Doppler’s Effect Questions in Gujarati

(D) ડોપ્લર અસરને કારણે જોવા મળતી આભાસી આવૃત્તિ $f'$ નું સૂત્ર $f' = f \left( \frac{v \pm v_o}{v \mp v_s} \right)$ છે,જ્યાં $f$ એ ઉદગમની આવૃત્તિ છે,$v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે,$v_o$ એ અવલોકનકારનો વેગ છે અને $v_s$ એ ઉદગમનો વેગ છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે ડોપ્લર શિફ્ટ એ ઉદગમની આવૃત્તિ,ઉદગમનો વેગ અને અવલોકનકારના વેગ પર આધાર રાખે છે.
જોકે,આ સૂત્રમાં ઉદગમ અને અવલોકનકાર વચ્ચેના અંતરનો કોઈ પદ નથી.
તેથી,ડોપ્લર શિફ્ટ એ ઉદગમ અને શ્રોતા વચ્ચેના અંતર પર આધારિત નથી.

(B) જ્યારે સ્ત્રોત સ્થિર અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરતો હોય ત્યારે અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ $n'$ ડોપ્લર અસરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$n' = n \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$
જ્યાં:
$n = 450 \text{ cycles/sec}$ (સ્ત્રોતની આવૃત્તિ)
$v = 340 \text{ m/sec}$ (ધ્વનિની ઝડપ)
$v_s = 34 \text{ m/sec}$ (સ્ત્રોતની ઝડપ)
કિંમતો મૂકતા:
$n' = 450 \left( \frac{340}{340 - 34} \right)$
$n' = 450 \left( \frac{340}{306} \right)$
$n' = 450 \times 1.111... = 500 \text{ cycles/sec}$.
આમ,આભાસી આવૃત્તિ $500 \text{ cycles/sec}$ છે.

(A) સ્થિર સ્ત્રોત દ્વારા ઉત્સર્જિત ધ્વનિ તરંગની તરંગલંબાઈ $\lambda = v/n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $n$ એ આવૃત્તિ છે.
જ્યારે સ્ત્રોત $v_s$ વેગ સાથે સ્થિર અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિ $n' = n \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ થાય છે.
અવલોકનકાર દ્વારા અવલોકિત તરંગલંબાઈ $\lambda' = \frac{v}{n'} = \frac{v}{n \left( \frac{v}{v - v_s} \right)} = \lambda \left( \frac{v - v_s}{v} \right)$ છે.
આપેલ છે કે $\lambda = 120 \, cm$,$v = 330 \, m/s$,અને $v_s = 60 \, m/s$:
$\lambda' = 120 \left( \frac{330 - 60}{330} \right) = 120 \left( \frac{270}{330} \right) = 120 \left( \frac{9}{11} \right) \approx 98.18 \, cm$.
વિકલ્પોમાં આપેલ નજીકના પૂર્ણાંક મુજબ,જવાબ $98 \, cm$ છે.

(B) ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે ઉદગમ સ્થિર અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $n'$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$n' = n \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$
જ્યાં:
$n = 600 \, Hz$ (વાસ્તવિક આવૃત્તિ)
$v = 330 \, m/s$ (ધ્વનિનો વેગ)
$v_s = 30 \, m/s$ (ઉદગમનો વેગ)
કિંમતો મૂકતા:
$n' = 600 \left( \frac{330}{330 - 30} \right)$
$n' = 600 \left( \frac{330}{300} \right)$
$n' = 600 \times 1.1 = 660 \, Hz$
તેથી,આભાસી આવૃત્તિ $660 \, Hz$ છે.

(C) ડોપ્લર અસર મુજબ,સ્થિર સ્ત્રોતથી દૂર જતા અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિ $f'$ નું સૂત્ર $f' = f \left( \frac{V - v_o}{V} \right)$ છે,જ્યાં $V$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $v_o$ એ અવલોકનકારની ઝડપ છે.
અહીં બંને અવલોકનકારો સમાન ઝડપ $v_o = 0.2V$ થી સ્ત્રોતથી દૂર જઈ રહ્યા હોવાથી,બંને અવલોકનકારો દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિ $f' = f \left( \frac{V - 0.2V}{V} \right) = f \left( \frac{0.8V}{V} \right) = 0.8f$ થશે.
તેથી,બંને અવલોકનકારો દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $0.8f : 0.8f = 1:1$ થશે.

(B) ડોપ્લર અસર મુજબ,આભાસી આવૃત્તિ $n'$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$n' = n \left( \frac{v - v_o}{v - v_s} \right)$
અહીં,$v$ એ અવાજનો વેગ છે,$v_o$ એ અવલોકનકારનો વેગ છે અને $v_s$ એ સ્ત્રોતનો વેગ છે.
જ્યારે સ્ત્રોત અને અવલોકનકાર બંને અવાજના તરંગોના પ્રસરણની દિશામાં ગતિ કરતા હોય,ત્યારે અવાજની દિશાની સાપેક્ષમાં તેમના વેગ ધન લેવામાં આવે છે.
આ કિંમતોને સામાન્ય ડોપ્લર સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $n' = n \frac{(v - v_o)}{(v - v_s)}$ મળે છે.

(C) ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે અવલોકનકાર સ્થિર ઉદગમ તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $n'$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$n' = n \left( \frac{v + v_O}{v} \right)$
જ્યાં $v$ એ ધ્વનિનો વેગ છે અને $v_O$ એ અવલોકનકારનો વેગ છે.
આપેલ છે કે $n' = 2n$ અને $v = 332 \, m/s$,આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$2n = n \left( \frac{332 + v_O}{332} \right)$
બંને બાજુ $n$ વડે ભાગતા:
$2 = \frac{332 + v_O}{332}$
$664 = 332 + v_O$
$v_O = 664 - 332 = 332 \, m/s$.
તેથી,અવલોકનકારનો વેગ $332 \, m/s$ છે.

