Doppler’s Effect Questions in Gujarati

(C) આભાસી આવૃત્તિ $f'$ ડોપ્લર અસરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $f' = f \left( \frac{v \pm v_L}{v \mp v_S} \right)$.
અહીં આભાસી આવૃત્તિ $(390 \ Hz)$ એ વાસ્તવિક આવૃત્તિ $(400 \ Hz)$ કરતા ઓછી હોવાથી,સ્ત્રોત અને શ્રોતા વચ્ચેનું સાપેક્ષ અંતર વધતું હોવું જોઈએ.
આ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે શ્રોતા સ્ત્રોતથી દૂર જતો હોય અથવા સ્ત્રોત શ્રોતાથી દૂર જતો હોય.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,શ્રોતા સ્ત્રોતથી દૂર જઈ રહ્યો છે તે સાચો વિકલ્પ છે.

(C) ડોપ્લર અસર એ તરંગના સ્ત્રોતની સાપેક્ષમાં ગતિ કરતા અવલોકનકાર માટે તરંગની આવૃત્તિમાં થતો ફેરફાર છે.
તે ત્યારે લાગુ પડે છે જ્યારે તરંગના સ્ત્રોત અને અવલોકનકાર વચ્ચે સાપેક્ષ ગતિ હોય.
આ ઘટના અવાજ અને પ્રકાશ સહિત તમામ પ્રકારના તરંગોને લાગુ પડે છે.
તેથી,ડોપ્લર અસર માટેની મૂળભૂત જરૂરિયાત સ્ત્રોત અને અવલોકનકાર વચ્ચે સાપેક્ષ ગતિનું અસ્તિત્વ છે.

(D) ડોપ્લર અસર મુજબ,અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ $n'$ નું સૂત્ર: $n' = n \left( \frac{v + v_o}{v - v_s} \right)$ છે.
અહીં,$v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે,$v_o$ એ અવલોકનકારનો વેગ છે અને $v_s$ એ ઉદ્ગમનો વેગ છે.
જ્યારે ઉદ્ગમ અને અવલોકનકાર એકબીજાની નજીક આવી રહ્યા હોય,ત્યારે $v_o = \frac{v}{2}$ અને $v_s = \frac{v}{2}$ લેવામાં આવે છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$n' = n \left( \frac{v + v/2}{v - v/2} \right)$
$n' = n \left( \frac{3v/2}{v/2} \right)$
$n' = n \times 3 = 3n$.
તેથી,અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિ $3n$ હશે.

(C) જ્યારે એન્જિન અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $n' = n \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ થાય છે.
જ્યારે એન્જિન અવલોકનકારથી દૂર જાય છે,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $n'' = n \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$ થાય છે.
આભાસી આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $n'/n'' = 5/3$ આપેલ છે.
તેથી,$\frac{n'}{n''} = \frac{v + v_s}{v - v_s} = \frac{5}{3}$.
$v = 340 \ m/s$ મૂકતા:
$\frac{340 + v_s}{340 - v_s} = \frac{5}{3}$.
$3(340 + v_s) = 5(340 - v_s)$.
$1020 + 3v_s = 1700 - 5v_s$.
$8v_s = 680$.
$v_s = 85 \ m/s$.

(A) જ્યારે અવલોકનકાર સ્થિર ઉદગમ તરફ ગતિ કરતો હોય ત્યારે સંભળાતી આવૃત્તિ ડોપ્લર અસરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$n' = n \left( \frac{v + v_0}{v} \right)$
જ્યાં:
$n = 240 \text{ Hz}$ (ઉદગમની આવૃત્તિ)
$v = 330 \text{ m/s}$ (અવાજની ઝડપ)
$v_0 = 11 \text{ m/s}$ (અવલોકનકારની ઝડપ)
કિંમતો મૂકતા:
$n' = 240 \left( \frac{330 + 11}{330} \right)$
$n' = 240 \left( \frac{341}{330} \right)$
$n' = 240 \times 1.0333 = 248 \text{ Hz}$.

(C) વ્યક્તિની ઝડપ $v_p = 18 \text{ km/h} = 18 \times \frac{5}{18} = 5 \text{ m/s}$ છે.
વ્યક્તિ પરાવર્તક સપાટી તરફ ગતિ કરી રહી હોવાથી,પરાવર્તિત ધ્વનિ એ અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરતા ઉદગમ જેવું કાર્ય કરે છે.
સીટીમાંથી સીધો સંભળાતો ધ્વનિ $f = 272 \text{ Hz}$ છે.
ડોપ્લર અસરના સૂત્ર મુજબ,વ્યક્તિ દ્વારા સંભળાતી પરાવર્તિત ધ્વનિની આવૃત્તિ:
$f' = f \left( \frac{v + v_p}{v - v_p} \right)$
કિંમતો મૂકતા: $f' = 272 \left( \frac{345 + 5}{345 - 5} \right) = 272 \left( \frac{350}{340} \right) = 272 \times \frac{35}{34} = 8 \times 35 = 280 \text{ Hz}$.
સંભળાતા બીટ્સની સંખ્યા એ પરાવર્તિત આવૃત્તિ અને મૂળ આવૃત્તિ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$\text{Beats} = f' - f = 280 \text{ Hz} - 272 \text{ Hz} = 8 \text{ Hz}$.

(B) બસમાં બેઠેલા મુસાફર બે અવાજ સાંભળે છે: હોર્નમાંથી આવતો સીધો અવાજ અને દીવાલ પરથી પરાવર્તિત થતો અવાજ.
બસ $v_B = 5 \ m/s$ ના વેગથી દીવાલ તરફ ગતિ કરી રહી હોવાથી,દીવાલ પરાવર્તિત અવાજના ઉદગમ તરીકે કાર્ય કરે છે.
મુસાફર દ્વારા સંભળાતા સીધા અવાજની આવૃત્તિ $n = 165 \ Hz$ છે.
મુસાફર દ્વારા સંભળાતા પરાવર્તિત અવાજની આવૃત્તિ $(n')$ ડોપ્લર અસરના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$n' = n \left( \frac{v + v_B}{v - v_B} \right)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા ($v = 355 \ m/s$,$v_B = 5 \ m/s$,$n = 165 \ Hz$):
$n' = 165 \left( \frac{355 + 5}{355 - 5} \right) = 165 \left( \frac{360}{350} \right) = 165 \times \frac{36}{35} = 169.71 \approx 170 \ Hz$.
પ્રતિ સેકન્ડ સંભળાતા બીટ્સની સંખ્યા એ આવૃત્તિઓનો તફાવત છે:
$\text{Beats} = n' - n = 170 \ Hz - 165 \ Hz = 5 \ Hz$.

