Progressive Waves Questions in Gujarati

(C) આપેલ સમીકરણ $y = 0.2 \cos \pi (0.04t + 0.02x - \frac{\pi}{6})$ ને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y = a \cos (\omega t + kx - \phi)$ સાથે સરખાવતા,આપણે કૌંસમાં $\pi$ નો ગુણાકાર કરીએ:
$y = 0.2 \cos (0.04\pi t + 0.02\pi x - \frac{\pi^2}{6})$.
અહીં,તરંગ સંખ્યા $k = 0.02\pi$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $k = \frac{2\pi}{\lambda}$,તેથી $0.02\pi = \frac{2\pi}{\lambda}$.
તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટે ઉકેલતા: $\lambda = \frac{2\pi}{0.02\pi} = 100 \ cm$.
કળા તફાવત $\Delta \phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ છે.
આપેલ છે કે $\Delta \phi = \frac{\pi}{2}$,તેથી $\frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{100} \Delta x$.
$\Delta x = \frac{\pi}{2} \times \frac{100}{2\pi} = 25 \ cm$.

(D) તરંગની કળા $\phi = (\omega t - kx + \phi_0)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અંતર $\Delta x$ ને કારણે કળા તફાવત $\Delta \phi_x = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ છે.
અહીં $\Delta x = 15 \ cm$ અને $\lambda = 60 \ cm$ આપેલ છે,તેથી અંતરને કારણે કળામાં ફેરફાર $\Delta \phi_x = \frac{2\pi}{60} \times 15 = \frac{\pi}{2}$ થાય.
કણ તરંગના પ્રસરણની દિશામાં આગળ હોવાથી,તેની કળા $\phi_1 = \phi_0 - \Delta \phi_x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{6}$ થશે.
સમયગાળા $\Delta t = \frac{T}{2}$ ને કારણે કળામાં ફેરફાર $\Delta \phi_t = \omega \Delta t = \frac{2\pi}{T} \times \frac{T}{2} = \pi$ થાય.
નવી કળા $\phi_{new} = \phi_1 + \Delta \phi_t = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6}$ થશે.

(C) પ્રગામી તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = a \sin(\omega t - kx)$ છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $k$ એ તરંગ સંખ્યા છે.
આપેલ સમીકરણ $y = a \sin(628t - 31.4x)$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\omega = 628 \, rad/s$
$k = 31.4 \, rad/cm$
તરંગનો વેગ $v$ એ $t$ ના સહગુણક અને $x$ ના સહગુણકનો ગુણોત્તર છે:
$v = \frac{\omega}{k} = \frac{628}{31.4} = 20 \, cm/sec$.

(B) પ્રગામી તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = a \sin (\omega t - kx + \phi)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 4 \sin \left( \frac{\pi t}{5} - \frac{\pi x}{9} + \frac{\pi}{6} \right)$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા:
કંપવિસ્તાર $a = 4$ એકમ (જો એકમ $m$ હોય તો $a = 4 \, m$).
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{\pi}{5} \, rad/s$.
તરંગ સંખ્યા $k = \frac{\pi}{9} \, rad/m$.
આવૃત્તિ $n = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{\pi/5}{2\pi} = 0.1 \, Hz$.
તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{\pi/9} = 18 \, m$.
તરંગની ઝડપ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{\pi/5}{\pi/9} = 1.8 \, m/s$.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(C) પ્રગામી તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = a \sin (\omega t - kx)$ છે.
આપેલ સમીકરણ: $y = a \sin \pi (40t - x) = a \sin (40\pi t - \pi x)$.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 40\pi$ અને તરંગ સંખ્યા $k = \pi$ મળે છે.
તરંગનો વેગ $v$ એ $v = \frac{\omega}{k}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $v = \frac{40\pi}{\pi} = 40 \, m/s$.
વૈકલ્પિક રીતે,$y = f(vt - x)$ સ્વરૂપના તરંગ સમીકરણ માટે,વેગ એ વિધેયની અંદર $t$ ના સહગુણક અને $x$ ના સહગુણકનો ગુણોત્તર છે: $v = \frac{40\pi}{\pi} = 40 \, m/s$.

(A) પ્રગામી તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin (\omega t - kx)$ છે.
આપેલ સમીકરણ: $y = 0.2 \sin \left( \frac{2\pi t}{0.01} - \frac{2\pi x}{0.3} \right)$.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{0.01} \text{ rad/s}$ અને તરંગ સંખ્યા $k = \frac{2\pi}{0.3} \text{ rad/m}$ મળે છે.
તરંગના પ્રસરણનો વેગ $v$ એ $v = \frac{\omega}{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $v = \frac{2\pi / 0.01}{2\pi / 0.3} = \frac{0.3}{0.01} = 30 \text{ m/s}$.

(D) આપેલ સમીકરણ $y = 4\sin 2\pi \left( \frac{t}{0.02} - \frac{x}{100} \right)$ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y = a\sin 2\pi \left( \frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda} \right)$ સાથે સરખાવતા:
$1$. કંપવિસ્તાર $a = 4 \ cm$.
$2$. આવર્તકાળ $T = 0.02 \ sec$,તેથી આવૃત્તિ $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0.02} = 50 \ \text{Hz}$ (અથવા $\text{cycles/sec}$).
$3$. તરંગલંબાઈ $\lambda = 100 \ cm$.
$4$. તરંગનો વેગ $v = f \lambda = 50 \times 100 = 5000 \ \text{cm/sec} = 5 \times 10^3 \ \text{cm/sec}$.
વિકલ્પ $(d)$ સાથે સરખાવતા,$50 \times 10^3 \ \text{cm/sec}$ ખોટું છે. તેથી,વિધાન $(d)$ સાચું નથી.

