Wave Equation and Characteristics of Waves Questions in Gujarati

(C) આપેલ છે: વેગ $v = 330 \,m/s$, પથ તફાવત $\Delta x = 40 \,cm = 0.4 \,m$, અને કળા તફાવત $\Delta \phi = 1.6 \pi$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કળા તફાવત અને પથ તફાવત વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \Delta x$ છે.
અહીં $\lambda = \frac{v}{f}$ મૂકતા, $\Delta \phi = \frac{2 \pi f}{v} \Delta x$ મળે.
આવૃત્તિ $f$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $f = \frac{\Delta \phi \cdot v}{2 \pi \cdot \Delta x}$.
કિંમતો મૂકતા: $f = \frac{1.6 \pi \cdot 330}{2 \pi \cdot 0.4}$.
$f = \frac{1.6 \cdot 330}{0.8} = 2 \cdot 330 = 660 \,Hz$.

(A) આપેલ છે: કળા તફાવત $\phi = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3} \text{ રેડિયન}$.
પથ તફાવત $x = 0.6 \text{ m}$.
આવૃત્તિ $n = 500 \text{ Hz}$.
પથ તફાવત $(x)$ અને કળા તફાવત $(\phi)$ વચ્ચેનો સંબંધ $x = \frac{\lambda}{2\pi} \times \phi$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $0.6 = \frac{\lambda}{2\pi} \times \frac{\pi}{3}$.
$0.6 = \frac{\lambda}{6} \implies \lambda = 3.6 \text{ m}$.
તરંગનો વેગ $v = n \lambda$ છે.
$v = 500 \times 3.6 = 1800 \text{ m/s}$.
$\text{km/s}$ માં ફેરવતા: $v = 1.8 \text{ km/s}$.

(B) સરળ આવર્ત પ્રગામી તરંગનું સામાન્ય સમીકરણ $y=A \sin 2 \pi \left( \frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda} \right)$ છે.
આપેલ સમીકરણ: $y=a \sin 2 \pi(b t-c x)$.
બંનેની સરખામણી કરતા,કંપવિસ્તાર $A=a$,આવૃત્તિ $n = \frac{1}{T} = b$,અને તરંગ સંખ્યા $\frac{1}{\lambda} = c$ મળે છે.
મહત્તમ કણ વેગ $(v_p)_{\max} = A \omega = A(2 \pi n) = a(2 \pi b) = 2 \pi ab$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તરંગ વેગ $v = n \lambda = \frac{n}{1/\lambda} = \frac{b}{c}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$(v_p)_{\max} = \frac{1}{2} v$.
કિંમતો મૂકતા: $2 \pi ab = \frac{1}{2} \left( \frac{b}{c} \right)$.
બંને બાજુથી $b$ દૂર કરતા: $2 \pi a = \frac{1}{2c}$.
$c$ માટે ઉકેલતા: $c = \frac{1}{4 \pi a}$.

(D) પ્રગામી તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $Y = A \sin(\omega t - kx + \phi)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $Y = 6 \sin(12 \pi t - 0.02 \pi x + \frac{\pi}{3})$ સાથે સરખાવતા:
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 12 \pi \ rad/s$ અને તરંગ સંખ્યા $k = 0.02 \pi \ rad/m$ મળે છે.
તરંગનો વેગ $v$ એ કોણીય આવૃત્તિ અને તરંગ સંખ્યાના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે:
$v = \frac{\omega}{k}$
$v = \frac{12 \pi}{0.02 \pi}$
$v = \frac{12}{0.02} = \frac{1200}{2} = 600 \ m/s$.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$y_1 = a_1 \sin \left(\omega t - \frac{2 \pi x}{\lambda}\right)$
$y_2 = a_2 \cos \left(\omega t - \frac{2 \pi x}{\lambda} + \phi\right)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos \theta = \sin \left(\theta + \frac{\pi}{2}\right)$.
તેથી,$y_2$ ને આ રીતે લખી શકાય:
$y_2 = a_2 \sin \left(\omega t - \frac{2 \pi x}{\lambda} + \phi + \frac{\pi}{2}\right)$
બે તરંગો વચ્ચેનો કળા તફાવત $\Delta \Phi$ એ તેમના આર્ગ્યુમેન્ટ્સનો તફાવત છે:
$\Delta \Phi = \left(\omega t - \frac{2 \pi x}{\lambda} + \phi + \frac{\pi}{2}\right) - \left(\omega t - \frac{2 \pi x}{\lambda}\right) = \phi + \frac{\pi}{2}$
પથ તફાવત $\Delta x$ અને કળા તફાવત $\Delta \Phi$ વચ્ચેનો સંબંધ:
$\Delta x = \frac{\lambda}{2 \pi} \times \Delta \Phi$
$\Delta \Phi$ ની કિંમત મૂકતા:
$\Delta x = \frac{\lambda}{2 \pi} \left(\phi + \frac{\pi}{2}\right)$

(D) આપેલ તરંગ સમીકરણ $y = A \sin(2\omega t - 2kx)$ છે.
આને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y = A \sin(\omega' t - k' x)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega' = 2\omega$ અને તરંગ સંખ્યા $k' = 2k$ મળે છે.
કણનો વેગ $v_p = \frac{dy}{dt} = A \cdot (2\omega) \cos(2\omega t - 2kx)$ છે.
કણનો મહત્તમ વેગ $v_{p,max} = 2A\omega$ છે.
તરંગનો વેગ $v_w = \frac{\omega'}{k'} = \frac{2\omega}{2k} = \frac{\omega}{k}$ છે.
આપેલ છે કે $v_{p,max} = v_w$,તેથી $2A\omega = \frac{\omega}{k}$.
આમ,$A = \frac{1}{2k}$.
તરંગ સંખ્યા $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ હોવાથી,આપણે આ કિંમત $A$ ના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$A = \frac{1}{2(2\pi / \lambda)} = \frac{\lambda}{4\pi}$.

