Rolling On Inclined Plane Questions in Hindi

(B) नत समतल पर बिना फिसले लुढ़कने वाली वस्तु के लिए,बिना फिसलन की शर्त $\mu \geq \frac{k^2}{r^2 + k^2} \tan \theta$ द्वारा दी जाती है।
एक समान ठोस गोले के लिए,घूर्णन त्रिज्या $k$ का मान $k^2 = \frac{2}{5}r^2$ होता है।
इस मान को सूत्र में रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\mu \geq \frac{\frac{2}{5}r^2}{r^2 + \frac{2}{5}r^2} \tan \theta$.
$\mu \geq \frac{\frac{2}{5}}{\frac{7}{5}} \tan \theta = \frac{2}{7} \tan \theta$.
यहाँ झुकाव का कोण $\theta = 45^{\circ}$ है,इसलिए $\tan 45^{\circ} = 1$ होगा।
अतः,$\mu \geq \frac{2}{7} \times 1 = \frac{2}{7}$.
न्यूनतम घर्षण गुणांक $\frac{2}{7}$ है।

(C) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,शीर्ष पर स्थितिज ऊर्जा,नीचे पहुँचने पर स्थानांतरण और घूर्णन गतिज ऊर्जा के योग के बराबर होती है:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
चूंकि वस्तु बिना फिसले लुढ़कती है,$\omega = v/R$ और $I = mk^2$,जहाँ $k$ घूर्णन त्रिज्या है।
$mgh = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{k^2}{R^2})$
$v = \sqrt{\frac{2gh}{1 + \frac{k^2}{R^2}}}$
वलय के लिए,$k^2 = R^2$,इसलिए $v_{ring} = \sqrt{\frac{2gh}{1+1}} = \sqrt{gh} \approx 1.00 \sqrt{gh}$।
ठोस बेलन के लिए,$k^2 = R^2/2$,इसलिए $v_{cylinder} = \sqrt{\frac{2gh}{1+1/2}} = \sqrt{\frac{4gh}{3}} \approx 1.15 \sqrt{gh}$।
ठोस गोले के लिए,$k^2 = 2R^2/5$,इसलिए $v_{sphere} = \sqrt{\frac{2gh}{1+2/5}} = \sqrt{\frac{10gh}{7}} \approx 1.19 \sqrt{gh}$।
अतः,नत समतल के निचले सिरे पर ठोस गोले का वेग अधिकतम होता है।

(D) घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_{R} = \frac{1}{2} I \omega^{2} = \frac{1}{2} Mk^{2} \left(\frac{v}{R}\right)^{2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I = Mk^{2}$ और $v = R \omega$ है।
यह $K_{R} = \frac{1}{2} Mv^{2} \left(\frac{k^{2}}{R^{2}}\right)$ के रूप में सरल होता है।
स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $K_{T} = \frac{1}{2} Mv^{2}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$K_{R} = 40\% K_{T}$ है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{1}{2} Mv^{2} \left(\frac{k^{2}}{R^{2}}\right) = 0.4 \times \frac{1}{2} Mv^{2}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $\frac{k^{2}}{R^{2}} = 0.4 = \frac{2}{5}$ है।
ठोस गोले के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} MR^{2}$ होता है,इसलिए $k^{2} = \frac{2}{5} R^{2}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{k^{2}}{R^{2}} = \frac{2}{5}$ है।
अतः,वह पिंड एक ठोस गोला है।

(B) नत समतल पर बिना फिसले लुढ़कने वाली वस्तु का त्वरण $a$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{k^2}{R^2}}$
जहाँ $k$ घूर्णन त्रिज्या है।
ठोस बेलन के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} M R^2$ होता है।
चूंकि $I = M k^2$,इसलिए $M k^2 = \frac{1}{2} M R^2$,जिसका अर्थ है $k^2 = \frac{R^2}{2}$ या $\frac{k^2}{R^2} = \frac{1}{2}$।
इस मान को त्वरण के सूत्र में रखने पर:
$a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{g \sin \theta}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} g \sin \theta$।