(B) આપેલ તરંગનું સમીકરણ $y = a \sin \pi [\frac{t}{2} - \frac{x}{4}]$ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y = a \sin (\omega t - kx)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega = \frac{\pi}{2}$ અને $k = \frac{\pi}{4}$ મળે છે.
તરંગનો વેગ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{\pi/2}{\pi/4} = 2 \ m/s$ થાય છે.
$t = 8 \ s$ સમયમાં તરંગ દ્વારા કાપવામાં આવેલું અંતર $d = v \times t$ છે.
$d = 2 \ m/s \times 8 \ s = 16 \ m$.

(B) તરંગ $A$ નું સમીકરણ $y_A = A \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આલેખ પરથી,તરંગ $B$ એ $t=0$ સમયે તેના મહત્તમ ધન મૂલ્ય પર શરૂ થાય છે,તેથી તેનું સમીકરણ $y_B = A \sin(\omega t + \pi/2)$ છે. આનો અર્થ એ છે કે તરંગ $B$ એ તરંગ $A$ કરતા $\pi/2$ ના કળા કોણથી આગળ છે.
તરંગ $C$ એ $t=0$ સમયે તેના ન્યૂનતમ મૂલ્ય પર શરૂ થાય છે,તેથી તેનું સમીકરણ $y_C = A \sin(\omega t - \pi/2)$ છે. આનો અર્થ એ છે કે તરંગ $C$ એ તરંગ $A$ કરતા $\pi/2$ ના કળા કોણથી પાછળ છે.
તરંગ $D$ એ $t=0$ સમયે ઋણ ઢાળ સાથે શરૂ થાય છે,જે $A$ ની સાપેક્ષમાં $\pi$ નું કળા સ્થાનાંતર દર્શાવે છે,તેથી $y_D = A \sin(\omega t - \pi)$.
આમ,તરંગ $C$ એ $\pi/2$ ના કળા કોણથી પાછળ છે અને તરંગ $B$ એ $\pi/2$ ના કળા કોણથી આગળ છે.

(D) દોરી પરના કોઈ બિંદુનો કણ વેગ $v_p$ એ સંબંધ $v_p = -v \times (\text{તે બિંદુએ આલેખનો ઢાળ})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $v$ એ તરંગની ઝડપ છે.
તરંગ ડાબેથી જમણે ગતિ કરી રહ્યું હોવાથી, ઢાળ કણની ગતિની દિશા નક્કી કરે છે.
બિંદુ $1$ પર: વક્રનો ઢાળ ધન છે। તેથી, $v_p = -v \times (\text{ધન}) = \text{ઋણ}$, જેનો અર્થ છે કે વેગ નીચેની તરફ $(\downarrow)$ છે.
બિંદુ $2$ પર: વક્રનો ઢાળ ઋણ છે। તેથી, $v_p = -v \times (\text{ઋણ}) = \text{ધન}$, જેનો અર્થ છે કે વેગ ઉપરની તરફ $(\uparrow)$ છે.
બિંદુ $3$ પર: વક્રનો ઢાળ ફરીથી ધન છે। તેથી, $v_p = -v \times (\text{ધન}) = \text{ઋણ}$, જેનો અર્થ છે કે વેગ નીચેની તરફ $(\downarrow)$ છે.
આમ, દિશાઓ અનુક્રમે $\downarrow, \uparrow, \downarrow$ છે।

(A) પ્રગામી તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin(\omega t + kx + \phi)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 0.5 \sin(10t + x)$ ને પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 10 \text{ rad/s}$.
તરંગ સંખ્યા $k = 1 \text{ rad/m}$.
તરંગનો વેગ $v$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $v = \frac{\omega}{k}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$v = \frac{10}{1} = 10 \text{ m/s}$.

(C) પ્રગામી તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $x = A \sin(\omega t + ky)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $x = 1.2 \sin(314t + 12.56y)$ ને પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને તરંગ સંખ્યા $k = 12.56 \, \text{rad/m}$ મળે છે.
તરંગલંબાઈ $\lambda$ શોધવાનું સૂત્ર $\lambda = \frac{2\pi}{k}$ છે.
$k$ અને $\pi \approx 3.14$ ની કિંમત મૂકતા:
$\lambda = \frac{2 \times 3.14}{12.56} = \frac{6.28}{12.56} = 0.5 \, \text{m}$.
સાઇન વિધેયની અંદરનું પદ $(314t + 12.56y)$ હોવાથી,$t$ અને $y$ પદો વચ્ચે ધન ચિહ્ન સૂચવે છે કે તરંગ $y$-અક્ષની ઋણ દિશામાં ગતિ કરી રહ્યું છે.
તેથી,તરંગ $-ve \, y$-દિશામાં ગતિ કરે છે.

(D) આપેલ તરંગનું સમીકરણ $y = 4 \sin \frac{\pi}{2} (8t - \frac{x}{8})$ છે.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા,$y = 4 \sin (4\pi t - \frac{\pi x}{16})$ મળે છે.
આને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y = A \sin (\omega t - kx)$ સાથે સરખાવતા,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 4\pi \, rad/s$ અને તરંગ સંખ્યા $k = \frac{\pi}{16} \, rad/cm$ મળે છે.
તરંગનો વેગ $v$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $v = \frac{\omega}{k}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$v = \frac{4\pi}{\pi/16} = 4\pi \times \frac{16}{\pi} = 64 \, cm/s$.
અહીં $t$ અને $x$ પદો વચ્ચે ઋણ નિશાની હોવાથી,તરંગ ધન $x$ દિશામાં ગતિ કરે છે.