(B) ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે અવલોકનકાર સ્થિર ઉદગમ તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $n'$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$n' = n \left( \frac{v + v_O}{v} \right)$
જ્યાં $n$ એ વાસ્તવિક આવૃત્તિ છે,$v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે,અને $v_O$ એ અવલોકનકારનો વેગ છે.
અવલોકનકાર ઉદગમ તરફ ગતિ કરતો હોવાથી,$v_O > 0$ થાય.
તેથી,અવયવ $\frac{v + v_O}{v} > 1$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $n' > n$,એટલે કે આભાસી આવૃત્તિ એ વાસ્તવિક આવૃત્તિ કરતા વધારે હશે.

(A) અવલોકનકાર દ્વારા પ્રતિ સેકન્ડ પ્રાપ્ત થતા તરંગોની સંખ્યા એ આભાસી આવૃત્તિ $f'$ છે.
આપેલ છે કે ઉદગમની આવૃત્તિ $f = 256 \text{ Hz}$.
ઉદગમનો વેગ $v_s = \frac{v}{3}$,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિનો વેગ છે.
ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે ઉદગમ સ્થિર અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ નીચે મુજબ મળે છે:
$f' = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$
કિંમતો મૂકતા:
$f' = 256 \left( \frac{v}{v - v/3} \right)$
$f' = 256 \left( \frac{v}{2v/3} \right)$
$f' = 256 \times \frac{3}{2}$
$f' = 128 \times 3 = 384 \text{ તરંગો પ્રતિ સેકન્ડ}$.

(A) ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે ઉદગમ સ્થિર અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે અવલોકિત આવૃત્તિ $n'$ એ $n' = n \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $v_s$ એ ઉદગમની ઝડપ છે.
આવૃત્તિનો તફાવત $2.5\%$ હોવાથી,$\frac{n' - n}{n} = 0.025$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{n'}{n} = 1.025$.
આ કિંમતને ડોપ્લર સૂત્રમાં મૂકતા: $1.025 = \frac{v}{v - v_s}$.
અહીં $v = 320\, m/s$ આપેલ છે,તેથી $1.025 = \frac{320}{320 - v_s}$.
$320 - v_s = \frac{320}{1.025} \approx 312.195$.
$v_s = 320 - 312.195 = 7.805\, m/s$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,કારનો વેગ આશરે $8\, m/s$ મળે છે.

(B) આપેલ છે: બંને ટ્રેનોની ઝડપ $v_s = v_o = 108\, km/h = 108 \times \frac{5}{18} = 30\, m/s$.
ઉદગમની આવૃત્તિ $n = 750\, Hz$.
ધ્વનિની ઝડપ $v = 330\, m/s$.
ટ્રેનો એકબીજાને ઓળંગી ગયા પછી,ઉદગમ અને અવલોકનકાર એકબીજાથી દૂર જઈ રહ્યા છે.
આ સ્થિતિ માટે ડોપ્લર અસરનું સૂત્ર વાપરતા:
$n' = n \left( \frac{v - v_o}{v + v_s} \right)$
કિંમતો મૂકતા:
$n' = 750 \left( \frac{330 - 30}{330 + 30} \right)$
$n' = 750 \left( \frac{300}{360} \right)$
$n' = 750 \times \frac{5}{6} = 125 \times 5 = 625\, Hz$.

(A) ડોપ્લર અસર માટેનું સામાન્ય સૂત્ર $n' = n \left( \frac{v + v_O}{v - v_S} \right)$ છે,જ્યાં $n'$ એ અવલોકિત આવૃત્તિ છે,$n$ એ ઉદગમની આવૃત્તિ છે,$v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે,$v_O$ એ અવલોકનકારનો વેગ છે અને $v_S$ એ ઉદગમનો વેગ છે.
અહીં ઉદગમ સ્થિર હોવાથી,$v_S = 0$ છે.
આપણે ઇચ્છીએ છીએ કે અવલોકિત આવૃત્તિ ઉદગમની આવૃત્તિ કરતા બમણી હોય,તેથી $n' = 2n$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $2n = n \left( \frac{v + v_O}{v - 0} \right)$.
બંને બાજુ $n$ વડે ભાગતા: $2 = \frac{v + v_O}{v}$.
$v$ વડે ગુણતા: $2v = v + v_O$.
$v_O$ માટે ઉકેલતા: $v_O = v$.
અવલોકનકાર ઉચ્ચ આવૃત્તિ સાંભળવા માટે ઉદગમ તરફ ગતિ કરી રહ્યો હોવાથી,અવલોકનકારનો વેગ એ ઉદગમ તરફના ધ્વનિના વેગ જેટલો હોય છે.

(D) આભાસી આવૃત્તિ $f'$ માટે ડોપ્લર અસરનું સૂત્ર $f' = f \left( \frac{v_s \pm v_o}{v_s \mp v_s} \right)$ છે,જ્યાં $v_s$ એ ધ્વનિનો વેગ છે,$v_o$ એ અવલોકનકારનો વેગ છે અને $v_s$ એ સ્ત્રોતનો વેગ છે.
અહીં આપેલ છે કે સ્ત્રોત $v = v_s$ વેગથી અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે અને અવલોકનકાર $v = v_s$ વેગથી સ્ત્રોતથી દૂર ગતિ કરે છે.
ચિહ્ન પ્રણાલીનો ઉપયોગ કરતા: $f' = f \left( \frac{v_s - v}{v_s - v} \right)$.
કારણ કે $v = v_s$,તેથી પદ $f' = f \left( \frac{v_s - v_s}{v_s - v_s} \right)$ બને છે.
જો કે,જ્યારે સ્ત્રોત અને અવલોકનકાર બંને સમાન દિશામાં સમાન વેગથી ગતિ કરે છે,ત્યારે તેમની વચ્ચે કોઈ સાપેક્ષ ગતિ હોતી નથી.
તેથી,સાપેક્ષ વેગ શૂન્ય છે અને અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ મૂળ આવૃત્તિ જેટલી જ રહે છે.
આમ,$f' = 200 Hz$.