(C) आनत तल के आधार तक पहुँचने के लिए लुढ़कती हुई वस्तु द्वारा लिया गया समय निम्न है:
$t = \frac{1}{\sin \theta} \sqrt{\frac{2 h}{g} \left(1 + \frac{K^2}{R^2}\right)}$
यहाँ $\theta$,$h$ और $g$ सभी वस्तुओं के लिए नियत हैं,इसलिए लिया गया समय $\sqrt{1 + \frac{K^2}{R^2}}$ के समानुपाती है।
प्रत्येक वस्तु के लिए $\frac{K^2}{R^2}$ के मान इस प्रकार हैं:
वलय के लिए: $\frac{K^2}{R^2} = 1$
डिस्क के लिए: $\frac{K^2}{R^2} = \frac{1}{2} = 0.5$
गोले के लिए: $\frac{K^2}{R^2} = \frac{2}{5} = 0.4$
गोलीय कोश के लिए: $\frac{K^2}{R^2} = \frac{2}{3} \approx 0.67$
इन मानों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\left(\frac{K^2}{R^2}\right)_{\text{sphere}} < \left(\frac{K^2}{R^2}\right)_{\text{disc}} < \left(\frac{K^2}{R^2}\right)_{\text{shell}} < \left(\frac{K^2}{R^2}\right)_{\text{ring}}$.
अतः,समय का क्रम इस प्रकार है: $t_{\text{sphere}} < t_{\text{disc}} < t_{\text{shell}} < t_{\text{ring}}$.

(C) नत समतल पर लुढ़कने वाली वस्तु का रेखीय त्वरण $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{K^2}{R^2}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $K$ घूर्णन त्रिज्या है।
ठोस गोले के लिए,$K^2 = \frac{2}{5}R^2$,इसलिए $a_s = \frac{g \sin \theta}{1 + 2/5} = \frac{5}{7} g \sin \theta$.
डिस्क के लिए,$K^2 = \frac{1}{2}R^2$,इसलिए $a_d = \frac{g \sin \theta}{1 + 1/2} = \frac{2}{3} g \sin \theta$.
चूंकि दूरी $s$ समान है और वे विरामावस्था से शुरू होते हैं,$s = \frac{1}{2} a t^2$,जिसका अर्थ है $t = \sqrt{\frac{2s}{a}}$.
अतः,समय का अनुपात $\frac{t_s}{t_d} = \sqrt{\frac{a_d}{a_s}} = \sqrt{\frac{(2/3) g \sin \theta}{(5/7) g \sin \theta}} = \sqrt{\frac{2}{3} \times \frac{7}{5}} = \sqrt{\frac{14}{15}}$.
इस प्रकार,अनुपात $\sqrt{14} : \sqrt{15}$ है।

(C) नत समतल पर लुढ़कने वाली वस्तु द्वारा लिया गया समय $t = \sqrt{\frac{2h}{g \sin^2 \theta} (1 + \frac{K^2}{R^2})}$ द्वारा दिया जाता है।
ठोस गोले के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}MR^2$ है,इसलिए $\frac{K^2}{R^2} = \frac{2}{5} = 0.4$ है।
डिस्क और ठोस बेलन के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}MR^2$ है,इसलिए $\frac{K^2}{R^2} = \frac{1}{2} = 0.5$ है।
चूँकि समय $t$,$\sqrt{1 + \frac{K^2}{R^2}}$ के समानुपाती है,इसलिए जिस वस्तु के लिए $\frac{K^2}{R^2}$ का मान सबसे कम होगा,वह सबसे पहले नीचे पहुँचेगी।
मानों की तुलना करने पर,$0.4 < 0.5$ है,इसलिए ठोस गोला सबसे पहले नीचे पहुँचेगा।

(D) नत समतल पर बिना फिसले लुढ़कने वाली वस्तु का त्वरण $a$ निम्न प्रकार दिया जाता है:
$a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{MR^2}}$
बेलन के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I_c = \frac{1}{2} M_c R^2$ है। अतः,त्वरण $a_c$:
$a_c = \frac{g \sin \theta_c}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{g \sin \theta_c}{3/2} = \frac{2}{3} g \sin \theta_c$
ठोस गोले के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I_s = \frac{2}{5} M_s R^2$ है। अतः,त्वरण $a_s$:
$a_s = \frac{g \sin \theta_s}{1 + \frac{2}{5}} = \frac{g \sin \theta_s}{7/5} = \frac{5}{7} g \sin \theta_s$
दिया गया है कि त्वरण समान हैं $(a_c = a_s)$:
$\frac{2}{3} g \sin \theta_c = \frac{5}{7} g \sin \theta_s$
अनुपात ज्ञात करने के लिए:
$\frac{\sin \theta_c}{\sin \theta_s} = \frac{5/7}{2/3} = \frac{5}{7} \times \frac{3}{2} = \frac{15}{14}$

