Doppler’s Effect Questions in Gujarati

(B) ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે ઉદગમ સ્થિર અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરતું હોય ત્યારે અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ $f'$ નીચે મુજબ છે:
$f' = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$
જ્યાં:
$f = 320\,Hz$ (ઉદગમની આવૃત્તિ)
$v = 330\,m/s$ (ધ્વનિની ઝડપ)
$v_s = 66\,m/s$ (ઉદગમની ઝડપ)
કિંમતો મૂકતા:
$f' = 320 \left( \frac{330}{330 - 66} \right)$
$f' = 320 \left( \frac{330}{264} \right)$
$f' = 320 \times 1.25$
$f' = 400\,Hz$
તેથી,અવલોકનકાર દ્વારા અનુભવાતી આવૃત્તિ $400\,Hz$ છે.

(B) ડોપ્લર અસરના સૂત્ર મુજબ અવલોકનકાર દ્વારા સાંભળવામાં આવતી આભાસી આવૃત્તિ $f' = f_0 \left( \frac{v \pm v_o}{v \mp v_s} \right)$ છે.
અહીં,$v = 330\,m/s$ (ધ્વનિની ઝડપ),$v_o = 0$ (અવલોકનકાર સ્થિર છે),$v_s = 30\,m/s$ (સ્ત્રોતની ઝડપ),અને $f_0 = 300\,Hz$ છે.
ટ્રેન $A$ માટે (સ્ટેશન/અવલોકનકાર તરફ આવતી),સ્ત્રોત અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે: $f_A = 300 \left( \frac{330}{330 - 30} \right) = 300 \left( \frac{330}{300} \right) = 330\,Hz$.
ટ્રેન $B$ માટે (સ્ટેશન/અવલોકનકારથી દૂર જતી),સ્ત્રોત અવલોકનકારથી દૂર ગતિ કરે છે: $f_B = 300 \left( \frac{330}{330 + 30} \right) = 300 \left( \frac{330}{360} \right) = 300 \left( \frac{11}{12} \right) = 275\,Hz$.
સાંભળવામાં આવતી આવૃત્તિઓનો તફાવત $\Delta f = f_A - f_B = 330 - 275 = 55\,Hz$ છે.

(D) ધારો કે હોર્નની આવૃત્તિ $f_0$ છે. કારની ઝડપ $v_c = 15\,m/s$ અને ધ્વનિની ઝડપ $v = 330\,m/s$ છે.
જ્યારે કાર દીવાલ તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે દીવાલ સ્થિર અવલોકનકાર તરીકે કાર્ય કરે છે જે ધ્વનિ મેળવે છે,અને પછી તે ધ્વનિને ડ્રાઈવર તરફ પરાવર્તિત કરે છે.
દીવાલ દ્વારા સંભળાતી ધ્વનિની આવૃત્તિ $f' = f_0 \left( \frac{v}{v - v_c} \right)$ છે.
આ પરાવર્તિત ધ્વનિ ડ્રાઈવર દ્વારા સાંભળવામાં આવે છે જે $v_c$ ઝડપે દીવાલ તરફ ગતિ કરે છે,તેથી અવલોકિત આવૃત્તિ $f = f' \left( \frac{v + v_c}{v} \right) = f_0 \left( \frac{v + v_c}{v - v_c} \right)$ થાય.
આવૃત્તિમાં ફેરફાર $\Delta f = f - f_0 = 40\,Hz$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $f = f_0 \left( \frac{330 + 15}{330 - 15} \right) = f_0 \left( \frac{345}{315} \right)$.
$\Delta f = f_0 \left( \frac{345}{315} - 1 \right) = f_0 \left( \frac{30}{315} \right) = 40$.
$f_0 = \frac{40 \times 315}{30} = 4 \times 105 = 420\,Hz$.

(B) ડોપ્લર અસર એ ધ્વનિના ઉદગમ અને અવલોકનકાર વચ્ચેની સાપેક્ષ ગતિને કારણે ઉદ્ભવે છે.
આ કિસ્સામાં,મુસાફર ટ્રેનની અંદર છે અને એન્જિન (ધ્વનિનું ઉદગમ) પણ તે જ ટ્રેનનો ભાગ છે.
તેથી,ઉદગમ અને અવલોકનકાર બંને એક જ વેગથી સાથે ગતિ કરી રહ્યા હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો સાપેક્ષ વેગ $0\,ms^{-1}$ છે.
ઉદગમ અને અવલોકનકાર વચ્ચે કોઈ સાપેક્ષ ગતિ ન હોવાથી,આવૃત્તિમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
તેથી,મુસાફર દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિ એ સીટી દ્વારા ઉત્પન્ન થતી આવૃત્તિ જેટલી જ એટલે કે $400\,Hz$ રહેશે.

(B) ડોપ્લર અસર મુજબ,અવલોકિત આવૃત્તિ $f$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$f = f_0 \left( \frac{c + v_o}{c + v_s} \right)$
જ્યાં:
$f_0 = 400\,Hz$ (ઉદગમની આવૃત્તિ)
$c = 360\,ms^{-1}$ (ધ્વનિનો વેગ)
$v_o = 40\,ms^{-1}$ (અવલોકનકાર,કાર $Q$ નો વેગ,જે ઉદગમ તરફ ગતિ કરે છે)
$v_s = 20\,ms^{-1}$ (ઉદગમ,કાર $P$ નો વેગ,જે અવલોકનકારથી દૂર જાય છે)
કિંમતો મૂકતા:
$f = 400 \left( \frac{360 + 40}{360 + 20} \right)$
$f = 400 \left( \frac{400}{380} \right)$
$f = 400 \times 1.0526$
$f \approx 421.05\,Hz$
આમ,મુસાફર દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિ આશરે $421\,Hz$ છે.