(C) પ્રગામી તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin (\omega t - kx + \phi)$ અથવા $y = A \sin (kx - \omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણ $Y = 5 \sin (10 \pi t - 0.02 \pi x + \pi / 3)$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણે કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ અને તરંગ સંખ્યા $k$ મેળવી શકીએ છીએ:
$\omega = 10 \pi \ rad/s$
$k = 0.02 \pi \ rad/m$
તરંગનો વેગ $v$ એ કોણીય આવૃત્તિ અને તરંગ સંખ્યાના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે:
$v = \frac{\omega}{k}$
કિંમતો મૂકતા:
$v = \frac{10 \pi}{0.02 \pi}$
$v = \frac{10}{0.02} = \frac{1000}{2} = 500 \ m/s$
તેથી,તરંગનો વેગ $500 \ m/s$ છે.

(D) આપેલ તરંગનું સમીકરણ $y = 10 \sin \left(\frac{2 \pi t}{30} + \alpha\right)$ છે.
$t = 0 \ s$ સમયે,સ્થાનાંતર $y = 5 \ cm$ છે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $5 = 10 \sin \left(\frac{2 \pi (0)}{30} + \alpha\right) \implies 5 = 10 \sin \alpha \implies \sin \alpha = \frac{1}{2}$.
આમ,પ્રારંભિક કળા અચળાંક $\alpha = \frac{\pi}{6} \ rad$ મળે છે.
કોઈપણ સમય $t$ પર કુલ કળાકોણ $\phi = \frac{2 \pi t}{30} + \alpha$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t = 7.5 \ s$ સમયે,કુલ કળાકોણ $\phi = \frac{2 \pi (7.5)}{30} + \frac{\pi}{6}$ થશે.
$\phi = \frac{15 \pi}{30} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}$.
$\phi = \frac{3 \pi + \pi}{6} = \frac{4 \pi}{6} = \frac{2 \pi}{3} \ rad$.

(B) આપેલ તરંગનું સમીકરણ $Y = Y_0 \sin(2 \pi n t - \frac{2 \pi x}{\lambda})$ છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $Y = Y_0 \sin(\omega t - kx)$ સાથે સરખાવતા,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi n$ મળે છે.
કણનો મહત્તમ વેગ $v_{p, \text{max}} = Y_0 \omega = Y_0 (2 \pi n) = 2 \pi n Y_0$ થાય.
તરંગનો વેગ $v = n \lambda$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,તરંગનો વેગ એ કણના મહત્તમ વેગના $(1/8)$ ગણો છે:
$v = \frac{1}{8} v_{p, \text{max}}$
$n \lambda = \frac{1}{8} (2 \pi n Y_0)$
$n \lambda = \frac{\pi n Y_0}{4}$
$\lambda = \frac{\pi Y_0}{4}$.

(D) તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $Y = A \sin 2 \pi \left(\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda}\right)$ છે.
પ્રથમ તરંગ માટે: $Y_1 = 2 \sin 2 \pi \left(\frac{4t}{0.2} - \frac{4x}{2}\right) = 2 \sin 2 \pi \left(\frac{t}{0.05} - \frac{x}{0.5}\right)$.
અહીં,$T_1 = 0.05 \text{ s}$ અને $\lambda_1 = 0.5 \text{ m}$ છે.
વેગ $v_1 = \frac{\lambda_1}{T_1} = \frac{0.5}{0.05} = 10 \text{ m/s}$.
બીજા તરંગ માટે: $Y_2 = 4 \sin 2 \pi \left(\frac{4t}{0.16} - \frac{4x}{1.6}\right) = 4 \sin 2 \pi \left(\frac{t}{0.04} - \frac{x}{0.4}\right)$.
અહીં,$T_2 = 0.04 \text{ s}$ અને $\lambda_2 = 0.4 \text{ m}$ છે.
વેગ $v_2 = \frac{\lambda_2}{T_2} = \frac{0.4}{0.04} = 10 \text{ m/s}$.
આમ,$v_1 = v_2 = 10 \text{ m/s}$ હોવાથી,બંને તરંગોનો વેગ સમાન છે.

(D) આપેલ લંબગત તરંગનું સમીકરણ $y=2 \sin (0.01 x+30 t)$ છે.
આને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y=A \sin (kx+\omega t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને તરંગ સંખ્યા $k=0.01 \ rad/cm$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega=30 \ rad/s$ મળે છે.
તરંગની ઝડપ $v$ ની ગણતરી $v = \frac{\omega}{k} = \frac{30}{0.01} = 3000 \ cm/s$ તરીકે કરવામાં આવે છે.
ઝડપને $SI$ એકમોમાં ફેરવતા,$v = 30 \ m/s$ મળે છે.
દોરીની લંબાઈ કાપવા માટે લાગતો સમય $t = 0.5 \ s$ છે.
તેથી,દોરીની લંબાઈ $L = v \times t = 30 \ m/s \times 0.5 \ s = 15 \ m$ થાય.

