Doppler’s Effect Questions in Gujarati

(A) આપેલ છે: ટ્રેન (ઉદગમ) ની ઝડપ $v_s = 72\ km/hr = 20\ m/s$.
પવનની ઝડપ $w = 36\ km/hr = 10\ m/s$.
અવાજની ઝડપ $v = 340\ m/s$.
ઉદગમની આવૃત્તિ $n = 500\ Hz$.
પવન ટેકરીથી ટ્રેન તરફ ફૂંકાતો હોવાથી,ટેકરી તરફ જતા અવાજ માટે જમીનની સાપેક્ષમાં અવાજની અસરકારક ઝડપ $(v - w)$ થશે.
ડોપ્લર અસરના સૂત્ર માટે,આપણે માધ્યમની સાપેક્ષમાં અવાજનો વેગ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
અવલોકનકાર ટેકરી પર સ્થિર છે $(v_o = 0)$.
ઉદગમ અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે.
અવલોકનકારની સાપેક્ષમાં અવાજનો અસરકારક વેગ $v_{eff} = v - w = 340 - 10 = 330\ m/s$ છે.
આભાસી આવૃત્તિનું સૂત્ર $n' = n \left[ \frac{v_{eff}}{v_{eff} - v_s} \right]$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $n' = 500 \left[ \frac{330}{330 - 20} \right] = 500 \left[ \frac{330}{310} \right] = 500 \times 1.0645 \approx 532.25\ Hz$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,આવૃત્તિ $532.5\ Hz$ છે.

(B) સ્થિર સ્ત્રોત તરફ $v_c$ ઝડપથી ગતિ કરતી કાર દ્વારા પરાવર્તિત અવાજની આભાસી આવૃત્તિ $f = f_0 \left( \frac{v + v_c}{v - v_c} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $v_c \ll v$,આપણે દ્વિપદી અંદાજનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $f \approx f_0 \left( 1 + \frac{2v_c}{v} \right)$.
પરાવર્તિત આવૃત્તિમાં ફેરફાર $\Delta f = f - f_0 = f_0 \left( \frac{2v_c}{v} \right)$ છે.
$v_1$ અને $v_2$ ઝડપ ધરાવતી બે કાર માટે,પરાવર્તિત આવૃત્તિઓનો તફાવત $\Delta f_{diff} = |f_1 - f_2| = f_0 \left( \frac{2(v_1 - v_2)}{v} \right)$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{\Delta f_{diff}}{f_0} = 1.2\% = 0.012$,તેથી $\frac{2(v_1 - v_2)}{v} = 0.012$.
$v = 330 \ m/s$ મૂકતા,આપણને $v_1 - v_2 = \frac{0.012 \times 330}{2} = 0.006 \times 330 = 1.98 \ m/s$ મળે છે.
$km/h$ માં રૂપાંતરિત કરતા: $1.98 \ m/s \times \frac{18}{5} = 7.128 \ km/h$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,તફાવત $7 \ km/h$ છે.

(C) ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે ધ્વનિનો સ્ત્રોત અચળ વેગ $V_S$ થી સ્થિર અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે અવલોકન કરેલી આવૃત્તિ $n'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$n' = n \left( \frac{V}{V - V_S} \right)$
જ્યાં $V$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $n$ એ વાસ્તવિક આવૃત્તિ છે. જ્યાં સુધી સ્ત્રોત નજીક આવી રહ્યો છે ત્યાં સુધી આ મૂલ્ય અચળ રહે છે.
જ્યારે સ્ત્રોત અવલોકનકાર પાસેથી પસાર થાય છે અને દૂર જાય છે,ત્યારે અવલોકન કરેલી આવૃત્તિ $n'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$n' = n \left( \frac{V}{V + V_S} \right)$
આ મૂલ્ય પણ અચળ છે પરંતુ નજીક આવતી વખતે સંભળાતી આવૃત્તિ કરતા ઓછું છે.
ટ્રેનનો વેગ અચળ હોવાથી,નજીક આવતી વખતે આવૃત્તિ ઉચ્ચ મૂલ્ય પર અચળ રહે છે અને અવલોકનકાર પાસેથી પસાર થયા પછી તે ઘટીને નીચા અચળ મૂલ્ય પર આવી જાય છે. તેથી,આલેખ ટ્રેન અવલોકનકાર પાસેથી પસાર થાય તે ક્ષણે સ્ટેપ જેવો ફેરફાર દર્શાવે છે. સાચો વક્ર વિકલ્પ $C$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યો છે.

(C) ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે ઉદગમ $v_s$ વેગ સાથે ગતિ કરતું હોય ત્યારે સ્થિર અવલોકનકાર દ્વારા અવલોકન કરવામાં આવતી આભાસી આવૃત્તિ $f'$ નીચે મુજબ મળે છે: $f' = f \left( \frac{v}{v - v_s \cos \theta} \right)$,જ્યાં $v$ એ અવાજની ઝડપ છે,$f$ એ ઉદગમની આવૃત્તિ છે,અને $\theta$ એ ઉદગમના વેગ સદિશ અને ઉદગમથી અવલોકનકારને જોડતી રેખા વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આવૃત્તિ મહત્તમ હોવા માટે,છેદ $(v - v_s \cos \theta)$ ન્યૂનતમ હોવો જોઈએ.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે $\cos \theta$ મહત્તમ હોય,એટલે કે $\cos \theta = 1$ (જ્યારે ઉદગમ સીધું અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરતું હોય).
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $f = 400\, Hz$,$v = 330\, m/s$,$v_s = 30\, m/s$,અને $\cos \theta = 1$:
$f'_{max} = 400 \left( \frac{330}{330 - 30} \right) = 400 \left( \frac{330}{300} \right) = 400 \times 1.1 = 440\, Hz$.
અવલોકનકાર ટ્રેકની અંદર હોવાથી,એન્જિન વર્તુળાકાર માર્ગ પરના ચોક્કસ બિંદુએ જ અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરી શકે છે. તે બિંદુએ,અવલોકન કરેલી આવૃત્તિ બરાબર $440\, Hz$ છે.

(B) સ્ત્રોતની આપેલી આવૃત્તિ $n = 400 \ Hz$.
ધ્વનિનો વેગ $v = 350 \ m/s$.
અવલોકનકાર (કાર) નો વેગ $v_0 = 54 \ km/h = 54 \times \frac{5}{18} = 15 \ m/s$.
જ્યારે ડ્રાઈવર પોલીસકર્મીની નજીક આવે છે,ત્યારે અનુભવાતી આવૃત્તિ $n' = n \left( \frac{v + v_0}{v} \right)$ છે.
પોલીસકર્મીને ઓળંગ્યા પછી,અનુભવાતી આવૃત્તિ $n'' = n \left( \frac{v - v_0}{v} \right)$ છે.
ડ્રાઈવર દ્વારા અનુભવાતી આવૃત્તિમાં થતો ફેરફાર $\Delta n = n' - n''$ છે.
પદાવલિઓ મૂકતા: $\Delta n = n \left( \frac{v + v_0}{v} \right) - n \left( \frac{v - v_0}{v} \right) = \frac{n}{v} (v + v_0 - v + v_0) = \frac{2 n v_0}{v}$.
કિંમતની ગણતરી કરતા: $\Delta n = \frac{2 \times 400 \times 15}{350} = \frac{12000}{350} = \frac{240}{7} \approx 34.28 \ Hz$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $34.2 \ Hz$ છે.

(D) ગતિમાન અવલોકનકાર અને સ્થિર ઉદગમ માટે ડોપ્લર અસરનું સૂત્ર $n' = n \left( \frac{v \pm v_o}{v} \right)$ છે,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $v_o$ એ ઉદગમ અને અવલોકનકારને જોડતી રેખા પર અવલોકનકારના વેગનો ઘટક છે.
જ્યારે અવલોકનકારના વેગનો ઉદગમ અને અવલોકનકારને જોડતી રેખા પરનો ઘટક શૂન્ય હોય,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $n'$ એ વાસ્તવિક આવૃત્તિ $n$ જેટલી થાય છે. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે મોટરસાઇકલ સવારનો વેગ સદિશ $Y$ પરના સાયરન અને મોટરસાઇકલ સવારને જોડતી રેખાને લંબ હોય.
એક સંપૂર્ણ વર્તુળાકાર પરિભ્રમણમાં,આવા $2$ બિંદુઓ હોય છે જ્યાં વેગ સદિશ ઉદગમ અને અવલોકનકારને જોડતી રેખાને લંબ હોય છે. આમ,મોટરસાઇકલ સવાર દરેક પરિભ્રમણ દીઠ $2$ વાર વાસ્તવિક આવૃત્તિ સાંભળે છે.
એક પરિભ્રમણનો સમયગાળો $T = \frac{2 \pi R}{v_o} = \frac{2 \pi \times 50}{25} = 4 \pi \ s$ છે.
એક કલાકમાં $(3600 \ s)$ પરિભ્રમણની સંખ્યા $N = \frac{3600}{T} = \frac{3600}{4 \pi} = \frac{900}{\pi} \approx 286.48$ છે.
મોટરસાઇકલ સવાર દરેક પરિભ્રમણમાં $2$ વાર વાસ્તવિક આવૃત્તિ સાંભળતો હોવાથી,એક કલાકમાં કુલ સંખ્યા $2 \times 286.48 \approx 572.96$ થાય,જે આશરે $573$ છે.