(C) તરંગનું સમીકરણ $y = 2 \sin(2\pi x - 100\pi t + \pi/3)$ છે.
કણ સરેરાશ સ્થાન પર હોય ત્યારે સ્થાનાંતર $y = 0$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$2 \sin(2\pi x - 100\pi t + \pi/3) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે સાઈન વિધેયનો ખૂણો $\pi$ નો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોવો જોઈએ,એટલે કે $2\pi x - 100\pi t + \pi/3 = n\pi$,જ્યાં $n$ એક પૂર્ણાંક છે.
$x = 4 \text{ m}$ આપેલ હોવાથી,આપણે તેને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2\pi(4) - 100\pi t + \pi/3 = n\pi$
$8\pi - 100\pi t + \pi/3 = n\pi$
$100\pi t = 8\pi + \pi/3 - n\pi = \frac{25\pi}{3} - n\pi$.
પ્રથમ સમય $t > 0$ શોધવા માટે,આપણે $n$ એવી રીતે પસંદ કરીએ કે જેથી $t$ ધન અને ન્યૂનતમ મળે. $n = 8$ લેતા:
$100\pi t = \frac{25\pi}{3} - 8\pi = \frac{\pi}{3}$.
$t = \frac{\pi/3}{100\pi} = \frac{1}{300} \text{ s}$.

(B) $1$. આપાત તરંગ ધન $x$-દિશામાં ગતિ કરે છે,તેથી પરાવર્તિત તરંગ ઋણ $x$-દિશામાં ગતિ કરશે. આનાથી સાઈન વિધેયની અંદરના $x$ પદની નિશાની $-x/2$ થી બદલાઈને $+x/2$ થશે.
$2$. જ્યારે તરંગ ઘટ્ટ માધ્યમ પરથી પરાવર્તિત થાય છે,ત્યારે તેમાં $\pi$ રેડિયન $(180^{\circ})$ નો કળા તફાવત ઉદ્ભવે છે,જે કંપવિસ્તારમાં ઋણ નિશાની ઉમેરે છે.
$3$. નવો કંપવિસ્તાર આપાત કંપવિસ્તારના $2/3$ ગણો છે: $A' = (2/3) \times 0.6 = 0.4$.
$4$. આ બધું ભેગું કરતા,પરાવર્તિત તરંગનું સમીકરણ $y = -0.4 \sin 2\pi (t + x/2)$ મળે છે.

(A) સમતલ પ્રગામી યાંત્રિક તરંગમાં,માધ્યમના કણો સમાન કંપવિસ્તાર સાથે $S.H.M.$ કરે છે,પરંતુ તેમના સ્થાનના આધારે તેમની કળા અલગ-અલગ હોય છે.
વિધાન $A$ ખોટું છે કારણ કે તરંગ પ્રસરણની દિશામાં અલગ-અલગ સ્થાને રહેલા કણો અલગ-અલગ કળામાં દોલન કરે છે.
વિધાન $B$,$C$,અને $D$ એ સમતલ પ્રગામી તરંગના પ્રમાણભૂત ગુણધર્મો છે અને તેથી તે સાચા છે.

(B) આપાત તરંગ ધન $x$-દિશામાં ગતિ કરે છે,જેનું સમીકરણ $y = 0.6 \sin 2\pi (t - x/2)$ છે.
ઘટ્ટ માધ્યમ પરથી પરાવર્તન થવાને કારણે,તરંગ વિરુદ્ધ દિશામાં (ઋણ $x$-દિશામાં) ગતિ કરશે,તેથી $(t - x/2)$ પદ $(t + x/2)$ માં બદલાશે.
વધુમાં,ઘટ્ટ માધ્યમ પરથી પરાવર્તન થતી વખતે $\pi$ $(180^{\circ})$ નો કળા તફાવત ઉદભવે છે,જે ઋણ નિશાની દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
નવો કંપવિસ્તાર $A' = \frac{2}{3} \times 0.6 = 0.4$ છે.
આથી,પરાવર્તિત તરંગનું સમીકરણ $y = -0.4 \sin 2\pi (t + x/2)$ થશે.

(D) કણનો વેગ $v_p$ એ સંબંધ $v_p = -v \times (\text{તે બિંદુએ આલેખનો ઢાળ})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $v$ એ તરંગનો વેગ છે.
તરંગ ડાબેથી જમણે ગતિ કરતું હોવાથી, $v$ ધન છે.
બિંદુ $1$ પર: વક્રનો ઢાળ ધન છે. તેથી, કણનો વેગ $v_p = -v \times (\text{ધન ઢાળ})$ ઋણ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે દિશા નીચેની તરફ $(\downarrow)$ છે.
બિંદુ $2$ પર: વક્રનો ઢાળ ઋણ છે. તેથી, કણનો વેગ $v_p = -v \times (\text{ઋણ ઢાળ})$ ધન મળે છે, જેનો અર્થ છે કે દિશા ઉપરની તરફ $(\uparrow)$ છે.
બિંદુ $3$ પર: વક્રનો ઢાળ ધન છે. તેથી, કણનો વેગ $v_p = -v \times (\text{ધન ઢાળ})$ ઋણ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે દિશા નીચેની તરફ $(\downarrow)$ છે.
આમ, સાચી દિશાઓ $1 - \downarrow, 2 - \uparrow, 3 - \downarrow$ છે.

