Beats and Tuning fork Questions in Gujarati

(C) ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ એ સ્ત્રોતનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે અને તે તેના ભૌતિક પરિમાણો અને પદાર્થના ગુણધર્મો પર આધાર રાખે છે,માધ્યમના તાપમાન પર નહીં.
માધ્યમમાં અવાજની ઝડપ તાપમાન પર આધારિત હોવાથી $(v \propto \sqrt{T})$,અને ઝડપ,આવૃત્તિ અને તરંગલંબાઈ વચ્ચેનો સંબંધ $v = f \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જો તાપમાન બદલાય,તો વેગ $v$ બદલાય છે.
આવૃત્તિ $f$ અચળ રહેતી હોવાથી,સમીકરણ $\lambda = v/f$ ને સંતોષવા માટે તરંગલંબાઈ $\lambda$ બદલાવી જોઈએ.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(c)$ છે.

(D) ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $n = 384 \text{ Hz}$ છે.
હવામાં અવાજનો વેગ $v = 352 \text{ m/s}$ છે.
એક કંપન માટે લાગતો સમય $T = \frac{1}{n} = \frac{1}{384} \text{ s}$ છે.
એક કંપનમાં અવાજ દ્વારા કાપેલું અંતર એ તરંગલંબાઇ $\lambda = v \times T = \frac{v}{n} = \frac{352}{384} \text{ m}$ છે.
$36$ કંપન માટે, કુલ લાગતો સમય $t = 36 \times T = \frac{36}{384} \text{ s}$ છે.
અવાજ દ્વારા કાપેલું કુલ અંતર $d = v \times t = 352 \times \frac{36}{384} \text{ m}$ છે.
$d = \frac{352 \times 36}{384} = 33 \text{ m}$.

(C) જ્યારે લગભગ સમાન આવૃત્તિ ધરાવતા બે ધ્વનિ તરંગો કોઈ બિંદુએ સંપાત થાય છે, ત્યારે તેઓ બીટ્સ (beats) ની ઘટના ઉત્પન્ન કરે છે.
કોઈપણ બિંદુએ પરિણામી તીવ્રતા $I$ એ $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos(\phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
તીવ્રતા લઘુત્તમ $(I_{\min} = 0)$ હોવા માટેની શરત $I_1 = I_2$ અને $\cos(\phi) = -1$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે ઉદગમો દ્વારા ઉત્પન્ન થતા બે $S.H.M.$ ના કંપનવિસ્તાર સમાન હોવા જોઈએ, અને અવલોકન બિંદુએ વિનાશક વ્યતિકરણ માટે તેઓ એક જ સીધી રેખામાં ગતિ કરતા હોવા જોઈએ.

(C) ધારો કે બે ટ્યુનિંગ ફોર્ક $A$ અને $B$ છે,જેની આવૃત્તિઓ અનુક્રમે $n_A = 256 \, Hz$ (જ્ઞાત) અને $n_B$ (અજ્ઞાત) છે. બીટ આવૃત્તિ $x = 4 \, bps$ છે.
અજ્ઞાત ટ્યુનિંગ ફોર્ક માટે શક્ય આવૃત્તિઓ $n_B = 256 + 4 = 260 \, Hz$ અથવા $n_B = 256 - 4 = 252 \, Hz$ છે.
આપેલ છે કે જ્યારે ફોર્ક $A$ $(256 \, Hz)$ પર મીણ લગાવવામાં આવે છે,ત્યારે તેની આવૃત્તિ ઘટે છે $(n_A \downarrow)$. પરિણામે,બીટ આવૃત્તિ વધે છે.
જો $n_B = 252 \, Hz$ હોય,તો $n_A - n_B = 256 - 252 = 4 \, Hz$ થાય. જ્યારે $n_A$ ઘટે છે,ત્યારે તફાવત $(n_A - n_B)$ ઘટે છે,એટલે કે બીટ આવૃત્તિ ઘટશે.
જો $n_B = 260 \, Hz$ હોય,તો $n_B - n_A = 260 - 256 = 4 \, Hz$ થાય. જ્યારે $n_A$ ઘટે છે,ત્યારે તફાવત $(n_B - n_A)$ વધે છે,એટલે કે બીટ આવૃત્તિ વધશે.
પ્રશ્નમાં આપેલ છે કે બીટ આવૃત્તિ વધે છે,તેથી બીજા ફોર્કની સાચી આવૃત્તિ $n_B = 260 \, Hz$ હોવી જોઈએ.

(D) બીટ્સ એ લગભગ સમાન આવૃત્તિ ધરાવતા બે તરંગોના સંપાતીકરણનું પરિણામ છે.
જ્યારે સહેજ અલગ આવૃત્તિ ધરાવતા બે ધ્વનિ તરંગો એક જ દિશામાં ગતિ કરે છે,ત્યારે તેઓ એકબીજા સાથે વ્યતિકરણ અનુભવે છે.
આ વ્યતિકરણને કારણે પરિણામી કંપવિસ્તાર સમય સાથે સમયાંતરે બદલાય છે,જે બીટ્સ તરીકે ઓળખાતી ઘટના તરફ દોરી જાય છે.
બીટ્સની આવૃત્તિ એ બે મૂળ તરંગોની આવૃત્તિઓના તફાવત જેટલી હોય છે,એટલે કે $f_{beat} = |f_1 - f_2|$.
જેમ તરંગો વારાફરતી સહાયક અને વિનાશક રીતે વ્યતિકરણ પામે છે,તેમ ધ્વનિની તીવ્રતા સમયાંતરે વધે છે અને ઘટે છે.

(C) બીટ્સની ઘટના ત્યારે થાય છે જ્યારે સહેજ અલગ આવૃત્તિ ધરાવતા બે ધ્વનિ તરંગો એકબીજા સાથે વ્યતિકરણ (interference) અનુભવે છે.
બીટ આવૃત્તિને બે વ્યતિકરણ કરતા ધ્વનિ તરંગોની આવૃત્તિઓ વચ્ચેના તફાવત (absolute difference) તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
જો બે સ્વરોની આવૃત્તિઓ $n_1$ અને $n_2$ હોય,તો પ્રતિ સેકન્ડ સંભળાતા બીટ્સની સંખ્યા નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$B = |n_1 - n_2|$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) ધારો કે જાણીતી આવૃત્તિ $n_A = 100 \, Hz$ છે અને અજ્ઞાત આવૃત્તિ $n_B$ છે.
બીટ આવૃત્તિ $|n_A - n_B| = 2 \, Hz$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આનો અર્થ એ છે કે $n_B = 100 \pm 2$,તેથી $n_B$ કાં તો $102 \, Hz$ અથવા $98 \, Hz$ છે.
જ્યારે અજ્ઞાત ટ્યુનિંગ ફોર્ક પર લોડ મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તેની આવૃત્તિ $n_B$ ઘટે છે $(n_B \downarrow)$.
કિસ્સો $1$: જો $n_B = 98 \, Hz$ હોય,તો તેને લોડ કરવાથી આવૃત્તિ વધુ ઘટે છે (દા.ત. $97 \, Hz$ સુધી). નવી બીટ આવૃત્તિ $|100 - 97| = 3 \, Hz$ થશે,જે વધારો દર્શાવે છે.
કિસ્સો $2$: જો $n_B = 102 \, Hz$ હોય,તો તેને લોડ કરવાથી આવૃત્તિ ઘટે છે (દા.ત. $101 \, Hz$ સુધી). નવી બીટ આવૃત્તિ $|100 - 101| = 1 \, Hz$ થશે,જે ઘટાડો દર્શાવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ લોડ કર્યા પછી બીટ આવૃત્તિ ઘટીને $1 \, Hz$ થાય છે,તેથી અજ્ઞાત આવૃત્તિ $102 \, Hz$ હોવી જોઈએ.