(A) અવલોકનકાર બે ધ્વનિ સાંભળે છે: એક સીધો સ્ત્રોતમાંથી અને બીજો દીવાલ પરથી પરાવર્તિત થયેલો ધ્વનિ (પડઘો).
સીધા ધ્વનિ માટે,સ્ત્રોત અવલોકનકારથી દૂર જઈ રહ્યો છે. આભાસી આવૃત્તિ $n_1$ નીચે મુજબ છે:
$n_1 = n \left( \frac{v}{v + v_S} \right) = 256 \left( \frac{330}{330 + 5} \right) = 256 \left( \frac{330}{335} \right) \approx 252.18 \ Hz$.
પરાવર્તિત ધ્વનિ માટે,દીવાલ સ્થિર સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે. સ્ત્રોત દીવાલ તરફ ગતિ કરી રહ્યો છે,તેથી દીવાલ ઊંચી આવૃત્તિ પર ધ્વનિ મેળવે છે,જે તે અવલોકનકાર તરફ પાછો પરાવર્તિત કરે છે. આભાસી આવૃત્તિ $n_2$ નીચે મુજબ છે:
$n_2 = n \left( \frac{v}{v - v_S} \right) = 256 \left( \frac{330}{330 - 5} \right) = 256 \left( \frac{330}{325} \right) \approx 260.00 \ Hz$.
પ્રતિ સેકન્ડ બીટ્સની સંખ્યા આ બે આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$f_{beat} = n_2 - n_1 = n \left( \frac{v}{v - v_S} - \frac{v}{v + v_S} \right) = \frac{2nvv_S}{v^2 - v_S^2}$.
કિંમતો મૂકતા:
$f_{beat} = \frac{2 \times 256 \times 330 \times 5}{330^2 - 5^2} = \frac{844800}{108875} \approx 7.76 \ Hz \approx 7.8 \ Hz$.

(A) ધારો કે $v$ એ ધ્વનિનો વેગ છે અને $v_0 = 40 \ m/s$ એ શ્રોતાનો વેગ છે.
જ્યારે શ્રોતા સ્થિર ઉદગમ તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $n'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$n' = \left( \frac{v + v_0}{v} \right) n = 200 \dots (i)$
જ્યારે શ્રોતા તે જ ઉદગમથી દૂર ગતિ કરે છે,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $n''$ નીચે મુજબ મળે છે:
$n'' = \left( \frac{v - v_0}{v} \right) n = 160 \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{v + v_0}{v - v_0} = \frac{200}{160} = \frac{5}{4}$
$4(v + 40) = 5(v - 40)$
$4v + 160 = 5v - 200$
$v = 360 \ m/s$
આમ,હવામાં ધ્વનિનો વેગ $360 \ m/s$ છે.

(B) જ્યારે અવલોકનકાર સ્થિર સ્ત્રોત તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $n'$ ડોપ્લર અસરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$n' = \left( \frac{v + v_O}{v} \right) n$
અહીં આપેલ છે કે અવલોકનકારનો વેગ $v_O = \frac{v}{5}$,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિનો વેગ છે.
સૂત્રમાં $v_O$ ની કિંમત મૂકતા:
$n' = \left( \frac{v + v/5}{v} \right) n = \left( \frac{6v/5}{v} \right) n = 1.2n$
આવૃત્તિમાં થતો વધારો $\Delta n = n' - n = 1.2n - n = 0.2n$ છે.
આવૃત્તિમાં થતો ટકાવારી વધારો:
$\text{ટકાવારી વધારો} = \left( \frac{\Delta n}{n} \right) \times 100 = \left( \frac{0.2n}{n} \right) \times 100 = 20\%$.

(C) આ પરિસ્થિતિ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. ઉદગમ (એન્જિન) અને અવલોકનકાર (ટ્રેનની વચ્ચે બેઠેલ મુસાફર) બંને સમાન ઝડપ $v = 30 \ m/s$ ધરાવે છે.
એન્જિન અર્ધવર્તુળની શરૂઆતમાં છે અને અવલોકનકાર અર્ધવર્તુળના મધ્યબિંદુ પર છે. એન્જિન અને અવલોકનકારને જોડતી રેખા બંનેના વેગ સદિશ સાથે $45^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે.
અવલોકનકારના વેગનો ઉદગમ તરફનો ઘટક $v \cos 45^\circ$ છે.
ઉદગમના વેગનો અવલોકનકાર તરફનો ઘટક $v \cos 45^\circ$ છે.
જેহেতু ઉદગમ અને અવલોકનકાર બંને તેમને જોડતી રેખા પર સમાન વેગના ઘટક સાથે ગતિ કરી રહ્યા છે,તેથી તેમની વચ્ચે દ્રષ્ટિરેખા પર કોઈ સાપેક્ષ ગતિ નથી.
તેથી,અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ એ ઉદગમની આવૃત્તિ જેટલી જ એટલે કે $200 \ Hz$ રહેશે.

(B) જ્યારે સ્ત્રોત અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $n' = \frac{v}{v - v_s} n = n \left( 1 - \frac{v_s}{v} \right)^{-1} \approx n \left( 1 + \frac{v_s}{v} \right)$ થાય છે.
જ્યારે સ્ત્રોત અવલોકનકારથી દૂર જાય છે,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $n'' = \frac{v}{v + v_s} n = n \left( 1 + \frac{v_s}{v} \right)^{-1} \approx n \left( 1 - \frac{v_s}{v} \right)$ થાય છે.
આપેલ છે કે તફાવત $n' - n'' = \frac{2}{100} n$ છે.
સમીકરણો મૂકતા: $n \left( 1 + \frac{v_s}{v} \right) - n \left( 1 - \frac{v_s}{v} \right) = \frac{2}{100} n$.
$n \left( \frac{2 v_s}{v} \right) = \frac{2}{100} n$.
$\frac{2 v_s}{v} = \frac{2}{100} \Rightarrow v_s = \frac{v}{100}$.
અહીં $v = 300 \, m/s$ આપેલ હોવાથી,$v_s = \frac{300}{100} = 3 \, m/s$ મળે છે.

(D) $1$. દર સેકન્ડે સપાટી પર અથડાતા મોજાની સંખ્યા (ગતિશીલ લક્ષ્ય સુધી પહોંચતા મોજાની આવૃત્તિ) $n' = \frac{c + v}{\lambda} = \frac{\nu (c + v)}{c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેથી,વિકલ્પ $(c)$ સાચો છે.
$2$. ગતિશીલ સપાટી પરાવર્તિત મોજા માટે ઉદગમ તરીકે કાર્ય કરે છે. પરાવર્તિત મોજાની આભાસી આવૃત્તિ $n''$ એ ગતિશીલ ઉદગમ માટે ડોપ્લર અસરના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $n'' = n' \left( \frac{c}{c - v} \right) = \nu \left( \frac{c + v}{c} \right) \left( \frac{c}{c - v} \right) = \nu \left( \frac{c + v}{c - v} \right)$. તેથી,વિકલ્પ $(a)$ સાચો છે.
$3$. પરાવર્તિત મોજાની તરંગલંબાઈ $\lambda'$ એ $\lambda' = \frac{c}{n''} = \frac{c}{\nu \left( \frac{c + v}{c - v} \right)} = \frac{c(c - v)}{\nu (c + v)}$ છે. તેથી,વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.
$4$. આમ,$(a)$,$(b)$ અને $(c)$ ત્રણેય સાચા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(B) આપેલ છે:
કાર $A$ ની ઝડપ $(v_A)$ = $72\; km/hr = 20\; m/s$.
કાર $B$ ની ઝડપ $(v_B)$ = $36\; km/hr = 10\; m/s$.
ઉદગમની આવૃત્તિ $(n)$ = $280\; Hz$.
ધ્વનિની ઝડપ $(v)$ = $340\; m/s$ (ધારેલ).
કારને જોડતી રેખા પર ઉદગમ $(A)$ ના વેગનો ઘટક $v_A \cos 45^o$ છે (અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે).
કારને જોડતી રેખા પર અવલોકનકાર $(B)$ ના વેગનો ઘટક $v_B \cos 45^o$ છે (ઉદગમ તરફ ગતિ કરે છે).
ડોપ્લર અસરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$n' = n \left( \frac{v + v_B \cos 45^o}{v - v_A \cos 45^o} \right)$
$n' = 280 \left( \frac{340 + 10 \cos 45^o}{340 - 20 \cos 45^o} \right)$
$n' = 280 \left( \frac{340 + 7.07}{340 - 14.14} \right) = 280 \left( \frac{347.07}{325.86} \right) \approx 298.2\; Hz$.
આમ,અવલોકિત આવૃત્તિ આશરે $298\; Hz$ છે.