(D, A, A) $1.$ અવાજની ઝડપ માધ્યમ (હવા) ના સંદર્ભમાં હોય છે. બંને ટ્રેન સમાન હવામાં ગતિ કરતી હોવાથી,ટ્રેન $A$ (જે $20 \ m/s$ ની ઝડપે ગતિ કરે છે) માં મુસાફરો માટે અવાજની ઝડપ $340 \ m/s$ રહે છે કારણ કે તેઓ સ્ત્રોતની સાપેક્ષ સ્થિર છે. ટ્રેન $B$ (જે $30 \ m/s$ ની ઝડપે દૂર જઈ રહી છે) માં મુસાફરો માટે,તેમની સાપેક્ષ અવાજની ઝડપ $v_B = 340 - 30 = 310 \ m/s$ થાય છે. આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.
$2.$ ટ્રેન $A$ ના મુસાફરો સ્ત્રોત (ટ્રેન $A$ નું એન્જિન) ની સાપેક્ષ સ્થિર હોવાથી,તેઓ સ્ત્રોત દ્વારા ઉત્સર્જિત આવૃત્તિ શ્રેણીનું જ અવલોકન કરે છે. તેથી,તીવ્રતાનું વિતરણ બદલાતું નથી,જે આલેખ $A$ દ્વારા દર્શાવેલ છે.
$3.$ ટ્રેન $B$ માં મુસાફરો માટે અવલોકિત આવૃત્તિઓ $f'_1$ અને $f'_2$ ડોપ્લર અસરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $f' = f \left( \frac{v - v_o}{v - v_s} \right)$. અહીં $v = 340 \ m/s$,$v_o = 30 \ m/s$ (દૂર જઈ રહ્યા છે),$v_s = 20 \ m/s$ (દૂર જઈ રહ્યા છે). તેથી,$f' = f \left( \frac{340 - 30}{340 - 20} \right) = f \left( \frac{310}{320} \right) = f \left( \frac{31}{32} \right)$.
નવો ફેલાવો $\Delta f' = f'_2 - f'_1 = (f_2 - f_1) \times \frac{31}{32} = 320 \times \frac{31}{32} = 310 \ Hz$. આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(A) ધારો કે કારની ઝડપ $v_0$ છે અને અવાજની ઝડપ $v$ છે. $Q$ તરફ ગતિ કરતી કાર દ્વારા $M$ અને $N$ થી અવલોકન કરાયેલ આવૃત્તિઓ $f_M = f_M^0 \left( \frac{v + v_0 \cos \theta}{v} \right)$ અને $f_N = f_N^0 \left( \frac{v + v_0 \cos \theta}{v} \right)$ છે,જ્યાં $\theta$ એ કારના વેગ સદિશ અને કારને સ્પીકર્સ સાથે જોડતી રેખા વચ્ચેનો ખૂણો છે.
બીટ આવૃત્તિ $v(t) = |f_N - f_M| = (121 - 118) \left( \frac{v + v_0 \cos \theta}{v} \right) = 3 \left( 1 + \frac{v_0}{v} \cos \theta \right)$.
બિંદુ $P$ પર,$\theta$ લઘુકોણ છે,તેથી $\cos \theta > 0$,આમ $v_P > 3$. બિંદુ $Q$ પર,$\theta = 90^{\circ}$,તેથી $\cos \theta = 0$,આમ $v_Q = 3$. બિંદુ $R$ પર,$\theta$ ગુરુકોણ છે,તેથી $\cos \theta < 0$,આમ $v_R < 3$.
કારણ કે $v_P = 3(1 + k)$ અને $v_R = 3(1 - k)$ જ્યાં $k = \frac{v_0}{v} \cos \theta_P$,આપણી પાસે $v_P + v_R = 6 = 2v_Q$ છે. આમ,$(A)$ સાચું છે.
બીટ આવૃત્તિમાં ફેરફારનો દર $\frac{dv}{dt} = 3 \frac{v_0}{v} (-\sin \theta) \frac{d\theta}{dt}$ છે. આ ત્યારે મહત્તમ હોય છે જ્યારે $\sin \theta$ મહત્તમ હોય,જે $Q$ પર થાય છે જ્યાં $\theta = 90^{\circ}$. આમ,$(B)$ સાચું છે.
જેમ કાર $P$ થી $R$ તરફ ગતિ કરે છે તેમ સમય સાથે $\cos \theta$ માં થતો ફેરફાર સિગ્મોઇડ જેવા વળાંકને અનુસરે છે,જે ડાબા આલેખ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. આમ,$(C)$ સાચું છે.

(D) સ્થિર ઉદગમ તરફ આવતી કાર દ્વારા મેળવેલ આવૃત્તિ $f_1$ ડોપ્લર અસરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$f_1 = f_0 \left( \frac{v + v_c}{v} \right) = 492 \left( \frac{330 + 2}{330} \right) = 492 \left( \frac{332}{330} \right) \,Hz$.
કાર એક ગતિશીલ ઉદગમ તરીકે કાર્ય કરે છે જે આ આવૃત્તિને સ્થિર અવલોકનકાર (ઉદગમ) તરફ પાછી પરાવર્તિત કરે છે। ઉદગમ દ્વારા મેળવેલ આવૃત્તિ $f_2$ છે:
$f_2 = f_1 \left( \frac{v}{v - v_c} \right) = 492 \left( \frac{332}{330} \right) \left( \frac{330}{330 - 2} \right) = 492 \left( \frac{332}{328} \right) \,Hz$.
$f_2$ ની ગણતરી કરતા:
$f_2 = 492 \times 1.012195 \approx 498 \,Hz$.
બીટ આવૃત્તિ $f_B$ એ પરાવર્તિત આવૃત્તિ અને મૂળ આવૃત્તિ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$f_B = f_2 - f_0 = 498 - 492 = 6 \,Hz$.

(A) ધારો કે સ્થિર માણસ બિંદુ $C$ પર છે અને આડી રેખા $AB$ છે. ધારો કે $O$ એ $AB$ રેખા પર $C$ ની બરાબર નીચેનું બિંદુ છે. આપેલ છે $CO = 12 \,m$. માણસો $A$ અને $B$ પર છે જેથી $AO = OB = 5 \,m$. અંતર $AC = BC = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13 \,m$. રેખા $AC$ (અથવા $BC$) અને શિરોલંબ $CO$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે,જ્યાં $\cos \theta = \frac{12}{13}$ અને $\sin \theta = \frac{5}{13}$ છે.
$A$ પરનો માણસ (પાછળનો) $v_A = 2.0 \,m \,s^{-1}$ ના વેગ સાથે $O$ તરફ ગતિ કરે છે. રેખા $AC$ ની દિશામાં તેના વેગનો ઘટક $v_{A, \text{eff}} = v_A \sin \theta = 2.0 \times \frac{5}{13} \,m \,s^{-1}$ છે. તે $C$ તરફ ગતિ કરતો હોવાથી,અવલોકિત આવૃત્તિ $f_A = f \left( \frac{v}{v - v_A \sin \theta} \right) = 1430 \left( \frac{330}{330 - 2 \times \frac{5}{13}} \right) \approx 1430 \left( 1 + \frac{10}{13 \times 330} \right)$ છે.
$B$ પરનો માણસ (આગળનો) $v_B = 1.0 \,m \,s^{-1}$ ના વેગ સાથે $O$ થી દૂર ગતિ કરે છે. રેખા $BC$ ની દિશામાં તેના વેગનો ઘટક $v_{B, \text{eff}} = v_B \sin \theta = 1.0 \times \frac{5}{13} \,m \,s^{-1}$ છે. તે $C$ થી દૂર ગતિ કરતો હોવાથી,અવલોકિત આવૃત્તિ $f_B = f \left( \frac{v}{v + v_B \sin \theta} \right) = 1430 \left( \frac{330}{330 + 1 \times \frac{5}{13}} \right) \approx 1430 \left( 1 - \frac{5}{13 \times 330} \right)$ છે.
બીટ આવૃત્તિ $\Delta f = |f_A - f_B| = 1430 \left( \frac{10}{13 \times 330} + \frac{5}{13 \times 330} \right) = 1430 \left( \frac{15}{13 \times 330} \right) = \frac{1430}{330} \times \frac{15}{13} = \frac{13}{3} \times \frac{15}{13} = 5 \,Hz$.

(A) જ્યારે સ્ત્રોત સ્થિર હોય અને પરાવર્તક (કાર) $v$ ઝડપથી તેની નજીક આવે,ત્યારે કાર દ્વારા પ્રાપ્ત થતી આવૃત્તિ $f' = f_0 \frac{c+v}{c}$ છે.
આ આવૃત્તિ પછી સ્ત્રોત તરફ પાછી પરાવર્તિત થાય છે. કાર ગતિશીલ સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે,તેથી સ્થિર સ્ત્રોત દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિ $f'' = f' \frac{c}{c-v} = f_0 \frac{c+v}{c-v}$ છે.
$v \ll c$ હોવાથી,આપણે દ્વિપદી અંદાજનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $f'' = f_0 (1 + v/c)(1 - v/c)^{-1} \approx f_0 (1 + 2v/c)$.
એક કાર માટે આવૃત્તિમાં ફેરફાર $\Delta f = f'' - f_0 = f_0 (2v/c)$ છે.
બે કાર માટે જેમની ઝડપ $v_1$ અને $v_2$ છે,પરાવર્તિત આવૃત્તિઓનો તફાવત $\Delta f_{diff} = |f''_1 - f''_2| = f_0 \frac{2(v_1 - v_2)}{c}$ છે.
આપેલ છે કે $\Delta f_{diff} = 0.012 f_0$,તેથી $0.012 f_0 = f_0 \frac{2 \Delta v}{c}$.
$\Delta v = 0.006 \times c = 0.006 \times 330 \ m/s = 1.98 \ m/s$.
$km/h$ માં રૂપાંતર કરતા: $\Delta v = 1.98 \times 3.6 \ km/h \approx 7.128 \ km/h$.
નજીકનો પૂર્ણાંક $7 \ km/h$ છે.