(B) આપેલ છે: તરંગની ઝડપ $v = 960 \,m/s$.
તરંગોની સંખ્યા $n = 900$.
સમય $t = 0.5 \,min = 30 \,s$.
આવૃત્તિ $f$ એ એકમ સમયમાં પસાર થતા તરંગોની સંખ્યા તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$f = \frac{n}{t} = \frac{900}{30} = 30 \,Hz$.
તરંગની ઝડપ, આવૃત્તિ અને તરંગલંબાઈ વચ્ચેનો સંબંધ $v = f \lambda$ છે.
તેથી, તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{960}{30} = 32 \,m$.

(B) આપેલ $SHM$ તરંગનું સમીકરણ $y = 0.03 \sin \pi (2 t - 0.01 x) \ m$ છે.
આને વિસ્તૃત કરતા,આપણને $y = 0.03 \sin (2 \pi t - 0.01 \pi x) \ m$ મળે છે.
આ સમીકરણને સામાન્ય તરંગ સમીકરણ $y = a \sin (\omega t - k x)$ સાથે સરખાવતા,આપણે તરંગ સંખ્યા $k = 0.01 \pi \ rad/m$ મેળવીએ છીએ.
$\Delta x$ અંતરે રહેલા બે કણો વચ્ચેનો કળા તફાવત $\Delta \phi = k \Delta x$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\Delta x = 25 \ m$ અને $k = 0.01 \pi \ rad/m$ આપેલ છે,તેથી કિંમતો મૂકતા:
$\Delta \phi = (0.01 \pi) \times 25 = 0.25 \pi = \frac{\pi}{4} \ rad$.
આમ,કળા તફાવત $\frac{\pi}{4} \ rad$ છે.

(A) સાઇન તરંગમાં,કણનું સ્થાનાંતર $y = A \sin(kx - \omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણનો વેગ $v_p = \frac{\partial y}{\partial t} = -A\omega \cos(kx - \omega t)$ છે.
કણની ઝડપ $|v_p| = |A\omega \cos(kx - \omega t)|$ છે.
બે કણોની ઝડપ સમાન હોય જો તેમના સ્થાનાંતરના મૂલ્યો સમાન હોય,એટલે કે $|y_1| = |y_2|$.
સાઇન તરંગ માટે,સમાન ઝડપ ધરાવતા બિંદુઓ તે છે જે મધ્યમાન સ્થાનથી સમાન સ્થાનાંતર ધરાવે છે.
ખાસ કરીને,શૃંગ $(A)$ અને ગર્ત $(B)$ પરના બિંદુઓનો વેગ શૂન્ય (ઝડપ = $0$) હોય છે. શૃંગ અને તેની નજીકના ગર્ત વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{2}$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,મધ્યમાન સ્થાન અથવા અંતિમ સ્થાનોની આસપાસ સમાન અંતરે આવેલા કોઈપણ બે બિંદુઓની ઝડપ સમાન હશે. આવા બે બિંદુઓ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $\frac{\lambda}{2}$ છે.

(A) તરંગનું આપેલ સમીકરણ $y=A \sin (100 \pi t-3 x)$ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y=A \sin (\omega t-kx)$ સાથે સરખાવતા,આપણને તરંગ સંખ્યા $k=3 \ m^{-1}$ મળે છે.
કળા તફાવત $(\Delta \phi)$ અને પથ તફાવત $(\Delta x)$ વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta \phi = k \cdot \Delta x$ છે.
અહીં કળા તફાવત $\Delta \phi = \frac{\pi}{3}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{\pi}{3} = 3 \cdot \Delta x$ મળે છે.
અંતર $\Delta x$ માટે ઉકેલતા,$\Delta x = \frac{\pi}{3 \times 3} = \frac{\pi}{9} \ m$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે કણનું સ્થાનાંતર $y = A \sin (\omega t - k x)$ છે.
કણનો વેગ $v_p$ એ સમયની સાપેક્ષે સ્થાનાંતરના ફેરફારનો દર છે:
$v_p = \frac{dy}{dt}$
સ્થાનાંતરના સમીકરણનું $t$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$v_p = \frac{d}{dt} [A \sin (\omega t - k x)] = A \omega \cos (\omega t - k x)$
કણના મહત્તમ વેગ માટે,કોસાઇન પદનું મૂલ્ય મહત્તમ એટલે કે $1$ હોવું જોઈએ:
$v_{p, \text{max}} = A \omega (1) = A \omega$
આમ,કણનો મહત્તમ વેગ $A \omega$ છે.

(C) આપેલ છે: અવાજનો વેગ $v = 320 \,m/s$, આવૃત્તિ $f = 480 \,Hz$, કંપનોની સંખ્યા $N = 180$.
વેગ, આવૃત્તિ અને તરંગલંબાઈ વચ્ચેનો સંબંધ $v = f \lambda$ છે.
તેથી, તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{320}{480} = \frac{2}{3} \,m$.
$N$ કંપનો પછી તરંગ દ્વારા કાપવામાં આવેલું કુલ અંતર $D = N \times \lambda$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $D = 180 \times \frac{2}{3} = 120 \,m$.