(B) ધારો કે અવાજની ઝડપ $v = 330 \ m/s$ છે. શ્રોતાની ઝડપ $v_L = 30 \ m/s$ અને સીટી $B$ ની ઝડપ $v_B = 30 \ m/s$ છે.
$1$. સીટી $B$ માટે: શ્રોતા અને સીટી $B$ સમાન દિશામાં સમાન ઝડપે ગતિ કરી રહ્યા હોવાથી,તેમનો સાપેક્ષ વેગ શૂન્ય છે. તેથી,શ્રોતા દ્વારા $B$ માંથી સંભળાતી આવૃત્તિ $f_B' = 596 \ Hz$ રહેશે.
$2$. સીટી $A$ માટે: શ્રોતા સ્થિર સીટી $A$ થી $30 \ m/s$ ની ઝડપે દૂર જઈ રહ્યો છે. ડોપ્લર અસરના સૂત્ર મુજબ અવલોકિત આવૃત્તિ $f_A' = f_A \left( \frac{v - v_L}{v} \right)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $f_A' = 660 \left( \frac{330 - 30}{330} \right) = 660 \left( \frac{300}{330} \right) = 660 \times \frac{10}{11} = 600 \ Hz$.
$3$. સંભળાતા બીટ્સની સંખ્યા બે અવલોકિત આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે: $\text{Beats} = |f_A' - f_B'| = |600 - 596| = 4 \ Hz$.

(A) સ્ત્રોત દ્વારા ઉત્સર્જિત અવાજની મૂળભૂત તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{340}{170} = 2 \, m$ છે.
જ્યારે સ્ત્રોત $v_s = 17 \, ms^{-1}$ ના વેગથી સ્થિર અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે આભાસી તરંગલંબાઈ $\lambda'$ નું સૂત્ર $\lambda' = \frac{v - v_s}{f} = \frac{340 - 17}{170} = \frac{323}{170} = 1.9 \, m$ છે.
તરંગલંબાઈમાં થતો આભાસી ફેરફાર $\Delta \lambda = \lambda - \lambda' = 2 - 1.9 = 0.1 \, m$ છે.

(B) ધારો કે મોટરસાઇકલ સવારની ઝડપ $v$ છે અને ધ્વનિની ઝડપ $v_s = 330 \ m/s$ છે.
$1$. મોટરસાઇકલ સવાર દ્વારા સંભળાતી પોલીસ કારના હોર્નની આવૃત્તિ $n_1$ (જે સ્ત્રોતથી દૂર જઈ રહ્યો છે) ડોપ્લર અસરના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$n_1 = n_0 \left( \frac{v_s - v}{v_s - v_{police}} \right) = 176 \left( \frac{330 - v}{330 - 22} \right) = 176 \left( \frac{330 - v}{308} \right)$
$2$. મોટરસાઇકલ સવાર દ્વારા સંભળાતી સ્થિર સાયરનની આવૃત્તિ $n_2$ (જે સ્ત્રોત તરફ ગતિ કરી રહ્યો છે) છે:
$n_2 = n_s \left( \frac{v_s + v}{v_s} \right) = 165 \left( \frac{330 + v}{330} \right)$
$3$. કારણ કે મોટરસાઇકલ સવાર કોઈ બીટ્સ અનુભવતો નથી,તેથી આવૃત્તિઓ સમાન હોવી જોઈએ $(n_1 = n_2)$:
$176 \left( \frac{330 - v}{308} \right) = 165 \left( \frac{330 + v}{330} \right)$
$4$. સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{176}{308} (330 - v) = \frac{165}{330} (330 + v)$
$\frac{4}{7} (330 - v) = \frac{1}{2} (330 + v)$
$8(330 - v) = 7(330 + v)$
$2640 - 8v = 2310 + 7v$
$15v = 330$
$v = 22 \ m/s$.

(C) ડ્રાઈવર દ્વારા સાંભળવામાં આવતા પરાવર્તિત અવાજની આવૃત્તિ ગતિશીલ ઉદગમ અને ગતિશીલ અવલોકનકાર માટે ડોપ્લર અસરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$f' = f \left( \frac{v + v_{car}}{v - v_{car}} \right)$
આપેલ છે કે પરાવર્તિત આવૃત્તિ $f' = 2f$,તેથી આપણે આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2f = f \left( \frac{v + v_{car}}{v - v_{car}} \right)$
$2 = \frac{v + v_{car}}{v - v_{car}}$
$2(v - v_{car}) = v + v_{car}$
$2v - 2v_{car} = v + v_{car}$
$v = 3v_{car}$
$v_{car} = v/3$
તેથી,કારનો વેગ $v/3$ છે.

(A) ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે ધ્વનિનો સ્ત્રોત સ્થિર અવલોકનકારની સાપેક્ષમાં અચળ વેગ $v_s$ થી ગતિ કરે છે,ત્યારે અવલોકિત આવૃત્તિ $f$ નીચે મુજબ મળે છે:
$1$. જ્યારે એન્જિન અવલોકનકારની નજીક આવી રહ્યું હોય: $f' = f_0 \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $f_0$ એ સ્ત્રોતની આવૃત્તિ છે. આ આવૃત્તિ અચળ અને $f_0$ કરતા વધારે હોય છે.
$2$. જ્યારે એન્જિન અવલોકનકારથી દૂર જઈ રહ્યું હોય: $f'' = f_0 \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$. આ આવૃત્તિ પણ અચળ અને $f_0$ કરતા ઓછી હોય છે.
કારણ કે એન્જિન $t_0$ સમયે અવલોકનકાર પાસેથી પસાર થાય છે,તેથી અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિ $t < t_0$ માટે અચળ ઉચ્ચ મૂલ્ય ધરાવશે અને $t > t_0$ માટે અચાનક ઘટીને અચળ નીચા મૂલ્ય પર આવી જશે. આ વર્તણૂક વિકલ્પ $A$ માં દર્શાવેલ આલેખ દ્વારા રજૂ થાય છે.

(B) સ્થિર સ્ત્રોત તરફ ગતિ કરતા અવલોકનકાર માટે,આભાસી આવૃત્તિ $n'$ ડોપ્લર અસરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$n' = n \left( \frac{v + v_0}{v} \right)$
જ્યાં $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $v_0$ એ અવલોકનકારનો વેગ છે.
અવલોકનકાર સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂઆત કરે છે અને $a$ ના સમાન પ્રવેગ સાથે ગતિ કરે છે,તેથી સમય $t$ પર તેનો વેગ $v_0 = at$ છે.
આ કિંમતને આવૃત્તિના સૂત્રમાં મૂકતા:
$n' = n \left( \frac{v + at}{v} \right) = n \left( 1 + \frac{at}{v} \right) = \left( \frac{na}{v} \right) t + n$
આ $y = mx + c$ સ્વરૂપનું સમીકરણ છે,જે એક સીધી રેખા દર્શાવે છે.
અહીં,$n'$ અક્ષ પરનો આંતરછેદ $n$ છે (જ્યારે $t = 0$ હોય),અને રેખાનો ઢાળ $\frac{na}{v}$ છે,જે ધન છે.
તેથી,આલેખ $n$ થી શરૂ થતી ધન ઢાળવાળી સીધી રેખા છે.