(B) આપેલી આકૃતિ પરથી,આપણે તરંગો વચ્ચેનો કળા સંબંધ જોઈ શકીએ છીએ.
તરંગ $A$ ને $y = a \sin(\omega t)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
તરંગ $B$ એ $t=0$ સમયે ઋણ ઢાળ સાથે શરૂ થાય છે અને $t=0$ સમયે તેની સરેરાશ સ્થિતિ પ્રાપ્ત કરે છે,જે $A$ ના સંદર્ભમાં $+\pi/2$ નો કળા તફાવત દર્શાવે છે (કારણ કે તે ઋણ સાઈન તરંગ છે,$y_B = a \sin(\omega t + \pi/2) = a \cos(\omega t)$).
તરંગ $C$ એ $t = \pi/2\omega$ સમયે તેની સરેરાશ સ્થિતિ પ્રાપ્ત કરે છે,જે તરંગ $A$ કરતા $\pi/2$ જેટલું મોડું છે. આમ,તરંગ $C$ એ તરંગ $A$ કરતા $\pi/2$ ના કળા કોણથી પાછળ છે $(y_C = a \sin(\omega t - \pi/2))$.
તેથી,તરંગ $C$ એ $\pi/2$ ના કળા કોણથી પાછળ છે અને તરંગ $B$ એ $\pi/2$ ના કળા કોણથી આગળ છે.

(A) સમતલ પ્રગામી યાંત્રિક તરંગમાં,માધ્યમના કણો સમાન કંપવિસ્તાર અને આવૃત્તિ સાથે $SHM$ કરે છે,પરંતુ તેઓ તેમના સ્થાનના આધારે અલગ-અલગ કળામાં દોલન કરે છે. તરંગનો વેગ માધ્યમના ગુણધર્મો (જેમ કે સ્થિતિસ્થાપકતા અને ઘનતા) દ્વારા નક્કી થાય છે. તેથી,'બધા કણો સમાન કળામાં દોલન કરે છે' તે વિધાન ખોટું છે,કારણ કે કળા સમીકરણ $\phi = kx - \omega t$ મુજબ સ્થાન $x$ સાથે બદલાય છે.

(C) પ્રગામી તરંગને $f(x \pm vt)$ સ્વરૂપના વિધેય દ્વારા અથવા $k x \pm \omega t$ સ્વરૂપના હાર્મોનિક પદોના રેખીય સંયોજન દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
વિકલ્પ $A$ સ્થિત તરંગ દર્શાવે છે કારણ કે તેમાં અવકાશી અને સમયના ભાગો અલગ પડે છે.
વિકલ્પ $B$ એ માન્ય તરંગ વિધેય નથી કારણ કે તે તરંગ સમીકરણ $\frac{\partial^2 y}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 y}{\partial t^2}$ નું પાલન કરતું નથી.
વિકલ્પ $C$ ને $y = R \sin(5x - 0.5t + \phi)$ તરીકે લખી શકાય છે,જે પ્રગામી તરંગનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ છે.
વિકલ્પ $D$ એ બે સ્થિત તરંગોનું સંપાતીકરણ દર્શાવે છે.
તેથી,માત્ર વિકલ્પ $C$ પ્રગામી તરંગ દર્શાવે છે.

(B) પ્રગામી તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin (\omega t - kx)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 0.02 \sin \left( \frac{2\pi t}{0.01} - \frac{2\pi x}{0.30} \right)$ છે.
બંનેની સરખામણી કરતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{0.01} \text{ rad/s}$ અને તરંગ સંખ્યા $k = \frac{2\pi}{0.30} \text{ rad/m}$ મળે છે.
તરંગના પ્રસરણનો વેગ $v$ એ $v = \frac{\omega}{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $v = \frac{2\pi / 0.01}{2\pi / 0.30} = \frac{0.30}{0.01} = 30 \text{ m/s}$.

(A) પ્રગામી તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y(x, t) = a \sin (\omega t + kx + \phi)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y(x, t) = 3.0 \sin (36t + 0.018x + \pi/4)$ સાથે સરખાવતા:
$(a)$ આ સમીકરણ $f(ax + bt)$ સ્વરૂપનું હોવાથી તે પ્રગામી તરંગ દર્શાવે છે. $t$ અને $x$ વચ્ચે ધન ચિહ્ન હોવાથી,તે જમણેથી ડાબી તરફ (ઋણ $x$-દિશામાં) પ્રસરણ પામે છે. ઝડપ $v = \omega/k = 36 / 0.018 = 2000 \, cm/s = 20 \, m/s$ છે.
$(b)$ કંપવિસ્તાર $a = 3.0 \, cm$. આવૃત્તિ $\nu = \omega / (2\pi) = 36 / (2 \times 3.1416) \approx 5.73 \, Hz$.
$(c)$ ઉગમબિંદુ $(x=0, t=0)$ પર પ્રારંભિક કળા $\phi = \pi/4 \, rad$ છે.
$(d)$ બે ક્રમિક શૃંગો વચ્ચેનું અંતર એટલે તરંગલંબાઈ $\lambda = 2\pi / k = 2 \times 3.1416 / 0.018 \approx 349 \, cm = 3.49 \, m$ છે.

