે $\Delta x = n\lambda$ (જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$).
$10 + \lambda/2 = n\lambda \Rightarrow 10 = (n - 1/2)\lambda = (2n - 1)\lambda/2$.
$\lambda = 20 / (2n - 1)$.
$n = 1, 2, 3, \dots$ માટે,તરંગલંબાઈ $\lambda = 20/1, 20/3, 20/5, \dots$ અથવા $20, 20/3, 20/5, \dots \ m$ મળે છે.

(A) ધારો કે તારમાં પ્રારંભિક તણાવ $T$ છે અને એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $m$ છે. ખેંચાયેલા તારની આવૃત્તિ $f_w = \frac{1}{2L_w} \sqrt{\frac{T}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$L_p$ લંબાઈની બંધ ઓર્ગન પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_c = \frac{v}{4L_p}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,શરૂઆતમાં $f_w = f_c$,તેથી $\frac{1}{2L_w} \sqrt{\frac{T}{m}} = \frac{v}{4L_p}$ ..... $(i)$.
જ્યારે તણાવ $8 \ N$ વધારવામાં આવે છે,ત્યારે નવી આવૃત્તિ $f_w' = \frac{1}{2L_w} \sqrt{\frac{T+8}{m}}$ છે. આ બંધ પાઇપના પ્રથમ ઓવરટોન સાથે અનુનાદમાં છે,જે $3f_c = \frac{3v}{4L_p}$ છે.
તેથી,$\frac{1}{2L_w} \sqrt{\frac{T+8}{m}} = \frac{3v}{4L_p}$ ..... $(ii)$.
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ $(ii)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{\sqrt{T}}{\sqrt{T+8}} = \frac{1}{3}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{T}{T+8} = \frac{1}{9}$.
$9T = T + 8 \Rightarrow 8T = 8 \Rightarrow T = 1 \ N$.

(B) ધારો કે સ્પીકર્સ વચ્ચેનું અંતર $d = 2.0 \ m$ છે. મધ્યબિંદુથી માઇક્રોફોનનું અંતર $D = 4.0 \ m$ છે.
શરૂઆતમાં,માઇક્રોફોન લંબ દ્વિભાજક પર છે,તેથી પથ તફાવત $\Delta x = 0$ છે. આ કેન્દ્રીય મહત્તમ $(n=0)$ ને અનુરૂપ છે.
જ્યારે બોક્સને $90^\circ$ ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે સ્પીકર્સ માઇક્રોફોનની સીધી રેખામાં આવે છે. સ્પીકર્સથી માઇક્રોફોન સુધીના અંતર $D - d/2$ અને $D + d/2$ થાય છે.
આ અંતિમ સ્થિતિએ પથ તફાવત $\Delta x = (D + d/2) - (D - d/2) = d = 2.0 \ m$ છે.
સંવર્ધક વ્યતિકરણ (મહત્તમ) માટે,પથ તફાવત $\Delta x = n\lambda$ છે,જ્યાં $n$ એ પૂર્ણાંક છે.
$0^\circ$ થી $90^\circ$ સુધી ફેરવવાની પ્રક્રિયામાં,આપણે $5$ મહત્તમ અવલોકન કરીએ છીએ. કેન્દ્રીય મહત્તમ $0^\circ$ $(n=0)$ પર છે. જેમ આપણે ફરીએ છીએ,આપણે $n=1, 2, 3, 4$ માંથી પસાર થઈએ છીએ અને અંતે $90^\circ$ પર $5$ મા મહત્તમ સુધી પહોંચીએ છીએ જ્યાં $n=5$ છે.
આમ,અંતિમ સ્થિતિએ,$\Delta x = 5\lambda$.
આપેલ છે કે $\Delta x = 2.0 \ m$,તેથી $5\lambda = 2.0 \ m$.
તેથી,$\lambda = \frac{2.0}{5} = 0.4 \ m$.

(A) ખેંચાયેલા તાર પર લંબગત તરંગનો વેગ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તારમાં તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
સિસ્ટમ સંતુલનમાં હોવાથી,તારમાં તણાવ $T$ એ લટકતા દળ $M$ ના વજન જેટલું હોય છે,તેથી $T = Mg$.
ઢળતા સમતલ પર રહેલા દળ $m$ ના સંતુલન માટે,સમતલની દિશામાં તેના વજનનો ઘટક તણાવને સંતુલિત કરે છે: $T = mg \sin 30^{\circ}$.
તણાવ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $Mg = mg \sin 30^{\circ} \implies M = m \sin 30^{\circ} = \frac{m}{2} \implies m = 2M$.
આપેલ છે કે $v = 100 \, m \, s^{-1}$ અને $\mu = 9.8 \times 10^{-3} \, kg \, m^{-1}$,તેથી:
$100 = \sqrt{\frac{Mg}{9.8 \times 10^{-3}}}$
$100^2 = \frac{M(9.8)}{9.8 \times 10^{-3}}$
$10000 = M \times 1000$
$M = 10 \, kg$.
$m = 2M$ હોવાથી,$m = 2 \times 10 = 20 \, kg$ મળે છે.

(D) પડઘો સ્પષ્ટ રીતે ન સંભળાય તે માટે,ડ્રમના ધબકારા વચ્ચેનો સમય અંતરાલ પડઘો પાછા આવવા માટે લાગતા સમય જેટલો હોવો જોઈએ.
ધારો કે $d$ એ પ્રારંભિક અંતર છે અને $v$ એ અવાજની ગતિ છે.
$40$ ધબકારા પ્રતિ મિનિટ માટે સમય અંતરાલ $t_1 = \frac{60}{40} = 1.5 \ s$ છે.
તેથી,$\frac{2d}{v} = 1.5 \implies 2d = 1.5v$......$(i)$
જ્યારે માણસ $90 \ m$ નજીક જાય છે,ત્યારે નવું અંતર $(d - 90) \ m$ થાય છે.
$60$ ધબકારા પ્રતિ મિનિટ માટે સમય અંતરાલ $t_2 = \frac{60}{60} = 1 \ s$ છે.
તેથી,$\frac{2(d - 90)}{v} = 1 \implies 2d - 180 = v$......$(ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $2d = 1.5v$ ને સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$1.5v - 180 = v$
$0.5v = 180 \implies v = 360 \ m/s$.
હવે,$v = 360 \ m/s$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$2d = 1.5 \times 360 = 540$
$d = 270 \ m$.

(D) જો કોઈ વિધેય $y(x, t)$ સામાન્ય તરંગ સમીકરણ $\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}$ નું પાલન કરે,તો તે તરંગ ગતિ દર્શાવે છે.
$1$. $y = \cos(kx + \omega t)$ માટે,આ $f(kx \pm \omega t)$ સ્વરૂપનું પ્રમાણિત પ્રગામી તરંગ સમીકરણ છે,જે તરંગ સમીકરણનું પાલન કરે છે.
$2$. $y = \cos kx \sin \omega t$ માટે,આને $\frac{1}{2} [\sin(kx + \omega t) - \sin(kx - \omega t)]$ તરીકે લખી શકાય છે. આ સ્થિત તરંગ (standing wave) દર્શાવે છે,જે વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા બે પ્રગામી તરંગોના સંપાતપણાથી બને છે. સ્થિત તરંગો પણ તરંગ ગતિનો એક પ્રકાર છે.
તેથી,બંને સમીકરણો તરંગ ગતિનું વર્ણન કરે છે.

