Rolling On Inclined Plane Questions in Hindi

(C) बिना फिसले झुके हुए समतल पर ऊपर लुढ़कते गोले के लिए त्वरण $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{mR^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
ठोस गोले के लिए जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} mR^2$ होता है।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{2}{5}} = \frac{g \sin \theta}{7/5} = \frac{5}{7} g \sin \theta$.
यहाँ $g = 9.8 \, m/s^2$,$\theta = 30^{\circ}$,और $v_0 = 1 \, m/s$ दिया गया है।
$g = 9.8 \, m/s^2$ लेने पर: $a = \frac{5}{7} \times 9.8 \times \sin(30^{\circ}) = \frac{5}{7} \times 9.8 \times 0.5 = 3.5 \, m/s^2$.
अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने में लगा समय $t_{up} = \frac{v_0}{a} = \frac{1}{3.5} = \frac{2}{7} \, s$.
बिंदु $A$ पर वापस आने के लिए कुल समय $T = 2 \times t_{up} = 2 \times \frac{2}{7} = \frac{4}{7} \approx 0.57 \, s$.

(C) मान लीजिए कि ठोस बेलन संतुलन में है।
नत समतल के अनुदिश कार्य करने वाले बल तनाव $T$ और घर्षण $f$ हैं। समतल के अनुदिश गुरुत्वाकर्षण का घटक $mg \sin 60^{\circ}$ है।
स्थानांतरीय संतुलन के लिए: $T + f = mg \sin 60^{\circ} \quad ......(i)$
बेलन के केंद्र के परितः घूर्णी संतुलन के लिए: $TR - fR = 0 \implies T = f \quad ......(ii)$
$(ii)$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $2f = mg \sin 60^{\circ} \implies f = \frac{mg \sin 60^{\circ}}{2} = \frac{mg \sqrt{3}}{4} \approx 0.433 mg$.
सीमान्त घर्षण $f_{L} = \mu_{s} N = \mu_{s} mg \cos 60^{\circ} = 0.4 \times mg \times 0.5 = 0.2 mg$ है।
चूंकि आवश्यक घर्षण $(0.433 mg)$ सीमान्त घर्षण $(0.2 mg)$ से अधिक है,इसलिए बेलन स्थिर संतुलन में नहीं रहेगा और नीचे लुढ़केगा।
कार्य करने वाला घर्षण गतिज घर्षण होगा: $f_{k} = \mu_{k} N$. यदि हम $\mu_{k} = \mu_{s} = 0.4$ लें,तो $f_{k} = 0.4 \times mg \times 0.5 = 0.2 mg = \frac{mg}{5}$ प्राप्त होता है।

(A) गोले की कुल प्रारंभिक ऊर्जा $E_i = \frac{1}{2}mv_0^2 + \frac{1}{2}I\omega_0^2$ है।
चूंकि यह बिना फिसले लुढ़कता है,इसलिए $\omega_0 = \frac{v_0}{a}$ होगा।
एक ठोस गोले के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}ma^2$ होता है।
इन मानों को ऊर्जा समीकरण में रखने पर: $E_i = \frac{1}{2}mv_0^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}ma^2)(\frac{v_0}{a})^2 = \frac{1}{2}mv_0^2 + \frac{1}{5}mv_0^2 = \frac{7}{10}mv_0^2$ प्राप्त होता है।
अधिकतम ऊंचाई $h$ पर,गोला क्षण भर के लिए स्थिर हो जाता है,इसलिए इसकी अंतिम गतिज ऊर्जा शून्य होती है। ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,$E_i = E_f = mgh$ होगा।
अतः,$mgh = \frac{7}{10}mv_0^2$,जिससे $h = \frac{7v_0^2}{10g}$ प्राप्त होता है।
ढलान पर तय की गई दूरी $d$ का ऊंचाई $h$ से संबंध $h = d \sin \theta$ है।
इस प्रकार,$d \sin \theta = \frac{7v_0^2}{10g}$,जिसका अर्थ है कि $d = \frac{7v_0^2}{10g \sin \theta}$।
यह विकल्प $A$ से मेल खाता है।

(D) यदि डिस्क नत समतल पर फिसलती है,तो इसका त्वरण $a_{1} = g \sin \theta$ होता है।
गति के समीकरण $L = \frac{1}{2} a_{1} t_{1}^{2}$ का उपयोग करने पर,हमें $t_{1} = \sqrt{\frac{2L}{a_{1}}} \quad \dots (i)$ प्राप्त होता है।
यदि डिस्क नत समतल पर लुढ़कती है,तो इसका त्वरण $a_{2} = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{mR^{2}}}$ होता है।
एक वृत्ताकार डिस्क के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} mR^{2}$ होता है,इसलिए $a_{2} = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{2}{3} g \sin \theta$ होता है।
गति के समीकरण $L = \frac{1}{2} a_{2} t_{2}^{2}$ का उपयोग करने पर,हमें $t_{2} = \sqrt{\frac{2L}{a_{2}}} \quad \dots (ii)$ प्राप्त होता है।
अनुपात लेने पर $\frac{t_{2}}{t_{1}} = \sqrt{\frac{a_{1}}{a_{2}}} = \sqrt{\frac{g \sin \theta}{\frac{2}{3} g \sin \theta}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $\sqrt{\frac{3}{x}}$ से करने पर,हमें $x = 2$ प्राप्त होता है।

(B) माना $K_r$ घूर्णन गतिज ऊर्जा है और $K_t$ स्थानांतरण गतिज ऊर्जा है।
दिया गया है $K_r = 0.5 K_t$,जहाँ $K_r = \frac{1}{2} I \omega^2$ और $K_t = \frac{1}{2} m v^2$ है।
चूंकि पिंड बिना फिसले लुढ़क रहा है,$v = \omega R$,इसलिए $\omega = \frac{v}{R}$ होगा।
इसे घूर्णन ऊर्जा के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $K_r = \frac{1}{2} I (\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2} (\frac{I}{R^2}) v^2$ प्राप्त होता है।
प्रश्न के अनुसार,$\frac{1}{2} (\frac{I}{R^2}) v^2 = 0.5 \times (\frac{1}{2} m v^2)$ है।
इसे सरल करने पर $\frac{I}{R^2} = 0.5 m$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $I = 0.5 m R^2 = \frac{1}{2} m R^2$ है।
जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} m R^2$ एक ठोस बेलन या डिस्क के लिए होता है।

(B) $h$ ऊँचाई वाले आनत तल पर लुढ़कती हुई वस्तु के लिए,ऊर्जा संरक्षण से $mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$ प्राप्त होता है।
चूँकि $v = R\omega$,इसलिए $mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{I}{mR^2})$ होता है।
वलय के लिए,$I = mR^2$,अतः $mgh = \frac{1}{2}mv_R^2(1 + 1) = mv_R^2$। इस प्रकार,$v_R = \sqrt{gh}$।
ठोस बेलन के लिए,$I = \frac{1}{2}mR^2$,अतः $mgh = \frac{1}{2}mv_c^2(1 + \frac{1}{2}) = \frac{3}{4}mv_c^2$। इस प्रकार,$v_c = \sqrt{\frac{4gh}{3}}$।
वेगों का अनुपात $\frac{v_R}{v_c} = \frac{\sqrt{gh}}{\sqrt{4gh/3}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
इसे $\frac{\sqrt{x}}{2}$ से तुलना करने पर,$x = 3$ प्राप्त होता है।