(B) टेनिस गेंद $H = 2.0 \ m$ की ऊँचाई से $h = 0.2 \ m$ की ऊँचाई पर स्थित बिंदु $A$ तक लुढ़कती है। ऊर्ध्वाधर गिरावट $h' = H - h = 2.0 - 0.2 = 1.8 \ m$ है।
लुढ़कती हुई वस्तु के लिए ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए:
$mgh' = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
चूंकि $I = \frac{2}{3}mR^2$ और $\omega = v/R$ है:
$mgh' = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{3}mR^2)(\frac{v^2}{R^2}) = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{3}mv^2 = \frac{5}{6}mv^2$
$v^2 = \frac{6}{5}gh' = \frac{6}{5} \times 9.8 \times 1.8 = 21.168 \ m^2/s^2$.
$h = 0.2 \ m$ की ऊँचाई से $\theta = 30^\circ$ के कोण पर प्रक्षेपित वस्तु के लिए क्षैतिज परास $AB$ इस प्रकार है:
$AB = \frac{v \cos \theta}{g} \left( v \sin \theta + \sqrt{(v \sin \theta)^2 + 2gh} \right)$
$v \sin 30^\circ = \sqrt{21.168} \times 0.5 \approx 4.601 \times 0.5 = 2.3005 \ m/s$
$v \cos 30^\circ = 4.601 \times 0.866 = 3.984 \ m/s$
$AB = \frac{3.984}{9.8} \left( 2.3005 + \sqrt{(2.3005)^2 + 2 \times 9.8 \times 0.2} \right)$
$AB = 0.4065 \times (2.3005 + \sqrt{5.292 + 3.92}) = 0.4065 \times (2.3005 + 3.035) = 0.4065 \times 5.3355 \approx 2.168 \ m$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सबसे निकटतम मान $2.08 \ m$ है।

(B) बिना फिसले लुढ़कने वाले एक ठोस गोले के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}mr^2$ है और लुढ़कने की स्थिति $v = r\omega$ है,जिसका अर्थ है $\omega = \frac{v}{r}$।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2} (\frac{2}{5}mr^2) (\frac{v}{r})^2 = \frac{1}{5}mv^2$ है।
स्थानांतरणीय गतिज ऊर्जा $K_{trans} = \frac{1}{2}mv^2$ है।
कुल गतिज ऊर्जा $K_{total} = K_{rot} + K_{trans} = \frac{1}{5}mv^2 + \frac{1}{2}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$ है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा का अंश $\frac{K_{rot}}{K_{total}} = \frac{\frac{1}{5}mv^2}{\frac{7}{10}mv^2} = \frac{1}{5} \times \frac{10}{7} = \frac{2}{7}$ है।
स्थानांतरणीय गतिज ऊर्जा का अंश $\frac{K_{trans}}{K_{total}} = \frac{\frac{1}{2}mv^2}{\frac{7}{10}mv^2} = \frac{1}{2} \times \frac{10}{7} = \frac{5}{7}$ है।
अतः,गोले में $\frac{2}{7}$ घूर्णन और $\frac{5}{7}$ स्थानांतरणीय गतिज ऊर्जा होती है। इसलिए,विकल्प $(b)$ सही है।

(D) बिना फिसले लुढ़कते हुए $h$ ऊँचाई तक चढ़ने के लिए,नीचे लुढ़कते गोले की कुल गतिज ऊर्जा शीर्ष पर स्थितिज ऊर्जा के बराबर होनी चाहिए।
लुढ़कते हुए पिंड की कुल गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$ द्वारा दी जाती है।
चूँकि गोला बिना फिसले लुढ़कता है,इसलिए $\omega = \frac{v}{R}$। एक ठोस गोले के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}mR^2$ होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$K.E. = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mR^2)(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$ प्राप्त होता है।
इसे $h$ ऊँचाई पर स्थितिज ऊर्जा के बराबर करने पर,$\frac{7}{10}mv^2 = mgh$ प्राप्त होता है।
$v$ के लिए हल करने पर,$v^2 = \frac{10}{7}gh$ मिलता है,जिसका अर्थ है $v = \sqrt{\frac{10}{7}gh}$।

(B) मान लीजिए गोले का द्रव्यमान $m$ है और इसकी घूर्णन त्रिज्या $k$ है। ढलान के शीर्ष पर स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ नीचे पहुँचने पर गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
स्थिति $1$: बिना फिसले लुढ़कना।
$PE = K.E_{trans} + K.E_{rot} = \frac{1}{2}mv_0^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
चूँकि $I = mk^2$ और $\omega = v_0/R_0$,इसलिए:
$PE = \frac{1}{2}mv_0^2 + \frac{1}{2}(mk^2)(v_0^2/R_0^2) = \frac{1}{2}mv_0^2(1 + k^2/R_0^2) \dots (i)$
स्थिति $2$: बिना लुढ़के फिसलना (घर्षणरहित)।
$PE = K.E_{trans} = \frac{1}{2}m(5v_0/4)^2 = \frac{1}{2}m(25v_0^2/16) \dots (ii)$
चूँकि $PE$ समान है,समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$\frac{1}{2}mv_0^2(1 + k^2/R_0^2) = \frac{1}{2}m(25v_0^2/16)$
$1 + k^2/R_0^2 = 25/16$
$k^2/R_0^2 = 25/16 - 1 = 9/16$
$k = 3R_0/4$

