Doppler’s Effect Questions in Gujarati

(B) ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે ધ્વનિનો સ્ત્રોત (ટ્રેન) સ્થિર અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે અવલોકન કરેલી આવૃત્તિ $f$ એ $f = f_0 \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $v_s$ એ સ્ત્રોતની ઝડપ છે. આ આવૃત્તિ સ્ત્રોતની મૂળ આવૃત્તિ $f_0$ કરતા વધારે હોય છે અને જ્યાં સુધી સ્ત્રોત અચળ વેગથી નજીક આવે છે ત્યાં સુધી તે અચળ રહે છે.
જ્યારે ટ્રેન અવલોકનકાર પાસેથી પસાર થાય છે અને દૂર જવાનું શરૂ કરે છે,ત્યારે અવલોકન કરેલી આવૃત્તિ $f = f_0 \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$ બને છે,જે સ્ત્રોતની મૂળ આવૃત્તિ $f_0$ કરતા ઓછી હોય છે અને જ્યાં સુધી સ્ત્રોત અચળ વેગથી દૂર જાય છે ત્યાં સુધી તે અચળ રહે છે.
તેથી,આવૃત્તિ $f$ શરૂઆતમાં $f_0$ કરતા વધારે હશે અને જે ક્ષણે ટ્રેન અવલોકનકાર પાસેથી પસાર થશે,તે ક્ષણે તે અચાનક ઘટીને $f_0$ કરતા ઓછી કિંમત પર આવી જશે. આ વર્તણૂક આલેખ $B$ દ્વારા યોગ્ય રીતે દર્શાવવામાં આવી છે.

(B) સ્ત્રોત $v_s = \frac{100}{3} \, m/s$ ના વેગ સાથે બિંદુ $A$ તરફ ગતિ કરી રહ્યો છે. અવલોકનકાર બિંદુ $O$ પર છે. અંતર $AO = 4 \, m$ છે અને સ્ત્રોતનું $A$ થી અંતર $3 \, m$ છે. અવલોકનકાર $O$ થી સ્ત્રોતનું અંતર $r = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \, m$ છે.
સ્ત્રોત અને અવલોકનકારને જોડતી રેખા પર સ્ત્રોતના વેગનો ઘટક એ અસરકારક વેગ $v_{s, \text{eff}} = v_s \cos \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ વેગ સદિશ અને રેખા $OS$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
ભૂમિતિ પરથી,$\cos \theta = \frac{3}{5}$.
તેથી,$v_{s, \text{eff}} = \frac{100}{3} \times \frac{3}{5} = 20 \, m/s$.
ગતિશીલ સ્ત્રોત અને સ્થિર અવલોકનકાર માટે ડોપ્લર અસરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $n' = n \left( \frac{v}{v - v_{s, \text{eff}}} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $n' = 640 \times \left( \frac{340}{340 - 20} \right) = 640 \times \left( \frac{340}{320} \right) = 640 \times 1.0625 = 680 \, Hz$.

(C) એન્જિન સ્ત્રોત અને અવલોકનકાર બંને તરીકે કાર્ય કરે છે. અવાજ દીવાલ સુધી પહોંચે છે અને પાછો પરાવર્તિત થાય છે.
એન્જિન $v_s = 50\, ms^{-1}$ ના વેગથી દીવાલ તરફ ગતિ કરતું હોવાથી,દીવાલ દ્વારા પ્રાપ્ત આવૃત્તિ $f'$ ડોપ્લર અસરના સૂત્ર મુજબ:
$f' = f_0 \left( \frac{v}{v - v_s} \right) = 1.2 \left( \frac{350}{350 - 50} \right) = 1.2 \left( \frac{350}{300} \right) = 1.4\, kHz$.
હવે,દીવાલ સ્થિર સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે જે આ આવૃત્તિ $f'$ ને પરાવર્તિત કરે છે,અને એન્જિન $v_o = 50\, ms^{-1}$ ના વેગથી દીવાલ તરફ ગતિ કરતા અવલોકનકાર તરીકે કાર્ય કરે છે.
ડ્રાઈવર દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિ $f''$:
$f'' = f' \left( \frac{v + v_o}{v} \right) = 1.4 \left( \frac{350 + 50}{350} \right) = 1.4 \left( \frac{400}{350} \right) = 1.4 \times \frac{8}{7} = 1.6\, kHz$.
વૈકલ્પિક રીતે,દીવાલ પરથી પરાવર્તન માટેના સંયુક્ત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$f'' = f_0 \left( \frac{v + v_s}{v - v_s} \right) = 1.2 \left( \frac{350 + 50}{350 - 50} \right) = 1.2 \left( \frac{400}{300} \right) = 1.6\, kHz$.

(D) અવલોકનકાર દ્વારા નજીક આવતી ટ્રેનમાંથી સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ $n'$ નીચે મુજબ છે:
$n' = n \left[ \frac{v}{v - v_s} \right]$
અવલોકનકાર દ્વારા દૂર જતી ટ્રેનમાંથી સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ $n''$ નીચે મુજબ છે:
$n'' = n \left[ \frac{v}{v + v_s} \right]$
પ્રતિ સેકન્ડ સંભળાતા બીટ્સની સંખ્યા આ બે આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$\Delta n = n' - n''$
$\Delta n = nv \left[ \frac{1}{v - v_s} - \frac{1}{v + v_s} \right] = nv \left[ \frac{(v + v_s) - (v - v_s)}{v^2 - v_s^2} \right] = nv \left[ \frac{2v_s}{v^2 - v_s^2} \right]$
અહીં $v_s^2$ એ $v^2$ ની સરખામણીમાં ખૂબ નાનું હોવાથી ($4^2 = 16$ અને $320^2 = 102400$),આપણે $v^2 - v_s^2 \approx v^2$ લઈ શકીએ:
$\Delta n \approx nv \left[ \frac{2v_s}{v^2} \right] = \frac{2nv_s}{v}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા ($n = 240\,Hz$,$v_s = 4\,m/s$,$v = 320\,m/s$):
$\Delta n = \frac{2 \times 240 \times 4}{320} = \frac{1920}{320} = 6\,Hz$
આમ,માણસ દ્વારા સંભળાતા પ્રતિ સેકન્ડ બીટ્સની સંખ્યા $6$ છે.

(B) મોટરસાયકલ સવાર દ્વારા સંભળાતી પોલીસ વાનના હોર્નની આભાસી આવૃત્તિ $f'$ ડોપ્લર અસરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$f' = \left( \frac{v - u_m}{v - v_s} \right) f_s$
અહીં $v = 330 \, m/s$,$v_s = 22 \, m/s$,અને $f_s = 176 \, Hz$ છે:
$f' = \left( \frac{330 - u_m}{330 - 22} \right) \times 176 = \left( \frac{330 - u_m}{308} \right) \times 176 \quad \dots (i)$
મોટરસાયકલ સવાર દ્વારા સંભળાતી સ્થિર સાયરનની આભાસી આવૃત્તિ $f''$ છે:
$f'' = \left( \frac{v + u_m}{v} \right) f_{sireen}$
અહીં $f_{sireen} = 165 \, Hz$ છે:
$f'' = \left( \frac{330 + u_m}{330} \right) \times 165 \quad \dots (ii)$
કારણ કે મોટરસાયકલ સવાર કોઈ બીટ્સ અનુભવતો નથી,તેથી આવૃત્તિઓ સમાન હોવી જોઈએ $(f' = f'')$:
$\left( \frac{330 - u_m}{308} \right) \times 176 = \left( \frac{330 + u_m}{330} \right) \times 165$
$\frac{4(330 - u_m)}{7} = \frac{330 + u_m}{2}$
$8(330 - u_m) = 7(330 + u_m)$
$2640 - 8u_m = 2310 + 7u_m$
$15u_m = 330$
$u_m = 22 \, m/s$.

(D) $1$. ધ્વનિની તરંગલંબાઈ $\lambda = v/f$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે. ઉદગમ આવૃત્તિ $f$ નક્કી કરે છે અને માધ્યમ વેગ $v$ નક્કી કરે છે,તેથી તરંગલંબાઈ અવલોકનકારની ગતિ પર આધારિત નથી. આમ,વિધાન $A$ સાચું છે.
$2$. જ્યારે ઉદગમ ગતિ કરે છે,ત્યારે ક્રમિક તરંગો વચ્ચેનું અંતર બદલાય છે,જે તરંગલંબાઈને સીધી અસર કરે છે. આમ,વિધાન $B$ સાચું છે.
$3$. જો માધ્યમ $u$ વેગ સાથે ગતિ કરે,તો જમીનની સાપેક્ષે ધ્વનિનો વેગ $v' = v \pm u$ થાય છે. તરંગલંબાઈ પણ $\lambda' = (v \pm u)/f$ માં બદલાય છે. $f$ અચળ હોવાથી,ગુણોત્તર $\lambda'/v' = 1/f$ અચળ રહે છે,એટલે કે તેઓ સમાન પ્રમાણમાં બદલાય છે. આમ,વિધાન $C$ સાચું છે.
$4$. જ્યારે માધ્યમ ઉદગમથી અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે ધ્વનિનો અસરકારક વેગ $v' = v + u$ થાય છે. પરંતુ જો ઉદગમ અને અવલોકનકાર બંને સ્થિર હોય,તો સંભળાતી આવૃત્તિ મૂળ આવૃત્તિ જેટલી જ રહે છે કારણ કે પ્રતિ સેકન્ડ પસાર થતા તરંગોની સંખ્યા બદલાતી નથી. તેથી,વિધાન $D$ ખોટું છે.

