Doppler’s Effect Questions in Gujarati

(B) ધારો કે $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $V$ એ ટ્રેન/અવલોકનકારની ઝડપ છે. મૂળભૂત આવૃત્તિ $n$ છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,ઉદગમ (ટ્રેન) સ્થિર અવલોકનકારથી દૂર જાય છે:
$n' = n \left( \frac{v}{v + V} \right)$
આપેલ છે કે $\frac{n}{n'} = 1.2$,તેથી $\frac{v + V}{v} = 1.2 \implies 1 + \frac{V}{v} = 1.2 \implies \frac{V}{v} = 0.2$.
બીજા કિસ્સામાં,ઉદગમ સ્થિર છે અને અવલોકનકાર તેનાથી દૂર જાય છે:
$n'' = n \left( \frac{v - V}{v} \right) = n \left( 1 - \frac{V}{v} \right)$
મૂળભૂત આવૃત્તિ અને આભાસી આવૃત્તિનો ગુણોત્તર $\frac{n}{n''} = \frac{1}{1 - \frac{V}{v}}$ છે.
$\frac{V}{v} = 0.2$ કિંમત મૂકતા:
$\frac{n}{n''} = \frac{1}{1 - 0.2} = \frac{1}{0.8} = 1.25$.
આમ,ગુણોત્તર $1.25: 1$ છે.

(D) ધારો કે ઉદગમની મૂળ આવૃત્તિ $F_{o}$ છે.
ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે અવલોકનકાર સ્થિર ઉદગમ તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $F_{1}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$F_{1} = F_{o} \left[ \frac{V + V_{1}}{V} \right]$ ...$(1)$
જ્યારે અવલોકનકાર સ્થિર ઉદગમથી દૂર ગતિ કરે છે,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $F_{2}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$F_{2} = F_{o} \left[ \frac{V - V_{1}}{V} \right]$ ...$(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{F_{1}}{F_{2}} = \frac{V + V_{1}}{V - V_{1}}$
આપેલ છે કે $\frac{F_{1}}{F_{2}} = 2$,તેથી:
$2 = \frac{V + V_{1}}{V - V_{1}}$
$2(V - V_{1}) = V + V_{1}$
$2V - 2V_{1} = V + V_{1}$
$V = 3V_{1}$
તેથી,$\frac{V}{V_{1}} = 3$.

(A) જ્યારે કોઈ અવરોધ સ્થિર સ્ત્રોત તરફ $v$ વેગથી ગતિ કરે છે,ત્યારે પરાવર્તિત ધ્વનિ તરંગની આવૃત્તિ $f_{r}$ એ ડોપ્લર અસરના સૂત્ર મુજબ $f_{r} = f \left(\frac{c+v}{c-v}\right)$ મળે છે.
પરાવર્તન પછી માધ્યમ સમાન હોવાથી ધ્વનિની ઝડપ $c$ અચળ રહે છે,તેથી આપણે $c = f \lambda$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
પરાવર્તિત તરંગ માટે,$c = f_{r} \lambda_{r}$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda_{r} = \frac{c}{f_{r}}$.
$f_{r}$ નું સૂત્ર મૂકતા:
$\lambda_{r} = \frac{c}{f \left(\frac{c+v}{c-v}\right)} = \frac{c}{f} \left(\frac{c-v}{c+v}\right)$.
અહીં $\frac{c}{f} = \lambda$ હોવાથી,આપણને $\lambda_{r} = \left(\frac{c-v}{c+v}\right) \lambda$ મળે છે.

(D) $\text{આપેલ છે: સ્ત્રોતનો વેગ } V_s = 30 \,m/s, \text{સ્ત્રોતની આવૃત્તિ } n_0 = 256 \,Hz, \text{અને ધ્વનિની ઝડપ } V = 330 \,m/s.
\text{જ્યારે સ્ત્રોત સ્થિર અવલોકનકારની નજીક આવે છે, ત્યારે અનુભવાતી આવૃત્તિ } n_1 = n_0 \left( \frac{V}{V - V_s} \right) \text{ દ્વારા મળે છે.}
\text{જ્યારે સ્ત્રોત અવલોકનકારને પસાર કર્યા પછી દૂર જાય છે, ત્યારે અનુભવાતી આવૃત્તિ } n_2 = n_0 \left( \frac{V}{V + V_s} \right) \text{ દ્વારા મળે છે.}
\text{આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર } \frac{n_1}{n_2} = \frac{n_0 \left( \frac{V}{V - V_s} \right)}{n_0 \left( \frac{V}{V + V_s} \right)} = \frac{V + V_s}{V - V_s} \text{ થાય છે.}
\text{કિંમતો મૂકતા: } \frac{n_1}{n_2} = \frac{330 + 30}{330 - 30} = \frac{360}{300} = \frac{6}{5}$.

(C) ડોપ્લર અસર એ સ્ત્રોત અને અવલોકનકારને જોડતી રેખા પર તેમના સાપેક્ષ વેગ પર આધાર રાખે છે।
આ કિસ્સામાં,એન્જિન વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરે છે અને અવલોકનકાર કેન્દ્ર પર છે।
એન્જિનનો વેગ સદિશ હંમેશા વર્તુળાકાર માર્ગને સ્પર્શક હોય છે।
અવલોકનકાર (કેન્દ્ર પર) અને સ્ત્રોત (પરિઘ પર) ને જોડતી રેખા એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે।
વર્તુળનો સ્પર્શક હંમેશા સ્પર્શ બિંદુએ ત્રિજ્યાને લંબ હોવાથી,સ્ત્રોતનો વેગ હંમેશા સ્ત્રોત અને અવલોકનકારને જોડતી રેખાને લંબ હોય છે।
તેથી,દ્રષ્ટિરેખાની દિશામાં સ્ત્રોતના વેગનો ઘટક $v_s \cos(90^{\circ}) = 0$ થાય છે।
સ્ત્રોત અને અવલોકનકારને જોડતી રેખા પર કોઈ સાપેક્ષ વેગ ન હોવાથી,કોઈ ડોપ્લર શિફ્ટ થતી નથી।
આમ,અવલોકનકાર દ્વારા સાંભળવામાં આવતી આવૃત્તિ સ્ત્રોતની આવૃત્તિ જેટલી જ રહે છે,જે $250 \,Hz$ છે।

(A) ડોપ્લર અસર મુજબ,અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ $n_a = n \left[ \frac{v \pm v_0}{v \mp v_s} \right]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અવલોકનકાર સ્થિર હોવાથી,$v_0 = 0$ છે.
જેમ સ્ત્રોત અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે,છેદ $(v - v_s)$ બને છે,તેથી $n_a = n \left[ \frac{v}{v - v_s} \right]$.
કારણ કે $(v - v_s) < v$,તેથી આભાસી આવૃત્તિ $n_a$ વધે છે.
માધ્યમમાં ધ્વનિની ઝડપ $v$ અચળ રહેતી હોવાથી અને $v = n_a \lambda_a$ હોવાથી,આવૃત્તિ $n_a$ માં વધારો થવાથી અવલોકિત તરંગલંબાઇ $\lambda_a$ માં ઘટાડો થાય છે.

(A) ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે અવલોકનકાર $v_0$ વેગ સાથે સ્થિર ઉદગમ તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $n^{\prime} = n \left( \frac{v + v_0}{v} \right)$ મળે છે.
જ્યારે અવલોકનકાર $v_0$ વેગ સાથે સ્થિર ઉદગમથી દૂર ગતિ કરે છે,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $n^{\prime \prime} = n \left( \frac{v - v_0}{v} \right)$ મળે છે.
આભાસી આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત $\Delta n = n^{\prime} - n^{\prime \prime}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta n = n \left( \frac{v + v_0}{v} \right) - n \left( \frac{v - v_0}{v} \right)$.
$\Delta n = \frac{n}{v} (v + v_0 - v + v_0) = \frac{n}{v} (2 v_0) = \frac{2 n v_0}{v}$.