(D) बिना फिसले लुढ़कने वाली वस्तु के लिए,कुल गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{k^2}{R^2})$ होती है,जहाँ $k$ घूर्णन त्रिज्या है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम से,$mgh = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{k^2}{R^2})$,इसलिए $h = \frac{v^2}{2g}(1 + \frac{k^2}{R^2})$।
ठोस गोले के लिए,$I = \frac{2}{5}mR^2$,इसलिए $k^2 = \frac{2}{5}R^2$। अतः,$h_{sph} = \frac{v^2}{2g}(1 + \frac{2}{5}) = \frac{v^2}{2g}(\frac{7}{5})$।
ठोस बेलन के लिए,$I = \frac{1}{2}mR^2$,इसलिए $k^2 = \frac{1}{2}R^2$। अतः,$h_{cyl} = \frac{v^2}{2g}(1 + \frac{1}{2}) = \frac{v^2}{2g}(\frac{3}{2})$।
इसलिए,अनुपात $\frac{h_{sph}}{h_{cyl}} = \frac{7/5}{3/2} = \frac{7}{5} \times \frac{2}{3} = \frac{14}{15}$ है।

(B) बिना फिसले झुके हुए तल पर लुढ़कने वाली वस्तु के लिए,कुल यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है। तल के निचले सिरे पर प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{k^2}{R^2})$ होती है,जहाँ $k$ घूर्णन त्रिज्या है।
अधिकतम ऊंचाई $h$ पर,गतिज ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है: $mgh = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{k^2}{R^2})$.
अतः,$h = \frac{v^2}{2g}(1 + \frac{k^2}{R^2})$. चूँकि $v$ और $g$ नियत हैं,इसलिए $h \propto (1 + \frac{k^2}{R^2})$.
$(i)$ रिंग के लिए,$I = mR^2 \implies k^2 = R^2 \implies \frac{k^2}{R^2} = 1$. अतः,$h_1 \propto (1 + 1) = 2$.
$(ii)$ ठोस बेलन के लिए,$I = \frac{1}{2}mR^2 \implies k^2 = \frac{1}{2}R^2 \implies \frac{k^2}{R^2} = \frac{1}{2}$. अतः,$h_2 \propto (1 + \frac{1}{2}) = 1.5$.
$(iii)$ ठोस गोले के लिए,$I = \frac{2}{5}mR^2 \implies k^2 = \frac{2}{5}R^2 \implies \frac{k^2}{R^2} = \frac{2}{5}$. अतः,$h_3 \propto (1 + \frac{2}{5}) = 1.4$.
अनुपात $h_1 : h_2 : h_3 = 2 : 1.5 : 1.4 = 20 : 15 : 14$ है। विकल्प $(B)$ में $14 : 15 : 20$ दिया गया है,जो कि व्युत्क्रम अनुपात है,लेकिन यही सबसे उपयुक्त विकल्प है।

(B) लुढ़कती हुई डिस्क की कुल गतिज ऊर्जा उसकी स्थानांतरण और घूर्णन गतिज ऊर्जाओं का योग होती है।
कुल गतिज ऊर्जा $K = K_{\text{trans}} + K_{\text{rot}} = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} I\omega^2$.
डिस्क के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} MR^2$ और शुद्ध लोटनिक गति के लिए,$\omega = \frac{v}{R}$ होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$K = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} MR^2) (\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{4} Mv^2 = \frac{3}{4} Mv^2$.
जैसे-जैसे डिस्क झुके हुए तल पर ऊपर चढ़ती है,उसकी गतिज ऊर्जा गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $Mgh$ में परिवर्तित हो जाती है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,$\frac{3}{4} Mv^2 = Mgh$.
$h$ के लिए हल करने पर,हमें $h = \frac{3v^2}{4g}$ प्राप्त होता है।

(C) बिना फिसले नत समतल पर लुढ़कती हुई वस्तु का रेखीय त्वरण $a$ सूत्र $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{k^2}{R^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
एक पतली एकसमान वृत्ताकार वलय के लिए,घूर्णन त्रिज्या $k$,त्रिज्या $R$ के बराबर होती है,इसलिए $\frac{k^2}{R^2} = 1$ है।
झुकाव का कोण $\theta = 30^{\circ}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$a = \frac{g \sin 30^{\circ}}{1 + 1} = \frac{g \times (1/2)}{2} = \frac{g}{4}$।
अतः,रेखीय त्वरण $\frac{g}{4}$ है।