(C) ધારો કે $d$ એ સિસ્મોગ્રાફથી ભૂકંપના કેન્દ્રનું અંતર છે.
ધારો કે $v_P = 8.0 \, km/s$ અને $v_S = 4.5 \, km/s$ એ અનુક્રમે $P$ અને $S$ તરંગોની ઝડપ છે.
$P$ તરંગો દ્વારા લેવાયેલ સમય $t_P = d / v_P$ અને $S$ તરંગો દ્વારા લેવાયેલ સમય $t_S = d / v_S$ છે.
આપેલ સમયનો તફાવત $\Delta t = t_S - t_P = 4.0 \, min = 240 \, s$ છે.
સમય માટેના સમીકરણો મૂકતા: $d / v_S - d / v_P = 240$.
$d (1 / 4.5 - 1 / 8.0) = 240$.
$d ((8.0 - 4.5) / (4.5 \times 8.0)) = 240$.
$d (3.5 / 36) = 240$.
$d = (240 \times 36) / 3.5 \approx 2468.6 \, km$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,અંતર આશરે $2500 \, km$ છે.

(D) કારણ કે બિંદુ $A$ ઉપરની તરફ ગતિ કરી રહ્યું છે,તેથી,એક સૂક્ષ્મ સમયના અંતરાલ પછી તરંગ આકૃતિમાં તૂટક રેખા દ્વારા દર્શાવ્યા મુજબ ડાબી તરફ ખસશે. આનો અર્થ એ છે કે તરંગ ડાબી દિશામાં ગતિ કરી રહ્યું છે. તેથી,વિધાન $(a)$ ખોટું છે.
તરંગનો સ્થાનાંતર કંપવિસ્તાર એટલે તરંગના પ્રસરણને કારણે માધ્યમના કણોનું મહત્તમ શક્ય સ્થાનાંતર,જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ ક્ષણે $B$ ના સ્થાનાંતર જેટલું છે. તેથી,વિધાન $(b)$ સાચું છે.
બે બિંદુઓ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\frac{\pi}{2}$ હશે જો તેમની વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{4}$ જેટલું હોય.
$A$ અને $C$ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{2}$ કરતા ઓછું છે. તે $\frac{\lambda}{4}$ જેટલું હોઈ શકે છે.
તેથી,આ બે બિંદુઓ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\frac{\pi}{2}$ હોઈ શકે છે. આમ,વિધાન $(c)$ પણ સાચું છે.
આમ,$(b)$ અને $(c)$ બંને સાચા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(D) રિવર્બરેશન સમય એટલે તે સમયગાળો કે જેમાં ઓડિટોરિયમમાં અવાજની તીવ્રતા તેની પ્રારંભિક તીવ્રતાના દસ લાખમા ભાગની થઈ જાય છે. રિવર્બરેશન સમય માટે સેબિનનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$T = \frac{0.16 V}{\sum a s}$
જ્યાં $V$ એ હોલનું કદ $m^3$ માં છે અને $\sum a s$ એ હોલનું કુલ શોષણ છે.
જ્યારે રૂમના પરિમાણો બમણા કરવામાં આવે છે,ત્યારે કદ $V$ એ $V' = (2L)(2W)(2H) = 8V$ થાય છે.
કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S$ (જે $\sum a s$ ના પ્રમાણમાં છે) તે $S' = (2L)(2W) + (2W)(2H) + (2H)(2L) = 4S$ થાય છે.
રિવર્બરેશન સમયના ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{T'}{T} = \frac{V'}{S'} \times \frac{S}{V} = \frac{8V}{4S} \times \frac{S}{V} = \frac{8}{4} = 2$
આપેલ છે કે $T = 1 \; s$,તેથી $T' = 2 \times 1 = 2 \; s$.

(A) તરંગની આવૃત્તિ $f$ એ $f = \frac{v}{\lambda}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $v$ એ તરંગની ઝડપ છે અને $\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે.
સૂક્ષ્મ તરંગ (વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ) માટે, ઝડપ $v_m \approx 3 \times 10^8 \, m/s$ છે.
અલ્ટ્રાસોનિક ધ્વનિ તરંગ માટે, ઝડપ $v_u \approx 330 \, m/s$ (હવામાં ધ્વનિની ઝડપ) છે.
આપેલ છે કે તરંગલંબાઈ સમાન છે $(\lambda_m = \lambda_u = \lambda)$, તેથી તેમની આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર:
$\frac{f_m}{f_u} = \frac{v_m / \lambda}{v_u / \lambda} = \frac{v_m}{v_u}$
$\frac{f_m}{f_u} \approx \frac{3 \times 10^8}{330} \approx 0.9 \times 10^6 \approx 10^6$
તેથી, તેમની આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર આશરે $10^6 : 1$ છે.

(B) તરંગની તીવ્રતા $I$ તેના કંપવિસ્તાર $A$ ના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $I = kA^2$,જ્યાં $k$ અચળાંક છે. તેથી,$A = \sqrt{I/k}$.
જ્યારે બે તરંગોનું સંપાતીકરણ થાય છે,ત્યારે મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કંપવિસ્તાર $A_{\max} = A_1 + A_2$ અને $A_{\min} = |A_1 - A_2|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ તીવ્રતા $I_{\max} = k(A_1 + A_2)^2 = k(A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2) = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1I_2}$ છે.
ન્યૂનતમ તીવ્રતા $I_{\min} = k(A_1 - A_2)^2 = k(A_1^2 + A_2^2 - 2A_1A_2) = I_1 + I_2 - 2\sqrt{I_1I_2}$ છે.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો સરવાળો કરતા:
$I_{\max} + I_{\min} = (I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1I_2}) + (I_1 + I_2 - 2\sqrt{I_1I_2}) = 2(I_1 + I_2)$.

(D) વ્યતિકરણ થવા માટે,તરંગો સુસંબદ્ધ (coherent) હોવા જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે તેમની આવૃત્તિ સમાન હોવી જોઈએ અને તેમની વચ્ચેનો કળા તફાવત અચળ હોવો જોઈએ.
આપેલા સમીકરણોમાં,તરંગો $(i)$,$(iii)$,અને $(iv)$ બધાની કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ સમાન છે.
જોકે,પ્રશ્નમાં જણાવવામાં આવ્યું છે કે ચારેય તરંગો 'સ્વતંત્ર' છે.
સ્વતંત્ર ઉદગમો સામાન્ય રીતે સમય સાથે અચળ કળા તફાવત જાળવી રાખતા નથી,જે સ્થાયી વ્યતિકરણ માટેની આવશ્યક શરત છે.
તેથી,આ ઉદગમોની સુસંબદ્ધતા અંગેની માહિતીના અભાવે,વ્યતિકરણ થશે કે નહીં તે અનુમાનિત કરવા માટે અપૂરતી માહિતી છે.

(A) જ્યારે પલ્સ સખત સીમા (સ્થિર છેડો $A$) પરથી પરાવર્તિત થાય છે,ત્યારે તેમાં $\pi$ નો કળા તફાવત આવે છે,જેનો અર્થ છે કે તે ઉલટાઈ જાય છે.
જ્યારે પલ્સ મુક્ત સીમા (મુક્ત છેડો $B$) પરથી પરાવર્તિત થાય છે,ત્યારે તેમાં કોઈ કળા તફાવત આવતો નથી,જેનો અર્થ છે કે તે સીધો જ રહે છે.
આ પ્રશ્નમાં,પલ્સ સૌ પ્રથમ સખત દીવાલ $A$ પરથી પરાવર્તિત થાય છે. પલ્સ શરૂઆતમાં $A$ તરફ ગતિ કરી રહ્યો હોવાથી,$A$ પર પરાવર્તન પછી તે ઉલટાઈ જશે અને $B$ તરફ ગતિ કરવાનું શરૂ કરશે.
ત્યારબાદ,આ ઉલટાયેલો પલ્સ મુક્ત છેડા $B$ પરથી પરાવર્તિત થાય છે. મુક્ત છેડા પર પરાવર્તનને કારણે કોઈ કળા તફાવત આવતો નથી,તેથી પલ્સ $A$ તરફ પાછા ફરતી વખતે ઉલટાયેલો જ રહે છે.
તેથી,બે પરાવર્તન પછી,પલ્સ ઉલટાયેલો હશે અને જમણી તરફ ગતિ કરતો હશે.