(A) ઇમારત દ્વારા પરાવર્તિત અને ડ્રાઈવર દ્વારા સાંભળવામાં આવતી ધ્વનિની આવૃત્તિ ડોપ્લર અસરના સૂત્ર દ્વારા મેળવી શકાય છે.
આપેલ છે:
સ્ત્રોતની આવૃત્તિ $f_0 = 8 \ kHz = 8000 \ Hz$
સ્ત્રોત (કાર) નો વેગ $v_s = 36 \ km/h = 10 \ m/s$
અવલોકનકાર (ડ્રાઈવર) નો વેગ $v_o = 10 \ m/s$
ધ્વનિની ઝડપ $v = 320 \ m/s$
પ્રથમ,ઇમારત અવલોકનકાર તરીકે કાર્ય કરે છે:
$f' = f_0 \left( \frac{v}{v - v_s} \right) = 8000 \left( \frac{320}{310} \right)$
ત્યારબાદ,ઇમારત સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે અને ડ્રાઈવર અવલોકનકાર છે:
$f'' = f' \left( \frac{v + v_o}{v} \right) = 8000 \left( \frac{320}{310} \right) \left( \frac{330}{320} \right)$
$f'' = 8000 \times \frac{330}{310} \approx 8516 \ Hz = 8.516 \ kHz \approx 8.50 \ kHz$.

(B) ધારો કે સ્થિર માણસ બિંદુ $C$ પર છે અને બે ગતિ કરતા માણસો $A$ અને $B$ પર છે. અંતર $CO = 12 \ m$ છે. માણસો $10 \ m$ દૂર હોવાથી અને સ્થિર માણસ સમાન અંતરે હોવાથી,$AO = OB = 5 \ m$ થાય.
અંતર $AC = BC = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13 \ m$ થાય.
ગતિની રેખા અને અવલોકનકારને સ્ત્રોત સાથે જોડતી રેખા વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે,જ્યાં $\cos \theta = \frac{5}{13}$ મળે.
પાછળના માણસ $(A)$ માટે જે $v_s = 2.0 \ m \ s^{-1}$ ની ઝડપે $O$ તરફ ગતિ કરે છે,$AC$ રેખા પર વેગનો ઘટક $v_s \cos \theta$ છે. અવલોકિત આવૃત્તિ $f_A = f \left( \frac{v}{v - v_s \cos \theta} \right) = 1430 \left( \frac{330}{330 - 2 \cos \theta} \right) \approx 1430 \left( 1 + \frac{2 \cos \theta}{330} \right)$ થાય.
આગળના માણસ $(B)$ માટે જે $v_s = 1.0 \ m \ s^{-1}$ ની ઝડપે $O$ થી દૂર ગતિ કરે છે,$BC$ રેખા પર વેગનો ઘટક $v_s \cos \theta$ છે. અવલોકિત આવૃત્તિ $f_B = f \left( \frac{v}{v + v_s \cos \theta} \right) = 1430 \left( \frac{330}{330 + 1 \cos \theta} \right) \approx 1430 \left( 1 - \frac{\cos \theta}{330} \right)$ થાય.
બીટ આવૃત્તિ $\Delta f = f_A - f_B = 1430 \left( \frac{2 \cos \theta + \cos \theta}{330} \right) = 1430 \left( \frac{3 \cos \theta}{330} \right) = 13 \cos \theta$ થાય.
$\cos \theta = \frac{5}{13}$ મૂકતા,આપણને $\Delta f = 13 \times \frac{5}{13} = 5 \ Hz$ મળે છે.

(B) સૌ પ્રથમ,વેગને $km/h$ માંથી $m/s$ માં ફેરવો:
$v_{S1} = 108 \times \frac{5}{18} = 30 \ m/s$
$v_O = 36 \times \frac{5}{18} = 10 \ m/s$
અવલોકનકાર $O$ અને ઉદગમ $S_2$ માટે:
ઉદગમ $S_2$ સ્થિર છે $(v_s = 0)$. અવલોકનકાર $O$ એ તેમને જોડતી રેખા પર $S_2$ તરફ ગતિ કરે છે. તેથી અવલોકનકારનો વેગ $v_o = 10 \ m/s$ છે.
ડોપ્લર અસરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $f_2 = f_0 \left( \frac{v + v_o}{v} \right) = 120 \left( \frac{330 + 10}{330} \right) = 120 \left( \frac{340}{330} \right) \approx 123.64 \ Hz$.
અવલોકનકાર $O$ અને ઉદગમ $S_1$ માટે:
$S_1$ અને $S_2$ વચ્ચેનું અંતર $800 \ m$ છે,અને $O$ એ $S_2$ થી $600 \ m$ દૂર છે. અંતર $OS_1 = \sqrt{800^2 + 600^2} = 1000 \ m$.
ખૂણો $\theta$ માટે $\cos \theta = \frac{800}{1000} = 0.8$ અને $\sin \theta = \frac{600}{1000} = 0.6$.
$S_1$ નો $O$ તરફનો વેગ ઘટક $v_{s1} = v_{S1} \cos \theta = 30 \times 0.8 = 24 \ m/s$.
$O$ નો $S_1$ તરફનો વેગ ઘટક $v_{o1} = v_O \sin \theta = 10 \times 0.6 = 6 \ m/s$.
ડોપ્લર અસરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $f_1 = f_0 \left( \frac{v + v_{o1}}{v - v_{s1}} \right) = 120 \left( \frac{330 + 6}{330 - 24} \right) = 120 \left( \frac{336}{306} \right) \approx 131.76 \ Hz$.
બીટ આવૃત્તિ $= |f_1 - f_2| = 131.76 - 123.64 = 8.12 \ Hz$.
સંભળાતા બીટ્સની સંખ્યા આશરે $8$ છે.

(A) સ્થિર ટ્યુનિંગ ફોર્ક માટે,અનુનાદ આવૃત્તિ $f = \frac{v}{4\ell_1}$ છે,તેથી $f \propto \frac{1}{\ell_1}$.
જ્યારે ટ્યુનિંગ ફોર્ક ખુલ્લા છેડાને સમાંતર ગતિ કરે છે,ત્યારે પાઇપ દ્વારા અનુભવાતી આવૃત્તિ ડોપ્લર શિફ્ટ થયેલી આવૃત્તિ છે. પાઇપ માટે નવી આવૃત્તિ $f' = f \left( \frac{v}{v - v_T} \right)$ થાય છે,જ્યાં $v_T$ એ ટ્યુનિંગ ફોર્કની ઝડપ છે.
અનુનાદ માટે,$f' = \frac{v}{4\ell_2}$.
આમ,$\frac{v}{4\ell_1} \left( \frac{v}{v - v_T} \right) = \frac{v}{4\ell_2}$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા,$\frac{\ell_2}{\ell_1} = \frac{v - v_T}{v} = 1 - \frac{v_T}{v}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{\ell_2 - \ell_1}{\ell_1} = -\frac{v_T}{v}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta \ell}{\ell_1} \times 100 = -\frac{2}{320} \times 100 = -0.625 \%$.
ટકાવારી ફેરફારનું મૂલ્ય $0.625 \%$ છે,જે આશરે $0.63 \%$ થાય છે.