(A) ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે ધ્વનિનો સ્ત્રોત $V_S$ જેટલા અચળ વેગથી સ્થિર અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે અવલોકન કરેલી આવૃત્તિ $f^{\prime}$ એ $f^{\prime} = f_0 \left( \frac{V}{V - V_S} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f_0$ એ સ્ત્રોતની આવૃત્તિ છે અને $V$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે.
સ્ત્રોત અવલોકનકારને ઓળંગી જાય પછી,તે સમાન વેગ $V_S$ થી અવલોકનકારથી દૂર જાય છે. ત્યારે અવલોકન કરેલી આવૃત્તિ $f^{\prime\prime}$ એ $f^{\prime\prime} = f_0 \left( \frac{V}{V + V_S} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $V - V_S < V + V_S$,તેથી $\frac{V}{V - V_S} > \frac{V}{V + V_S}$ થાય છે. તેથી,ઓળંગતા પહેલાની આવૃત્તિ $f^{\prime}$ એ ઓળંગ્યા પછીની આવૃત્તિ $f^{\prime\prime}$ કરતા વધારે હોય છે.
વેગ અચળ હોવાથી,ઓળંગતા પહેલા અને પછી આવૃત્તિ અચળ રહે છે,અને ઓળંગતી વખતે તેમાં અચાનક ઘટાડો થાય છે. આ તે આલેખને અનુરૂપ છે જેમાં આવૃત્તિ શરૂઆતમાં વધારે હોય છે અને ઓળંગ્યા પછી નીચી અચળ કિંમત પર ઘટી જાય છે.

(B) ધારો કે $c$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે.
$1$. $A$ પાસેથી $B$ દ્વારા સાંભળવામાં આવતી આવૃત્તિ: $A$ એ સ્થિર $B$ થી દૂર જઈ રહ્યો હોવાથી,$B$ દ્વારા સાંભળવામાં આવતી આવૃત્તિ $f_B = f_A \left( \frac{c}{c+u} \right)$ છે. $c+u > c$ હોવાથી,$f_B < f_A$. આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.
$2$. $B$ પાસેથી $A$ દ્વારા સાંભળવામાં આવતી આવૃત્તિ: $B$ એ $f_B$ આવૃત્તિ પર સૂર વગાડે છે. હવે $A$ એ સ્ત્રોત $B$ થી $u$ ઝડપે દૂર જઈ રહ્યો છે. $A$ દ્વારા સાંભળવામાં આવતી આવૃત્તિ $f_A' = f_B \left( \frac{c-u}{c} \right) = f_A \left( \frac{c}{c+u} \right) \left( \frac{c-u}{c} \right) = f_A \left( \frac{c-u}{c+u} \right)$ છે. $c-u < c+u$ હોવાથી,$f_A' < f_A$. આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે અને વિકલ્પ $B$ ખોટો છે.
$3$. $B$ પાસેથી $C$ દ્વારા સાંભળવામાં આવતી આવૃત્તિ: $C$ એ સ્ત્રોત $B$ તરફ $u$ ઝડપે જઈ રહ્યો છે. $C$ દ્વારા સાંભળવામાં આવતી આવૃત્તિ $f_C = f_B \left( \frac{c+u}{c} \right) = f_A \left( \frac{c}{c+u} \right) \left( \frac{c+u}{c} \right) = f_A$ છે. આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
તેથી,ખોટું વિધાન $B$ છે.

(B) બે ઉદગમોને કારણે અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી બીટ આવૃત્તિ એ ડોપ્લર અસરને કારણે અવલોકનકાર દ્વારા અનુભવાતી આવૃત્તિઓના તફાવત જેટલી હોય છે.
$f_{beat} = |f'_1 - f'_2|$
જ્યાં $f'_1$ અને $f'_2$ એ અવલોકન કરેલી આવૃત્તિઓ છે.
ડોપ્લર અસર એ ઉદગમ અને અવલોકનકારના સાપેક્ષ વેગ અને માધ્યમમાં ધ્વનિની ઝડપ પર આધાર રાખે છે.
મહત્વની વાત એ છે કે,ડોપ્લર અસર ઉદગમ અને અવલોકનકાર વચ્ચેના અંતર પર આધાર રાખતી નથી.
અવલોકનકાર સમાન વેગથી બે ઉદગમો વચ્ચે ગતિ કરી રહ્યો હોવાથી અને ઉદગમોની આવૃત્તિ સમાન હોવાથી,બીટ આવૃત્તિ ઉદગમો વચ્ચેના અંતરથી સ્વતંત્ર રહે છે.
તેથી,જો અવલોકનકાર $100\,m$ ના અંતરે પ્રતિ સેકન્ડ $4$ બીટ્સ સાંભળે છે,તો અંતર વધારીને $400\,m$ કરવામાં આવે ત્યારે પણ તે પ્રતિ સેકન્ડ $4$ બીટ્સ જ સાંભળશે.

(C) ડોપ્લર અસર માટેનું સામાન્ય સૂત્ર $f^{\prime} = f \left( \frac{V \pm V_o}{V \pm V_s} \right)$ છે,જ્યાં $V$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે,$V_o$ એ અવલોકનકાર (શ્રોતા) નો વેગ છે અને $V_s$ એ ઉદગમનો વેગ છે.
વિધાન $-1$: જ્યારે ઉદગમ સ્થિર હોય $(V_s = 0)$,ત્યારે પ્રાપ્ત થતી આવૃત્તિ $f^{\prime} = f \left( \frac{V \pm V_o}{V} \right)$ થાય છે. જો $V_o \neq 0$ હોય,તો $f^{\prime} \neq f$ થાય,એટલે કે આવૃત્તિ પ્રભાવિત થાય છે. આમ,વિધાન $-1$ સાચું છે.
વિધાન $-2$: જ્યારે ઉદગમ ગતિ કરે છે,ત્યારે તરંગલંબાઈ $\lambda$ બદલાઈને $\lambda^{\prime} = \frac{V \pm V_s}{f}$ થાય છે. આમ,તરંગલંબાઈ પ્રભાવિત થાય છે. વિધાન $-2$ સાચું છે.
વિધાન $-3$: જો ઉદગમ અને શ્રોતા બંને એવી રીતે ગતિ કરતા હોય કે તેમના વેગ સમાન હોય $(\vec{V}_s = \vec{V}_o)$,તો $f^{\prime} = f \left( \frac{V \pm V_o}{V \pm V_o} \right) = f$ થાય. આ કિસ્સામાં,અવલોકિત આવૃત્તિ મૂળ આવૃત્તિ જેટલી જ રહે છે. તેથી,વિધાન $-3$ ખોટું છે.
આમ,માત્ર વિધાન $-1$ અને $-2$ સાચા છે.

(A) કાર $A$ (ઉદગમ) ની ઝડપ $v_s = 36 \, km/hr = 36 \times \frac{5}{18} = 10 \, m/s$ છે.
કાર $B$ (અવલોકનકાર) ની ઝડપ $v_o = 54 \, km/hr = 54 \times \frac{5}{18} = 15 \, m/s$ છે.
ધ્વનિની ઝડપ $v = 340 \, m/s$ છે.
ઉદગમ $A$ એ અવલોકનકાર $B$ ની પાછળ છે અને બંને એક જ દિશામાં ગતિ કરે છે.
ડોપ્લર અસરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $n' = n_0 \left( \frac{v - v_o}{v - v_s} \right)$.
અહીં,અવલોકનકાર ઉદગમથી દૂર જઈ રહ્યો છે,તેથી $v_o$ એ ધ્વનિની દિશાની સાપેક્ષમાં ઋણ છે,અને ઉદગમ અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે,તેથી $v_s$ ધન છે.
$n' = 1000 \left( \frac{340 - 15}{340 - 10} \right) = 1000 \left( \frac{325}{330} \right) = 1000 \times 0.984848 = 984.85 \, Hz$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $985.29 \, Hz$ છે.