(C) ડોપ્લર અસર એ તરંગ સ્ત્રોતની સાપેક્ષમાં ગતિ કરતા અવલોકનકાર માટે તરંગની આવૃત્તિમાં થતા ફેરફારનું વર્ણન કરે છે. જ્યારે ધ્વનિ સ્ત્રોતનો વેગ $(v_s)$ માધ્યમમાં ધ્વનિના વેગ $(v)$ કરતા વધી જાય છે,ત્યારે સ્ત્રોત તે ઉત્પન્ન કરતા તરંગો કરતા વધુ ઝડપથી ગતિ કરે છે. આના પરિણામે શોક વેવ (સોનિક બૂમ) રચાય છે,અને પ્રમાણિત ડોપ્લર અસરના સૂત્રો હવે લાગુ પડતા નથી કારણ કે તરંગ મોરચા એવી રીતે ઓવરલેપ થાય છે કે જે અવલોકનકારને અપેક્ષિત ક્રમમાં તરંગો મેળવતા અટકાવે છે.

(A) ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે ધ્વનિનો સ્ત્રોત સ્થિર અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે અવલોકન કરેલ આવૃત્તિ $n'$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$n' = n \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$
જ્યાં $n$ એ મૂળ આવૃત્તિ છે,$v$ એ ધ્વનિનો વેગ છે અને $v_s$ એ સ્ત્રોતનો વેગ છે.
આપેલ છે કે અવલોકન કરેલ આવૃત્તિ મૂળ આવૃત્તિ કરતા ત્રણ ગણી છે,તેથી $n' = 3n$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$3n = n \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$
$3 = \frac{v}{v - v_s}$
$3(v - v_s) = v$
$3v - 3v_s = v$
$2v = 3v_s$
$v_s = \frac{2}{3}v$
તેથી,સ્ત્રોતની ઝડપ $\frac{2}{3}v$ છે.

(C) ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે ધ્વનિનો સ્ત્રોત સ્થિર અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $n'$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$n' = n \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$
જ્યાં:
$n = 1200 \, cps$ (વાસ્તવિક આવૃત્તિ)
$v = 350 \, m/s$ (ધ્વનિની ઝડપ)
$v_s = 50 \, m/s$ (સ્ત્રોતની ઝડપ)
કિંમતો મૂકતા:
$n' = 1200 \times \left( \frac{350}{350 - 50} \right)$
$n' = 1200 \times \left( \frac{350}{300} \right)$
$n' = 1200 \times \frac{7}{6} = 200 \times 7 = 1400 \, cps$
તેથી,અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ $1400 \, cps$ છે.

(D) ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે અવાજનો સ્ત્રોત સ્થિર અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $n'$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$n' = n \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$
જ્યાં:
$n = 1200 \ Hz$ (સ્ત્રોતની આવૃત્તિ)
$v = 400 \ m/s$ (અવાજની ઝડપ)
$v_s = 100 \ m/s$ (સ્ત્રોતની ઝડપ)
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$n' = 1200 \left( \frac{400}{400 - 100} \right)$
$n' = 1200 \left( \frac{400}{300} \right)$
$n' = 1200 \times \frac{4}{3}$
$n' = 400 \times 4 = 1600 \ Hz$
તેથી,અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ $1600 \ Hz$ છે.

(A) ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે ઉદગમ સ્થિર અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $n'$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$n' = n \times \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$
આપેલ છે:
ઉદગમની આવૃત્તિ $n = 150 \, Hz$
ધ્વનિનો વેગ $v = 330 \, m/s$
ઉદગમનો વેગ $v_s = 110 \, m/s$
કિંમતો મૂકતા:
$n' = 150 \times \left( \frac{330}{330 - 110} \right)$
$n' = 150 \times \left( \frac{330}{220} \right)$
$n' = 150 \times 1.5 = 225 \, Hz$
તેથી,વ્યક્તિ દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિ $225 \, Hz$ છે.

(A) જ્યારે સ્ત્રોત સ્થિર અવલોકનકારની નજીક આવે છે,ત્યારે ડોપ્લર અસરના સૂત્ર મુજબ અનુભવાતી આવૃત્તિ $n_a$ છે:
$n_a = \left( \frac{v}{v - v_s} \right) n$
કિંમતો $v = 340\, m/s$,$v_s = 20\, m/s$,અને $n = 1000\, Hz$ મૂકતા:
$n_a = \left( \frac{340}{340 - 20} \right) \times 1000 = \frac{340}{320} \times 1000 = \frac{17}{16} \times 1000 = 1062.5\, Hz$
જ્યારે સ્ત્રોત અવલોકનકારથી દૂર જાય છે,ત્યારે અનુભવાતી આવૃત્તિ $n_r$ છે:
$n_r = \left( \frac{v}{v + v_s} \right) n$
$n_r = \left( \frac{340}{340 + 20} \right) \times 1000 = \frac{340}{360} \times 1000 = \frac{17}{18} \times 1000 = 944.4\, Hz$
આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર:
$\frac{n_a}{n_r} = \frac{\frac{v}{v - v_s} n}{\frac{v}{v + v_s} n} = \frac{v + v_s}{v - v_s}$
$\frac{n_a}{n_r} = \frac{340 + 20}{340 - 20} = \frac{360}{320} = \frac{9}{8}$
આમ,ગુણોત્તર $9:8$ છે.