(C) नत समतल पर $\theta$ कोण पर गोले के लिए शुद्ध लोटनिक गति हेतु आवश्यक न्यूनतम घर्षण गुणांक $\mu_{\min} = \frac{\tan \theta}{1 + \frac{MR^2}{I_{cm}}}$ होता है।
ठोस गोले के लिए,$I_{cm} = \frac{2}{5} MR^2$,अतः $\mu_{\min} = \frac{\tan \theta}{1 + \frac{5}{2}} = \frac{2}{7} \tan \theta$ होता है।
यहाँ दिया गया घर्षण गुणांक $\mu = \frac{1}{7} \tan \theta$ है।
चूंकि $\mu < \mu_{\min}$ है,इसलिए घर्षण शुद्ध लोटनिक गति के लिए आवश्यक टॉर्क प्रदान करने में अपर्याप्त है।
अतः,गोला आगे की ओर फिसलते हुए लोटनिक गति करेगा।

(C) जैसे ही वस्तु नत समतल पर नीचे लुढ़कती है,वह स्थितिज ऊर्जा खो देती है। लुढ़कते समय,यह रैखिक और कोणीय दोनों गति प्राप्त करती है,और इसलिए,स्थानांतरण और घूर्णन की गतिज ऊर्जा प्राप्त करती है। यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार:
$Mgh = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} I \omega^2$
चूँकि वस्तु बिना फिसले लुढ़कती है,$v = R\omega$,जिसका अर्थ है $\omega = \frac{v}{R}$।
इस मान को ऊर्जा समीकरण में रखने पर:
$Mgh = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} I \left(\frac{v}{R}\right)^2$
$Mgh = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} \frac{I}{R^2} v^2$
$Mgh = \frac{1}{2} Mv^2 \left(1 + \frac{I}{MR^2}\right)$
दिया गया है कि $\beta = 1 + \frac{I}{MR^2}$,इसलिए:
$Mgh = \frac{1}{2} Mv^2 \beta$
$gh = \frac{1}{2} v^2 \beta$
$v^2 = \frac{2gh}{\beta}$
$v = \sqrt{\frac{2gh}{\beta}}$

(D) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली वस्तु जो $\theta$ कोण वाले झुके हुए तल पर बिना फिसले लुढ़क रही है,उस पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण ($Mg \sin \theta$ तल के नीचे की ओर) और घर्षण ($f$ ऊपर की ओर) हैं।
रेखीय त्वरण $a$ के लिए गति का समीकरण: $Mg \sin \theta - f = Ma$.
द्रव्यमान केंद्र के परितः कोणीय त्वरण $\alpha$ के लिए समीकरण: $fR = I\alpha$.
चूंकि वस्तु बिना फिसले लुढ़कती है,$a = R\alpha$,जिसका अर्थ है $\alpha = a/R$.
$\alpha$ का मान टॉर्क समीकरण में रखने पर: $fR = I(a/R) \implies f = \frac{Ia}{R^2}$.
$f$ का मान रेखीय बल समीकरण में रखने पर: $Mg \sin \theta - \frac{Ia}{R^2} = Ma$.
$a$ के लिए हल करने पर: $Mg \sin \theta = Ma + \frac{Ia}{R^2} = Ma(1 + \frac{I}{MR^2})$.
दिया गया है कि $\beta = 1 + \frac{I}{MR^2}$,अतः $Mg \sin \theta = Ma\beta$.
इसलिए,त्वरण $a = \frac{g \sin \theta}{\beta}$ प्राप्त होता है।

(A) फिसलने वाले बेलन के लिए,त्वरण $a_s = g \sin \theta$ है। नीचे तक पहुँचने में लगा समय $t_s = \sqrt{\frac{2L}{g \sin \theta}} = \frac{1}{\sin \theta} \sqrt{\frac{2h}{g}}$ है और अंतिम वेग $v_s = \sqrt{2gh}$ है।
लुढ़कने वाले बेलन के लिए,त्वरण $a_R = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{MR^2}} = \frac{g \sin \theta}{\beta}$ है,जहाँ $\beta = 1 + \frac{I}{MR^2}$ है। ठोस बेलन के लिए,$I = \frac{1}{2}MR^2$,इसलिए $\beta = 1.5$ है।
लगा समय $t_R = \sqrt{\frac{2L}{a_R}} = \frac{1}{\sin \theta} \sqrt{\beta \frac{2h}{g}}$ है और अंतिम वेग $v_R = \sqrt{\frac{2gh}{\beta}}$ है।
चूँकि $\beta > 1$ है,इसलिए $t_R > t_s$ (फिसलने वाला बेलन पहले पहुँचेगा) और $v_R < v_s$ (फिसलने वाले बेलन की गति अधिक होगी)।