(C) ડોપ્લર અસર મુજબ, જ્યારે ઉદ્ગમ સ્થિર અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે, ત્યારે અવલોકિત આવૃત્તિ $n'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$n' = \left( \frac{V}{V - v_s} \right) n$
આપેલ છે:
ઉદ્ગમની આવૃત્તિ $n = 90 \, \text{vibrations/sec}$
ઉદ્ગમનો વેગ $v_s = \frac{1}{10} V$
કિંમતો મૂકતા:
$n' = \left( \frac{V}{V - \frac{V}{10}} \right) \times 90$
$n' = \left( \frac{V}{\frac{9V}{10}} \right) \times 90$
$n' = \frac{10}{9} \times 90$
$n' = 100 \, \text{vibrations/sec}$

(A) ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે ઉદ્ગમ સ્થિર અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે અવલોકિત આવૃત્તિ $n'$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$n' = \left( \frac{v}{v - v_s} \right) n$
જ્યાં:
$v = 330 \,m/s$ (ધ્વનિનો વેગ)
$v_s = 30 \,m/s$ (ઉદ્ગમનો વેગ)
$n = 500 \,Hz$ (મૂળ આવૃત્તિ)
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$n' = \left( \frac{330}{330 - 30} \right) \times 500$
$n' = \left( \frac{330}{300} \right) \times 500$
$n' = 1.1 \times 500$
$n' = 550 \,Hz$
તેથી,અવલોકનકાર $550 \,Hz$ આવૃત્તિ સાંભળશે.

(C) આપેલ છે: કારનો વેગ $v_s = 72 \,km/hr = 72 \times \frac{5}{18} = 20 \,ms^{-1}$.
ઉદગમની આવૃત્તિ $n = 124 \,vib/sec$.
ધ્વનિની ઝડપ $v = 330 \,ms^{-1}$.
ધ્વનિ દીવાલ પરથી પરાવર્તિત થાય છે. દીવાલ પરાવર્તિત ધ્વનિ માટે સ્થિર ઉદગમ તરીકે વર્તે છે અને કાર ગતિશીલ અવલોકનકાર તરીકે વર્તે છે.
ડોપ્લર અસરના સૂત્ર મુજબ,ગતિશીલ અવલોકનકાર અને સ્થિર ઉદગમ માટે:
$n' = n \left( \frac{v + v_o}{v - v_s} \right)$
કાર દીવાલ તરફ ગતિ કરતી હોવાથી,દીવાલને મળતી આવૃત્તિ $n_w = n \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ થશે.
ત્યારબાદ,ડ્રાઇવર (જે દીવાલ તરફ ગતિ કરે છે) પરાવર્તિત ધ્વનિને $n' = n_w \left( \frac{v + v_o}{v} \right)$ આવૃત્તિએ સાંભળશે.
$v_o = v_s = 20 \,ms^{-1}$ મૂકતા:
$n' = n \left( \frac{v + v_s}{v - v_s} \right) = 124 \left( \frac{330 + 20}{330 - 20} \right) = 124 \left( \frac{350}{310} \right) = 124 \times 1.129 \approx 140 \,vib/sec$.

(A) ધ્વનિ દીવાલ પરથી પરાવર્તિત થઈને ડ્રાઇવર પાસે પાછો આવે છે. દીવાલ સ્થિર ઉદગમ તરીકે કાર્ય કરે છે.
પ્રથમ,દીવાલ દ્વારા પ્રાપ્ત થતી આવૃત્તિ $f_w = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ છે,જ્યાં $v = 330 \, m/s$,$v_s = 30 \, m/s$,અને $f = 600 \, Hz$.
$f_w = 600 \left( \frac{330}{330 - 30} \right) = 600 \left( \frac{330}{300} \right) = 600 \times 1.1 = 660 \, Hz$.
હવે,ડ્રાઇવર અવલોકનકાર તરીકે આ પરાવર્તિત ધ્વનિના સ્ત્રોત (દીવાલ) તરફ $v_o = 30 \, m/s$ ના વેગથી ગતિ કરે છે.
ડ્રાઇવર દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિ $f' = f_w \left( \frac{v + v_o}{v} \right)$ છે.
$f' = 660 \left( \frac{330 + 30}{330} \right) = 660 \left( \frac{360}{330} \right) = 2 \times 360 = 720 \, Hz$.

(B) આભાસી આવૃત્તિ $f'$ માટે ડોપ્લર અસરનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$f' = f \left( \frac{v + v_o}{v - v_s} \right)$
અહીં,ધ્વનિનો વેગ $v = V$ છે.
અવલોકનકાર ઉદ્ગમ તરફ ગતિ કરે છે,તેથી $v_o = V/10$.
ઉદ્ગમ અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે,તેથી $v_s = V/10$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$f' = f \left( \frac{V + V/10}{V - V/10} \right)$
$f' = f \left( \frac{11V/10}{9V/10} \right)$
$f' = f \left( \frac{11}{9} \right)$
$f' \approx 1.22 f$
તેથી,અવલોકનકારને સંભળાતી આવૃત્તિ $1.22 f$ હશે.

(A) ધારો કે ધ્વનિનો વેગ $v = 320 \, m/s$,સ્ત્રોતનો વેગ $v_s = 4 \, m/s$ અને સ્ત્રોતની આવૃત્તિ $n = 240 \, Hz$ છે.
માણસ તરફ આવતી ટ્રેન માટે,આભાસી આવૃત્તિ $n_1 = \frac{v}{v - v_s} \cdot n = \frac{320}{320 - 4} \cdot 240 = \frac{320}{316} \cdot 240 \approx 243.038 \, Hz$ છે.
માણસથી દૂર જતી ટ્રેન માટે,આભાસી આવૃત્તિ $n_2 = \frac{v}{v + v_s} \cdot n = \frac{320}{320 + 4} \cdot 240 = \frac{320}{324} \cdot 240 \approx 237.037 \, Hz$ છે.
દર સેકન્ડે સંભળાતા સ્પંદની સંખ્યા એ આભાસી આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે: $n_{beat} = n_1 - n_2$.
$n_{beat} = 320 \cdot 240 \cdot \left( \frac{1}{316} - \frac{1}{324} \right) = 76800 \cdot \left( \frac{324 - 316}{316 \cdot 324} \right) = 76800 \cdot \frac{8}{102384} \approx 6 \, Hz$.

(D) ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે ઉદ્ગમ $v_s$ વેગથી સ્થિર અવલોકનકારથી દૂર જાય ત્યારે સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ $n'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$n' = n \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$
અહીં આપેલ છે કે સંભળાતી આવૃત્તિ મૂળ આવૃત્તિ કરતા અડધી છે,એટલે કે $n' = \frac{n}{2}$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{n}{2} = n \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$
$\frac{1}{2} = \frac{v}{v + v_s}$
$v + v_s = 2v$
$v_s = v$
આમ,ઉદ્ગમ $v$ જેટલી ઝડપથી અવલોકનકારથી દૂર જવું જોઈએ.

(B) કાર ઉદગમ તરીકે અને ટેકરી અવલોકનકાર તરીકે કાર્ય કરે છે.
પ્રથમ,ટેકરી દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિ $f_1$ ની ગણતરી કરીએ:
$f_1 = f_0 \times \frac{v}{v - v_s} = 600 \times \frac{330}{330 - 30} = 600 \times \frac{330}{300} = 660 \, Hz$.
હવે,ટેકરી આ અવાજનું પરાવર્તન કરે છે,જે ઉદગમ તરીકે કાર્ય કરે છે અને ડ્રાઈવર ઉદગમ તરફ ગતિ કરતા અવલોકનકાર તરીકે કાર્ય કરે છે.
ડ્રાઈવર દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિ $f_2$ છે:
$f_2 = f_1 \times \frac{v + v_o}{v} = 660 \times \frac{330 + 30}{330} = 660 \times \frac{360}{330} = 2 \times 360 = 720 \, Hz$.