(A) नत समतल पर लुढ़कने वाली वस्तु का त्वरण $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{mR^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
वस्तुओं के लिए जड़त्व आघूर्ण $I$ इस प्रकार हैं: $I_{\text{ring}} = mR^2$,$I_{\text{cylinder}} = \frac{1}{2}mR^2$,और $I_{\text{sphere}} = \frac{2}{5}mR^2$.
जड़त्व आघूर्ण की तुलना करने पर: $I_{\text{ring}} > I_{\text{cylinder}} > I_{\text{sphere}}$.
चूंकि $a$,$(1 + \frac{I}{mR^2})$ के व्युत्क्रमानुपाती है,इसलिए त्वरण का क्रम: $a_{\text{ring}} < a_{\text{cylinder}} < a_{\text{sphere}}$ होगा।
गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = 0$,अंतिम वेग $v = \sqrt{2as}$ त्वरण के वर्गमूल के समानुपाती होता है।
इसलिए,समतल के निचले सिरे पर अंतिम वेग का क्रम: $v_{\text{ring}} < v_{\text{cylinder}} < v_{\text{sphere}}$ होगा।
अतः,गोले का वेग सबसे अधिक और रिंग का वेग सबसे कम होता है।

(D) माना $M = 12 \, kg$ पहिये का द्रव्यमान है और $m = 3 \, kg$ लटकता हुआ द्रव्यमान है। जब पहिया ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $h$ नीचे जाता है,तो द्रव्यमान $m$ ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $h$ ऊपर जाता है।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत को लागू करने पर:
पहिये की स्थितिज ऊर्जा में कमी = द्रव्यमान $m$ की स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि + निकाय की गतिज ऊर्जा में वृद्धि।
$Mgh = mgh + \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} I \omega^2 + \frac{1}{2} mv^2$
यह मानते हुए कि पहिया एक डिस्क है,$I = \frac{1}{2} Mr^2$ और $\omega = \frac{v}{r}$।
$(M - m)gh = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} Mr^2) (\frac{v}{r})^2 + \frac{1}{2} mv^2$
$(12 - 3)gh = \frac{1}{2} (12)v^2 + \frac{1}{4} (12)v^2 + \frac{1}{2} (3)v^2$
$9gh = 6v^2 + 3v^2 + 1.5v^2 = 10.5v^2$
$v^2 = \frac{9gh}{10.5} = \frac{90gh}{105} = \frac{6}{7} gh$
$v = \sqrt{\frac{6}{7} gh} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{24}{7} gh}$।
$\frac{1}{2} \sqrt{xgh}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = \frac{24}{7} \approx 3.43$ प्राप्त होता है। दिए गए विकल्पों के अनुसार,निकटतम पूर्णांक मान $3$ है।

(D) $H$ ऊँचाई वाले नत समतल पर बिना फिसले लुढ़कने वाले पिंड का वेग $V$ इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $V = \sqrt{\frac{2gH}{1 + k^2/R^2}}$,जहाँ $k$ घूर्णन त्रिज्या है।
ठोस बेलन के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}MR^2$ है,इसलिए $k^2/R^2 = 1/2$ है।
ठोस गोले के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}MR^2$ है,इसलिए $k^2/R^2 = 2/5$ है।
वेगों का अनुपात: $\frac{V_{\text{cylinder}}}{V_{\text{sphere}}} = \sqrt{\frac{1 + k_{\text{sphere}}^2/R^2}{1 + k_{\text{cylinder}}^2/R^2}}$.
मान रखने पर: $\frac{V_{\text{cylinder}}}{V_{\text{sphere}}} = \sqrt{\frac{1 + 2/5}{1 + 1/2}} = \sqrt{\frac{7/5}{3/2}} = \sqrt{\frac{7}{5} \times \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{14}{15}}$.

(C) ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,स्थितिज ऊर्जा में कमी,गतिज ऊर्जा (स्थानांतरणीय + घूर्णी) में वृद्धि के बराबर होती है।
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
एक ठोस बेलन के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}mR^2$ होता है। चूंकि डोरी बिना फिसले खुलती है,इसलिए $v = R\omega$ की स्थिति लागू होती है,जिसका अर्थ है $\omega = \frac{v}{R}$।
इन मानों को ऊर्जा समीकरण में रखने पर:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mR^2)(\frac{v}{R})^2$
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2$
$mgh = \frac{3}{4}mv^2$
$gh = \frac{3}{4}v^2$
यहाँ $g = 10\,ms^{-2}$ और $v = 4\,ms^{-1}$ दिया गया है:
$10h = \frac{3}{4}(4)^2$
$10h = \frac{3}{4} \times 16$
$10h = 12$
$h = 1.2\,m = 120\,cm$.

(B) $P_{1}$ पर,रिंग नीचे की ओर गति कर रही है और लुढ़कने की शर्त $(v_{CM} = R\omega)$ को पूरा करने के लिए इसका कोणीय वेग $\omega$ बढ़ रहा है। घर्षण बल $f$ ऊपर की ओर ($v_{CM}$ के विपरीत) कार्य करता है ताकि $\omega$ को बढ़ाने के लिए आवश्यक टॉर्क प्रदान किया जा सके।
$P_{2}$ पर,वेग $v_{CM}$ क्षैतिज है और द्रव्यमान केंद्र का त्वरण पूरी तरह से अभिकेंद्री है। यहाँ कोई स्पर्शरेखीय त्वरण नहीं है,इसलिए घर्षण बल शून्य है।
$P_{3}$ पर,रिंग ऊपर की ओर गति कर रही है और लुढ़कने की शर्त को पूरा करने के लिए इसका कोणीय वेग $\omega$ घट रहा है। घर्षण बल $f$ ऊपर की ओर ($v_{CM}$ की दिशा में) कार्य करता है ताकि $\omega$ को कम करने के लिए आवश्यक टॉर्क प्रदान किया जा सके।
अतः,घर्षण बल $P_{1}$ पर $v_{CM}$ के विपरीत है और $P_{3}$ पर $v_{CM}$ की दिशा में है।

(B) चूंकि वलय बिना फिसले लुढ़क रही है,इसलिए कुल प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $h$ ऊँचाई पर कुल अंतिम स्थितिज ऊर्जा के बराबर है।
कुल प्रारंभिक गतिज ऊर्जा = स्थानांतरण गतिज ऊर्जा + घूर्णन गतिज ऊर्जा
$\Rightarrow K.E. = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} I \omega^{2}$
वलय के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = m R^{2}$ है और शुद्ध लोटनिक गति (pure rolling) की शर्त $v = R \omega$ है,जिसका अर्थ है $\omega = v / R$।
इन मानों को ऊर्जा समीकरण में रखने पर:
$K.E. = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} (m R^{2}) (v / R)^{2}$
$K.E. = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} m v^{2} = m v^{2}$
अधिकतम ऊँचाई $h$ पर,अंतिम गतिज ऊर्जा शून्य हो जाती है,इसलिए कुल प्रारंभिक गतिज ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है:
$m v^{2} = m g h$
$h = \frac{v^{2}}{g}$

(B) बेलन $P$ के लिए (बिना फिसले लुढ़कना):
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा नीचे पहुँचने पर स्थानांतरण और घूर्णन गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है:
$mgh = \frac{1}{2}mv_p^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
चूंकि $I = \frac{1}{2}mr^2$ और $v_p = r\omega$,हमारे पास है:
$mgh = \frac{1}{2}mv_p^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mr^2)(\frac{v_p}{r})^2$
$mgh = \frac{1}{2}mv_p^2 + \frac{1}{4}mv_p^2 = \frac{3}{4}mv_p^2$
$v_p = \sqrt{\frac{4gh}{3}}$
बेलन $Q$ के लिए (बिना घर्षण के फिसलना):
चूंकि घर्षण नहीं है,बेलन घूर्णन नहीं करता है। पूरी स्थितिज ऊर्जा स्थानांतरण गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है:
$mgh = \frac{1}{2}mv_q^2$
$v_q = \sqrt{2gh}$
गति का अनुपात है:
$\frac{v_q}{v_p} = \frac{\sqrt{2gh}}{\sqrt{\frac{4gh}{3}}} = \sqrt{2 \cdot \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$

