r त्रिज्या वाली एक छोटी स्टील की गेंद को eta | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए कि सीमांत वेग $v_T$ को $v_T = k \cdot m^a \eta^b r^c g^d$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $k$ एक विमाहीन स्थिरांक है।विमीय सूत्र

Vedclass · Accepted Answer

$v_T \propto \frac{mg}{\eta r}$

Vedclass · Answer

(A) मान लीजिए कि सीमांत वेग $v_T$ को $v_T = k \cdot m^a \eta^b r^c g^d$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $k$ एक विमाहीन स्थिरांक है।विमीय सूत्र इस प्रकार हैं:$[v_T] = [L T^{-1}]$$[m] = [M]$$[\eta] = [M L^{-1} T^{-1}]$$[r] = [L]$$[g] = [L T^{-2}]$इन मानों को समीकरण में रखने पर:$[L T^{-1}] = [M]^a [M L^{-1} T^{-1}]^b [L]^c [L T^{-2}]^d$$[M^0 L^1 T^{-1}] = [M^{a+b} L^{-b+c+d} T^{-b-2d}]$दोनों पक्षों पर $M, L,$ और $T$ के घातों की तुलना करने पर:$M$ के लिए: $a + b = 0 \Rightarrow a = -b$$T$ के लिए: $-b - 2d = -1 \Rightarrow b + 2d = 1$$L$ के लिए: $-b + c + d = 1$स्टोक्स के नियम के अनुसार,सीमांत वेग $v_T = \frac{2r^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$ होता है। चूंकि गेंद का द्रव्यमान $m$,$r^3$ के समानुपाती होता है $(m \propto r^3)$,हम $r \propto m^{1/3}$ को संबंध में प्रतिस्थापित करते हैं। विमीय विश्लेषण दर्शाता है कि $v_T \propto \frac{mg}{\eta r}$ ही एकमात्र संबंध है जो वेग की विमाओं के साथ सुसंगत है।

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