(D) ધારો કે અજ્ઞાત ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $n_B$ છે અને જાણીતી આવૃત્તિ $n_A = 256 \ Hz$ છે.
બીટ આવૃત્તિ $|n_A - n_B| = 2 \ Hz$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $n_B = 256 \pm 2$,તેથી $n_B$ કાં તો $258 \ Hz$ અથવા $254 \ Hz$ હોઈ શકે.
જ્યારે જાણીતા ટ્યુનિંગ ફોર્ક $(256 \ Hz)$ પર મીણ લગાવવામાં આવે છે,ત્યારે તેની આવૃત્તિ $n_A$ ઘટે છે.
આપેલ છે કે લોડિંગ પછી બીટ આવૃત્તિ $2 \ Hz$ થી ઘટીને $1 \ Hz$ થાય છે,તેથી આપણે બે કિસ્સાઓ તપાસીએ:
કિસ્સો $1$: જો $n_B = 258 \ Hz$ હોય,તો $n_B - n_A = 258 - 256 = 2 \ Hz$. લોડિંગ પછી,$n_A$ ઘટે છે,તેથી $(n_B - n_A)$ વધે છે. આ અવલોકન સાથે મેળ ખાતું નથી.
કિસ્સો $2$: જો $n_B = 254 \ Hz$ હોય,તો $n_A - n_B = 256 - 254 = 2 \ Hz$. લોડિંગ પછી,$n_A$ ઘટે છે,તેથી $(n_A - n_B)$ ઘટે છે. આ અવલોકન $(1 \ Hz)$ સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,અજ્ઞાત ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $254 \ Hz$ છે.

(B) આપેલ છે: ટ્યુનિંગ ફોર્ક $A$ ની આવૃત્તિ $(n_A)$ = $256 \ Hz$.
પ્રારંભિક બીટ આવૃત્તિ $(x)$ = $4 \ Hz$.
જ્યારે $A$ પર મીણ લગાવવામાં આવે છે,ત્યારે તેની આવૃત્તિ ઘટે છે $(n_A \downarrow)$.
નવી બીટ આવૃત્તિ $(x')$ = $2 \ Hz$.
કારણ કે $A$ પર મીણ લગાવવાથી બીટ આવૃત્તિ $4 \ Hz$ થી ઘટીને $2 \ Hz$ થાય છે,તેથી પ્રારંભિક સ્થિતિ $n_A - n_B = x$ હોવી જોઈએ.
કિંમતો મૂકતા: $256 - n_B = 4$,જે $n_B = 252 \ Hz$ આપે છે.
ચકાસણી: $A$ પર મીણ લગાવ્યા પછી,$n_A$ એ $256$ કરતા ઓછું થાય છે. ધારો કે નવી આવૃત્તિ $n_A'$ છે. તો $n_A' - n_B = 2$. $n_B = 252$ હોવાથી,$n_A' = 254 \ Hz$. આ $A$ ની આવૃત્તિ ઘટવાની સ્થિતિ સાથે સુસંગત છે.
તેથી,$B$ ની આવૃત્તિ $252 \ Hz$ છે.

(C) બીટ આવૃત્તિ $f_b = |n_1 - n_2| = |260 - 256| = 4 \text{ Hz}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બીટનો સમયગાળો $T = \frac{1}{f_b} = \frac{1}{4} \text{ s}$ છે.
$t = 0$ સમયે,તીવ્રતા મહત્તમ છે,જે $0$ અથવા $2\pi$ ની કળાને અનુરૂપ છે.
સમય $t$ પર કળા તફાવત $\phi$ એ બીટ સમયગાળા $T$ સાથે $\phi = \frac{2\pi}{T} \times t$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\phi = \frac{2\pi}{(1/4)} \times \frac{1}{16} = 8\pi \times \frac{1}{16} = \frac{\pi}{2}$ રેડિયન.

(A) દર સેકન્ડે ઉત્પન્ન થતા બીટ્સની સંખ્યા એ બે ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિઓના તફાવત જેટલી હોય છે.
બીટ આવૃત્તિ $b = |n_2 - n_1| = |454\, Hz - 450\, Hz| = 4\, Hz$.
બે ક્રમિક મહત્તમ તીવ્રતા વચ્ચેનો સમયગાળો એ બીટ્સનો સમયગાળો છે,જે બીટ આવૃત્તિનો વ્યસ્ત છે.
સમયગાળો $T = \frac{1}{b} = \frac{1}{4}\, sec = 0.25\, sec$.

(D) ધારો કે પ્રથમ ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $n_A = 341 \ Hz$ છે અને બીજા ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $n_B$ છે.
બીટ આવૃત્તિ $|n_A - n_B| = 6 \ Hz$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $n_B = 341 \pm 6$,તેથી $n_B$ ની કિંમત $347 \ Hz$ અથવા $335 \ Hz$ હોઈ શકે છે.
જ્યારે બીજા ટ્યુનિંગ ફોર્ક પર મીણ લગાવવામાં આવે છે,ત્યારે તેની આવૃત્તિ $n_B$ ઘટે છે $(n_B \downarrow)$.
મીણ લગાવ્યા પછી,નવી બીટ આવૃત્તિ $2 \ Hz$ છે.
કિસ્સો $1$: જો $n_B = 335 \ Hz$ હોય,તો $n_A - n_B = 6 \ Hz$ થાય. $n_B$ ઘટાડવાથી $(n_A - n_B)$ વધે છે. આ અવલોકન સાથે વિરોધાભાસ છે કે બીટ આવૃત્તિ ઘટીને $2 \ Hz$ થઈ છે.
કિસ્સો $2$: જો $n_B = 347 \ Hz$ હોય,તો $n_B - n_A = 6 \ Hz$ થાય. $n_B$ ઘટાડવાથી $(n_B - n_A)$ ઘટે છે. જેમ $n_B$ એ $n_A$ ની નજીક જાય છે,તેમ બીટ આવૃત્તિ ઘટે છે. આ અવલોકન સાથે સુસંગત છે કે બીટ આવૃત્તિ ઘટીને $2 \ Hz$ થઈ છે.
તેથી,બીજા ટ્યુનિંગ ફોર્કની મૂળભૂત આવૃત્તિ $347 \ Hz$ છે.