(A) माना गोले की प्रारंभिक क्षैतिज चाल $v$ है।
चूँकि गोला बिना फिसले लुढ़कता है,क्षैतिज सतह पर इसकी कुल गतिज ऊर्जा इसकी स्थानांतरण और घूर्णन गतिज ऊर्जाओं का योग है:
$KE_{total} = KE_{trans} + KE_{rot} = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} I \omega^2$
एक ठोस गोले के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} m R^2$ है और बिना फिसले लुढ़कने की शर्त $v = R \omega$ है,इसलिए $\omega = v/R$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$KE_{total} = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} (\frac{2}{5} m R^2) (\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{5} m v^2 = \frac{7}{10} m v^2$
अधिकतम ऊँचाई $h$ पर,गोला वापस नीचे लुढ़कने से पहले क्षण भर के लिए स्थिर हो जाता है। यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $h$ ऊँचाई पर स्थितिज ऊर्जा के बराबर होती है:
$\frac{7}{10} m v^2 = m g h$
$v$ के लिए हल करने पर:
$v^2 = \frac{10}{7} g h$
$v = \sqrt{\frac{10 g h}{7}}$

(D) शुद्ध लोटनिक गति के लिए गोले के गति के समीकरण इस प्रकार हैं:
$N - Mg \cos \theta = 0 \quad \dots(i)$
$Mg \sin \theta - f = Ma_{CM} \quad \dots(ii)$
$\tau = f \times R = I \alpha = I \frac{a_{CM}}{R} \quad \dots(iii)$
चूंकि $I = \frac{2}{5} MR^2$,इसे $(iii)$ में रखने पर $f = \frac{2}{5} Ma_{CM}$ प्राप्त होता है।
$f$ का मान $(ii)$ में रखने पर:
$Mg \sin \theta - \frac{2}{5} Ma_{CM} = Ma_{CM} \implies Mg \sin \theta = \frac{7}{5} Ma_{CM} \implies a_{CM} = \frac{5}{7} g \sin \theta$.
अब,$a_{CM}$ का मान $f$ के समीकरण में रखने पर:
$f = \frac{2}{5} M \left( \frac{5}{7} g \sin \theta \right) = \frac{2}{7} Mg \sin \theta$.
बिना फिसले शुद्ध लोटनिक गति के लिए,स्थैतिक घर्षण को $f \leq \mu_s N$ का पालन करना चाहिए।
$f = \frac{2}{7} Mg \sin \theta$ और $N = Mg \cos \theta$ रखने पर:
$\frac{2}{7} Mg \sin \theta \leq \mu_s Mg \cos \theta$
$\tan \theta \leq \frac{7}{2} \mu_s$
$\theta \leq \tan^{-1} \left( \frac{7}{2} \mu_s \right)$.

(D) नत समतल पर लुढ़कने वाली वस्तु के लिए समय $t = \sqrt{\frac{2s(1 + \beta)}{g \sin \theta}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\beta = \frac{I}{MR^2}$ है। एक पतले गोलीय कोश के लिए,$I = \frac{2}{3}MR^2$,इसलिए $\beta = 2/3$ है। हालाँकि,$t$ मोटाई वाले कोश के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{3}M \frac{R_o^5 - R_i^5}{R_o^3 - R_i^3}$ होता है। $R_o = 20 \,cm$ और $t \ll R_o$ होने पर,$I \approx \frac{2}{3}MR^2(1 + \frac{t}{R})$ होता है। इस प्रकार,$\beta \approx \frac{2}{3}(1 + \frac{t}{R})$ है। समय $t \propto \sqrt{1 + \beta}$ है। समय का अंतर $1 \%$ होने के कारण,$\frac{\Delta t}{t} = \frac{1}{2} \frac{\Delta \beta}{1 + \beta} \approx 0.01$ है। $\beta \approx 2/3$ लेने पर,$1 + \beta \approx 5/3$ होता है। इसलिए $\frac{1}{2} \frac{\Delta \beta}{5/3} = 0.01 \implies \Delta \beta = 0.033$ है। चूँकि $\beta = \frac{2}{3}(1 + \frac{t}{R})$ है,इसलिए $\Delta \beta = \frac{2}{3} \frac{\Delta t}{R}$ है। मान रखने पर: $0.033 = \frac{2}{3} \frac{\Delta t}{20} \implies \Delta t = 0.033 \times 30 = 0.99 \,cm$ है। कुल मोटाई $0.5 + 0.99 = 1.49 \,cm$ है,जो $1.5 \,cm$ के सबसे निकट है।

(D) एक नत समतल पर बिना फिसले लुढ़कने वाली वस्तु के लिए,ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार शीर्ष पर स्थितिज ऊर्जा,तल पर कुल गतिज ऊर्जा के बराबर होती है।
$mgh = K.E._{trans} + K.E._{rot} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
डिस्क के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}mr^2$ और लुढ़कने की स्थिति $\omega = \frac{v}{r}$ है।
इन मानों को ऊर्जा समीकरण में रखने पर:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mr^2)(\frac{v}{r})^2$
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2$
$v = \sqrt{\frac{4gh}{3}}$
चूँकि अंतिम वेग $v$ केवल ऊँचाई $h$ और गुरुत्वीय त्वरण $g$ पर निर्भर करता है,और यह डिस्क के द्रव्यमान $m$ और त्रिज्या $r$ से स्वतंत्र है,इसलिए दोनों डिस्क जमीन पर पहुँचने पर समान रैखिक वेग प्राप्त करेंगी।
अतः,उनके रैखिक वेगों का अनुपात $1:1$ है।

(C) शुद्ध लोटनिक गति के दौरान कुल गतिज ऊर्जा $(K_{total})$,स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $(K_{trans})$ और घूर्णन गतिज ऊर्जा $(K_{rot})$ का योग होती है।
$K_{total} = K_{trans} + K_{rot} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
चूंकि $v = R\omega$,इसलिए $K_{total} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{I}{mR^2})$.
घूर्णन गतिज ऊर्जा और कुल गतिज ऊर्जा का अनुपात:
$\text{Ratio} = \frac{K_{rot}}{K_{total}} = \frac{I}{mR^2 + I} = \frac{1}{1 + \frac{mR^2}{I}}$.
डिस्क के लिए $(I = \frac{1}{2}mR^2)$: $\text{Ratio} = \frac{1}{1 + 2} = \frac{1}{3} \approx 0.33$.
ठोस गोले के लिए $(I = \frac{2}{5}mR^2)$: $\text{Ratio} = \frac{1}{1 + 2.5} = \frac{2}{7} \approx 0.28$.
रिंग के लिए $(I = mR^2)$: $\text{Ratio} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} = 0.5$.
खोखले गोले के लिए $(I = \frac{2}{3}mR^2)$: $\text{Ratio} = \frac{1}{1 + 1.5} = \frac{2}{5} = 0.4$.
अतः,रिंग के लिए घूर्णन गतिज ऊर्जा का प्रतिशत सबसे अधिक है। इसलिए विकल्प $C$ सही है।

(C) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,शीर्ष पर स्थितिज ऊर्जा निचले सिरे पर कुल गतिज ऊर्जा के बराबर होती है।
$PE = Mgh$
$KE = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} I\omega^2$
एक ठोस बेलन के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} MR^2$ है और शुद्ध लोटनिक गति के लिए शर्त $v = R\omega$ है।
इन मानों को गतिज ऊर्जा समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$KE = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} MR^2) (\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{4} Mv^2 = \frac{3}{4} Mv^2$
स्थितिज ऊर्जा और गतिज ऊर्जा की तुलना करने पर:
$Mgh = \frac{3}{4} Mv^2$
$v^2 = \frac{4gh}{3} \implies v = 2 \sqrt{\frac{gh}{3}}$
चूँकि $\omega = \frac{v}{R}$,इसलिए कोणीय वेग:
$\omega = \frac{2}{R} \sqrt{\frac{gh}{3}}$