(B) તરંગ દ્વારા પ્રસારિત પાવર $P = \frac{1}{2} \mu \omega^2 A^2 v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v = \sqrt{T/\mu}$ છે.
ધારો કે હલકી દોરીનું એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\mu_1 = \mu$ અને ભારે દોરીનું $\mu_2 = 4\mu$ છે.
દોરીઓનો અવરોધ (impedance) $Z_1 = \sqrt{\mu_1 T} = \sqrt{\mu T}$ અને $Z_2 = \sqrt{\mu_2 T} = \sqrt{4\mu T} = 2\sqrt{\mu T}$ છે.
પ્રસારિત તરંગનો કંપવિસ્તાર $A_t = \frac{2 Z_1}{Z_1 + Z_2} A_i = \frac{2 \sqrt{\mu T}}{\sqrt{\mu T} + 2\sqrt{\mu T}} A_i = \frac{2}{3} A_i$ છે.
પ્રસારિત પાવર $P_t = \frac{1}{2} \mu_2 \omega^2 A_t^2 v_2$ છે.
$v_2 = \sqrt{T/4\mu} = \frac{1}{2} \sqrt{T/\mu} = \frac{1}{2} v_1$ અને $A_t = \frac{2}{3} A_i$ મૂકતા:
$P_t = \frac{1}{2} (4\mu) \omega^2 (\frac{4}{9} A_i^2) (\frac{1}{2} v_1) = \frac{8}{9} (\frac{1}{2} \mu \omega^2 A_i^2 v_1) = \frac{8}{9} P_i$.
પ્રસારિત પાવરની ટકાવારી $\frac{8}{9} \times 100 \approx 88.89 \% \approx 89 \%$ છે.

(D) તરંગ પલ્સ $v = 1 \, cm/s$ ની ઝડપે ગતિ કરે છે. $t = 3 \, s$ માં,પલ્સ $d = v \times t = 1 \, cm/s \times 3 \, s = 3 \, cm$ જેટલું અંતર કાપે છે.
પ્રારંભિક આકૃતિ જોતા,પલ્સનો આગળનો ભાગ મુક્ત છેડા $O$ થી $4 \, cm$ દૂર છે ($2 \, cm$ સપાટ દોરી + $2 \, cm$ પલ્સનો આધાર). $3 \, s$ પછી,પલ્સનો આગળનો ભાગ $O$ થી $1 \, cm$ દૂર પહોંચે છે.
$O$ મુક્ત છેડો હોવાથી,તરંગ કળામાં ફેરફાર વગર પરાવર્તિત થાય છે. જ્યારે પલ્સ મુક્ત છેડા પરથી પરાવર્તિત થાય છે,ત્યારે પરાવર્તિત પલ્સ આપાત પલ્સ સાથે સંપાત થાય છે અને તેમના કંપવિસ્તારનો સરવાળો થાય છે.
$t = 3 \, s$ સમયે,પલ્સનું શિખર (જે આગળના ભાગથી $1 \, cm$ દૂર છે) મુક્ત છેડા $O$ પર પહોંચે છે. આ ક્ષણે,$O$ પરનો કંપવિસ્તાર આપાત અને પરાવર્તિત કંપવિસ્તારના સરવાળા જેટલો એટલે કે $1 \, cm + 1 \, cm = 2 \, cm$ થાય છે. આ આકાર દર્શાવે છે કે પલ્સ આંશિક રીતે પરાવર્તિત થઈને મુક્ત છેડા પર સંપાત થાય છે,જેના પરિણામે $O$ પર મહત્તમ કંપવિસ્તાર $2 \, cm$ મળે છે.

(B) ક્વિન્કેની નળીમાં,બે તરંગો વચ્ચેનો પથ તફાવત $\Delta x = 2 \times \Delta d$ છે,જ્યાં $\Delta d$ એ નળીનું સ્થાનાંતર છે.
આપેલ છે કે $\Delta d = 5 \, cm$,તેથી પથ તફાવતમાં કુલ ફેરફાર $\Delta x = 2 \times 5 \, cm = 10 \, cm$ છે.
જેમ જેમ નળીને ખસેડવામાં આવે છે,તેમ ડિટેક્ટર $10$ મહત્તમ તીવ્રતા અવલોકન કરે છે અને અંતે લઘુત્તમ તીવ્રતા પર અટકે છે. આનો અર્થ એ છે કે પથ તફાવત $10$ પૂર્ણ તરંગલંબાઇ અને ક્રમિક લઘુત્તમ વચ્ચેનું અંતર (જે દરેક છેડે $\lambda/2$ છે) આવરી લે છે.
આપેલ આકૃતિના આધારે,કુલ અંતર $\frac{\lambda}{2} + 9\lambda + \frac{\lambda}{2} = 10 \, cm$ ને અનુરૂપ છે.
આને સરળ બનાવતા,આપણને $10\lambda = 10 \, cm$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = 1 \, cm$.

(D) આપેલ તરંગનું સમીકરણ $y = \cos(500t - 70x)$ છે.
$1$. $(kx - \omega t)$ અથવા $(\omega t - kx)$ ના વિધેય દ્વારા દર્શાવવામાં આવતું તરંગ એ પ્રગામી તરંગ છે. યાંત્રિક તરંગોમાં,જો સ્થાનાંતર પ્રસરણની દિશાને લંબ હોય,તો તે લંબગત તરંગ છે.
$2$. તરંગની ઝડપ $v$ એ $v = \frac{\omega}{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega = 500 \ rad/s$ અને $k = 70 \ rad/m$ છે.
$v = \frac{500}{70} = \frac{50}{7} \ m/s$. તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
$3$. તરંગલંબાઈ $\lambda$ એ $\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{70} \ m = \frac{\pi}{35} \ m$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$cm$ માં રૂપાંતર કરતા: $\lambda = \frac{\pi}{35} \times 100 \ cm = \frac{100\pi}{35} \ cm = \frac{20\pi}{7} \ cm$. સમાન કળામાં રહેલા બે સૌથી નજીકના બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર એ તરંગલંબાઈ $\lambda$ જેટલું હોય છે. તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
આમ,$A$,$B$,અને $C$ સાચા હોવાથી,સાચો જવાબ $D$ છે.