(B) બીટ આવૃત્તિ $f_b$ એ બે ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે.
$f_b = |f_2 - f_1| = |258 - 256| = 2 \text{ Hz}$.
ક્રમિક મહત્તમ (બીટ્સ) વચ્ચેનો સમયગાળો એ બીટ આવૃત્તિનો વ્યસ્ત છે.
$T = \frac{1}{f_b} = \frac{1}{2} = 0.5 \text{ sec}$.
તેથી,ક્રમિક મહત્તમ વચ્ચેનો સમયગાળો $0.5 \text{ sec}$ છે.

(C) ધારો કે જાણીતા ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $n_A = 100\,Hz$ છે અને અજ્ઞાત ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $n_B$ છે.
આપેલ છે કે બીટ આવૃત્તિ $x = 5\,Hz$ છે.
તેથી,$n_B = n_A \pm x$,જેનો અર્થ છે કે $n_B = 100 \pm 5$,એટલે કે $n_B$ કાં તો $95\,Hz$ અથવા $105\,Hz$ છે.
જ્યારે ટ્યુનિંગ ફોર્ક $B$ પર મીણ લગાવવામાં આવે છે,ત્યારે તેની આવૃત્તિ $n_B$ ઘટે છે.
જો $n_B = 95\,Hz$ હોય,તો તેને લોડ કરવાથી આવૃત્તિ વધુ ઘટે છે,જેનાથી તફાવત $|n_A - n_B|$ એ $5\,Hz$ થી વધીને મોટી કિંમત બને છે.
જો $n_B = 105\,Hz$ હોય,તો તેને લોડ કરવાથી આવૃત્તિ $100\,Hz$ તરફ ઘટે છે. બીટ આવૃત્તિ $|n_B - n_A|$ શરૂઆતમાં ઘટે છે.
બીટ આવૃત્તિ લોડિંગ પછી $5\,Hz$ રહે છે,તેનો અર્થ એ છે કે આવૃત્તિ $105\,Hz$ હતી અને તે ઘટી રહી છે.
આમ,$n_B = 100 + 5 = 105\,Hz$.

(B) ધારો કે ટ્યુનિંગ ફોર્ક $F_1$ ની આવૃત્તિ $n_1 = 256 Hz$ છે અને ટ્યુનિંગ ફોર્ક $F_2$ ની આવૃત્તિ $n_2$ છે.
આપેલ છે કે બીટ આવૃત્તિ $6 Hz$ છે,તેથી $|n_1 - n_2| = 6$.
આનો અર્થ એ થાય કે $n_2 = 256 \pm 6$,તેથી $n_2 = 262 Hz$ અથવા $n_2 = 250 Hz$.
જ્યારે $F_2$ પર મીણ લગાવવામાં આવે છે,ત્યારે તેની આવૃત્તિ ઘટે છે $(n_2' < n_2)$.
જો $n_2 = 250 Hz$ હોય,તો તેને લોડ કરવાથી આવૃત્તિ $256 Hz$ થી વધુ દૂર જશે,જેનાથી બીટ આવૃત્તિ વધશે (દા.ત.,$256 - 249 = 7 Hz$),જે એ અવલોકન સાથે વિરોધાભાસી છે કે બીટ આવૃત્તિ $6 Hz$ રહે છે.
જો $n_2 = 262 Hz$ હોય,તો તેને લોડ કરવાથી આવૃત્તિ $256 Hz$ ની નજીક આવે છે. નવી બીટ આવૃત્તિ $n_2' - n_1 = 6 Hz$ છે,જે પ્રશ્નના વિધાન સાથે સુસંગત છે.
તેથી,$F_2$ ની પ્રારંભિક આવૃત્તિ $262 Hz$ હતી.

(C) બીટ આવૃત્તિ $|n_A - n_B| = 5 \ Hz$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $n_B = 512 \ Hz$ હોવાથી,$n_A$ કાં તો $517 \ Hz$ અથવા $507 \ Hz$ હોઈ શકે.
જ્યારે ટ્યુનિંગ ફોર્કને ઘસવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું દળ ઘટે છે,જેના કારણે તેની આવૃત્તિ વધે છે $(n_A \uparrow)$.
અહીં આપેલ છે કે ઘસ્યા પછી બીટ આવૃત્તિ વધે છે.
કિસ્સો $1$: જો $n_A = 507 \ Hz$ હોય,તો $n_B - n_A = 5 \ Hz$. જેમ $n_A$ વધે છે,તેમ તફાવત $(n_B - n_A)$ ઘટે છે (એટલે કે બીટ્સ ઘટે છે).
કિસ્સો $2$: જો $n_A = 517 \ Hz$ હોય,તો $n_A - n_B = 5 \ Hz$. જેમ $n_A$ વધે છે,તેમ તફાવત $(n_A - n_B)$ વધે છે (એટલે કે બીટ્સ વધે છે).
પ્રશ્નમાં આપેલ છે કે બીટ્સની સંખ્યા વધે છે,તેથી $A$ ની સાચી આવૃત્તિ $517 \ Hz$ હોવી જોઈએ.

(C) ધ્વનિ તરંગની તીવ્રતા તેના કંપવિસ્તારના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $I \propto A^2$.
જ્યારે સમાન કંપવિસ્તાર $a_0$ ધરાવતા બે ધ્વનિ સ્ત્રોતો વ્યતિકરણ પામે છે,ત્યારે બીટ્સની રચના દરમિયાન ઉત્પન્ન થતો મહત્તમ કંપવિસ્તાર $A_{\max}$ એ વ્યક્તિગત કંપવિસ્તારોનો સરવાળો છે: $A_{\max} = a_0 + a_0 = 2a_0$.
તેથી મહત્તમ તીવ્રતા $I_{\max}$ એ $I_{\max} \propto (A_{\max})^2 = (2a_0)^2 = 4a_0^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એક સ્ત્રોતની તીવ્રતા $I_0 \propto a_0^2$ હોવાથી,આપણને $I_{\max} = 4I_0$ મળે છે.
તેથી,બીટ્સની મહત્તમ તીવ્રતા એક સ્ત્રોતની તીવ્રતા કરતા $4$ ગણી હોય છે.

(C) પ્રતિ સેકન્ડ સંભળાતા બીટ્સની સંખ્યા બે તરંગોની આવૃત્તિઓના તફાવત $|n_1 - n_2|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણો $y_1 = a \sin(2000 \pi t)$ અને $y_2 = a \sin(2008 \pi t)$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $y = a \sin(2 \pi n t)$ સાથે સરખાવતા.
પ્રથમ તરંગ માટે: $2 \pi n_1 = 2000 \pi$,જે $n_1 = 1000 \text{ Hz}$ આપે છે.
બીજા તરંગ માટે: $2 \pi n_2 = 2008 \pi$,જે $n_2 = 1004 \text{ Hz}$ આપે છે.
પ્રતિ સેકન્ડ સંભળાતા બીટ્સની સંખ્યા $|n_2 - n_1| = |1004 - 1000| = 4 \text{ બીટ્સ પ્રતિ સેકન્ડ}$ છે.