(B) $M$ द्रव्यमान,$R$ त्रिज्या और $I = kMR^2$ जड़त्व आघूर्ण वाले पिंड के लिए $\theta$ कोण वाले नत समतल पर लुढ़कते समय घर्षण बल $f$ का सूत्र है:
$f = \frac{Mg \sin\theta}{1 + \frac{MR^2}{I}} = \frac{Mg \sin\theta}{1 + \frac{1}{k}}$
ठोस बेलन के लिए,$I = \frac{1}{2}MR^2$,इसलिए $k = \frac{1}{2}$। अतः,$f_{cylinder} = \frac{Mg \sin\theta}{1 + 2} = \frac{1}{3}Mg \sin\theta$।
ठोस गोले के लिए,$I = \frac{2}{5}MR^2$,इसलिए $k = \frac{2}{5}$। अतः,$f_{sphere} = \frac{Mg \sin\theta}{1 + \frac{5}{2}} = \frac{Mg \sin\theta}{3.5} = \frac{2}{7}Mg \sin\theta$।
दोनों की तुलना करने पर,$\frac{1}{3} \approx 0.333$ और $\frac{2}{7} \approx 0.285$।
चूंकि $\frac{1}{3} > \frac{2}{7}$,इसलिए बेलन के लिए घर्षण बल अधिक है।

(D) जब गोले को नत समतल पर ऊपर की ओर फेंका जाता है,तो उसमें स्थानांतरण वेग $v$ और कोणीय वेग $\omega$ दोनों होते हैं। नत समतल पर शुद्ध लोटन (pure rolling) के लिए,घर्षण को फिसलने की प्रवृत्ति का विरोध करना चाहिए। जैसे-जैसे गोला ऊपर जाता है,घर्षण ऊपर की दिशा में कार्य करता है ताकि लोटन की स्थिति को बनाए रखने के लिए आवश्यक टॉर्क प्रदान किया जा सके।
जब गोला अपने उच्चतम बिंदु पर पहुँचता है और नीचे आना शुरू करता है,तो उसके स्थानांतरण वेग की दिशा उलट जाती है। नत समतल पर नीचे आते समय शुद्ध लोटन बनाए रखने के लिए,घर्षण फिर से ऊपर की दिशा में कार्य करता है ताकि गोले की नत समतल पर नीचे फिसलने की प्रवृत्ति का विरोध किया जा सके।
इसलिए,ऊपर और नीचे दोनों गतियों के दौरान लोटनिक घर्षण की दिशा ऊपर की ओर होती है।

(D) नत समतल पर लुढ़कने वाली वस्तु के लिए,द्रव्यमान केंद्र का त्वरण इस प्रकार दिया जाता है:
$a_{cm} = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{MR^2}}$
एक ठोस गोले के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} MR^2$ होता है।
इसे त्वरण के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$a_{cm} = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{2/5 MR^2}{MR^2}} = \frac{g \sin \theta}{1 + 2/5} = \frac{5}{7} g \sin \theta$
नत समतल पर $L$ दूरी तय करने में लगा समय $L = \frac{1}{2} a_{cm} t^2$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $t = \sqrt{\frac{2L}{a_{cm}}}$।
$a_{cm}$ का मान रखने पर:
$t = \sqrt{\frac{2L}{\frac{5}{7} g \sin \theta}} = \sqrt{\frac{14L}{5g \sin \theta}}$
इस व्यंजक से देखा जा सकता है कि समय $t$ केवल नत समतल की लंबाई $L$,झुकाव कोण $\theta$ और गुरुत्वीय त्वरण $g$ पर निर्भर करता है। यह गोले के द्रव्यमान $M$,त्रिज्या $R$ और घनत्व $\rho$ से स्वतंत्र है। अतः,समय इन सभी कारकों से स्वतंत्र है।

(C) स्थिति $(i)$: चिकने ढलान पर फिसलना।
इस स्थिति में,रिंग शुद्ध स्थानांतरण गति करती है। त्वरण $a_1 = g \sin \theta$ है।
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ प्रारंभिक वेग $u = 0$ है,हमें $s = \frac{1}{2} (g \sin \theta) t_1^2$ प्राप्त होता है,इसलिए $t_1 = \sqrt{\frac{2s}{g \sin \theta}}$।
स्थिति $(ii)$: खुरदरे ढलान पर लुढ़कना।
इस स्थिति में,रिंग लुढ़कने की गति करती है। त्वरण $a_2 = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{MR^2}}$ है।
एक पतली वृत्ताकार रिंग के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = MR^2$ होता है। इस मान को रखने पर,$a_2 = \frac{g \sin \theta}{1 + 1} = \frac{g \sin \theta}{2}$ प्राप्त होता है।
गति के उसी समीकरण का उपयोग करते हुए,$s = \frac{1}{2} a_2 t_2^2$,इसलिए $t_2 = \sqrt{\frac{2s}{a_2}} = \sqrt{\frac{4s}{g \sin \theta}}$।
समय का अनुपात:
$\frac{t_1}{t_2} = \frac{\sqrt{\frac{2s}{g \sin \theta}}}{\sqrt{\frac{4s}{g \sin \theta}}} = \sqrt{\frac{2}{4}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।

(A) $m$ द्रव्यमान और $r$ त्रिज्या वाली वस्तु के लिए $\theta$ कोण वाले नत समतल पर लुढ़कती गति के लिए त्वरण $a = \frac{mg \sin \theta}{m + \frac{I}{r^2}}$ होता है।
शुद्ध लोटनिक गति के लिए आवश्यक घर्षण बल $f = \frac{mg \sin \theta}{1 + \frac{mr^2}{I}}$ होता है।
ठोस गोले के लिए जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} mr^2$ होता है।
इस मान को घर्षण के समीकरण में रखने पर: $f = \frac{mg \sin \theta}{1 + \frac{mr^2}{(2/5)mr^2}} = \frac{mg \sin \theta}{1 + 2.5} = \frac{2}{7} mg \sin \theta$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f \le \mu N$ और $N = mg \cos \theta$,इसलिए $\mu \ge \frac{f}{N} = \frac{(2/7) mg \sin \theta}{mg \cos \theta} = \frac{2}{7} \tan \theta$ होगा।
अतः,घर्षण गुणांक का न्यूनतम मान $\mu_{min} = \frac{2}{7} \tan \theta$ है।

(B) एक चिकने नत समतल पर फिसलने वाली वस्तु के लिए,स्थितिज ऊर्जा पूरी तरह से स्थानांतरण गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 \implies v = \sqrt{2gh}$.
नत समतल पर लुढ़कने वाली वलय के लिए,स्थितिज ऊर्जा स्थानांतरण और घूर्णन गतिज ऊर्जा दोनों में परिवर्तित हो जाती है:
$mgh = \frac{1}{2}mv'^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
वलय के लिए $I = mr^2$ और $\omega = \frac{v'}{r}$ होने के कारण:
$mgh = \frac{1}{2}mv'^2 + \frac{1}{2}(mr^2)(\frac{v'^2}{r^2}) = \frac{1}{2}mv'^2 + \frac{1}{2}mv'^2 = mv'^2$.
$mgh$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$mv'^2 = \frac{1}{2}mv^2 \implies v'^2 = \frac{v^2}{2} \implies v' = \frac{v}{\sqrt{2}}$.