(A) જ્યારે સ્ત્રોત $v_s$ વેગથી ગતિ કરતો હોય ત્યારે સ્થિર અવલોકનકાર દ્વારા અનુભવાતી આભાસી આવૃત્તિ ડોપ્લર અસરના સૂત્ર $n' = n \left( \frac{v}{v \mp v_s} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે સ્ત્રોત અવલોકનકારની નજીક આવતો હોય,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $n_a = n \left( \frac{v}{v - v_s} \right) = 1000 \ Hz$ થાય છે.
જ્યારે સ્ત્રોત અવલોકનકારથી દૂર જતો હોય,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $n_r = n \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$ થાય છે.
બંને સમીકરણોનો ગુણોત્તર લેતા: $\frac{n_a}{n_r} = \frac{v + v_s}{v - v_s}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{1000}{n_r} = \frac{350 + 50}{350 - 50} = \frac{400}{300} = \frac{4}{3}$.
તેથી,$n_r = 1000 \times \frac{3}{4} = 750 \ Hz$.

(B) ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે ઉદગમ અને શ્રોતા બંને એકબીજા તરફ ગતિ કરતા હોય,ત્યારે શ્રોતા દ્વારા સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ $f'$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$f' = f \left( \frac{v + v_O}{v - v_S} \right)$
અહીં,$v_O$ એ અવલોકનકાર (શ્રોતા) નો વેગ છે અને $v_S$ એ ઉદગમનો વેગ છે.
આપેલ છે કે $v_O = v/10$ અને $v_S = v/10$,આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$f' = f \left( \frac{v + v/10}{v - v/10} \right)$
$f' = f \left( \frac{1.1v}{0.9v} \right)$
$f' = f \left( \frac{11}{9} \right)$
$f' \approx 1.22 f$
આમ,શ્રોતા દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિ લગભગ $1.22 f$ છે.

(C) સ્ત્રોત વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરી રહ્યો છે. સ્ત્રોતની રેખીય ઝડપ $v_S = r\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $r = 70 \text{ cm} = 0.70 \text{ m}$ અને પરિભ્રમણની આવૃત્તિ $f_{rev} = 5 \text{ rev/s}$ છે.
કોણીય વેગ $\omega = 2\pi f_{rev} = 2 \times \pi \times 5 = 10\pi \text{ rad/s}$.
તેથી,$v_S = 0.70 \times 10\pi = 7\pi \approx 7 \times 3.1416 = 21.99 \approx 22 \text{ m/s}$.
જ્યારે સ્ત્રોત શ્રોતાથી સીધો દૂર જઈ રહ્યો હોય ત્યારે લઘુત્તમ આવૃત્તિ સંભળાય છે.
ડોપ્લર અસરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $n_{\min} = n \left( \frac{v}{v + v_S} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $n_{\min} = 1000 \times \left( \frac{352}{352 + 22} \right) = 1000 \times \left( \frac{352}{374} \right) \approx 941.17 \text{ Hz}$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,લઘુત્તમ આવૃત્તિ $941 \text{ Hz}$ મળે છે.

(B) અવલોકનકાર બે અવાજો સાંભળે છે: એક સીધો સ્ત્રોતમાંથી અને બીજો દીવાલ પરથી પરાવર્તિત થઈને (પડઘો).
$1$. સીધા અવાજ માટે,સ્ત્રોત સ્થિર અવલોકનકારથી દૂર જઈ રહ્યો છે. ડોપ્લર અસરના સૂત્ર મુજબ સંભળાતી આવૃત્તિ $(n_1)$:
$n_1 = n \left( \frac{v}{v + v_s} \right) = 500 \left( \frac{332}{332 + 2} \right) = 500 \left( \frac{332}{334} \right) \ Hz$
$2$. પરાવર્તિત અવાજ (પડઘા) માટે,દીવાલ એક સ્થિર સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે જે અવાજને પરાવર્તિત કરે છે. અસરકારક રીતે,સ્ત્રોતની પ્રતિબિંબિત છબી $v_s = 2 \ m/s$ ની ઝડપે અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરી રહી છે. સંભળાતી આવૃત્તિ $(n_2)$:
$n_2 = n \left( \frac{v}{v - v_s} \right) = 500 \left( \frac{332}{332 - 2} \right) = 500 \left( \frac{332}{330} \right) \ Hz$
$3$. બીટ આવૃત્તિ એ આ બે આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$\text{બીટ આવૃત્તિ} = n_2 - n_1 = 500 \times 332 \left( \frac{1}{330} - \frac{1}{334} \right)$
$= 500 \times 332 \left( \frac{334 - 330}{330 \times 334} \right) = 500 \times 332 \left( \frac{4}{110220} \right) \approx 6.02 \ Hz$
આમ,પ્રતિ સેકન્ડ બીટ્સની સંખ્યા આશરે $6$ છે.

(C) ડ્રાઇવર દ્વારા સાંભળવામાં આવતા પરાવર્તિત અવાજની આવૃત્તિ ગતિશીલ ઉદગમ અને ગતિશીલ અવલોકનકાર માટે ડોપ્લર અસરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,કાર ઉદગમ અને અવલોકનકાર બંને તરીકે કાર્ય કરે છે.
કારનો વેગ $v_s = v_o = 72\,km/hr = 72 \times \frac{5}{18} = 20\,m/s$.
અવાજનો વેગ $v = 330\,m/s$.
હોર્નની આવૃત્તિ $n = 124\,vib/sec$.
પરાવર્તિત આવૃત્તિ $n'$ માટેનું સૂત્ર:
$n' = n \left( \frac{v + v_o}{v - v_s} \right)$
કિંમતો મૂકતા:
$n' = 124 \left( \frac{330 + 20}{330 - 20} \right)$
$n' = 124 \left( \frac{350}{310} \right)$
$n' = 124 \times \frac{35}{31} = 4 \times 35 = 140\,vib/sec$.