(B) જ્યારે ઉદગમ નજીક આવતું હોય ત્યારે અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ $n' = n \left[ \frac{v}{v - v_s} \right]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે ઉદગમ દૂર જતું હોય ત્યારે અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ $n'' = n \left[ \frac{v}{v + v_s} \right]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રતિ સેકન્ડ બીટ્સની સંખ્યા આ બે આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે: $\Delta n = n' - n''$.
સૂત્રો મૂકતા: $\Delta n = n \left[ \frac{v}{v - v_s} - \frac{v}{v + v_s} \right] = nv \left[ \frac{(v + v_s) - (v - v_s)}{v^2 - v_s^2} \right] = \frac{2nvv_s}{v^2 - v_s^2}$.
અહીં $v_s = 4\, m/s$ એ $v = 320\, m/s$ ની સરખામણીમાં ખૂબ નાનું હોવાથી,આપણે $v^2 - v_s^2 \approx v^2$ લઈ શકીએ.
તેથી,$\Delta n \approx \frac{2nvv_s}{v^2} = \frac{2nv_s}{v}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\Delta n = \frac{2 \times 240 \times 4}{320} = \frac{1920}{320} = 6\, Hz$.

(B) ડોપ્લર અસર મુજબ,સ્થિર અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ $n' = n \left( \frac{v}{v - v_s \cos \theta} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે,$v_s$ એ સ્ત્રોતની ઝડપ છે,અને $\theta$ એ સ્ત્રોતના વેગ સદિશ અને સ્ત્રોતને અવલોકનકાર સાથે જોડતી રેખા વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$1$. બિંદુ $A$ પર,સ્ત્રોત અવલોકનકારથી દૂર જઈ રહ્યો છે. દ્રષ્ટિરેખાની દિશામાં વેગનો ઘટક દૂરની તરફ છે,તેથી આભાસી આવૃત્તિ $n_1 < n$ (વાસ્તવિક આવૃત્તિ) છે.
$2$. બિંદુ $B$ પર,સ્ત્રોત અવલોકનકારની નજીક આવી રહ્યો છે. દ્રષ્ટિરેખાની દિશામાં વેગનો ઘટક અવલોકનકાર તરફ છે,તેથી આભાસી આવૃત્તિ $n_2 > n$ છે.
$3$. બિંદુ $C$ પર,સ્ત્રોતનો વેગ સ્ત્રોત અને અવલોકનકારને જોડતી રેખાને લંબ છે. આમ,દ્રષ્ટિરેખાની દિશામાં વેગનો ઘટક શૂન્ય છે,અને આભાસી આવૃત્તિ $n_3 = n$ છે.
આમ,સરખામણી કરતા આપણને $n_2 > n_3 > n_1$ મળે છે.

(A) ધારો કે દરેક ટ્રેનની ઝડપ $u$ છે અને સીટીની આવૃત્તિ $\nu$ છે. ધ્વનિની ઝડપ $v = 340 \; m/s$ છે.
ટ્રેનો એકબીજાની નજીક આવી રહી હોવાથી,ડોપ્લર અસરના સૂત્ર મુજબ આભાસી આવૃત્તિ $\nu'$ નીચે મુજબ મળે:
$\nu' = \nu \left( \frac{v + u}{v - u} \right)$
અહીં પીચ (આવૃત્તિ) $9/8$ ગણી બદલાય છે,તેથી $\nu' = \frac{9}{8} \nu$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{9}{8} \nu = \nu \left( \frac{340 + u}{340 - u} \right)$
$\frac{9}{8} = \frac{340 + u}{340 - u}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$9(340 - u) = 8(340 + u)$
$3060 - 9u = 2720 + 8u$
$3060 - 2720 = 8u + 9u$
$340 = 17u$
$u = \frac{340}{17} = 20 \; m/s$.
આમ,દરેક ટ્રેનની ઝડપ $20 \; m/s$ છે.

(D) ગતિશીલ સ્ત્રોત અને સ્થિર અવલોકનકાર માટે ડોપ્લર અસરનું સૂત્ર $\nu' = \nu \left( \frac{v}{v - v_s \cos \theta} \right)$ છે,જ્યાં $\theta$ એ સ્ત્રોતના વેગ સદિશ અને સ્ત્રોતને અવલોકનકાર સાથે જોડતી રેખા વચ્ચેનો ખૂણો છે.
સ્થાન $A$ પર,વેગ સદિશ $v_s$ અવલોકનકાર $O$ થી દૂરની દિશામાં છે. તેથી,$AO$ રેખા પર $v_s$ નો ઘટક ધન (દૂર જતો) છે,જેના કારણે અસરકારક આવૃત્તિ $\nu_1 < \nu$ થાય છે.
સ્થાન $B$ પર,વેગ સદિશ $v_s$ પણ અવલોકનકાર $O$ થી દૂરની દિશામાં છે. સ્થાન $C$ પર,વેગ સદિશ $v_s$ એ $CO$ રેખાને લંબ છે. તેથી,$CO$ રેખા પર $v_s$ નો ઘટક શૂન્ય છે અને અવલોકિત આવૃત્તિ $\nu_3 = \nu$ થાય છે.
આમ,$\nu_3$ એ સૌથી મોટી આવૃત્તિ છે. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો સંબંધ $\nu_1 > \nu_3 > \nu_2$ છે.

(C) એક ઓક્ટેવ ઊંચો એટલે કે આવૃત્તિ બમણી થાય છે,તેથી $f' = 2f$.
ખડક પરથી પરાવર્તન પામ્યા પછી ડ્રાઈવર દ્વારા સાંભળવામાં આવતી અવાજની આવૃત્તિ ડોપ્લર અસરના સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,ખડક $f_1 = f \left( \frac{v}{v - v_c} \right)$ આવૃત્તિ વાળો અવાજ મેળવે છે,જ્યાં $v_c$ એ કારનો વેગ છે.
ત્યારબાદ,ખડક સ્થિર ઉદગમ તરીકે કામ કરે છે અને આ અવાજને ગતિ કરતા ડ્રાઈવર (અવલોકનકાર) તરફ પરાવર્તિત કરે છે. ડ્રાઈવર દ્વારા સાંભળવામાં આવતી આવૃત્તિ $f' = f_1 \left( \frac{v + v_c}{v} \right)$ છે.
$f_1$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $f' = f \left( \frac{v}{v - v_c} \right) \left( \frac{v + v_c}{v} \right) = f \left( \frac{v + v_c}{v - v_c} \right)$ મળે છે.
આપેલ છે કે $f' = 2f$,તેથી $2f = f \left( \frac{v + v_c}{v - v_c} \right)$.
$2(v - v_c) = v + v_c$.
$2v - 2v_c = v + v_c$.
$v = 3v_c$.
તેથી,$v_c = \frac{v}{3}$.

(A) વ્યક્તિ $A$ બે અવાજો સાંભળે છે: એક તેમના પોતાના સ્ત્રોતમાંથી (આવૃત્તિ $n$) અને બીજો વ્યક્તિ $B$ ના સ્ત્રોતમાંથી।
$A$ એ $u$ ઝડપથી $B$ તરફ ગતિ કરી રહ્યો છે અને $B$ સ્થિર છે, તેથી $B$ ના સ્ત્રોતમાંથી $A$ દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિ $n'$ ડોપ્લર અસરના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $n' = n \left( \frac{v + u}{v} \right)$.
પ્રતિ સેકન્ડ સંભળાતા બીટ્સની સંખ્યા એ $B$ પાસેથી સંભળાતી આવૃત્તિ અને $A$ ના પોતાના સ્ત્રોતની આવૃત્તિ વચ્ચેનો તફાવત છે।
બીટ આવૃત્તિ $= n' - n = n \left( \frac{v + u}{v} \right) - n$.
બીટ આવૃત્તિ $= n \left( \frac{v + u - v}{v} \right) = \frac{nu}{v}$.