(D) नत समतल पर लुढ़कती हुई वस्तु के लिए,घर्षण बल $f$ नत समतल के अनुदिश ऊपर की दिशा में कार्य करता है।
$1$. चूंकि गोला नीचे की ओर गति कर रहा है,इसलिए घर्षण $f$ ऊपर की ओर कार्य करता है,जो स्थानांतरण गति का विरोध करता है।
$2$. गोले के केंद्र के परितः घर्षण $f$ द्वारा उत्पन्न बलाघूर्ण $\tau = f \times R$ है। यह बलाघूर्ण लुढ़कने की दिशा में कोणीय त्वरण $\alpha$ उत्पन्न करता है,जिसका अर्थ है कि घर्षण घूर्णन गति का समर्थन करता है।
$3$. स्थानांतरण के लिए गति का समीकरण $mg \sin \theta - f = ma$ है और घूर्णन के लिए $fR = I\alpha$ है। खोखले गोले के लिए,$I = \frac{2}{3}mR^2$। इन्हें हल करने पर,हमें $f = \frac{mg \sin \theta}{1 + \frac{mR^2}{I}} = \frac{mg \sin \theta}{1 + \frac{3}{2}} = \frac{2}{5} mg \sin \theta$ प्राप्त होता है।
$4$. चूंकि $f = \frac{2}{5} mg \sin \theta$,यह स्पष्ट है कि $f \propto \sin \theta$। इसलिए,यदि $\theta$ घटता है,तो $\sin \theta$ घटता है,और परिणामस्वरूप,घर्षण बल $f$ कम हो जाता है।
अतः,दिए गए सभी कथन सही हैं।

(D) $h$ ऊँचाई के नत समतल पर लुढ़कते हुए बेलन के लिए,यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है। शीर्ष पर स्थितिज ऊर्जा नीचे पहुँचने पर स्थानांतरण और घूर्णन गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है: $mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$. चूँकि $I = \frac{1}{2}mr^2$ और $v = r\omega$,हमारे पास $mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mr^2)(\frac{v}{r})^2 = \frac{3}{4}mv^2$ है। अतः,$v = \sqrt{\frac{4gh}{3}}$। चूँकि $h$ समान है,इसलिए अंतिम गति $v$ दोनों स्थितियों में समान होगी।
नत समतल पर लुढ़कते हुए पिंड का त्वरण $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{mr^2}}$ होता है। चूँकि झुकाव $\theta$ अलग है,इसलिए त्वरण $a$ अलग होगा। नीचे उतरने का समय $t = \sqrt{\frac{2s}{a}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $s = \frac{h}{\sin \theta}$ है। $a$ का मान रखने पर,$t = \sqrt{\frac{2h}{g \sin^2 \theta} (1 + \frac{I}{mr^2})}$ प्राप्त होता है। चूँकि $\theta$ अलग है,इसलिए नीचे उतरने का समय $t$ अलग होगा। अतः,गति समान है,लेकिन नीचे उतरने का समय अलग-अलग है।

(B) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,शीर्ष पर स्थितिज ऊर्जा नीचे पहुँचने पर स्थानांतरीय और घूर्णन गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
$mgh = K_{trans} + K_{rot}$
डिस्क के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} mR^2$ और लुढ़कने की शर्त $v = R\omega$ है।
$K_{rot} = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} mR^2) (\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{4} mv^2$.
अतः,$mgh = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{4} mv^2 = \frac{3}{4} mv^2$.
दिया गया है $m = 3 \, kg$,$h = 5 \, m$,और $g = 10 \, m/s^2$:
$3 \times 10 \times 5 = \frac{3}{4} mv^2$
$150 = \frac{3}{4} mv^2$
$mv^2 = 200$
स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा $K_{trans} = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} (200) = 100 \, J$.

(A) नत समतल पर लुढ़कती हुई वस्तु का त्वरण $a = \frac{g \sin \theta}{1 + K^2 / R^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $K$ घूर्णन त्रिज्या है और $R$ त्रिज्या है।
$(i)$ ठोस गोले के लिए,$I = \frac{2}{5} MR^2 = MK^2$,इसलिए $K^2 = \frac{2}{5} R^2$। त्वरण $a_s = \frac{g \sin \theta}{1 + 2/5} = \frac{5}{7} g \sin \theta$ है।
$(ii)$ डिस्क के लिए,$I = \frac{1}{2} MR^2 = MK^2$,इसलिए $K^2 = \frac{1}{2} R^2$। त्वरण $a_d = \frac{g \sin \theta}{1 + 1/2} = \frac{2}{3} g \sin \theta$ है।
$(iii)$ चूँकि $a_s > a_d$,ठोस गोला पहले नीचे पहुँचता है। त्वरण में यह अंतर दोनों वस्तुओं की अलग-अलग घूर्णन त्रिज्या $K$ के कारण होता है।

(C) कोण $\theta$ वाले नत समतल पर बिना फिसले लुढ़कने वाली वस्तु का त्वरण $a$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{K^2}{R^2}}$
जहाँ $K$ घूर्णन त्रिज्या (radius of gyration) है और $R$ गोले की त्रिज्या है।
एक ठोस गोले के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}MR^2$ होता है। चूँकि $I = MK^2$,हमारे पास $K^2 = \frac{2}{5}R^2$ है,जिसका अर्थ है कि $\frac{K^2}{R^2} = \frac{2}{5}$।
इस मान को त्वरण के सूत्र में रखने पर:
$a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{2}{5}} = \frac{g \sin \theta}{\frac{7}{5}} = \frac{5}{7} g \sin \theta$
चूँकि त्वरण $a$ द्रव्यमान $M$ और त्रिज्या $R$ दोनों से स्वतंत्र है,इसलिए दोनों गोलों का त्वरण समान होगा। चूँकि वे समान ऊँचाई से विरामावस्था से चलना शुरू करते हैं,वे एक साथ नीचे पहुँचेंगे। अतः,विकल्प $C$ सही है।

(B) नत समतल पर बिना फिसले लुढ़कने वाली वस्तु के वेग $v$ का सूत्र $v = \sqrt{\frac{2gh}{1 + \frac{k^2}{R^2}}}$ है।
यहाँ,$h$ नत समतल की ऊर्ध्वाधर ऊँचाई है,$h = L \sin \theta = 60 \times 10^{-2} \times \sin 30^{\circ} = 0.6 \times 0.5 = 0.3\,m$.
ठोस बेलन के लिए,घूर्णन त्रिज्या $k$ का मान $k^2 = \frac{R^2}{2}$ होता है,इसलिए $\frac{k^2}{R^2} = \frac{1}{2}$।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$v = \sqrt{\frac{2 \times 10 \times 0.3}{1 + 0.5}} = \sqrt{\frac{6}{1.5}} = \sqrt{4} = 2\,ms^{-1}$।

(A) उच्चतम बिंदु पर,अंतिम गतिज ऊर्जा $KE_f = 0$ होती है।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $KE_i$ स्थानांतरण और घूर्णन गतिज ऊर्जा का योग है:
$KE_i = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} I \omega^2$
एक खोखली गोलाकार गेंद के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{3} mR^2$ होता है। शुद्ध लोटनिक गति के मामले में,$v = R\omega$,इसलिए $\omega = \frac{v}{R}$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$KE_i = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} \times (\frac{2}{3} mR^2) \times (\frac{v}{R})^2$
$KE_i = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{3} mv^2 = \frac{5}{6} mv^2$
ऊर्जा संरक्षण के नियम को लागू करने पर,प्रारंभिक गतिज ऊर्जा अधिकतम ऊँचाई $h$ पर स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है:
$KE_i = PE_f$
$\frac{5}{6} mv^2 = mgh$
$h = \frac{5v^2}{6g}$
यहाँ $v = 3\, m/s$ और $g = 10\, m/s^2$ लेने पर:
$h = \frac{5 \times (3)^2}{6 \times 10} = \frac{5 \times 9}{60} = \frac{45}{60} = 0.75\, m$
सेंटीमीटर में बदलने पर: $0.75\, m = 75\, cm$।