(C) ટ્રેનની ઝડપ (સ્ત્રોત અને અવલોકનકાર) $v_T = 220\, m s^{-1}$ છે.
હવામાં અવાજની ઝડપ $v = 330\, m s^{-1}$ છે.
સ્ત્રોત (ટ્રેન) $f_0 = 1000\, Hz$ આવૃત્તિ ઉત્પન્ન કરે છે.
પ્રથમ,અવાજ સ્થિર પદાર્થ સુધી પહોંચે છે. પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત થતી આવૃત્તિ $f_1 = f_0 \left( \frac{v}{v - v_T} \right)$ છે.
ત્યારબાદ,પદાર્થ આ અવાજને ગતિ કરતી ટ્રેન તરફ પરાવર્તિત કરે છે. ટ્રેન પરાવર્તિત અવાજના સ્ત્રોત તરફ ગતિ કરતા અવલોકનકાર તરીકે વર્તે છે. ડ્રાઈવર દ્વારા અનુભવાતી આવૃત્તિ $f' = f_1 \left( \frac{v + v_T}{v} \right)$ છે.
$f'$ ના સમીકરણમાં $f_1$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $f' = f_0 \left( \frac{v}{v - v_T} \right) \left( \frac{v + v_T}{v} \right) = f_0 \left( \frac{v + v_T}{v - v_T} \right)$.
કિંમતની ગણતરી કરતા: $f' = 1000 \left( \frac{330 + 220}{330 - 220} \right) = 1000 \left( \frac{550}{110} \right) = 1000 \times 5 = 5000\, Hz$.

(C) મોટરસાઇકલ સવાર (અવલોકનકાર) ની ઝડપ $v_o = 36\, km\, h^{-1} = 36 \times \frac{5}{18} = 10\, m s^{-1}$ છે.
મોટરસાઇકલ સવાર ઉદગમ (કાર) તરફ ગતિ કરી રહ્યો હોવાથી,અવલોકનકારનો વેગ ધન લેવામાં આવે છે.
કાર (ઉદગમ) ની ઝડપ $v_s = 18\, km\, h^{-1} = 18 \times \frac{5}{18} = 5\, m s^{-1}$ છે.
ઉદગમ અવલોકનકારથી દૂર જઈ રહ્યું હોવાથી,ઉદગમનો વેગ ધન લેવામાં આવે છે.
ધ્વનિની ઝડપ $v = 343\, m s^{-1}$ છે.
ઉદગમની આવૃત્તિ $f_0 = 1392\, Hz$ છે.
અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિ માટે ડોપ્લર અસરનું સૂત્ર વાપરતા,$f' = f_0 \left( \frac{v + v_o}{v + v_s} \right)$,
$f' = 1392 \left( \frac{343 + 10}{343 + 5} \right)$,
$f' = 1392 \left( \frac{353}{348} \right)$,
$f' = 4 \times 353 = 1412\, Hz$.

(A) આપેલ છે:
સ્ત્રોતની આવૃત્તિ,$f_{0} = 100 \, Hz$
સ્ત્રોતનો વેગ,$v_{s} = 19.4 \, m s^{-1}$
હવામાં ધ્વનિનો વેગ,$v = 330 \, m s^{-1}$
સ્ત્રોત અને અવલોકનકારને જોડતી રેખા પર સ્ત્રોતના વેગનો ઘટક $v_{s} \cos 60^{\circ}$ છે. કારણ કે સ્ત્રોત અવલોકનકારથી દૂર જઈ રહ્યો છે,તેથી આભાસી આવૃત્તિ $f'$ ડોપ્લર અસરના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$f' = f_{0} \left( \frac{v}{v + v_{s} \cos 60^{\circ}} \right)$
કિંમતો મૂકતા:
$f' = 100 \left( \frac{330}{330 + 19.4 \times \cos 60^{\circ}} \right)$
$f' = 100 \left( \frac{330}{330 + 19.4 \times 0.5} \right)$
$f' = 100 \left( \frac{330}{330 + 9.7} \right)$
$f' = 100 \left( \frac{330}{339.7} \right) \approx 97.14 \, Hz$
નજીકના પૂર્ણાંકમાં,આભાસી આવૃત્તિ $97 \, Hz$ છે.

(B) સાયરન દ્વારા ઉત્સર્જિત ધ્વનિની આવૃત્તિ $f_0 = 800 \, Hz$ છે.
સ્ત્રોત (સાયરન) ની ઝડપ $v_s = 15 \, m s^{-1}$ છે.
હવામાં ધ્વનિની ઝડપ $v = 330 \, m s^{-1}$ છે.
સાયરન ટેકરી તરફ ગતિ કરતું હોવાથી,ટેકરી એક અવલોકનકાર તરીકે કાર્ય કરે છે જે ધ્વનિ મેળવે છે. ગતિશીલ સ્ત્રોત અને સ્થિર અવલોકનકાર માટે ડોપ્લર અસરના સૂત્ર મુજબ ટેકરી દ્વારા પ્રાપ્ત આવૃત્તિ $f'$ છે:
$f' = f_0 \left( \frac{v}{v - v_s} \right) = 800 \left( \frac{330}{330 - 15} \right) = 800 \left( \frac{330}{315} \right) \approx 838.09 \, Hz$.
ટેકરી આ ધ્વનિને મૂળ અવલોકનકાર તરફ પરાવર્તિત કરે છે. ટેકરી સ્થિર હોવાથી,તે $f'$ આવૃત્તિ સાથે ધ્વનિ ઉત્સર્જિત કરતા સ્થિર સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે. મૂળ અવલોકનકાર ટેકરીની સાપેક્ષમાં સ્થિર હોવાથી,તેઓ પરાવર્તિત ધ્વનિને સમાન આવૃત્તિ $f'$ પર સાંભળે છે.
તેથી,અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિ આશરે $838 \, Hz$ છે.

(B) અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ $v^{\prime}$ ડોપ્લર અસરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v^{\prime} = v \left( \frac{v + v_{o}}{v - v_{s}} \right)$
અહીં,ધ્વનિનો વેગ $v = 340 \, m s^{-1}$ છે.
ઉદગમ એ પ્રથમ કાર છે,તેથી $v_{s} = 22 \, m s^{-1}$.
અવલોકનકાર એ બીજી કાર છે,તેથી $v_{o} = 16.5 \, m s^{-1}$.
ઉદગમની આવૃત્તિ $v = 400 \, Hz$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$v^{\prime} = 400 \left( \frac{340 + 16.5}{340 - 22} \right)$
$v^{\prime} = 400 \left( \frac{356.5}{318} \right)$
$v^{\prime} = 400 \times 1.121069...$
$v^{\prime} \approx 448.42 \, Hz$
નજીકના પૂર્ણાંકમાં,સંભળાતી આવૃત્તિ $448 \, Hz$ છે.

