Rolling On Inclined Plane Questions in Hindi

(D) ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,कुल प्रारंभिक गतिज ऊर्जा (स्थानांतरणीय + घूर्णी) अधिकतम ऊँचाई $h$ पर अंतिम स्थितिज ऊर्जा के बराबर होती है।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2} M v^2 + \frac{1}{2} I \omega^2$
चूंकि वस्तु बिना फिसले लुढ़क रही है,$\omega = v/R$,इसलिए $K_i = \frac{1}{2} M v^2 + \frac{1}{2} I (v/R)^2 = \frac{1}{2} M v^2 + \frac{1}{2} I \frac{v^2}{R^2}$
अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_f = M g h = M g \left( \frac{3 v^2}{4 g} \right) = \frac{3}{4} M v^2$
$K_i = U_f$ को बराबर करने पर:
$\frac{1}{2} M v^2 + \frac{1}{2} I \frac{v^2}{R^2} = \frac{3}{4} M v^2$
$\frac{1}{2} I \frac{v^2}{R^2} = \frac{3}{4} M v^2 - \frac{1}{2} M v^2 = \frac{1}{4} M v^2$
$I \frac{1}{R^2} = \frac{1}{2} M \implies I = \frac{1}{2} M R^2$
जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} M R^2$ एक डिस्क के लिए होता है।

(A) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,कुल प्रारंभिक गतिज ऊर्जा (स्थानांतरीय + घूर्णन) अधिकतम ऊँचाई $h$ पर स्थितिज ऊर्जा के बराबर होनी चाहिए।
कुल गतिज ऊर्जा $K = K_{\text{trans}} + K_{\text{rot}} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
एक ठोस गोले के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}mR^2$ और शुद्ध लोटनिक गति के लिए,$\omega = v/R$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mR^2)(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$.
इसे ऊँचाई $h$ पर स्थितिज ऊर्जा $(PE = mgh)$ के बराबर रखने पर:
$\frac{7}{10}mv^2 = mgh$.
$v$ के लिए हल करने पर,हमें $v^2 = \frac{10gh}{7}$ प्राप्त होता है,इसलिए $v = \sqrt{\frac{10gh}{7}}$.
चूंकि गोले को कम से कम $h$ ऊँचाई तक पहुँचना है,इसलिए न्यूनतम वेग $v \ge \sqrt{\frac{10gh}{7}}$ होना चाहिए।

(B) ट्रैक के शीर्ष $(A)$ और क्षैतिज अनुभाग $(BC)$ के बीच ऊर्जा संरक्षण का नियम लागू करने पर:
$mgh_A = mgh_B + \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
चूंकि गोला बिना फिसले लुढ़कता है,$I = \frac{2}{5}mR_s^2$ और $\omega = \frac{v}{R_s}$,जहाँ $R_s$ गोले की त्रिज्या है।
$mg(h_A - h_B) = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mR_s^2)(\frac{v^2}{R_s^2})$
$mg(2.4 - 1.0) = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2$
$mg(1.4) = \frac{7}{10}mv^2$
$v^2 = \frac{1.4 \times 10 \times g}{7} = 2g = 20 \ m^2/s^2 \implies v = \sqrt{20} \ m/s$.
अब,बिंदु $C$ से जमीन तक प्रक्षेप्य गति के लिए:
ऊंचाई $h = 1.0 \ m$ है। गिरने में लगा समय $t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 1.0}{10}} = \sqrt{0.2} \ s$ है।
क्षैतिज दूरी $R = v \times t = \sqrt{20} \times \sqrt{0.2} = \sqrt{4} = 2 \ m$ है।

(B) नत समतल पर बिना फिसले लुढ़कने वाली वस्तु के लिए त्वरण $a$ का सूत्र इस प्रकार है:
$a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{M R^2}}$
यहाँ,$I$ केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण है,$M$ द्रव्यमान है और $R$ त्रिज्या है।
चूंकि वस्तु बिना फिसले लुढ़कती है,इसलिए टॉर्क समीकरण $\tau = I \alpha$ और बल समीकरण $F = Ma$ का उपयोग करने पर,हमें त्वरण के हर (denominator) में $\frac{I}{M R^2}$ पद प्राप्त होता है।

(A) नत समतल पर बिना लुढ़के फिसलने वाले ठोस गोले का त्वरण:
${a_{slipping}} = g \sin \theta \,\,\,\,\,\,\,(i)$
नत समतल पर बिना फिसले लुढ़कने वाले ठोस गोले का त्वरण:
${a_{rolling}} = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{k^2}{R^2}} = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{2}{5}}$
(ठोस गोले के लिए,$\frac{k^2}{R^2} = \frac{2}{5}$)
$= \frac{5}{7} g \sin \theta \,\,\,\,\,(ii)$
समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{a_{rolling}}{a_{slipping}} = \frac{5}{7}$

(A) जब कोई वस्तु $l$ लंबाई और $\theta$ झुकाव वाले नत समतल पर बिना फिसले लुढ़कती है,तो उसे नीचे तक पहुँचने में लगा समय $t$ इस प्रकार दिया जाता है:
$t = \sqrt{\frac{2l(1 + \frac{k^2}{R^2})}{g \sin \theta}}$
जहाँ $k$ घूर्णन त्रिज्या (radius of gyration) है और $R$ वस्तु की त्रिज्या है।
चूंकि $l$,$\theta$ और $g$ दोनों के लिए समान हैं,इसलिए समय $(1 + \frac{k^2}{R^2})$ कारक पर निर्भर करता है।
डिस्क के लिए,$I = \frac{1}{2}MR^2$,इसलिए $k^2 = \frac{1}{2}R^2$,जिससे $(1 + \frac{k^2}{R^2}) = 1 + 0.5 = 1.5$ प्राप्त होता है।
ठोस गोले के लिए,$I = \frac{2}{5}MR^2$,इसलिए $k^2 = \frac{2}{5}R^2$,जिससे $(1 + \frac{k^2}{R^2}) = 1 + 0.4 = 1.4$ प्राप्त होता है।
चूंकि $1.4 < 1.5$,गोले द्वारा लिया गया समय डिस्क द्वारा लिए गए समय से कम है $(t_s < t_d)$।
अतः,गोला पहले नीचे पहुँचेगा।