(B) સ્ત્રોત $u$ ઝડપથી પાઇપ તરફ ગતિ કરતો હોય ત્યારે પાઇપ દ્વારા પ્રાપ્ત થતી અવાજની આવૃત્તિ $f'$ ડોપ્લર અસરના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $f' = f_s \left( \frac{v}{v - u} \right)$.
$L$ લંબાઈની બંધ પાઇપ તેની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_0$ ના એકી ગુણકો (odd harmonics) પર અનુનાદિત થાય છે,એટલે કે $f' = n f_0$,જ્યાં $n = 1, 3, 5, 7, \dots$.
$(A)$ $u = 0.8 v$ અને $f_s = f_0$ માટે: $f' = f_0 \left( \frac{v}{v - 0.8 v} \right) = f_0 \left( \frac{v}{0.2 v} \right) = 5 f_0$. $5$ એ એકી સંખ્યા હોવાથી,આ અનુનાદ તરફ દોરી જાય છે.
$(B)$ $u = 0.8 v$ અને $f_s = 2 f_0$ માટે: $f' = 2 f_0 \left( \frac{v}{v - 0.8 v} \right) = 10 f_0$. $10$ એ બેકી સંખ્યા હોવાથી,આ અનુનાદ તરફ દોરી જતું નથી.
$(C)$ $u = 0.8 v$ અને $f_s = 0.5 f_0$ માટે: $f' = 0.5 f_0 \left( \frac{v}{v - 0.8 v} \right) = 2.5 f_0$. આ એકી ગુણક નથી.
$(D)$ $u = 0.5 v$ અને $f_s = 1.5 f_0$ માટે: $f' = 1.5 f_0 \left( \frac{v}{v - 0.5 v} \right) = 1.5 f_0 \left( \frac{v}{0.5 v} \right) = 3 f_0$. $3$ એ એકી સંખ્યા હોવાથી,આ અનુનાદ તરફ દોરી જાય છે.
આમ,સંયોજનો $(A)$ અને $(D)$ અનુનાદ તરફ દોરી જાય છે.

(B) પવનના વેગ $w$ સાથે ડોપ્લર અસર માટેનું સામાન્ય સૂત્ર $f_2 = f_1 \left( \frac{V + w - v_o}{V + w - v_s} \right)$ છે,જ્યાં $v_o$ અને $v_s$ એ અનુક્રમે અવલોકનકાર અને સ્ત્રોતના જમીનની સાપેક્ષ વેગ છે.
કિસ્સો $1$: પવન સ્ત્રોતથી અવલોકનકાર તરફ ફૂંકાય છે.
ધ્વનિની અસરકારક ઝડપ $(V + w)$ છે. અવલોકનકાર $u$ ઝડપે સ્ત્રોત તરફ ગતિ કરે છે અને સ્ત્રોત $u$ ઝડપે અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે.
ચિહ્ન પ્રણાલીનો ઉપયોગ કરતા (સ્ત્રોતથી અવલોકનકાર તરફની દિશા ધન): $v_o = -u$ અને $v_s = u$.
$f_2 = f_1 \left( \frac{(V + w) - (-u)}{(V + w) - u} \right) = f_1 \left( \frac{V + w + u}{V + w - u} \right)$.
કારણ કે $(V + w + u) > (V + w - u)$,તેથી $f_2 > f_1$.
કિસ્સો $2$: પવન અવલોકનકારથી સ્ત્રોત તરફ ફૂંકાય છે.
ધ્વનિની અસરકારક ઝડપ $(V - w)$ છે.
ચિહ્ન પ્રણાલીનો ઉપયોગ કરતા: $v_o = -u$ અને $v_s = u$.
$f_2 = f_1 \left( \frac{(V - w) - (-u)}{(V - w) - u} \right) = f_1 \left( \frac{V - w + u}{V - w - u} \right)$.
કારણ કે $(V - w + u) > (V - w - u)$,તેથી $f_2 > f_1$.
બંને કિસ્સાઓમાં,અવલોકન કરેલી આવૃત્તિ $f_2$ એ સ્ત્રોતની આવૃત્તિ $f_1$ કરતા વધારે છે. આમ,વિધાનો $(A)$ અને $(B)$ સાચા છે.

(A) અવલોકનકાર દ્વારા પ્રાપ્ત આવૃત્તિ $f_0$ ડોપ્લર અસરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $f_0 = \left( \frac{C \pm V_0}{C \mp V_s} \right) f_s$,જ્યાં $C$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે,$V_0$ એ અવલોકનકારની ઝડપ છે અને $V_s$ એ ઉદગમની ઝડપ છે.
કેસ $1$: ઉદગમ અને અવલોકનકાર એકબીજાની નજીક આવે છે.
$f_1 = \left( \frac{C + v}{C - v} \right) f_s$
$288 = \left( \frac{C + v}{C - v} \right) 240$
$\frac{C + v}{C - v} = \frac{288}{240} = \frac{6}{5} \quad \dots (1)$
કેસ $2$: ઉદગમ અને અવલોકનકાર એકબીજાથી દૂર જાય છે.
$f_2 = n = \left( \frac{C - v}{C + v} \right) f_s$
$n = \left( \frac{C - v}{C + v} \right) 240 \quad \dots (2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,આપણી પાસે $\frac{C - v}{C + v} = \frac{5}{6}$ છે.
આ કિંમતને સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$n = \left( \frac{5}{6} \right) 240$
$n = 5 \times 40 = 200 \ Hz$.

(A) $(1)$ જ્યારે $S_2$ એ $Q$ પર હોય ત્યારે ડિટેક્ટર દ્વારા માપવામાં આવતી આવૃત્તિ $f'$ એ ડોપ્લર અસરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $f' = \frac{C}{C + v \cos \theta} f$,જ્યાં $C = 324 \ ms^{-1}$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે,$v = 4 \sqrt{2} \ ms^{-1}$ એ સ્ત્રોતની ઝડપ છે,અને $\theta = 45^{\circ}$ એ $S_2$ ના વેગ સદિશ અને $Q$ થી $P$ ને જોડતી રેખા વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$f' = \frac{324}{324 + 4 \sqrt{2} \cos 45^{\circ}} \times 656 = \frac{324}{324 + 4 \sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}}} \times 656 = \frac{324}{328} \times 656 = 648 \ Hz$.
$(2)$ જ્યારે $S_2$ એ $R$ પર હોય,ત્યારે તેનો વેગ $RP$ રેખાને લંબ હોય છે,તેથી $S_2$ માટે કોઈ ડોપ્લર શિફ્ટ થતી નથી. આમ,$f_{P, S_2} = 656 \ Hz$.
$S_1$ એ $4 \ ms^{-1}$ ની ઝડપે $P$ પરના ડિટેક્ટર તરફ ગતિ કરતું હોવાથી,અવલોકિત આવૃત્તિ $f_{P, S_1} = \frac{C}{C - v_s} f = \frac{324}{324 - 4} \times 656 = \frac{324}{320} \times 656 = 664.2 \ Hz$.
બીટ આવૃત્તિ $\Delta f = |f_{P, S_1} - f_{P, S_2}| = 664.2 - 656 = 8.2 \ Hz$.