(A) ડોપ્લર અસર એ સ્ત્રોત અને અવલોકનકાર વચ્ચેની તેમને જોડતી રેખા પરના સાપેક્ષ વેગ પર આધાર રાખે છે.
આ કિસ્સામાં,એન્જિન (સ્ત્રોત) વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરે છે અને અવલોકનકાર વર્તુળના કેન્દ્ર પર છે.
એન્જિનનો વેગ સદિશ હંમેશા વર્તુળાકાર માર્ગને સ્પર્શક હોય છે,જ્યારે એન્જિન અને અવલોકનકારને જોડતી રેખા ત્રિજ્યાની દિશામાં હોય છે.
વર્તુળનો સ્પર્શક હંમેશા સ્પર્શ બિંદુએ ત્રિજ્યાને લંબ હોવાથી,સ્ત્રોત અને અવલોકનકારને જોડતી રેખા પર સ્ત્રોતનો વેગ હંમેશા શૂન્ય રહે છે.
દ્રષ્ટિરેખા (ત્રિજ્યાવર્તી દિશા) પર વેગનો કોઈ ઘટક ન હોવાથી,તેમને જોડતી રેખા પર સ્ત્રોત અને અવલોકનકાર વચ્ચે કોઈ સાપેક્ષ ગતિ થતી નથી.
તેથી,અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ સીટીની મૂળ આવૃત્તિ જેટલી જ રહે છે,જે $500 \ Hz$ છે.

(A) $1$. પ્રથમ,દુશ્મન સબમરીન સ્ત્રોત (ભારતીય સબમરીન) તરફ ગતિ કરતા રીસીવર તરીકે કાર્ય કરે છે. દુશ્મન સબમરીન દ્વારા પ્રાપ્ત આવૃત્તિ $f'$ છે: $f' = f \left( \frac{v + v_E}{v} \right) = 1000 \left( \frac{5500 + 70}{5500} \right) \approx 1012.73 \ Hz$.
$2$. ત્યારબાદ દુશ્મન સબમરીન આ આવૃત્તિને ભારતીય સબમરીન તરફ પરાવર્તિત કરતા સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે. ભારતીય સબમરીન આ સ્ત્રોત તરફ ગતિ કરી રહી છે. ભારતીય સબમરીન દ્વારા શોધાયેલ આવૃત્તિ $f''$ છે: $f'' = f' \left( \frac{v + v_I}{v} \right) = 1012.73 \left( \frac{5500 + 50}{5500} \right) \approx 1012.73 \times 1.00909 \approx 1021.94 \ Hz$.
$3$. $kHz$ માં રૂપાંતર કરતા,આપણને $f'' \approx 1.02 \ kHz$ મળે છે.

(C) અવલોકનકાર તરફ આવતી ટ્રેનની આભાસી આવૃત્તિ $n_1 = n \left( \frac{v}{v - u} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અવલોકનકારથી દૂર જતી ટ્રેનની આભાસી આવૃત્તિ $n_2 = n \left( \frac{v}{v + u} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉત્પન્ન થતા બીટ્સની સંખ્યા એ બે આભાસી આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે: $\Delta n = n_1 - n_2$.
$\Delta n = n \left( \frac{v}{v - u} - \frac{v}{v + u} \right) = n \left( \frac{v(v + u) - v(v - u)}{v^2 - u^2} \right) = n \left( \frac{2uv}{v^2 - u^2} \right)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $n = 300 \; Hz$,$v = 332 \; m/s$,$u = 4 \; m/s$.
$\Delta n = 300 \times \left( \frac{2 \times 4 \times 332}{332^2 - 4^2} \right) = 300 \times \left( \frac{2656}{110224 - 16} \right) = 300 \times \left( \frac{2656}{110208} \right) \approx 300 \times 0.0241 = 7.23$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,બીટ્સની સંખ્યા $7$ છે.

(D) જ્યારે સ્ત્રોત સ્થિર અવલોકનકારની નજીક આવે છે,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $\nu'$ એ $\nu' = \nu \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે આવૃત્તિમાં $10\%$ નો વધારો થાય છે,તેથી $\frac{\nu'}{\nu} = 1.1 = \frac{11}{10}$.
તેથી,$\frac{v}{v - v_s} = \frac{11}{10} \implies 10v = 11v - 11v_s \implies 11v_s = v \implies v_s = \frac{v}{11}$.
જ્યારે સ્ત્રોત અવલોકનકારથી દૂર જાય છે,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $\nu''$ એ $\nu'' = \nu \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v_s = \frac{v}{11}$ મૂકતા,આપણને $\frac{\nu''}{\nu} = \frac{v}{v + v/11} = \frac{v}{12v/11} = \frac{11}{12} \approx 0.9167$ મળે છે.
આવૃત્તિમાં ફેરફાર $\nu - \nu'' = \nu - 0.9167\nu = 0.0833\nu$ છે.
ટકાવારી ફેરફાર $0.0833 \times 100 \% \approx 8.33 \%$ છે,જે આશરે $8.5 \%$ છે.

(C) ડોપ્લર અસર મુજબ,અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ $f'$ એ $f' = f \left( \frac{v \pm v_o}{v \mp v_s} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ ઉદગમની આવૃત્તિ છે,$v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે,$v_o$ એ અવલોકનકારનો વેગ છે અને $v_s$ એ ઉદગમનો વેગ છે.
આ પ્રશ્નમાં,ઉદગમ $S_1$,અવલોકનકાર $O$ અને ઉદગમ $S_2$ ત્રણેય સમાન વેગ $v_s = v_o = 30\,m/s$ થી સમાન દિશામાં ગતિ કરી રહ્યા છે.
ઉદગમ $S_1$ માટે: અવલોકનકાર $S_1$ થી દૂર જઈ રહ્યો છે અને $S_1$ અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરી રહ્યો છે. આભાસી આવૃત્તિ $f_1$ એ $f_1 = f \left( \frac{v - v_o}{v - v_s} \right)$ છે. કારણ કે $v_o = v_s$,તેથી $f_1 = f \left( \frac{v - v_s}{v - v_s} \right) = f = 100\,Hz$ મળે.
ઉદગમ $S_2$ માટે: અવલોકનકાર $S_2$ તરફ ગતિ કરી રહ્યો છે અને $S_2$ અવલોકનકારથી દૂર જઈ રહ્યો છે. આભાસી આવૃત્તિ $f_2$ એ $f_2 = f \left( \frac{v + v_o}{v + v_s} \right)$ છે. કારણ કે $v_o = v_s$,તેથી $f_2 = f \left( \frac{v + v_s}{v + v_s} \right) = f = 100\,Hz$ મળે.
બીટ આવૃત્તિ એ બે આભાસી આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે: $f_{beat} = |f_1 - f_2| = |100 - 100| = 0\,Hz$.

(B) ધારો કે $n_1$ એ સ્ત્રોત અવલોકનકારને ઓળંગે તે પહેલાં અવલોકનકાર દ્વારા અવલોકન કરાયેલ આવૃત્તિ છે,અને $n_2$ એ સ્ત્રોત અવલોકનકારને ઓળંગ્યા પછીની આવૃત્તિ છે. આપણને આપેલ છે કે $n_2 = f n_1$ ... $(1)$.
સ્ત્રોતની મૂળ આવૃત્તિ $n_0$ છે. ગતિશીલ સ્ત્રોત અને સ્થિર અવલોકનકાર માટે ડોપ્લર અસરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$n_1 = \frac{V}{V - V_s} n_0$
$n_2 = \frac{V}{V + V_s} n_0$
આ કિંમતોને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$\frac{V}{V + V_s} n_0 = f \left( \frac{V}{V - V_s} n_0 \right)$
$\frac{1}{V + V_s} = \frac{f}{V - V_s} \implies V - V_s = fV + fV_s$
$V(1 - f) = V_s(1 + f) \implies \frac{V_s}{V} = \frac{1 - f}{1 + f}$ ... $(2)$.
આવૃત્તિઓનો તફાવત $n_1 - n_2 = n_0 \left( \frac{V}{V - V_s} - \frac{V}{V + V_s} \right) = n_0 \left( \frac{1}{1 - V_s/V} - \frac{1}{1 + V_s/V} \right)$ છે.
$V_s/V = \frac{1 - f}{1 + f}$ ની કિંમત મૂકતા:
$n_1 - n_2 = n_0 \left( \frac{1}{1 - \frac{1-f}{1+f}} - \frac{1}{1 + \frac{1-f}{1+f}} \right) = n_0 \left( \frac{1+f}{2f} - \frac{1+f}{2} \right) = n_0 \left( \frac{1+f - f(1+f)}{2f} \right) = n_0 \left( \frac{1+f - f - f^2}{2f} \right) = \frac{1}{2} n_0 \left( \frac{1 - f^2}{f} \right)$.