(C) કળા તફાવત $\phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં પથ તફાવત $\Delta x = x$ અને કળા તફાવત $\phi = n\pi$ આપેલ છે.
વળી,વેગ $V$,આવૃત્તિ $f$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda$ વચ્ચેનો સંબંધ $V = f\lambda$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = \frac{V}{f}$.
આ કિંમતોને કળા તફાવતના સૂત્રમાં મૂકતા:
$n\pi = \frac{2\pi}{(V/f)} \cdot x$.
આમ,$n\pi = \frac{2\pi f x}{V}$.
આવૃત્તિ $f$ માટે ઉકેલતા:
$f = \frac{nV}{2x}$.

(B) આપેલ સરળ આવર્ત પ્રગામી તરંગનું સમીકરણ $y=A \sin (100 \pi t+3 x)$ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y=A \sin (\omega t+kx)$ સાથે સરખાવતા,આપણને તરંગ સંખ્યા $k=3 \ m^{-1}$ મળે છે.
તરંગ સંખ્યા $k$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda$ વચ્ચેનો સંબંધ $k = \frac{2 \pi}{\lambda}$ છે.
$k$ ની કિંમત મૂકતા,$3 = \frac{2 \pi}{\lambda}$,તેથી $\lambda = \frac{2 \pi}{3} \ m$ મળે છે.
પથ તફાવત $\Delta x$ અને કળા તફાવત $\Delta \phi$ વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta x = \frac{\lambda}{2 \pi} \times \Delta \phi$ છે.
અહીં કળા તફાવત $\Delta \phi = \frac{\pi}{3}$ રેડિયન આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\Delta x = \frac{2 \pi / 3}{2 \pi} \times \frac{\pi}{3} = \frac{1}{3} \times \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{9} \ m$ મળે છે.

(B) સમતલ પ્રગામી તરંગનું સામાન્ય સમીકરણ $y = a \sin (kx + \omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 0.0015 \sin (62.4 x + 316 t)$ છે.
આ સમીકરણને સામાન્ય સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને તરંગ સંખ્યા $k = 62.4 \text{ rad/unit}$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $k = \frac{2\pi}{\lambda}$,તેથી $\lambda = \frac{2\pi}{k}$.
$k$ ની કિંમત મૂકતા અને $\pi \approx 3.14$ લેતા,આપણને $\lambda = \frac{2 \times 3.14}{62.4} = \frac{6.28}{62.4} \approx 0.1 \text{ unit}$ મળે છે.

(B) મોજાંની આવૃત્તિ $f$ એ એકમ સમયમાં આવતા મોજાંની સંખ્યા છે.
અહીં આપેલ છે કે અવલોકનકાર $1$ મિનિટ ($60$ સેકન્ડ) માં $45$ મોજાં ગણે છે,તેથી આવૃત્તિ:
$f = \frac{45 \text{ મોજાં}}{60 \text{ s}} = 0.75 \text{ Hz}$.
મોજાંનો વેગ $v$ એ તેની આવૃત્તિ $f$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda$ ના ગુણાકાર જેટલો હોય છે:
$v = f \times \lambda$.
અહીં $\lambda = 7 \ m$ આપેલ છે,તેથી:
$v = 0.75 \text{ Hz} \times 7 \ m = 5.25 \ m/s$.
આમ,મોજાંનો વેગ $5.25 \ m/s$ છે.

(A) આપેલ તરંગનું સમીકરણ $y = A \sin (\omega t - k x)$ છે,જ્યાં $A = 60 \ \mu m = 60 \times 10^{-6} \ m$,$\omega = 1200 \ rad/s$,અને $k = 6 \ m^{-1}$ છે.
કણનો મહત્તમ વેગ $(v_p)$ $v_p = A \omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v_p = (60 \times 10^{-6} \ m) \times (1200 \ rad/s) = 72000 \times 10^{-6} \ m/s = 7.2 \times 10^{-2} \ m/s$.
તરંગનો વેગ $(v_w)$ $v_w = \frac{\omega}{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v_w = \frac{1200}{6} = 200 \ m/s$.
કણના મહત્તમ વેગ અને તરંગના વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_p}{v_w} = \frac{A \omega}{\omega/k} = A k$ થાય.
$\frac{v_p}{v_w} = (60 \times 10^{-6} \ m) \times (6 \ m^{-1}) = 360 \times 10^{-6} = 3.6 \times 10^{-4}$.

(D) કળા તફાવત $\Delta \phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ: $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ છે.
અહીં $\Delta \phi = 45^{\circ} = \frac{\pi}{4} \text{ રેડિયન}$ અને $\Delta x = 4.0 \text{ m}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{\lambda} \times 4.0$.
તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટે ઉકેલતા: $\lambda = 8 \times 4.0 = 32 \text{ m}$.
તરંગનો વેગ $v = f \lambda$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $f = 300 \text{ Hz}$.
$v = 300 \text{ Hz} \times 32 \text{ m} = 9600 \text{ m/s}$.
$\text{km/s}$ માં ફેરવતા: $v = \frac{9600}{1000} \text{ km/s} = 9.6 \text{ km/s}$.