(C) ધારો કે ટ્યુનિંગ ફોર્કની વાસ્તવિક આવૃત્તિ $f$ છે.
જ્યારે ઓસિલેટરની આવૃત્તિ $f_1 = 514 \ Hz$ નો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે,ત્યારે બીટ આવૃત્તિ $|f - 514| = 2 \ Hz$ થાય છે. આનો અર્થ એ છે કે $f = 514 \pm 2$,તેથી $f = 516 \ Hz$ અથવા $f = 512 \ Hz$ મળે.
જ્યારે ઓસિલેટરની આવૃત્તિ $f_2 = 510 \ Hz$ નો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે,ત્યારે બીટ આવૃત્તિ $|f - 510| = 6 \ Hz$ થાય છે. આનો અર્થ એ છે કે $f = 510 \pm 6$,તેથી $f = 516 \ Hz$ અથવા $f = 504 \ Hz$ મળે.
બંને કિસ્સાઓમાં સામાન્ય આવૃત્તિ $516 \ Hz$ છે.
આમ,ટ્યુનિંગ ફોર્કની વાસ્તવિક આવૃત્તિ $516 \ Hz$ છે.

(B) ધારો કે $n_S$ એ સોનોમીટરના તારની આવૃત્તિ છે અને $n_f = 480 \ Hz$ એ ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ છે.
બીટ આવૃત્તિ $|n_f - n_S| = 10 \ Hz$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $n_S = 480 \pm 10$,તેથી $n_S$ કાં તો $470 \ Hz$ અથવા $490 \ Hz$ છે.
સોનોમીટરના તારની આવૃત્તિ $n_S = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેથી,$n_S \propto \sqrt{T}$.
જ્યારે તણાવ $T$ વધારવામાં આવે છે,ત્યારે $n_S$ વધે છે.
કિસ્સો $1$: જો $n_S = 470 \ Hz$ હોય,તો $n_f - n_S = 10 \ Hz$. જેમ $n_S$ વધે છે,તેમ $n_f - n_S$ ઘટે છે (દા.ત.,જો $n_S$ $475 \ Hz$ થાય,તો બીટ્સ $5 \ Hz$ થાય છે). આ આપેલી શરત સાથે મેળ ખાય છે.
કિસ્સો $2$: જો $n_S = 490 \ Hz$ હોય,તો $n_S - n_f = 10 \ Hz$. જેમ $n_S$ વધે છે,તેમ $n_S - n_f$ વધે છે (દા.ત.,જો $n_S$ $495 \ Hz$ થાય,તો બીટ્સ $15 \ Hz$ થાય છે). આ આપેલી શરતનો વિરોધાભાસ કરે છે.
તેથી,તારની આવૃત્તિ $470 \ Hz$ હોવી જોઈએ.

(C) ધારો કે ટ્યુનિંગ ફોર્ક $A$ ની આવૃત્તિ $n_A$ છે અને ટ્યુનિંગ ફોર્ક $B$ ની આવૃત્તિ $n_B = 256 \ Hz$ છે.
બીટ આવૃત્તિ $x = 3 \ Hz$ આપેલ છે.
તેથી,$n_A = n_B \pm x = 256 \pm 3$,જેનો અર્થ છે કે $n_A$ કાં તો $259 \ Hz$ અથવા $253 \ Hz$ હોઈ શકે.
જ્યારે ટ્યુનિંગ ફોર્ક $A$ પર મીણ લગાવવામાં આવે છે,ત્યારે તેની આવૃત્તિ $n_A$ ઘટે છે.
કિસ્સો $1$: જો $n_A = 253 \ Hz$ હોય,તો મીણ લગાવવાથી આવૃત્તિ $253 \ Hz$ થી પણ ઘટશે. નવી બીટ આવૃત્તિ $256 - n_A' > 3$ થશે,જે અવલોકન સાથે સુસંગત નથી.
કિસ્સો $2$: જો $n_A = 259 \ Hz$ હોય,તો મીણ લગાવવાથી આવૃત્તિ ઘટીને $256 \ Hz$ ની નજીક આવશે. નવી બીટ આવૃત્તિ $n_A' - 256 = 3$ થશે,જે અવલોકન સાથે સુસંગત છે.
આમ,ટ્યુનિંગ ફોર્ક $A$ ની મૂળ આવૃત્તિ $259 \ Hz$ છે.

(A) ધારો કે સ્ત્રોતની આવૃત્તિ $f$ છે.
તે $100 \, s^{-1}$ ના સ્ત્રોત સાથે $5$ બીટ્સ પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્પન્ન કરે છે,તેથી આવૃત્તિ $f = 100 \pm 5$,એટલે કે $105 \, s^{-1}$ અથવા $95 \, s^{-1}$ હોઈ શકે.
સ્ત્રોતનો બીજો હાર્મોનિક $2f$ છે.
જો $f = 105 \, s^{-1}$ હોય,તો બીજો હાર્મોનિક $210 \, s^{-1}$ થાય.
જો $f = 95 \, s^{-1}$ હોય,તો બીજો હાર્મોનિક $190 \, s^{-1}$ થાય.
આપણને આપેલ છે કે બીજો હાર્મોનિક $205 \, s^{-1}$ ના સ્ત્રોત સાથે $5$ બીટ્સ પ્રતિ સેકન્ડ આપે છે.
કિસ્સાઓ તપાસતા:
$210 \, s^{-1}$ માટે: $|210 - 205| = 5 \, s^{-1}$ (આ શરત સંતોષાય છે).
$190 \, s^{-1}$ માટે: $|190 - 205| = 15 \, s^{-1}$ (આ શરત સંતોષાતી નથી).
તેથી,સ્ત્રોતની આવૃત્તિ $105 \, s^{-1}$ છે.

(D) જ્યારે સમાન કંપવિસ્તાર ધરાવતા પરંતુ થોડી અલગ આવૃત્તિઓ ધરાવતા બે ધ્વનિ તરંગો એકબીજા પર સંપાત થાય છે,ત્યારે સંભળાતા ધ્વનિની તીવ્રતામાં થતા સામયિક ફેરફારને બીટ્સ (beats) કહેવામાં આવે છે.
જો બે તરંગોની આવૃત્તિઓ $f_1$ અને $f_2$ હોય,તો બીટ આવૃત્તિ $f_{beat} = |f_1 - f_2|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,બીટ્સ ઉત્પન્ન થવા માટેની શરત એ છે કે તરંગોની આવૃત્તિઓ અલગ-અલગ હોવી જોઈએ.

(B) ની પ્રારંભિક આવૃત્તિ $n_A = 256 \ Hz$ છે. પ્રારંભિક બીટ આવૃત્તિ $x_1 = 4 \ Hz$ છે.
$n_B = n_A \pm x_1$ હોવાથી,$B$ ની પ્રારંભિક આવૃત્તિ $256 + 4 = 260 \ Hz$ અથવા $256 - 4 = 252 \ Hz$ હોઈ શકે.
$B$ પર થોડું વજન મૂકતા,તેની આવૃત્તિ $n_B$ ઘટે છે. નવી બીટ આવૃત્તિ $x_2 = 5 \text{ બીટ્સ} / 2 \text{ સેકન્ડ} = 2.5 \ Hz$ છે.
કિસ્સો $1$: જો પ્રારંભિક $n_B = 252 \ Hz$ હોય,તો $B$ પર વજન મૂકતા તેની આવૃત્તિ $256 \ Hz$ થી વધુ દૂર જાય છે,તેથી બીટ આવૃત્તિ વધવી જોઈએ. આ અવલોકન સાથે વિરોધાભાસ છે કે બીટ આવૃત્તિ $4 \ Hz$ થી ઘટીને $2.5 \ Hz$ થઈ છે.
કિસ્સો $2$: જો પ્રારંભિક $n_B = 260 \ Hz$ હોય,તો $B$ પર વજન મૂકતા તેની આવૃત્તિ $256 \ Hz$ ની નજીક આવે છે,તેથી બીટ આવૃત્તિ ઘટવી જોઈએ. નવી આવૃત્તિ $n_B' = 256 + 2.5 = 258.5 \ Hz$ છે.
આમ,લોડિંગ પછી $B$ ની આવૃત્તિ $258.5 \ Hz$ છે.