(A) અવલોકનકાર દ્વારા સાંભળવામાં આવતી આવૃત્તિ માટે ડોપ્લર અસરનું સૂત્ર $n' = n \left( \frac{v + v_o}{v - v_s} \right)$ છે,જ્યાં $v_o$ એ સ્ત્રોત તરફ અવલોકનકારનો વેગ છે અને $v_s$ એ અવલોકનકાર તરફ સ્ત્રોતનો વેગ છે.
મહત્તમ આવૃત્તિ માટે,અભિગમનો સાપેક્ષ વેગ $(v_o + v_s)$ મહત્તમ હોવો જોઈએ.
$t=0$ સમયે,સ્ત્રોત $A$ પર છે અને અવલોકનકાર $Q$ પર છે. સ્ત્રોતનું કોણીય સ્થાન $\theta = \omega t$ છે. અવલોકનકારનું સ્થાન $x = A \sin(\omega t + \phi)$ છે. $T = 2\pi/\omega$ આપેલ હોવાથી,અવલોકનકાર અને સ્ત્રોત સિંક્રનાઇઝ થયેલ છે.
$P$ પર,અવલોકનકારનો વેગ જમણી તરફ મહત્તમ છે. મહત્તમ આવૃત્તિ માટે,સ્ત્રોતનો અવલોકનકાર તરફ (એટલે કે જમણી તરફ) મહત્તમ વેગ ઘટક હોવો જોઈએ.
જ્યારે સ્ત્રોત $B$ પર હોય છે,ત્યારે તેનો વેગ $A$ તરફ (આડું) નિર્દેશિત હોય છે. જ્યારે સ્ત્રોત $D$ પર હોય છે,ત્યારે તેનો વેગ $C$ તરફ (આડું) નિર્દેશિત હોય છે.
ચોક્કસ રીતે,$B$ પર,વેગ સદિશ જમણી તરફ આડો છે. $P$ પર,અવલોકનકાર જમણી તરફ મહત્તમ વેગ સાથે ગતિ કરી રહ્યો છે. આમ,જ્યારે સ્ત્રોત $B$ પર હોય અને અવલોકનકાર $P$ પર હોય ત્યારે અભિગમનો સાપેક્ષ વેગ મહત્તમ થાય છે.

(C) ધારો કે $n$ એ વ્હિસલની વાસ્તવિક આવૃત્તિ છે,$v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે,અને $v_t$ એ ટ્રેનની ઝડપ છે.
જ્યારે ટ્રેન સ્થિર અવલોકનકાર તરફ આવે છે:
$n' = n \left( \frac{v}{v - v_t} \right) \Rightarrow \frac{n}{n'} = \frac{v - v_t}{v} = 1 - \frac{v_t}{v} \Rightarrow \frac{v_t}{v} = 1 - \frac{n}{n'}$
જ્યારે ટ્રેન સ્થિર અવલોકનકારથી દૂર જાય છે:
$n'' = n \left( \frac{v}{v + v_t} \right) \Rightarrow \frac{n}{n''} = \frac{v + v_t}{v} = 1 + \frac{v_t}{v}$
પ્રથમ સમીકરણમાંથી $\frac{v_t}{v}$ ની કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{n}{n''} = 1 + \left( 1 - \frac{n}{n'} \right) = 2 - \frac{n}{n'}$
પદોને ગોઠવતા:
$\frac{n}{n''} + \frac{n}{n'} = 2 \Rightarrow n \left( \frac{n' + n''}{n' n''} \right) = 2$
$n = \frac{2n' n''}{n' + n''}$

(B) આપેલ છે:
ઉદગમની ઝડપ (કાર $A$),$v_s = 36 \, km/hr = 36 \times \frac{5}{18} = 10 \, m/s$.
અવલોકનકારની ઝડપ (કાર $B$),$v_o = 54 \, km/hr = 54 \times \frac{5}{18} = 15 \, m/s$.
ઉદગમની આવૃત્તિ,$n_0 = 1000 \, Hz$.
ધ્વનિની ઝડપ,$v = 340 \, m/s$.
અવલોકનકાર દ્વારા પ્રાપ્ત આવૃત્તિ $n'$ માટે ડોપ્લર અસરનું સૂત્ર વાપરતા:
$n' = n_0 \left( \frac{v - v_o}{v - v_s} \right)$
અહીં,અવલોકનકાર ઉદગમથી દૂર જઈ રહ્યો છે (અંશમાં ઋણ ચિહ્ન) અને ઉદગમ અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરી રહ્યું છે (છેદમાં ઋણ ચિહ્ન).
$n' = 1000 \left( \frac{340 - 15}{340 - 10} \right)$
$n' = 1000 \left( \frac{325}{330} \right)$
$n' = 1000 \times 0.98484 = 984.84 \, Hz$.

(A) કારમાંથી સીધો સંભળાતા અવાજની આવૃત્તિ ડોપ્લર અસરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $n_1 = n \left( \frac{V}{V - V_s} \right)$,જ્યાં $V = 350\, m/s$ અને $V_s = 5\, m/s$.
$n_1 = 350 \left( \frac{350}{350 - 5} \right) = 350 \left( \frac{350}{345} \right) \approx 355.07\, Hz$.
દીવાલ પરથી પરાવર્તિત થતો અવાજ એવું લાગે છે કે તે દીવાલની પાછળથી અવલોકનકાર તરફ આવતી કારની પ્રતિબિંબિત આવૃત્તિ છે. અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી પરાવર્તિત અવાજની આવૃત્તિ: $n_2 = n \left( \frac{V}{V - V_s} \right)$.
કાર દીવાલ તરફ ગતિ કરતી હોવાથી,પરાવર્તિત અવાજની આવૃત્તિ $n_2 = n \left( \frac{V}{V - V_s} \right) = 350 \left( \frac{350}{350 - 5} \right) \approx 355.07\, Hz$ થાય છે.
અહીં $n_1 = n_2$ હોવાથી,બીટ આવૃત્તિ $|n_1 - n_2| = 0\, Hz$ થાય છે.

(C) ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે સ્ત્રોત સ્થિર અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $n^{\prime}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$n^{\prime} = \left( \frac{V}{V - V_{s}} \right) n$
જ્યાં:
$V = 1220 \, km/h$ (ધ્વનિનો વેગ)
$V_{s} = 40 \, km/h$ (સ્ત્રોતનો વેગ)
$n = 2000 \, Hz$ (વાસ્તવિક આવૃત્તિ)
કિંમતો મૂકતા:
$n^{\prime} = \left( \frac{1220}{1220 - 40} \right) \times 2000$
$n^{\prime} = \left( \frac{1220}{1180} \right) \times 2000$
$n^{\prime} = 1.033898 \times 2000 \approx 2067.79 \, Hz$
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,આપણને $2068 \, Hz$ મળે છે.

(C) આપેલ છે:
ઉદગમ (ટ્રેન) ની ઝડપ,$v_s = 20 \, m \, s^{-1}$.
હવામાં અવાજની ઝડપ,$v = 340 \, m \, s^{-1}$.
ઉદગમની આવૃત્તિ,$f_0 = 640 \, Hz$.
જ્યારે ઉદગમ સ્થિર અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરતું હોય,ત્યારે ડોપ્લર અસરના સૂત્ર મુજબ આભાસી આવૃત્તિ $f'$ નીચે મુજબ મળે:
$f' = f_0 \left[ \frac{v}{v - v_s} \right]$
કિંમતો મૂકતા:
$f' = 640 \left[ \frac{340}{340 - 20} \right]$
$f' = 640 \left[ \frac{340}{320} \right]$
$f' = 640 \times 1.0625 = 680 \, Hz$.
આમ,વ્યક્તિ દ્વારા સાંભળવામાં આવતી આવૃત્તિ $680 \, Hz$ છે.

(D) ડોપ્લર અસર મુજબ,આભાસી આવૃત્તિ $f^{\prime}$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$f^{\prime} = f \left( \frac{v + v_{o}}{v - v_{s}} \right)$
અહીં,$v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે,$v_{o}$ એ અવલોકનકાર (બીજા એન્જિનનો ડ્રાઈવર) નો વેગ છે,અને $v_{s}$ એ ઉદગમ (પ્રથમ એન્જિન) નો વેગ છે.
આપેલ છે: $v = 330\,m/s$,$v_{o} = 30\,m/s$ (ઉદગમ તરફ ગતિ કરે છે),$v_{s} = 30\,m/s$ (અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે),અને $f = 540\,Hz$.
કિંમતો મૂકતા:
$f^{\prime} = 540 \left( \frac{330 + 30}{330 - 30} \right)$
$f^{\prime} = 540 \left( \frac{360}{300} \right)$
$f^{\prime} = 540 \times 1.2 = 648\,Hz$.