(B) પ્રગામી તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = a \sin(\omega t + kx)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 0.002 \sin(100t + x)$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 100 \ rad/s$
તરંગ સંખ્યા $k = 1 \ rad/m$
કંપવિસ્તાર $a = 0.002 \ m$
આવૃત્તિ $f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{100}{2\pi} = \frac{50}{\pi} \ Hz$.
તરંગનો વેગ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{100}{1} = 100 \ m/s$.
અહીં $\omega t$ અને $kx$ વચ્ચે ધન ચિહ્ન હોવાથી,તરંગ ઋણ $x$-દિશામાં ગતિ કરે છે.
તેથી,આ તરંગ $100 \ m/s$ ના વેગ સાથે ઋણ $x$-દિશામાં ગતિ કરે છે.

(A) આપેલ છે: આવૃત્તિ $(n) = 400 \ Hz$,વેગ $(v) = 336 \ m/s$,કળા તફાવત $(\phi) = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3} \ rad$.
સૌ પ્રથમ,$v = n \lambda$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ શોધો:
$\lambda = \frac{v}{n} = \frac{336}{400} = 0.84 \ m$.
પથ તફાવત $(\Delta x)$ અને કળા તફાવત $(\phi)$ વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta x = \frac{\lambda}{2\pi} \times \phi$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta x = \frac{0.84}{2\pi} \times \frac{\pi}{3} = \frac{0.84}{6} = 0.14 \ m$.
તેથી,બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $0.14 \ m$ છે.

(C) તરંગની તરંગલંબાઈ $\lambda$ એ સૂત્ર $\lambda = \frac{v}{f}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ ઝડપ છે અને $f$ એ આવૃત્તિ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$\lambda = \frac{30}{250} = 0.12 \ m$.
$\Delta x$ જેટલા પથ તફાવત ધરાવતા બે બિંદુઓ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\Delta\phi$ એ $\Delta\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \Delta x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં પથ તફાવત $\Delta x = 10 \ cm = 0.1 \ m$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\Delta\phi = \frac{2\pi}{0.12} \times 0.1$.
$\Delta\phi = \frac{0.2\pi}{0.12} = \frac{20\pi}{12} = \frac{5\pi}{3} \ radian$.

(D) તરંગની કળા સાઇન વિધેયના આર્ગ્યુમેન્ટ દ્વારા આપવામાં આવે છે,$\phi = kx - \omega t$.
પ્રથમ તરંગ માટે,$\phi_1 = 20x - 30t$.
બીજા તરંગ માટે,$\phi_2 = 25x - 40t$.
આપેલ છે કે $x = 5 \ cm$ અને $t = 2 \ s$:
$\phi_1 = 20(5) - 30(2) = 100 - 60 = 40 \ \text{રેડિયન}$.
$\phi_2 = 25(5) - 40(2) = 125 - 80 = 45 \ \text{રેડિયન}$.
કળા તફાવત $\Delta \phi = |\phi_2 - \phi_1| = |45 - 40| = 5 \ \text{રેડિયન}$.

(B) ગતિ કરતા તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin(\omega t - kx + \phi)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 10^{-4} \sin(600t - 2x + \pi/3)$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 600 \text{ rad/s}$
તરંગ સંખ્યા $k = 2 \text{ rad/m}$
તરંગની ઝડપ $v$ એ સૂત્ર $v = \frac{\omega}{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$v = \frac{600}{2} = 300 \text{ m/s}$.

(A) પ્રગામી તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = y_0 \sin(\omega t + kx + \phi)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 10^{-4} \sin(100t + 20x + \frac{\pi}{3})$ ને પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 100 \ rad/s$ અને તરંગ સંખ્યા $k = 20 \ rad/m$ મળે છે.
તરંગની ઝડપ $v$ એ કોણીય આવૃત્તિ અને તરંગ સંખ્યા સાથે $v = \frac{\omega}{k}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $v = \frac{100}{20} = 5 \ m/s$ મળે છે.

(C) આપેલ છે: કળા તફાવત $\phi = \frac{\pi}{5} \text{ rad}$, આવૃત્તિ $f = 25 \text{ Hz}$, વેગ $v = 75 \text{ m/s}$.
સૌ પ્રથમ, તરંગલંબાઈ $\lambda$ ની ગણતરી $\lambda = \frac{v}{f}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરો:
$\lambda = \frac{75 \text{ m/s}}{25 \text{ Hz}} = 3 \text{ m}$.
કળા તફાવત $\phi$ અને પથ તફાવત $x$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\phi = \frac{2\pi}{\lambda} x$.
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\pi}{5} = \frac{2\pi}{3} x$.
$x$ માટે ઉકેલતા:
$x = \frac{\pi}{5} \times \frac{3}{2\pi} = \frac{3}{10} \text{ m} = 0.3 \text{ m}$.

(B) પ્રથમ તરંગનું સમીકરણ $y_1 = A \sin (\omega t + kx + 0.57)$ છે.
બીજું તરંગ $y_2 = A \cos (\omega t + kx)$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos \theta = \sin (\theta + \frac{\pi}{2})$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $y_2$ ને આ રીતે લખી શકીએ:
$y_2 = A \sin (\omega t + kx + \frac{\pi}{2})$.
પ્રથમ તરંગની કળા $\phi_1 = \omega t + kx + 0.57$ છે.
બીજા તરંગની કળા $\phi_2 = \omega t + kx + \frac{\pi}{2}$ છે.
કળા તફાવત $\Delta \phi = |\phi_2 - \phi_1| = |(\omega t + kx + \frac{\pi}{2}) - (\omega t + kx + 0.57)|$.
$\Delta \phi = \frac{\pi}{2} - 0.57$.
કારણ કે $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$,તેથી:
$\Delta \phi = 1.57 - 0.57 = 1.0 \ \text{rad}$.