(N/A) $1$. પ્રગામી તરંગ: જે તરંગ માધ્યમમાં કોઈ પણ પ્રકારના ફેરફાર વગર ચોક્કસ દિશામાં સતત આગળ વધે છે,તેને પ્રગામી તરંગ કહેવામાં આવે છે.
$2$. તરંગ સમીકરણ: જે ગાણિતિક સમીકરણ માધ્યમના કણોના સ્થાનાંતરને સ્થાન $(x)$ અને સમય $(t)$ ના વિધેય તરીકે દર્શાવે છે,તેને તરંગ સમીકરણ કહે છે.
$3$. પ્રગામી હાર્મોનિક લંબગત તરંગ માટેનું સમીકરણ: સ્થાન $x$ અને સમય $t$ પર કણનું સ્થાનાંતર $y$ નીચે મુજબ છે: $y(x, t) = A \sin(kx - \omega t + \phi)$,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે,$k = \frac{2\pi}{\lambda}$ એ કોણીય તરંગ સંખ્યા છે,$\omega = 2\pi f$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $\phi$ એ પ્રારંભિક કળા અચળાંક છે.
$4$. આલેખ દ્વારા સમજૂતી:
- $y-x$ આલેખ (અચળ $t$ માટે): તે કોઈ ચોક્કસ સમયે તરંગની સ્થિતિ દર્શાવે છે,જે સ્થાનાંતરનો અવકાશી ફેરફાર બતાવે છે.
- $y-t$ આલેખ (અચળ $x$ માટે): તે કોઈ ચોક્કસ સ્થાન પર રહેલા એક કણનું સમય સાથેનું દોલન દર્શાવે છે.

(B) પ્રગતિશીલ તરંગ (અથવા ટ્રાવેલિંગ વેવ) એ એવું તરંગ છે જે માધ્યમમાં તેના આકારમાં ફેરફાર કર્યા વિના સતત ગતિ કરે છે.
તે માધ્યમમાં એક બિંદુથી બીજા બિંદુ સુધી ઉર્જા અને વેગમાનના સતત સ્થાનાંતરણ દ્વારા લાક્ષણિકતા ધરાવે છે.
ઉદાહરણોમાં ધ્વનિ તરંગો,પાણીના તરંગો અને પ્રકાશના તરંગોનો સમાવેશ થાય છે.
પ્રગતિશીલ તરંગમાં,માધ્યમનો દરેક કણ તેના સરેરાશ સ્થાનની આસપાસ સમાન કંપવિસ્તાર અને આવૃત્તિ સાથે સરળ આવર્ત ગતિ કરે છે,પરંતુ તેના પાડોશી કણોની સાપેક્ષમાં કળા તફાવત (phase difference) ધરાવે છે.

(N/A) તરંગની ઝડપ: એકમ સમયમાં તરંગ દ્વારા કપાયેલા અંતરને તરંગની ઝડપ કહે છે. તેનો $SI$ એકમ $m/s$ છે.
પ્રગામી તરંગની ઝડપ શોધવા માટે,આપણે તરંગ પરના કોઈ બિંદુ (દા.ત. શૃંગ) ની ગતિને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,તરંગ પરનું બિંદુ તરંગની ભાત (pattern) ની સાપેક્ષે તેનું સ્થાનાંતર જાળવી રાખે છે.
જો તરંગ $\Delta t$ સમયમાં $\Delta x$ જેટલું સ્થાનાંતર કરે,તો તરંગની ઝડપ:
$v = \frac{\Delta x}{\Delta t}$
પ્રગામી તરંગ માટે $y(x, t) = A \sin(kx - \omega t + \phi)$,તરંગની ભાત પરના ચોક્કસ બિંદુ માટે કળા (phase) અચળ રહે છે:
$kx - \omega t = \text{અચળ}$
જેમ તરંગ આગળ વધે છે,તેમ બિંદુને તે જ કળા જાળવી રાખવા માટે $(t + \Delta t)$ સમયે તેનું સ્થાન $(x + \Delta x)$ થવું જોઈએ:
$k(x + \Delta x) - \omega(t + \Delta t) = kx - \omega t$
$kx + k\Delta x - \omega t - \omega\Delta t = kx - \omega t$
$k\Delta x = \omega\Delta t$
$\frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{\omega}{k}$
આમ,$v = \frac{\Delta x}{\Delta t}$ હોવાથી,$v = \frac{\omega}{k}$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega = \frac{2\pi}{T}$ અને $k = \frac{2\pi}{\lambda}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$v = \frac{(2\pi / T)}{(2\pi / \lambda)} = \frac{\lambda}{T}$.

(A) તરંગની ઝડપ $(v)$ એ તેની તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ અને આવૃત્તિ $(\nu)$ ના ગુણાકાર જેટલી હોય છે: $v = \nu \lambda$.
$t$ સમયમાં તરંગ દ્વારા કપાયેલું અંતર નીચે મુજબ મળે છે: $\text{અંતર} = \text{ઝડપ} \times \text{સમય}$.
ઝડપની કિંમત મૂકતા: $\text{અંતર} = (\nu \lambda) \times t = \lambda \nu t$.