(C) ધારો કે કાર $B$ ની ઝડપ $v_B$ છે. બંને કાર $A$ અને $B$ સ્થિર સાયરન તરફ ગતિ કરી રહી છે.
$1$. સ્થિર સાયરન દ્વારા કાર $B$ ને સંભળાતી આવૃત્તિ $(n_1)$:
ઉદગમ સ્થિર છે અને અવલોકનકાર (કાર $B$) તેની તરફ ગતિ કરે છે,તેથી આવૃત્તિ:
$n_1 = n_s \left( \frac{v + v_B}{v} \right) = 170 \left( \frac{340 + v_B}{340} \right) = \frac{1}{2} (340 + v_B)$
$2$. કાર $A$ દ્વારા કાર $B$ ને સંભળાતી આવૃત્તિ $(n_2)$:
કાર $A$ એ ઉદગમ છે જે અવલોકનકાર (કાર $B$) તરફ ગતિ કરે છે,અને કાર $B$ એ અવલોકનકાર છે જે ઉદગમ (કાર $A$) થી દૂર ગતિ કરે છે.
$n_2 = n_A \left( \frac{v - v_B}{v - v_A} \right) = 180 \left( \frac{340 - v_B}{340 - 20} \right) = 180 \left( \frac{340 - v_B}{320} \right) = \frac{18}{32} (340 - v_B) = \frac{9}{16} (340 - v_B)$
$3$. બીટ્સ ન સંભળાય તે માટેની શરત:
બીટ્સ ન સંભળાય તે માટે,આવૃત્તિઓ સમાન હોવી જોઈએ: $n_1 = n_2$
$\frac{1}{2} (340 + v_B) = \frac{9}{16} (340 - v_B)$
$8 (340 + v_B) = 9 (340 - v_B)$
$2720 + 8v_B = 3060 - 9v_B$
$17v_B = 340$
$v_B = 20 \, m/s$

(D) ધ્વનિ તરંગો માટે ડોપ્લર અસર માધ્યમ પર આધાર રાખે છે. સૂત્ર $f' = f \left( \frac{v \pm v_o}{v \mp v_s} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ માધ્યમમાં ધ્વનિની ઝડપ છે,$v_o$ એ અવલોકનકારની ઝડપ છે અને $v_s$ એ સ્ત્રોતની ઝડપ છે.
માધ્યમ એક ચોક્કસ સંદર્ભ ફ્રેમ પૂરી પાડે છે,તેથી આ અસર સ્ત્રોત અને અવલોકનકારના સંદર્ભમાં સંમિત નથી. તેથી,વિધાન ખોટું છે.
સ્થિર અવલોકનકારના સંદર્ભમાં સ્ત્રોતની ગતિ એ સ્થિર સ્ત્રોતના સંદર્ભમાં અવલોકનકારની ગતિ કરતા ભૌતિક રીતે અલગ છે કારણ કે એક કિસ્સામાં માધ્યમ સ્થિર છે અને બીજામાં તે અવલોકનકારની સાપેક્ષમાં ગતિ કરે છે. આમ,કારણ સાચું છે.

(D) ધારો કે $c$ એ અવાજની ઝડપ છે અને $v$ એ ટ્યુનિંગ ફોર્કની ઝડપ છે.
નજીક આવતા ટ્યુનિંગ ફોર્ક દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિ $\nu_{1} = \left(\frac{c}{c-v}\right) \nu_{0}$ છે.
દૂર જતા ટ્યુનિંગ ફોર્ક દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિ $\nu_{2} = \left(\frac{c}{c+v}\right) \nu_{0}$ છે.
બીટ આવૃત્તિ $\Delta \nu = \nu_{1} - \nu_{2} = 2 \; \text{Hz}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદાવલિઓ મૂકતા:
$\Delta \nu = c \nu_{0} \left(\frac{1}{c-v} - \frac{1}{c+v}\right) = c \nu_{0} \left(\frac{c+v - (c-v)}{c^{2}-v^{2}}\right) = \frac{2 c \nu_{0} v}{c^{2}-v^{2}}$.
કારણ કે $v \ll c$, આપણે $c^{2} - v^{2} \approx c^{2}$ તરીકે અંદાજ લગાવી શકીએ છીએ.
તેથી, $\Delta \nu \approx \frac{2 c \nu_{0} v}{c^{2}} = \frac{2 \nu_{0} v}{c} = 2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{2 \times 1400 \times v}{350} = 2$.
$8v = 2 \Rightarrow v = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \; \text{m/s}$.

(N/A) $(1)$ અવલોકનકાર (લક્ષ્ય) સ્થિર છે $(v_o = 0)$ અને ઉદગમ (રોકેટ) $v_s = 200\; m s^{-1}$ ની ઝડપે લક્ષ્ય તરફ ગતિ કરે છે. અવાજની ઝડપ $v = 330\; m s^{-1}$ છે.
ગતિશીલ ઉદગમ અને સ્થિર અવલોકનકાર માટે ડોપ્લર અસરનું સૂત્ર વાપરતા:
$f' = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$
$f' = 1000\; Hz \times \left( \frac{330}{330 - 200} \right) = 1000 \times \left( \frac{330}{130} \right) \simeq 2538.46\; Hz$.
$(2)$ હવે, લક્ષ્ય પરાવર્તિત અવાજ (પડઘા) ના ઉદગમ તરીકે કાર્ય કરે છે અને તે સ્થિર છે $(v_s = 0)$. રોકેટ અવલોકનકાર તરીકે કાર્ય કરે છે જે $v_o = 200\; m s^{-1}$ ની ઝડપે ઉદગમ તરફ ગતિ કરે છે. ઉદગમની આવૃત્તિ એ લક્ષ્ય દ્વારા પ્રાપ્ત થયેલ આવૃત્તિ $f' = 2538.46\; Hz$ છે.
સ્થિર ઉદગમ અને ગતિશીલ અવલોકનકાર માટે ડોપ્લર અસરનું સૂત્ર વાપરતા:
$f'' = f' \left( \frac{v + v_o}{v} \right)$
$f'' = 2538.46\; Hz \times \left( \frac{330 + 200}{330} \right) = 2538.46 \times \left( \frac{530}{330} \right) \simeq 4076.16\; Hz$.

(A) સીટીની આવૃત્તિ,$\nu = 400\; Hz$.
સ્ત્રોત (ટ્રેન) ની ઝડપ,$v_s = 10\; m s^{-1}$.
ધ્વનિની ઝડપ,$v = 340\; m s^{-1}$.
જ્યારે ટ્રેન પ્લેટફોર્મ તરફ આવે છે ત્યારે સીટીની આભાસી આવૃત્તિ $(\nu')$ ડોપ્લર અસરના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\nu' = \left( \frac{v}{v - v_s} \right) \nu = \left( \frac{340}{340 - 10} \right) \times 400 = \frac{340}{330} \times 400 \approx 412.12\; Hz$.
જ્યારે ટ્રેન પ્લેટફોર્મથી દૂર જાય છે ત્યારે સીટીની આભાસી આવૃત્તિ $(\nu'')$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\nu'' = \left( \frac{v}{v + v_s} \right) \nu = \left( \frac{340}{340 + 10} \right) \times 400 = \frac{340}{350} \times 400 \approx 388.57\; Hz$.
$(ii)$ ધ્વનિની આવૃત્તિમાં થતો આભાસી ફેરફાર સ્ત્રોત અને નિરીક્ષક વચ્ચેની સાપેક્ષ ગતિને કારણે થાય છે. આ ગતિ માધ્યમમાં ધ્વનિની ઝડપને અસર કરતી નથી. તેથી,બંને કિસ્સામાં હવામાં ધ્વનિની ઝડપ $340\; m s^{-1}$ જ રહેશે.

(D) સ્થિર અવલોકનકાર માટે: આવૃત્તિ $= 400\; Hz$,તરંગલંબાઇ $= 0.875\; m$,ધ્વનિની ઝડપ $= 350\; m s^{-1}$.
દોડતા અવલોકનકાર માટે: આવૃત્તિ $\approx 411.76\; Hz$,તરંગલંબાઇ $= 0.85\; m$,ધ્વનિની ઝડપ $= 340\; m s^{-1}$.
$1$. સ્થિર અવલોકનકાર માટે:
સ્ત્રોત અને અવલોકનકાર એકબીજાની સાપેક્ષમાં સ્થિર હોવાથી,આવૃત્તિ $400\; Hz$ રહે છે. પવન અવલોકનકાર તરફ ફૂંકાય છે,તેથી ધ્વનિની અસરકારક ઝડપ $v_e = v + w = 340 + 10 = 350\; m s^{-1}$ થાય છે. તરંગલંબાઇ $\lambda = v_e / f = 350 / 400 = 0.875\; m$ મળે છે.
$2$. દોડતા અવલોકનકાર માટે:
અહીં હવા સ્થિર છે,તેથી ધ્વનિની ઝડપ $340\; m s^{-1}$ છે. તરંગલંબાઇ $\lambda = v / f = 340 / 400 = 0.85\; m$ રહે છે. અવલોકનકાર $10\; m s^{-1}$ ની ઝડપે સ્ત્રોત તરફ ગતિ કરે છે,તેથી સંભળાતી આવૃત્તિ $f' = f(v + v_o) / v = 400(340 + 10) / 340 = 411.76\; Hz$ થાય છે.
નિષ્કર્ષ: બંને પરિસ્થિતિઓ સમાન નથી કારણ કે બંને કિસ્સાઓમાં તરંગલંબાઇ અને ધ્વનિની અસરકારક ઝડપ અલગ-અલગ છે.