(D) ધારો કે હોર્નની આવૃત્તિ $f$ છે.
અવલોકનકાર બે અવાજો સાંભળે છે: એક સીધો કારમાંથી અને બીજો દીવાલ પરથી પરાવર્તિત થઈને.
$1$. કારમાંથી સીધો સંભળાતો અવાજ $(f_1)$: ડોપ્લર અસરના સૂત્ર મુજબ,$f_1 = f \left( \frac{340}{340 - 5} \right)$.
$2$. દીવાલ પરથી પરાવર્તિત અવાજ $(f_2)$: દીવાલ એક સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે. પરાવર્તિત અવાજની આવૃત્તિ $f_2 = f \left( \frac{340}{340 + 5} \right)$ થશે.
બીટ આવૃત્તિ $|f_1 - f_2| = 5$ આપેલ છે.
$5 = f \left( \frac{340}{335} - \frac{340}{345} \right) = 340f \left( \frac{10}{115575} \right)$.
$f = \frac{5 \times 115575}{3400} \approx 170\, Hz$.

(A) આ પ્રશ્નમાં ડોપ્લર અસરના બે તબક્કાઓનો સમાવેશ થાય છે.
તબક્કો $1$: દીવાલ સ્થિર અવલોકનકાર તરીકે કાર્ય કરે છે જે ગતિ કરતા ચામાચીડિયા (ઉદગમ) પાસેથી ધ્વનિ મેળવે છે. દીવાલ દ્વારા પ્રાપ્ત આવૃત્તિ $f' = f_0 \left( \frac{V}{V - V_s} \right)$ છે,જ્યાં $V = 320\,ms^{-1}$,$V_s = 10\,ms^{-1}$,અને $f_0 = 8000\,Hz$.
$f' = 8000 \left( \frac{320}{320 - 10} \right) = 8000 \left( \frac{320}{310} \right)$.
તબક્કો $2$: દીવાલ સ્થિર ઉદગમ તરીકે કાર્ય કરે છે જે ધ્વનિને ગતિ કરતા ચામાચીડિયા (અવલોકનકાર) તરફ પરાવર્તિત કરે છે. ચામાચીડિયા દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિ $f = f' \left( \frac{V + V_0}{V} \right)$ છે,જ્યાં $V_0 = 10\,ms^{-1}$.
તબક્કા $1$ માંથી $f'$ ની કિંમત મૂકતા: $f = 8000 \left( \frac{320}{310} \right) \left( \frac{320 + 10}{320} \right) = 8000 \left( \frac{330}{310} \right) = 8000 \times 1.0645 \approx 8516\,Hz$.

(C) ડોપ્લર અસર મુજબ,સ્ત્રોત તરફ ગતિ કરતા અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ $f$ નીચે મુજબ છે:
$f = \left( \frac{v + v_0}{v - v_s} \right) f_0$
આ સમીકરણને $v_0$ ના વિધેય તરીકે દર્શાવવા માટે ગોઠવતા:
$f = \left( \frac{f_0}{v - v_s} \right) v_0 + \frac{v f_0}{v - v_s}$
આ સમીકરણ $y = mx + c$ પ્રકારનું સુરેખ સમીકરણ છે,જ્યાં $y = f$ અને $x = v_0$ છે.
આલેખનો ઢાળ $m = \frac{f_0}{v - v_s}$ થાય.
આમ,આવૃત્તિ $f$ એ $v_0$ સાથે સુરેખ રીતે વધે છે,જે આલેખ $A$ દ્વારા સાચી રીતે દર્શાવેલ છે.
તેથી,વિકલ્પ $(c)$ સાચો જવાબ છે.

(D) આપેલ છે: સાયરનની આવૃત્તિ,$f = 800 \, Hz$.
અવલોકનકારની ઝડપ,$v_o = 2 \, m/s$.
ધ્વનિનો વેગ,$v = 320 \, m/s$.
જ્યારે અવલોકનકાર એક ફેક્ટરી તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે ડોપ્લર અસર મુજબ આભાસી આવૃત્તિ $f_1$ મળે છે: $f_1 = f \left( \frac{v + v_o}{v} \right) = 800 \left( \frac{320 + 2}{320} \right) = 800 \left( \frac{322}{320} \right) = 805 \, Hz$.
જ્યારે અવલોકનકાર બીજી ફેક્ટરીથી દૂર જાય છે,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $f_2$ મળે છે: $f_2 = f \left( \frac{v - v_o}{v} \right) = 800 \left( \frac{320 - 2}{320} \right) = 800 \left( \frac{318}{320} \right) = 795 \, Hz$.
એક સેકન્ડમાં સંભળાતા બીટ્સની સંખ્યા એ બે આભાસી આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે: $\text{બીટ આવૃત્તિ} = |f_1 - f_2| = |805 - 795| = 10 \, Hz$.

(B) આપેલ છે: ઉદગમની આવૃત્તિ $f_A = 1800\,Hz$,અવલોકનકાર દ્વારા પ્રાપ્ત આવૃત્તિ $f_B = 2150\,Hz$,ધ્વનિની ઝડપ $v_s = 343\,m/s$.
પ્રથમ,આપણે ગતિશીલ ઉદગમ અને સ્થિર અવલોકનકાર માટે ડોપ્લર અસરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ઉદગમની અંતિમ ઝડપ $v$ શોધીએ: $f_B = f_A \left( \frac{v_s}{v_s - v} \right)$.
$v$ માટે સૂત્ર ગોઠવતા: $\frac{v_s - v}{v_s} = \frac{f_A}{f_B} \implies 1 - \frac{v}{v_s} = \frac{1800}{2150} \implies v = v_s \left( 1 - \frac{1800}{2150} \right)$.
$v = 343 \times \left( 1 - 0.8372 \right) = 343 \times 0.1628 \approx 55.84\,m/s$.
હવે,જમીન એક સ્થિર ઉદગમ તરીકે કાર્ય કરે છે જે ધ્વનિને ગતિશીલ ઉદગમ $A$ તરફ પરાવર્તિત કરે છે. જમીન તરફ ગતિ કરતા ઉદગમ $A$ દ્વારા પ્રાપ્ત આવૃત્તિ $f'$ નું સૂત્ર: $f' = f_A \left( \frac{v_s + v}{v_s - v} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $f' = 1800 \times \left( \frac{343 + 55.84}{343 - 55.84} \right) = 1800 \times \left( \frac{398.84}{287.16} \right) \approx 1800 \times 1.3889 \approx 2500\,Hz$.

(C) ધારો કે $f_A = 500 \, Hz$ એ સ્ત્રોત $A$ ની આવૃત્તિ છે,$f_B$ એ સ્ત્રોત $B$ ની આવૃત્તિ છે,$v = 340 \, m/s$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે,અને $v_s = 4 \, m/s$ એ સ્ત્રોત $A$ ની ઝડપ છે.
કિસ્સો $1$: જ્યારે સ્ત્રોત $A$ એ $C$ પર સ્થિર શ્રોતા તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $f'_A$ નીચે મુજબ મળે છે:
$f'_A = f_A \left( \frac{v}{v - v_s} \right) = 500 \left( \frac{340}{340 - 4} \right) = 500 \left( \frac{340}{336} \right) \approx 505.95 \, Hz$.
કિસ્સો $2$: જ્યારે સ્ત્રોત $A$ એ $C$ પર સ્થિર શ્રોતાથી દૂર ગતિ કરે છે,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $f''_A$ નીચે મુજબ મળે છે:
$f''_A = f_A \left( \frac{v}{v + v_s} \right) = 500 \left( \frac{340}{340 + 4} \right) = 500 \left( \frac{340}{344} \right) \approx 494.19 \, Hz$.
ધારો કે $f_B$ એ સ્ત્રોત $B$ ની આવૃત્તિ છે. બીટ આવૃત્તિ $|f'_A - f_B| = 6$ અને $|f''_A - f_B| = 18$ છે.
કિસ્સો $1$ પરથી: $f_B = f'_A \pm 6 = 505.95 \pm 6$,તેથી $f_B \approx 511.95 \, Hz$ અથવા $499.95 \, Hz$.
કિસ્સો $2$ પરથી: $f_B = f''_A \pm 18 = 494.19 \pm 18$,તેથી $f_B \approx 512.19 \, Hz$ અથવા $476.19 \, Hz$.
બંને કિસ્સાઓની સરખામણી કરતા,$f_B \approx 512 \, Hz$ એ સામાન્ય ઉકેલ છે.