(D) ટ્યુનિંગ ફોર્ક $A$ ની આવૃત્તિ $n_A = 200 \ Hz$ છે. બીટ આવૃત્તિ $5 \ Hz$ છે,તેથી ફોર્ક $B$ ની આવૃત્તિ $(n_B)$ કાં તો $200 + 5 = 205 \ Hz$ અથવા $200 - 5 = 195 \ Hz$ હોઈ શકે.
જ્યારે ફોર્ક $A$ પર મીણ લગાવવામાં આવે છે,ત્યારે તેની આવૃત્તિ $(n_A)$ ઘટે છે.
જો $n_B = 195 \ Hz$ હોય,તો નવી બીટ આવૃત્તિ $n_A' - n_B$ (જ્યાં $n_A' < 200$) થશે. જેમ $n_A$ ઘટે છે,તેમ તફાવત $n_A - n_B$ ઘટે છે,તેથી બીટ આવૃત્તિ $5 \ Hz$ થી ઘટીને ઓછી થશે.
જો $n_B = 205 \ Hz$ હોય,તો બીટ આવૃત્તિ $n_B - n_A = 205 - 200 = 5 \ Hz$ છે. જેમ $n_A$ ઘટે છે,તેમ તફાવત $n_B - n_A$ વધે છે,તેથી બીટ આવૃત્તિ $5 \ Hz$ થી વધીને $8 \ Hz$ થાય છે.
આમ,બીટ આવૃત્તિ વધીને $8 \ Hz$ થતી હોવાથી,ફોર્ક $B$ ની સાચી આવૃત્તિ $205 \ Hz$ છે.

(C) ટ્યુનિંગ ફોર્ક $A$ ની આવૃત્તિ $n_A = 320 \ Hz$ છે. બીટ આવૃત્તિ $4 \ Hz$ છે,તેથી $B$ ની આવૃત્તિ $(n_B)$ કાં તો $320 + 4 = 324 \ Hz$ અથવા $320 - 4 = 316 \ Hz$ હોઈ શકે.
જ્યારે ટ્યુનિંગ ફોર્ક પર મીણ ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે તેની આવૃત્તિ ઘટે છે.
જો $n_B = 316 \ Hz$ હોય,તો મીણ ઉમેરવાથી આવૃત્તિ વધુ ઘટશે,જેનાથી બીટ આવૃત્તિ વધશે $(320 - n_B' > 4)$,જે પ્રશ્નના વિધાનથી વિપરીત છે.
જો $n_B = 324 \ Hz$ હોય,તો મીણ ઉમેરવાથી $B$ ની આવૃત્તિ ઘટે છે $(n_B' < 324)$. બીટ આવૃત્તિ $4 \ Hz$ રહે તે માટે,પ્રારંભિક આવૃત્તિ $n_B = 324 \ Hz$ હોવી જોઈએ.

(C) બીટ આવૃત્તિ $f_b = |f_1 - f_2| = |384 - 380| = 4 \ Hz$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એક સંપૂર્ણ બીટ ચક્રનો સમયગાળો $T = \frac{1}{f_b} = \frac{1}{4} = 0.25 \ \text{સેકન્ડ}$ છે.
બીટ ચક્રમાં એક મહત્તમ (મોટો અવાજ) અને એક લઘુત્તમ (ધીમો અવાજ) નો સમાવેશ થાય છે.
મહત્તમ અવાજ અને ત્યારબાદના લઘુત્તમ અવાજ વચ્ચેનો સમયગાળો બીટ સમયગાળાના અડધા જેટલો હોય છે.
તેથી,$t = \frac{T}{2} = \frac{0.25}{2} = 0.125 \ \text{સેકન્ડ}$.

(D) ધ્વનિ તરંગની તીવ્રતા $I$ એ તેના કંપવિસ્તાર $a$ ના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $I \propto a^2$.
$a_1 = 5$ અને $a_2 = 3$ કંપવિસ્તાર ધરાવતા બે તરંગો માટે,મહત્તમ તીવ્રતા $I_{\max}$ ત્યારે મળે છે જ્યારે તરંગો સહાયક વ્યતિકરણ અનુભવે છે,અને ન્યૂનતમ તીવ્રતા $I_{\min}$ ત્યારે મળે છે જ્યારે તેઓ વિનાશક વ્યતિકરણ અનુભવે છે.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{a_1 + a_2}{a_1 - a_2} \right)^2$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{5 + 3}{5 - 3} \right)^2 = \left( \frac{8}{2} \right)^2 = (4)^2 = \frac{16}{1}$
આમ,ગુણોત્તર $16:1$ છે.

(A) તરંગની આવૃત્તિ $n = \frac{v}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ વેગ છે અને $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે.
આપેલ તરંગલંબાઇ $\lambda_1 = 50 \; cm = 0.50 \; m$ અને $\lambda_2 = 51 \; cm = 0.51 \; m$ છે.
આવૃત્તિઓ $n_1 = \frac{v}{0.50}$ અને $n_2 = \frac{v}{0.51}$ છે.
બીટ આવૃત્તિ એ બે આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે: $\Delta n = n_1 - n_2 = 12 \; Hz$.
કિંમતો મૂકતા: $v \left( \frac{1}{0.50} - \frac{1}{0.51} \right) = 12$.
$v \left( \frac{0.51 - 0.50}{0.50 \times 0.51} \right) = 12$.
$v \left( \frac{0.01}{0.255} \right) = 12$.
$v = \frac{12 \times 0.255}{0.01} = 12 \times 25.5 = 306 \; m/s$.

(C) તરંગનું સામાન્ય સમીકરણ $y = A \sin(\omega t)$ છે.
આપેલ સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિઓ $\omega_1 = 316 \text{ rad/s}$ અને $\omega_2 = 310 \text{ rad/s}$ મળે છે.
આવૃત્તિ $f$ એ કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ સાથે $f = \frac{\omega}{2\pi}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
તેથી,બે તરંગોની આવૃત્તિઓ $f_1 = \frac{316}{2\pi} \text{ Hz}$ અને $f_2 = \frac{310}{2\pi} \text{ Hz}$ છે.
પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્પન્ન થતા બીટ્સની સંખ્યા એ બે આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$\text{બીટ આવૃત્તિ} = |f_1 - f_2| = \left| \frac{316}{2\pi} - \frac{310}{2\pi} \right| = \frac{6}{2\pi} = \frac{3}{\pi} \text{ Hz}$.