(D) $SONAR$ ની કાર્યકારી આવૃત્તિ $f = 40.0 \; kHz = 40000 \; Hz$ છે.
દુશ્મન સબમરીન (અવલોકનકાર) ની ઝડપ $v_o = 360 \; km/h = 100 \; m/s$ છે.
પાણીમાં ધ્વનિની ઝડપ $v = 1450 \; m/s$ છે.
પ્રથમ,દુશ્મન સબમરીન સ્થિર $SONAR$ સ્ત્રોત તરફ ગતિ કરતા અવલોકનકાર તરીકે કાર્ય કરે છે. સબમરીન દ્વારા પ્રાપ્ત આવૃત્તિ $f'$ છે:
$f' = f \left( \frac{v + v_o}{v} \right) = 40 \left( \frac{1450 + 100}{1450} \right) = 40 \left( \frac{1550}{1450} \right) \approx 42.76 \; kHz$.
ત્યારબાદ,સબમરીન આ આવૃત્તિને $SONAR$ તરફ પરાવર્તિત કરે છે. સબમરીન $SONAR$ તરફ ગતિ કરતી હોવાથી,$SONAR$ દ્વારા પ્રાપ્ત આવૃત્તિ $f''$ છે:
$f'' = f' \left( \frac{v}{v - v_o} \right) = 42.76 \left( \frac{1450}{1450 - 100} \right) = 42.76 \left( \frac{1450}{1350} \right) \approx 45.93 \; kHz$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં,આવૃત્તિ આશરે $46 \; kHz$ છે.

(B) ધારો કે $v$ એ હવામાં અવાજની ઝડપ છે અને $f = 40\; kHz$ એ ચામાચીડિયા દ્વારા ઉત્સર્જિત આવૃત્તિ છે.
ચામાચીડિયું દીવાલ તરફ $v_b = 0.03v$ ઝડપે ગતિ કરે છે.
પ્રથમ,દીવાલ સ્થિર અવલોકનકાર તરીકે કાર્ય કરે છે જે અવાજ મેળવે છે. દીવાલ દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિ $f'$ છે:
$f' = f \left( \frac{v}{v - v_b} \right) = 40 \left( \frac{v}{v - 0.03v} \right) = \frac{40}{0.97}\; kHz$.
ત્યારબાદ,દીવાલ આ અવાજને પરાવર્તિત કરે છે,જે સ્થિર ઉદગમ તરીકે કાર્ય કરે છે,અને ચામાચીડિયું $v_b = 0.03v$ ઝડપે ઉદગમ તરફ ગતિ કરતા અવલોકનકાર તરીકે કાર્ય કરે છે. ચામાચીડિયા દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિ $f''$ છે:
$f'' = f' \left( \frac{v + v_b}{v} \right) = \left( \frac{40}{0.97} \right) \left( \frac{v + 0.03v}{v} \right) = \frac{40 \times 1.03}{0.97} \approx 42.47\; kHz$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $42.5\; kHz$ મળે છે.

(N/A) ડોપ્લર અસર એ એવી ઘટના છે જેમાં તરંગના ઉદગમ અને અવલોકનકાર વચ્ચેની સાપેક્ષ ગતિને કારણે તરંગની અવલોકિત આવૃત્તિમાં ફેરફાર થાય છે.
ઉદાહરણ: જ્યારે ઝડપથી ગતિ કરતી ટ્રેન અવલોકનકારથી દૂર જાય છે,ત્યારે તેની સીટીનો પીચ (અથવા આવૃત્તિ) ઘટતો જણાય છે. તેનાથી વિપરીત,જ્યારે અવલોકનકાર સ્થિર ધ્વનિના ઉદગમ તરફ ઉચ્ચ ઝડપે ગતિ કરે છે,ત્યારે સંભળાતા ધ્વનિનો પીચ ઉદગમની વાસ્તવિક આવૃત્તિ કરતા વધારે જણાય છે.
વિશ્લેષણ: ડોપ્લર અસર એ તરંગની ઘટના છે જે ધ્વનિ અને વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો બંને માટે લાગુ પડે છે. આપણે ત્રણ મુખ્ય પરિસ્થિતિઓમાં આવૃત્તિના ફેરફારોનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
$(1)$ અવલોકનકાર સ્થિર હોય પણ ઉદગમ ગતિ કરતું હોય.
$(2)$ અવલોકનકાર ગતિ કરતો હોય પણ ઉદગમ સ્થિર હોય.
$(3)$ અવલોકનકાર અને ઉદગમ બંને માધ્યમની સાપેક્ષમાં ગતિ કરતા હોય.

(D) ડોપ્લર અસર એ તરંગના સ્ત્રોતની સાપેક્ષમાં ગતિ કરતા અવલોકનકાર માટે તરંગની આવૃત્તિમાં થતા ફેરફારનું વર્ણન કરે છે. ડોપ્લર અસરના સૂત્રના તારણ માટેની પ્રમાણભૂત પૂર્વધારણાઓ નીચે મુજબ છે:
$(1)$ જે માધ્યમમાંથી ધ્વનિ પ્રસરણ પામે છે તે માધ્યમ સ્થિર છે.
$(2)$ સ્ત્રોત અને અવલોકનકારનો વેગ માધ્યમમાં ધ્વનિના વેગ કરતા ઘણો ઓછો છે $(v_s, v_o < v)$.
$(3)$ સ્ત્રોત અને અવલોકનકારની ગતિ તેમને જોડતી સીધી રેખા પર છે.
$(4)$ અવલોકનકાર ધ્વનિ સાંભળવા માટે સક્ષમ છે.

(N/A) આ માટે,આપણે નીચેની સંજ્ઞા પ્રણાલીનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: અવલોકનકારથી ઉદગમ તરફની દિશાને વેગની ધન દિશા તરીકે લેવામાં આવે છે.
ધારો કે એક ઉદગમ $S$ એ $v_{s}$ વેગથી ગતિ કરે છે અને અવલોકનકાર એવા ફ્રેમમાં સ્થિર છે જેમાં માધ્યમ પણ સ્થિર છે.
ધારો કે માધ્યમની સાપેક્ષમાં સ્થિર અવલોકનકાર દ્વારા માપવામાં આવતી કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ અને આવર્તકાળ $T_{0}$ વાળા તરંગની ઝડપ $v$ છે.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,$t=0$ સમયે ઉદગમ $S_{1}$ બિંદુ પર છે,જે અવલોકનકારથી $L$ અંતરે છે અને એક શૃંગ ઉત્સર્જિત કરે છે. આ શૃંગ અવલોકનકાર પાસે $t_{1} = \frac{L}{v} \quad \dots (1)$ સમયે પહોંચે છે.
$t=T_{0}$ સમયે ઉદગમ $v_{s}T_{0}$ અંતર કાપીને $S_{2}$ બિંદુ પર પહોંચે છે,જે અવલોકનકારથી $L + v_{s}T_{0}$ અંતરે છે. $S_{2}$ પર,ઉદગમ બીજું શૃંગ ઉત્સર્જિત કરે છે. આ શૃંગ અવલોકનકાર પાસે $t_{2} = T_{0} + \frac{L + v_{s}T_{0}}{v}$ સમયે પહોંચે છે.
$n T_{0}$ સમયે ઉદગમ તેનું $(n+1)^{th}$ શૃંગ ઉત્સર્જિત કરે છે,જે અવલોકનકાર પાસે $t_{n+1} = n T_{0} + \frac{L + n v_{s}T_{0}}{v} \quad \dots (2)$ સમયે પહોંચે છે.
અવલોકનકાર પાસે $(n+1)^{th}$ શૃંગ અને પ્રથમ શૃંગના આગમન વચ્ચેનો સમયગાળો $\Delta t = t_{n+1} - t_{1} = n T_{0} + \frac{L + n v_{s}T_{0}}{v} - \frac{L}{v} = n T_{0} + \frac{n v_{s}T_{0}}{v} = n T_{0} \left( 1 + \frac{v_{s}}{v} \right)$ છે.
અવલોકિત આવર્તકાળ $T$ એ ક્રમિક શૃંગો વચ્ચેનો સમયગાળો છે,તેથી $T = \frac{\Delta t}{n} = T_{0} \left( 1 + \frac{v_{s}}{v} \right) = T_{0} \left( \frac{v + v_{s}}{v} \right)$.
આવૃત્તિ $\nu = \frac{1}{T}$ અને $\nu_{0} = \frac{1}{T_{0}}$ હોવાથી,અવલોકિત આવૃત્તિ $\nu = \nu_{0} \left( \frac{v}{v + v_{s}} \right)$ મળે છે.