(D) વિધાન $1$ સાચું છે કારણ કે ચામાચીડિયા ઇકોલોકેશનનો ઉપયોગ કરે છે,જેમાં અલ્ટ્રાસોનિક તરંગો ઉત્સર્જિત થાય છે અને શિકાર પરથી પરાવર્તિત થતા પડઘાને સાંભળીને તેનું સ્થાન નક્કી કરવામાં આવે છે.
વિધાન $2$ સાચું છે કારણ કે જ્યારે સ્ત્રોત અને ડિટેક્ટર વચ્ચે સાપેક્ષ ગતિ હોય ત્યારે ડિટેક્ટર દ્વારા પ્રાપ્ત થતા તરંગોની આવૃત્તિ બદલાય છે,જેને ડોપ્લર અસર કહેવામાં આવે છે.
ચામાચીડિયું શિકારની સાપેક્ષમાં ગતિ કરતું હોવાથી,ડોપ્લર અસરને કારણે પરાવર્તિત તરંગોની આવૃત્તિ બદલાય છે,જે ચામાચીડિયાને શિકારની ગતિને ટ્રેક કરવામાં મદદ કરે છે. તેથી,વિધાન $2$ એ વિધાન $1$ માટે સાચી સમજૂતી છે.

(A) ખુલ્લી પાઇપ માટે $n$-મી હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_n = \frac{n v_s}{2L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. બીજી હાર્મોનિક $(n=2)$ માટે,$f = \frac{2 v_s}{2L} = \frac{v_s}{L}.$
અહીં $v_s = 330\,m/s$ અને $L = 0.5\,m$ આપેલ છે,તેથી ઉદગમની આવૃત્તિ $f = \frac{330}{0.5} = 660\,Hz$ થાય.
વ્યક્તિ ઉદગમ તરફ ગતિ કરી રહી છે,તેથી ડોપ્લર અસરના સૂત્ર મુજબ અવલોકિત આવૃત્તિ $f' = f \left( \frac{v_s + v_o}{v_s} \right)$ મળે,
જ્યાં $v_o = 10\,km/h = 10 \times \frac{5}{18} = \frac{25}{9} \approx 2.78\,m/s.$
કિંમતો મૂકતા: $f' = 660 \left( \frac{330 + 2.78}{330} \right) = 660 \left( 1 + \frac{2.78}{330} \right) = 660 + 660 \times 0.00842 \approx 660 + 5.56 \approx 665.56\,Hz.$
નજીકના પૂર્ણાંકમાં,આવૃત્તિ $666\,Hz$ મળે છે.

(B) ડોપ્લર અસર મુજબ,અવલોકન કરેલ આવૃત્તિ $f$ નું સૂત્ર $f = f_0 \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ છે,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $v_s$ એ ઉદગમની ઝડપ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$v_s = 34\, m/s$,તેથી $f_1 = f_0 \left( \frac{340}{340 - 34} \right) = f_0 \left( \frac{340}{306} \right)$.
બીજા કિસ્સા માટે,$v_s = 17\, m/s$,તેથી $f_2 = f_0 \left( \frac{340}{340 - 17} \right) = f_0 \left( \frac{340}{323} \right)$.
ગુણોત્તર $f_1/f_2$ લેતા:
$\frac{f_1}{f_2} = \frac{f_0 (340/306)}{f_0 (340/323)} = \frac{323}{306}$.
બંનેને $17$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{323 \div 17}{306 \div 17} = \frac{19}{18}$ મળે છે.

(A) ડોપ્લર અસર મુજબ,અવલોકિત આવૃત્તિ $f$ નું સૂત્ર: $f = f_0 \left( \frac{v - v_o}{v + v_s} \right)$ છે.
અહીં,$v = 340 \, ms^{-1}$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે.
કાર $A$ માં રહેલો અવલોકનકાર સ્ત્રોતથી દૂર જઈ રહ્યો છે,તેથી $v_o = 20 \, ms^{-1}$ (દૂર જતું હોવાથી ઋણ ચિહ્ન).
કાર $B$ માં રહેલો સ્ત્રોત અવલોકનકારથી દૂર જઈ રહ્યો છે,તેથી $v_s = 20 \, ms^{-1}$ (દૂર જતું હોવાથી ધન ચિહ્ન).
આપેલ છે $f = 2000 \, Hz$.
કિંમતો મૂકતા: $2000 = f_0 \left( \frac{340 - 20}{340 + 20} \right)$.
$2000 = f_0 \left( \frac{320}{360} \right)$.
$2000 = f_0 \left( \frac{8}{9} \right)$.
$f_0 = \frac{2000 \times 9}{8} = 250 \times 9 = 2250 \, Hz$.

(D) સ્થિર સ્ત્રોત અને ગતિ કરતા અવલોકનકાર માટે ડોપ્લર અસરનું સૂત્ર $f' = f \left( \frac{v \pm v_o}{v} \right)$ છે,જ્યાં $f = 500\, Hz$ એ સ્ત્રોતની આવૃત્તિ છે,$v = 300\, m/s$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $v_o$ એ અવલોકનકારની ઝડપ છે.
પ્રથમ અવલોકનકાર માટે જે $480\, Hz$ અનુભવે છે (દૂર જઈ રહ્યો છે): $480 = 500 \left( \frac{300 - v_{o1}}{300} \right)$.
$\frac{480}{500} = 1 - \frac{v_{o1}}{300} \Rightarrow 0.96 = 1 - \frac{v_{o1}}{300} \Rightarrow \frac{v_{o1}}{300} = 0.04 \Rightarrow v_{o1} = 12\, m/s$.
બીજા અવલોકનકાર માટે જે $530\, Hz$ અનુભવે છે (નજીક આવી રહ્યો છે): $530 = 500 \left( \frac{300 + v_{o2}}{300} \right)$.
$\frac{530}{500} = 1 + \frac{v_{o2}}{300} \Rightarrow 1.06 = 1 + \frac{v_{o2}}{300} \Rightarrow \frac{v_{o2}}{300} = 0.06 \Rightarrow v_{o2} = 18\, m/s$.
આમ,તેમની ઝડપ $12\, m/s$ અને $18\, m/s$ છે.

(C) ધારો કે $f$ એ સ્ત્રોતની વાસ્તવિક આવૃત્તિ છે,$V = 350\,m/s$ એ ધ્વનિનો વેગ છે,અને $V_s = 50\,m/s$ એ સ્ત્રોતનો વેગ છે.
જ્યારે સ્ત્રોત સ્થિર અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $f_a$ નીચે મુજબ મળે છે:
$f_a = \frac{V}{V - V_s} f = 1000\,Hz$
$1000 = \frac{350}{350 - 50} f = \frac{350}{300} f = \frac{7}{6} f$
તેથી,વાસ્તવિક આવૃત્તિ $f = 1000 \times \frac{6}{7} = \frac{6000}{7}\,Hz$.
જ્યારે સ્ત્રોત અવલોકનકારથી દૂર ગતિ કરે છે,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $f_a'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$f_a' = \frac{V}{V + V_s} f$
કિંમતો મૂકતા:
$f_a' = \frac{350}{350 + 50} \times \frac{6000}{7} = \frac{350}{400} \times \frac{6000}{7} = \frac{7}{8} \times \frac{6000}{7} = \frac{6000}{8} = 750\,Hz$.

(B) આપેલ છે:
પાણીમાં અવાજની ઝડપ,$V = 1500\, m/s$
સબમરીન $A$ ની ઝડપ,$V_A = 18\, km/hr = 18 \times \frac{5}{18} = 5\, m/s$
સબમરીન $B$ ની ઝડપ,$V_B = 27\, km/hr = 27 \times \frac{5}{18} = 7.5\, m/s$
સ્ત્રોત આવૃત્તિ,$f_0 = 500\, Hz$
પગલું $1$: સબમરીન $A$ (અવલોકનકાર તરીકે) દ્વારા પ્રાપ્ત આવૃત્તિ:
$f' = f_0 \left( \frac{V - V_A}{V - V_B} \right) = 500 \left( \frac{1500 - 5}{1500 - 7.5} \right)$
પગલું $2$: સબમરીન $A$ આ અવાજને પરાવર્તિત કરે છે,જે સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે,અને સબમરીન $B$ તેને પ્રાપ્ત કરે છે (અવલોકનકાર તરીકે):
$v = f'' = f' \left( \frac{V + V_B}{V + V_A} \right)$
$f'$ ની કિંમત મૂકતા:
$v = 500 \left( \frac{1500 - 5}{1500 - 7.5} \right) \left( \frac{1500 + 7.5}{1500 + 5} \right)$
$v = 500 \left( \frac{1495}{1492.5} \right) \left( \frac{1507.5}{1505} \right)$
$v \approx 500 \times 1.001675 \times 1.001661 \approx 501.67\, Hz$
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,$v \approx 502\, Hz$.