(B) शुद्ध लोटनिक गति (pure rolling) में,स्थैतिक घर्षण द्वारा किया गया कार्य शून्य होता है क्योंकि संपर्क बिंदु तात्क्षणिक रूप से विरामावस्था में होता है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $(PE = mgh)$ आनत तल के निचले सिरे पर कुल गतिज ऊर्जा $(KE)$ में परिवर्तित हो जाती है।
चूंकि दोनों वस्तुएं समान ऊंचाई $h$ से विरामावस्था से चलना शुरू करती हैं,इसलिए उनके जड़त्व आघूर्ण की परवाह किए बिना,निचले सिरे पर उनकी कुल गतिज ऊर्जा समान होगी।
अतः,$KE_{\text{ring}} = KE_{\text{sphere}}$।
उनकी गतिज ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{KE_{\text{ring}}}{KE_{\text{sphere}}} = 1$ है।
यह दिया गया है कि अनुपात $\frac{7}{x}$ है,इसलिए $\frac{7}{x} = 1$,जिसका अर्थ है कि $x = 7$।

(D) नत समतल पर बिना फिसले लुढ़कती हुई वस्तु के लिए,त्वरण $a$ का सूत्र है:
$a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I_{cm}}{MR^2}}$
एक ठोस बेलन के लिए,उसके केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{1}{2} MR^2$ होता है।
इस मान को सूत्र में रखने पर:
$a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{\frac{1}{2} MR^2}{MR^2}} = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{g \sin \theta}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} g \sin \theta$
दिया गया है $g = 10 \ m/s^2$ और $\theta = 60^{\circ}$:
$a = \frac{2}{3} \times 10 \times \sin(60^{\circ}) = \frac{20}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{10 \sqrt{3}}{3} = \frac{10}{\sqrt{3}} \ m/s^2$
दिए गए व्यंजक $\frac{x}{\sqrt{3}} \ m/s^2$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 10$ प्राप्त होता है।

(C) डिस्क एक क्षैतिज सतह पर बिना फिसले लुढ़क रही है,इसलिए इसमें स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा $(K_t = \frac{1}{2} Mv^2)$ और घूर्णी गतिज ऊर्जा $(K_r = \frac{1}{2} I\omega^2)$ दोनों होती हैं।
जब डिस्क एक चिकनी झुकी हुई सतह पर ऊपर की ओर बढ़ती है,तो कोई घर्षण नहीं होता है। इसलिए,घर्षण के कारण टॉर्क शून्य होता है,और घूर्णी गतिज ऊर्जा पूरी गति के दौरान स्थिर रहती है।
जैसे-जैसे डिस्क ढलान पर ऊपर चढ़ती है,केवल स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा ही गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित होती है।
स्थानांतरीय भाग के लिए ऊर्जा संरक्षण का नियम लागू करने पर:
$\frac{1}{2} Mv^2 = Mgh$
$h$ के लिए हल करने पर:
$h = \frac{v^2}{2g}$

(B) ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए,गतिज ऊर्जा में कमी स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि के बराबर होती है।
$mgh = K.E._{total} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
चूंकि वस्तु बिना फिसले लुढ़कती है,$\omega = \frac{v}{R}$ और $I = Mk^2$,जहाँ $k$ घूर्णन त्रिज्या है।
$mgh = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{k^2}{R^2})$
$h = \frac{v^2}{2g}(1 + \frac{k^2}{R^2})$
अतः,$h \propto (1 + \frac{k^2}{R^2})$.
ठोस गोले के लिए,$\frac{k^2}{R^2} = \frac{2}{5}$,इसलिए $h_1 \propto (1 + \frac{2}{5}) = \frac{7}{5}$.
खोखले बेलन के लिए,$\frac{k^2}{R^2} = 1$,इसलिए $h_2 \propto (1 + 1) = 2$.
इसलिए,$\frac{h_1}{h_2} = \frac{7/5}{2} = \frac{7}{10}$.
दिया गया है कि $\frac{h_1}{h_2} = \frac{n}{10}$,इसलिए $n = 7$.

(A) घर्षण रहित समतल पर फिसलते समय,त्वरण $a = g \sin \theta$ होता है। $l$ दूरी तय करने में लगा समय $t = \sqrt{\frac{2l}{g \sin \theta}}$ है।
समतल पर लुढ़कते समय,त्वरण $a' = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{k^2}{R^2}}$ होता है। एक वृत्ताकार डिस्क के लिए,घूर्णन त्रिज्या $k = \frac{R}{\sqrt{2}}$ है,इसलिए $\frac{k^2}{R^2} = \frac{1}{2}$।
अतः,$a' = \frac{g \sin \theta}{1 + 1/2} = \frac{2}{3} g \sin \theta$।
लुढ़कने में लगा समय $t' = \sqrt{\frac{2l}{a'}} = \sqrt{\frac{2l}{\frac{2}{3} g \sin \theta}} = \sqrt{\frac{3}{2}} \sqrt{\frac{2l}{g \sin \theta}} = \sqrt{\frac{3}{2}} t$।
इसकी तुलना $t' = \left(\frac{\alpha}{2}\right)^{1/2} t$ से करने पर,हमें $\sqrt{\frac{\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\alpha = 3$।

(D) बिना फिसले लुढ़कने वाली वस्तु के लिए,कुल प्रारंभिक गतिज ऊर्जा स्थानांतरण और घूर्णन गतिज ऊर्जा का योग होती है: $K_i = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{k^2}{r^2})$.
अधिकतम ऊँचाई $h$ पर,गतिज ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है: $K_i = mgh$.
दोनों को बराबर करने पर: $\frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{k^2}{r^2}) = mgh$.
दिया गया है $h = \frac{3v^2}{4g}$,इसे समीकरण में रखने पर:
$\frac{1}{2}v^2(1 + \frac{k^2}{r^2}) = g(\frac{3v^2}{4g})$
$\frac{1}{2}(1 + \frac{k^2}{r^2}) = \frac{3}{4}$
$1 + \frac{k^2}{r^2} = \frac{3}{2}$
$\frac{k^2}{r^2} = \frac{1}{2}$.
चूँकि डिस्क के लिए घूर्णन त्रिज्या $k$ का वर्ग $k^2 = \frac{1}{2}r^2$ होता है,इसलिए वह वस्तु एक डिस्क है।

(D) नत समतल पर लुढ़कते हुए पिंड के लिए त्वरण $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{mR^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
खोखले बेलन के लिए,$I = mR^2$,इसलिए $a_{hollow} = \frac{g \sin \theta}{1 + 1} = \frac{g \sin \theta}{2}$.
ठोस बेलन के लिए,$I = \frac{1}{2}mR^2$,इसलिए $a_{solid} = \frac{g \sin \theta}{1 + 0.5} = \frac{g \sin \theta}{1.5} = \frac{2g \sin \theta}{3}$.
चूँकि $a_{solid} > a_{hollow}$,ठोस बेलन पहले तल पर पहुँचेगा। अतः,$STATEMENT-1$ असत्य है।
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,खोई हुई स्थितिज ऊर्जा $(mgh)$ कुल गतिज ऊर्जा $(K_{total} = K_{trans} + K_{rot})$ में परिवर्तित हो जाती है। चूँकि दोनों का द्रव्यमान और ऊँचाई समान है,इसलिए तल पर उनकी कुल गतिज ऊर्जा समान होती है। अतः,$STATEMENT-2$ सत्य है।

(C) झुके हुए तल पर लुढ़कने वाली वस्तु का त्वरण $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{k^2}{R^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
रिंग के लिए, $k^2 = R^2$, इसलिए $a_R = \frac{g \sin \theta}{1 + 1} = \frac{g \sin \theta}{2}$.
डिस्क के लिए, $k^2 = \frac{R^2}{2}$, इसलिए $a_D = \frac{g \sin \theta}{1 + 0.5} = \frac{2g \sin \theta}{3}$.
ढलान पर तय की गई दूरी $d = \frac{h}{\sin \theta}$ है।
$d = \frac{1}{2} a t^2$ का उपयोग करते हुए, $t = \sqrt{\frac{2d}{a}} = \sqrt{\frac{2h}{a \sin \theta}}$.
रिंग के लिए: $t_R = \sqrt{\frac{2h}{(g \sin \theta / 2) \sin \theta}} = \sqrt{\frac{4h}{g \sin^2 \theta}}$.
डिस्क के लिए: $t_D = \sqrt{\frac{2h}{(2g \sin \theta / 3) \sin \theta}} = \sqrt{\frac{3h}{g \sin^2 \theta}}$.
दिया गया है $\theta = 60^{\circ}$, $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$, इसलिए $\sin^2 \theta = \frac{3}{4}$.
$t_R = \sqrt{\frac{4h}{g(3/4)}} = \sqrt{\frac{16h}{3g}}$ और $t_D = \sqrt{\frac{3h}{g(3/4)}} = \sqrt{\frac{4h}{g}}$.
दिया गया है $t_R - t_D = \frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$, इसलिए $\sqrt{\frac{h}{g}} \left( \frac{4}{\sqrt{3}} - 2 \right) = \frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$.
$\sqrt{\frac{h}{10}} \left( \frac{4-2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \right) = \frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$.
$\sqrt{h} \left( \frac{2(2-\sqrt{3})}{\sqrt{3}} \right) = 2-\sqrt{3} \Rightarrow \sqrt{h} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow h = \frac{3}{4} = 0.75 \,m$.