(D) કણનો વેગ $v_p$ એ $v_p = -v \cdot (\text{ઢાળ})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $v$ એ તરંગની ઝડપ છે અને ઢાળ $\frac{\partial y}{\partial x}$ છે।
$1$. બિંદુ $P$ માટે: ઢાળ ધન છે। તરંગ જમણી તરફ ગતિ કરતું હોવાથી, $v_P = -v \cdot (\text{ધન ઢાળ}) < 0$, તેથી $v_P$ નીચેની તરફ છે।
$2$. બિંદુ $Q$ અને $R$ માટે: બંને બિંદુઓ $y$-અક્ષની વિરુદ્ધ બાજુઓ પર સમાન અંતરે છે। સંમિતિ દ્વારા, $Q$ અને $R$ પરના ઢાળ સમાન મૂલ્યના અને બંને ઋણ છે। તેથી $v_Q = v_R$ થાય છે।
$3$. મૂલ્યોની સરખામણી: $P$ પરનો ઢાળ $Q$ અને $R$ ના ઢાળ કરતા વધારે છે। તેથી, $|v_P| > |v_Q| = |v_R|$।
આમ, વિધાન $(B)$ અને $(C)$ બંને સાચા છે।

(D) ખેંચાયેલા તારમાં લંબગત તરંગનો વેગ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ તણાવ છે અને $\mu$ રેખીય દળ ઘનતા છે.
કારણ કે $\mu = \rho \cdot A_{cross} = \rho \cdot \pi r^2$,તેથી $\mu \propto \rho \cdot d^2$ (જ્યાં $d$ વ્યાસ છે).
તાર $B$ માટે આપેલ છે: $L_B = 2L_A$,$T_B = 2T_A$,$d_B = 2d_A$,અને $\rho_B = 2\rho_A$.
વેગનો ગુણોત્તર: $\frac{v_B}{v_A} = \sqrt{\frac{T_B}{T_A} \cdot \frac{\mu_A}{\mu_B}} = \sqrt{\frac{2T_A}{T_A} \cdot \frac{\rho_A d_A^2}{\rho_B d_B^2}} = \sqrt{2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
આમ,$v_B = \frac{1}{2} v_A$. તેથી,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.
મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{v}{2L}$.
$\frac{n_B}{n_A} = \frac{v_B}{v_A} \cdot \frac{L_A}{L_B} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.
તેથી,$n_A = 4n_B$. $B$ નો ત્રીજો ઓવરટોન $4n_B$ છે,જે $n_A$ ની બરાબર છે. આમ,વિકલ્પ $(A)$ પણ સાચો છે.
તેથી,$(A)$ અને $(C)$ બંને સાચા છે.

(D) સ્થિત તરંગ માટે,કુલ ઉર્જા $E$ એ આવૃત્તિના વર્ગ $\Omega^2$ અને કંપવિસ્તારના વર્ગ $A^2$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે. કારણ કે $\Omega_n = n \Omega_1$,તેથી ઉર્જા $E_n \propto n^2 E_1$ થાય. આમ,$n^{th}$ હાર્મોનિકની કુલ ઉર્જા એ મૂળભૂત આવૃત્તિની ઉર્જા કરતા $n^2$ ગણી હોય છે.
કોઈપણ હાર્મોનિક ઓસિલેટર (દોરીના ભાગો સહિત) માટે,સંપૂર્ણ ચક્ર દરમિયાન સરેરાશ ગતિ ઉર્જા એ સરેરાશ સ્થિતિ ઉર્જા જેટલી હોય છે. કારણ કે કુલ ઉર્જા $E = K.E._{avg} + P.E._{avg}$ અને $K.E._{avg} = P.E._{avg}$ હોવાથી,તે સાબિત થાય છે કે $K.E._{avg} = E / 2$.
તેથી,વિધાન $(A)$ અને $(C)$ બંને સાચા છે.

(D) આલેખ $(A)$ માટે: હવામાં ધ્વનિનો વેગ $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કારણ કે $\rho = \frac{PM}{RT}$,તેથી $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$. અચળ તાપમાને,$v$ એ દબાણથી સ્વતંત્ર છે. આમ,$v$ વિરુદ્ધ $P$ નો આલેખ એક આડી સીધી રેખા હોવી જોઈએ. આલેખ $(A)$ ખોટો છે.
આલેખ $(B)$ માટે: હવામાં ધ્વનિનો વેગ $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ છે. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$v^2 = \frac{\gamma R}{M} T$. કારણ કે $\frac{\gamma R}{M}$ અચળ છે,તેથી $v^2 \propto T$. $v^2$ વિરુદ્ધ $T$ નો આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે. આલેખ $(B)$ સાચો છે.
આલેખ $(C)$ માટે: દોરીમાં લંબગત તરંગનો વેગ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે. તેથી,$v \propto \sqrt{T}$,જે સૂચવે છે કે $v^2 \propto T$. $v$ વિરુદ્ધ $T$ નો આલેખ $T$-અક્ષ તરફ ખુલતો પરવલય છે. આલેખ $(C)$ સાચો છે.
તેથી,$(B)$ અને $(C)$ બંને સાચા છે.

(D) ટૂંકા માર્ગની લંબાઈ $L_1 = \frac{1}{4}(2\pi R) = \frac{\pi R}{2}$ છે.
લાંબા માર્ગની લંબાઈ $L_2 = \frac{3}{4}(2\pi R) = \frac{3\pi R}{2}$ છે.
બે તરંગો વચ્ચેનો પથ તફાવત $\Delta = L_2 - L_1 = \frac{3\pi R}{2} - \frac{\pi R}{2} = \pi R$ છે.
ડિટેક્ટર પર રચનાત્મક વ્યતિકરણ (maxima) માટે,પથ તફાવત એ તરંગલંબાઇનો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોવો જોઈએ:
$\Delta = n\lambda$,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$
$\Delta = \pi R$ મૂકતા,આપણને $\pi R = n\lambda$ મળે છે.
તેથી,$\lambda = \frac{\pi R}{n}$.
$n=1$ માટે,$\lambda = \pi R$.
$n=2$ માટે,$\lambda = \frac{\pi R}{2}$.
$n=4$ માટે,$\lambda = \frac{\pi R}{4}$.
આમ,તમામ વિકલ્પો શક્ય હોવાથી,સાચો વિકલ્પ 'ઉપરોક્ત તમામ' છે.

(D) વર્તુળાકાર નળીનો પરિઘ $2\pi R$ છે. સ્ત્રોત $S$ અને ડિટેક્ટર $D$ એકબીજા સાથે કાટખૂણે આવેલા છે.
ટૂંકા માર્ગની લંબાઈ $L_1 = \frac{1}{4} (2\pi R) = \frac{\pi R}{2}$ છે.
લાંબા માર્ગની લંબાઈ $L_2 = \frac{3}{4} (2\pi R) = \frac{3\pi R}{2}$ છે.
બંને માર્ગો પર મુસાફરી કરતા તરંગો વચ્ચેનો પથ તફાવત $\Delta x = L_2 - L_1 = \frac{3\pi R}{2} - \frac{\pi R}{2} = \pi R$ છે.
ડિટેક્ટર પર ન્યૂનતમ રચાય તે માટે,પથ તફાવત અડધી તરંગલંબાઇનો એકી ગુણાંક હોવો જોઈએ:
$\Delta x = (n + \frac{1}{2}) \lambda$,જ્યાં $n = 0, 1, 2, \dots$
$\pi R = \frac{(2n + 1) \lambda}{2}$
$\lambda = \frac{2\pi R}{2n + 1}$
$n = 0$ માટે,$\lambda = 2\pi R$.
$n = 1$ માટે,$\lambda = \frac{2\pi R}{3}$.
$n = 2$ માટે,$\lambda = \frac{2\pi R}{5}$.
આમ,આપેલા તમામ વિકલ્પો તરંગલંબાઇ $\lambda$ માટે શક્ય મૂલ્યો છે.

(B) $S$ પરનો સ્ત્રોત $I_0$ તીવ્રતાનો તરંગ ઉત્પન્ન કરે છે. આ તીવ્રતા બે સમાન ભાગોમાં વહેંચાય છે,તેથી દરેક ભાગની તીવ્રતા $I = I_0 / 2$ છે.
તીવ્રતા $I$ એ કંપવિસ્તાર $A$ ના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોવાથી $(I \propto A^2)$,દરેક તરંગનો કંપવિસ્તાર $A = \sqrt{I} = \sqrt{I_0 / 2}$ છે.
જ્યારે આ બંને તરંગો $D$ બિંદુએ મળે છે,ત્યારે તેઓ વ્યતિકરણ અનુભવે છે. પરિણામી તીવ્રતા $I_{res}$ નું સૂત્ર $I_{res} = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ છે,જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
મહત્તમ તીવ્રતા માટે,તરંગો સહાયક વ્યતિકરણ અનુભવતા હોવા જોઈએ,એટલે કે $\cos \phi = 1$.
આમ,$I_{max} = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$.
$I_1 = I_2 = I_0 / 2$ મૂકતા:
$I_{max} = (\sqrt{I_0 / 2} + \sqrt{I_0 / 2})^2 = (2 \sqrt{I_0 / 2})^2 = 4 \times (I_0 / 2) = 2I_0$.