(B) ધારો કે અવલોકનકારની ઝડપ $v_o = v$ છે અને ઉદગમની ઝડપ $v_s = 2v$ છે.
સમય $t$ પર,અવલોકનકારનું સ્થાન $(0, vt)$ છે અને ઉદગમનું સ્થાન $(2vt, 0)$ છે.
અવલોકનકારનો વેગ સદિશ $\vec{v}_o = v \hat{j}$ છે અને ઉદગમનો વેગ સદિશ $\vec{v}_s = 2v \hat{i}$ છે.
ઉદગમથી અવલોકનકાર તરફનો એકમ સદિશ $\hat{r} = \frac{-2vt \hat{i} + vt \hat{j}}{\sqrt{(2vt)^2 + (vt)^2}} = \frac{-2 \hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{5}}$ છે.
દ્રષ્ટિરેખાની દિશામાં ઉદગમના વેગનો ઘટક $v_{s,r} = \vec{v}_s \cdot \hat{r} = (2v \hat{i}) \cdot \left( \frac{-2 \hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{5}} \right) = -\frac{4v}{\sqrt{5}}$ છે.
દ્રષ્ટિરેખાની દિશામાં અવલોકનકારના વેગનો ઘટક $v_{o,r} = \vec{v}_o \cdot \hat{r} = (v \hat{j}) \cdot \left( \frac{-2 \hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{5}} \right) = \frac{v}{\sqrt{5}}$ છે.
આભાસી આવૃત્તિ $f = f_0 \left( \frac{c - v_{o,r}}{c - v_{s,r}} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે.
કિંમતો મૂકતા,$f = f_0 \left( \frac{c - v/\sqrt{5}}{c + 4v/\sqrt{5}} \right)$ મળે છે.
ચૂક $v_{s,r}$ અને $v_{o,r}$ અચળ હોવાથી,આભાસી આવૃત્તિ $f$ સમય સાથે અચળ રહે છે.
તેથી,$f$ વિરુદ્ધ $t$ નો આલેખ એક આડી સીધી રેખા છે. આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,આલેખ $B$ એ અચળ આવૃત્તિ $f < f_0$ દર્શાવે છે.

(D) આ પ્રશ્નમાં ડોપ્લર અસરના બે તબક્કાઓનો સમાવેશ થાય છે.
તબક્કો $1$: પરાવર્તક સપાટી સ્ત્રોત $S$ થી દૂર જતી અવલોકનકાર તરીકે કાર્ય કરે છે. સપાટી દ્વારા પ્રાપ્ત આવૃત્તિ $f' = f \left( \frac{V - u}{V} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f = 334 \, Hz$,$V = 330 \, m/s$,અને $u = 2 \, m/s$.
$f' = 334 \left( \frac{330 - 2}{330} \right) = 334 \left( \frac{328}{330} \right) \approx 331.97 \, Hz$.
તબક્કો $2$: હવે પરાવર્તક સપાટી ગતિશીલ સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે જે ધ્વનિને સ્થિર અવલોકનકાર $O$ તરફ પાછો ફેંકે છે. અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિ $f'' = f' \left( \frac{V}{V + u} \right)$ છે.
$f'' = 334 \left( \frac{328}{330} \right) \times \left( \frac{330}{330 + 2} \right) = 334 \left( \frac{328}{332} \right) = 334 \times 0.98795 \approx 330 \, Hz$.

(C) સ્થિર સ્ત્રોત તરફ ગતિ કરતા ડિટેક્ટર દ્વારા અવલોકન કરાયેલ આવૃત્તિ ડોપ્લર અસરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $f = f_0 \left( \frac{v + v_0}{v} \right)$,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $v_0$ એ ડિટેક્ટરની ઝડપ છે.
ડિટેક્ટર સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે અને ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ પડે છે,તેથી સમય $t$ પર તેની ઝડપ $v_0 = gt = 10t$ છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $f = 10^3 \left( \frac{v + 10t}{v} \right) = 10^3 + \left( \frac{10^4}{v} \right)t$.
આ સમીકરણ $m = \frac{10^4}{v}$ ઢાળવાળી સીધી રેખા દર્શાવે છે.
આલેખ પરથી,આવૃત્તિ $30 \, s$ માં $1000 \, Hz$ થી બદલાઈને $2000 \, Hz$ થાય છે.
તેથી,ઢાળ $m = \frac{2000 - 1000}{30} = \frac{1000}{30} = \frac{100}{3}$ છે.
ઢાળને સરખાવતા: $\frac{10^4}{v} = \frac{100}{3}$.
$v$ માટે ઉકેલતા: $v = \frac{10^4 \times 3}{100} = 100 \times 3 = 300 \, m/s$.

(A) સ્થિર સ્ત્રોત તરફ ગતિ કરતા અવલોકનકાર માટે,આભાસી આવૃત્તિ $f'$ ડોપ્લર અસરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$f' = f \left( \frac{v + v_0}{v} \right)$
જ્યાં $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $v_0$ એ અવલોકનકારનો વેગ છે.
અવલોકનકાર સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ કરીને $a$ જેટલા સમાન પ્રવેગ સાથે ગતિ કરે છે,તેથી સમય $t$ પર તેનો વેગ $v_0 = at$ થશે.
આ કિંમતને આવૃત્તિના સૂત્રમાં મૂકતા:
$f' = f \left( \frac{v + at}{v} \right) = f \left( 1 + \frac{a}{v} t \right) = \left( \frac{fa}{v} \right) t + f$
આ સમીકરણ $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જે એક સીધી રેખા દર્શાવે છે.
અહીં,$f'$ અક્ષ પરનો આંતરછેદ $f$ છે ($t = 0$ સમયે) અને ઢાળ $\frac{fa}{v}$ છે,જે ધન છે.
તેથી,આલેખ એ ધન આંતરછેદ અને ધન ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા છે.

(A) $1\, s$ મુક્ત પતન પછી,સ્ત્રોતનો વેગ $v_s = g \times t = 10 \times 1 = 10\, m/s$ (નીચેની તરફ) થાય છે.
ફુગ્ગામાં રહેલ અવલોકનકાર $v_o = 2\, m/s$ ના વેગથી ઉપર તરફ ગતિ કરે છે.
ધારો કે ધ્વનિની ઝડપ $v = 300\, m/s$ છે.
ઓળંગતા પહેલા,સ્ત્રોત અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે અને અવલોકનકાર સ્ત્રોત તરફ ગતિ કરે છે. અવલોકન કરેલ આવૃત્તિ $n_1$ છે:
$n_1 = f_0 \left( \frac{v + v_o}{v - v_s} \right) = 150 \left( \frac{300 + 2}{300 - 10} \right) = 150 \left( \frac{302}{290} \right) \approx 156.21\, Hz$.
ઓળંગ્યા પછી,સ્ત્રોત અવલોકનકારથી દૂર જાય છે અને અવલોકનકાર સ્ત્રોતથી દૂર જાય છે. અવલોકન કરેલ આવૃત્તિ $n_2$ છે:
$n_2 = f_0 \left( \frac{v - v_o}{v + v_s} \right) = 150 \left( \frac{300 - 2}{300 + 10} \right) = 150 \left( \frac{298}{310} \right) \approx 144.19\, Hz$.
આવૃત્તિમાં તફાવત $\Delta n = n_1 - n_2 = 156.21 - 144.19 = 12.02\, Hz \approx 12\, Hz$ છે.