(N/A) જ્યારે અવલોકનકાર $v_{0}$ વેગ સાથે સ્થિર ઉદગમ તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે આપણે ગતિશીલ અવલોકનકારના સંદર્ભ ફ્રેમમાં પરિસ્થિતિનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ. આ ફ્રેમમાં,ઉદગમ અને માધ્યમ $v_{0}$ ઝડપે અવલોકનકારની નજીક આવે છે,અને જે ઝડપે તરંગના શૃંગો અવલોકનકાર પાસે પહોંચે છે તે $v + v_{0}$ છે.
પ્રથમ અને $(n+1)^{\text{th}}$ શૃંગના આગમન વચ્ચેનો સમયગાળો નીચે મુજબ છે:
$t_{n+1} - t_{n} = n T_{0} - \frac{n v_{0} T_{0}}{v + v_{0}}$
અવલોકનકાર તરંગનો આવર્તકાળ નીચે મુજબ માપે છે:
$T = \frac{t_{n+1} - t_{1}}{n} = T_{0} \left( 1 - \frac{v_{0}}{v + v_{0}} \right) = T_{0} \left( \frac{v}{v + v_{0}} \right)$
આવૃત્તિ $\nu = \frac{1}{T}$ અને મૂળ આવૃત્તિ $\nu_{0} = \frac{1}{T_{0}}$ હોવાથી,અવલોકિત આવૃત્તિ:
$\nu = \nu_{0} \left( \frac{v + v_{0}}{v} \right) = \nu_{0} \left( 1 + \frac{v_{0}}{v} \right)$
જ્યારે અવલોકનકાર સ્થિર ઉદગમથી દૂર જાય છે,ત્યારે આપણે સમીકરણમાં $v_{0}$ ની જગ્યાએ $-v_{0}$ મૂકીએ છીએ:
$\nu = \nu_{0} \left( 1 - \frac{v_{0}}{v} \right)$

(N/A) ધારો કે અવલોકનકારથી ઉદગમ તરફની દિશાને ધન દિશા તરીકે લઈએ.
ધારો કે ઉદગમ અને અવલોકનકાર અનુક્રમે $v_{s}$ અને $v_{0}$ વેગથી ગતિ કરે છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
ધારો કે $t=0$ સમયે,અવલોકનકાર $O_{1}$ પર છે અને ઉદગમ $S_{1}$ પર છે,જ્યાં $O_{1}$ એ $S_{1}$ ની ડાબી બાજુએ છે.
ઉદગમ $v$ વેગ,$\nu$ આવૃત્તિ અને $T_{0}$ આવર્તકાળ ધરાવતું તરંગ ઉત્સર્જિત કરે છે,જે માધ્યમની સાપેક્ષ સ્થિર અવલોકનકાર દ્વારા માપવામાં આવે છે.
ધારો કે $t=0$ સમયે $O_{1}$ અને $S_{1}$ વચ્ચેનું અંતર $L$ છે,જ્યારે ઉદગમ પ્રથમ શૃંગ ઉત્સર્જિત કરે છે. અવલોકનકાર ગતિ કરતો હોવાથી,અવલોકનકારની સાપેક્ષ તરંગનો વેગ $v+v_{0}$ થશે. તેથી,પ્રથમ શૃંગ અવલોકનકાર પાસે $t_{1}=\frac{L}{v+v_{0}}$ સમયે પહોંચે છે.
$t=T_{0}$ સમયે,અવલોકનકાર અને ઉદગમ બંને તેમના નવા સ્થાનો $O_{2}$ અને $S_{2}$ પર પહોંચે છે. અવલોકનકાર અને ઉદગમ વચ્ચેનું નવું અંતર $O_{2}S_{2}$ એ $L+(v_{s}-v_{0})T_{0}$ થશે.
$S_{2}$ પર,ઉદગમ બીજું શૃંગ ઉત્સર્જિત કરે છે. આ અવલોકનકાર પાસે $t_{2}=T_{0}+\frac{L+(v_{s}-v_{0})T_{0}}{v+v_{0}}$ સમયે પહોંચે છે.
$nT_{0}$ સમયે,ઉદગમ તેનું $(n+1)^{th}$ શૃંગ ઉત્સર્જિત કરે છે,અને તે અવલોકનકાર પાસે $t_{n+1}=nT_{0}+\frac{L+n(v_{s}-v_{0})T_{0}}{v+v_{0}}$ સમયે પહોંચે છે.
પ્રથમ અને $(n+1)^{th}$ શૃંગના આગમન વચ્ચેનો સમયગાળો $\Delta t = t_{n+1} - t_{1} = nT_{0} + \frac{n(v_{s}-v_{0})T_{0}}{v+v_{0}} = nT_{0} \left(1 + \frac{v_{s}-v_{0}}{v+v_{0}}\right) = nT_{0} \left(\frac{v+v_{0}+v_{s}-v_{0}}{v+v_{0}}\right) = nT_{0} \left(\frac{v+v_{s}}{v+v_{0}}\right)$ છે.
અવલોકિત આવર્તકાળ $T' = \frac{\Delta t}{n} = T_{0} \left(\frac{v+v_{s}}{v+v_{0}}\right)$ છે.
આમ,અવલોકિત આવૃત્તિ $\nu' = \frac{1}{T'} = \nu \left(\frac{v+v_{0}}{v+v_{s}}\right)$ છે.

(N/A) ડોપ્લર અસર માટેનું સામાન્ય સૂત્ર $\frac{f_{L}}{v + v_{L}} = \frac{f_{S}}{v + v_{S}}$ છે,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે,$v_{L}$ એ શ્રોતાનો વેગ છે અને $v_{S}$ એ સ્ત્રોતનો વેગ છે.
અહીં શ્રોતા સ્થિર હોવાથી,$v_{L} = 0$ છે.
જ્યારે સ્ત્રોત શ્રોતાથી દૂર જાય છે,ત્યારે ધ્વનિના પ્રસરણની દિશામાં (શ્રોતાથી સ્ત્રોત તરફ) સ્ત્રોતનો વેગ $v_{S}$ ધન લેવામાં આવે છે,તેથી છેદ $(v + v_{S})$ બને છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{f_{L}}{v + 0} = \frac{f_{S}}{v + v_{S}}$ મળે છે.
તેથી,$f_{L} = \left( \frac{v}{v + v_{S}} \right) f_{S}$.
અહીં $v + v_{S} > v$ હોવાથી,અપૂર્ણાંક $\frac{v}{v + v_{S}} < 1$ થાય છે. પરિણામે,$f_{L} < f_{S}$ મળે છે.

(A) માટે,જ્યારે ધ્વનિનો સ્ત્રોત અને શ્રોતા બંને દીવાલ તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે ધ્વનિ દીવાલ પરથી પરાવર્તિત થાય છે. દીવાલ એક ગૌણ સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે. બંને પરાવર્તિત સપાટી તરફ ગતિ કરતા હોવાથી,ડોપ્લર અસરને કારણે શ્રોતા દ્વારા સાંભળવામાં આવતી પરાવર્તિત ધ્વનિ (પડઘા) ની આવૃત્તિ વધે છે. તેથી,$(a-iii)$.
$(b)$ માટે,જ્યારે સ્ત્રોત અને શ્રોતા એકબીજાથી દૂર જાય છે,ત્યારે તેમની વચ્ચેનો સાપેક્ષ વેગ વધે છે,જેના કારણે ડોપ્લર અસરના સૂત્ર $f' = f \left( \frac{v - v_L}{v + v_S} \right)$ મુજબ અવલોકિત આવૃત્તિ ઘટે છે. તેથી,$(b-ii)$.

(B) ડોપ્લર અસર મુજબ,અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ $f_{L}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$f_{L} = f_{S} \left( \frac{v + v_{L}}{v + v_{S}} \right)$
અહીં,$f_{S} = 400 \ Hz$ એ ઉદગમની આવૃત્તિ છે,$v = 330 \ ms^{-1}$ એ હવામાં અવાજનો વેગ છે,$v_{L} = 0 \ ms^{-1}$ એ અવલોકનકારનો વેગ છે (પ્લેટફોર્મ પર સ્થિર),અને $v_{S} = -10 \ ms^{-1}$ એ ઉદગમનો વેગ છે (અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે).
કિંમતો મૂકતા:
$f_{L} = 400 \times \left( \frac{330 + 0}{330 - 10} \right)$
$f_{L} = 400 \times \left( \frac{330}{320} \right)$
$f_{L} = 400 \times 1.03125 = 412.5 \ Hz$
આમ,અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી અવાજની આવૃત્તિ $412.5 \ Hz$ છે.

(A) ધારો કે બસની ઝડપ $v_B$ છે અને ધ્વનિની ઝડપ $v = 330\, ms^{-1}$ છે.
પ્રથમ,હોર્નમાંથી નીકળતો અવાજ દીવાલ સુધી પહોંચે છે. દીવાલ એક સ્થિર અવલોકનકાર તરીકે કાર્ય કરે છે જે ગતિશીલ ઉદગમ (બસ) પાસેથી અવાજ મેળવે છે. દીવાલ દ્વારા પ્રાપ્ત આવૃત્તિ $f'$ છે:
$f' = f_0 \left( \frac{v}{v - v_B} \right) = 420 \left( \frac{330}{330 - v_B} \right)$
ત્યારબાદ,દીવાલ આ અવાજને પરાવર્તિત કરે છે,જે $f'$ આવૃત્તિના સ્થિર ઉદગમ તરીકે કાર્ય કરે છે. ડ્રાઈવર (ગતિશીલ ઉદગમ) આ ઉદગમ તરફ ગતિ કરતા અવલોકનકાર તરીકે કાર્ય કરે છે. ડ્રાઈવર દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિ $f''$ છે:
$f'' = f' \left( \frac{v + v_B}{v} \right) = 420 \left( \frac{330}{330 - v_B} \right) \left( \frac{330 + v_B}{330} \right)$
આપેલ છે કે $f'' = 490\, Hz$,તેથી:
$490 = 420 \left( \frac{330 + v_B}{330 - v_B} \right)$
બંને બાજુ $70$ વડે ભાગતા:
$7 = 6 \left( \frac{330 + v_B}{330 - v_B} \right)$
$7(330 - v_B) = 6(330 + v_B)$
$2310 - 7v_B = 1980 + 6v_B$
$13v_B = 330$
$v_B = \frac{330}{13} \approx 25.38\, ms^{-1}$
$kmh^{-1}$ માં રૂપાંતર કરતા:
$v_B = \frac{330}{13} \times \frac{18}{5} = \frac{66 \times 18}{13} = \frac{1188}{13} \approx 91.38\, kmh^{-1}$
નજીકના પૂર્ણાંકમાં,ઝડપ $91\, kmh^{-1}$ છે.