(A) ધારો કે દોરીઓ $AB$ અને $CD$ માં તણાવ અનુક્રમે $T_1$ અને $T_2$ છે.
આપેલ છે કે $AB$ ની મૂળભૂત આવૃત્તિ એ $CD$ ની $2^{nd}$ હાર્મોનિક આવૃત્તિ જેટલી છે:
$f_1 = f_2$
$\frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T_1}{\mu}} = \frac{2}{2l} \sqrt{\frac{T_2}{\mu}}$
$\sqrt{T_1} = 2 \sqrt{T_2} \implies T_1 = 4T_2$
સળિયો બિંદુ $O$ ની આસપાસ ભ્રમણીય સંતુલનમાં રહે તે માટે,ટોર્ક સંતુલિત હોવા જોઈએ:
$T_1 \cdot x = T_2 \cdot (L - x)$
$T_1 = 4T_2$ મૂકતા:
$4T_2 \cdot x = T_2 \cdot (L - x)$
$4x = L - x$
$5x = L$
$x = \frac{L}{5}$

(A) બંધ ઓર્ગન પાઇપના પ્રથમ ઓવરટોન (ત્રીજા હાર્મોનિક) ની આવૃત્તિ $f = \frac{3v}{4L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $v = 340 \ m/s$ અને $L = 0.75 \ m$ આપેલ છે,તેથી $f = \frac{3 \times 340}{4 \times 0.75} = \frac{1020}{3} = 340 \ Hz$.
દોરી $340 \ Hz$ પર અનુનાદિત થાય છે,તેથી દોરીની આવૃત્તિ $f_s = 340 \ Hz$ છે.
$n$ આવૃત્તિ ધરાવતા ટ્યુનિંગ ફોર્ક સાથે ઉત્પન્ન થતા બીટ્સ $|f_s - n| = 4$ છે,તેથી $n = 340 \pm 4$,જેનો અર્થ છે કે $n = 344 \ Hz$ અથવા $336 \ Hz$.
જ્યારે તણાવ $T$ વધારવામાં આવે છે,ત્યારે દોરીની આવૃત્તિ $f_s$ વધે છે $(f_s \propto \sqrt{T})$.
જો $n = 344 \ Hz$ હોય,તો જેમ $f_s$ વધે છે તેમ બીટ આવૃત્તિ $|344 - f_s|$ ઘટીને $4$ થી $2$ થાય છે.
જો $n = 336 \ Hz$ હોય,તો જેમ $f_s$ વધે છે તેમ બીટ આવૃત્તિ $|f_s - 336|$ વધશે.
તેથી,સાચી આવૃત્તિ $n = 344 \ Hz$ છે.

(B) જ્યારે સળિયાને છેડેથી ક્લેમ્પ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેની મૂળભૂત કંપન સ્થિતિ તરંગલંબાઈના ચોથા ભાગ જેટલી હોય છે,તેથી $L = \frac{\lambda_r}{4}$,જે આપે છે $\lambda_r = 4L$. આવૃત્તિ $f = \frac{v_r}{\lambda_r} = \frac{v_r}{4L}$ થાય છે.
હવાના સ્તંભમાં,ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ (પાવડરના ઢગલા) વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda_a}{2} = 0.6\ m$ છે,તેથી $\lambda_a = 1.2\ m$. હવાના સ્તંભની આવૃત્તિ $f = \frac{v_a}{\lambda_a} = \frac{330}{1.2} = 275\ Hz$ થાય છે.
સળિયો અને હવાનો સ્તંભ સમાન આવૃત્તિ પર કંપન કરતા હોવાથી,$\frac{v_r}{4L} = 275$ મળે છે.
$L = 1\ m$ મૂકતા,$v_r = 275 \times 4 = 1100\ m/s$ મળે છે.

(A) વિવર્તન એટલે અવરોધની કિનારીઓ પરથી અથવા છિદ્રમાંથી તરંગોનું વળવું। નોંધપાત્ર વિવર્તન માટેની શરત એ છે કે તરંગની તરંગલંબાઇ $(\lambda)$ એ અવરોધ અથવા છિદ્રના કદ $(a)$ ની સરખામણીમાં હોવી જોઈએ, એટલે કે $\lambda \approx a$.
દૈનિક જીવનમાં, અવરોધોનું કદ (જેમ કે દરવાજા અથવા બારીઓ) સામાન્ય રીતે $0.1 \, m$ થી $1 \, m$ ની રેન્જમાં હોય છે.
સાંભળી શકાય તેવા ધ્વનિ તરંગોની તરંગલંબાઇ આશરે $1.7 \, cm$ થી $17 \, m$ સુધીની હોય છે, જે આ અવરોધોના કદ સાથે સરખાવી શકાય છે.
તેની સરખામણીમાં, દ્રશ્ય પ્રકાશની તરંગલંબાઇ અત્યંત નાની હોય છે, જે આશરે $400 \, nm$ થી $700 \, nm$ ($4 \times 10^{-7} \, m$ થી $7 \times 10^{-7} \, m$) ની વચ્ચે હોય છે.
આમ, $\lambda_{\text{sound}} \gg \lambda_{\text{light}}$ હોવાથી, ધ્વનિ તરંગો પ્રકાશના તરંગો કરતા સામાન્ય વસ્તુઓની આસપાસ વધુ સરળતાથી વિવર્તન પામે છે।

(D) $1$. વિનાશક વ્યતિકરણ ત્યારે થાય છે જ્યારે બે તરંગોની આવૃત્તિ અને કંપવિસ્તાર સમાન હોય પરંતુ કળા તફાવત $\pi$ રેડિયન $(180^o)$ હોય. $(i)$ અને $(ii)$ ની સરખામણી કરતા,કળા તફાવત $\Delta \phi = 2\pi \times \frac{1}{2} = \pi$ છે. તેથી,$(i)$ અને $(ii)$ વિનાશક વ્યતિકરણ ઉત્પન્ન કરશે.
$2$. સ્થિત તરંગો ત્યારે રચાય છે જ્યારે સમાન આવૃત્તિ અને કંપવિસ્તાર ધરાવતા બે તરંગો વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા હોય. $(iii)$ અને $(iv)$ ની સરખામણી કરતા,તેમની આવૃત્તિ $n_2$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda_2$ સમાન છે,પરંતુ $\pm \frac{x}{\lambda_2}$ પદ દર્શાવે છે કે તેઓ વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે. તેથી,$(iii)$ અને $(iv)$ સ્થિત તરંગો ઉત્પન્ન કરશે.