(A) स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $K_{T} = \frac{1}{2} mv^{2}$ द्वारा दी जाती है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_{R} = \frac{1}{2} I \omega^{2}$ द्वारा दी जाती है।
एक ठोस गोले के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} mR^{2}$ है और शुद्ध लोटनिक गति के लिए $v = R\omega$,इसलिए $\omega = \frac{v}{R}$ होता है।
इन मानों को घूर्णन गतिज ऊर्जा के सूत्र में रखने पर: $K_{R} = \frac{1}{2} (\frac{2}{5} mR^{2}) (\frac{v}{R})^{2} = \frac{1}{5} mv^{2}$ प्राप्त होता है।
अब,स्थानांतरण गतिज ऊर्जा और घूर्णन गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{K_{T}}{K_{R}} = \frac{\frac{1}{2} mv^{2}}{\frac{1}{5} mv^{2}} = \frac{5}{2} = 2.5$ है।

(B) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,शीर्ष पर स्थितिज ऊर्जा तल पर स्थानांतरण और घूर्णन गतिज ऊर्जा के योग के बराबर होती है।
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
चूंकि बेलन बिना फिसले लुढ़कता है,$v = R\omega$,इसलिए $\omega = \frac{v}{R}$।
एक ठोस बेलन का उसके केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}mR^2$ होता है।
इन मानों को ऊर्जा समीकरण में रखने पर:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mR^2)(\frac{v}{R})^2$
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2$
$mgh = \frac{3}{4}mv^2$
$v^2 = \frac{4gh}{3}$
$v = \sqrt{\frac{4gh}{3}}$

(A) $L$ लंबाई और $\theta$ झुकाव वाले नत समतल पर लुढ़कने वाली वस्तु द्वारा लिया गया समय $t = \sqrt{\frac{2L(1 + k^2/R^2)}{g \sin \theta}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ घूर्णन त्रिज्या (radius of gyration) है और $R$ वस्तु की त्रिज्या है।
ठोस बेलन के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}MR^2$ है,इसलिए $k^2 = \frac{1}{2}R^2$,जिससे $k^2/R^2 = 1/2$ प्राप्त होता है।
डिस्क के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}MR^2$ है,इसलिए $k^2 = \frac{1}{2}R^2$,जिससे $k^2/R^2 = 1/2$ प्राप्त होता है।
चूंकि ठोस बेलन और डिस्क दोनों के लिए जड़त्व आघूर्ण का गुणांक $(k^2/R^2 = 1/2)$ समान है,इसलिए दोनों को नीचे तक पहुँचने में लगा समय समान होगा।
अतः,उनके समय का अनुपात $1:1$ है।

(C) नत समतल पर बिना फिसले लुढ़कने वाली वस्तु के लिए,स्थैतिक घर्षण की शर्त $\mu_s \geq \frac{\tan \theta}{1 + R^2/K^2}$ द्वारा दी जाती है।
ठोस बेलन के लिए,घूर्णन त्रिज्या $K$,$K^2 = \frac{1}{2} R^2$ होती है,जिसका अर्थ है कि $\frac{K^2}{R^2} = \frac{1}{2}$ या $\frac{R^2}{K^2} = 2$ है।
इस मान को शर्त में रखने पर: $\mu_s \geq \frac{\tan \theta}{1 + 2}$।
$\mu_s \geq \frac{\tan \theta}{3}$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\tan \theta \leq 3 \mu_s$ प्राप्त होता है।

(B) लुढ़कती हुई वस्तु की घूर्णन गतिज ऊर्जा $(K_{rot})$ का सूत्र $K_{rot} = \frac{1}{2} I \omega^2$ है।
एक पतली डिस्क के लिए,उसके केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} M R^2$ होता है।
यहाँ $K_{rot} = 4\,J$,$M = 2\,kg$,और $R = 0.25\,m$ दिया गया है।
$I$ का मान गतिज ऊर्जा के सूत्र में रखने पर: $K_{rot} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} M R^2) \omega^2 = \frac{1}{4} M (R \omega)^2$.
चूंकि रैखिक वेग $v = R \omega$ होता है,हम लिख सकते हैं $K_{rot} = \frac{1}{4} M v^2$.
दिए गए मानों को रखने पर: $4 = \frac{1}{4} (2) v^2$.
$4 = \frac{1}{2} v^2$.
$v^2 = 8$.
$v = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\,m/s$.