(D) ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે ધ્વનિનો સ્ત્રોત સ્થિર અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $n_1$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$n_1 = n \left( \frac{V}{V - S} \right)$
જ્યાં $n$ એ વાસ્તવિક આવૃત્તિ છે,$V$ એ હવામાં ધ્વનિની ઝડપ છે અને $S$ એ સ્ત્રોતની ઝડપ છે.
બંને બાજુ $n$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{n_1}{n} = \frac{V}{V - S}$

(B) ડોપ્લર અસર ત્યારે જ જોવા મળે છે જ્યારે ઉદગમ અને અવલોકનકાર વચ્ચે તેમને જોડતી રેખા પર સાપેક્ષ વેગ હોય.
આ પ્રશ્નમાં,વાહન અવલોકનકાર અને વાહનને જોડતી રેખાને લંબ દિશામાં ગતિ કરી રહ્યું છે.
તેથી,અવલોકનકાર અને ઉદગમને જોડતી રેખા પર ઉદગમના વેગનો ઘટક $v_s \cos(90^{\circ}) = 0$ થાય છે.
દ્રષ્ટિરેખા પર કોઈ સાપેક્ષ ગતિ ન હોવાથી,અવલોકનકારને સંભળાતી આવૃત્તિ એ ઉદગમની આવૃત્તિ જેટલી જ રહે છે.
આમ,અવલોકિત આવૃત્તિ $n' = n$ છે.
આપેલ છે કે અવલોકિત આવૃત્તિ $n + n_1$ છે,તેથી $n + n_1 = n$,જેનો અર્થ છે કે $n_1 = 0$.

(D) અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ $n'$ ડોપ્લર અસરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યારે ઉદગમ સ્થિર અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરતું હોય:
$n' = n \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$
આપેલ છે:
ઉદગમની આવૃત્તિ $n = 450 Hz$
ધ્વનિની ઝડપ $v = 330 m/s$
ઉદગમની ઝડપ $v_s = 33 m/s$
કિંમતો મૂકતા:
$n' = 450 \times \left( \frac{330}{330 - 33} \right)$
$n' = 450 \times \left( \frac{330}{297} \right)$
$n' = 450 \times \frac{10}{9}$
$n' = 50 \times 10 = 500 Hz$
તેથી,અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિ $500 Hz$ છે.

(A) સ્થિર ઉદગમથી દૂર જતા અવલોકનકાર માટે ડોપ્લર અસરનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$n' = n \left( \frac{v - v_O}{v} \right)$
જ્યાં:
$n = 100 \, Hz$ (ઉદગમની આવૃત્તિ)
$v = 330 \, m/s$ (ધ્વનિની ઝડપ)
$v_O = 33 \, m/s$ (દૂર જતા અવલોકનકારની ઝડપ)
કિંમતો મૂકતા:
$n' = 100 \left( \frac{330 - 33}{330} \right)$
$n' = 100 \left( \frac{297}{330} \right)$
$n' = 100 \times 0.9 = 90 \, Hz$
આમ,અવલોકિત આવૃત્તિ $90 \, Hz$ છે.

(C) જ્યારે ટ્રેન નજીક આવે છે,ત્યારે નિરીક્ષક દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિ ડોપ્લર અસરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $n_a = n \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $219 = n \left( \frac{340}{340 - v_s} \right)$ ... $(i)$.
જ્યારે ટ્રેન દૂર જાય છે,ત્યારે નિરીક્ષક દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિ: $n_r = n \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $184 = n \left( \frac{340}{340 + v_s} \right)$ ... $(ii)$.
સમીકરણ $(i)$ ને $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{219}{184} = \frac{340 + v_s}{340 - v_s}$.
$219(340 - v_s) = 184(340 + v_s)$.
$74460 - 219v_s = 62560 + 184v_s$.
$11900 = 403v_s$.
$v_s \approx 29.53 \, m/s \approx 29.5 \, m/s$.
$v_s$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$219 = n \left( \frac{340}{340 - 29.5} \right) = n \left( \frac{340}{310.5} \right)$.
$n = \frac{219 \times 310.5}{340} \approx 200 \, Hz$.

(D) નિરીક્ષક બે અવાજો સાંભળે છે: એક સીધો સ્ત્રોતમાંથી અને બીજો દીવાલ પરથી પરાવર્તિત થઈને.
ધારો કે $v = 340\, m/s$ એ અવાજની ઝડપ છે અને $v_s = 1\, m/s$ એ સ્ત્રોત (છોકરા) ની ઝડપ છે.
$1$. સ્ત્રોતમાંથી સીધો સંભળાતો અવાજ $(n_1)$: સ્ત્રોત નિરીક્ષક તરફ ગતિ કરતો હોવાથી,આવૃત્તિ $n_1 = n_0 \left( \frac{v}{v - v_s} \right) = 680 \left( \frac{340}{340 - 1} \right) = 680 \left( \frac{340}{339} \right) \approx 682\, Hz$ થશે.
$2$. દીવાલ પરથી પરાવર્તિત થઈને સંભળાતો અવાજ $(n_2)$: દીવાલ એક સ્થિર સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે જે નિરીક્ષકથી દૂર જઈ રહ્યો છે. દીવાલ દ્વારા પરાવર્તિત આવૃત્તિ $n' = n_0 \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$ છે. તેથી,$n_2 = 680 \left( \frac{340}{340 + 1} \right) = 680 \left( \frac{340}{341} \right) \approx 678\, Hz$ થશે.
$3$. પ્રતિ સેકન્ડ બીટ્સની સંખ્યા એ બે આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે: $n_1 - n_2 = 680 \left( \frac{340}{339} - \frac{340}{341} \right) = 680 \times 340 \left( \frac{341 - 339}{339 \times 341} \right) = 680 \times 340 \left( \frac{2}{115600 - 1} \right) \approx 4\, Hz$.