(B) नत समतल पर लुढ़कने वाली वस्तु का त्वरण $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{k^2}{R^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
रिंग के लिए,$k^2 = R^2$,इसलिए $a_R = \frac{g \sin \theta}{1+1} = \frac{g \sin \theta}{2}$.
डिस्क के लिए,$k^2 = R^2/2$,इसलिए $a_D = \frac{g \sin \theta}{1+0.5} = \frac{2g \sin \theta}{3}$.
ढलान पर तय की जाने वाली दूरी $d = \frac{h}{\sin \theta}$ है।
$d = \frac{1}{2} a t^2$ का उपयोग करते हुए,हमें $t = \sqrt{\frac{2d}{a}} = \sqrt{\frac{2h}{a \sin \theta}}$ मिलता है।
रिंग के लिए: $t_R = \sqrt{\frac{2h}{(g \sin \theta / 2) \sin \theta}} = \sqrt{\frac{4h}{g \sin^2 \theta}} = \sqrt{\frac{4h}{g (3/4)}} = \sqrt{\frac{16h}{3g}}$.
डिस्क के लिए: $t_D = \sqrt{\frac{2h}{(2g \sin \theta / 3) \sin \theta}} = \sqrt{\frac{3h}{g \sin^2 \theta}} = \sqrt{\frac{3h}{g (3/4)}} = \sqrt{\frac{4h}{g}}$.
दिया गया है कि $t_R - t_D = \frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$,इसलिए $\sqrt{\frac{h}{g}} \left( \sqrt{\frac{16}{3}} - 2 \right) = \frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$.
$\sqrt{\frac{h}{10}} \left( \frac{4 - 2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \right) = \frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$.
$\sqrt{h} \left( \frac{2(2-\sqrt{3})}{\sqrt{3}} \right) = 2-\sqrt{3}$.
$\sqrt{h} = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies h = \frac{3}{4} = 0.75 \ m$.

(D) मान लीजिए द्रव्यमान केंद्र का त्वरण $a_c$ है और घर्षण बल $f$ है।
स्थानांतरण के लिए न्यूटन के दूसरे नियम से: $F - f = ma_c$ $(1)$
द्रव्यमान केंद्र के परितः टॉर्क समीकरण से: $fR = I_c \alpha$ $(2)$
बिना फिसले लुढ़कने के लिए: $a_c = \alpha R$,इसलिए $\alpha = \frac{a_c}{R}$.
$(2)$ में $\alpha$ का मान रखने पर: $fR = I_c \frac{a_c}{R} \implies f = \frac{I_c a_c}{R^2}$.
$(1)$ में $f$ का मान रखने पर: $F - \frac{I_c a_c}{R^2} = ma_c \implies a_c = \frac{F}{m + \frac{I_c}{R^2}}$.
$(A)$ गलत: $a_c$ का मान $I_c$ पर निर्भर करता है,जो ठोस $(I_c = \frac{1}{2}mR^2)$ और खोखले $(I_c = mR^2)$ बेलन के लिए अलग-अलग होता है।
$(D)$ सही: पतली दीवार वाले खोखले बेलन के लिए,$I_c = mR^2$. अतः,$a_c = \frac{F}{m + \frac{mR^2}{R^2}} = \frac{F}{2m}$.
$(C)$ गलत: घर्षण बल $f = \frac{I_c a_c}{R^2} = \frac{I_c F}{R^2(m + I_c/R^2)}$,जो हमेशा $\mu mg$ होना आवश्यक नहीं है।
$(B)$ सही: बिना फिसले लुढ़कने के लिए,$f \leq \mu mg$. चूँकि $f = \frac{I_c a_c}{R^2}$,इसलिए $\frac{I_c a_c}{R^2} \leq \mu mg \implies a_c \leq \frac{\mu mgR^2}{I_c}$. ठोस बेलन के लिए,$I_c = \frac{1}{2}mR^2$,इसलिए $a_c \leq \frac{\mu mgR^2}{0.5mR^2} = 2\mu g$.

(D) किसी पिंड का जड़त्व आघूर्ण $I$ द्रव्यमान के वितरण पर निर्भर करता है। चूँकि बेलन $P$ का द्रव्यमान उसकी सतह के पास केंद्रित है,इसलिए इसका जड़त्व आघूर्ण अधिक है $(I_P > I_Q)$।
नत समतल पर लुढ़कते हुए पिंड का रैखिक त्वरण $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{mR^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूँकि $I_P > I_Q$ है,इसलिए $a_P < a_Q$ होगा। इसका अर्थ है कि बेलन $Q$ तेजी से त्वरित होता है।
गति के समीकरण $s = \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर,नीचे पहुँचने में लगा समय $t = \sqrt{\frac{2s}{a}}$ है। चूँकि $a_P < a_Q$ है,इसलिए $t_P > t_Q$ होगा,जिसका अर्थ है कि $Q$ पहले जमीन पर पहुँचता है।
अंतिम वेग $v$,$v^2 = 2as$ द्वारा प्राप्त होता है। चूँकि $a_Q > a_P$ है,इसलिए $v_Q > v_P$ होगा। स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2}mv^2$ है,इसलिए $Q$ की स्थानांतरण गतिज ऊर्जा अधिक होती है।
अंत में,चूँकि $v = \omega R$ है,इसलिए कोणीय गति $\omega = \frac{v}{R}$ होगी। चूँकि $v_Q > v_P$ है,इसलिए $\omega_Q > \omega_P$ होगा। अतः,बेलन $Q$ अधिक कोणीय गति के साथ जमीन पर पहुँचता है।

(C) बिना फिसले लुढ़कने वाली डिस्क की कुल यांत्रिक ऊर्जा उसकी स्थानांतरीय और घूर्णी गतिज ऊर्जाओं का योग,और उसकी स्थितिज ऊर्जा है।
कुल ऊर्जा $E = K_{trans} + K_{rot} + U = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2 + mgh$.
एकसमान डिस्क के लिए,$I = \frac{1}{2}mR^2$ और शुद्ध लुढ़कने के लिए,$\omega = \frac{v}{R}$.
अतः,$E = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mR^2)(\frac{v}{R})^2 + mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 + mgh = \frac{3}{4}mv^2 + mgh$.
बिंदुओं $A$ और $B$,तथा $C$ और $D$ के बीच ऊर्जा संरक्षण का नियम लागू करने पर:
पथ $AB$ के लिए: $E_A = E_B \implies \frac{3}{4}mv_1^2 + mgh_1 = \frac{3}{4}mv_f^2 + 0$,जहाँ $h_1 = 30 \ m$.
पथ $CD$ के लिए: $E_C = E_D \implies \frac{3}{4}mv_2^2 + mgh_2 = \frac{3}{4}mv_f^2 + 0$,जहाँ $h_2 = 27 \ m$.
$\frac{3}{4}mv_f^2$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{3}{4}mv_1^2 + mgh_1 = \frac{3}{4}mv_2^2 + mgh_2$.
दिए गए मान रखने पर: $\frac{3}{4}(3)^2 + 10(30) = \frac{3}{4}v_2^2 + 10(27)$.
$\frac{27}{4} + 300 = \frac{3}{4}v_2^2 + 270$.
$6.75 + 30 = \frac{3}{4}v_2^2 \implies 36.75 = \frac{3}{4}v_2^2$.
$v_2^2 = \frac{36.75 \times 4}{3} = 12.25 \times 4 = 49$.
$v_2 = \sqrt{49} = 7 \ m/s$.