(A) शीर्ष पर कुल ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा है,$PE = mgh$।
नीचे,यह ऊर्जा स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $(K_t)$ और घूर्णन गतिज ऊर्जा $(K_r)$ में परिवर्तित हो जाती है।
$mgh = K_t + K_r = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$।
ठोस गोले के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}mR^2$ और $\omega = \frac{v}{R}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mR^2)(\frac{v^2}{R^2}) = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$।
अतः,$v^2 = \frac{10gh}{7}$।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_r = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mR^2)(\frac{v^2}{R^2}) = \frac{1}{5}mv^2$ है।
$v^2 = \frac{10gh}{7}$ रखने पर,$K_r = \frac{1}{5}m(\frac{10gh}{7}) = \frac{2}{7}mgh$।
यहाँ $m = 3 \; kg$,$g = 10 \; m/s^2$,और $h = 7 \; m$ दिया गया है:
$K_r = \frac{2}{7} \times 3 \times 10 \times 7 = 60 \; J$।

(B) जब कोई वस्तु नतसमतल पर लुढ़कती है,तो उसका त्वरण $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{MR^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
ठोस गोले के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}MR^2$ होता है,इसलिए $a_{solid} = \frac{g \sin \theta}{1 + 0.4} = \frac{g \sin \theta}{1.4} \approx 0.71g \sin \theta$।
खोखले गोले के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{3}MR^2$ होता है,इसलिए $a_{hollow} = \frac{g \sin \theta}{1 + 0.67} = \frac{g \sin \theta}{1.67} \approx 0.60g \sin \theta$।
चूंकि ठोस गोले का त्वरण अधिक है,इसलिए वह खोखले गोले की तुलना में नतसमतल के निचले सिरे पर जल्दी पहुँचेगा।

(B) बिना फिसले लुढ़कती हुई वस्तु के लिए,कुल गतिज ऊर्जा $E_{total}$,स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $E_t$ और घूर्णन गतिज ऊर्जा $E_r$ का योग होती है।
$E_t = \frac{1}{2}mv^2$
$E_r = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}(mK^2)(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2}mv^2(\frac{K^2}{R^2})$
$E_{total} = E_t + E_r = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{K^2}{R^2})$
कुल ऊर्जा का घूर्णन ऊर्जा वाला भाग इस प्रकार है:
$\frac{E_r}{E_{total}} = \frac{\frac{1}{2}mv^2(\frac{K^2}{R^2})}{\frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{K^2}{R^2})}$
$= \frac{K^2/R^2}{(R^2 + K^2)/R^2} = \frac{K^2}{K^2 + R^2}$

(B) एक ठोस गोले के लिए,उसके द्रव्यमान केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}MR^2$ होता है।
चूंकि गोला बिना फिसले लुढ़क रहा है,इसलिए इसका रेखीय वेग $v$ और कोणीय वेग $\omega$ के बीच संबंध $v = R\omega$ है।
घूर्णी गतिज ऊर्जा $K_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2} (\frac{2}{5}MR^2) \omega^2 = \frac{1}{5}M(R\omega)^2 = \frac{1}{5}Mv^2$ होती है।
स्थानांतरित गतिज ऊर्जा $K_{trans} = \frac{1}{2}Mv^2$ होती है।
कुल गतिज ऊर्जा $K_{total} = K_{rot} + K_{trans} = \frac{1}{5}Mv^2 + \frac{1}{2}Mv^2 = \frac{7}{10}Mv^2$ होती है।
घूर्णी गतिज ऊर्जा और कुल गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{K_{rot}}{K_{total}} = \frac{\frac{1}{5}Mv^2}{\frac{7}{10}Mv^2} = \frac{1}{5} \times \frac{10}{7} = \frac{2}{7}$ है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) स्थिति $(i)$: जब खोखला बेलन बिना घूर्णन के फिसलता है,तो इसमें केवल रैखिक गतिज ऊर्जा होती है।
$K_T = \frac{1}{2}mv^2$
स्थिति (ii): जब यह बिना फिसले लुढ़कता है,तो इसमें रैखिक और घूर्णन दोनों प्रकार की गतिज ऊर्जा होती है।
कुल गतिज ऊर्जा का सूत्र $K_R = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{k^2}{R^2})$ है।
एक पतले खोखले बेलन के लिए,घूर्णन त्रिज्या $k = R$ होती है,इसलिए $\frac{k^2}{R^2} = 1$ है।
अतः,$K_R = \frac{1}{2}mv^2(1 + 1) = mv^2$.
गतिज ऊर्जाओं का अनुपात है:
$\frac{K_T}{K_R} = \frac{\frac{1}{2}mv^2}{mv^2} = \frac{1}{2}$.

(A) नत समतल पर बिना फिसले लुढ़कते हुए पिंड का त्वरण $a$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{K^2}{R^2}}$
जहाँ $K$ घूर्णन त्रिज्या (radius of gyration) है और $R$ पिंड की त्रिज्या है।
एक ठोस गोले के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}MR^2$ होता है।
चूंकि $I = MK^2$,इसलिए $K^2 = \frac{2}{5}R^2$,जिसका अर्थ है कि $\frac{K^2}{R^2} = \frac{2}{5}$।
इस मान को त्वरण के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{2}{5}} = \frac{g \sin \theta}{\frac{7}{5}} = \frac{5}{7}g \sin \theta$।

(B) नत समतल पर बिना फिसले लुढ़कने वाली वस्तु के लिए,तली पर वेग $v$ ऊर्जा संरक्षण के नियम से प्राप्त होता है: $mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
ठोस गोले के लिए जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}mR^2$ होता है और बिना फिसले लुढ़कने की शर्त $v = R\omega$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mR^2)(\frac{v}{R})^2$.
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$.
अतः,$v = \sqrt{\frac{10}{7}gh}$.

(A) नत समतल पर नीचे पहुँचने में लगा समय $t = \frac{1}{\sin \theta} \sqrt{\frac{2h}{g} \left( 1 + \frac{K^2}{R^2} \right)}$ द्वारा दिया जाता है।
ठोस गोले के लिए,घूर्णन त्रिज्या का गुणांक $\frac{K^2}{R^2} = \frac{2}{5} = 0.4$ है।
खोखले गोलीय कोश के लिए,घूर्णन त्रिज्या का गुणांक $\frac{K^2}{R^2} = \frac{2}{3} \approx 0.67$ है।
चूँकि समय $t$,$\sqrt{1 + \frac{K^2}{R^2}}$ के समानुपाती है,इसलिए जिस वस्तु के लिए $\frac{K^2}{R^2}$ का मान कम होगा,वह तली तक पहुँचने में कम समय लेगी।
चूँकि $\left( \frac{K^2}{R^2} \right)_{\text{solid}} < \left( \frac{K^2}{R^2} \right)_{\text{hollow}}$,इसलिए ठोस गोला तली पर पहले पहुँचेगा।