(C) આપેલ તરંગનું સમીકરણ $Y=2 \sin (0.01 x+30 t)$ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $Y=A \sin (kx+\omega t)$ સાથે સરખાવતા:
આપણને તરંગ સંખ્યા $k = 0.01 \ cm^{-1}$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 30 \ rad/s$ મળે છે.
તરંગનો વેગ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{30}{0.01} = 3000 \ cm/s$ થાય.
વેગને મીટર પ્રતિ સેકન્ડમાં ફેરવતા: $v = 30 \ m/s$.
દોરીની લંબાઈ $L$ એ $t = 0.5 \ s$ સમયમાં તરંગ દ્વારા કાપેલું અંતર છે.
$L = v \times t = 30 \ m/s \times 0.5 \ s = 15 \ m$.

(D) આપેલ તરંગનું સમીકરણ $Y = 10 \sin \left(\frac{2 \pi t}{30} + \alpha\right)$ છે.
$t = 0$ સમયે,સ્થાનાંતર $Y = 5 \text{ cm}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $5 = 10 \sin \left(\frac{2 \pi \times 0}{30} + \alpha\right)$.
$5 = 10 \sin \alpha \implies \sin \alpha = 0.5$.
કારણ કે $\sin 30^{\circ} = 0.5$,તેથી $\alpha = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6} \text{ rad}$.
કોઈપણ સમય $t$ પર કુલ કળા $\phi$ એ $\phi = \frac{2 \pi t}{30} + \alpha$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t = 7.5 \text{ s}$ સમયે:
$\phi = \frac{2 \pi \times 7.5}{30} + \frac{\pi}{6}$.
$\phi = \frac{15 \pi}{30} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}$.
$\phi = \frac{3 \pi + \pi}{6} = \frac{4 \pi}{6} = \frac{2 \pi}{3} \text{ rad}$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $y=0.05 \sin \pi(2 t-0.02 x)$
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $y=0.05 \sin (2 \pi t - 0.02 \pi x)$
આને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y=a \sin (\omega t - k x)$ સાથે સરખાવતા:
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi \ rad/s$
તરંગ સંખ્યા $k = 0.02 \pi \ m^{-1}$
સમાન કળામાં રહેલા બે કણો વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર એ તરંગલંબાઈ $\lambda$ છે.
$k = \frac{2 \pi}{\lambda}$ હોવાથી,$\lambda = \frac{2 \pi}{k} = \frac{2 \pi}{0.02 \pi} = \frac{2}{0.02} = 100 \ m$.
તરંગનો વેગ $v$ એ $v = \frac{\omega}{k}$ દ્વારા મળે છે.
$v = \frac{2 \pi}{0.02 \pi} = \frac{2}{0.02} = 100 \ m/s$.

(B) આપેલ તરંગનું સમીકરણ $y = 10 \sin \left( \frac{2 \pi}{45} t + \alpha \right)$ છે.
$t = 0$ સમયે,સ્થાનાંતર $y = 5 \text{ cm}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $5 = 10 \sin \left( \frac{2 \pi}{45} \times 0 + \alpha \right) = 10 \sin \alpha$.
તેથી,$\sin \alpha = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = \frac{\pi}{6}$.
તરંગની કુલ કળા $\phi = \frac{2 \pi}{45} t + \alpha$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t = 7.5 \text{ s} = \frac{15}{2} \text{ s}$ સમયે,કુલ કળા:
$\phi = \frac{2 \pi}{45} \times \frac{15}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}$.
$\phi = \frac{2 \pi + \pi}{6} = \frac{3 \pi}{6} = \frac{\pi}{2}$.

(A) સરળ આવર્ત તરંગનું સમીકરણ $y = a \sin \frac{2 \pi}{\lambda} (vt - x)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્થાનાંતર $y$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને કણનો વેગ મળે છે:
$v_p = \frac{dy}{dt} = a \cdot \frac{2 \pi v}{\lambda} \cos \frac{2 \pi}{\lambda} (vt - x)$.
મહત્તમ કણ વેગ $(v_{p, \max})$ ત્યારે મળે છે જ્યારે કોસાઇન પદ $1$ હોય:
$v_{p, \max} = \frac{2 \pi v a}{\lambda}$.
પ્રશ્ન મુજબ,મહત્તમ કણ વેગ એ તરંગ વેગ $(v)$ કરતા અડધો છે:
$v_{p, \max} = \frac{v}{2}$.
$v_{p, \max}$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{v}{2} = \frac{2 \pi v a}{\lambda}$.
કંપવિસ્તાર $a$ માટે ઉકેલતા:
$a = \frac{\lambda}{4 \pi}$.

(D) પ્રગામી તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin(2\pi ft - kx)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 6 \sin 2\pi(2t - 0.1x)$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને તરંગ સંખ્યા $k = 2\pi \times 0.1 = 0.2\pi \ rad/mm$ મળે છે.
કળા તફાવત $\Delta \phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta \phi = k \Delta x$ છે.
અહીં કણો વચ્ચેનું અંતર $\Delta x = 2 \ mm$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\Delta \phi = (0.2\pi) \times 2 = 0.4\pi \ rad$.
રેડિયનને અંશમાં ફેરવવા માટે,$\frac{180^{\circ}}{\pi}$ વડે ગુણતા:
$\Delta \phi = 0.4\pi \times \frac{180^{\circ}}{\pi} = 0.4 \times 180^{\circ} = 72^{\circ}$.