(D) ધારો કે $f_0 = 440 \, Hz$ એ મૂળ આવૃત્તિ છે અને $f_2 = 480 \, Hz$ એ ડ્રાઈવર દ્વારા સાંભળવામાં આવતી પરાવર્તિત આવૃત્તિ છે.
પ્રથમ,દીવાલ એક સ્થિર અવલોકનકાર તરીકે કાર્ય કરે છે જે ગતિશીલ કારમાંથી અવાજ મેળવે છે. દીવાલ દ્વારા પ્રાપ્ત થતી આવૃત્તિ $f_1$ એ ગતિશીલ ઉદગમ અને સ્થિર અવલોકનકાર માટે ડોપ્લર અસરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$f_1 = f_0 \left( \frac{v}{v - v_c} \right)$
જ્યાં $v = 345 \, m/s$ એ અવાજની ઝડપ છે અને $v_c$ એ કારની ઝડપ છે.
ત્યારબાદ,દીવાલ એક સ્થિર ઉદગમ તરીકે કાર્ય કરે છે જે અવાજને ગતિશીલ ડ્રાઈવર (જે હવે અવલોકનકાર છે) તરફ પરાવર્તિત કરે છે. ડ્રાઈવર દ્વારા સાંભળવામાં આવતી આવૃત્તિ $f_2$ છે:
$f_2 = f_1 \left( \frac{v + v_c}{v} \right)$
$f_2$ ના સમીકરણમાં $f_1$ ની કિંમત મૂકતા:
$f_2 = f_0 \left( \frac{v}{v - v_c} \right) \left( \frac{v + v_c}{v} \right) = f_0 \left( \frac{v + v_c}{v - v_c} \right)$
આપેલ છે કે $f_2 / f_0 = 480 / 440 = 48 / 44 = 12 / 11$:
$12 / 11 = (345 + v_c) / (345 - v_c)$
$12(345 - v_c) = 11(345 + v_c)$
$4140 - 12v_c = 3795 + 11v_c$
$23v_c = 345$
$v_c = 345 / 23 = 15 \, m/s$
$km/hr$ માં રૂપાંતર કરતા:
$v_c = 15 \times (18 / 5) = 54 \, km/hr$.

(D) અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિ $f$ ડોપ્લર અસરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $f = f_{0} \left( \frac{v_{s}}{v_{s} - v \cos \theta} \right)$,જ્યાં $v_{s}$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે,$v$ એ સ્ત્રોતની ઝડપ છે,અને $\theta$ એ સ્ત્રોતના વેગ સદિશ અને સ્ત્રોતને અવલોકનકાર સાથે જોડતી રેખા વચ્ચેનો ખૂણો છે.
જ્યારે સ્ત્રોત નજીકના બિંદુએ પહોંચે તે પહેલાં $(t < t_{0})$,સ્ત્રોત અવલોકનકારની નજીક આવી રહ્યો છે,તેથી $\theta$ લઘુકોણ છે,$\cos \theta > 0$,અને અવલોકન કરેલી આવૃત્તિ $f > f_{0}$ છે. જેમ જેમ સ્ત્રોત નજીકના બિંદુ તરફ આગળ વધે છે,તેમ $\theta$ વધીને $90^{\circ}$ તરફ જાય છે,તેથી $\cos \theta$ ઘટે છે,અને $f$ ઘટીને $f_{0}$ તરફ જાય છે.
નજીકના બિંદુએ $(t = t_{0})$,$\theta = 90^{\circ}$,$\cos \theta = 0$,અને $f = f_{0}$ થાય છે.
જ્યારે સ્ત્રોત નજીકના બિંદુને પસાર કરે છે $(t > t_{0})$,ત્યારે સ્ત્રોત અવલોકનકારથી દૂર જઈ રહ્યો છે,તેથી $\theta$ ગુરુકોણ છે,$\cos \theta < 0$,અને અવલોકન કરેલી આવૃત્તિ $f < f_{0}$ છે. જેમ જેમ સ્ત્રોત વધુ દૂર જાય છે,તેમ $\theta$ વધે છે,$\cos \theta$ વધુ ઋણ બને છે,અને $f$ એ $f_{0}$ થી નીચે વધુ ઘટે છે.
આમ,આવૃત્તિ $f$ એ $f_{0}$ થી ઉપરથી શરૂ થાય છે,$t = t_{0}$ પર $f_{0}$ સુધી ઘટે છે,અને $t > t_{0}$ માટે $f_{0}$ થી નીચે ઘટવાનું ચાલુ રાખે છે. આ વર્તણૂક આલેખ $D$ દ્વારા શ્રેષ્ઠ રીતે દર્શાવવામાં આવી છે.

(A) સ્થિર અવલોકનકાર દ્વારા ગતિશીલ ઉદગમમાંથી સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ $f' = f \left( \frac{v}{v \mp v_s} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $v_s$ એ ઉદગમની ઝડપ છે.
અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરતા ઉદગમ $S_1$ માટે,આભાસી આવૃત્તિ $f_1' = f \left( \frac{v}{v - V} \right)$ છે.
અવલોકનકારથી દૂર ગતિ કરતા ઉદગમ $S_2$ માટે,આભાસી આવૃત્તિ $f_2' = f \left( \frac{v}{v + V} \right)$ છે.
બીટ આવૃત્તિ એ આ બે આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$|f_1' - f_2'| = 3$
$f \left( \frac{v}{v - V} - \frac{v}{v + V} \right) = 3$
આપેલ કિંમતો $f = 500 \, Hz$ અને $v = 330 \, m/s$ મૂકતા:
$500 \left( \frac{330(v + V) - 330(v - V)}{v^2 - V^2} \right) = 3$
$500 \left( \frac{660V}{330^2 - V^2} \right) = 3$
કારણ કે $V^2 \ll 330^2$,આપણે $330^2 - V^2 \approx 330^2$ લઈ શકીએ:
$500 \left( \frac{660V}{330^2} \right) = 3$
$500 \left( \frac{2V}{330} \right) = 3$
$V = \frac{3 \times 330}{1000} = \frac{990}{1000} = 0.99 \, m/s \approx 1 \, m/s$.

(A) આપેલ છે: દરેક કારની ઝડપ $v_s = v_o = 7.2\, km/hr = 7.2 \times \frac{5}{18} = 2\, m/s$. હોર્નની આવૃત્તિ $f_0 = 676\, Hz$. ધ્વનિનો વેગ $v = 340\, m/s$.
દરેક ડ્રાઈવર બે અવાજ સાંભળે છે: એક સીધો બીજી કારમાંથી અને એક બીજી કાર પરથી પરાવર્તિત થઈને.
$1$. બીજી કારમાંથી સીધો સંભળાતો અવાજ $(f_d)$:
$f_d = f_0 \left( \frac{v + v_o}{v - v_s} \right) = 676 \left( \frac{340 + 2}{340 - 2} \right) = 676 \left( \frac{342}{338} \right) = 684\, Hz$.
$2$. બીજી કાર પરથી પરાવર્તિત થતો અવાજ $(f_r)$:
બીજી કારમાંથી આવતો અવાજ ડ્રાઈવરની કાર સુધી પહોંચે છે,પરાવર્તિત થાય છે અને પાછો ફરે છે. અસરકારક રીતે,બીજી કાર ડ્રાઈવર તરફ ગતિ કરતા ઉદગમ તરીકે કામ કરે છે,અને ડ્રાઈવર અવાજને પાછો પરાવર્તિત કરનાર ઉદગમ તરીકે કામ કરે છે. પરાવર્તન પછી સંભળાતી આવૃત્તિ:
$f_r = f_0 \left( \frac{v + v_s}{v - v_s} \right) \left( \frac{v + v_o}{v - v_o} \right) = 676 \left( \frac{342}{338} \right) \left( \frac{342}{338} \right) = 676 \left( \frac{342}{338} \right)^2 \approx 692\, Hz$.
બીટ આવૃત્તિ = $f_r - f_d = 692 - 684 = 8\, Hz$.

(C) આપેલ છે:
સ્ત્રોતની ઝડપ $V_S = 20 \, m/s$
અવલોકનકાર/ડિટેક્ટરની ઝડપ $V_O = 20 \, m/s$
હવામાં અવાજની ઝડપ $V = 340 \, m/s$
અનુભવાતી આવૃત્તિ $f' = 1800 \, Hz$
ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે સ્ત્રોત અને અવલોકનકાર એકબીજાથી દૂર જાય છે,ત્યારે અનુભવાતી આવૃત્તિનું સૂત્ર:
$f' = f \left( \frac{V - V_O}{V + V_S} \right)$
કિંમતો મૂકતા:
$1800 = f \left( \frac{340 - 20}{340 + 20} \right)$
$1800 = f \left( \frac{320}{360} \right)$
$1800 = f \left( \frac{8}{9} \right)$
$f = \frac{1800 \times 9}{8}$
$f = 225 \times 9 = 2025 \, Hz$
તેથી,સ્ત્રોતની મૂળ આવૃત્તિ $2025 \, Hz$ છે.