(D) આપેલ છે: સ્ત્રોતોની આવૃત્તિ $f = 660\, Hz$, ધ્વનિનો વેગ $v = 330\, m/s$, અને બીટ આવૃત્તિ $f_b = 10\, \text{beats/s}$.
જ્યારે શ્રોતા $S_1$ થી $u$ ઝડપે દૂર જાય છે, ત્યારે અવલોકિત આવૃત્તિ $f_1$ છે:
$f_1 = f \left( \frac{v - u}{v} \right)$
જ્યારે શ્રોતા $S_2$ તરફ $u$ ઝડપે ગતિ કરે છે, ત્યારે અવલોકિત આવૃત્તિ $f_2$ છે:
$f_2 = f \left( \frac{v + u}{v} \right)$
બીટ આવૃત્તિ એ બે અવલોકિત આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$f_b = f_2 - f_1 = f \left( \frac{v + u}{v} \right) - f \left( \frac{v - u}{v} \right)$
$f_b = \frac{f}{v} [v + u - (v - u)] = \frac{f}{v} [2u]$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$10 = \frac{660}{330} \times 2u$
$10 = 2 \times 2u$
$10 = 4u$
$u = \frac{10}{4} = 2.5\, m/s$.

(A) ગતિશીલ ઉદગમ અને સ્થિર અવલોકનકાર માટે ડોપ્લર અસરનું સૂત્ર $n' = n \left( \frac{v}{v \mp v_s} \right)$ છે,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $v_s$ એ ઉદગમની ઝડપ છે.
જ્યારે ઉદગમ અવલોકનકારની નજીક આવે છે,ત્યારે અવલોકિત આવૃત્તિ $n_1$:
$n_1 = n \left( \frac{330}{330 - 110} \right) = n \left( \frac{330}{220} \right) = \frac{3}{2} n$
જ્યારે ઉદગમ અવલોકનકારથી દૂર જાય છે,ત્યારે અવલોકિત આવૃત્તિ $n_2$:
$n_2 = n \left( \frac{330}{330 + 110} \right) = n \left( \frac{330}{440} \right) = \frac{3}{4} n$
આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર:
$\frac{n_1}{n_2} = \frac{(3/2)n}{(3/4)n} = \frac{3}{2} \times \frac{4}{3} = \frac{2}{1}$
આમ,ગુણોત્તર $2 : 1$ છે.

(A) જ્યારે ટ્રેન પ્લેટફોર્મથી દૂર જાય છે ત્યારે સીટીની આભાસી આવૃત્તિ $(v^{\prime})$ ડોપ્લર અસરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v^{\prime} = \left( \frac{v}{v + v_s} \right) v_0$
જ્યાં:
$v = 340\, m/s$ (ધ્વનિની ઝડપ)
$v_s = 10\, m/s$ (સ્ત્રોત/ટ્રેનની ઝડપ)
$v_0 = 400\, Hz$ (મૂળ આવૃત્તિ)
કિંમતો મૂકતા:
$v^{\prime} = \left( \frac{340}{340 + 10} \right) \times 400$
$v^{\prime} = \left( \frac{340}{350} \right) \times 400$
$v^{\prime} = \frac{34}{35} \times 400 = 388.57\, Hz$

(A) ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે ધ્વનિનો સ્ત્રોત અચળ વેગ $V_S$ થી સ્થિર અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે અવલોકન કરેલી આવૃત્તિ $f_{app}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$f_{app} = \left( \frac{V}{V - V_S} \right) f_0$
અહીં $V$ (ધ્વનિની ઝડપ) અને $V_S$ (સ્ત્રોતની ઝડપ) અચળ હોવાથી,અભિગમ દરમિયાન અવલોકન કરેલી આવૃત્તિ અચળ રહે છે.
જ્યારે સ્ત્રોત અવલોકનકાર પાસેથી પસાર થાય છે અને સમાન વેગ $V_S$ થી દૂર જાય છે,ત્યારે અવલોકન કરેલી આવૃત્તિ $f_{sep}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$f_{sep} = \left( \frac{V}{V + V_S} \right) f_0$
આ આવૃત્તિ પણ અચળ છે પરંતુ અભિગમ દરમિયાનની આવૃત્તિ કરતા ઓછી છે.
તેથી,આલેખમાં ટ્રેન અવલોકનકાર પાસેથી પસાર થાય ત્યારે અચળ ઊંચી આવૃત્તિ અને ત્યારબાદ અચળ નીચી આવૃત્તિમાં અચાનક ઘટાડો દર્શાવવો જોઈએ. આ આલેખ વિકલ્પ $A$ માં દર્શાવેલ છે.

(C) આભાસી આવૃત્તિ $f_{app} = f + 0.1f = 1.1f$ છે.
ડોપ્લર અસરના સૂત્ર મુજબ: $f_{app} = f \left[ \frac{v + v_o}{v - v_s} \right]$.
તેથી,$1.1 = \frac{v + v_o}{v - v_s}$.
કિસ્સો $1$: જો અવલોકનકાર સ્થિર હોય $(v_o = 0)$,તો $1.1 = \frac{v}{v - v_s}$.
$1.1(v - v_s) = v \Rightarrow 1.1v - 1.1v_s = v \Rightarrow 0.1v = 1.1v_s$.
$v_s = \frac{0.1 \times 330}{1.1} = 30 \, m/s$. આ વિધાન $(i)$ સાથે મેળ ખાય છે.
કિસ્સો $2$: જો ઉદગમ સ્થિર હોય $(v_s = 0)$,તો $1.1 = \frac{v + v_o}{v}$.
$1.1v = v + v_o \Rightarrow v_o = 0.1v$.
$v_o = 0.1 \times 330 = 33 \, m/s$. આ વિધાન $(iv)$ સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,સાચા વિધાનો $(i)$ અને $(iv)$ છે.

(B) ધારો કે હોર્નની વાસ્તવિક આવૃત્તિ $f$ છે.
જ્યારે કાર પોલીસકર્મીની નજીક આવે છે,ત્યારે અવલોકિત આવૃત્તિ $f_1 = f \left( \frac{c}{c-v} \right)$ છે,જ્યાં $c = 330 \, m/s$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $v$ એ કારની ઝડપ છે.
જ્યારે કાર દૂર જાય છે,ત્યારે અવલોકિત આવૃત્તિ $f_2 = f \left( \frac{c}{c+v} \right)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ પીચમાં $10\%$ નો ઘટાડો થાય છે,એટલે કે $f_2 = 0.9 f_1$.
તેથી,$\frac{f_2}{f_1} = 0.9 = \frac{9}{10}$.
સમીકરણો મૂકતા: $\frac{c-v}{c+v} = \frac{9}{10}$.
$10(c - v) = 9(c + v) \Rightarrow 10c - 10v = 9c + 9v$.
$c = 19v \Rightarrow v = \frac{c}{19} = \frac{330}{19} \approx 17.36 \, m/s$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,કારની ઝડપ આશરે $17.3 \, m/s$ છે.

(D) ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે અવાજનો સ્ત્રોત અચળ વેગ $(v_s)$ થી ગતિ કરતો હોય ત્યારે સ્થિર અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ $(n')$ નીચે મુજબ છે:
$n' = n \left( \frac{v}{v \mp v_s} \right)$
જ્યાં $v$ એ હવામાં અવાજની ઝડપ છે અને $n$ એ સ્ત્રોતની વાસ્તવિક આવૃત્તિ છે.
જેમ એન્જિન અવલોકનકારની નજીક આવે છે,તેમ આભાસી આવૃત્તિ $n_{app} = n \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ થાય છે,જે અચળ છે અને $n$ કરતા વધારે છે.
જેમ એન્જિન અવલોકનકારથી દૂર જાય છે,તેમ આભાસી આવૃત્તિ $n_{rec} = n \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$ થાય છે,જે અચળ છે અને $n$ કરતા ઓછી છે.
એન્જિનની ઝડપ અચળ હોવાથી,નજીક આવતી વખતે આવૃત્તિ ઉચ્ચ મૂલ્ય પર અચળ રહે છે અને દૂર જતી વખતે નીચા મૂલ્ય પર અચળ રહે છે.
તેથી,જ્યારે એન્જિન અવલોકનકાર પાસેથી પસાર થાય છે ત્યારે આલેખમાં આવૃત્તિમાં અચાનક ઘટાડો જોવા મળે છે.