(B) સ્થિર ઉદગમ દ્વારા ઉત્સર્જિત $f_0$ આવૃત્તિના અવાજ માટે,$v_o$ વેગથી ગતિ કરતા અવલોકનકાર દ્વારા અનુભવાતી આભાસી આવૃત્તિ $F = \left( \frac{V \pm v_o}{V} \right) f_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે અવલોકનકાર સ્થિર ઉદગમ તરફ $V_1$ વેગથી ગતિ કરે છે,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $F_1 = \left( \frac{V + V_1}{V} \right) f_0$ છે $(i)$.
જ્યારે અવલોકનકાર સ્થિર ઉદગમથી દૂર $V_1$ વેગથી ગતિ કરે છે,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $F_2 = \left( \frac{V - V_1}{V} \right) f_0$ છે $(ii)$.
સમીકરણ $(i)$ ને $(ii)$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{F_1}{F_2} = \frac{V + V_1}{V - V_1}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\frac{F_1}{F_2} = 2$,તેથી $2 = \frac{V + V_1}{V - V_1}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $2(V - V_1) = V + V_1$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $2V - 2V_1 = V + V_1$ થાય છે.
પદોને ગોઠવતા,$2V - V = 2V_1 + V_1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $V = 3V_1$.
તેથી,$\frac{V}{V_1} = 3$.

(D) સ્થિર ઉદગમ તરફ ગતિ કરતા અવલોકનકાર માટે ડોપ્લર અસરનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $n' = n \left( \frac{v + v_o}{v} \right)$,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિનો વેગ છે અને $v_o$ એ અવલોકનકારનો વેગ છે.
અહીં આપેલ છે કે $v_o = \frac{v}{5}$,તેથી સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$n' = n \left( \frac{v + v/5}{v} \right) = n \left( \frac{6v/5}{v} \right) = 1.2n$.
આવૃત્તિમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{n' - n}{n} = \frac{1.2n - n}{n} = 0.2$ છે.
ટકાવારી વધારો શોધવા માટે,આપણે તેને $100$ વડે ગુણીએ: $0.2 \times 100 \% = 20 \%$.

(B) ડોપ્લર અસર મુજબ, જ્યારે ઉદગમ સ્થિર અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરતું હોય ત્યારે અવલોકનકાર દ્વારા સાંભળવામાં આવતી આભાસી આવૃત્તિ $f^{\prime}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$f^{\prime} = \left( \frac{v}{v - v_{s}} \right) f$
જ્યાં:
$f = 340 \,Hz$ (ઉદગમની આવૃત્તિ)
$v = 340 \,ms^{-1}$ (ધ્વનિની ઝડપ)
$v_{s} = 10 \,ms^{-1}$ (ઉદગમ/ટ્રેનની ઝડપ)
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$f^{\prime} = \left( \frac{340}{340 - 10} \right) \times 340$
$f^{\prime} = \left( \frac{340}{330} \right) \times 340$
$f^{\prime} = \frac{115600}{330} \approx 350.3 \,Hz$
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા, સાંભળવામાં આવતી આવૃત્તિ $350 \,Hz$ છે।

(A) મોટરસાયકલ સવાર ખડક તરફ ગતિ કરે છે,તેથી ખડક પરાવર્તિત અવાજના સ્થિર સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે.
મોટરસાયકલ સવારની ઝડપ,$v_o = 18 \ km/h = 18 \times \frac{5}{18} \ m/s = 5 \ m/s$.
હોર્નની આવૃત્તિ,$f = 325 \ Hz$.
હવામાં અવાજની ઝડપ,$v = 330 \ m/s$.
ડોપ્લર અસરના સૂત્ર મુજબ,ગતિશીલ અવલોકનકાર અને સ્થિર સ્ત્રોત માટે મોટરસાયકલ સવાર દ્વારા સંભળાતી પરાવર્તિત અવાજની આવૃત્તિ:
$f' = f \left( \frac{v + v_o}{v} \right) = 325 \left( \frac{330 + 5}{330} \right) = 325 \left( \frac{335}{330} \right) \approx 329.92 \ Hz$.
સંભળાતા બીટ્સની સંખ્યા એ પરાવર્તિત આવૃત્તિ અને મૂળ આવૃત્તિ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$\Delta f = f' - f = 329.92 - 325 = 4.92 \ Hz \approx 5 \ Hz$.

(B) વ્યક્તિ ટ્યુનિંગ ફોર્ક સાથે દીવાલ તરફ ગતિ કરી રહી છે। ટ્યુનિંગ ફોર્કમાંથી સીધો સંભળાતો અવાજ $f = 338 \,Hz$ છે।
દીવાલ પરથી પરાવર્તિત થઈને આવતો અવાજ વ્યક્તિને સંભળાય છે। દીવાલ સ્થિર સ્ત્રોત તરીકે વર્તે છે અને વ્યક્તિ દીવાલ તરફ ગતિ કરે છે।
દીવાલ દ્વારા પરાવર્તિત અવાજની આવૃત્તિ $f' = f \left( \frac{v + v_0}{v - v_0} \right)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે।
અહીં $v = 340 \,ms^{-1}$ અને $v_0 = 2 \,ms^{-1}$ છે।
તેથી, $f' = 338 \left( \frac{340 + 2}{340 - 2} \right) = 338 \left( \frac{342}{338} \right) = 342 \,Hz$.
બીટ આવૃત્તિ = $f' - f = 342 - 338 = 4 \,Hz$.

(D) ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે ધ્વનિનો સ્ત્રોત અચળ ઝડપ $v_s$ થી સ્થિર અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે અવલોકન કરેલી આવૃત્તિ $n'$ એ $n' = n \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ હવામાં ધ્વનિની ઝડપ છે. કારણ કે $v - v_s < v$,તેથી $n' > n$ થાય છે. જ્યાં સુધી ટ્રેન અચળ ઝડપે અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે ત્યાં સુધી આ આવૃત્તિ અચળ રહે છે.
જ્યારે ટ્રેન અવલોકનકાર પાસેથી પસાર થાય છે અને દૂર જાય છે,ત્યારે સ્ત્રોત હવે સ્થિર અવલોકનકારથી દૂર જઈ રહ્યો છે. અવલોકન કરેલી આવૃત્તિ $n''$ એ $n'' = n \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કારણ કે $v + v_s > v$,તેથી $n'' < n$ થાય છે. જ્યાં સુધી ટ્રેન અચળ ઝડપે દૂર જાય છે ત્યાં સુધી આ આવૃત્તિ પણ અચળ રહે છે.
તેથી,અવલોકનકાર પાસેથી પસાર થતા પહેલા આવૃત્તિ એ વાસ્તવિક આવૃત્તિ $n$ કરતા વધારે હોય છે અને પસાર થયા પછી $n$ કરતા ઓછી કિંમત પર ઘટી જાય છે. આ સ્ટેપ જેવો ફેરફાર વિકલ્પ $D$ માં આપેલા આલેખ દ્વારા યોગ્ય રીતે દર્શાવવામાં આવ્યો છે.