(B) ધ્વનિનો વેગ $v$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $v \propto \sqrt{T}$.
વાંસળીની લંબાઈ અચળ રહેતી હોવાથી,મૂળભૂત સ્વરની તરંગલંબાઈ $\lambda$ અચળ રહે છે. $v = n\lambda$ હોવાથી,$n \propto v$,તેથી $n \propto \sqrt{T}$.
ધારો કે $T_1 = 27 + 273 = 300 \ K$ તાપમાને $n_1 = 300 \ Hz$ છે.
ધારો કે $T_2 = 31 + 273 = 304 \ K$ તાપમાને $n_2 = 300 + x$ છે,જ્યાં $x$ એ પ્રતિ સેકન્ડ સંભળાતા સ્પંદોની સંખ્યા છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{n_2}{n_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$
$\frac{300 + x}{300} = \sqrt{\frac{304}{300}} = \sqrt{1 + \frac{4}{300}}$
દ્વિપદી અંદાજ $(1 + z)^n \approx 1 + nz$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1 + \frac{x}{300} \approx 1 + \frac{1}{2} \times \frac{4}{300}$
$\frac{x}{300} = \frac{2}{300}$
$x = 2$.
આમ,પ્રતિ સેકન્ડ સંભળાતા સ્પંદોની સંખ્યા $2$ છે.

(A) દોરીના $n^{th}$ હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_n = \frac{n}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$AB$ ના $1^{st}$ હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_{AB} = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T_{AB}}{\mu}}$ છે.
$CD$ ના $2^{nd}$ હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_{CD} = \frac{2}{2l} \sqrt{\frac{T_{CD}}{\mu}} = \frac{1}{l} \sqrt{\frac{T_{CD}}{\mu}}$ છે.
આપેલ છે કે $f_{AB} = f_{CD}$,તેથી:
$\frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T_{AB}}{\mu}} = \frac{1}{l} \sqrt{\frac{T_{CD}}{\mu}}$
$\Rightarrow \frac{T_{AB}}{4} = T_{CD} \Rightarrow T_{AB} = 4T_{CD} \quad ...(i)$
બિંદુ $O$ ની આસપાસ સળિયાના પરિભ્રમણીય સંતુલન માટે:
$T_{AB} \cdot x = T_{CD} \cdot (L - x) \quad ...(ii)$
સ્થાનાંતરીય સંતુલન માટે:
$T_{AB} + T_{CD} = mg \quad ...(iii)$
$(i)$ ને $(iii)$ માં મૂકતા:
$4T_{CD} + T_{CD} = mg \Rightarrow 5T_{CD} = mg \Rightarrow T_{CD} = \frac{mg}{5}$.
તેથી,$T_{AB} = 4 \left( \frac{mg}{5} \right) = \frac{4mg}{5}$.
આ કિંમતોને $(ii)$ માં મૂકતા:
$\left( \frac{4mg}{5} \right) x = \left( \frac{mg}{5} \right) (L - x)$
$4x = L - x \Rightarrow 5x = L \Rightarrow x = \frac{L}{5}$.

(B) ધ્વનિ તરંગો યાંત્રિક તરંગો છે જેને પ્રસરણ માટે માધ્યમની જરૂર હોય છે કારણ કે તે માધ્યમના કણોના સંઘનન અને વિઘનન દ્વારા મુસાફરી કરે છે. તેથી,તેઓ શૂન્યાવકાશમાં મુસાફરી કરી શકતા નથી.
પ્રકાશના તરંગો એ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો છે જે પ્રસરણની દિશાને લંબ રૂપે દોલન કરતા વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશોના બનેલા હોય છે. તેમને માધ્યમની જરૂર હોતી નથી,તેથી તેઓ શૂન્યાવકાશમાં મુસાફરી કરી શકે છે.
$Assertion$ સાચું છે.
$Reason$ યોગ્ય રીતે જણાવે છે કે ધ્વનિ તરંગો લંબગત (ધ્રુવીભવન ન થઈ શકે) છે અને વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો અનુપ્રસ્થ (ધ્રુવીભવન થઈ શકે) છે. જોકે,ધ્રુવીભવન થવાની ક્ષમતા એ અનુપ્રસ્થ તરંગોનો ગુણધર્મ છે,તે શૂન્યાવકાશમાં મુસાફરી કરી શકવાનું કારણ નથી. તેથી,$Reason$ એ સાચું વિધાન છે પરંતુ $Assertion$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

(A) $1$. વિન્ડ ઇન્સ્ટ્રુમેન્ટ્સ (જેમ કે વાંસળી અથવા ઓર્ગન પાઇપ) માટે,આવૃત્તિ $f = \frac{v}{2L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ હવામાં અવાજની ઝડપ $v$ વધે છે. $f \propto v$ હોવાથી,આવૃત્તિ (પીચ) વધે છે.
$2$. સ્ટ્રિંગ ઇન્સ્ટ્રુમેન્ટ્સ (જેમ કે ગિટાર અથવા વાયોલિન) માટે,આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ ઉષ્મીય પ્રસરણને કારણે દોરીની લંબાઈ $L$ વધે છે. વધુમાં,ઇન્સ્ટ્રુમેન્ટના બોડીના પ્રસરણને કારણે દોરીમાં તણાવ $T$ ઘટે છે. આ બંને પરિબળો આવૃત્તિ (પીચ) માં ઘટાડો કરે છે.
$3$. આમ,વિધાન સાચું છે. કારણ યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે કે તાપમાન સાથે અવાજની ઝડપ વધે છે અને સ્ટ્રિંગ ઇન્સ્ટ્રુમેન્ટ્સમાં થતા ભૌતિક ફેરફારો સમજાવે છે જે પીચમાં ઘટાડો તરફ દોરી જાય છે. તેથી,કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી છે.

(A) એક છેડેથી બાંધેલી ખૂબ લાંબી દોરીમાં,જ્યારે લંબગત તરંગ ઉત્પન્ન થાય છે,ત્યારે તે સ્થિર છેડા તરફ ગતિ કરે છે અને પરાવર્તિત થાય છે.
જો કે,દોરી ખૂબ લાંબી હોવાને કારણે,પરાવર્તિત તરંગ સ્ત્રોત અથવા મુક્ત છેડા સુધી પાછા પહોંચે તે પહેલાં ડેમ્પિંગ અને આંતરિક ઘર્ષણને કારણે નોંધપાત્ર ઉર્જા ગુમાવે છે.
પરિણામે,મુક્ત છેડાની નજીક (જ્યાં તરંગ ઉત્પન્ન થાય છે),પરાવર્તિત તરંગનો કંપવિસ્તાર આપાત તરંગની તુલનામાં નગણ્ય હોય છે.
તેથી,આપાત અને પરાવર્તિત તરંગોનું સંપાતીકરણ સ્થિત તરંગ ભાત બનાવવા માટે પૂરતું નોંધપાત્ર નથી,અને માત્ર પ્રગામી તરંગ જ જોવા મળે છે.
વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે,અને કારણ સમજાવે છે કે શા માટે પરાવર્તિત તરંગ સ્ત્રોત પાસે સ્થિત તરંગ બનાવવા માટે નોંધપાત્ર રીતે દખલ કરતું નથી.

(C) ખેંચાયેલા તાર પર લંબગત તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
આપેલ છે: $v = 90\; ms^{-1}$,$m = 6.0 \times 10^{-3}\; kg$,$L = 0.6\; m$,$A = 1.0 \times 10^{-6}\; m^{2}$,$Y = 16 \times 10^{11}\; Nm^{-2}$.
રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \frac{m}{L} = \frac{6.0 \times 10^{-3}}{0.6} = 10^{-2}\; kg/m$.
$v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ પરથી,$T = v^{2} \mu = (90)^{2} \times 10^{-2} = 8100 \times 10^{-2} = 81\; N$.
યંગ મોડ્યુલસ $Y = \frac{T/A}{\Delta L/L}$,તેથી $\Delta L = \frac{T L}{Y A}$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta L = \frac{81 \times 0.6}{16 \times 10^{11} \times 1.0 \times 10^{-6}} = \frac{48.6}{16 \times 10^{5}} = 3.0375 \times 10^{-5}\; m \approx 0.03\; mm$.