(B) જ્યારે તરંગ એક માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં જાય છે,ત્યારે તેની આવૃત્તિ માત્ર તરંગના ઉદગમ પર આધાર રાખે છે અને બદલાતી નથી.
જોકે,માધ્યમના વક્રીભવનાંકના આધારે તરંગનો વેગ અને તરંગલંબાઈ બદલાય છે.
તેથી,તરંગની આવૃત્તિ અચળ રહે છે.

(C) સરળ આવર્ત તરંગ માટે સ્થાનાંતરનું સમીકરણ:
$y = \frac{10}{\pi} \sin \left(2000 \pi t - \frac{\pi x}{17}\right) \text{ cm}$
આને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y = a \sin(\omega t - kx)$ સાથે સરખાવતા:
અહીં,કંપવિસ્તાર $a = \frac{10}{\pi} \text{ cm} = \frac{10}{\pi} \times 10^{-2} \text{ m}$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2000 \pi \text{ rad/s}$.
$1$. આવર્તકાળ $(T)$:
$\omega = \frac{2\pi}{T} = 2000 \pi$
$T = \frac{2\pi}{2000 \pi} = \frac{1}{1000} \text{ s} = 10^{-3} \text{ s}$.
$2$. મહત્તમ વેગ $(v_{\max})$:
$v_{\max} = \omega a$
$v_{\max} = (2000 \pi) \times \left(\frac{10}{\pi} \times 10^{-2}\right) \text{ m/s}$
$v_{\max} = 2000 \times 10 \times 10^{-2} = 200 \text{ m/s}$.
આમ,આવર્તકાળ $10^{-3} \text{ s}$ અને મહત્તમ વેગ $200 \text{ m/s}$ છે.

(C) બે તરંગો વચ્ચેનો કળા તફાવત તેમના આર્ગ્યુમેન્ટ્સના તફાવત દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે $\phi_1 = \omega t - \frac{2 \pi x}{\lambda}$ અને $\phi_2 = \omega t - \frac{2 \pi x}{\lambda} + \phi$.
કળા તફાવત $\Delta \phi = \phi_2 - \phi_1 = \phi$.
પથ તફાવત $(\Delta x)$ અને કળા તફાવત $(\Delta \phi)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \Delta x$.
પથ તફાવત $\Delta x$ માટે આ સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$\Delta x = \frac{\lambda}{2 \pi} \Delta \phi$.
સમીકરણમાં $\Delta \phi = \phi$ મૂકતા:
$\Delta x = \frac{\lambda}{2 \pi} \phi$.

(B) આપેલ તરંગોના સમીકરણો $x_1 = A \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{6}\right)$ અને $x_2 = A \cos \omega t$ છે.
કળા તફાવત શોધવા માટે,આપણે બંને તરંગોને સમાન ત્રિકોણમિતીય વિધેય (sin અથવા cos) માં દર્શાવીશું.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos \theta = \sin \left(\theta + \frac{\pi}{2}\right)$.
તેથી,$x_2 = A \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right)$.
હવે,$x_1$ ની કળા $\phi_1 = \omega t + \frac{\pi}{6}$ છે અને $x_2$ ની કળા $\phi_2 = \omega t + \frac{\pi}{2}$ છે.
કળા તફાવત $\Delta \phi = \phi_2 - \phi_1 = \left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right) - \left(\omega t + \frac{\pi}{6}\right)$.
$\Delta \phi = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi - \pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$.

(A) સમતલ તરંગ $y=a \sin (\omega t-k x)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t=0$ સમયે,સ્થાનાંતર $y=a \sin (-k x) = -a \sin (k x)$ છે.
કણનો વેગ $v_{pa}$ એ સ્થાનાંતરનું સમયની સાપેક્ષ વિકલન છે:
$v_{pa} = \frac{\partial y}{\partial t} = a \omega \cos (\omega t - k x)$.
$t=0$ સમયે,$v_{pa} = a \omega \cos (-k x) = a \omega \cos (k x)$.
$k = \frac{2 \pi}{\lambda}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $v_{pa} = a \omega \cos \left( \frac{2 \pi x}{\lambda} \right)$ મળે છે.
$x=0$ સમયે,$v_{pa} = a \omega$.
$x=\frac{\lambda}{4}$ સમયે,$v_{pa} = a \omega \cos \left( \frac{\pi}{2} \right) = 0$.
$x=\frac{\lambda}{2}$ સમયે,$v_{pa} = a \omega \cos (\pi) = -a \omega$.
આ કોસાઇન આલેખ છે જે ધન મહત્તમ મૂલ્યથી શરૂ થાય છે. આપેલા વિકલ્પો જોતા,$v_{pa} = a \omega \cos (kx)$ ને અનુરૂપ આલેખ વિકલ્પ $A$ છે.