(C) આપેલ છે: સ્ત્રોતનો વેગ $v_s = 50 \ m/s$,ધ્વનિની ઝડપ $v = 350 \ m/s$,અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરતી વખતે મપાયેલ આવૃત્તિ $f' = 500 \ Hz$.
સ્થિર અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરતા સ્ત્રોત માટે ડોપ્લર અસરનું સૂત્ર:
$f' = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right) \rightarrow (1)$
જ્યારે સ્ત્રોત સ્થિર અવલોકનકારથી દૂર જાય છે,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $f''$ નીચે મુજબ મળે છે:
$f'' = f \left( \frac{v}{v + v_s} \right) \rightarrow (2)$
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{f'}{f''} = \frac{v + v_s}{v - v_s}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{500}{f''} = \frac{350 + 50}{350 - 50} = \frac{400}{300} = \frac{4}{3}$
$f'' = 500 \times \frac{3}{4} = 375 \ Hz$.
આમ,આભાસી આવૃત્તિ $375 \ Hz$ છે.

(C) ચામાચીડિયું સ્ત્રોત અને અવલોકનકાર બંને તરીકે કાર્ય કરે છે જે સ્થિર દીવાલ તરફ ગતિ કરે છે.
પ્રથમ, દીવાલ દ્વારા પ્રાપ્ત થતી આવૃત્તિ $f'$ ડોપ્લર અસરના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$f' = f \left( \frac{v}{v - v_b} \right)$
જ્યાં $v = 330 \,ms^{-1}$ એ અવાજનો વેગ છે અને $v_b = 4 \,ms^{-1}$ એ ચામાચીડિયાની ઝડપ છે.
ત્યારબાદ, દીવાલ આ અવાજને પરાવર્તિત કરે છે, અને ચામાચીડિયું ગતિશીલ અવલોકનકાર તરીકે સ્થિર સ્ત્રોત (દીવાલ) પાસેથી પરાવર્તિત આવૃત્તિ $f''$ મેળવે છે:
$f'' = f' \left( \frac{v + v_b}{v} \right)$
$f'$ ની કિંમત $f''$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$f'' = f \left( \frac{v}{v - v_b} \right) \left( \frac{v + v_b}{v} \right) = f \left( \frac{v + v_b}{v - v_b} \right)$
$f'' = 90 \times 10^{3} \left( \frac{330 + 4}{330 - 4} \right) = 90 \times 10^{3} \left( \frac{334}{326} \right)$
$f'' \approx 90 \times 10^{3} \times 1.0245 = 92.21 \times 10^{3} \,Hz$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ, આવૃત્તિ $92.1 \times 10^{3} \,Hz$ છે.

(D) સ્થિર સ્ત્રોત તરફ ગતિ કરતા અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ $v'$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$v' = v \left( \frac{v + v_o}{v} \right)$
અહીં આપેલ છે કે આભાસી આવૃત્તિ $v'$ એ વાસ્તવિક આવૃત્તિ $v$ કરતા બમણી છે,તેથી $v' = 2v$.
આ કિંમતને સમીકરણમાં મૂકતા:
$2v = v \left( \frac{v + v_o}{v} \right)$
$2 = \frac{v + v_o}{v}$
$2v = v + v_o$
$v_o = v$
તેથી,અવલોકનકારે ધ્વનિના વેગ જેટલા જ વેગ $v$ થી સ્ત્રોત તરફ ગતિ કરવી જોઈએ.

(C) આ પ્રશ્નમાં ડોપ્લર અસરના બે તબક્કાઓનો સમાવેશ થાય છે.
પ્રથમ,દીવાલ એક અવલોકનકાર તરીકે કાર્ય કરે છે જે ગતિશીલ એન્જિન (સ્ત્રોત) પાસેથી અવાજ મેળવે છે. દીવાલ દ્વારા પ્રાપ્ત આવૃત્તિ $f_1 = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ છે,જ્યાં $f = 1.2 \ kHz$,$v = 350 \ m/s$,અને $v_s = 50 \ m/s$ છે.
$f_1 = 1.2 \left( \frac{350}{350 - 50} \right) = 1.2 \left( \frac{350}{300} \right) = 1.4 \ kHz$.
બીજું,દીવાલ એક સ્થિર સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે જે આ આવૃત્તિ $f_1$ ને ડ્રાઈવર (અવલોકનકાર) તરફ પરાવર્તિત કરે છે,જે $v_o = 50 \ m/s$ ના વેગથી દીવાલ તરફ ગતિ કરી રહ્યો છે.
ડ્રાઈવર દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિ $f' = f_1 \left( \frac{v + v_o}{v} \right)$ છે.
$f' = 1.4 \left( \frac{350 + 50}{350} \right) = 1.4 \left( \frac{400}{350} \right) = 1.4 \times \frac{8}{7} = 1.6 \ kHz$.

(B) આપેલ છે:
ઉદગમોની આવૃત્તિ $f_A = f_B = 680 \,Hz$.
ધ્વનિની ઝડપ $v_s = 340 \,ms^{-1}$.
શ્રોતાનો વેગ $v$ છે.
બીટ આવૃત્તિ $n = 10 \,Hz$.
જેમ શ્રોતા $A$ થી $B$ તરફ ગતિ કરે છે, તે $B$ ની નજીક જાય છે અને $A$ થી દૂર જાય છે.
$A$ થી મળતી આભાસી આવૃત્તિ $f'_A = f_A \left( \frac{v_s - v}{v_s} \right)$ છે.
$B$ થી મળતી આભાસી આવૃત્તિ $f'_B = f_B \left( \frac{v_s + v}{v_s} \right)$ છે.
બીટ આવૃત્તિ $n = f'_B - f'_A$ છે.
$10 = 680 \left( \frac{340 + v}{340} \right) - 680 \left( \frac{340 - v}{340} \right)$.
$10 = \frac{680}{340} (340 + v - 340 + v)$.
$10 = 2 (2v)$.
$10 = 4v$.
$v = \frac{10}{4} = 2.5 \,ms^{-1}$.

(C) ધારો કે ધ્વનિની ઝડપ $v$ છે. સ્ત્રોતની ઝડપ $v_s = 0.1v$ અને અવલોકનકારની ઝડપ $v_o = 0.1v$ છે.
બંને એકબીજાની નજીક આવી રહ્યા હોવાથી,ડોપ્લર અસરના સૂત્ર મુજબ સંભળાતી આવૃત્તિ $f'$ નીચે મુજબ મળે:
$f' = f \left( \frac{v + v_o}{v - v_s} \right)$
કિંમતો મૂકતા:
$f' = f \left( \frac{v + 0.1v}{v - 0.1v} \right) = f \left( \frac{1.1v}{0.9v} \right) = f \left( \frac{11}{9} \right)$
$f' \approx 1.222f$
આવૃત્તિમાં થતો ફેરફાર $\Delta f = f' - f = 1.222f - f = 0.222f$ છે.
ટકાવારી ફેરફાર $\frac{\Delta f}{f} \times 100 = 0.222 \times 100 = 22.2 \%$ થાય.

(A) આપેલ છે: હોર્નની આવૃત્તિ $f = 1000 \,Hz$,ધ્વનિની ઝડપ $v = 340 \,ms^{-1}$.
જ્યારે કાર અવલોકનકારની નજીક આવે છે,ત્યારે નોંધાયેલ આવૃત્તિ $f_1 = \left(\frac{v}{v-v_s}\right) f$ થાય.
જ્યારે કાર અવલોકનકારથી દૂર જાય છે,ત્યારે નોંધાયેલ આવૃત્તિ $f_2 = \left(\frac{v}{v+v_s}\right) f$ થાય.
આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $\frac{f_1}{f_2} = \frac{11}{9}$ આપેલ છે.
સૂત્રો મૂકતા: $\frac{f_1}{f_2} = \frac{v+v_s}{v-v_s} = \frac{11}{9}$.
$\frac{340+v_s}{340-v_s} = \frac{11}{9}$.
$9(340+v_s) = 11(340-v_s)$.
$3060 + 9v_s = 3740 - 11v_s$.
$20v_s = 680$.
$v_s = 34 \,ms^{-1}$.