(A) આ પ્રશ્ન ગતિશીલ ઉદગમ અને ગતિશીલ અવલોકનકાર (ડ્રાઇવર) સાથે ડોપ્લર અસરનો ઉપયોગ કરે છે.
$1$. પ્રથમ,હોર્નમાંથી નીકળતો અવાજ ટેકરી સુધી પહોંચે છે. ટેકરી એક સ્થિર અવલોકનકાર તરીકે કાર્ય કરે છે જે $v_s = 30 \ m/s$ ની ઝડપે તેની તરફ આવતા ઉદગમ (કાર) પાસેથી અવાજ મેળવે છે. ટેકરી દ્વારા પ્રાપ્ત આવૃત્તિ $n_1$ છે:
$n_1 = n \left( \frac{v}{v - v_s} \right) = 600 \left( \frac{330}{330 - 30} \right) = 600 \left( \frac{330}{300} \right) = 660 \ Hz$.
$2$. ટેકરી આ અવાજનું પરાવર્તન કરે છે,જે $n_1 = 660 \ Hz$ આવૃત્તિના સ્થિર ઉદગમ તરીકે કાર્ય કરે છે. ડ્રાઇવર (અવલોકનકાર) $v_o = 30 \ m/s$ ની ઝડપે ટેકરી તરફ ગતિ કરે છે. ડ્રાઇવર દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિ $n'$ છે:
$n' = n_1 \left( \frac{v + v_o}{v} \right) = 660 \left( \frac{330 + 30}{330} \right) = 660 \left( \frac{360}{330} \right) = 2 \times 360 = 720 \ Hz$.
વૈકલ્પિક રીતે,સ્થિર પરાવર્તક તરફ ગતિ કરતા અવલોકનકાર અને ઉદગમ માટેના સંયુક્ત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$n' = n \left( \frac{v + v_o}{v - v_s} \right) = 600 \left( \frac{330 + 30}{330 - 30} \right) = 600 \left( \frac{360}{300} \right) = 720 \ Hz$.

(B) અવલોકનકાર સાયરન $1$ થી દૂર અને સાયરન $2$ તરફ ગતિ કરી રહ્યો છે.
સ્થિર સ્ત્રોતથી દૂર જતા અવલોકનકાર માટે ડોપ્લર અસરના સૂત્ર મુજબ સાયરન $1$ માંથી સંભળાતી અવાજની આવૃત્તિ:
$n_1 = n \left( \frac{v - v_0}{v} \right) = 330 \left( \frac{330 - 2}{330} \right) = 328 \ Hz$
સ્થિર સ્ત્રોત તરફ ગતિ કરતા અવલોકનકાર માટે ડોપ્લર અસરના સૂત્ર મુજબ સાયરન $2$ માંથી સંભળાતી અવાજની આવૃત્તિ:
$n_2 = n \left( \frac{v + v_0}{v} \right) = 330 \left( \frac{330 + 2}{330} \right) = 332 \ Hz$
બીટ આવૃત્તિ એ બે અવલોકન કરેલી આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$\text{બીટ આવૃત્તિ} = n_2 - n_1 = 332 - 328 = 4 \ Hz$.

(D) જ્યારે સ્ત્રોત અને શ્રોતા એકબીજાની નજીક આવી રહ્યા હોય ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $(n')$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$n' = n \left( \frac{v + v_O}{v - v_S} \right)$
જ્યાં:
$n'$ = આભાસી આવૃત્તિ = $400 \, cps$
$n$ = સાચી આવૃત્તિ
$v$ = ધ્વનિનો વેગ = $360 \, m/s$
$v_O$ = શ્રોતાનો વેગ = $40 \, m/s$
$v_S$ = સ્ત્રોતનો વેગ = $40 \, m/s$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$400 = n \left( \frac{360 + 40}{360 - 40} \right)$
$400 = n \left( \frac{400}{320} \right)$
$400 = n \left( \frac{5}{4} \right)$
$n = 400 \times \frac{4}{5} = 320 \, cps$
તેથી,સાચી આવૃત્તિ $320 \, cps$ છે.

(A) ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે ઉદગમ સ્થિર અવલોકનકારથી દૂર જતું હોય,ત્યારે અવલોકિત આવૃત્તિ $f'$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$f' = f \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$
જ્યાં:
$f = 500 \; Hz$ (ઉદગમની આવૃત્તિ)
$v = 330 \; m/s$ (અવાજની ઝડપ)
$v_s = 50 \; m/s$ (ઉદગમની ઝડપ)
કિંમતો મૂકતા:
$f' = 500 \times \left( \frac{330}{330 + 50} \right)$
$f' = 500 \times \left( \frac{330}{380} \right)$
$f' = 500 \times 0.8684$
$f' \approx 434.2 \; Hz$

(C) ડોપ્લર અસર મુજબ,અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ એ ધ્વનિના ઉદગમ અને અવલોકનકાર વચ્ચેની સાપેક્ષ ગતિ પર આધાર રાખે છે.
આ કિસ્સામાં,માણસ (અવલોકનકાર) અને એન્જિન (ઉદગમ) બંને એક જ ચાલતી ટ્રેનનો ભાગ છે.
તેઓ સમાન વેગથી સાથે ગતિ કરી રહ્યા હોવાથી,ઉદગમ અને અવલોકનકાર વચ્ચે કોઈ સાપેક્ષ ગતિ નથી.
તેથી,માણસ દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિ સીટીની વાસ્તવિક આવૃત્તિ જેટલી જ રહે છે,જે $600 \ Hz$ છે.

(A) ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે સ્ત્રોત સ્થિર અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $n'$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$n' = n \left( \frac{v}{v - v_S} \right)$
જ્યાં:
$n = 500 Hz$ (સ્ત્રોતની આવૃત્તિ)
$v = 330 m/s$ (ધ્વનિની ઝડપ)
$v_S = 30 m/s$ (સ્ત્રોતનો વેગ)
કિંમતો મૂકતા:
$n' = 500 \left( \frac{330}{330 - 30} \right)$
$n' = 500 \left( \frac{330}{300} \right)$
$n' = 500 \times 1.1 = 550 Hz$
તેથી,અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિ $550 Hz$ છે.