(D) કોણીય કંપવિસ્તાર $\theta_0 = \cos^{-1}(0.9)$ છે. $\theta_0$ નાનું હોવાથી,$\cos \theta_0 \approx 1 - \frac{\theta_0^2}{2} = 0.9$,જે આપે છે $\frac{\theta_0^2}{2} = 0.1$,તેથી $\theta_0^2 = 0.2$ અને $\theta_0 = \sqrt{0.2} = \sqrt{\frac{1}{5}}$.
સરળ લોલક માટે,મહત્તમ વેગ $v' = \ell \omega \theta_0 = \ell \sqrt{\frac{g}{\ell}} \theta_0 = \theta_0 \sqrt{g\ell}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $v' = \sqrt{\frac{1}{5}} \sqrt{10 \times 8} = \sqrt{\frac{80}{5}} = \sqrt{16} = 4 \ m/s$.
સ્ત્રોત અને અવલોકનકાર એકબીજા તરફ ગતિ કરતા હોય ત્યારે ડોપ્લર શિફ્ટનું સૂત્ર $f_{max} = \left( \frac{v + v'}{v - v'} \right) f$ અને દૂર જતા હોય ત્યારે $f_{min} = \left( \frac{v - v'}{v + v'} \right) f$ છે.
આવૃત્તિમાં મહત્તમ ફેરફાર $\Delta f = f_{max} - f_{min} = f \left( \frac{v + v'}{v - v'} - \frac{v - v'}{v + v'} \right) = f \left( \frac{(v + v')^2 - (v - v')^2}{v^2 - v'^2} \right) = f \left( \frac{4vv'}{v^2 - v'^2} \right)$.
$v = 330 \ m/s$,$v' = 4 \ m/s$,અને $f = 660 \ Hz$ મૂકતા:
$\Delta f = 660 \times \left( \frac{4 \times 330 \times 4}{330^2 - 4^2} \right) = 660 \times \left( \frac{5280}{108900 - 16} \right) \approx 660 \times \left( \frac{5280}{108884} \right) \approx 660 \times 0.04849 \approx 32.003 \ Hz$.
આમ,કિંમત $(31.19$ થી $32.27)$ ની રેન્જમાં આવે છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) ધ્વનિ માટે ડોપ્લર અસરનું સૂત્ર $f' = f \left( \frac{v - v_o}{v - v_s} \right)$ છે,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે,$v_o$ એ અવલોકનકારનો વેગ છે અને $v_s$ એ સ્ત્રોતનો વેગ છે.
આ કિસ્સામાં,સ્ત્રોત અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે,તેથી $v_s = v/4$.
અવલોકનકાર સ્ત્રોતથી દૂર જાય છે,તેથી $v_o = v/6$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$f' = f \left( \frac{v - v/6}{v - v/4} \right)$
$f' = f \left( \frac{5v/6}{3v/4} \right)$
$f' = f \left( \frac{5}{6} \times \frac{4}{3} \right)$
$f' = f \left( \frac{20}{18} \right) = \frac{10}{9} f$.

(B) દીવાલ (જે સ્થિર અવલોકનકાર તરીકે કાર્ય કરે છે) દ્વારા સંભળાતી અવાજની આવૃત્તિ $f' = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $v = 335 \,m/s$ અને $v_s = 5 \,m/s$ છે.
$f' = 165 \left( \frac{335}{335 - 5} \right) = 165 \left( \frac{335}{330} \right) = 165 \times \frac{335}{330} = \frac{335}{2} = 167.5 \,Hz$.
હવે, દીવાલ એક સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે જે આ અવાજને બસ તરફ પરાવર્તિત કરે છે (જે ગતિશીલ અવલોકનકાર તરીકે કાર્ય કરે છે). મુસાફરો દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિ $f'' = f' \left( \frac{v + v_o}{v} \right)$ છે, જ્યાં $v_o = 5 \,m/s$ છે.
$f'' = 167.5 \left( \frac{335 + 5}{335} \right) = 167.5 \left( \frac{340}{335} \right) = 167.5 \times \frac{340}{335} = 167.5 \times 1.0149 \approx 170 \,Hz$.
પ્રતિ સેકન્ડ બીટ્સની સંખ્યા એ પરાવર્તિત આવૃત્તિ અને મૂળ આવૃત્તિ વચ્ચેનો તફાવત છે: $f_{beats} = f'' - f = 170 \,Hz - 165 \,Hz = 5 \,Hz$.

(B) ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે ધ્વનિનો સ્ત્રોત $v_s$ વેગ સાથે સ્થિર અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $f'$ નું સૂત્ર $f' = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ છે,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $f$ એ વાસ્તવિક આવૃત્તિ છે.
છેદ $(v - v_s)$ એ $v$ કરતા નાનો હોવાથી,આભાસી આવૃત્તિ $f'$ એ વાસ્તવિક આવૃત્તિ $f$ કરતા વધારે હોય છે,એટલે કે આવૃત્તિ વધે છે.
સ્થિર અવલોકનકાર દ્વારા અવલોકન કરાયેલ તરંગલંબાઈ $\lambda'$ નું સૂત્ર $\lambda' = \frac{v - v_s}{f}$ છે. કારણ કે $(v - v_s) < v$,તેથી આભાસી તરંગલંબાઈ $\lambda'$ એ વાસ્તવિક તરંગલંબાઈ $\lambda = v/f$ કરતા ઓછી હોય છે. આમ,તરંગલંબાઈ ઘટે છે.

(C) ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે અવલોકનકાર $V_1$ વેગ સાથે સ્થિર ઉદગમ તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $F_1$ નીચે મુજબ મળે છે: $F_1 = F_0 \left( \frac{v + V_1}{v} \right)$,જ્યાં $F_0$ એ ઉદગમની મૂળ આવૃત્તિ છે.
જ્યારે અવલોકનકાર $V_1$ વેગ સાથે સ્થિર ઉદગમથી દૂર ગતિ કરે છે,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $F_2$ નીચે મુજબ મળે છે: $F_2 = F_0 \left( \frac{v - V_1}{v} \right)$.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{F_1}{F_2} = 2$ હોવાથી: $\frac{F_0 \left( \frac{v + V_1}{v} \right)}{F_0 \left( \frac{v - V_1}{v} \right)} = 2$.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{v + V_1}{v - V_1} = 2$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $v + V_1 = 2(v - V_1) = 2v - 2V_1$.
પદોને ગોઠવતા: $3V_1 = v$.
તેથી,$\frac{v}{V_1} = 3$.

(C) ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે ધ્વનિનો સ્ત્રોત અને અવલોકનકાર એકબીજાની નજીક ગતિ કરે છે,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $f'$ નું સૂત્ર $f' = f \left( \frac{v + v_o}{v - v_s} \right)$ છે,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે,$v_o$ એ અવલોકનકારની ઝડપ છે અને $v_s$ એ સ્ત્રોતની ઝડપ છે.
અંશ $(v + v_o)$ એ $v$ કરતા મોટો હોવાથી અને છેદ $(v - v_s)$ એ $v$ કરતા નાનો હોવાથી,આભાસી આવૃત્તિ $f'$ એ વાસ્તવિક આવૃત્તિ $f$ કરતા વધારે હશે.
માધ્યમમાં ધ્વનિની ઝડપ $v$ અચળ રહેતી હોવાથી,આવૃત્તિ $f$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda$ વચ્ચેનો સંબંધ $v = f \lambda$ અથવા $\lambda = v/f$ છે.
જેમ આભાસી આવૃત્તિ $f'$ વધે છે,તેમ ધ્વનિની ઝડપ અચળ રાખવા માટે આભાસી તરંગલંબાઈ $\lambda'$ ઘટવી જોઈએ.
તેથી,અવલોકનકાર ઊંચી આવૃત્તિ અને ઓછી તરંગલંબાઈ અનુભવે છે.

(C) ધારો કે ધ્વનિનો વેગ $v$ છે અને સ્ત્રોતની આવૃત્તિ $f$ છે. અવલોકનકાર સ્થિર સ્ત્રોત તરફ $v_o = v/5$ ના વેગથી ગતિ કરે છે.
ડોપ્લર અસર મુજબ,અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ $f'$ નું સૂત્ર: $f' = f \left( \frac{v + v_o}{v} \right)$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $f' = f \left( \frac{v + v/5}{v} \right) = f \left( \frac{6v/5}{v} \right) = 1.2f$.
આવૃત્તિમાં થતો વધારો $\Delta f = f' - f = 1.2f - f = 0.2f$ છે.
ટકાવારી વધારો $\left( \frac{\Delta f}{f} \right) \times 100 = \left( \frac{0.2f}{f} \right) \times 100 = 20 \%$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) ડોપ્લર અસર માટેનું સામાન્ય સૂત્ર $f' = f \left( \frac{V \pm v_o}{V \mp v_s} \right)$ છે,જ્યાં $V$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે,$v_o$ એ અવલોકનકારની ઝડપ છે અને $v_s$ એ સ્ત્રોતની ઝડપ છે.
આપેલ છે:
સ્ત્રોતનો વેગ $v_s = V/3$ (અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે,તેથી છેદ ઘટશે).
અવલોકનકારનો વેગ $v_o = V/4$ (સ્ત્રોતથી દૂર ગતિ કરે છે,તેથી અંશ ઘટશે).
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$f' = F \left( \frac{V - V/4}{V - V/3} \right)$
$f' = F \left( \frac{3V/4}{2V/3} \right)$
$f' = F \left( \frac{3}{4} \times \frac{3}{2} \right)$
$f' = \frac{9}{8} F$
તેથી,આભાસી આવૃત્તિ $9/8 F$ થશે.