(B) આપેલ છે: ઉદગમની ઝડપ $v_s = 50 \,m/s$, અવલોકનકારની ઝડપ $v_o = -50 \,m/s$ (ઉદગમ તરફ ગતિ કરે છે), ધ્વનિની ઝડપ $v = 350 \,m/s$, અને ઉદગમની આવૃત્તિ $f = 250 \,Hz$.
ડોપ્લર અસર મુજબ, અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિ $f'$ નીચે મુજબ છે:
$f' = f \left( \frac{v - v_o}{v - v_s} \right) = 250 \left( \frac{350 - (-50)}{350 - 50} \right) = 250 \left( \frac{400}{300} \right) = \frac{1000}{3} \,Hz$.
ઉદગમ દ્વારા ઉત્સર્જિત તરંગલંબાઈ $\lambda' = \frac{v - v_s}{f} = \frac{350 - 50}{250} = \frac{300}{250} = 1.2 \,m = 120 \,cm$.

(A) ધારો કે ધ્વનિની ઝડપ $v$ છે અને સ્ત્રોતની વાસ્તવિક આવૃત્તિ $f$ છે.
આપેલ છે કે સ્ત્રોત સ્થિર શ્રોતા તરફ $v_s = v/10$ ઝડપે ગતિ કરે છે.
ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે સ્ત્રોત સ્થિર અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે ત્યારે સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ $f^{\prime}$ નીચે મુજબ છે:
$f^{\prime} = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$
$v_s$ ની કિંમત મૂકતા:
$f^{\prime} = f \left( \frac{v}{v - v/10} \right)$
$f^{\prime} = f \left( \frac{v}{9v/10} \right)$
$f^{\prime} = f \left( \frac{10}{9} \right)$
તેથી,આભાસી આવૃત્તિ અને વાસ્તવિક આવૃત્તિનો ગુણોત્તર:
$\frac{f^{\prime}}{f} = \frac{10}{9}$

(A) અહીં ઉદગમ સ્થિર છે,તેથી ઉદગમનો વેગ $v_s = 0$ છે. અવલોકનકાર $v_o$ વેગથી ઉદગમ તરફ ગતિ કરે છે.
ડોપ્લર અસર મુજબ,અવલોકિત આવૃત્તિ $f$ નીચે મુજબ મળે છે:
$f = \left( \frac{v + v_o}{v} \right) f_o$
આપેલ છે કે અવલોકિત આવૃત્તિ સાચી આવૃત્તિ $f_o$ કરતા $1\%$ વધારે છે,તેથી:
$f = f_o + 0.01 f_o = 1.01 f_o$
આ કિંમત ડોપ્લરના સૂત્રમાં મૂકતા:
$1.01 f_o = \left( \frac{v + v_o}{v} \right) f_o$
$1.01 = 1 + \frac{v_o}{v}$
$0.01 = \frac{v_o}{v}$
$\frac{v_o}{v} = \frac{1}{100}$
આમ,અવલોકનકારનો વેગ અને ધ્વનિના વેગનો ગુણોત્તર $1:100$ છે.

(A) જ્યારે અવલોકનકાર સ્થિર ધ્વનિના ઉદગમ તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે અવલોકનકારને સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિમાં વધારો થાય છે.
ડોપ્લર અસર માટેનું સામાન્ય સૂત્ર $f^{\prime} = f \left( \frac{v + v_0}{v - v_s} \right)$ છે.
અહીં ઉદગમ સ્થિર હોવાથી,$v_s = 0$ થશે.
આપેલ છે કે અવલોકનકારની ઝડપ $v_0 = \frac{v}{5}$ છે,તેથી આભાસી આવૃત્તિ $f^{\prime}$ નીચે મુજબ મળે:
$f^{\prime} = f \left( \frac{v + \frac{v}{5}}{v} \right) = f \left( \frac{1.2v}{v} \right) = 1.2 f$.
ધ્વનિ તરંગોની તરંગલંબાઈ માત્ર ઉદગમ અને માધ્યમ પર આધાર રાખે છે. ઉદગમ સ્થિર હોવાથી અને માધ્યમ બદલાતું ન હોવાથી,અવલોકનકાર સુધી પહોંચતી તરંગલંબાઈ $\lambda$ જ રહેશે.
તેથી,અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ $1.2 f$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda$ છે.

(B) આપેલ છે,ઉદગમની આવૃત્તિ,$f_s = 5 \text{ kHz}$.
ટ્રેન $A$ માં રહેલા મુસાફર માટે,અવલોકિત આવૃત્તિ $f_A = 5.5 \text{ kHz}$ છે.
સ્થિર ઉદગમ તરફ ગતિ કરતા અવલોકનકાર માટે ડોપ્લર અસરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $f_A = f_s \left( \frac{v + v_A}{v} \right)$,જ્યાં $v$ એ અવાજની ઝડપ છે.
$5.5 = 5 \left( 1 + \frac{v_A}{v} \right) \implies 1.1 = 1 + \frac{v_A}{v} \implies \frac{v_A}{v} = 0.1$ --- $(i)$
ટ્રેન $B$ માં રહેલા મુસાફર માટે,અવલોકિત આવૃત્તિ $f_B = 6 \text{ kHz}$ છે.
તે જ રીતે,$f_B = f_s \left( \frac{v + v_B}{v} \right)$.
$6 = 5 \left( 1 + \frac{v_B}{v} \right) \implies 1.2 = 1 + \frac{v_B}{v} \implies \frac{v_B}{v} = 0.2$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{v_B / v}{v_A / v} = \frac{0.2}{0.1} = 2$.
આમ,ટ્રેન $B$ ની ઝડપ અને ટ્રેન $A$ ની ઝડપનો ગુણોત્તર $2$ છે.

(C) આપેલ છે, સ્પ્રિંગનો કંપવિસ્તાર, $A = 50 \,cm = 0.5 \,m$.
ધ્વનિ સ્ત્રોતનું દળ, $m = 100 \,g = 0.1 \,kg$.
ધ્વનિની ઝડપ, $v = 340 \,ms^{-1}$.
અવલોકનકાર દ્વારા સાંભળવામાં આવતી મહત્તમ આવૃત્તિ $n_{\max} = n_{\min} + 0.125 n_{\min} = 1.125 n_{\min}$ છે।
ગતિ કરતા સ્ત્રોત માટે ડોપ્લર અસરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$n_{\max} = \frac{n_0 v}{v - v_{s\max}} \quad (i)$
$n_{\min} = \frac{n_0 v}{v + v_{s\max}} \quad (ii)$
$(i)$ ને $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{n_{\max}}{n_{\min}} = \frac{v + v_{s\max}}{v - v_{s\max}} = 1.125$
$v + v_{s\max} = 1.125(v - v_{s\max})$
$v + v_{s\max} = 1.125v - 1.125v_{s\max}$
$2.125 v_{s\max} = 0.125v$
$v_{s\max} = \frac{0.125 \times 340}{2.125} = \frac{42.5}{2.125} = 20 \,ms^{-1}$.
સ્પ્રિંગ-દળ તંત્ર માટે, $v_{s\max} = A\omega = A\sqrt{\frac{k}{m}}$.
$20 = 0.5 \sqrt{\frac{k}{0.1}}$
$40 = \sqrt{\frac{k}{0.1}}$
$1600 = \frac{k}{0.1}$
$k = 160 \,N m^{-1}$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $(c)$ છે।