(D) नत तल पर बिना फिसले लुढ़कने वाली वस्तु का रेखीय त्वरण $a$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{K^2}{R^2}}$.
ठोस गोले के लिए,घूर्णन त्रिज्या $K$ का मान $K^2 = \frac{2}{5}R^2$ होता है,इसलिए $\frac{K^2}{R^2} = \frac{2}{5}$.
यहाँ $\theta = 30^\circ$ दिया गया है,इसलिए $\sin 30^\circ = 1/2$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$a = \frac{g \sin 30^\circ}{1 + 2/5} = \frac{g(1/2)}{7/5} = \frac{g}{2} \times \frac{5}{7} = \frac{5g}{14}$.
अतः,रेखीय त्वरण $5g/14$ होगा।

(A) $h$ ऊँचाई वाले नत समतल पर बिना फिसले लुढ़कने वाली वस्तु के लिए,यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम से: $mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$।
चूंकि वस्तु एक ठोस गोला है,द्रव्यमान केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}mR^2$ होता है।
बिना फिसले लुढ़कने के लिए,$\omega = \frac{v}{R}$ होता है।
इन मानों को ऊर्जा समीकरण में रखने पर: $mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mR^2)(\frac{v}{R})^2$।
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$।
$v$ के लिए हल करने पर,हमें $v^2 = \frac{10}{7}gh$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $v = \sqrt{\frac{10}{7}gh}$।

(D) नत तल पर बिना फिसले लुढ़कते हुए ठोस बेलन के लिए,आधार पर रेखीय वेग $v$ ऊर्जा संरक्षण के नियम द्वारा दिया जाता है: $v = \sqrt{\frac{2gh}{1 + \frac{K^2}{R^2}}}$.
ठोस बेलन के लिए,घूर्णन त्रिज्या $K$ और त्रिज्या $R$ के बीच संबंध $K^2 = \frac{R^2}{2}$ है,इसलिए $\frac{K^2}{R^2} = \frac{1}{2}$.
मान रखने पर: $v = \sqrt{\frac{2 \times 10 \times 2}{1 + 0.5}} = \sqrt{\frac{40}{1.5}} = \sqrt{26.66} \approx 5.16 \ m/s$.
कोणीय वेग $\omega = \frac{v}{R}$. दिया गया व्यास $= 30 \ cm$,इसलिए त्रिज्या $R = 0.15 \ m$.
$\omega = \frac{5.16}{0.15} \approx 34.4 \ rad/s$. निकटतम पूर्णांक मान $34 \ rad/s$ है।

(B) नीचे पहुँचने में लगा समय $t = \sqrt{\frac{2h(1 + K^2/R^2)}{g \sin^2 \theta}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूँकि $h$,$g$ और $\theta$ नियत हैं,इसलिए $t \propto \sqrt{1 + K^2/R^2}$ होगा।
$K^2/R^2$ के मान इस प्रकार हैं:
ठोस गोले के लिए: $K^2/R^2 = 0.4$
चकती के लिए: $K^2/R^2 = 0.5$
वलय के लिए: $K^2/R^2 = 1.0$
मानों की तुलना करने पर: $(K^2/R^2)_{\text{sphere}} < (K^2/R^2)_{\text{disc}} < (K^2/R^2)_{\text{ring}}$.
अतः,समय का क्रम $t_{\text{sphere}} < t_{\text{disc}} < t_{\text{ring}}$ होगा।
इस प्रकार,गोला सबसे पहले,उसके बाद चकती और अंत में वलय सतह पर पहुँचेगी।

(C) जब $m$ द्रव्यमान की वस्तु घर्षणरहित नत तल पर फिसलती है,तो स्थितिज ऊर्जा पूरी तरह से स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है: $mgh = \frac{1}{2}mv^2$,जिससे $v = \sqrt{2gh}$ प्राप्त होता है।
जब वस्तु एक छल्ले के रूप में नत तल पर लुढ़कती है,तो स्थितिज ऊर्जा स्थानांतरीय और घूर्णन गतिज ऊर्जा दोनों में परिवर्तित होती है: $mgh = \frac{1}{2}mv_{ring}^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
छल्ले के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = mR^2$ और $\omega = \frac{v_{ring}}{R}$ होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $mgh = \frac{1}{2}mv_{ring}^2 + \frac{1}{2}(mR^2)(\frac{v_{ring}}{R})^2 = \frac{1}{2}mv_{ring}^2 + \frac{1}{2}mv_{ring}^2 = mv_{ring}^2$.
अतः,$v_{ring} = \sqrt{gh}$.
चूंकि $v = \sqrt{2gh}$,हम लिख सकते हैं कि $\sqrt{gh} = \frac{v}{\sqrt{2}}$.
इसलिए,छल्ले का वेग $\frac{v}{\sqrt{2}}$ होगा।

(A) नतसमतल पर लुढ़कती हुई वस्तु द्वारा नीचे पहुँचने में लगा समय $t = \sqrt{\frac{2h}{g \sin^2 \theta} (1 + \frac{K^2}{R^2})}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $K$ घूर्णन त्रिज्या है और $R$ वस्तु की त्रिज्या है।
ठोस गोले के लिए,$\frac{K^2}{R^2} = \frac{2}{5} = 0.4$ है।
चकती के लिए,$\frac{K^2}{R^2} = \frac{1}{2} = 0.5$ है।
ठोस बेलन के लिए,$\frac{K^2}{R^2} = \frac{1}{2} = 0.5$ है।
चूँकि ठोस गोले के लिए $\frac{K^2}{R^2}$ का मान न्यूनतम है,इसलिए इसे नीचे पहुँचने में लगा समय भी न्यूनतम होगा।
अतः,ठोस गोला सबसे पहले पृथ्वी तल पर पहुँचेगा।

(D) दिया गया है कि रैखिक गतिज ऊर्जा $(K_T)$ घूर्णी गतिज ऊर्जा $(K_R)$ के बराबर है।
$K_T = K_R$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}I\omega^2$
चूंकि $I = mk^2$ और $v = R\omega$,इसलिए $\omega = v/R$ है।
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}(mk^2)(v/R)^2$
$1 = \frac{k^2}{R^2}$
इसका अर्थ है कि घूर्णन त्रिज्या $k = R$ है।
एक खोखले बेलन के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = mR^2$ होता है,इसलिए $mk^2 = mR^2$,जिससे $k = R$ प्राप्त होता है।
अतः,वह वस्तु एक खोखला बेलन है।