(B) પ્રગામી તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin (kx - \omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 5 \sin (0.01x - 2t)$ ને પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણે તરંગ સંખ્યા $k$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ મેળવીએ છીએ:
$k = 0.01 \ rad/cm$
$\omega = 2 \ rad/s$
તરંગની પ્રસરણ ઝડપ $v$ એ કોણીય આવૃત્તિ અને તરંગ સંખ્યાના ગુણોત્તર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$v = \frac{\omega}{k}$
કિંમતો મૂકતા:
$v = \frac{2}{0.01} = 200 \ cm/s$
આમ,પ્રસરણની ઝડપ $200 \ cm/s$ છે.

(N/A) આપેલ સમીકરણ $y = 5 \sin(100\pi t + 0.4\pi x)$ ને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y = a \sin(\omega t + kx + \phi)$ સાથે સરખાવતા:
$(a)$ કંપવિસ્તાર $a = 5 \ m$.
$(b)$ તરંગ સંખ્યા $k = 0.4\pi$. કારણ કે $k = \frac{2\pi}{\lambda}$,તેથી $0.4\pi = \frac{2\pi}{\lambda} \Rightarrow \lambda = \frac{2}{0.4} = 5 \ m$.
$(c)$ કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 100\pi$. કારણ કે $\omega = 2\pi f$,તેથી $100\pi = 2\pi f \Rightarrow f = 50 \ Hz$.
$(d)$ તરંગનો વેગ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{100\pi}{0.4\pi} = 250 \ m/s$.
$(e)$ કણના વેગનો કંપવિસ્તાર $v_{\max} = a\omega = 5 \times 100\pi = 500\pi \ m/s$.

(B) ધન $x$-દિશામાં ગતિ કરતા સમતલ પ્રગામી તરંગને ગાણિતિક રીતે $y = A \sin(\omega t - kx)$ સમીકરણ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
અહીં,$A$ એ કંપવિસ્તાર છે,$\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે,$t$ એ સમય છે,$k$ એ તરંગ સંખ્યા છે અને $x$ એ સ્થાન છે.
$\omega t$ અને $kx$ વચ્ચેનું ઋણ ચિહ્ન ધન $x$-દિશામાં પ્રસરણ સૂચવે છે,જ્યારે ધન ચિહ્ન ઋણ $x$-દિશામાં પ્રસરણ સૂચવે છે.

(C) આપેલ તરંગનું સમીકરણ $y = A \cos 240(t - x/12)$ છે.
આને વિસ્તૃત કરતા,આપણને $y = A \cos(240t - 240x/12) = A \cos(240t - 20x)$ મળે છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y = A \cos(\omega t - kx)$ સાથે સરખાવતા,આપણે તરંગ સંખ્યા $k = 20 \, rad/m$ મેળવીએ છીએ.
$\Delta x$ જેટલા અંતરે રહેલા બે બિંદુઓ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\Delta \phi$ એ સૂત્ર $\Delta \phi = k \cdot \Delta x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\Delta x = 0.5 \, m$ અને $k = 20 \, rad/m$ આપેલ છે,તેથી:
$\Delta \phi = 20 \times 0.5 = 10 \, rad$.
આમ,કળા તફાવત $10 \, rad$ છે.

(D) બે બિંદુઓ કંપનની સમાન સ્થિતિમાં (સમાન કળામાં) ત્યારે હોય છે જ્યારે તેમનું સ્થાનાંતર સમાન હોય અને તેઓ સમાન દિશામાં ગતિ કરતા હોય. આ સ્થિતિ ત્યારે સર્જાય છે જ્યારે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર તરંગલંબાઈ $\lambda$ ના પૂર્ણાંક ગુણાંકમાં હોય.
આકૃતિ જોતા,બિંદુ $B$ એ પ્રથમ શૃંગના નીચે તરફના ઢાળ પર છે. બિંદુ $E$ એ ત્રીજા શૃંગના નીચે તરફના ઢાળ પર છે.
$B$ અને $E$ વચ્ચેનું અંતર બરાબર એક સંપૂર્ણ તરંગલંબાઈ $\lambda$ જેટલું છે.
તેથી,બિંદુ $B$ અને $E$ સમાન કળામાં છે.

(B) પ્રગામી તરંગનું સામાન્ય સમીકરણ $Y = a \sin (\omega t - kx)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $Y = a \sin (2 \pi n t - \frac{2 \pi x}{5})$ સાથે સરખાવતા:
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi n$.
તરંગ સંખ્યા $k = \frac{2 \pi}{5}$.
તરંગ વેગ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{2 \pi n}{2 \pi / 5} = 5n$.
કણનો વેગ $v_p = \frac{dY}{dt} = a \omega \cos (\omega t - kx)$.
મહત્તમ કણ વેગ $v_m = a \omega = a (2 \pi n) = 2 \pi n a$.
મહત્તમ કણ વેગ અને તરંગ વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_m}{v} = \frac{2 \pi n a}{5n} = \frac{2 \pi a}{5}$ થાય.

(C) કળા તફાવત $\Delta \phi$ અને સમયગાળા $\Delta t$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\Delta \phi = \omega \Delta t = (2\pi f) \Delta t$
આપેલ આવૃત્તિ $f = 50 \,Hz$ અને સમયગાળો $\Delta t = 0.01 \,s$ છે।
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta \phi = 2 \times \pi \times 50 \times 0.01$
$\Delta \phi = 100 \pi \times 0.01$
$\Delta \phi = \pi \,rad$.