(B) ધારો કે ટ્રેનનું સ્થાન $T$,ક્રોસિંગ $C$ અને અવલોકનકાર $O$ છે. અંતર $TC = 288 \ m$ અને $CO = 384 \ m$ છે. અંતર $TO = \sqrt{288^2 + 384^2} = \sqrt{82944 + 147456} = \sqrt{230400} = 480 \ m$ છે.
ટ્રેન અને અવલોકનકારને જોડતી રેખા પર ટ્રેનના વેગનો ઘટક એ અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરતા ઉદગમનો અસરકારક વેગ છે.
ધારો કે $v_s$ એ ટ્રેનનો વેગ છે $(120 \ km/h = 120 \times \frac{5}{18} \ m/s = \frac{100}{3} \ m/s)$.
ખૂણો $\theta$ એ ટ્રેક અને રેખા $TO$ વચ્ચેનો છે. ભૂમિતિ પરથી,$\cos \theta = \frac{TC}{TO} = \frac{288}{480} = \frac{3}{5} = 0.6$.
અવલોકનકાર તરફ ઉદગમનો વેગ $u = v_s \cos \theta = \frac{100}{3} \times 0.6 = 20 \ m/s$ છે.
સ્થિર અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરતા ઉદગમ માટે ડોપ્લર અસરનું સૂત્ર વાપરતા:
$f' = f \left( \frac{v}{v - u} \right)$
જ્યાં $f = 576 \ Hz$,$v = 340 \ m/s$,અને $u = 20 \ m/s$.
$f' = 576 \left( \frac{340}{340 - 20} \right) = 576 \left( \frac{340}{320} \right) = 576 \times 1.0625 = 612 \ Hz$.

(B) આપેલ છે: પોલીસ કારનો વેગ, $v_{s_1} = 22 \,ms^{-1}$.
હવામાં ધ્વનિની ઝડપ, $v = 330 \,ms^{-1}$.
પોલીસ કારના હોર્નની આવૃત્તિ, $f_1 = 176 \,Hz$.
સ્થિર સાયરનની આવૃત્તિ, $f_2 = 165 \,Hz$.
ધારો કે મોટરસાયકલ સવારનો વેગ $v_0$ છે.
પોલીસ કારમાંથી મોટરસાયકલ સવાર દ્વારા સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ $f_1^{\prime}$ (સ્ત્રોત અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે, અવલોકનકાર સ્ત્રોતથી દૂર ગતિ કરે છે):
$f_1^{\prime} = \left( \frac{v - v_0}{v - v_{s_1}} \right) f_1 = \left( \frac{330 - v_0}{330 - 22} \right) \times 176 = \left( \frac{330 - v_0}{308} \right) \times 176$
સ્થિર સાયરનમાંથી મોટરસાયકલ સવાર દ્વારા સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ $f_2^{\prime}$ (સ્ત્રોત સ્થિર છે, અવલોકનકાર સ્ત્રોત તરફ ગતિ કરે છે):
$f_2^{\prime} = \left( \frac{v + v_0}{v} \right) f_2 = \left( \frac{330 + v_0}{330} \right) \times 165$
બીટ્સની સંખ્યા શૂન્ય હોવાથી, $f_1^{\prime} = f_2^{\prime}$:
$\left( \frac{330 - v_0}{308} \right) \times 176 = \left( \frac{330 + v_0}{330} \right) \times 165$
$\left( 330 - v_0 \right) \times \frac{176}{308} = \left( 330 + v_0 \right) \times \frac{165}{330}$
$\left( 330 - v_0 \right) \times 0.5714 = \left( 330 + v_0 \right) \times 0.5$
$188.56 - 0.5714 v_0 = 165 + 0.5 v_0$
$23.56 = 1.0714 v_0$
$v_0 = 22 \,ms^{-1}$
આમ, મોટરસાયકલની ઝડપ $22 \,ms^{-1}$ છે. સાચો વિકલ્પ $(b)$ છે.

(C) ઉદગમ સ્થિર છે, તેથી પરાવર્તક સુધી પહોંચતા ધ્વનિની આવૃત્તિ $f = 160 \,Hz$ છે। ધ્વનિની ઝડપ $v = 340 \,m/s$ છે। આપાત તરંગની તરંગલંબાઈ $\lambda = v/f = 340/160 = 17/8 \,m$ છે.
જ્યારે પરાવર્તક $v_r = 20 \,m/s$ ના વેગથી ઉદગમ તરફ ગતિ કરે છે, ત્યારે પરાવર્તિત તરંગની આવૃત્તિ $f'$ એ ડોપ્લર અસરના સૂત્ર મુજબ મળે છે:
$f' = f \left( \frac{v + v_r}{v - v_r} \right) = 160 \left( \frac{340 + 20}{340 - 20} \right) = 160 \left( \frac{360}{320} \right) = 180 \,Hz$.
પરાવર્તિત તરંગની તરંગલંબાઈ $\lambda' = v/f' = 340/180 = 17/9 \,m$ થાય.

(D) ઉદગમનું સ્થાન $x = 3 \sin \omega t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉદગમનો તાત્ક્ષણિક વેગ $v_s = \frac{dx}{dt} = 3 \omega \cos \omega t$ છે.
ઉદગમનો મહત્તમ વેગ $v_{s, \max} = 3 \omega$ છે.
ડોપ્લર અસર મુજબ,અવલોકિત આવૃત્તિ $f'$ એ $f' = f \left( \frac{v}{v \mp v_s} \right)$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $v = 330 \,ms^{-1}$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે.
મહત્તમ આવૃત્તિ $f_{\max} = f \left( \frac{v}{v - v_{s, \max}} \right)$ અને ન્યૂનતમ આવૃત્તિ $f_{\min} = f \left( \frac{v}{v + v_{s, \max}} \right)$ છે.
આપેલ છે કે $f_{\max} - f_{\min} = 22 \,Hz$,તેથી:
$120 \left( \frac{330}{330 - 3 \omega} - \frac{330}{330 + 3 \omega} \right) = 22$
$120 \times 330 \left( \frac{(330 + 3 \omega) - (330 - 3 \omega)}{330^2 - (3 \omega)^2} \right) = 22$
$120 \times 330 \left( \frac{6 \omega}{108900 - 9 \omega^2} \right) = 22$
કારણ કે $v_s \ll v$,આપણે $330^2 - (3 \omega)^2 \approx 330^2$ લઈ શકીએ:
$120 \times 330 \times \frac{6 \omega}{330 \times 330} = 22$
$120 \times \frac{6 \omega}{330} = 22$
$120 \times \frac{2 \omega}{110} = 22$
$240 \omega = 2420 \Rightarrow \omega \approx 10 \,rad \,s^{-1}$.