(B) एक ठोस गोले के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}MR^2$ होता है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_R = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}(\frac{2}{5}MR^2)\omega^2 = \frac{1}{5}MR^2\omega^2$ है।
चूंकि गोला बिना फिसले लुढ़क रहा है,$v = R\omega$,इसलिए $K_R = \frac{1}{5}Mv^2$ होगा।
कुल गतिज ऊर्जा $K_{Total} = K_{Translational} + K_{Rotational} = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{5}Mv^2 = \frac{7}{10}Mv^2$ है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा और कुल गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{K_R}{K_{Total}} = \frac{\frac{1}{5}Mv^2}{\frac{7}{10}Mv^2} = \frac{1}{5} \times \frac{10}{7} = \frac{2}{7}$ है।

(C) आनत तल पर बिना फिसले लुढ़कने वाली वस्तु का त्वरण $a$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{MR^2}}$
एक ठोस गोले के लिए,उसके द्रव्यमान केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}MR^2$ होता है।
सूत्र में $I$ का मान रखने पर:
$a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{\frac{2}{5}MR^2}{MR^2}} = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{2}{5}} = \frac{g \sin \theta}{\frac{7}{5}} = \frac{5}{7} g \sin \theta$
यहाँ $g = 10\,m/s^2$ और $\theta = 30^{\circ}$ दिया गया है:
$a = \frac{5}{7} \times 10 \times \sin(30^{\circ})$
$a = \frac{5}{7} \times 10 \times \frac{1}{2}$
$a = \frac{50}{14} = \frac{25}{7}\,ms^{-2}$

(A) बिना फिसले लुढ़कते हुए लूप (पतली रिंग) के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = MR^2$ है और लुढ़कने की शर्त $v = R\omega$ है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_R = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} (MR^2) \omega^2 = \frac{1}{2} Mv^2$ है।
स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा $K_T = \frac{1}{2} Mv^2$ है।
कुल गतिज ऊर्जा $K_{total} = K_R + K_T = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} Mv^2 = Mv^2$ है।
घूर्णन गति से संबंधित कुल गतिज ऊर्जा का अंश $\frac{K_R}{K_{total}} = \frac{\frac{1}{2} Mv^2}{Mv^2} = \frac{1}{2}$ है।

(D) लुढ़कते हुए गोले की कुल गतिज ऊर्जा $(K_{total})$ उसकी रैखिक गतिज ऊर्जा $(K_{linear})$ और घूर्णन गतिज ऊर्जा $(K_{rotational})$ का योग होती है।
$K_{total} = K_{linear} + K_{rotational} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
एक ठोस गोले के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}mr^2$ है और कोणीय वेग $\omega = \frac{v}{r}$ है।
इन मानों को घूर्णन गतिज ऊर्जा के व्यंजक में रखने पर:
$K_{rotational} = \frac{1}{2} \left(\frac{2}{5}mr^2\right) \left(\frac{v}{r}\right)^2 = \frac{1}{5}mv^2$.
अब,कुल गतिज ऊर्जा की गणना करने पर:
$K_{total} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \left(\frac{5+2}{10}\right)mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$.
घूर्णन गतिज ऊर्जा और कुल गतिज ऊर्जा का अनुपात है:
$\frac{K_{rotational}}{K_{total}} = \frac{\frac{1}{5}mv^2}{\frac{7}{10}mv^2} = \frac{1}{5} \times \frac{10}{7} = \frac{2}{7}$.
अतः,अनुपात $2:7$ है।

(B) $M$ द्रव्यमान,$R$ त्रिज्या और $I$ जड़त्व आघूर्ण वाला एक पिंड जब नत समतल पर बिना फिसले लुढ़कता है,तो उस पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण का घटक $M g \sin \theta$ समतल के नीचे की ओर और घर्षण बल $f$ समतल के ऊपर की ओर होता है।
रेखीय गति के लिए न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर: $M g \sin \theta - f = M a$.
द्रव्यमान केंद्र के सापेक्ष बलाघूर्ण का समीकरण: $\tau = I \alpha = f R$.
चूंकि पिंड बिना फिसले लुढ़कता है,रेखीय त्वरण $a$ और कोणीय त्वरण $\alpha$ के बीच संबंध $a = \alpha R$ है,इसलिए $\alpha = a / R$.
बलाघूर्ण समीकरण में $\alpha$ का मान रखने पर: $f R = I (a / R) \implies f = \frac{I a}{R^2}$.
रेखीय गति समीकरण में $f$ का मान रखने पर: $M g \sin \theta - \frac{I a}{R^2} = M a$.
$a$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $M g \sin \theta = M a + \frac{I a}{R^2} = a (M + \frac{I}{R^2})$.
$a = \frac{M g \sin \theta}{M + I / R^2} = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{M R^2}}$.