(C) આપેલ પ્રગામી તરંગનું સમીકરણ $y = 12 \sin(5t - 4x)$ છે.
આને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y = A \sin(\omega t - kx)$ સાથે સરખાવતા,આપણને તરંગ સંખ્યા $k = 4 \ rad/cm$ મળે છે.
$\Delta x$ અંતરે રહેલા બે બિંદુઓ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\Delta \phi$ એ સંબંધ $\Delta \phi = k \cdot \Delta x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં આપણને કળા તફાવત $\Delta \phi = 90^{\circ} = \frac{\pi}{2} \ rad$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{\pi}{2} = 4 \cdot \Delta x$.
તેથી,$\Delta x = \frac{\pi}{2 \times 4} = \frac{\pi}{8} \ cm$.

(B) આપેલ છે:
આવૃત્તિ $f = 400 \ Hz$
વેગ $v = 336 \ m/s$
કળા તફાવત $\Delta \phi = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3} \text{ રેડિયન}$.
સૌ પ્રથમ,$v = f \lambda$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તરંગલંબાઇ $\lambda$ શોધો:
$\lambda = \frac{v}{f} = \frac{336}{400} = 0.84 \ m$.
કળા તફાવત $\Delta \phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$.
$\Delta x$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$\Delta x = \frac{\Delta \phi \cdot \lambda}{2\pi}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta x = \frac{(\pi/3) \cdot 0.84}{2\pi} = \frac{0.84}{6} = 0.14 \ m$.
તેથી,બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $0.14 \ m$ છે.

(A) પ્રગામી તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $Y = A \sin \left( \omega t - kx + \phi \right)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $Y = 3 \sin \left[ \pi \left( \frac{t}{3} - \frac{x}{5} \right) + \frac{\pi}{4} \right]$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા:
$Y = 3 \sin \left( \frac{\pi t}{3} - \frac{\pi x}{5} + \frac{\pi}{4} \right)$.
અહીં,કંપવિસ્તાર $A = 3 \ m$ (કારણ કે $x$ અને $y$ મીટરમાં છે).
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{\pi}{3} \ rad/s$.
તરંગ સંખ્યા $k = \frac{\pi}{5} \ rad/m$.
$1$. તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{\pi/5} = 10 \ m$.
$2$. વેગ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{\pi/3}{\pi/5} = \frac{5}{3} \approx 1.67 \ m/s$.
$3$. આવૃત્તિ $f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{\pi/3}{2\pi} = \frac{1}{6} \approx 0.167 \ Hz$.
આ પરિણામોને વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) આપેલ પ્રગામી તરંગનું સમીકરણ $y = 12 \sin (5t - 4x)$ છે.
પ્રગામી તરંગનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $y = A \sin (\omega t - kx)$ છે,જ્યાં $k = \frac{2\pi}{\lambda}$.
આપેલ સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને તરંગ સંખ્યા $k = 4$ મળે છે.
કળા તફાવત $(\Delta \phi)$ અને પથ તફાવત $(\Delta x)$ વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta \phi = k \cdot \Delta x$ છે.
અહીં કળા તફાવત $\Delta \phi = 90^{\circ} = \frac{\pi}{2}$ રેડિયન આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\pi}{2} = 4 \cdot \Delta x$.
તેથી,$\Delta x = \frac{\pi}{2 \cdot 4} = \frac{\pi}{8}$.

(C) સાદું આવર્ત પ્રગામી તરંગ એવું તરંગ છે જે માધ્યમના કણોના કાયમી સ્થાનાંતર વગર માધ્યમમાં આગળ વધે છે.
ગાણિતિક રીતે,પ્રગામી તરંગને $y = f(vt \pm x)$ અથવા $y = a \sin(\omega t \pm kx + \phi)$ સ્વરૂપમાં દર્શાવવામાં આવે છે.
આ સમીકરણમાં,$y$ એ સ્થાનાંતર છે,$a$ એ કંપવિસ્તાર છે,$\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે,$t$ એ સમય છે,$k$ એ તરંગ સંખ્યા છે અને $x$ એ સ્થાન છે.
વિકલ્પ $A$ એ નિશ્ચિત સ્થાને સાદી આવર્ત ગતિ દર્શાવે છે.
વિકલ્પ $B$ એ સ્થિત તરંગ દર્શાવે છે.
વિકલ્પ $C$ એ સાદા આવર્ત પ્રગામી તરંગનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે કારણ કે તેમાં કળાના પદમાં સ્થાન $(x)$ અને સમય $(t)$ બંને ચલનો સમાવેશ થાય છે.
વિકલ્પ $D$ એ માત્ર અવકાશી ફેરફાર દર્શાવે છે.

(B) આપેલ પ્રગામી તરંગનું સમીકરણ $y=3 \sin \pi\left(\frac{t}{2}-\frac{x}{4}\right)$ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y=A \sin 2\pi \left(\frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda}\right)$ સાથે સરખાવતા,આપણે તેને $y=3 \sin 2\pi \left(\frac{t}{4}-\frac{x}{8}\right)$ તરીકે લખી શકીએ.
આના પરથી,આપણે આવર્તકાળ $T=4 \,s$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda=8 \,m$ મેળવીએ છીએ.
તરંગનો વેગ $v = \frac{\lambda}{T} = \frac{8}{4} = 2 \,m/s$ થાય.
$t=5 \,s$ સમયમાં તરંગ દ્વારા કાપેલું અંતર $s = v \times t = 2 \times 5 = 10 \,m$ મળે છે.