(A) नत तल पर लुढ़कने वाली वस्तु द्वारा लिया गया समय $t = \sqrt{\frac{2L(1 + \frac{k^2}{R^2})}{g \sin \theta}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ घूर्णन त्रिज्या है और $R$ वस्तु की त्रिज्या है।
ठोस बेलन के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}MR^2$ है,इसलिए $k^2 = \frac{1}{2}R^2$,जिससे $\frac{k^2}{R^2} = 0.5$ प्राप्त होता है।
खोखले बेलन के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = MR^2$ है,इसलिए $k^2 = R^2$,जिससे $\frac{k^2}{R^2} = 1$ प्राप्त होता है।
चूँकि खोखले बेलन के लिए $\frac{k^2}{R^2}$ का मान अधिक है,इसलिए इसका समय $t$ भी अधिक होगा।
अतः,खोखले बेलन को नीचे पहुँचने में अधिक समय लगेगा।

(A) नत समतल पर बिना फिसले लुढ़कने वाली वस्तु के लिए,रेखीय त्वरण $a$ का सूत्र है:
$a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{K^2}{R^2}}$
एक ठोस बेलन के लिए,घूर्णन त्रिज्या $K$ और त्रिज्या $R$ का संबंध $K^2 = \frac{R^2}{2}$ होता है,इसलिए $\frac{K^2}{R^2} = \frac{1}{2}$ है।
दिया गया झुकाव कोण $\theta = 30^\circ$ है,इसलिए $\sin 30^\circ = 1/2$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$a = \frac{g \sin 30^\circ}{1 + 1/2} = \frac{g(1/2)}{3/2} = \frac{g}{3}$.

(B) चूँकि सतह घर्षणहीन है,इसलिए गोले की कोणीय गति को बदलने के लिए कोई टॉर्क मौजूद नहीं है। पूरी गति के दौरान घूर्णन गतिज ऊर्जा स्थिर रहती है।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम को लागू करने पर:
कुल प्रारंभिक ऊर्जा = $h$ ऊँचाई पर कुल अंतिम ऊर्जा
$\frac{1}{2}I{\omega ^2} + \frac{1}{2}m{v^2} = \frac{1}{2}I{\omega ^2} + mgh$
चूँकि गोले को कम से कम $h$ ऊँचाई तक पहुँचना है,इसलिए प्रारंभिक स्थानांतरण गतिज ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि को पार करने के लिए पर्याप्त होनी चाहिए:
$\frac{1}{2}m{v^2} \ge mgh$
$v^2 \ge 2gh$
$v \ge \sqrt {2gh}$

(B) जब बेलन नत समतल पर ऊपर की ओर लुढ़कता है,तो इसका रेखीय वेग $v$ नत समतल के ऊपर की ओर होता है और इसका कोणीय वेग $\omega$ दक्षिणावर्त (clockwise) होता है। जैसे-जैसे यह ऊपर जाता है,इसका रेखीय वेग घटता है,जिसका अर्थ है कि यह रेखीय मंदन का अनुभव करता है। बिना फिसले लुढ़कने के लिए,इसे कोणीय मंदन की आवश्यकता होती है। नत समतल पर ऊपर की ओर कार्य करने वाला घर्षण बल $f$ वामावर्त (counter-clockwise) दिशा में टॉर्क उत्पन्न करता है,जो आवश्यक कोणीय मंदन प्रदान करता है।
जब बेलन नत समतल पर नीचे की ओर लुढ़कता है,तो इसका रेखीय वेग $v$ नत समतल के नीचे की ओर होता है और इसका कोणीय वेग $\omega$ वामावर्त होता है। जैसे-जैसे यह नीचे आता है,इसका रेखीय वेग बढ़ता है,जिसका अर्थ है कि यह रेखीय त्वरण का अनुभव करता है। बिना फिसले लुढ़कने के लिए,इसे कोणीय त्वरण की आवश्यकता होती है। नत समतल पर ऊपर की ओर कार्य करने वाला घर्षण बल $f$ ऐसा टॉर्क उत्पन्न करता है जो वामावर्त कोणीय वेग को बढ़ाने के लिए आवश्यक कोणीय त्वरण प्रदान करता है।

(C) नत समतल पर लुढ़कती वस्तु का त्वरण $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{MR^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
दी गई ऊँचाई और कोण के लिए,नीचे पहुँचने में लगा समय $t = \sqrt{\frac{2s}{a}}$ है,जहाँ $s$ नत समतल पर तय की गई दूरी है।
अतः,$t \propto \sqrt{1 + \frac{I}{MR^2}}$.
जिस वस्तु का जड़त्व आघूर्ण $(I)$ गुणांक सबसे कम होगा,उसका त्वरण सबसे अधिक होगा और वह सबसे पहले नीचे पहुँचेगी।
वस्तुओं के लिए $I$ के गुणांक इस प्रकार हैं:
$1$. गोला: $I = \frac{2}{5}MR^2 = 0.4 MR^2$
$2$. चकती: $I = \frac{1}{2}MR^2 = 0.5 MR^2$
$3$. खोखला गोला: $I = \frac{2}{3}MR^2 \approx 0.67 MR^2$
$4$. वलय: $I = MR^2 = 1.0 MR^2$
चूँकि गुणांकों का क्रम $0.4 < 0.5 < 0.67 < 1.0$ है,इसलिए नीचे पहुँचने का क्रम गोला,चकती,खोखला गोला,वलय होगा।

(C) नत समतल पर $h$ ऊँचाई और $\theta$ कोण से लुढ़कने वाली वस्तु के लिए लिया गया समय $t = \frac{1}{\sin \theta} \sqrt{\frac{2h}{g} \left( 1 + \frac{K^2}{R^2} \right)}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
ठोस गोले के लिए,घूर्णन त्रिज्या का वर्ग $K^2 = \frac{2}{5}R^2$ है,इसलिए $\frac{K^2}{R^2} = \frac{2}{5}$ है।
चकती के लिए,घूर्णन त्रिज्या का वर्ग $K^2 = \frac{1}{2}R^2$ है,इसलिए $\frac{K^2}{R^2} = \frac{1}{2}$ है।
गोले द्वारा लिए गए समय $(t_S)$ और चकती द्वारा लिए गए समय $(t_D)$ का अनुपात: $\frac{t_S}{t_D} = \sqrt{\frac{1 + (K^2/R^2)_S}{1 + (K^2/R^2)_D}}$.
मान रखने पर: $\frac{t_S}{t_D} = \sqrt{\frac{1 + 2/5}{1 + 1/2}} = \sqrt{\frac{7/5}{3/2}} = \sqrt{\frac{7}{5} \times \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{14}{15}}$.
अतः,अनुपात $\sqrt{14}:\sqrt{15}$ है।