(A) ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે સ્ત્રોત સ્થિર અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $f'$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$f' = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$
જ્યાં $f$ એ વાસ્તવિક આવૃત્તિ છે,$v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $v_s$ એ સ્ત્રોતની ઝડપ છે.
આપેલ છે કે $v_s = \frac{1}{10} v$,તેથી આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$f' = f \left( \frac{v}{v - \frac{v}{10}} \right)$
$f' = f \left( \frac{v}{\frac{9v}{10}} \right)$
$f' = f \left( \frac{10}{9} \right)$
તેથી,આભાસી આવૃત્તિ અને વાસ્તવિક આવૃત્તિનો ગુણોત્તર $\frac{f'}{f} = \frac{10}{9}$ થાય છે.

(D) જ્યારે સ્ત્રોત $v_s$ વેગ સાથે દૂર જતો હોય ત્યારે સ્થિર અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ $f'$ નું સૂત્ર છે: $f' = f \left( \frac{V}{V + v_s} \right)$,જ્યાં $V$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $f$ એ મૂળ આવૃત્તિ છે.
આપેલ છે કે આભાસી આવૃત્તિ મૂળ આવૃત્તિ કરતા અડધી છે,તેથી $f' = \frac{f}{2}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{f}{2} = f \left( \frac{V}{V + v_s} \right)$.
બંને બાજુથી $f$ ને દૂર કરતા: $\frac{1}{2} = \frac{V}{V + v_s}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $V + v_s = 2V$.
$v_s$ માટે ઉકેલતા: $v_s = 2V - V = V$.
તેથી,સ્ત્રોતે ધ્વનિની ઝડપ $V$ જેટલી ઝડપે ગતિ કરવી જોઈએ.

(C) ડોપ્લર અસર મુજબ,આભાસી આવૃત્તિ $f'$ નું સૂત્ર $f' = f \left( \frac{V \pm v_o}{V \mp v_s} \right)$ છે.
અહીં,$V$ એ ધ્વનિનો વેગ છે,$v_s = \frac{V}{3}$ એ સ્ત્રોતનો અવલોકનકાર તરફનો વેગ છે,અને $v_o = \frac{V}{5}$ એ અવલોકનકારનો સ્ત્રોતથી દૂર જવાનો વેગ છે.
સ્ત્રોત અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરતો હોવાથી,છેદ $(V - v_s) = (V - \frac{V}{3}) = \frac{2V}{3}$ થશે.
અવલોકનકાર સ્ત્રોતથી દૂર જતો હોવાથી,અંશ $(V - v_o) = (V - \frac{V}{5}) = \frac{4V}{5}$ થશે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$f' = f \left( \frac{4V/5}{2V/3} \right) = f \left( \frac{4}{5} \times \frac{3}{2} \right) = f \left( \frac{12}{10} \right) = \frac{6}{5} f$.
આમ,આભાસી આવૃત્તિ $\frac{6}{5} f$ છે.

(A) ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે ઉદગમ સ્થિર હોય અને અવલોકનકાર $V_1$ વેગથી ગતિ કરે,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $F$ નું સૂત્ર $F = F_0 \left( \frac{V \pm V_1}{V} \right)$ છે,જ્યાં $F_0$ એ મૂળ આવૃત્તિ છે અને $V$ એ ધ્વનિનો વેગ છે.
કિસ્સો $1$: અવલોકનકાર ઉદગમ તરફ ગતિ કરે છે.
આભાસી આવૃત્તિ $F_1 = F_0 \left( \frac{V + V_1}{V} \right)$ થશે.
કિસ્સો $2$: અવલોકનકાર ઉદગમથી દૂર ગતિ કરે છે.
આભાસી આવૃત્તિ $F_2 = F_0 \left( \frac{V - V_1}{V} \right)$ થશે.
આપેલ ગુણોત્તર $F_1 / F_2 = 2$ પરથી:
$\frac{F_0 (V + V_1) / V}{F_0 (V - V_1) / V} = 2$
$\frac{V + V_1}{V - V_1} = 2$
$V + V_1 = 2(V - V_1)$
$V + V_1 = 2V - 2V_1$
$3V_1 = V$
$\frac{V}{V_1} = 3$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) જ્યારે ઉદ્ગમ $v_s$ ઝડપથી ગતિ કરતું હોય ત્યારે સ્થિર અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ $f'$ ડોપ્લર અસરના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $f' = f \left( \frac{V}{V \mp v_s} \right)$.
પસાર થતા પહેલા,ઉદ્ગમ અવલોકનકારની નજીક આવે છે: $f_1 = f \left( \frac{V}{V - v_s} \right) = 1200 \left( \frac{V}{V - v_s} \right)$.
પસાર થયા પછી,ઉદ્ગમ અવલોકનકારથી દૂર જાય છે: $f_2 = f \left( \frac{V}{V + v_s} \right) = 1200 \left( \frac{V}{V + v_s} \right)$.
આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $f_1 / f_2 = 7/5$ આપેલ છે.
સૂત્રો મૂકતા: $\frac{V + v_s}{V - v_s} = \frac{7}{5}$.
ગુણાકાર કરતા: $5(V + v_s) = 7(V - v_s) \implies 5V + 5v_s = 7V - 7v_s$.
પદોને ગોઠવતા: $12v_s = 2V \implies v_s = \frac{2V}{12} = \frac{V}{6}$.

(C) ડોપ્લર અસરને કારણે અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિ $f' = f \left( \frac{v \pm v_o}{v \mp v_s} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અહીં,$v = 330 \ m/s$,$v_s = 30 \ m/s$,$v_o = 0$,અને $f = 300 \ Hz$ છે.
સ્ટેશન તરફ આવતી ટ્રેન (પ્રથમ ટ્રેન) માટે,આભાસી આવૃત્તિ $f_1 = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right) = 300 \left( \frac{330}{330 - 30} \right) = 300 \left( \frac{330}{300} \right) = 330 \ Hz$ છે.
સ્ટેશન છોડતી ટ્રેન (બીજી ટ્રેન) માટે,આભાસી આવૃત્તિ $f_2 = f \left( \frac{v}{v + v_s} \right) = 300 \left( \frac{330}{330 + 30} \right) = 300 \left( \frac{330}{360} \right) = 300 \left( \frac{11}{12} \right) = 275 \ Hz$ છે.
વ્યક્તિ દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિઓનો તફાવત $\Delta f = f_1 - f_2 = 330 \ Hz - 275 \ Hz = 55 \ Hz$ છે.