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $M = 1 kg$,त्रिज्या $R = 1 m$,$\theta = 30^{\circ}$,$g = 10 m s^{-2}$.
समतल पर नीचे की ओर भार का घटक: $Mg \sin \theta = 1 \times 10 \times \sin 30^{\circ} = 5 N$.
माना $f$ समतल पर ऊपर की ओर लगने वाला घर्षण बल है। दो $1 N$ के बाहरी बल विपरीत दिशाओं में कार्य करते हैं।
स्थानांतरण के लिए गति का समीकरण: $Mg \sin \theta - f = Ma \Rightarrow 5 - f = a \Rightarrow f = 5 - a$.
द्रव्यमान केंद्र $(COM)$ के परितः घूर्णन के लिए समीकरण: $\tau_{net} = I \alpha$.
घर्षण बल $f$ के कारण टॉर्क $fR$ है और दो $1 N$ बलों के कारण टॉर्क $2 \times (1 N \times 0.5 m) = 1 N m$ है।
अतः,$fR - 1 = I \alpha$,जहाँ $I = \frac{2}{5} MR^2 = 0.4 kg m^2$ और $\alpha = \frac{a}{R} = a$.
$f(1) - 1 = 0.4 a \Rightarrow f = 1 + 0.4 a$.
$f$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $5 - a = 1 + 0.4 a$.
$4 = 1.4 a \Rightarrow a = \frac{40}{14} = \frac{20}{7} \approx 2.86 m s^{-2}$.

(A) कार्य-ऊर्जा प्रमेय $(WET)$ का उपयोग करते हुए:
$W_g = K_f - K_i$
चूंकि गोला विरामावस्था से शुरू होता है,$K_i = 0$। गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य $W_g = mgL \sin \theta$ है।
शुद्ध लोटनिक गति (pure rolling) में कुल गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ इस प्रकार है:
$K_f = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} I_{cm} \omega^2$
एक ठोस गोले के लिए,$I_{cm} = \frac{2}{5} mr^2$ और शुद्ध लोटनिक गति के लिए,$\omega = \frac{v}{r}$।
$K_f = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} (\frac{2}{5} mr^2) (\frac{v^2}{r^2}) = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{5} mv^2 = \frac{7}{10} mv^2$।
किए गए कार्य को गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर रखने पर:
$mgL \sin \theta = \frac{7}{10} mv^2$
$v^2 = \frac{10}{7} gL \sin \theta$
इसका अर्थ है कि $v^2 \propto \sin \theta$।
अतः,अनुपात है:
$\frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{\sin 30^{\circ}}{\sin 45^{\circ}} = \frac{1/2}{1/\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
इस प्रकार,$v_1^2 : v_2^2$ का अनुपात $1 : \sqrt{2}$ है।

(C) नत समतल पर लुढ़कते हुए पिंड का रैखिक त्वरण $a$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{mr^2}}$.
एक समान ठोस बेलन के लिए,उसकी केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} mr^2$ होता है।
इस मान को त्वरण के सूत्र में रखने पर: $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{1/2 mr^2}{mr^2}} = \frac{g \sin \theta}{1 + 1/2} = \frac{g \sin \theta}{3/2} = \frac{2}{3} g \sin \theta$.
यहाँ झुकाव कोण $\theta = 45^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\sin 45^{\circ}$ का मान $a$ के व्यंजक में रखने पर: $a = \frac{2}{3} g \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \frac{\sqrt{2} g}{3}$.

(A) नत समतल पर $\ell$ दूरी तय करने में लगा समय $t = \sqrt{\frac{2\ell}{a_{cm}}}$ द्वारा दिया जाता है।
नत समतल पर लुढ़कती हुई वस्तु का त्वरण $a_{cm} = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I_{cm}}{MR^2}}$ होता है।
ठोस गोले के लिए,$I_{cm} = \frac{2}{5}MR^2$,इसलिए $a_1 = \frac{g \sin \theta}{1 + 2/5} = \frac{5g \sin \theta}{7}$।
खोखले गोले के लिए,$I_{cm} = \frac{2}{3}MR^2$,इसलिए $a_2 = \frac{g \sin \theta}{1 + 2/3} = \frac{3g \sin \theta}{5}$।
त्वरणों की तुलना करने पर,$a_1 = \frac{5}{7}g \sin \theta \approx 0.714 g \sin \theta$ और $a_2 = \frac{3}{5}g \sin \theta = 0.6 g \sin \theta$। अतः,$a_1 > a_2$।
चूंकि $t \propto \frac{1}{\sqrt{a_{cm}}}$,इसलिए अधिक त्वरण का अर्थ है कम समय। अतः,$t_1 < t_2$।

(A) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए,शीर्ष पर स्थितिज ऊर्जा निचले सिरे पर स्थानांतरण और घूर्णन गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है: $Mgh = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} I\omega^2$.
चूंकि वस्तु बिना फिसले लुढ़कती है,$\omega = \frac{v}{R}$,इसलिए $Mgh = \frac{1}{2} Mv^2 (1 + \frac{k^2}{R^2})$,जहाँ $k$ घूर्णन त्रिज्या है।
अतः,$v = \sqrt{\frac{2gh}{1 + \frac{k^2}{R^2}}}$.
वलय के लिए,$I = MR^2$,इसलिए $k^2 = R^2$ और $v_{\text{ring}} = \sqrt{\frac{2gh}{1+1}} = \sqrt{gh}$.
ठोस गोले के लिए,$I = \frac{2}{5}MR^2$,इसलिए $k^2 = \frac{2}{5}R^2$ और $v_{\text{sphere}} = \sqrt{\frac{2gh}{1 + 2/5}} = \sqrt{\frac{10gh}{7}}$.
वेगों का अनुपात $\frac{v_{\text{ring}}}{v_{\text{sphere}}} = \frac{\sqrt{gh}}{\sqrt{10gh/7}} = \sqrt{\frac{7}{10}}$ है।
$\sqrt{\frac{x}{5}}$ के रूप में लिखने पर,$\sqrt{\frac{7}{10}} = \sqrt{\frac{3.5}{5}}$.
निकटतम पूर्णांक में पूर्णांकित करने पर,$x = 4$ प्राप्त होता है।

(A) बिना फिसले ढलान पर लुढ़कने वाली वस्तु के लिए,नीचे पहुँचने पर रैखिक वेग $v$ का सूत्र है: $v = \sqrt{\frac{2gh}{1 + \frac{K^2}{R^2}}}$.
ठोस गोले के लिए,घूर्णन त्रिज्या $K$ का मान $K^2 = \frac{2}{5}R^2$ होता है,इसलिए $\frac{K^2}{R^2} = \frac{2}{5}$.
दी गई मानों $g = 10 \ \text{m/s}^2$ और $h = 14 \ \text{m}$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$v = \sqrt{\frac{2 \times 10 \times 14}{1 + \frac{2}{5}}} = \sqrt{\frac{280}{\frac{7}{5}}} = \sqrt{\frac{280 \times 5}{7}}$.
$v = \sqrt{40 \times 5} = \sqrt{200} = 10 \sqrt{2} \ \text{m/s}$.