(B) આપેલ તરંગનું સમીકરણ $y = y_0 \sin 2 \pi \left( \nu t - \frac{x}{\lambda} \right)$ છે.
આને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y = y_0 \sin (\omega t - kx)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega = 2 \pi \nu$ અને $k = \frac{2 \pi}{\lambda}$ મળે છે.
તરંગનો વેગ $v_w = \frac{\omega}{k} = \frac{2 \pi \nu}{2 \pi / \lambda} = \nu \lambda$ થાય છે.
કણનો વેગ $v_p$ એ સ્થાનાંતરનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન છે: $v_p = \frac{\partial y}{\partial t} = y_0 (2 \pi \nu) \cos 2 \pi \left( \nu t - \frac{x}{\lambda} \right)$.
કણનો મહત્તમ વેગ $v_{p, \text{max}} = 2 \pi \nu y_0$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$v_{p, \text{max}} = 4 v_w$.
કિંમતો મૂકતા: $2 \pi \nu y_0 = 4 (\nu \lambda)$.
$\lambda$ માટે ઉકેલતા: $2 \pi y_0 = 4 \lambda$,જે આપણને $\lambda = \frac{2 \pi y_0}{4} = \frac{\pi y_0}{2}$ આપે છે.

(B) આપેલ લંબગત તરંગનું સમીકરણ $y=2 \sin (30 t-40 x)$ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y=A \sin (\omega t-k x)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 30 \ rad/s$ અને તરંગ સંખ્યા $k = 40 \ m^{-1}$ મળે છે.
તરંગના પ્રસરણનો વેગ $v$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $v = \frac{\omega}{k}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $v = \frac{30}{40} = 0.75 \ ms^{-1}$ મળે છે.

(D) પ્રગામી તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y(x, t) = A \sin (kx - \omega t)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y(x, t) = 0.5 \sin (70.1 x - 10 \pi t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 10 \pi \text{ rad/s}$ મળે છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ અને આવૃત્તિ $f$ વચ્ચેનો સંબંધ $\omega = 2 \pi f$ છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા,$10 \pi = 2 \pi f$ મળે છે.
$f$ માટે ઉકેલતા,$f = \frac{10 \pi}{2 \pi} = 5 \text{ Hz}$ મળે છે.
તેથી,તરંગની આવૃત્તિ $5 \text{ Hz}$ છે.

(A) ધ્વનિ તરંગની આવૃત્તિ $f = 500 \text{ Hz}$ છે.
તરંગને $X$ થી $Y$ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = 2 \text{ s}$ છે.
સમય $t$ માં ઉદગમ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા તરંગોની સંખ્યા $N$ એ સૂત્ર $N = f \times t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $N = 500 \text{ Hz} \times 2 \text{ s} = 1000$.
આમ,બિંદુઓ $X$ અને $Y$ વચ્ચે $1000$ તરંગો છે.

(B) તરંગની ઝડપ $v$ એ $v = f \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. માધ્યમ બદલાતું ન હોવાથી,ઝડપ $v$ અચળ રહે છે.
તેથી,$f_1 \lambda_1 = f_2 \lambda_2$,જેનો અર્થ છે કે $f \propto \frac{1}{\lambda}$.
આપેલ છે કે આવૃત્તિમાં $25 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી નવી આવૃત્તિ $f_2 = f_1 + 0.25 f_1 = 1.25 f_1 = \frac{5}{4} f_1$.
વ્યસ્ત સંબંધનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{f_1}{f_2} = \frac{f_1}{1.25 f_1} = \frac{1}{1.25} = \frac{4}{5} = 0.8$.
આનો અર્થ એ છે કે $\lambda_2 = 0.8 \lambda_1$.
તરંગલંબાઈમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{\lambda_2 - \lambda_1}{\lambda_1} \times 100 = \frac{0.8 \lambda_1 - \lambda_1}{\lambda_1} \times 100 = -0.2 \times 100 = -20 \%$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે તરંગલંબાઈમાં $20 \%$ નો ઘટાડો થાય છે.

(B) આપેલ છે: આવૃત્તિ $f = 100 \ Hz$,ઝડપ $v = 100 \ cm/s$,અને પથ તફાવત $\Delta x = 2.75 \ cm$.
સૌ પ્રથમ,આપણે $v = f \lambda$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીને તરંગલંબાઈ $\lambda$ શોધીએ:
$\lambda = \frac{v}{f} = \frac{100 \ cm/s}{100 \ Hz} = 1 \ cm$.
કળા તફાવત $\Delta \phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \Delta x$.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta \phi = \frac{2 \pi}{1 \ cm} \times 2.75 \ cm = 5.5 \pi$.
$5.5 \pi$ ને અપૂર્ણાંકમાં ફેરવતા:
$5.5 \pi = \frac{11}{2} \pi$ રેડિયન.

(B) આપેલ તરંગનું સમીકરણ $y=0.03 \sin (\pi[2 t-0.01 x])$ છે.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $y=0.03 \sin (2\pi t - 0.01\pi x)$ મળે છે.
આને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y=A \sin (\omega t - kx)$ સાથે સરખાવતા,આપણે તરંગ સંખ્યા $k = 0.01\pi \ rad/m$ મેળવીએ છીએ.
બે કણો વચ્ચેનો પથ તફાવત $\Delta x = 25 \ m$ આપેલ છે.
કળા તફાવત $\Delta \phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta \phi = k \cdot \Delta x$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\Delta \phi = (0.01\pi) \times 25 = 0.25\pi$.
$0.25\pi$ ને અપૂર્ણાંકમાં ફેરવતા,આપણને $\Delta \phi = \frac{1}{4}\pi = \frac{\pi}{4} \ rad$ મળે છે.