(C) ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે ધ્વનિનો સ્ત્રોત સ્થિર અવલોકનકારની નજીક આવે છે,ત્યારે અવલોકિત આવૃત્તિ $n'$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$n' = n \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$
જ્યાં:
$n = 90 \text{ vibrations/sec}$ (સ્ત્રોતની આવૃત્તિ)
$v = \text{ધ્વનિની ઝડપ}$
$v_s = \frac{v}{10}$ (સ્ત્રોતની ઝડપ)
કિંમતો મૂકતા:
$n' = 90 \left( \frac{v}{v - \frac{v}{10}} \right)$
$n' = 90 \left( \frac{v}{\frac{9v}{10}} \right)$
$n' = 90 \times \frac{10}{9} = 100 \text{ vibrations/sec}$.

(A) સીટીનો રેખીય વેગ $v_S = r\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $r = 1.2 \, m$ અને કોણીય વેગ $\omega = 2\pi \times \frac{400}{60} \, rad/s$ છે.
$v_S = 1.2 \times 2\pi \times \frac{400}{60} = 1.2 \times 2\pi \times \frac{20}{3} = 16\pi \approx 50.26 \, m/s$. પ્રમાણિત અંદાજ મુજબ $v_S \approx 50 \, m/s$ લેતા.
જ્યારે સીટી શ્રોતાની નજીક આવે છે,ત્યારે સંભળાતી આવૃત્તિ મહત્તમ હોય છે: $n_{max} = n \left( \frac{v}{v - v_S} \right) = 500 \left( \frac{340}{340 - 50} \right) = 500 \left( \frac{340}{290} \right) \approx 586 \, Hz$.
જ્યારે સીટી શ્રોતાથી દૂર જાય છે,ત્યારે સંભળાતી આવૃત્તિ ન્યૂનતમ હોય છે: $n_{min} = n \left( \frac{v}{v + v_S} \right) = 500 \left( \frac{340}{340 + 50} \right) = 500 \left( \frac{340}{390} \right) \approx 436 \, Hz$.
આમ,શ્રોતા દ્વારા સાંભળવામાં આવતી આવૃત્તિની રેન્જ $436 \, Hz$ થી $586 \, Hz$ છે.

(D) ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે ઉદગમ સ્થિર અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે અવલોકન કરેલ આવૃત્તિ $f'$ નું સૂત્ર $f' = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ છે,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $v_s$ એ ઉદગમની ઝડપ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$v_s = 34 \ m/s$:
$f_1 = f \left( \frac{340}{340 - 34} \right) = f \left( \frac{340}{306} \right)$
બીજા કિસ્સા માટે,$v_s = 17 \ m/s$:
$f_2 = f \left( \frac{340}{340 - 17} \right) = f \left( \frac{340}{323} \right)$
હવે,ગુણોત્તર $f_1/f_2$ ની ગણતરી કરતા:
$\frac{f_1}{f_2} = \frac{f \left( \frac{340}{306} \right)}{f \left( \frac{340}{323} \right)} = \frac{323}{306}$
અંશ અને છેદ બંનેને $17$ વડે ભાગતા:
$\frac{323 \div 17}{306 \div 17} = \frac{19}{18}$
આમ,ગુણોત્તર $f_1/f_2$ એ $19/18$ છે.

(D) અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિ ડોપ્લર અસરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $f' = f \left( \frac{v + v_o}{v - v_s} \right)$,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે,$v_o$ એ અવલોકનકારનો વેગ છે અને $v_s$ એ ઉદગમનો વેગ છે.
ઉદગમ અને અવલોકનકાર બંને સ્થિર હોવાથી,$v_o = 0$ અને $v_s = 0$ થાય.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $f' = f \left( \frac{v + 0}{v - 0} \right) = f \left( \frac{v}{v} \right) = f$ મળે છે.
તેથી,અવલોકન કરેલી આવૃત્તિ $f'$ એ ઉદગમની આવૃત્તિ $f$ જેટલી જ રહે છે,ધ્વનિની ઝડપ $v$ ગમે તે હોય.
આમ,અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિમાં કોઈ ફેરફાર થશે નહીં.

(B) ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે ઉદગમ અને અવલોકનકાર એકબીજાથી દૂર જાય છે,ત્યારે અવલોકન કરેલી આવૃત્તિ $n'$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$n' = n \left( \frac{v - v_O}{v + v_S} \right)$
અહીં,$v = 340\; m/s$ એ અવાજની ઝડપ છે,$v_O = 10\; m/s$ એ અવલોકનકારનો વેગ છે,અને $v_S = 10\; m/s$ એ ઉદગમનો વેગ છે.
આપેલ છે કે $n' = 1950\; Hz$,કિંમતો મૂકતા:
$1950 = n \left( \frac{340 - 10}{340 + 10} \right)$
$1950 = n \left( \frac{330}{350} \right)$
$1950 = n \left( \frac{33}{35} \right)$
$n = 1950 \times \frac{35}{33} \approx 2068.18\; Hz$
નજીકના પૂર્ણાંકમાં,વાસ્તવિક આવૃત્તિ $2068\; Hz$ છે.

(B) ડોપ્લર અસર મુજબ,આભાસી આવૃત્તિ $n'$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$n' = n \left( \frac{v + v_O}{v - v_S} \right)$
જ્યાં:
$n = 240 \ Hz$ (ઉદગમની આવૃત્તિ)
$v = 340 \ m/s$ (ધ્વનિનો વેગ)
$v_O = 20 \ m/s$ (અવલોકનકારનો ઉદગમ તરફનો વેગ)
$v_S = 20 \ m/s$ (ઉદગમનો અવલોકનકાર તરફનો વેગ)
કિંમતો મૂકતા:
$n' = 240 \left( \frac{340 + 20}{340 - 20} \right)$
$n' = 240 \left( \frac{360}{320} \right)$
$n' = 240 \times 1.125 = 270 \ Hz$.