(B) બીટ આવૃત્તિ $(f_b)$ એટલે એકમ સમયમાં ઉત્પન્ન થતા બીટ્સની સંખ્યા.
આપેલ છે:
બીટ્સની સંખ્યા $(n)$ = $2$
સમયગાળો $(t)$ = $0.4 \ s$
સૂત્ર: $f_b = \frac{n}{t}$
ગણતરી: $f_b = \frac{2}{0.4} = \frac{20}{4} = 5 \ Hz$.
તેથી,બીટ આવૃત્તિ $5 \ Hz$ છે.

(A) બીટ્સ પ્રતિ સેકન્ડની સંખ્યા એ બે આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે.
આપેલ છે કે અજ્ઞાત આવૃત્તિ $x$ એ $250 \ Hz$ સાથે $8$ બીટ્સ પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્પન્ન કરે છે,તેથી $x$ માટે શક્ય મૂલ્યો $250 \pm 8$ છે,જે $258 \ Hz$ અથવા $242 \ Hz$ છે.
આપેલ છે કે અજ્ઞાત આવૃત્તિ $x$ એ $270 \ Hz$ સાથે $12$ બીટ્સ પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્પન્ન કરે છે,તેથી $x$ માટે શક્ય મૂલ્યો $270 \pm 12$ છે,જે $282 \ Hz$ અથવા $258 \ Hz$ છે.
બંને શક્યતાઓના સમૂહની સરખામણી કરતા,સામાન્ય આવૃત્તિ $258 \ Hz$ છે.
તેથી,અજ્ઞાત આવૃત્તિ $x$ એ $258 \ Hz$ છે.

(A) $0^{\circ}C$ તાપમાને ધ્વનિની ઝડપ $v_0 = 332 \ m/s$ છે.
$t^{\circ}C$ તાપમાને ધ્વનિની ઝડપ $v_t = v_0 + 0.61 \times t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t = 20^{\circ}C$ તાપમાને,ધ્વનિની ઝડપ $v_{20} = 332 + 0.61 \times 20 = 332 + 12.2 = 344.2 \ m/s$ થાય.
બે તરંગોની આવૃત્તિઓ $n_1 = \frac{v}{\lambda_1}$ અને $n_2 = \frac{v}{\lambda_2}$ છે.
પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્પન્ન થતા બીટ્સની સંખ્યા એ આવૃત્તિઓનો તફાવત છે: $\Delta n = |n_1 - n_2| = v \left( \frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_2} \right)$.
તરંગલંબાઈને મીટરમાં ફેરવતા: $\lambda_1 = 0.50 \ m$ અને $\lambda_2 = 0.51 \ m$.
$\Delta n = 344.2 \left( \frac{1}{0.50} - \frac{1}{0.51} \right) = 344.2 \left( 2 - 1.96078 \right) = 344.2 \times 0.03922 \approx 13.5 \approx 14 \ Hz$.

(A) માનવ કાનમાં શ્રવણની સાતત્યતા (persistence of hearing) નામની ઘટના જોવા મળે છે,જેનો સમયગાળો આશરે $0.1 \ s$ હોય છે.
આનો અર્થ એ છે કે જો બે અવાજો $0.1 \ s$ કરતા ઓછા સમયના અંતરે કાન સુધી પહોંચે,તો કાન તેમને અલગ અવાજ તરીકે પારખી શકતો નથી.
તેથી,પ્રતિ સેકન્ડ સાંભળી શકાતી મહત્તમ બીટ્સની સંખ્યા શ્રવણની સાતત્યતાના વ્યસ્ત જેટલી હોય છે:
$f_{max} = \frac{1}{0.1 \ s} = 10 \ Hz$.
આમ,માનવ કાન પ્રતિ સેકન્ડ મહત્તમ $10$ બીટ્સ પારખી શકે છે.

(D) ધારો કે ટ્યુનિંગ ફોર્ક $A$ ની આવૃત્તિ $n_A$ છે અને ટ્યુનિંગ ફોર્ક $B$ ની આવૃત્તિ $n_B = 384 \ Hz$ છે.
શરૂઆતની બીટ આવૃત્તિ $x_1 = |n_A - n_B| = 6 \ Hz$ છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $n_A = 384 \pm 6$,તેથી $n_A$ કાં તો $390 \ Hz$ અથવા $378 \ Hz$ છે.
જ્યારે ટ્યુનિંગ ફોર્ક $A$ પર મીણ લગાવવામાં આવે છે,ત્યારે તેની આવૃત્તિ $n_A$ ઘટે છે.
મીણ લગાવ્યા પછી,નવી બીટ આવૃત્તિ $x_2 = 4 \ Hz$ છે.
જો $n_A = 390 \ Hz$ હોય,તો મીણ લગાવવાથી તે $384 \ Hz$ ની નજીક જાય છે,તેથી બીટ આવૃત્તિ $6$ થી ઘટીને $4$ થાય છે. આ આપેલી શરત સાથે સુસંગત છે.
જો $n_A = 378 \ Hz$ હોય,તો મીણ લગાવવાથી તે $384 \ Hz$ થી વધુ દૂર જાય છે,તેથી બીટ આવૃત્તિ $6$ થી વધીને વધુ થાય. આ આપેલી શરતથી વિપરીત છે.
તેથી,ટ્યુનિંગ ફોર્ક $A$ ની મૂળ આવૃત્તિ $390 \ Hz$ છે.

(B) બીટ્સની ઘટના ત્યારે જોવા મળે છે જ્યારે સહેજ અલગ આવૃત્તિ ધરાવતા બે ધ્વનિ તરંગો એકબીજા સાથે વ્યતિકરણ પામે છે.
માનવ કાન માટે આ બીટ્સને અનુભવવા માટે,બે સ્ત્રોતો વચ્ચેનો આવૃત્તિ તફાવત ઓછો હોવો જોઈએ,સામાન્ય રીતે શ્રવણશક્તિના સાતત્યને કારણે $10 \ Hz$ થી $15 \ Hz$ કરતા ઓછો હોવો જોઈએ.
વિકલ્પ $A$ માં,તફાવત $150 \ Hz - 100 \ Hz = 50 \ Hz$ છે.
વિકલ્પ $B$ માં,તફાવત $25 \ Hz - 20 \ Hz = 5 \ Hz$ છે.
વિકલ્પ $C$ માં,તફાવત $500 \ Hz - 400 \ Hz = 100 \ Hz$ છે.
વિકલ્પ $D$ માં,તફાવત $1500 \ Hz - 1000 \ Hz = 500 \ Hz$ છે.
માત્ર વિકલ્પ $B$ માં આવૃત્તિનો તફાવત બીટ્સ સાંભળવા માટેની મર્યાદામાં હોવાથી,તે સાચો જવાબ છે.