(C)
જ્યારે અવલોકનકાર $O$ અને ઉદ્ગમ $S$ બંને એકબીજા તરફ તેમની મહત્તમ ઝડપથી ગતિ કરતા હોય ત્યારે અવલોકન કરેલી આવૃત્તિ મહત્તમ હોય છે।
સરળ આવર્ત ગતિ માટે, મહત્તમ ઝડપ $v_m = A\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $A$ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ કોણીય ઝડપ છે।
આપેલ છે કે $A = 0.5 \,m$ અને $\omega = 40 \,rad/s$, તેથી દરેક બ્લોકની મહત્તમ ઝડપ:
$v_m = 0.5 \times 40 = 20 \,m/s$
ડોપ્લર અસર મુજબ, અવલોકન કરેલી આવૃત્તિ $f'$ નીચે મુજબ છે:
$f' = f \left( \frac{v + v_o}{v - v_s} \right)$
જ્યાં $v = 340 \,m/s$ ધ્વનિની ઝડપ છે, $v_o = 20 \,m/s$ અવલોકનકારની ઝડપ છે, અને $v_s = 20 \,m/s$ ઉદ્ગમની ઝડપ છે।
કિંમતો મૂકતા:
$f_{\max} = 288 \times \left( \frac{340 + 20}{340 - 20} \right)$
$f_{\max} = 288 \times \left( \frac{360}{320} \right)$
$f_{\max} = 288 \times 1.125 = 324 \,Hz$

(B) સ્થિર સ્ત્રોતથી દૂર જતા અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ $f'$ ડોપ્લર અસરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $f' = f \left( \frac{v - v_o}{v} \right)$,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $v_o$ એ અવલોકનકારનો વેગ છે.
આપેલ છે કે $f' = 0.94f$,તેથી $0.94f = f \left( \frac{330 - v_o}{330} \right)$.
$0.94 = \frac{330 - v_o}{330} \implies 310.2 = 330 - v_o \implies v_o = 330 - 310.2 = 19.8 \,m/s$.
મોટરસાયકલ સ્થિર સ્થિતિ $(u = 0)$ થી $a = 2 \,m/s^2$ ના પ્રવેગ સાથે શરૂ થાય છે. ગતિના સમીકરણ $v_o = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા:
$19.8 = 0 + 2t \implies t = 9.9 \,s$.
કાપેલું અંતર $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ દ્વારા મળે છે:
$s = 0 + \frac{1}{2} \times 2 \times (9.9)^2 = 98.01 \,m$.
આમ,અંતર આશરે $98 \,m$ છે.

(C) ધારો કે $v = 340 \, ms^{-1}$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે, $v_o$ એ અવલોકનકારની ઝડપ છે, $f_A = 170 \, Hz$ એ સ્ત્રોત $A$ ની આવૃત્તિ છે, અને $f_B = 240 \, Hz$ એ સ્ત્રોત $B$ ની આવૃત્તિ છે।
અવલોકનકાર $A$ તરફ ગતિ કરી રહ્યો હોવાથી, $A$ માંથી સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ $f'_A = f_A \left( \frac{v + v_o}{v} \right)$ છે।
અવલોકનકાર $B$ થી દૂર જઈ રહ્યો છે (કારણ કે $B$ એ $A$ તરફ ગતિ કરે છે અને અવલોકનકાર તેમની વચ્ચે $A$ તરફ ગતિ કરે છે), તેથી $B$ માંથી સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ $f'_B = f_B \left( \frac{v - v_o}{v - v_B} \right)$ છે, જ્યાં $v_B = 20 \, ms^{-1}$।
બીટ્સની સંખ્યા શૂન્ય હોવા માટે, $f'_A = f'_B$।
$170 \left( \frac{340 + v_o}{340} \right) = 240 \left( \frac{340 - v_o}{340 - 20} \right)$.
$170 \left( \frac{340 + v_o}{340} \right) = 240 \left( \frac{340 - v_o}{320} \right)$.
$\frac{17}{34} (340 + v_o) = \frac{24}{32} (340 - v_o)$.
$0.5 (340 + v_o) = 0.75 (340 - v_o)$.
$170 + 0.5 v_o = 255 - 0.75 v_o$.
$1.25 v_o = 85$.
$v_o = \frac{85}{1.25} = 68 \, ms^{-1}$.

(D) હોર્નમાંથી સીધો સંભળાતા અવાજની આવૃત્તિ $f_0 = 165 \, Hz$ છે.
દીવાલ પરથી પરાવર્તિત થઈને આવતા અવાજની આવૃત્તિ ડોપ્લર અસરના સૂત્ર દ્વારા મળે છે (બસ દીવાલની સાપેક્ષમાં ઉદગમ અને અવલોકનકાર બંને છે).
પરાવર્તન પછી સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ $f' = f_0 \left( \frac{v + v_b}{v - v_b} \right)$ છે, જ્યાં $v = 335 \, ms^{-1}$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $v_b = 5 \, ms^{-1}$ એ બસની ઝડપ છે.
કિંમતો મૂકતા: $f' = 165 \left( \frac{335 + 5}{335 - 5} \right) = 165 \left( \frac{340}{330} \right) = 165 \times \frac{34}{33} = 5 \times 34 = 170 \, Hz$.
પ્રતિ સેકન્ડ સંભળાતા બીટ્સની સંખ્યા એ પરાવર્તિત આવૃત્તિ અને મૂળ આવૃત્તિ વચ્ચેનો તફાવત છે: $f_{beats} = |f' - f_0| = |170 - 165| = 5 \, Hz$.

(B) વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $r = 100 \,cm = 1 \,m$ છે। કોણીય વેગ $\omega = 20 \,rad/s$ છે। સ્ત્રોતનો રેખીય વેગ $v_s = r\omega = 1 \times 20 = 20 \,m/s$ છે।
અવલોકનકાર વર્તુળના કેન્દ્રથી $5 \,m$ ના અંતરે છે। ડોપ્લર અસરના સૂત્ર મુજબ: $f' = f \left( \frac{v}{v \mp v_s} \right)$.
મહત્તમ આવૃત્તિ માટે (સ્ત્રોત અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે): $f_{max} = 288 \times \left( \frac{340}{340 - 20} \right) = 288 \times \left( \frac{340}{320} \right) = 306 \,Hz$.
ન્યૂનતમ આવૃત્તિ માટે (સ્ત્રોત અવલોકનકારથી દૂર ગતિ કરે છે): $f_{min} = 288 \times \left( \frac{340}{340 + 20} \right) = 288 \times \left( \frac{340}{360} \right) = 272 \,Hz$.
આમ, સાંભળવામાં આવતી આવૃત્તિઓની શ્રેણી $272 \,Hz$ થી $306 \,Hz$ છે।

(A) ધારો કે $n$ એ સીટીની વાસ્તવિક આવૃત્તિ છે,$v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $v_s$ એ ટ્રેનની ઝડપ છે.
જ્યારે ટ્રેન સ્થિર અવલોકનકારની નજીક આવે છે,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $n_1 = n \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ થાય છે.
જ્યારે ટ્રેન સ્થિર અવલોકનકારથી દૂર જાય છે,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $n_2 = n \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$ થાય છે.
બંને સમીકરણોનો વ્યસ્ત લેતા:
$\frac{1}{n_1} = \frac{v - v_s}{nv} = \frac{1}{n} - \frac{v_s}{nv}$
$\frac{1}{n_2} = \frac{v + v_s}{nv} = \frac{1}{n} + \frac{v_s}{nv}$
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} = \frac{2}{n} \implies \frac{n_1 + n_2}{n_1 n_2} = \frac{2}{n}$
તેથી,વાસ્તવિક આવૃત્તિ $n = \frac{2 n_1 n_2}{n_1 + n_2}$ મળે છે.
જ્યારે અવલોકનકાર ટ્રેન સાથે ગતિ કરે છે,ત્યારે ઉદગમ અને અવલોકનકાર વચ્ચે કોઈ સાપેક્ષ ગતિ હોતી નથી,તેથી અવલોકન કરેલી આવૃત્તિ વાસ્તવિક આવૃત્તિ $n$ જેટલી જ હોય છે.