(B) ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે અવલોકનકાર સ્થિર સ્ત્રોત તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે અવલોકિત આવૃત્તિ $n'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$n' = n \left( \frac{v + v_0}{v} \right)$
જ્યાં $n$ એ સ્ત્રોતની આવૃત્તિ છે,$v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે,અને $v_0$ એ અવલોકનકારની ઝડપ છે.
ટ્રેન $A$ માટે:
$5.5 = 5 \left( \frac{v + v_A}{v} \right) \implies 1.1 = 1 + \frac{v_A}{v} \implies \frac{v_A}{v} = 0.1$ ... $(i)$
ટ્રેન $B$ માટે:
$6.0 = 5 \left( \frac{v + v_B}{v} \right) \implies 1.2 = 1 + \frac{v_B}{v} \implies \frac{v_B}{v} = 0.2$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{v_B / v}{v_A / v} = \frac{0.2}{0.1} = 2$
તેથી,ટ્રેન $B$ ના વેગનો ટ્રેન $A$ ના વેગ સાથેનો ગુણોત્તર $2$ છે.

(B) વ્હિસલની રેખીય ઝડપ $v_s = r\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $r = 50 \; cm = 0.5 \; m$ અને $\omega = 20 \; rad/s$ આપેલ છે.
તેથી,$v_s = 0.5 \times 20 = 10 \; m/s.$
જ્યારે ઉદગમ અવલોકનકારથી સીધું દૂર જતું હોય ત્યારે ન્યૂનતમ આવૃત્તિ સંભળાય છે.
અવલોકિત આવૃત્તિ માટેનું સૂત્ર $n_{\min} = n \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $n_{\min} = 385 \left( \frac{340}{340 + 10} \right) = 385 \left( \frac{340}{350} \right) = 385 \times \frac{34}{35} = 11 \times 34 = 374 \; Hz.$

(A) ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે ઉદગમ સ્થિર અવલોકનકારથી દૂર જઈ રહ્યું હોય,ત્યારે અવલોકિત આવૃત્તિ $n'$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$n' = n \left( \frac{v}{v + v_S} \right)$
જ્યાં:
$n = 800 \; Hz$ (ઉદગમની આવૃત્તિ)
$v = 330 \; m/s$ (અવાજનો વેગ)
$v_S = 30 \; m/s$ (ઉદગમનો વેગ)
કિંમતો મૂકતા:
$n' = 800 \left( \frac{330}{330 + 30} \right)$
$n' = 800 \left( \frac{330}{360} \right)$
$n' = 800 \left( \frac{11}{12} \right)$
$n' = \frac{8800}{12} \approx 733.33 \; Hz$.

(A) ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે ઉદગમ $v_c$ ઝડપથી ગતિ કરતું હોય ત્યારે સ્થિર અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિ $n' = n \left( \frac{v}{v \mp v_c} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પસાર થયા પહેલા,ઉદગમ અવલોકનકારની નજીક આવે છે: $n_{Before} = n \left( \frac{v}{v - v_c} \right)$.
પસાર થયા પછી,ઉદગમ અવલોકનકારથી દૂર જાય છે: $n_{After} = n \left( \frac{v}{v + v_c} \right)$.
આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $\frac{n_{Before}}{n_{After}} = \frac{11}{9}$ આપેલ છે.
સમીકરણો મૂકતા:
$\frac{n \left( \frac{v}{v - v_c} \right)}{n \left( \frac{v}{v + v_c} \right)} = \frac{v + v_c}{v - v_c} = \frac{11}{9}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$9(v + v_c) = 11(v - v_c)$
$9v + 9v_c = 11v - 11v_c$
$20v_c = 2v$
$v_c = \frac{2v}{20} = \frac{1}{10}v$.

(C) જ્યારે ઉદગમ $v_S$ વેગથી સ્થિર અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરતું હોય ત્યારે સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ $n'$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$n' = n \left( \frac{v}{v - v_S} \right)$
અહીં આપેલ છે કે આભાસી આવૃત્તિ એ વાસ્તવિક આવૃત્તિ કરતા બમણી છે,એટલે કે $n' = 2n$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$2n = n \left( \frac{v}{v - v_S} \right)$
$2 = \frac{v}{v - v_S}$
$2(v - v_S) = v$
$2v - 2v_S = v$
$v = 2v_S$
$v_S = \frac{v}{2}$
તેથી,ઉદગમનો વેગ $\frac{v}{2}$ હોવો જોઈએ.

(D) ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે ઉદગમ અને અવલોકનકાર એકબીજા તરફ ગતિ કરતા હોય,ત્યારે અવલોકિત આવૃત્તિ $n'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$n' = n \left( \frac{v + v_o}{v - v_s} \right)$
અહીં,$n = 600 \, Hz$ એ ઉદગમની આવૃત્તિ છે,$v = 340 \, m/s$ એ અવાજની ઝડપ છે,$v_s = 20 \, m/s$ એ ઉદગમ (પ્રથમ ટ્રેન) ની ઝડપ છે,અને $v_o = 15 \, m/s$ એ અવલોકનકાર (બીજી ટ્રેન) ની ઝડપ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$n' = 600 \left( \frac{340 + 15}{340 - 20} \right)$
$n' = 600 \left( \frac{355}{320} \right)$
$n' = 600 \times 1.109375 = 665.625 \, Hz \approx 666 \, Hz$.

(A) જ્યારે ઉદગમ અને અવલોકનકાર એકબીજાની નજીક આવે ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $n'$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$n' = n \left[ \frac{v + v_O}{v - v_S} \right]$
આપેલ છે:
આભાસી આવૃત્તિ $n' = 435 \, s^{-1}$
ધ્વનિની ઝડપ $v = 332 \, m/s$
અવલોકનકારનો વેગ $v_O = 50 \, m/s$
ઉદગમનો વેગ $v_S = 50 \, m/s$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$435 = n \left[ \frac{332 + 50}{332 - 50} \right]$
$435 = n \left[ \frac{382}{282} \right]$
$435 = n \times 1.3546$
$n = \frac{435}{1.3546} \approx 321.12 \, s^{-1}$
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત લેતા,વાસ્તવિક આવૃત્તિ $320 \, s^{-1}$ મળે છે.