(A) नत समतल पर बिना फिसले लुढ़कने वाली वस्तु के लिए,यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,शीर्ष पर स्थितिज ऊर्जा,तल पर स्थानांतरण और घूर्णन गतिज ऊर्जा के योग के बराबर होती है।
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
एक समान गोलीय कोश के लिए,उसके केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{3}mr^2$ होता है।
चूंकि वस्तु बिना फिसले लुढ़क रही है,इसलिए $\omega = \frac{v}{r}$ होगा।
इन मानों को ऊर्जा समीकरण में रखने पर:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{3}mr^2)(\frac{v}{r})^2$
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{3}mv^2$
$mgh = (\frac{1}{2} + \frac{1}{3})mv^2 = \frac{5}{6}mv^2$
$gh = \frac{5}{6}v^2$
$v^2 = \frac{6gh}{5}$
$v = \sqrt{\frac{6gh}{5}}$

(D) नत समतल पर लुढ़कती हुई एक ठोस डिस्क के लिए,समतल के अनुदिश कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण का घटक $mg \sin \theta$ और घर्षण बल $f$ हैं।
रैखिक त्वरण के लिए गति का समीकरण: $mg \sin \theta - f = ma$ $(1)$
द्रव्यमान केंद्र के परितः बलाघूर्ण का समीकरण: $\tau = I \alpha = fR$
चूंकि डिस्क बिना फिसले लुढ़क रही है,इसलिए $\alpha = a/R$। एक ठोस डिस्क के लिए जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} mR^2$ होता है।
इन मानों को बलाघूर्ण के समीकरण में रखने पर: $fR = (\frac{1}{2} mR^2) (\frac{a}{R})$
$fR = \frac{1}{2} maR$
$f = \frac{1}{2} ma$

(C) जब बेलन नत समतल पर ऊपर की ओर लुढ़कता है,तो यह गुरुत्वाकर्षण के कारण नीचे की ओर फिसलने की प्रवृत्ति रखता है,इसलिए स्थैतिक घर्षण बल समतल पर ऊपर की ओर कार्य करता है ताकि लोटनिक गति के लिए आवश्यक टॉर्क प्रदान किया जा सके और फिसलने की प्रवृत्ति का विरोध किया जा सके।
उच्चतम बिंदु पर,बेलन क्षण भर के लिए रुक जाता है। जैसे ही यह वापस नीचे की ओर लुढ़कना शुरू करता है,गुरुत्वाकर्षण का घटक $mg \sin \theta$ समतल पर नीचे की ओर कार्य करता है,और बेलन नीचे की ओर फिसलने की प्रवृत्ति रखता है। शुद्ध लोटनिक गति बनाए रखने के लिए,घूर्णन के लिए आवश्यक टॉर्क प्रदान करने हेतु स्थैतिक घर्षण बल को समतल पर ऊपर की ओर कार्य करना चाहिए।
अतः,ऊपर और नीचे दोनों यात्राओं के दौरान,घर्षण बल समतल पर ऊपर की ओर निर्देशित होता है।

(D) नत समतल पर लुढ़कती हुई वस्तु का त्वरण $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{K^2}{R^2}}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि एक ही गेंद के लिए झुकाव कोण $\theta$ और घूर्णन त्रिज्या $K$ स्थिर हैं,इसलिए पूरी गति के दौरान त्वरण $a$ स्थिर रहता है। अतः,कथन $(ii)$ गलत है।
गति के समीकरण $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = 0$,हमें $S = \frac{1}{2}at^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $t = \sqrt{\frac{2S}{a}}$।
मान लीजिए $S_P$ दूरी $PO$ है और $S_Q$ दूरी $QO$ है। चूंकि $S_P = \frac{h}{\sin \theta}$ और $S_Q = \frac{2h}{\sin \theta}$,इसलिए $S_Q = 2S_P$ है।
अतः,लगा समय $t_Q = \sqrt{\frac{2(2S_P)}{a}} = \sqrt{2} t_P$ है। इस प्रकार,कथन $(i)$ गलत है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रारंभिक बिंदु पर स्थितिज ऊर्जा नीचे $O$ पर गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है। $K.E._P = mgh$ और $K.E._Q = mg(2h) = 2mgh$ है। इसलिए,$K.E._Q = 2 K.E._P$ है। अतः,कथन $(iii)$ सही है।

(C) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए,शीर्ष पर कुल स्थितिज ऊर्जा नीचे स्थानांतरण और घूर्णन गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
चूंकि वस्तुएं बिना फिसले लुढ़कती हैं,$\omega = v/R$ और $I = mk^2$,जहाँ $k$ घूर्णन त्रिज्या है।
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(mk^2)(v/R)^2 = \frac{1}{2}mv^2(1 + k^2/R^2)$
स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $K_t = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{mgh}{1 + k^2/R^2}$ है।
रिंग के लिए,$k^2 = R^2 \implies K_{ring} = \frac{mgh}{1+1} = \frac{mgh}{2}$।
सिक्के (डिस्क) के लिए,$k^2 = R^2/2 \implies K_{coin} = \frac{mgh}{1+1/2} = \frac{2mgh}{3}$।
ठोस गेंद (गोले) के लिए,$k^2 = 2R^2/5 \implies K_{ball} = \frac{mgh}{1+2/5} = \frac{5mgh}{7}$।
अनुपात लेने पर $K_{ring} : K_{coin} : K_{ball} = \frac{1}{2} : \frac{2}{3} : \frac{5}{7}$।
हरों के ल.स.प. $(42)$ से गुणा करने पर: $21 : 28 : 30$।

(D) जब एक बेलन नत समतल पर फिसलते हुए लुढ़कता है, तो गतिज घर्षण बल वस्तु की स्थानांतरण और घूर्णन गति को बदलने के लिए कार्य करता है।
यदि प्रारंभिक स्थितियाँ (जैसे प्रारंभिक वेग या कोणीय वेग) ऐसी हैं कि घर्षण बल वस्तु को शुद्ध लोटनिक गति $(v = r\omega)$ की स्थिति में ला सके, तो यह कुछ समय बाद शुद्ध लोटनिक गति शुरू कर देगा।
हालाँकि, यदि नत समतल पर्याप्त लंबा नहीं है या स्थितियाँ ऐसी हैं कि वस्तु शुद्ध लोटनिक गति की स्थिति प्राप्त करने से पहले ही नीचे पहुँच जाती है, तो हो सकता है कि वह कभी भी शुद्ध लोटनिक गति शुरू न करे।
इसलिए, प्रारंभिक मापदंडों और नत समतल की लंबाई के आधार पर दोनों संभावनाएँ मौजूद हैं।