(C) ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $n = 170 \,Hz$ છે. વિદ્યાર્થી (સ્ત્રોત અને અવલોકનકાર) ની ઝડપ દીવાલ તરફ $v_0 = 2 \,ms^{-1}$ છે.
દીવાલ સ્થિર સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે જે ધ્વનિને પરાવર્તિત કરે છે. સ્થિર સ્ત્રોત તરફ ગતિ કરતા અવલોકનકાર માટે ડોપ્લર અસરના સૂત્ર મુજબ વિદ્યાર્થી દ્વારા સંભળાતા પડઘાની આવૃત્તિ:
$n' = n \left( \frac{v + v_0}{v} \right)$
જ્યાં $v = 340 \,ms^{-1}$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે.
$n' = 170 \left( \frac{340 + 2}{340} \right) = 170 \left( \frac{342}{340} \right) = \frac{342}{2} = 171 \,Hz$.
બીટ આવૃત્તિ એ પડઘાની આવૃત્તિ અને ટ્યુનિંગ ફોર્કની મૂળ આવૃત્તિ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$f_{beat} = |n' - n| = |171 \,Hz - 170 \,Hz| = 1 \,Hz$.

(D) અવાજનો સ્ત્રોત વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે. જ્યારે સ્ત્રોત શ્રોતા તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે અવલોકન કરેલી આવૃત્તિ મહત્તમ હોય છે,અને જ્યારે તે દૂર જાય છે,ત્યારે અવલોકન કરેલી આવૃત્તિ લઘુત્તમ હોય છે. શ્રોતા સ્થિર છે.
આપેલ છે:
સ્ત્રોતની આવૃત્તિ $f_0 = 500 Hz$
ત્રિજ્યા $r = \frac{100}{\pi} cm = \frac{1}{\pi} m$
કોણીય ઝડપ $n = 5 rev/s$
કોણીય વેગ $\omega = 2\pi n = 2\pi \times 5 = 10\pi rad/s$
સ્ત્રોતની ઝડપ $v_s = \omega r = (10\pi) \times (\frac{1}{\pi}) = 10 m/s$
અવાજની ઝડપ $v = 332 m/s$
ગતિશીલ સ્ત્રોત અને સ્થિર શ્રોતા માટે ડોપ્લર અસરનું સૂત્ર વાપરતા:
$f = f_0 \left( \frac{v}{v \mp v_s} \right)$
મહત્તમ આવૃત્તિ (સ્ત્રોત શ્રોતા તરફ ગતિ કરે છે):
$f_{max} = 500 \left( \frac{332}{332 - 10} \right) = 500 \left( \frac{332}{322} \right) \approx 515.5 Hz$
લઘુત્તમ આવૃત્તિ (સ્ત્રોત શ્રોતાથી દૂર જાય છે):
$f_{min} = 500 \left( \frac{332}{332 + 10} \right) = 500 \left( \frac{332}{342} \right) \approx 485.4 Hz$
આમ,લઘુત્તમ અને મહત્તમ આવૃત્તિઓ અનુક્રમે $485.4 Hz$ અને $515.5 Hz$ છે.

(C) જ્યારે અવલોકનકાર $O$ અને ઉદગમ $S$ બંને એકબીજાની નજીક આવતા હોય ત્યારે ડોપ્લર અસરને કારણે મળતી આભાસી આવૃત્તિનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$f' = f \left( \frac{v + v_o}{v - v_s} \right)$ ... $(i)$
અહીં,અવલોકનકાર (ટ્રેન $B$) ની ઝડપ,$v_o = 36 \ km/h = 36 \times \frac{5}{18} \ m/s = 10 \ m/s$.
ઉદગમ (ટ્રેન $A$) ની ઝડપ,$v_s = 72 \ km/h = 72 \times \frac{5}{18} \ m/s = 20 \ m/s$.
હવામાં ધ્વનિની ઝડપ,$v = 340 \ m/s$.
ઉદગમની મૂળ આવૃત્તિ,$f = 640 \ Hz$.
આ કિંમતોને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$f' = 640 \left( \frac{340 + 10}{340 - 20} \right)$
$f' = 640 \left( \frac{350}{320} \right)$
$f' = 640 \times 1.09375 = 700 \ Hz$.
તેથી,ટ્રેન $B$ માં બેઠેલા મુસાફર દ્વારા સાંભળવામાં આવતી આવૃત્તિ $700 \ Hz$ છે.

(C) સ્ત્રોતની આવૃત્તિ $f = 880 \ Hz$ છે.
જ્યારે સ્ત્રોત સ્થિર શ્રોતાની નજીક આવે ત્યારે અવલોકિત આવૃત્તિ $f' = 888 \ Hz$ છે.
ધ્વનિનો વેગ $v = 333 \ m \ s^{-1}$ છે.
ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે સ્ત્રોત સ્થિર અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિનું સૂત્ર:
$f' = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$888 = 880 \left( \frac{333}{333 - v_s} \right)$
બંને બાજુ $880$ વડે ભાગતા:
$\frac{888}{880} = \frac{333}{333 - v_s}$
$1.00909 = \frac{333}{333 - v_s}$
$333 - v_s = \frac{333}{1.00909} \approx 330$
$v_s = 333 - 330 = 3 \ m \ s^{-1}$.
આમ,વાહનની ઝડપ $3 \ m \ s^{-1}$ છે.

(C)
ડ્રોન એ સ્થિર પરાવર્તિત સપાટી (બિલ્ડિંગ) તરફ ગતિ કરતા ધ્વનિના સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે।
આપેલ છે:
ડ્રોનની ઝડપ (સ્ત્રોત), $v_s = 15 \,m/s$
વાસ્તવિક આવૃત્તિ, $n_0 = 780 \,Hz$
ધ્વનિની ઝડપ, $v = 340 \,m/s$
પગલું 1: બિલ્ડિંગ સુધી પહોંચતા ધ્વનિ તરંગોની આવૃત્તિની ગણતરી કરો।
સ્ત્રોત સ્થિર બિલ્ડિંગ તરફ ગતિ કરી રહ્યો હોવાથી, બિલ્ડિંગ દ્વારા પ્રાપ્ત થતી આવૃત્તિ $n'$ ડોપ્લર અસરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$n' = n_0 \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$
$n' = 780 \left( \frac{340}{340 - 15} \right)
= 780 \left( \frac{340}{325} \right)
= 816 \,Hz$
પગલું 2: બિલ્ડિંગ આ આવૃત્તિ $n'$ ને ઓપરેટર તરફ પરાવર્તિત કરતા સ્થિર સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે।
ઓપરેટર સ્થિર હોવાથી અને બિલ્ડિંગ (પડઘાના સ્ત્રોત તરીકે) સ્થિર હોવાથી, ઓપરેટરને સંભળાતી આવૃત્તિ એ બિલ્ડિંગ પર આપાત થતી આવૃત્તિ જેટલી જ હોય છે।
તેથી, ઓપરેટરને સંભળાતી આવૃત્તિ $816 \,Hz$ છે।

(B) આપેલ છે: ધ્વનિની ઝડપ $v = 350 \,m/s$, મૂળ આવૃત્તિ $n_0 = 250 \,Hz$, અને બીટ આવૃત્તિ $x = 5 \,Hz$.
જ્યારે ઉદગમ અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે, ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $n_1 = n_0 \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ થાય છે.
જ્યારે ઉદગમ અવલોકનકારથી દૂર ગતિ કરે છે, ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $n_2 = n_0 \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$ થાય છે.
બીટ આવૃત્તિ $x = n_1 - n_2 = n_0 v \left( \frac{1}{v - v_s} - \frac{1}{v + v_s} \right) = n_0 v \left( \frac{2 v_s}{v^2 - v_s^2} \right)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $5 = 250 \times 350 \times \left( \frac{2 v_s}{350^2 - v_s^2} \right)$.
અહીં $v_s$ એ $v$ ની સરખામણીમાં ઘણું નાનું હોવાથી, $v^2 - v_s^2 \approx v^2$ લેતા:
$x \approx \frac{2 n_0 v_s}{v} \Rightarrow 5 = \frac{2 \times 250 \times v_s}{350}$.
$5 = \frac{500 v_s}{350} \Rightarrow 5 = \frac{10 v_s}{7}$.
$v_s = 3.5 \,m/s$.