(A) આપેલ છે:
ઉદગમનો વેગ (કાર $X$),$V_s = 36 \; km/h = 36 \times \frac{5}{18} = 10 \; m/s$.
અવલોકનકારનો વેગ (કાર $Y$),$V_o = 72 \; km/h = 72 \times \frac{5}{18} = 20 \; m/s$.
અવાજનો વેગ,$V = 340 \; m/s$.
આભાસી આવૃત્તિ,$f' = 1320 \; Hz$.
ડોપ્લર અસરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા જ્યારે ઉદગમ અને અવલોકનકાર એકબીજાની નજીક આવતા હોય:
$f' = f_0 \left( \frac{V + V_o}{V - V_s} \right)$
કિંમતો મૂકતા:
$1320 = f_0 \left( \frac{340 + 20}{340 - 10} \right)$
$1320 = f_0 \left( \frac{360}{330} \right)$
$1320 = f_0 \left( \frac{36}{33} \right)$
$f_0 = 1320 \times \frac{33}{36}$
$f_0 = 1210 \; Hz$.
તેથી,સીટીની વાસ્તવિક આવૃત્તિ $1210 \; Hz$ છે.

(B) ધારો કે $f_0 = 400\, Hz$ એ ઉદગમની આવૃત્તિ છે,$f_2 = 500\, Hz$ એ ડ્રાઈવર દ્વારા સંભળાતી પરાવર્તિત આવૃત્તિ છે,$C = 330\, m/s$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $V$ એ કારની ઝડપ છે.
પ્રથમ,દીવાલ એક અવલોકનકાર તરીકે કાર્ય કરે છે જે ગતિમાન કારમાંથી આવતો અવાજ મેળવે છે:
$f_1 = f_0 \left( \frac{C}{C - V} \right)$
ત્યારબાદ,દીવાલ એક સ્થિર ઉદગમ તરીકે કાર્ય કરે છે જે અવાજને ડ્રાઈવર (અવલોકનકાર) તરફ પાછો પરાવર્તિત કરે છે જે દીવાલ તરફ ગતિ કરી રહ્યો છે:
$f_2 = f_1 \left( \frac{C + V}{C} \right)$
$f_1$ ની કિંમત $f_2$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$f_2 = f_0 \left( \frac{C}{C - V} \right) \left( \frac{C + V}{C} \right) = f_0 \left( \frac{C + V}{C - V} \right)$
આપેલ છે કે $f_2 = 500\, Hz$ અને $f_0 = 400\, Hz$:
$500 = 400 \left( \frac{330 + V}{330 - V} \right)$
$\frac{5}{4} = \frac{330 + V}{330 - V}$
$5(330 - V) = 4(330 + V)$
$1650 - 5V = 1320 + 4V$
$9V = 330$
$V = \frac{330}{9} = \frac{110}{3}\, m/s$
ઝડપને $km/h$ માં ફેરવતા:
$V = \frac{110}{3} \times \frac{18}{5} = 22 \times 6 = 132\, km/h$.

(A) જ્યારે અવલોકનકાર સ્થિર ઉદગમ તરફ ગતિ કરે ત્યારે મળતી આવૃત્તિ $f_{0}$ ડોપ્લર અસરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $f_{0} = \left(\frac{v + v_{0}}{v}\right) f_{s}$,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિનો વેગ છે અને $v_{0}$ એ અવલોકનકારનો વેગ છે.
આપેલ છે કે $v_{0} = \frac{v}{5}$,તેથી આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$f_{0} = \left(\frac{v + \frac{v}{5}}{v}\right) f_{s} = \left(\frac{\frac{6v}{5}}{v}\right) f_{s} = \frac{6}{5} f_{s} = 1.2 f_{s}$.
આવૃત્તિમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$\% \text{ ફેરફાર} = \frac{f_{0} - f_{s}}{f_{s}} \times 100$.
$f_{0} = 1.2 f_{s}$ મૂકતા:
$\% \text{ ફેરફાર} = \frac{1.2 f_{s} - f_{s}}{f_{s}} \times 100 = 0.2 \times 100 = 20 \%$.

(C) અવલોકનકારનો વેગ $V_{o} = 18\,km/h = 18 \times \frac{5}{18} = 5\,m/s$ છે. સ્ત્રોત સ્થિર છે,તેથી $V_{s} = 0$.
સીધા અવાજ માટે,અવલોકનકાર સ્ત્રોતથી દૂર જઈ રહ્યો છે. આભાસી આવૃત્તિ નીચે મુજબ મળે છે:
$f_{\text{direct}} = f_{0} \left( \frac{v - V_{o}}{v} \right) = 640 \left( \frac{320 - 5}{320} \right) = 640 \left( \frac{315}{320} \right) = 2 \times 315 = 630\,Hz$.
પરાવર્તિત અવાજ માટે,ટેકરી $f_{0} = 640\,Hz$ આવૃત્તિના સ્થિર સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે. અવલોકનકાર ટેકરી તરફ (પરાવર્તિત સ્ત્રોત તરફ) ગતિ કરી રહ્યો છે. આભાસી આવૃત્તિ નીચે મુજબ મળે છે:
$f_{\text{reflected}} = f_{0} \left( \frac{v + V_{o}}{v} \right) = 640 \left( \frac{320 + 5}{320} \right) = 640 \left( \frac{325}{320} \right) = 2 \times 325 = 650\,Hz$.
બીટ આવૃત્તિ એ બંને આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$f_{\text{beat}} = f_{\text{reflected}} - f_{\text{direct}} = 650\,Hz - 630\,Hz = 20\,Hz$.

(D) ધારો કે $f_0$ એ હોર્નની વાસ્તવિક આવૃત્તિ છે,$C$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $V_s$ એ કારની ઝડપ છે.
જ્યારે કાર અવલોકનકારની નજીક આવે છે: $f_1 = f_0 \left( \frac{C}{C - V_s} \right) = 100 \, Hz$.
જ્યારે કાર અવલોકનકારથી દૂર જાય છે: $f_2 = f_0 \left( \frac{C}{C + V_s} \right) = 50 \, Hz$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{f_1}{f_2} = \frac{100}{50} = 2 = \frac{C + V_s}{C - V_s}$.
$V_s$ માટે ઉકેલતા: $2(C - V_s) = C + V_s \implies 2C - 2V_s = C + V_s \implies C = 3V_s \implies V_s = \frac{C}{3}$.
$V_s$ ની કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $100 = f_0 \left( \frac{C}{C - C/3} \right) = f_0 \left( \frac{C}{2C/3} \right) = f_0 \left( \frac{3}{2} \right)$.
આમ,$f_0 = 100 \times \frac{2}{3} = \frac{200}{3} \, Hz$.
જો અવલોકનકાર કાર સાથે ગતિ કરે,તો સ્ત્રોત અને અવલોકનકાર વચ્ચેનો સાપેક્ષ વેગ શૂન્ય થાય છે,તેથી અવલોકન કરેલી આવૃત્તિ વાસ્તવિક આવૃત્તિ $f_0$ જેટલી જ રહે છે.
તેથી,$f = f_0 = \frac{200}{3} \, Hz$.
આને $\frac{x}{3} \, Hz$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 200$ મળે છે.

(B) ટેકરી ધ્વનિના ગૌણ સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે.
આપેલ છે:
સીટીની આવૃત્તિ,$f = 320\,Hz$
કારનો વેગ,$v_s = v_o = 36\,km/h = 36 \times \frac{5}{18} = 10\,m/s$
ધ્વનિનો વેગ,$v = 330\,m/s$
પગલું $1$: ટેકરી દ્વારા પ્રાપ્ત થતી આવૃત્તિ $(f_1)$ ની ગણતરી કરો.
કાર (સ્ત્રોત) સ્થિર અવલોકનકાર (ટેકરી) તરફ ગતિ કરી રહી હોવાથી,ટેકરી દ્વારા પ્રાપ્ત થતી આવૃત્તિ:
$f_1 = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right) = 320 \left( \frac{330}{330 - 10} \right) = 320 \left( \frac{330}{320} \right) = 330\,Hz$
પગલું $2$: ડ્રાઈવર દ્વારા સંભળાતા પડઘાની આવૃત્તિ $(f_2)$ ની ગણતરી કરો.
ટેકરી આ આવૃત્તિ $f_1$ ને પરાવર્તિત કરે છે. હવે,ટેકરી સ્થિર સ્ત્રોત તરીકે અને કાર સ્ત્રોત તરફ ગતિ કરતા અવલોકનકાર તરીકે કાર્ય કરે છે.
$f_2 = f_1 \left( \frac{v + v_o}{v} \right) = 330 \left( \frac{330 + 10}{330} \right) = 340\,Hz$

(C) ધ્વનિનો સ્ત્રોત વર્તુળમાં ગતિ કરે છે,તેથી તેની રેખીય ઝડપ $v_s = r\omega$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $r = 2 \,m$ અને $\omega = 15 \,rad/s$ આપેલ છે,તેથી $v_s = 2 \times 15 = 30 \,m/s$ થાય.
ધ્વનિની ઝડપ $v = 330 \,m/s$ છે.
ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે સ્ત્રોત સ્થિર અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે અવલોકિત આવૃત્તિ $f_{\max} = \left(\frac{v}{v - v_s}\right) f$ થાય છે.
જ્યારે સ્ત્રોત સ્થિર અવલોકનકારથી દૂર જાય છે,ત્યારે અવલોકિત આવૃત્તિ $f_{\min} = \left(\frac{v}{v + v_s}\right) f$ થાય છે.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ આવૃત્તિનો ગુણોત્તર:
$\frac{f_{\max}}{f_{\min}} = \frac{\left(\frac{v}{v - v_s}\right) f}{\left(\frac{v}{v + v_s}\right) f} = \frac{v + v_s}{v - v_s}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{f_{\max}}{f_{\min}} = \frac{330 + 30}{330 - 30} = \frac{360}{300} = 1.2$.