(D) ડોપ્લર અસરનું સૂત્ર $n' = n \left( \frac{v \pm v_o}{v \mp v_s} \right)$ છે.
સીટી $A$ માટે (સ્ત્રોત સ્થિર,$v_s = 0$) અને અવલોકનકાર $25\,m/s$ ની ઝડપે દૂર જઈ રહ્યો છે $(v_o = 25\,m/s)$:
$n'_A = 500 \left( \frac{350 - 25}{350} \right) = 500 \times \frac{325}{350} \approx 464.28\,Hz$.
સીટી $B$ માટે (સ્ત્રોત $50\,m/s$ ની ઝડપે દૂર જઈ રહ્યો છે,$v_s = 50\,m/s$) અને અવલોકનકાર તેની તરફ $25\,m/s$ ની ઝડપે ગતિ કરી રહ્યો છે $(v_o = 25\,m/s)$:
$n'_B = 500 \left( \frac{350 + 25}{350 + 50} \right) = 500 \times \frac{375}{400} = 468.75\,Hz$.
અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિઓનો તફાવત: $\Delta n = |n'_B - n'_A| = |468.75 - 464.28| = 4.47\,Hz \approx 4.5\,Hz$.
આમ,વિધાનો $(B)$ અને $(C)$ સાચા છે.

(C) ધારો કે ધ્વનિની ઝડપ $v$ છે અને ઉદગમોની આવૃત્તિ $n$ છે. કારણ કે $\lambda = v/n$,તેથી $n = v/\lambda$ મળે.
પ્રથમ ઉદગમ માટે,અવલોકનકાર $u$ વેગથી દૂર જાય છે. તેથી આભાસી આવૃત્તિ $n_1 = n \left( \frac{v - u}{v} \right) = n \left( 1 - \frac{u}{v} \right) $ થશે.
બીજા ઉદગમ માટે,અવલોકનકાર $u$ વેગથી તેની નજીક આવે છે. તેથી આભાસી આવૃત્તિ $n_2 = n \left( \frac{v + u}{v} \right) = n \left( 1 + \frac{u}{v} \right) $ થશે.
બીટ આવૃત્તિ એ બે આભાસી આવૃત્તિઓનો તફાવત છે:
$|n_2 - n_1| = n \left( 1 + \frac{u}{v} \right) - n \left( 1 - \frac{u}{v} \right) = n \left( \frac{2u}{v} \right)$.
$n = v/\lambda$ મૂકતા,આપણને મળે:
બીટ આવૃત્તિ $= \left( \frac{v}{\lambda} \right) \left( \frac{2u}{v} \right) = \frac{2u}{\lambda}$.

(B) કાર $v_c$ ઝડપથી સ્થિર ટેકરી તરફ ગતિ કરતા ઉદગમ તરીકે વર્તે છે. ટેકરી સુધી પહોંચતા ધ્વનિ તરંગોની તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{v - v_c}{f}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધ્વનિ ટેકરી પરથી પરાવર્તિત થાય છે અને અવલોકનકારથી દૂર જતા ઉદગમ તરીકે વર્તે છે. અવલોકનકાર દ્વારા સાંભળવામાં આવતી પરાવર્તિત ધ્વનિની આવૃત્તિ $f' = f \left( \frac{v + v_o}{v - v_c} \right)$ છે.
અવલોકનકાર દ્વારા સાંભળવામાં આવતી સીધી ધ્વનિની આવૃત્તિ $f'' = f \left( \frac{v - v_o}{v - v_c} \right)$ છે.
બીટ આવૃત્તિ એ પરાવર્તિત ધ્વનિ અને સીધી ધ્વનિની આવૃત્તિ વચ્ચેનો તફાવત છે. આમ,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે કારણ કે તરંગલંબાઈ $\frac{v - v_c}{f}$ છે.

(D) જ્યારે ઉદ્ગમ $v_s$ વેગથી સ્થિર અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરતું હોય ત્યારે સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ $f'$ ડોપ્લર અસરના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $f' = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$.
આપેલ છે: ઉદ્ગમની આવૃત્તિ $f = 9500 \ Hz$,ધ્વનિનો વેગ $v = 300 \ ms^{-1}$,અને મહત્તમ શ્રાવ્ય આવૃત્તિ $f' = 10000 \ Hz$.
કિંમતો મૂકતા: $10000 = 9500 \left( \frac{300}{300 - v} \right)$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{10000}{9500} = \frac{300}{300 - v} \Rightarrow \frac{20}{19} = \frac{300}{300 - v}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $20(300 - v) = 19 \times 300 \Rightarrow 6000 - 20v = 5700$.
$20v = 300 \Rightarrow v = 15 \ ms^{-1}$.
આમ,$v$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $15 \ ms^{-1}$ છે.

(B) અવલોકનકાર (મોટરસાઇકલ) ગતિમાં છે અને ઉદગમ (સાયરન) સ્થિર છે. ડોપ્લર અસરનું સૂત્ર $n' = n \left( \frac{v - v_O}{v} \right)$ છે,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $v_O$ એ અવલોકનકારની ઝડપ છે.
આપેલ છે કે $n' = 0.94n$,તેથી $0.94n = n \left( \frac{330 - v_O}{330} \right)$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$0.94 \times 330 = 330 - v_O$.
$v_O = 330 - 310.2 = 19.8 \; m/s$.
મોટરસાઇકલ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે $(u = 0)$ અને $a = 2 \; m/s^2$ ના પ્રવેગથી ગતિ કરે છે. ગતિના સમીકરણ $v_O^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(19.8)^2 = 0^2 + 2 \times 2 \times s$.
$392.04 = 4s$.
$s = 98.01 \; m \approx 98 \; m$.

(A) જ્યારે ટ્રેન નજીક આવી રહી હોય ત્યારે અવલોકનકાર દ્વારા સાંભળવામાં આવતી આવૃત્તિ $f_1 = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $v = 320 \ ms^{-1}$ અને $v_s = 20 \ ms^{-1}$ છે.
$f_1 = 1000 \times \left( \frac{320}{320 - 20} \right) = 1000 \times \frac{320}{300} \ Hz$.
જ્યારે ટ્રેન દૂર જઈ રહી હોય, ત્યારે સાંભળવામાં આવતી આવૃત્તિ $f_2 = f \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$ છે.
$f_2 = 1000 \times \left( \frac{320}{320 + 20} \right) = 1000 \times \frac{320}{340} \ Hz$.
આવૃત્તિમાં થતો ફેરફાર $\Delta f = f_1 - f_2$ છે.
આવૃત્તિમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{f_1 - f_2}{f_1} \times 100 = \left( 1 - \frac{f_2}{f_1} \right) \times 100$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\left( 1 - \frac{320/340}{320/300} \right) \times 100 = \left( 1 - \frac{300}{340} \right) \times 100 = \left( \frac{40}{340} \right) \times 100 \approx 11.76 \% \approx 12 \%$.