(D) $1$. घर्षण बल $f$ नत समतल पर ऊपर की ओर कार्य करता है,जबकि गुरुत्वाकर्षण का घटक $Mg \sin \theta$ नीचे की ओर कार्य करता है। अतः,घर्षण द्रव्यमान केंद्र की स्थानांतरण गति का विरोध करता है।
$2$. द्रव्यमान केंद्र के परितः बल आघूर्ण $\tau$ घर्षण बल $f$ द्वारा प्रदान किया जाता है,जहाँ $\tau = f \cdot R$ है। यह बल आघूर्ण लुढ़कने के लिए आवश्यक कोणीय त्वरण $\alpha$ उत्पन्न करता है।
$3$. शुद्ध लोटनिक गति (pure rolling) के लिए,$v = \omega R$ शर्त का पालन होना चाहिए। घर्षण के बिना,कोणीय त्वरण $\alpha$ उत्पन्न करने के लिए कोई बल आघूर्ण नहीं होता,इसलिए पिंड केवल समतल पर फिसलेंगे। अतः,लुढ़कने के लिए घर्षण अनिवार्य है।
$4$. चूंकि कथन $A$,$B$ और $C$ सभी सही हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(D) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली वस्तु के लिए $\theta$ झुकाव वाले नत समतल पर त्वरण $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{MR^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
वलय के लिए,$I = MR^2$,इसलिए $a_{ring} = \frac{g \sin \theta}{2}$. घर्षण बल $f_{ring} = Mg \sin \theta - Ma_{ring} = \frac{1}{2} Mg \sin \theta$.
बेलन के लिए,$I = \frac{1}{2} MR^2$,इसलिए $a_{cyl} = \frac{g \sin \theta}{1 + 0.5} = \frac{2}{3} g \sin \theta$. घर्षण बल $f_{cyl} = Mg \sin \theta - Ma_{cyl} = \frac{1}{3} Mg \sin \theta$.
घर्षण बलों की तुलना करने पर,$f_{ring} = 0.5 Mg \sin \theta$ और $f_{cyl} = 0.33 Mg \sin \theta$. अतः,$f_{ring} > f_{cyl}$.
साथ ही,शुद्ध लोटनिक गति (pure rolling) की शर्त $f \le \mu N = \mu Mg \cos \theta$ है। चूंकि $f_{ring} > f_{cyl}$,यदि घर्षण वलय के लुढ़कने के लिए पर्याप्त है,तो यह निश्चित रूप से बेलन के लुढ़कने के लिए भी पर्याप्त होगा। इसलिए,$(B)$ और $(C)$ दोनों सही हैं।

(D) जब कोई पिंड बिना फिसले आनत तल पर लुढ़कता है,तो उसकी यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है क्योंकि स्थैतिक घर्षण द्वारा किया गया कार्य शून्य होता है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए: $Mgh = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
चूंकि $v = R\omega$,हमारे पास $Mgh = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}I(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2}Mv^2(1 + \frac{I}{MR^2})$ है।
वलय के लिए,$I = MR^2$,इसलिए $Mgh = \frac{1}{2}Mv^2(1 + 1) = Mv^2$,जिससे $v_{ring} = \sqrt{gh}$ प्राप्त होता है।
ठोस बेलन के लिए,$I = \frac{1}{2}MR^2$,इसलिए $Mgh = \frac{1}{2}Mv^2(1 + \frac{1}{2}) = \frac{3}{4}Mv^2$,जिससे $v_{cylinder} = \sqrt{\frac{4gh}{3}} = 2\sqrt{\frac{gh}{3}}$ प्राप्त होता है।
अतः,सभी कथन सही हैं।

(B) नत समतल पर बिना फिसले लुढ़कने वाले पिंड के लिए,उस पर कार्य करने वाले बल नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण का घटक $Mg \sin \theta$ और ऊपर की ओर स्थैतिक घर्षण $f$ हैं।
रेखीय गति के लिए न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर: $Mg \sin \theta - f = Ma$ (जहाँ $a$ रेखीय त्वरण है)।
द्रव्यमान केंद्र के परितः घूर्णी गति के लिए न्यूटन का दूसरा नियम: $\tau = I \alpha = fR$,जहाँ $\alpha = a/R$ कोणीय त्वरण है।
रेखीय समीकरण में $f = I \alpha / R = I a / R^2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$Mg \sin \theta - \frac{I a}{R^2} = Ma$
$Mg \sin \theta = Ma + \frac{I a}{R^2} = Ma(1 + \frac{I}{M R^2})$
$a$ के लिए हल करने पर,हमें प्राप्त होता है: $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{M R^2}}$.

(D) रिंग की त्रिज्या $R = 4a$ है। डिस्क की त्रिज्या $r = a$ है।
जब डिस्क अपने पथ के शीर्ष पर (रिंग के केंद्र के स्तर पर) होती है,तो डिस्क का द्रव्यमान केंद्र रिंग के सबसे निचले बिंदु से $h = R - r = 4a - a = 3a$ की ऊँचाई पर होता है।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,डिस्क द्वारा खोई गई स्थितिज ऊर्जा,डिस्क द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा के बराबर होती है।
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
चूंकि डिस्क बिना फिसले लुढ़कती है,$v = r\omega$,इसलिए $\omega = v/r$।
डिस्क के द्रव्यमान केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}mr^2$ है।
इन मानों को ऊर्जा समीकरण में रखने पर:
$mg(3a) = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mr^2)(\frac{v}{r})^2$
$3mga = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2$
$3mga = \frac{3}{4}mv^2$
$3ga = \frac{3}{4}v^2$
$v^2 = 4ga$
$v = \sqrt{4ga}$

(B) ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए,शीर्ष पर स्थितिज ऊर्जा नीचे कुल गतिज ऊर्जा के बराबर होती है:
$mgl\sin\theta = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
बिना फिसले लुढ़कने के लिए $I = \frac{1}{2}mR^2$ और $\omega = \frac{v}{R}$ होने के कारण:
$mgl\sin\theta = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mR^2)(\frac{v^2}{R^2}) = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2$
$v$ के लिए हल करने पर,हमें $v = \sqrt{\frac{4gl\sin\theta}{3}}$ प्राप्त होता है।
संपर्क बिंदु के परितः कोणीय संवेग $L = I_{cm}\omega + mvR$ द्वारा दिया जाता है:
$L = (\frac{1}{2}mR^2)(\frac{v}{R}) + mvR = \frac{1}{2}mvR + mvR = \frac{3}{2}mvR$
$v$ का मान रखने पर:
$L = \frac{3}{2}mR\sqrt{\frac{4gl\sin\theta}{3}} = \sqrt{\frac{9}{4}m^2R^2 \cdot \frac{4gl\sin\theta}{3}} = \sqrt{3m^2R^2gl\sin\theta}$.