(C) પગલું $1$: સાયરનમાંથી આવતો અવાજ દીવાલ તરફ ગતિ કરે છે. દીવાલ સ્થિર અવલોકનકાર તરીકે કાર્ય કરે છે. ગતિશીલ ઉદગમ અને સ્થિર અવલોકનકાર માટે ડોપ્લર અસરના સૂત્ર મુજબ,દીવાલ દ્વારા પ્રાપ્ત થતી આવૃત્તિ $n_1 = n \left( \frac{V}{V - V_1} \right)$ છે.
પગલું $2$: દીવાલ આ અવાજનું પરાવર્તન કરે છે. હવે,દીવાલ $n_1$ આવૃત્તિના સ્થિર ઉદગમ તરીકે કાર્ય કરે છે અને ડ્રાઈવર $V_1$ ઝડપથી દીવાલ તરફ ગતિ કરતા અવલોકનકાર તરીકે કાર્ય કરે છે. ડ્રાઈવર દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિ $n_2 = n_1 \left( \frac{V + V_1}{V} \right)$ દ્વારા મળે છે.
પગલું $3$: $n_2$ ના સમીકરણમાં $n_1$ ની કિંમત મૂકતા: $n_2 = \left( n \frac{V}{V - V_1} \right) \left( \frac{V + V_1}{V} \right) = n \left( \frac{V + V_1}{V - V_1} \right)$.

(D) ધારો કે સીટીની મૂળ આવૃત્તિ $n$ છે અને અવલોકન કરેલ આવૃત્તિ $n^{\prime}$ છે.
આપેલ છે કે આવૃત્તિ $30 \%$ ઘટે છે,તેથી અવલોકન કરેલ આવૃત્તિ $n^{\prime} = n - 0.30n = 0.7n$ થાય.
ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે ઉદગમ સ્થિર અવલોકનકારથી દૂર જાય છે,ત્યારે અવલોકન કરેલ આવૃત્તિ $n^{\prime} = n \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v = 350 \ m/s$ એ અવાજની ઝડપ છે અને $v_s$ એ એન્જિનની ઝડપ છે.
કિંમતો મૂકતા: $0.7n = n \left( \frac{350}{350 + v_s} \right)$.
બંને બાજુ $n$ વડે ભાગતા: $0.7 = \frac{350}{350 + v_s}$.
$0.7(350 + v_s) = 350$.
$245 + 0.7v_s = 350$.
$0.7v_s = 350 - 245 = 105$.
$v_s = \frac{105}{0.7} = 150 \ m/s$.

(A) આપેલ છે:
ઉદગમની આવૃત્તિ $(n_0) = 510 \,Hz$.
ઉદગમનો વેગ $(v_s) = 72 \,km/hr = 72 \times \frac{5}{18} = 20 \,m/s$.
હવામાં અવાજનો વેગ $(v) = 320 \,m/s$.
$(1)$ જ્યારે ઉદગમ સ્થિર શ્રોતા તરફ ગતિ કરતું હોય,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $(n_1)$ નીચે મુજબ મળે:
$n_1 = n_0 \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$
$n_1 = 510 \times \left( \frac{320}{320 - 20} \right) = 510 \times \left( \frac{320}{300} \right) = 544 \,Hz$.
$(2)$ જ્યારે ઉદગમ સ્થિર શ્રોતાથી દૂર જતું હોય,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $(n_2)$ નીચે મુજબ મળે:
$n_2 = n_0 \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$
$n_2 = 510 \times \left( \frac{320}{320 + 20} \right) = 510 \times \left( \frac{320}{340} \right) = 480 \,Hz$.
આમ,આવૃત્તિઓ $544 \,Hz$ અને $480 \,Hz$ છે.

(B) ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે શ્રોતા $V_1$ વેગ સાથે સ્થિર ઉદગમ તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $F_1$ નીચે મુજબ મળે છે:
$F_1 = F \left( \frac{V + V_1}{V} \right)$
જ્યારે શ્રોતા $V_1$ વેગ સાથે સ્થિર ઉદગમથી દૂર ગતિ કરે છે,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $F_2$ નીચે મુજબ મળે છે:
$F_2 = F \left( \frac{V - V_1}{V} \right)$
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{F_1}{F_2} = 2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{F_1}{F_2} = \frac{V + V_1}{V - V_1} = 2$
$V + V_1 = 2(V - V_1)$
$V + V_1 = 2V - 2V_1$
$3V_1 = V$
તેથી,$\frac{V}{V_1} = 3$.

(D) ધ્વનિ તરંગો માટે ડોપ્લરની અસર લાગુ પાડતા,અવલોકિત આવૃત્તિ $n^{\prime} = n \left( \frac{v + v_0}{v} \right) = n \left( 1 + \frac{v_0}{v} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિનો વેગ છે અને $v_0$ એ ઉદગમ તરફ ગતિ કરતા અવલોકનકારનો વેગ છે.
આપેલ છે કે અવલોકિત આવૃત્તિ એ ઉદગમની આવૃત્તિ કરતા ત્રણ ગણી છે,એટલે કે $n^{\prime} = 3n$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $3n = n \left( 1 + \frac{v_0}{v} \right)$.
બંને બાજુ $n$ વડે ભાગતા: $3 = 1 + \frac{v_0}{v}$.
$v_0$ માટે ઉકેલતા: $\frac{v_0}{v} = 2$,જેનો અર્થ છે કે $v_0 = 2v$.
તેથી,અવલોકનકારે ઉદગમ તરફ ધ્વનિના વેગ કરતા બમણા વેગથી ગતિ કરવી જોઈએ.

(A) દીવાલ પરાવર્તિત અવાજના સ્થિર ઉદગમ તરીકે કાર્ય કરે છે. દીવાલ દ્વારા પ્રાપ્ત થતી અવાજની આવૃત્તિ $n_w = n \left(\frac{V}{V-V_1}\right)$ છે.
આ પરાવર્તિત અવાજ ડ્રાઇવર માટે ઉદગમ તરીકે કાર્ય કરે છે. ડ્રાઇવર દીવાલ (ઉદગમ) તરફ ગતિ કરી રહ્યો હોવાથી,ડ્રાઇવર દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિ $n' = n_w \left(\frac{V+V_1}{V}\right)$ થશે.
$n_w$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $n' = n \left(\frac{V}{V-V_1}\right) \left(\frac{V+V_1}{V}\right) = n \left(\frac{V+V_1}{V-V_1}\right)$.

(B) ડોપ્લર અસર મુજબ,અવલોકિત આવૃત્તિ $n^{\prime}$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$n^{\prime} = \left( \frac{V + V_{L}}{V - V_{S}} \right) n$
અહીં,શ્રોતાની ઝડપ $V_{L} = \frac{V}{10}$ અને ઉદગમની ઝડપ $V_{S} = \frac{V}{10}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$n^{\prime} = \left( \frac{V + \frac{V}{10}}{V - \frac{V}{10}} \right) n$
$n^{\prime} = \left( \frac{\frac{11V}{10}}{\frac{9V}{10}} \right) n$
$n^{\prime} = \frac{11}{9} n$
$n^{\prime} \approx 1.22 n$

(A) ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે શ્રોતા ઉદગમ તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ વધે છે,તેથી અંશ $(V+V_L)$ થાય છે.
જ્યારે ઉદગમ શ્રોતા તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે આભાસી તરંગલંબાઇ ઘટે છે,જેનાથી આવૃત્તિ વધે છે,તેથી છેદ $(V-V_S)$ થાય છે.
તેથી,અવલોકિત આવૃત્તિ $n$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$n=n_0\left[\frac{V+V_{L}}{V-V_{s}}\right]$

(B) સ્થિર સ્ત્રોત તરફ ગતિ કરતા અવલોકનકાર માટે,સંભળાતી આવૃત્તિ $n_1 = n_0 \left[ \frac{v + v_L}{v} \right]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્થિર અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરતા સ્ત્રોત માટે,સંભળાતી આવૃત્તિ $n_2 = n_0 \left[ \frac{v}{v - v_s} \right]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો $v = 330 \,m/s$,$v_L = 50 \,m/s$,અને $v_s = 50 \,m/s$ મૂકતા:
$n_1 = n_0 \left[ \frac{330 + 50}{330} \right] = n_0 \left[ \frac{380}{330} \right] \approx 1.151 n_0$.
$n_2 = n_0 \left[ \frac{330}{330 - 50} \right] = n_0 \left[ \frac{330}{280} \right] \approx 1.178 n_0$.
બંને પરિણામોની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે કે $n_2 > n_1$.
તેથી,પ્રથમ કિસ્સા કરતા બીજા કિસ્સામાં સંભળાતી આવૃત્તિ વધારે હશે.