(A) ધારો કે હવામાં ધ્વનિની ઝડપ $v$ છે. એન્જિનની ઝડપ $v_s = 0.005v$ છે.
પ્રથમ,ધ્વનિ ગતિશીલ એન્જિનથી સ્થિર ખડક તરફ જાય છે. ખડક દ્વારા પ્રાપ્ત થતી આવૃત્તિ $f_1$ એ ગતિશીલ ઉદગમ અને સ્થિર અવલોકનકાર માટે ડોપ્લર અસરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$f_1 = f \left( \frac{v}{v + v_s} \right) = f \left( \frac{v}{v + 0.005v} \right) = f \left( \frac{1}{1.005} \right)$
ત્યારબાદ,ખડક એક સ્થિર ઉદગમ તરીકે કાર્ય કરે છે જે $f_1$ આવૃત્તિના ધ્વનિને ગતિશીલ એન્જિન (અવલોકનકાર) તરફ પરાવર્તિત કરે છે. એન્જિન દ્વારા પ્રાપ્ત થતી આવૃત્તિ $f_2$ એ સ્થિર ઉદગમ અને ગતિશીલ અવલોકનકાર માટે ડોપ્લર અસરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$f_2 = f_1 \left( \frac{v - v_o}{v} \right)$
એન્જિન ખડકથી દૂર જઈ રહ્યું હોવાથી,અવલોકનકારની ઝડપ $v_o = v_s = 0.005v$ ને પરાવર્તિત ધ્વનિની દિશાની સાપેક્ષમાં ઋણ લેવામાં આવે છે:
$f_2 = f_1 \left( \frac{v - 0.005v}{v} \right) = f_1 \left( \frac{0.995v}{v} \right) = 0.995 f_1$
$f_2$ ના સમીકરણમાં $f_1$ ની કિંમત મૂકતા:
$f_2 = 0.995 \times f \left( \frac{1}{1.005} \right) \approx 0.995 \times 0.995 f \approx 0.990 f$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) જ્યારે અવલોકનકાર સ્થિર હોય અને ઉદગમ અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરતું હોય,ત્યારે ડોપ્લર અસરના સૂત્ર મુજબ અવલોકિત આવૃત્તિ:
$f_1 = f_0 \left( \frac{v}{v - u} \right)$
જ્યાં $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $u$ એ ઉદગમની ઝડપ છે.
જ્યારે ઉદગમ સ્થિર હોય અને અવલોકનકાર ઉદગમ તરફ ગતિ કરતો હોય,ત્યારે માપવામાં આવતી આવૃત્તિ:
$f_2 = f_0 \left( \frac{v + u}{v} \right)$
$f_1$ અને $f_2$ ની સરખામણી કરતા:
$f_1 = f_0 \left( \frac{v}{v-u} \right)$ અને $f_2 = f_0 \left( 1 + \frac{u}{v} \right)$.
અહીં $\frac{v}{v-u} > 1 + \frac{u}{v}$ હોવાથી,$f_1 > f_2$ મળે છે.

(B) સ્ત્રોત (બસ) સ્થિર અવલોકનકાર (બસ સ્ટોપ પરની વ્યક્તિ) તરફ ગતિ કરી રહ્યો છે.
આપેલ છે:
સ્ત્રોતનો વેગ,$v_s = 39.6 \,km/h = 39.6 \times \frac{5}{18} = 11 \,ms^{-1}$.
અવાજનો વેગ,$v = 330 \,ms^{-1}$.
સ્ત્રોતનો સમયગાળો,$T = 30 \,s$.
જ્યારે સ્ત્રોત સ્થિર અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે બે ક્રમિક પલ્સ વચ્ચેનો આભાસી સમયગાળો $T^{\prime}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$T^{\prime} = T \left( \frac{v - v_s}{v} \right)$
કિંમતો મૂકતા:
$T^{\prime} = 30 \left( \frac{330 - 11}{330} \right)$
$T^{\prime} = 30 \left( \frac{319}{330} \right)$
$T^{\prime} = \frac{319}{11} = 29 \,s$.
તેથી,વ્યક્તિને $29 \,s$ ના અંતરે હોર્ન સંભળાશે.

(A) આભાસી આવૃત્તિ $\nu'$ એ મૂળ આવૃત્તિ $\nu$ કરતા $10 \%$ ઓછી છે,તેથી $\nu' = 0.9 \nu$.
સ્થિર અવલોકનકારથી દૂર જઈ રહેલા ઉદગમ માટે ડોપ્લર અસરનું સૂત્ર વાપરતા: $\nu' = \nu \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$,જ્યાં $v = 330 \, m/s$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $v_s$ એ કારની ઝડપ છે.
કિંમતો મૂકતા: $0.9 \nu = \nu \left( \frac{330}{330 + v_s} \right)$.
$0.9 = \frac{330}{330 + v_s} \Rightarrow 0.9(330 + v_s) = 330$.
$297 + 0.9 v_s = 330$.
$0.9 v_s = 330 - 297 = 33$.
$v_s = \frac{33}{0.9} = \frac{330}{9} \approx 36.7 \, m/s$.

(C) અવલોકનકાર બિંદુ $O$ પર છે અને એન્જિન બિંદુ $S$ પર છે. ક્રોસિંગ બિંદુ $C$ પર છે. અંતર $SC = 1 \, km$ અને $OC = \sqrt{3} \, km$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $SCO$ માં,$S$ પાસેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \frac{OC}{SC} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$\theta = 60^{\circ}$.
ગતિશીલ ઉદગમ અને સ્થિર અવલોકનકાર માટે ડોપ્લર અસર મુજબ,આભાસી આવૃત્તિ $f'$ નીચે મુજબ છે:
$f' = f \left( \frac{c}{c - v \cos \theta} \right)$
જ્યાં $c = 330 \, m/s$ એ અવાજની ઝડપ છે,$v = 20 \, m/s$ એ ઉદગમની ઝડપ છે,અને $f = 640 \, Hz$ એ ઉદગમની આવૃત્તિ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$f' = 640 \left( \frac{330}{330 - 20 \cos 60^{\circ}} \right)$
કારણ કે $\cos 60^{\circ} = 0.5$:
$f' = 640 \left( \frac{330}{330 - 20 \times 0.5} \right) = 640 \left( \frac{330}{330 - 10} \right) = 640 \left( \frac{330}{320} \right)$
$f' = 640 \times \frac{33}{32} = 20 \times 33 = 660 \, Hz$.

(B) ધારો કે $v = 330 \, m/s$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $n = 660 \, Hz$ એ સ્ત્રોતોની આવૃત્તિ છે.
જ્યારે શ્રોતા $u$ વેગ સાથે $A$ થી $B$ તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે તે સ્ત્રોત $A$ થી દૂર જાય છે અને સ્ત્રોત $B$ ની નજીક આવે છે.
સ્ત્રોત $A$ થી સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ $n_1 = n \left( \frac{v - u}{v} \right)$ છે.
સ્ત્રોત $B$ થી સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ $n_2 = n \left( \frac{v + u}{v} \right)$ છે.
દર સેકન્ડે સંભળાતા બીટ્સની સંખ્યા આ આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે: $n_2 - n_1 = 8$.
સમીકરણો મૂકતા: $n \left( \frac{v + u}{v} \right) - n \left( \frac{v - u}{v} \right) = 8$.
$\frac{n}{v} (v + u - v + u) = 8$.
$\frac{n}{v} (2u) = 8$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{660}{330} (2u) = 8$.
$2(2u) = 8$.
$4u = 8$.
$u = 2 \, m/s$.

(B) ધારો કે સીટીની મૂળ આવૃત્તિ $f_0$ છે.
જ્યારે ટ્રેન દૂર જાય છે,ત્યારે અવલોકન કરેલી આવૃત્તિ $f = f_0 \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$ થાય છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આવૃત્તિમાં ઘટાડો $f_0 - f = 140 \, Hz$ છે.
$f_0 \left( 1 - \frac{330}{330 + 70} \right) = 140$
$f_0 \left( 1 - \frac{330}{400} \right) = 140$
$f_0 \left( \frac{70}{400} \right) = 140$
$f_0 = 140 \times \frac{400}{70} = 800 \, Hz$.