(C) ડોપ્લર અસર એ સ્ત્રોત અને અવલોકનકારના તેમની વચ્ચેની રેખા પરના સાપેક્ષ વેગ પર આધાર રાખે છે.
આ કિસ્સામાં,ટ્રેન અચળ ઝડપ $V_t$ સાથે વર્તુળાકાર ટ્રેક પર ગતિ કરી રહી છે. ધારો કે એન્જિન બિંદુ $O$ પર છે અને ગાર્ડ બિંદુ $S$ પર છે.
$O$ પર એન્જિનનો વેગ સદિશ અને $S$ પર ગાર્ડનો વેગ સદિશ બંને વર્તુળાકાર પથને સ્પર્શક છે.
વર્તુળની ભૂમિતિને કારણે,એન્જિન અને ગાર્ડને જોડતી રેખા પર એન્જિનના વેગનો ઘટક,તે જ રેખા પર ગાર્ડના વેગના ઘટક જેટલો જ હોય છે.
કારણ કે તેમને જોડતી રેખા પર સ્ત્રોત (એન્જિન) અને અવલોકનકાર (ગાર્ડ) નો સાપેક્ષ વેગ શૂન્ય છે,તેથી કોઈ ડોપ્લર શિફ્ટ થતી નથી.
તેથી,ગાર્ડ દ્વારા સાંભળવામાં આવતી આવૃત્તિ એ એન્જિન દ્વારા ઉત્સર્જિત આવૃત્તિ જેટલી જ હોય છે,એટલે કે $f_{app} = f$.

(C) આ પ્રશ્ન ડોપ્લર અસરના બે તબક્કાઓનો સમાવેશ કરે છે.
તબક્કો $1$: દીવાલ એક અવલોકનકાર તરીકે કાર્ય કરે છે જે ગતિશીલ કારમાંથી આવતો અવાજ મેળવે છે. દીવાલ દ્વારા પ્રાપ્ત આવૃત્તિ $f'$ એ $f' = f_0 \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f_0 = 480\,Hz$,$v = 340\,m/s$,અને $v_s = 20\,m/s$ છે.
$f' = 480 \times \left( \frac{340}{340 - 20} \right) = 480 \times \left( \frac{340}{320} \right) = 480 \times 1.0625 = 510\,Hz$.
તબક્કો $2$: દીવાલ આ અવાજને પરાવર્તિત કરે છે,જે $f'$ આવૃત્તિના સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે. કારમાં રહેલો મુસાફર $20\,m/s$ ની ઝડપે દીવાલ તરફ ગતિ કરી રહ્યો છે,જે અવલોકનકાર તરીકે કાર્ય કરે છે. મુસાફર દ્વારા સાંભળવામાં આવતી આવૃત્તિ $f'' = f' \left( \frac{v + v_o}{v} \right)$ છે,જ્યાં $v_o = 20\,m/s$ છે.
$f'' = 510 \times \left( \frac{340 + 20}{340} \right) = 510 \times \left( \frac{360}{340} \right) = 510 \times 1.0588 \approx 540\,Hz$.

(D) જ્યારે અવલોકનકાર સ્થિર સ્ત્રોત તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ $f'$ ડોપ્લર અસરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$f' = f_0 \left( \frac{v + v_o}{v} \right)$
જ્યાં $f_0$ એ સ્ત્રોતની આવૃત્તિ છે,$v_o$ એ અવલોકનકારનો વેગ છે,અને $v$ એ ધ્વનિનો વેગ છે.
આપેલ છે કે $v_o = \frac{v}{5}$,તેથી આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$f' = f_0 \left( \frac{v + \frac{v}{5}}{v} \right) = f_0 \left( \frac{\frac{6v}{5}}{v} \right) = \frac{6}{5} f_0 = 1.2 f_0$
આભાસી આવૃત્તિમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$\text{ટકાવારી ફેરફાર} = \left( \frac{f' - f_0}{f_0} \right) \times 100$
$= \left( \frac{1.2 f_0 - f_0}{f_0} \right) \times 100$
$= 0.2 \times 100 = 20 \%$

(C) ડોપ્લર અસર મુજબ, જ્યારે અવાજનો સ્ત્રોત સ્થિર અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે, ત્યારે અવલોકન કરેલી આવૃત્તિ $n' = n_0 \left( \frac{v_s}{v_s - v} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $v_s$ એ અવાજની ઝડપ છે. જ્યાં સુધી ટ્રેન અચળ ઝડપે નજીક આવે છે ત્યાં સુધી આ આવૃત્તિ અચળ રહે છે.
જ્યારે ટ્રેન અવલોકનકાર પાસેથી પસાર થાય છે અને દૂર જાય છે, ત્યારે અવલોકન કરેલી આવૃત્તિ $n'' = n_0 \left( \frac{v_s}{v_s + v} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $n' > n_0$ અને $n'' < n_0$, ટ્રેન અવલોકનકાર પાસેથી પસાર થાય ત્યારે અવલોકન કરેલી આવૃત્તિમાં અચાનક ઘટાડો થાય છે.
તેથી, આલેખ ટ્રેન પસાર થાય તે પહેલાં અચળ ઉચ્ચ આવૃત્તિ અને ટ્રેન પસાર થયા પછી અચળ નીચી આવૃત્તિ દર્શાવશે, જેમાં પસાર થવાના સમયે તીવ્ર અસતતતા હશે.

(B) ઉદગમ $P$ થી અવાજ અવલોકનકાર $Q$ સુધી તેમની વચ્ચેની રેખા પર પહોંચે છે. $P$ અને $Q$ વચ્ચેનું અંતર $\sqrt{40^2 + 30^2} = 50 \, m$ છે.
ઉદગમ $P$ એ $v_s = 10 \, m/s$ ના વેગથી ક્રોસિંગ તરફ ગતિ કરી રહ્યું છે. રેખા $PQ$ (અવાજ પ્રસરણની દિશા) પર આ વેગનો ઘટક એ અવલોકનકાર તરફ ઉદગમનો અસરકારક વેગ છે.
ધારો કે $\theta$ એ કાર $P$ ના વેગ સદિશ અને રેખા $PQ$ વચ્ચેનો ખૂણો છે. ભૂમિતિ પરથી,$\cos \theta = \frac{40}{50} = \frac{4}{5}$ મળે છે.
અવલોકનકાર તરફ ઉદગમનો અસરકારક વેગ $v_{s, \text{eff}} = v_s \cos \theta = 10 \times \frac{4}{5} = 8 \, m/s$ છે.
ગતિશીલ ઉદગમ અને સ્થિર અવલોકનકાર માટે ડોપ્લર અસરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$f' = f \left( \frac{v}{v - v_{s, \text{eff}}} \right)$
કિંમતો મૂકતા:
$f' = 700 \times \left( \frac{340}{340 - 8} \right) = 700 \times \left( \frac{340}{332} \right)$
$f' = 700 \times 1.0241 = 716.87 \, Hz \approx 717 \, Hz$.

(C) પ્રથમ,વેગને $m/s$ માં રૂપાંતરિત કરો:
મોટરસાઇકલનો વેગ $v_m = 90 \times \frac{5}{18} = 25\,m/s$.
કારનો વેગ $v_c = 108 \times \frac{5}{18} = 30\,m/s$.
ધ્વનિની ઝડપ $v = 330\,m/s$.
હોર્નની આવૃત્તિ $f_s = 30\,Hz$.
$1$. કારમાંથી સીધો સંભળાતો અવાજ $(f_1)$:
કાર એ ઉદગમ છે $(v_s = 30\,m/s)$ અને મોટરસાઇકલ સવાર અવલોકનકાર છે $(v_o = 25\,m/s)$. બંને દીવાલ તરફ સમાન દિશામાં ગતિ કરી રહ્યા છે.
$f_1 = f_s \left( \frac{v - v_o}{v - v_s} \right) = 30 \left( \frac{330 - 25}{330 - 30} \right) = 30 \left( \frac{305}{300} \right) = 30.5\,Hz$.
$2$. દીવાલ પરથી પરાવર્તન પછી સંભળાતો અવાજ $(f_2)$:
દીવાલ સ્થિર ઉદગમ તરીકે કાર્ય કરે છે. ધ્વનિ પહેલા દીવાલ સુધી $f' = f_s \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ આવૃત્તિ સાથે પહોંચે છે. ત્યારબાદ દીવાલ તેને $v_o = 25\,m/s$ થી દીવાલ તરફ ગતિ કરતા અવલોકનકાર તરફ પરાવર્તિત કરે છે.
$f_2 = f' \left( \frac{v + v_o}{v} \right) = f_s \left( \frac{v + v_o}{v - v_s} \right) = 30 \left( \frac{330 + 25}{330 - 30} \right) = 30 \left( \frac{355}{300} \right) = 35.5\,Hz$.
$3$. બીટ આવૃત્તિ:
$f_{\text{beat}} = |f_2 - f_1| = 35.5 - 30.5 = 5\,Hz$.