(A) બીટ આવૃત્તિ (દર સેકન્ડે બીટ્સની સંખ્યા) $n = \frac{30}{3} = 10 \ Hz$ છે.
બીટ આવૃત્તિનું સૂત્ર $n = v \left( \frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_2} \right)$ છે,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિનો વેગ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $10 = v \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{6} \right)$.
તફાવતની ગણતરી કરતા: $\frac{1}{5} - \frac{1}{6} = \frac{6-5}{30} = \frac{1}{30}$.
તેથી,$10 = v \left( \frac{1}{30} \right)$.
$v$ માટે ઉકેલતા: $v = 10 \times 30 = 300 \ m/s$.

(A) તરંગની આવૃત્તિ $n = \frac{v}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે.
આપેલ છે: $v = 396 \ m/s$,$\lambda_1 = 99 \ cm = 0.99 \ m$,અને $\lambda_2 = 100 \ cm = 1.0 \ m$.
આવૃત્તિઓ $n_1 = \frac{396}{0.99} = 400 \ Hz$ અને $n_2 = \frac{396}{1.0} = 396 \ Hz$ છે.
પ્રતિ સેકન્ડ સંભળાતા બીટ્સની સંખ્યા એ આવૃત્તિઓનો તફાવત છે: $\Delta n = |n_1 - n_2| = |400 - 396| = 4 \ Hz$.
તેથી,સંભળાતા બીટ્સની સંખ્યા $4$ છે.

(D) ધારો કે જાણીતા ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $n_A = 288 \, Hz$ છે અને અજ્ઞાત ફોર્કની આવૃત્તિ $n_B$ છે.
શરૂઆતમાં,બીટ આવૃત્તિ $x = |n_A - n_B| = 4 \, Hz$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $n_B = 288 \pm 4$,તેથી $n_B$ કાં તો $292 \, Hz$ અથવા $284 \, Hz$ છે.
જ્યારે અજ્ઞાત ફોર્ક પર મીણ લગાવવામાં આવે છે,ત્યારે તેની આવૃત્તિ $n_B$ ઘટે છે $(n_B \downarrow)$.
મીણ લગાવ્યા પછી,નવી બીટ આવૃત્તિ $x' = 2 \, Hz$ છે.
કિસ્સો $1$: જો $n_B = 284 \, Hz$ હોય,તો $n_B$ એ $288 \, Hz$ થી વધુ દૂર જાય છે,તેથી બીટ આવૃત્તિ વધશે $(|288 - 283| = 5 \, Hz)$,જે અવલોકનથી વિરુદ્ધ છે.
કિસ્સો $2$: જો $n_B = 292 \, Hz$ હોય,તો $n_B$ એ $288 \, Hz$ ની નજીક આવે છે,તેથી બીટ આવૃત્તિ ઘટે છે $(|288 - 290| = 2 \, Hz)$.
આ આપેલ અવલોકન સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,અજ્ઞાત ફોર્કની આવૃત્તિ $292 \, Hz$ છે.

(A) કંપન કરતા સ્ત્રોતની આવૃત્તિ $(f)$ એટલે એકમ સમયમાં થતા દોલનો કે ચક્રની સંખ્યા.
અહીં આપેલ છે કે ટ્યુનિંગ ફોર્ક $0.04$ સેકન્ડમાં $2$ બીટ્સ ઉત્પન્ન કરે છે.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $f = \frac{\text{બીટ્સની સંખ્યા}}{\text{સમય (સેકન્ડમાં)}}$
$f = \frac{2}{0.04} = \frac{200}{4} = 50\,Hz$.
તેથી,ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $50\,Hz$ છે.

(C) એકમ સમયમાં ઉત્પન્ન થતા બીટ્સની સંખ્યાને બીટ આવૃત્તિ કહેવામાં આવે છે.
બીટ આવૃત્તિ એ બે ધ્વનિ સ્ત્રોતોની આવૃત્તિઓ વચ્ચેના તફાવત જેટલી હોય છે.
અહીં આપેલ છે કે $0.25 \ s$ માં $4$ બીટ્સ ઉત્પન્ન થાય છે.
બીટ આવૃત્તિ = $\frac{\text{બીટ્સની સંખ્યા}}{\text{સમયગાળો}} = \frac{4}{0.25} \ Hz$.
બીટ આવૃત્તિ = $16 \ Hz$.
તેથી,તેમની આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત $16 \ Hz$ છે.

(D) ધારો કે પિયાનોના તારની આવૃત્તિ $n_P$ છે. ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $n_f = 256\,Hz$ છે.
બીટ આવૃત્તિ $|n_f - n_P| = 5\,Hz$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આનો અર્થ એ છે કે $n_P = 256 \pm 5\,Hz$,તેથી $n_P$ કાં તો $251\,Hz$ અથવા $261\,Hz$ છે.
જ્યારે પિયાનોના તારમાં તણાવ $T$ વધારવામાં આવે છે,ત્યારે આવૃત્તિ $n_P$ વધે છે કારણ કે $n_P \propto \sqrt{T}$.
જો $n_P = 251\,Hz$ હોય,તો તણાવ વધારવાથી $n_P$ એ $256\,Hz$ ની નજીક જાય છે,જેનાથી બીટ આવૃત્તિ $|256 - n_P|$ ઘટે છે.
જો $n_P = 261\,Hz$ હોય,તો તણાવ વધારવાથી $n_P$ એ $256\,Hz$ થી વધુ દૂર જાય છે,જેનાથી બીટ આવૃત્તિ વધે છે.
બીટ આવૃત્તિ $5\,Hz$ થી ઘટીને $2\,Hz$ થતી હોવાથી,પ્રારંભિક આવૃત્તિ $251\,Hz$ હોવી જોઈએ.
તેથી,તણાવ વધારતા પહેલા પિયાનોના તારની આવૃત્તિ $256 - 5 = 251\,Hz$ હતી.

(B) ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{Y}{\rho}}$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે અને $\rho$ એ પદાર્થની ઘનતા છે.
જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ પદાર્થનો યંગ મોડ્યુલસ $Y$ ઘટે છે અને ઉષ્મીય પ્રસરણને કારણે ટ્યુનિંગ ફોર્કની લંબાઈ $l$ વધે છે.
આ બંને પરિબળો ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિમાં ઘટાડો કરવામાં ફાળો આપે છે.
આ સંબંધ $n_t = n_0(1 - \alpha t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n_t$ એ $t^\circ C$ પરની આવૃત્તિ છે,$n_0$ એ $0^\circ C$ પરની આવૃત્તિ છે,અને $\alpha$ એ પદાર્થના ગુણધર્મો સાથે સંબંધિત અચળાંક છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલ છે: તાર $X$ ની આવૃત્તિ $(n_X)$ = $300 \ Hz$.
પ્રારંભિક બીટ આવૃત્તિ = $|n_X - n_Y| = 4 \ Hz$.
આનો અર્થ એ છે કે $Y$ ની પ્રારંભિક આવૃત્તિ $(n_Y)$ કાં તો $300 - 4 = 296 \ Hz$ અથવા $300 + 4 = 304 \ Hz$ છે.
જ્યારે તાર $Y$ નું તણાવ વધારવામાં આવે છે,ત્યારે તેની આવૃત્તિ $n_Y$ વધે છે કારણ કે $n \propto \sqrt{T}$.
કિસ્સો $1$: જો $n_Y = 296 \ Hz$ હોય,તો તણાવ વધારવાથી $n_Y$ એ $300 \ Hz$ ની નજીક જાય છે (દા.ત.,$298 \ Hz$),તેથી બીટ આવૃત્તિ $|300 - 298| = 2 \ Hz$ થાય છે. આ આપેલ શરત સાથે મેળ ખાય છે.
કિસ્સો $2$: જો $n_Y = 304 \ Hz$ હોય,તો તણાવ વધારવાથી $n_Y$ એ $300 \ Hz$ થી વધુ દૂર જાય છે (દા.ત.,$306 \ Hz$),તેથી બીટ આવૃત્તિ $|300 - 306| = 6 \ Hz$ થાય છે. આ શરત સાથે મેળ ખાતું નથી.
તેથી,$Y$ ની મૂળ આવૃત્તિ $296 \ Hz$ હતી.