(A) $y = 2 \cos(3x) \sin(10t)$ એ સ્થિત તરંગ દર્શાવે છે કારણ કે અવકાશી ભાગ $k x$ અને સમય આધારિત ભાગ $\omega t$ અલગ અવયવો તરીકે દેખાય છે.
$(b)$ $y = 2 \sqrt{x - vt}$ એ તરંગ દર્શાવતું નથી કારણ કે તે સામાન્ય તરંગ સમીકરણ $\frac{\partial^2 y}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 y}{\partial t^2}$ નું પાલન કરતું નથી અને તે આવર્ત વિધેય નથી.
$(c)$ $y = 3 \sin(5x - 0.5t) + 4 \cos(5x - 0.5t)$ એ પ્રગામી તરંગ દર્શાવે છે કારણ કે તે $f(kx - \omega t)$ સ્વરૂપના વિધેયોનું રેખીય સંયોજન છે.
$(d)$ $y = \cos x \sin t + \cos 2x \sin 2t$ એ સ્થિત તરંગ દર્શાવે છે કારણ કે તે બે સ્થિત તરંગોનું સંપાતીકરણ છે,જ્યાં દરેક પદમાં અલગ અવકાશી અને સમય આધારિત ઘટકો છે.

(N/A) સ્થાનાંતરિત નિસ્પંદ બિંદુ એ એવું બિંદુ છે જ્યાં કંપનનો કંપવિસ્તાર શૂન્ય હોય છે,જે મહત્તમ દબાણ ફેરફાર (દબાણ પ્રસ્પંદ બિંદુ) ને અનુરૂપ છે. તેનાથી વિપરીત,સ્થાનાંતરિત પ્રસ્પંદ બિંદુ એ મહત્તમ કંપવિસ્તારનું બિંદુ છે,જે ન્યૂનતમ દબાણ ફેરફાર (દબાણ નિસ્પંદ બિંદુ) ને અનુરૂપ છે.
$(b)$ ચામાચીડિયા ઉચ્ચ આવૃત્તિના અલ્ટ્રાસોનિક તરંગો ઉત્સર્જિત કરે છે. આ તરંગો અવરોધો પરથી પરાવર્તિત થાય છે. પરાવર્તિત તરંગોના સમય વિલંબ,તીવ્રતા અને આવૃત્તિના ફેરફારનું વિશ્લેષણ કરીને,ચામાચીડિયા અવરોધોનું અંતર,દિશા,સ્વરૂપ અને કદ નક્કી કરી શકે છે.
$(c)$ જોકે મૂળભૂત આવૃત્તિઓ સમાન હોઈ શકે છે,પરંતુ અવાજની ગુણવત્તા અથવા ટિમ્બર અલગ હોય છે કારણ કે વાયોલિન અને સિતાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ઓવરટોન્સ (હાર્મોનિક્સ) ની સંખ્યા અને સાપેક્ષ તીવ્રતા અલગ હોય છે.
$(d)$ ઘન પદાર્થોમાં શીયર મોડ્યુલસ હોય છે,જે તેમને શીયરિંગ સ્ટ્રેસને સહન કરવાની ક્ષમતા આપે છે,જે લંબગત તરંગો માટે જરૂરી છે. વાયુઓમાં શીયર મોડ્યુલસનો અભાવ હોય છે અને તેઓ શીયરિંગ સ્ટ્રેસ સહન કરી શકતા નથી,તેથી તેઓ લંબગત તરંગોને ટેકો આપી શકતા નથી. ઘન અને વાયુ બંનેમાં બલ્ક મોડ્યુલસ હોય છે,જે તેમને સંગત તરંગોને ટેકો આપવા દે છે.
$(e)$ પલ્સ એ વિવિધ તરંગલંબાઇ ધરાવતા તરંગોનું સુપરપોઝિશન છે. વિક્ષેપક માધ્યમમાં,તરંગનો વેગ તેની તરંગલંબાઇ પર આધાર રાખે છે. પલ્સના વિવિધ ઘટકો અલગ-અલગ ઝડપે મુસાફરી કરતા હોવાથી,સમય જતાં પલ્સનો આકાર વિકૃત થઈ જાય છે.

(C) જ્યારે સિતારના તારને ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે તારના કણોનું સ્થાનાંતર તરંગના પ્રસરણની દિશાને લંબ હોય છે,જેના પરિણામે તાર પર યાંત્રિક લંબગત તરંગો રચાય છે.
જેમ જેમ તાર ધ્રુજારી પામે છે,તેમ તે આસપાસના હવાના અણુઓને ધક્કો મારે છે અને ખેંચે છે,જેનાથી સંઘનન અને વિઘનન રચાય છે,જે હવામાં યાંત્રિક સંગત તરંગો (ધ્વનિ તરંગો) ઉત્પન્ન કરે છે.

(D) $(i)$ ખોટું. હવામાં અવાજની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ભેજવાળી હવા સૂકી હવા કરતા ઓછી ઘનતા ધરાવતી હોવાથી,ભેજવાળી હવામાં અવાજની ઝડપ વધારે હોય છે.
$(ii)$ ખોટું. ટ્યુનિંગ ફોર્કના પ્રૉન્ગ્સને ઘસવાથી તેમાંથી દ્રવ્ય દૂર થાય છે,જેનાથી પ્રૉન્ગ્સનું દળ ઘટે છે. આવૃત્તિના સૂત્ર $f \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ મુજબ,આવૃત્તિ વધે છે.
$(iii)$ ખોટું. સ્થિત તરંગમાં,કંપવિસ્તાર નિસ્પંદ બિંદુઓ પર શૂન્યથી લઈને પ્રસ્પંદ બિંદુઓ પર મહત્તમ સુધી બદલાય છે. લૂપમાં રહેલા કણો તેમના સ્થાનના આધારે અલગ-અલગ કંપવિસ્તાર ધરાવે છે.
$(iv)$ ખોટું. સ્થિત તરંગમાં,કણનો કંપવિસ્તાર નિસ્પંદ બિંદુ પર શૂન્યથી વધીને પ્રસ્પંદ બિંદુ પર મહત્તમ મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે.

(A) $(i)$ ધ્વનિની ઝડપ $v = 332 \text{ m/s}$ અને મહત્તમ શ્રાવ્ય આવૃત્તિ $f_{\max} = 20000 \text{ Hz}$ આપેલ છે.
$v = f \lambda$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\lambda_{\min} = \frac{v}{f_{\max}} = \frac{332}{20000} = 0.0166 \text{ m} = 1.66 \text{ cm}$ મળે.
$(ii)$ પ્રવાહી (દ્રવ અને વાયુ) માં શિયર સ્ટ્રેસ સહન કરવાની ક્ષમતા હોતી નથી,તેથી તેમાં માત્ર સંગત (longitudinal) તરંગોનું જ પ્રસરણ થઈ શકે છે.
$(iii)$ તરંગ દ્વારા એક સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર તેની ઝડપ $v$ જેટલું હોય છે.
$v = \frac{\lambda}{T}$ હોવાથી,એક સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $\frac{\lambda}{T}$ થાય.

(A) $(i)$ બંધ પાઇપ માટે,$n$-માં હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_n = (2n - 1)f_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f_1$ એ મૂળભૂત આવૃત્તિ છે.
પ્રથમ ઓવરટોન એ $3^{rd}$ હાર્મોનિક $(n=2)$ છે,અને બીજો ઓવરટોન એ $5^{th}$ હાર્મોનિક $(n=3)$ છે.
તેથી,બીજા ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_3 = 5 \times f_1 = 5 \times 50 \ Hz = 250 \ Hz$ થાય.
$(ii)$ $STP$ ($0^{\circ}C$ અને $1 \ atm$) પર હવામાં ધ્વનિની ઝડપ આશરે $332 \ m/s$ છે.
$(iii)$ માનવ કાન માટે બીટ્સને સ્પષ્ટ રીતે અનુભવવા માટે,શ્રવણની સાતત્યતાને કારણે બીટ આવૃત્તિ $|f_1 - f_2|$ સામાન્ય રીતે $6 \ Hz$ થી $7 \ Hz$ થી વધુ ન હોવી જોઈએ.