(D) ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે ઉદ્ગમ સ્થિર અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે અવલોકિત આવૃત્તિ $f$ એ $f = f_0 \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f_0$ એ ઉદ્ગમની આવૃત્તિ છે,$v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $v_s$ એ ઉદ્ગમની ઝડપ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$v_s = 34 \, m/s$:
$f_1 = f_0 \left( \frac{340}{340 - 34} \right) = f_0 \left( \frac{340}{306} \right) = f_0 \left( \frac{10}{9} \right)$.
બીજા કિસ્સા માટે,$v_s = 17 \, m/s$:
$f_2 = f_0 \left( \frac{340}{340 - 17} \right) = f_0 \left( \frac{340}{323} \right) = f_0 \left( \frac{20}{19} \right)$.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{f_1}{f_2}$ ની ગણતરી કરતા:
$\frac{f_1}{f_2} = \frac{f_0 \left( \frac{10}{9} \right)}{f_0 \left( \frac{20}{19} \right)} = \frac{10}{9} \times \frac{19}{20} = \frac{19}{18}$.

(D) ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે અવલોકનકાર સ્થિર ઉદગમ તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે અવલોકનકાર દ્વારા અનુભવાતી ધ્વનિની આવૃત્તિમાં વધારો થાય છે કારણ કે અવલોકનકાર એકમ સમયમાં વધુ તરંગોનો સામનો કરે છે.
જોકે,માધ્યમમાં ધ્વનિ તરંગોની તરંગલંબાઈ ફક્ત ઉદગમ અને માધ્યમના ગુણધર્મો (ધ્વનિની ઝડપ $c$ અને આવૃત્તિ $f_0$) દ્વારા નક્કી થાય છે.
ઉદગમ સ્થિર હોવાથી અને માધ્યમ પણ સ્થિર હોવાથી,અવલોકનકાર માટે તરંગલંબાઈ $\lambda_0$ માં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
તેથી,અવલોકનકાર દ્વારા અનુભવાતું તરંગલંબાઈનું સ્થાનાંતર શૂન્ય છે.

(C) જ્યારે સ્ત્રોતનો અવલોકનકાર તરફનો વેગનો ઘટક મહત્તમ હોય ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ મહત્તમ હોય છે.
ધારો કે $O$ એ અવલોકનકારનું સ્થાન છે અને $C$ એ વર્તુળાકાર માર્ગનું કેન્દ્ર છે. અવલોકનકારથી કેન્દ્રનું અંતર $OC = 9 + 8 = 17 \, m$ છે.
ધારો કે $P$ એ વર્તુળ પર ટ્યુનિંગ ફોર્કનું સ્થાન છે. ટ્યુનિંગ ફોર્કનો વેગ સદિશ $V_s$ એ $P$ આગળ વર્તુળને સ્પર્શક છે. જ્યારે $OP$ અને વેગ સદિશ $V_s$ વચ્ચેનો ખૂણો શૂન્ય હોય,અથવા સરળ રીતે કહીએ તો,જ્યારે રેખા $OP$ એ $P$ આગળ વર્તુળને સ્પર્શક હોય ત્યારે $V_s$ નો $OP$ ની દિશામાંનો ઘટક મહત્તમ હોય છે.
આ સ્થિતિમાં,$\triangle OPC$ એ $P$ આગળ કાટખૂણો ધરાવતો કાટકોણ ત્રિકોણ છે (કારણ કે ત્રિજ્યા $CP$ એ સ્પર્શક $OP$ ને લંબ છે).
$\triangle OPC$ માં પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$OP^2 + CP^2 = OC^2$
$OP^2 + 8^2 = 17^2$
$OP^2 = 289 - 64 = 225$
$OP = \sqrt{225} = 15 \, m$.

(B) જ્યારે સ્ત્રોત સ્થિર અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે અવલોકિત આવૃત્તિ $f' = \frac{v}{v - V_s} f_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે આવૃત્તિમાં $10 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી $f' = 1.1 f_0$.
આમ,$\frac{v}{v - V_s} = 1.1 = \frac{11}{10}$.
$10v = 11v - 11V_s \implies v = 11V_s$.
જ્યારે સ્ત્રોત અવલોકનકારથી દૂર જાય છે,ત્યારે અવલોકિત આવૃત્તિ $f'' = \frac{v}{v + V_s} f_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v = 11V_s$ મૂકતા,આપણને $f'' = \frac{11V_s}{11V_s + V_s} f_0 = \frac{11}{12} f_0$ મળે છે.
$f'' \approx 0.9166 f_0 = 91.66 \% f_0$.
આવૃત્તિમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $100 \% - 91.66 \% = 8.34 \% \approx 8.5 \%$ છે.

(B) ધારો કે $f_0$ એ વાસ્તવિક આવૃત્તિ છે,$v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $v_s$ એ ટ્રેનની ઝડપ છે.
જ્યારે ટ્રેન અવલોકનકાર તરફ આવે છે,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $f_A = \frac{v}{v - v_s} f_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આવૃત્તિમાં તફાવત $\Delta f_A = f_A - f_0 = \left( \frac{v}{v - v_s} - 1 \right) f_0 = \frac{v_s}{v - v_s} f_0$ છે.
જ્યારે ટ્રેન અવલોકનકારથી દૂર જાય છે,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $f_R = \frac{v}{v + v_s} f_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આવૃત્તિમાં તફાવત $\Delta f_R = f_0 - f_R = \left( 1 - \frac{v}{v + v_s} \right) f_0 = \frac{v_s}{v + v_s} f_0$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{\Delta f_A}{\Delta f_R} = \frac{3}{2}$ પરથી:
$\frac{\frac{v_s}{v - v_s} f_0}{\frac{v_s}{v + v_s} f_0} = \frac{v + v_s}{v - v_s} = \frac{3}{2}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $2(v + v_s) = 3(v - v_s)$.
$2v + 2v_s = 3v - 3v_s$.
$5v_s = v$.
$v_s = \frac{v}{5}$.

(A) ધારો કે $c$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે. ડિટેક્ટર $D$ વર્તુળના કેન્દ્રથી $2R$ અંતરે છે. ઉદગમ $S$ એ $v$ ઝડપ સાથે $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં ગતિ કરે છે. ઉદગમ અને ડિટેક્ટરને જોડતી રેખા પર ઉદગમના વેગનો ઘટક ડોપ્લર શિફ્ટ નક્કી કરે છે.
જ્યારે ઉદગમ સીધું ડિટેક્ટર તરફ ગતિ કરતું હોય ત્યારે મહત્તમ આવૃત્તિ અનુભવાય છે. આ બિંદુએ,$SD$ રેખા પર વેગનો ઘટક $v$ છે. અવલોકિત આવૃત્તિ $f_{max} = f \left( \frac{c}{c-v} \right)$ છે.
જ્યારે ઉદગમ સીધું ડિટેક્ટરથી દૂર જતું હોય ત્યારે ન્યૂનતમ આવૃત્તિ અનુભવાય છે. આ બિંદુએ,$SD$ રેખા પર વેગનો ઘટક $v$ છે. અવલોકિત આવૃત્તિ $f_{min} = f \left( \frac{c}{c+v} \right)$ છે.
તેથી,મહત્તમ અને ન્યૂનતમ આવૃત્તિનો ગુણોત્તર:
$\frac{f_{max}}{f_{min}} = \frac{f \left( \frac{c}{c-v} \right)}{f \left( \frac{c}{c+v} \right)} = \frac{c+v}{c-v}$.

(D) ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે ધ્વનિનો સ્ત્રોત અચળ વેગ $v_s$ થી સ્થિર અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે અવલોકન કરેલી આવૃત્તિ $n'$ એ $n' = n_0 \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n_0$ એ સ્ત્રોતની આવૃત્તિ છે અને $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે. આ આવૃત્તિ અચળ અને $n_0$ કરતા વધારે હોય છે.
જેમ સ્ત્રોત અવલોકનકારને ઓળંગે છે અને દૂર જાય છે,ત્યારે અવલોકન કરેલી આવૃત્તિ $n'' = n_0 \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$ બને છે,જે પણ અચળ છે પરંતુ $n_0$ કરતા ઓછી છે.
સ્ત્રોત અચળ ઝડપે ગતિ કરતો હોવાથી,અવલોકનકાર પાસે પહોંચતા પહેલા આવૃત્તિ ઊંચા મૂલ્ય પર અચળ રહે છે અને અવલોકનકારને ઓળંગ્યા પછી અચાનક ઘટીને નીચા અચળ મૂલ્ય પર આવી જાય છે. આ વર્તણૂક વિકલ્પ $D$ માં દર્શાવેલ આલેખ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવે છે.

(A) ધારો કે $n$ એ સ્ત્રોતની વાસ્તવિક આવૃત્તિ છે,$V$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $V_s$ એ સ્ત્રોતની ઝડપ છે.
જ્યારે સ્ત્રોત સ્થિર અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $n_1 = n \left( \frac{V}{V - V_s} \right)$ છે.
જ્યારે સ્ત્રોત સ્થિર અવલોકનકારથી દૂર ગતિ કરે છે,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $n_2 = n \left( \frac{V}{V + V_s} \right)$ છે.
આભાસી આવૃત્તિમાં થતો ફેરફાર $\Delta n = n_1 - n_2$ છે.
$\Delta n = n \left( \frac{V}{V - V_s} - \frac{V}{V + V_s} \right) = n V \left( \frac{V + V_s - (V - V_s)}{V^2 - V_s^2} \right) = n V \left( \frac{2 V_s}{V^2 - V_s^2} \right)$.
કારણ કે $V_s << V$,આપણે $V^2 - V_s^2 \approx V^2$ તરીકે લઈ શકીએ છીએ.
તેથી,$\Delta n \approx n V \left( \frac{2 V_s}{V^2} \right) = \frac{2 n V_s}{V}$.