(C) ધારો કે ટ્યુનિંગ ફોર્ક $C$ ની આવૃત્તિ $n\,Hz$ છે.
આપેલ છે કે $A$ ની આવૃત્તિ $C$ કરતા $3\%$ વધારે છે,તેથી $n_A = n + 0.03n = 1.03n$.
$B$ ની આવૃત્તિ $C$ કરતા $2\%$ ઓછી છે,તેથી $n_B = n - 0.02n = 0.98n$.
જ્યારે $A$ અને $B$ ને એકસાથે વગાડવામાં આવે છે,ત્યારે બીટ આવૃત્તિ $|n_A - n_B| = 5$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $|1.03n - 0.98n| = 5$.
$0.05n = 5$.
$n = \frac{5}{0.05} = 100\,Hz$.
તેથી,ટ્યુનિંગ ફોર્ક $A$ ની આવૃત્તિ $n_A = 1.03 \times 100 = 103\,Hz$ થશે.

(B) પ્રગામી તરંગો માટે આપેલા સમીકરણો $Y_1 = 4\sin(500\pi t)$ અને $Y_2 = 2\sin(506\pi t)$ છે.
આ સમીકરણોને પ્રમાણિત સમીકરણ $Y = A\sin(\omega t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિઓ $\omega_1 = 500\pi \text{ rad/s}$ અને $\omega_2 = 506\pi \text{ rad/s}$ મળે છે.
આવૃત્તિઓ $n_1$ અને $n_2$ ની ગણતરી $\omega = 2\pi n$ નો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે:
$n_1 = \frac{500\pi}{2\pi} = 250 \text{ Hz}$
$n_2 = \frac{506\pi}{2\pi} = 253 \text{ Hz}$
બીટ આવૃત્તિ એ બે આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે: $f_b = n_2 - n_1 = 253 - 250 = 3 \text{ બીટ્સ પ્રતિ સેકન્ડ}$.
પ્રતિ મિનિટ બીટ્સની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે બીટ્સ પ્રતિ સેકન્ડને $60$ વડે ગુણીએ છીએ:
$\text{બીટ્સ પ્રતિ મિનિટ} = 3 \times 60 = 180$.

(B) તરંગની આવૃત્તિ તરંગના ઉદગમ સ્થાન દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
ટ્યુનિંગ ફોર્ક ઉદગમ તરીકે કાર્ય કરતું હોવાથી,ઉત્પન્ન થતા ધ્વનિ તરંગની આવૃત્તિ તે જે માધ્યમમાંથી પસાર થાય છે તેનાથી સ્વતંત્ર રહે છે.
તેથી,ટ્યુનિંગ ફોર્કના દ્રવ્યમાં અને હવામાં આવૃત્તિ સમાન રહે છે.
તરંગલંબાઈ અને વેગ જેવા અન્ય ગુણધર્મો માધ્યમના ગુણધર્મો (જેમ કે ઘનતા અને સ્થિતિસ્થાપકતા) પર આધાર રાખે છે,અને કંપવિસ્તાર તરંગની ઉર્જા પર આધાર રાખે છે,જે અવમંદનને કારણે બદલાઈ શકે છે.

(B) સાયરન ડિસ્ક દ્વારા ઉત્પન્ન થતા અવાજની આવૃત્તિ $f$ નું સૂત્ર $f = n \times \nu$ છે,જ્યાં $n$ એ કાણાંની સંખ્યા છે અને $\nu$ એ પ્રતિ સેકન્ડ પરિભ્રમણની આવૃત્તિ છે.
આપેલ છે,$n = 60$ કાણાં.
પરિભ્રમણની ઝડપ $360\,rpm$ (રિવોલ્યુશન પ્રતિ મિનિટ) છે.
$rpm$ ને પ્રતિ સેકન્ડ પરિભ્રમણમાં ફેરવવા માટે,$60$ વડે ભાગાકાર કરો: $\nu = \frac{360}{60} = 6\,rev/s$.
તેથી,ઉત્સર્જિત અવાજની આવૃત્તિ $f = 60 \times 6 = 360\,Hz$ છે.
અવાજ ટ્યુનિંગ ફોર્ક સાથે એકસૂત્રતામાં હોવાથી,ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $360\,Hz$ છે.

(C) ખેંચાયેલા તારની આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે સૂચવે છે કે $n \propto \sqrt{T}$.
વિકલન લેતા,આપણને $\frac{\Delta n}{n} = \frac{1}{2} \frac{\Delta T}{T}$ મળે છે.
આપેલ છે કે તણાવ $2\%$ વધે છે,એટલે કે $\frac{\Delta T}{T} = 0.02$,તેથી આવૃત્તિમાં થતો ફેરફાર $\frac{\Delta n}{n} = \frac{1}{2} \times 0.02 = 0.01$ અથવા $1\%$ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક આવૃત્તિ $n$ છે. નવી આવૃત્તિ $n' = n + 0.01n = 1.01n$ થશે.
પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્પન્ન થતા બીટ્સની સંખ્યા એ આવૃત્તિઓનો તફાવત છે: $n' - n = 5$.
$1.01n - n = 5 \implies 0.01n = 5$.
$n = \frac{5}{0.01} = 500 \ Hz$.

(D) ધારો કે દરેક તારની પ્રારંભિક આવૃત્તિ $n$ છે. ખેંચાયેલા તારની આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $n \propto \sqrt{T}$.
વિકલન લેતા,આપણને $\frac{dn}{n} = \frac{1}{2} \frac{dT}{T}$ મળે છે.
તણાવમાં ટકાવારી ફેરફાર $1\%$ આપેલ છે,તેથી $\frac{dT}{T} = 0.01$.
આવૃત્તિમાં ફેરફાર $\Delta n = \frac{1}{2} \times n \times \frac{dT}{T} = \frac{1}{2} \times n \times 0.01 = 0.005n$ થાય.
આપણને આપેલ છે કે $2 \,s$ માં $3$ બીટ્સ સંભળાય છે,તેથી બીટ આવૃત્તિ $\Delta n = \frac{3}{2} = 1.5 \,Hz$ છે.
$\Delta n$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $0.005n = 1.5$.
$n$ માટે ઉકેલતા: $n = \frac{1.5}{0.005} = 300 \,Hz$ અથવા $300 \,s^{-1}$.