(A) સાચી જોડ નીચે મુજબ છે:
$(a)$ પ્રકાશના તરંગો વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો છે,જે બિન-યાંત્રિક અને લંબગત સ્વરૂપના હોય છે. તેથી,$(a-iii)$.
$(b)$ ધ્વનિ તરંગોને પ્રસરણ માટે માધ્યમની જરૂર હોય છે,જે તેમને યાંત્રિક બનાવે છે,અને તે સંગત તરંગો તરીકે પ્રસરણ પામે છે. તેથી,$(b-ii)$.
$(c)$ ભૂકંપના તરંગો (સીસ્મિક તરંગો) માં $P$-તરંગો (સંગત) અને $S$-તરંગો (લંબગત) બંનેનો સમાવેશ થાય છે,જે તેમને યાંત્રિક,લંબગત અને સંગત બનાવે છે. તેથી,$(c-iv)$.
$(d)$ ખેંચાયેલી દોરી પરના તરંગો યાંત્રિક તરંગો છે જે લંબગત તરંગો તરીકે પ્રસરણ પામે છે. તેથી,$(d-i)$.
આમ,સાચી જોડ $(a-iii, b-ii, c-iv, d-i)$ છે.

(A) પાણીમાં અલ્ટ્રાસોનિક તરંગની તરંગલંબાઈ $\lambda = v / f = 1500 / (0.5 \times 10^6) = 3 \times 10^{-3} \,m = 3 \,mm$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈ $L = 61.5 \,mm$ છે.
એક છેડે બંધ (ટ્રાન્સડ્યુસર દ્વારા) અને બીજા છેડે ખુલ્લા (અથવા તળિયેથી પરાવર્તિત) સ્તંભમાં સ્થિત તરંગ માટે,અનુનાદની શરત $L = (2n - 1) \lambda / 4$ છે.
અહીં,$61.5 / 3 = 20.5$,જે $L = 41 \lambda / 2$ અથવા સમાન સ્થિત તરંગ મોડ્સને અનુરૂપ છે. સ્થિત તરંગ પાણીમાં બદલાતી ઘનતાના પ્રદેશો બનાવે છે.
પાણીનો વક્રીભવનાંક તેની ઘનતા પર આધારિત હોવાથી,પાણીનો સ્તંભ આપાત પ્રકાશ માટે ડિફ્રેક્શન ગ્રેટિંગ અથવા ફેઝ-મોડ્યુલેટેડ માધ્યમ તરીકે કાર્ય કરે છે.
જુદી જુદી ઘનતાવાળા પ્રદેશોમાંથી પસાર થતો પ્રકાશ અલગ-અલગ ફેઝ શિફ્ટ અનુભવે છે,જેના કારણે સ્ક્રીન પર વ્યતિકરણની ભાત રચાય છે.
સ્થિત તરંગમાં $61.5 \,mm$ લંબાઈ પર ઘણા નોડ્સ અને એન્ટિનોડ્સ હોવાથી,સ્ક્રીન પરની તીવ્રતાનું વિતરણ ઘણા વ્યતિકરણ મહત્તમ અને ન્યૂનતમ દર્શાવશે,જે ઘણા તીવ્ર શિખરો ધરાવતા આલેખ દ્વારા શ્રેષ્ઠ રીતે દર્શાવવામાં આવે છે.

(B) ધ્વનિની તીવ્રતાના સ્તરનો તફાવત $\Delta \beta = 10 \log_{10} (I_0 / I) = 60 \,dB$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$\log_{10} (I_0 / I) = 6$,જેનો અર્થ છે $I_0 / I = 10^6$,અથવા $I = I_0 \times 10^{-6}$.
ક્ષય સૂત્ર $I = I_0 \exp(-c_1 \alpha)$ અને $c_1 = 1/4$ આપેલ છે,તેથી $I = I_0 \exp(-\alpha / 4)$.
$I$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $I_0 \exp(-\alpha / 4) = I_0 \times 10^{-6}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $-\alpha / 4 = \ln(10^{-6}) = -6 \ln(10)$.
તેથી,$\alpha = 24 \ln(10) \approx 24 \times 2.303 = 55.272$.
ભૌતિક પરિમાણો પર આધારિત $\alpha$ માટેનો સંબંધ $\alpha = (A_e \cdot v_s \cdot t) / V$ છે.
$A_e$ માટે સૂત્ર ગોઠવતા: $A_e = (\alpha \cdot V) / (v_s \cdot t)$.
કિંમતો મૂકતા: $A_e = (55.272 \times 600) / (340 \times 1) = 33163.2 / 340 \approx 97.54 \,m^2$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,$A_e \approx 100 \,m^2$.

(B) તરંગની તીવ્રતા $I = 2 \pi^2 f^2 \rho v A^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $I \propto f^2 A^2$.
જુદી જુદી આવૃત્તિઓ ધરાવતા બે તરંગો માટે,પરિણામી તીવ્રતા સમય સાથે બદલાય છે. જો કે,જુદી જુદી આવૃત્તિઓ ધરાવતા તરંગોના સુપરપોઝિશનના સંદર્ભમાં મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાના ગુણોત્તર માટે,આપણે વ્યક્તિગત તરંગોના કંપનવિસ્તારને $A_1' = f_1 A_1$ અને $A_2' = f_2 A_2$ તરીકે લઈએ છીએ.
આપેલ છે $y_1 = 2 \sin(20 \pi t - 0.8 \pi x)$,તેથી $f_1 = 10 \text{ Hz}$ અને $A_1 = 2$. આમ,$A_1' = 10 \times 2 = 20$.
આપેલ છે $y_2 = 4 \sin(40 \pi t - 1.6 \pi x)$,તેથી $f_2 = 20 \text{ Hz}$ અને $A_2 = 4$. આમ,$A_2' = 20 \times 4 = 80$.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(A_1' + A_2')^2}{(A_2' - A_1')^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(20 + 80)^2}{(80 - 20)^2} = \frac{100^2}{60^2} = \left(\frac{100}{60}\right)^2 = \left(\frac{5}{3}\right)^2 = \frac{25}{9}$.
તેથી,ગુણોત્તર $25: 9$ છે.

(A) આપેલ છે કે તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $I_1/I_2 = 4/1$,તેથી $I_1 = 4I_2$.
ધારો કે કંપવિસ્તાર $A_1$ અને $A_2$ છે. $I \propto A^2$ હોવાથી,$A_1/A_2 = \sqrt{I_1/I_2} = \sqrt{4/1} = 2/1$,તેથી $A_1 = 2A_2$.
મહત્તમ તીવ્રતા $I_{max} = (A_1 + A_2)^2 = (2A_2 + A_2)^2 = (3A_2)^2 = 9A_2^2$ છે.
ન્યૂનતમ તીવ્રતા $I_{min} = (A_1 - A_2)^2 = (2A_2 - A_2)^2 = (A_2)^2 = A_2^2$ છે.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $I_{max}/I_{min} = 9/1$ છે.
$dB$ માં લાઉડનેસનો તફાવત $\Delta L = 10 \log_{10}(I_{max}/I_{min})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\Delta L = 10 \log_{10}(9) = 10 \log_{10}(3^2) = 20 \log_{10}(3)$.