(D) જ્યારે ઉદ્ગમ સ્થિર અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરતું હોય ત્યારે સંભળાતી આવૃત્તિ $n_b = \left( \frac{v}{v - v_s} \right) n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે ઉદ્ગમ સ્થિર અવલોકનકારથી દૂર જતું હોય ત્યારે સંભળાતી આવૃત્તિ $n_a = \left( \frac{v}{v + v_s} \right) n$ છે.
આ બે આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{n_b}{n_a} = \frac{v + v_s}{v - v_s}$.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{n_b}{n_a} = \frac{11}{9}$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\frac{11}{9} = \frac{v + v_s}{v - v_s}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$11(v - v_s) = 9(v + v_s)$
$11v - 11v_s = 9v + 9v_s$
$2v = 20v_s$
$v_s = \frac{2v}{20} = \frac{v}{10}$.

(A) ડોપ્લર અસર એ ધ્વનિના ઉદગમ અને અવલોકનકાર વચ્ચેની સાપેક્ષ ગતિ પર આધાર રાખે છે.
આ કિસ્સામાં, મુસાફર (અવલોકનકાર) અને એન્જિન (ઉદગમ) બંને એક જ ટ્રેનમાં છે.
તેઓ સમાન વેગથી સાથે ગતિ કરી રહ્યા હોવાથી, ઉદગમ અને શ્રોતા વચ્ચે કોઈ સાપેક્ષ ગતિ નથી.
તેથી, મુસાફર દ્વારા સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ $f$ એ સીટીની વાસ્તવિક આવૃત્તિ $n$ જેટલી જ હોય છે.
આમ, $f = n$.

(A) જ્યારે ધ્વનિનો સ્ત્રોત સ્થિર અવલોકનકાર તરફ $v_S$ ઝડપે ગતિ કરતો હોય,ત્યારે ડોપ્લર અસરના સૂત્ર મુજબ આભાસી આવૃત્તિ $n$ નીચે મુજબ મળે છે: $n = n_0 \left( \frac{v}{v - v_S} \right)$,જ્યાં $n_0$ એ વાસ્તવિક આવૃત્તિ છે અને $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે.
અહીં આપેલ છે કે $v_S = \frac{v}{10}$,તેથી આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{n}{n_0} = \frac{v}{v - \frac{v}{10}}$
$\frac{n}{n_0} = \frac{v}{\frac{9v}{10}}$
$\frac{n}{n_0} = \frac{10}{9}$
આમ,આભાસી અને વાસ્તવિક આવૃત્તિનો ગુણોત્તર $10:9$ છે.

(D) ધારો કે મૂળ આવૃત્તિ $f$ છે. દેખીતી આવૃત્તિ $f^{\prime}$ માં $20 \%$ નો ઘટાડો થાય છે,તેથી $f^{\prime} = f - 0.2f = 0.8f = \frac{4}{5}f$ થાય.
આવૃત્તિમાં ઘટાડો થતો હોવાથી,સ્ત્રોત સ્થિર અવલોકનકારથી દૂર જઈ રહ્યો છે.
સ્થિર અવલોકનકારથી દૂર જતા સ્ત્રોત માટે ડોપ્લર અસરનું સૂત્ર:
$f^{\prime} = f \left[ \frac{V}{V + V_s} \right]$
જ્યાં $V = 350 \ m/s$ એ અવાજની ઝડપ છે અને $V_s$ એ એન્જિનની ઝડપ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{4}{5}f = f \left[ \frac{350}{350 + V_s} \right]$
$\frac{4}{5} = \frac{350}{350 + V_s}$
$4(350 + V_s) = 5(350)$
$1400 + 4V_s = 1750$
$4V_s = 350$
$V_s = 87.5 \ m/s$.

(B) ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે સ્ત્રોત નજીક આવતો હોય ત્યારે અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિ $n_{\text{before}} = \left(\frac{V}{V - v_c}\right) n$ છે.
જ્યારે સ્ત્રોત દૂર જતો હોય,ત્યારે સંભળાતી આવૃત્તિ $n_{\text{after}} = \left(\frac{V}{V + v_c}\right) n$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{n_{\text{before}}}{n_{\text{after}}} = \frac{11}{9}$ છે.
સમીકરણો મૂકતા: $\frac{\frac{V}{V - v_c} n}{\frac{V}{V + v_c} n} = \frac{V + v_c}{V - v_c} = \frac{11}{9}$.
ગુણાકાર કરતા: $9(V + v_c) = 11(V - v_c)$.
$9V + 9v_c = 11V - 11v_c$.
$20v_c = 2V$.
$v_c = \frac{2V}{20} = \frac{V}{10}$.

(B) જ્યારે સ્ત્રોત સ્થિર અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરતો હોય ત્યારે અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ $f$ ડોપ્લર અસરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$f = f_0 \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$
આપેલ છે:
$v = 340 \,m/s$ (ધ્વનિની ઝડપ)
$f_0 = 90 \,Hz$ (સ્ત્રોતની આવૃત્તિ)
$v_s = \frac{v}{10} = \frac{340}{10} = 34 \,m/s$ (સ્ત્રોતની ઝડપ)
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$f = 90 \left( \frac{340}{340 - 34} \right)$
$f = 90 \left( \frac{340}{306} \right)$
$f = 90 \left( \frac{10}{9} \right)$
$f = 100 \,Hz$

(B) ખ્યાલ: સ્થિર અવલોકનકારથી દૂર જતા ઉદગમ માટે ડોપ્લર અસર.
સૂત્ર: $f^{\prime} = f \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$
જ્યાં:
$f$ એ ઉદગમની આવૃત્તિ = $1152 \ Hz$
$v$ એ ધ્વનિનો વેગ = $340 \ m/s$
$v_s$ એ ઉદગમનો વેગ છે.
પ્રથમ,ઉદગમના વેગને $km/h$ માંથી $m/s$ માં ફેરવો:
$v_s = 72 \times \frac{5}{18} \ m/s = 20 \ m/s$
હવે,કિંમતો સૂત્રમાં મૂકો:
$f^{\prime} = 1152 \times \left( \frac{340}{340 + 20} \right)$
$f^{\prime} = 1152 \times \left( \frac{340}{360} \right)$
$f^{\prime} = 1152 \times \left( \frac{17}{18} \right)$
$f^{\prime} = 64 \times 17 = 1088 \ Hz$
તેથી,અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ $1088 \ Hz$ છે.

(D) જ્યારે અવલોકનકાર સ્થિર ઉદગમ તરફ ગતિ કરતો હોય ત્યારે ડોપ્લર અસરનું સૂત્ર $n^{\prime} = n \left( \frac{v + v_{o}}{v} \right)$ છે,જ્યાં $n^{\prime}$ એ અવલોકિત આવૃત્તિ છે,$n$ એ ઉદગમની આવૃત્તિ છે,$v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $v_{o}$ એ અવલોકનકારનો વેગ છે.
અહીં આપેલ છે કે અવલોકિત આવૃત્તિ એ ઉદગમની આવૃત્તિ કરતા બમણી છે,તેથી $n^{\prime} = 2n$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $2n = n \left( \frac{v + v_{o}}{v} \right)$.
બંને બાજુ $n$ વડે ભાગતા: $2 = \frac{v + v_{o}}{v}$.
$v$ વડે ગુણતા: $2v = v + v_{o}$.
$v_{o}$ માટે ઉકેલતા: $v_{o} = v$.
આમ,અવલોકનકારે ધ્વનિની ઝડપ જેટલા જ વેગથી ઉદગમ તરફ ગતિ કરવી જોઈએ.