(D) સ્ત્રોત (સીટી) અને અવલોકનકાર (વાહનમાં રહેલી વ્યક્તિ) બંને $v_s = 10 \,ms^{-1}$ ના સમાન વેગથી ટેકરી તરફ ગતિ કરે છે.
ધ્વનિ ટેકરી પરથી પરાવર્તિત થઈને અવલોકનકાર પાસે પાછો આવે છે.
ડોપ્લર અસરના સૂત્ર મુજબ,ટેકરી પરથી પરાવર્તિત થઈને આવતા ધ્વનિની આવૃત્તિ:
$n' = n \left( \frac{v + v_s}{v - v_s} \right)$
જ્યાં $v = 330 \,ms^{-1}$ એ ધ્વનિનો વેગ છે,$v_s = 10 \,ms^{-1}$ એ વાહનનો વેગ છે,અને $n = 256 \,Hz$ એ મૂળ આવૃત્તિ છે.
$n' = 256 \left( \frac{330 + 10}{330 - 10} \right) = 256 \left( \frac{340}{320} \right) = 256 \times 1.0625 = 272 \,Hz$.
પ્રતિ સેકન્ડ બીટ્સની સંખ્યા એ પરાવર્તિત આવૃત્તિ અને મૂળ આવૃત્તિ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$\text{Beats} = n' - n = 272 \,Hz - 256 \,Hz = 16 \,Hz$.

(D) ધારો કે ધ્વનિની ઝડપ $v$,અવલોકનકારની ઝડપ $v_o$ અને સ્ત્રોતની આવૃત્તિ $f$ છે.
જ્યારે અવલોકનકાર સ્થિર સ્ત્રોત તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે સંભળાતી આવૃત્તિ $n_1 = f \left( \frac{v + v_o}{v} \right)$ થાય.
જ્યારે અવલોકનકાર સ્થિર સ્ત્રોતથી દૂર ગતિ કરે છે,ત્યારે સંભળાતી આવૃત્તિ $n_2 = f \left( \frac{v - v_o}{v} \right)$ થાય.
આપેલ ગુણોત્તર $n_1 / n_2 = 71 / 65$ પરથી:
$\frac{v + v_o}{v - v_o} = \frac{71}{65}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $65(v + v_o) = 71(v - v_o)$.
$65v + 65v_o = 71v - 71v_o$.
$136v_o = 6v$.
$v_o = \frac{6}{136} v = \frac{3}{68} v$.
અહીં $v = 340 \ m/s$ આપેલ હોવાથી,$v_o = \frac{3}{68} \times 340 = 3 \times 5 = 15 \ m/s$.
$m/s$ ને $km/h$ માં ફેરવવા માટે $18/5$ વડે ગુણતા: $v_o = 15 \times \frac{18}{5} = 3 \times 18 = 54 \ km/h$.

(A) ધારો કે અવાજની ઝડપ $v = 336 \ m/s$ છે અને કારની ઝડપ $u$ છે.
હોર્ન દ્વારા ઉત્પન્ન થતી અવાજની આવૃત્તિ $n$ છે.
ડ્રાઈવર દ્વારા સાંભળવામાં આવતી પડઘાની આવૃત્તિ $n' = n \left( \frac{v + u}{v - u} \right)$ છે.
આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત $n' - n = 0.1n$ છે.
$n'$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે: $n \left( \frac{v + u}{v - u} - 1 \right) = 0.1n$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{v + u - (v - u)}{v - u} = 0.1$.
આથી,$\frac{2u}{v - u} = 0.1$.
$2u = 0.1(v - u) \implies 2u = 0.1v - 0.1u$.
$2.1u = 0.1v \implies u = \frac{0.1}{2.1} v = \frac{1}{21} v$.
$v = 336 \ m/s$ આપેલ હોવાથી,$u = \frac{336}{21} = 16 \ m/s$.

(D) કારની ઝડપ $v_s = 54 \ km/h = 15 \ m/s$ છે.
વ્યક્તિ કાર અને દીવાલની વચ્ચે ઉભો છે.
સીધો કારમાંથી આવતા અવાજની આવૃત્તિ (સ્ત્રોત સ્થિર અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે) $f_1 = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ છે.
દીવાલ પરથી પરાવર્તિત થઈને આવતા અવાજની આવૃત્તિ એ કારના પ્રતિબિંબમાંથી આવતા અવાજ સમાન છે,જે અવલોકનકાર તરફ સમાન ઝડપ $v_s$ થી ગતિ કરે છે. તેથી,$f_2 = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$.
આમ,$f_1 = f_2$ હોવાથી,આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત $f_2 - f_1 = 0 \ Hz$ થાય.

(A) ડોપ્લર અસરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$1$) જ્યારે ટ્રેન નજીક આવે ત્યારે આવૃત્તિ: $f_{\text{app}} = f_0 \times \frac{v}{v - v_s}$
$2$) જ્યારે ટ્રેન દૂર જાય ત્યારે આવૃત્તિ: $f_{\text{rec}} = f_0 \times \frac{v}{v + v_s}$
આપેલ છે: $v = 330 \text{ m/s}$,$v_s = 108 \text{ km/h} = 108 \times \frac{5}{18} = 30 \text{ m/s}$.
આવૃત્તિમાં તફાવત $\Delta f = f_{\text{app}} - f_{\text{rec}} = f_0 \left( \frac{v}{v - v_s} - \frac{v}{v + v_s} \right)$.
$\Delta f = f_0 \left( \frac{v(v + v_s) - v(v - v_s)}{v^2 - v_s^2} \right) = f_0 \left( \frac{2 v v_s}{v^2 - v_s^2} \right)$.
ટકાવારી ફેરફાર = $\frac{\Delta f}{f_0} \times 100 = \left( \frac{2 v v_s}{v^2 - v_s^2} \right) \times 100$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2 \times 330 \times 30}{330^2 - 30^2} \times 100 = \frac{19800}{108900 - 900} \times 100 = \frac{19800}{108000} \times 100 = \frac{11}{60} \times 100 \approx 18.33 \%$.

(B) ધારો કે $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $f = 102 \ Hz$ એ ઉદગમની આવૃત્તિ છે.
ઉદગમ સ્થિર હોવાથી $(v_s = 0)$,ઉદગમથી $v_o$ ઝડપથી દૂર જતા અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિ $f'$ ડોપ્લર અસરના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $f' = f \left( \frac{v - v_o}{v} \right)$.
બંને અવલોકનકારો ઉદગમથી $v_o = 10 \% \text{ of } v = \frac{v}{10}$ ઝડપથી દૂર જઈ રહ્યા હોવાથી,અવલોકનકાર $1$ દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિ:
$f_1 = f \left( \frac{v - v/10}{v} \right) = f \left( \frac{0.9v}{v} \right) = 0.9f$.
તે જ રીતે,અવલોકનકાર $2$ દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિ:
$f_2 = f \left( \frac{v - v/10}{v} \right) = f \left( \frac{0.9v}{v} \right) = 0.9f$.
તેથી,અવલોકનકારો દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર:
$\frac{f_1}{f_2} = \frac{0.9f}{0.9f} = 1: 1$.