ગતિશીલ ઉદગમ અને ગતિશીલ અવલોકનકાર માટે અવલોકનકારે અનુભવેલી આવૃત્તિનું સમીકરણ મેળવો.

(N/A) ધારો કે અવલોકનકારથી ઉદગમ તરફની દિશાને ધન દિશા તરીકે લઈએ.
ધારો કે ઉદગમ અને અવલોકનકાર અનુક્રમે $v_{s}$ અને $v_{0}$ વેગથી ગતિ કરે છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
ધારો કે $t=0$ સમયે,અવલોકનકાર $O_{1}$ પર છે અને ઉદગમ $S_{1}$ પર છે,જ્યાં $O_{1}$ એ $S_{1}$ ની ડાબી બાજુએ છે.
ઉદગમ $v$ વેગ,$\nu$ આવૃત્તિ અને $T_{0}$ આવર્તકાળ ધરાવતું તરંગ ઉત્સર્જિત કરે છે,જે માધ્યમની સાપેક્ષ સ્થિર અવલોકનકાર દ્વારા માપવામાં આવે છે.
ધારો કે $t=0$ સમયે $O_{1}$ અને $S_{1}$ વચ્ચેનું અંતર $L$ છે,જ્યારે ઉદગમ પ્રથમ શૃંગ ઉત્સર્જિત કરે છે. અવલોકનકાર ગતિ કરતો હોવાથી,અવલોકનકારની સાપેક્ષ તરંગનો વેગ $v+v_{0}$ થશે. તેથી,પ્રથમ શૃંગ અવલોકનકાર પાસે $t_{1}=\frac{L}{v+v_{0}}$ સમયે પહોંચે છે.
$t=T_{0}$ સમયે,અવલોકનકાર અને ઉદગમ બંને તેમના નવા સ્થાનો $O_{2}$ અને $S_{2}$ પર પહોંચે છે. અવલોકનકાર અને ઉદગમ વચ્ચેનું નવું અંતર $O_{2}S_{2}$ એ $L+(v_{s}-v_{0})T_{0}$ થશે.
$S_{2}$ પર,ઉદગમ બીજું શૃંગ ઉત્સર્જિત કરે છે. આ અવલોકનકાર પાસે $t_{2}=T_{0}+\frac{L+(v_{s}-v_{0})T_{0}}{v+v_{0}}$ સમયે પહોંચે છે.
$nT_{0}$ સમયે,ઉદગમ તેનું $(n+1)^{th}$ શૃંગ ઉત્સર્જિત કરે છે,અને તે અવલોકનકાર પાસે $t_{n+1}=nT_{0}+\frac{L+n(v_{s}-v_{0})T_{0}}{v+v_{0}}$ સમયે પહોંચે છે.
પ્રથમ અને $(n+1)^{th}$ શૃંગના આગમન વચ્ચેનો સમયગાળો $\Delta t = t_{n+1} - t_{1} = nT_{0} + \frac{n(v_{s}-v_{0})T_{0}}{v+v_{0}} = nT_{0} \left(1 + \frac{v_{s}-v_{0}}{v+v_{0}}\right) = nT_{0} \left(\frac{v+v_{0}+v_{s}-v_{0}}{v+v_{0}}\right) = nT_{0} \left(\frac{v+v_{s}}{v+v_{0}}\right)$ છે.
અવલોકિત આવર્તકાળ $T' = \frac{\Delta t}{n} = T_{0} \left(\frac{v+v_{s}}{v+v_{0}}\right)$ છે.
આમ,અવલોકિત આવૃત્તિ $\nu' = \frac{1}{T'} = \nu \left(\frac{v+v_{0}}{v+v_{s}}\right)$ છે.