(D) $1$. क्षैतिज सतह पर, बिना किसी बाहरी बल के शुद्ध लोटनिक गति के लिए, द्रव्यमान केंद्र का त्वरण शून्य होता है और कोणीय त्वरण शून्य होता है। अतः, घर्षण बल शून्य होता है।
$2$. जब नत समतल पर ऊपर की ओर गति करता है, तो गोला गुरुत्वाकर्षण के कारण एक टॉर्क का अनुभव करता है जो उसकी कोणीय गति को कम करने की प्रवृत्ति रखता है। शुद्ध लोटनिक गति बनाए रखने के लिए आवश्यक टॉर्क प्रदान करने हेतु घर्षण ढलान पर ऊपर की दिशा में कार्य करता है।
$3$. जब नत समतल पर नीचे की ओर गति करता है, तो गोला गुरुत्वाकर्षण के कारण एक टॉर्क का अनुभव करता है जो उसकी कोणीय गति को बढ़ाने की प्रवृत्ति रखता है। इस वृद्धि का विरोध करने और शुद्ध लोटनिक गति बनाए रखने के लिए घर्षण ढलान पर ऊपर की दिशा में कार्य करता है।
$4$. घर्षण हमेशा द्रव्यमान केंद्र की गति का विरोध नहीं करता है; यह शुद्ध लोटनिक गति की स्थिति $(v = r\omega)$ को बनाए रखने के लिए कार्य करता है। इसलिए, यह कथन कि घर्षण बल हमेशा गोले की गति के विपरीत होता है, गलत है।

(A) निकाय का कुल द्रव्यमान $M = m + m = 2m$ है। चूंकि द्रव अश्यान है और आंतरिक सतह घर्षण रहित है,इसलिए द्रव गोले के साथ घूर्णन नहीं करता है। अतः,द्रव्यमान केंद्र के परितः निकाय का जड़त्व आघूर्ण केवल खोखले गोले के कारण है,$I = \frac{2}{3}mR^2$.
शुद्ध लोटनिक गति के लिए,$v = \omega R$,इसलिए $\omega = v/R$.
स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $K_{trans} = \frac{1}{2} M v^2 = \frac{1}{2} (2m) v^2 = mv^2$.
घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_{rot} = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} (\frac{2}{3} mR^2) (v/R)^2 = \frac{1}{3} mv^2$.
अनुपात $\frac{K_{trans}}{K_{rot}} = \frac{mv^2}{\frac{1}{3} mv^2} = \frac{3}{1}$ है।
अतः,$x = 3$ और $y = 1$ है। इसलिए $(x+y) = 3+1 = 4$.

(D) नत समतल पर डिस्क पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण का घटक $mg \sin \theta$ नीचे की ओर और गतिज घर्षण $f_k$ ऊपर की ओर है।
द्रव्यमान केंद्र के लिए गति का समीकरण: $mg \sin \theta - f_k = ma$.
द्रव्यमान केंद्र के परितः टॉर्क का समीकरण: $f_k R = I \alpha = \left(\frac{mR^2}{2}\right) \alpha$.
टॉर्क समीकरण से,हमें $f_k = \frac{mR \alpha}{2}$ प्राप्त होता है।
$f_k = \mu N = \mu mg \cos \theta$ को टॉर्क समीकरण में रखने पर:
$\frac{mR \alpha}{2} = \mu mg \cos \theta$.
चूंकि $\mu = \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$,इसलिए:
$\frac{mR \alpha}{2} = \left(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\right) mg \cos \theta = mg \sin \theta$.
$R \alpha$ के लिए हल करने पर:
$R \alpha = 2 g \sin \theta$.

(A) जब एक गोला नत समतल पर ऊपर की ओर लुढ़कता है,तो उसके द्रव्यमान केंद्र पर गुरुत्वाकर्षण के घटक $(mg \sin \theta)$ और घर्षण बल $(f)$ के कारण नीचे की ओर त्वरण कार्य करता है।
लुढ़कने की गति को बनाए रखने के लिए,गोले में कोणीय मंदन (यदि गोला ऊपर की ओर जा रहा है तो दक्षिणावर्त बलाघूर्ण) होना आवश्यक है।
द्रव्यमान केंद्र के परितः बलाघूर्ण घर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है। गोले के ऊपर जाते समय उसके घूर्णन को धीमा करने के लिए,घर्षण बल को ऐसी दिशा में कार्य करना चाहिए जो दक्षिणावर्त बलाघूर्ण उत्पन्न करे।
चूंकि संपर्क बिंदु द्रव्यमान केंद्र के नीचे होता है,इसलिए समतल पर ऊपर की ओर निर्देशित घर्षण बल एक दक्षिणावर्त बलाघूर्ण उत्पन्न करता है,जो प्रारंभिक कोणीय वेग का विरोध करता है। इसलिए,घर्षण बल समतल पर ऊपर की ओर निर्देशित होता है।

(A) एक खोखले बेलन के लिए,उसकी केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = mR^2$ होता है।
जब इसे नत समतल पर रखा जाता है,तो घर्षण बल $f$ फिसलने का विरोध करने के लिए समतल पर ऊपर की ओर कार्य करता है। घर्षण बल $f = \mu N = \mu mg \cos \theta = (\tan \theta) mg \cos \theta = mg \sin \theta$ है।
द्रव्यमान केंद्र के परितः आघूर्ण $\tau = fR = (mg \sin \theta) R$ है।
$\tau = I\alpha$ का उपयोग करने पर,$(mg \sin \theta) R = (mR^2) \alpha$,जिससे कोणीय त्वरण $\alpha = (g \sin \theta) / R$ प्राप्त होता है।
चूंकि बेलन दक्षिणावर्त घूम रहा है,घर्षण बल समतल पर ऊपर की ओर कार्य करता है,जिससे कोणीय मंदन उत्पन्न होता है। अंतिम कोणीय वेग $\omega = \omega_0 - \alpha t$ होता है।
वह समय ज्ञात करने के लिए जब बेलन घूमना बंद कर देता है (और इस प्रकार शुद्ध लोटनिक गति शुरू होने तक द्रव्यमान केंद्र स्थिर रहता है),हम $\omega = 0$ रखते हैं,जिससे $0 = \omega_0 - (g \sin \theta / R) t$ प्राप्त होता है।
$t$ के लिए हल करने पर,$t = \omega_0 R / (g \sin \theta)$ प्राप्त होता है।