(B) પ્રગામી તરંગને $y = f(ax \pm bt)$ સ્વરૂપના વિધેય દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
વિકલ્પ $(A)$ સ્થિત તરંગ (standing wave) દર્શાવે છે કારણ કે તે અવકાશી અને સમયના વિધેયોનો ગુણાકાર છે.
વિકલ્પ $(B)$ એ આવર્ત વિધેય નથી.
વિકલ્પ $(C)$ ને $A \sin \theta + B \cos \theta = R \sin(\theta + \phi)$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીને ફરીથી લખી શકાય છે,જ્યાં $R = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$. આમ,$y = 5 \sin(5x - 0.5t + \phi)$,જે એક પ્રમાણિત પ્રગામી તરંગનું સમીકરણ છે.
વિકલ્પ $(D)$ એ બે અલગ-અલગ આવૃત્તિઓ અને તરંગ સંખ્યાઓ ધરાવતા બે તરંગોનું સંપાતીકરણ છે,તે એકલ પ્રગામી તરંગ નથી.
તેથી,માત્ર $(C)$ એક પ્રગામી તરંગ દર્શાવે છે.

(C) પ્રગામી તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $x = A \cos(\omega t - ky)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $x = 0.4 \cos \left(8t - \frac{y}{2}\right)$ ને પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 8 \ rad \cdot s^{-1}$
તરંગ સંખ્યા $k = \frac{1}{2} \ m^{-1}$
તરંગની ઝડપ $v$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $v = \frac{\omega}{k}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$v = \frac{8}{1/2} = 8 \times 2 = 16 \ m \cdot s^{-1}$.
તેથી,તરંગની ઝડપ $16 \ m \cdot s^{-1}$ છે.

(C) આપેલ છે: આવૃત્તિ $f = 500 \,Hz$, વેગ $v = 360 \,ms^{-1}$, કળા તફાવત $\Delta\phi = 60^{\circ}$.
સૌ પ્રથમ, $\lambda = \frac{v}{f}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તરંગલંબાઈ $\lambda$ શોધો.
$\lambda = \frac{360}{500} = 0.72 \,m$.
પથ તફાવત $\Delta x$ અને કળા તફાવત $\Delta\phi$ વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ છે.
$60^{\circ}$ ને રેડિયનમાં ફેરવતા: $60^{\circ} = \frac{\pi}{3} \,rad$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$.
$\Delta x = \frac{\lambda}{6} = \frac{0.72}{6} = 0.12 \,m$.
તેથી, બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $0.12 \,m$ છે.

(A) ધન $x$-દિશામાં ગતિ કરતા તરંગનું સામાન્ય સમીકરણ $y = A \sin(\omega t - kx + \phi)$ છે.
$t=0$ સમયે,સમીકરણ $y = 3 \sin(-2\pi x / 3)$ છે,જે સૂચવે છે કે $k = 2\pi / 3$.
તરંગનો વેગ $v = 4 \ m/s$ આપેલ છે,તેથી $v = \omega / k$ સંબંધનો ઉપયોગ કરતા:
$\omega = v \cdot k = 4 \times (2\pi / 3) = 8\pi / 3$.
આમ,સામાન્ય તરંગ સમીકરણ $y = 3 \sin \left(\frac{8\pi}{3}t - \frac{2\pi}{3}x\right)$ થશે.
$t=4 \ s$ સમયે,$t$ ની કિંમત મૂકતા:
$y = 3 \sin \left(\frac{8\pi}{3}(4) - \frac{2\pi}{3}x\right)$
$y = 3 \sin \left(\frac{32\pi}{3} - \frac{2\pi}{3}x\right)$
$2\pi$ સામાન્ય લેતા:
$y = 3 \sin 2\pi \left(\frac{16}{3} - \frac{x}{3}\right) = 3 \sin 2\pi \left(-\frac{x-16}{3}\right)$.

(A) આપેલ તરંગનું સમીકરણ $y = A \sin \left[ \frac{2 \pi}{\lambda} (vt - x) \right]$ છે.
આને પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin (\omega t - kx)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega = \frac{2 \pi v}{\lambda}$ અને $k = \frac{2 \pi}{\lambda}$ મળે છે.
કણનો વેગ $v_p = \frac{\partial y}{\partial t} = A \omega \cos \left[ \frac{2 \pi}{\lambda} (vt - x) \right]$ થાય.
કણનો મહત્તમ વેગ $(v_p)_{\max} = A \omega = A \left( \frac{2 \pi v}{\lambda} \right)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$(v_p)_{\max} = 3v$ છે.
તેથી,$A \left( \frac{2 \pi v}{\lambda} \right) = 3v$.
બંને બાજુથી $v$ ને દૂર કરતા,$\frac{2 \pi A}{\lambda} = 3$ મળે.
$\lambda$ માટે ઉકેલતા,$\lambda = \frac{2 \pi A}{3}$ મળે છે.

(D) સમતલ પ્રગામી તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \cos(\omega t - kx)$ છે.
આપેલ સમીકરણ: $y = 5 \cos(200\pi t - \frac{\pi x}{150})$.
આપેલ સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 200\pi \text{ rad/s}$ અને તરંગ સંખ્યા $k = \frac{\pi}{150} \text{ rad/cm}$ મળે છે.
તરંગનો વેગ $v$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $v = \frac{\omega}{k}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $v = \frac{200\pi}{\pi/150} = 200 \times 150 = 30000 \text{ cm/s}$.
વેગને m/s માં ફેરવવા માટે,આપણે $100$ વડે ભાગાકાર કરીશું: $v = \frac{30000}{100} = 300 \text{ m/s}$.