(D) नत समतल पर लुढ़कते हुए ठोस गोले के लिए,द्रव्यमान केंद्र का त्वरण $a_{cm} = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{mR^2}} = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{2}{5}} = \frac{5}{7} g \sin \theta$ है। कोणीय त्वरण $\alpha = \frac{a_{cm}}{R} = \frac{5g \sin \theta}{7R}$ है।
गोले पर किसी भी बिंदु के त्वरण के दो घटक होते हैं: केंद्र की ओर निर्देशित अभिकेंद्र त्वरण $\omega^2 R$ और त्रिज्या के लंबवत स्पर्शरेखीय त्वरण $R\alpha$।
संपर्क बिंदु $C$ पर,त्वरण पूरी तरह से अभिकेंद्र होता है,जो गोले के केंद्र की ओर यानी $CA$ रेखा के अनुदिश होता है।

(B) एक ठोस गोले के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} MR^2$ होता है।
चूंकि गोला बिना फिसले लुढ़क रहा है,इसलिए $V = \omega R$ की स्थिति लागू होती है,जिसका अर्थ है $\omega = \frac{V}{R}$।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $E_r = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} (\frac{2}{5} MR^2) (\frac{V}{R})^2 = \frac{1}{5} MV^2$ है।
स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा $E_t = \frac{1}{2} MV^2$ है।
कुल गतिज ऊर्जा $E_{total} = E_r + E_t = \frac{1}{5} MV^2 + \frac{1}{2} MV^2 = \frac{7}{10} MV^2$ है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा और कुल ऊर्जा का अनुपात $\frac{E_r}{E_{total}} = \frac{\frac{1}{5} MV^2}{\frac{7}{10} MV^2} = \frac{1}{5} \times \frac{10}{7} = \frac{2}{7}$ है।
प्रतिशत ज्ञात करने के लिए,हम $\frac{2}{7} \times 100 \approx 28.57\%$ की गणना करते हैं,जो लगभग $28.6\%$ है।

(D) आनत तल पर बिना फिसले लुढ़कने वाली वस्तु का रैखिक त्वरण $a$ सूत्र $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{MR^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
ठोस गोले के लिए,उसके द्रव्यमान केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} MR^2$ होता है।
इस मान को सूत्र में रखने पर: $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{2/5 MR^2}{MR^2}} = \frac{g \sin \theta}{1 + 2/5} = \frac{g \sin \theta}{7/5} = \frac{5}{7} g \sin \theta$.
यहाँ $\theta = 30^o$ दिया गया है,इसलिए $\sin 30^o = 0.5$.
अतः,$a = \frac{5}{7} g \times 0.5 = \frac{5}{14} g$.

(A) नत समतल पर बिना फिसले लुढ़कने वाली वस्तु के लिए त्वरण $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{k^2}{R^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
ठोस बेलन के लिए,घूर्णन त्रिज्या $k$ ऐसी है कि $k^2 = \frac{1}{2} R^2$,इसलिए $\frac{k^2}{R^2} = \frac{1}{2}$।
अतः,$a = \frac{g \sin \theta}{1 + 1/2} = \frac{2}{3} g \sin \theta$।
नत समतल की दिशा में बल का समीकरण $mg \sin \theta - f = ma$ है,जहाँ $f$ घर्षण बल है।
$a$ का मान रखने पर,$f = mg \sin \theta - m(\frac{2}{3} g \sin \theta) = \frac{1}{3} mg \sin \theta$।
केंद्र के सापेक्ष टॉर्क का समीकरण $f R = I \alpha = (\frac{1}{2} m R^2)(\frac{a}{R}) = \frac{1}{2} m R a$ है।
$a$ का मान रखने पर,$f = \frac{1}{2} m (\frac{2}{3} g \sin \theta) = \frac{1}{3} mg \sin \theta$।
चूंकि $f \le \mu N$ और $N = mg \cos \theta$,इसलिए $\frac{1}{3} mg \sin \theta \le \mu mg \cos \theta$।
अतः,$\mu \ge \frac{1}{3} \tan \theta$।

(D) जब कोई वस्तु नत समतल पर बिना फिसले लुढ़कती है,तो स्थैतिक घर्षण बल ढलान की ऊपर की दिशा में कार्य करता है।
यह घर्षण बल द्रव्यमान केंद्र की स्थानांतरणीय गति का विरोध करता है।
साथ ही,यह बल द्रव्यमान केंद्र के परितः एक टॉर्क प्रदान करता है जो वस्तु को घूर्णन करने के लिए प्रेरित करता है।
इस प्रकार,घर्षण बल स्थानांतरणीय गतिज ऊर्जा का कुछ हिस्सा घूर्णी गतिज ऊर्जा में परिवर्तित करने का कार्य करता है।

(B) नत समतल पर लुढ़कते हुए पिंड का वेग $v = \sqrt{\frac{2gh}{1 + \frac{k^2}{R^2}}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ घूर्णन त्रिज्या है।
ठोस गोले के लिए,$k^2 = \frac{2}{5}R^2$,अतः $v_{solid} = \sqrt{\frac{2gh}{1 + 0.4}} = \sqrt{\frac{2gh}{1.4}}$.
खोखले गोले के लिए,$k^2 = \frac{2}{3}R^2$,अतः $v_{hollow} = \sqrt{\frac{2gh}{1 + 0.67}} = \sqrt{\frac{2gh}{1.67}}$.
चूंकि ठोस गोले के लिए हर (denominator) छोटा है,इसलिए ठोस गोला अधिक गति के साथ नीचे पहुँचता है।
दोनों गोले समान ऊँचाई से शुरू होते हैं,इसलिए उनकी स्थितिज ऊर्जा $mgh$ समान है। चूंकि कुल ऊर्जा संरक्षित रहती है,इसलिए नीचे पहुँचने पर दोनों की कुल गतिज ऊर्जा (स्थानांतरणीय + घूर्णी) समान होती है।