(B) नत समतल पर बिना फिसले लुढ़कने वाली वस्तु के लिए घर्षण गुणांक $\mu$ की शर्त $\mu \ge \frac{k^2}{r^2 + k^2} \tan \theta$ है,जहाँ $k$ घूर्णन त्रिज्या है।
एक समान ठोस गोले के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}mr^2$ होता है। चूँकि $I = mk^2$,इसलिए $k^2 = \frac{2}{5}r^2$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$\mu \ge \frac{\frac{2}{5}r^2}{r^2 + \frac{2}{5}r^2} \tan 45^o$
$\mu \ge \frac{\frac{2}{5}}{\frac{7}{5}} \times 1$
$\mu \ge \frac{2}{7}$.
अतः,घर्षण गुणांक का न्यूनतम मान $2/7$ है।

(A) $h$ ऊँचाई तक नत समतल पर चढ़ने के लिए,लुढ़कते हुए गोले की कुल प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $h$ ऊँचाई पर प्राप्त स्थितिज ऊर्जा के बराबर या उससे अधिक होनी चाहिए।
लुढ़कती हुई वस्तु की कुल गतिज ऊर्जा उसकी स्थानांतरण और घूर्णन गतिज ऊर्जा का योग होती है:
$K_{total} = K_{trans} + K_{rot} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
एक ठोस गोले के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}mr^2$ और शुद्ध लोटनिक गति के लिए,$\omega = \frac{v}{r}$ होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$K_{total} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mr^2)(\frac{v}{r})^2$
$K_{total} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,कुल गतिज ऊर्जा शीर्ष पर स्थितिज ऊर्जा $mgh$ से अधिक या उसके बराबर होनी चाहिए:
$\frac{7}{10}mv^2 \ge mgh$
$v^2 \ge \frac{10}{7}gh$
$v \ge \sqrt{\frac{10}{7}gh}$

(A) लुढ़कते हुए बेलन का कोणीय संवेग $L = I\omega$ द्वारा दिया जाता है। जैसे-जैसे बेलन ढलान पर नीचे लुढ़कता है,उसका रैखिक वेग $v$ बढ़ता है,जिसका अर्थ है कि उसका कोणीय वेग $\omega$ भी बढ़ता है। चूंकि $L = I\omega$ है और केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I$ स्थिर रहता है,इसलिए कोणीय संवेग का परिमाण बढ़ता है। दाहिने हाथ के नियम द्वारा निर्धारित कोणीय संवेग सदिश की दिशा बेलन के घूर्णन अक्ष के अनुदिश होती है। जैसे-जैसे बेलन ढलान पर नीचे लुढ़कता है,उसके घूर्णन अक्ष का अभिविन्यास स्थिर रहता है। इसलिए,कोणीय संवेग का परिमाण बदलता है,लेकिन इसकी दिशा समान रहती है।

(B) $h$ ऊँचाई और $\theta$ झुकाव वाले नत समतल पर लुढ़कते ठोस गोले के लिए,तल पर अंतिम गति $v$ यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण द्वारा प्राप्त होती है: $mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$. चूँकि $I = \frac{2}{5}mr^2$ और $\omega = v/r$,हमारे पास $mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mr^2)(v/r)^2 = \frac{7}{10}mv^2$ है। अतः,$v = \sqrt{\frac{10gh}{7}}$. चूँकि $v$ केवल $h$ और $g$ पर निर्भर करता है,इसलिए दोनों समतलों के लिए तल पर गति समान होगी।
हालाँकि,समतल पर त्वरण $a = \frac{g \sin \theta}{1 + I/mr^2} = \frac{5}{7}g \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है। चूँकि झुकाव $\theta$ अलग-अलग हैं,इसलिए त्वरण अलग होंगे। नीचे उतरने का समय $t = \sqrt{\frac{2s}{a}}$ है,जहाँ $s = h/\sin \theta$ है। अतः,$t = \sqrt{\frac{2h}{a \sin \theta}} = \frac{1}{\sin \theta} \sqrt{\frac{14h}{5g}}$. चूँकि $\theta$ अलग है,इसलिए नीचे उतरने का समय $t$ भी अलग होगा।

(A) जब कोई वस्तु $h$ ऊँचाई के नत समतल से फिसलती है,तो पूरी स्थितिज ऊर्जा $mgh$ स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2}mv^2$ में परिवर्तित हो जाती है। अतः,$v_{slide} = \sqrt{2gh}$।
जब वस्तु उसी समतल पर लुढ़कती है,तो स्थितिज ऊर्जा $mgh$ स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2}mv^2$ और घूर्णन गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2}I\omega^2$ दोनों में परिवर्तित हो जाती है। अतः,$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$।
चूंकि ऊर्जा का कुछ हिस्सा घूर्णन में उपयोग किया जाता है,इसलिए लुढ़कने की स्थिति में स्थानांतरण गतिज ऊर्जा फिसलने की तुलना में कम होती है।
परिणामस्वरूप,तल पर रैखिक वेग लुढ़कने के मामले में फिसलने की तुलना में कम होता है।
इसलिए,$Assertion$ और $Reason$ दोनों सही हैं,और $Reason$,$Assertion$ की सही व्याख्या है।

(D) लुढ़कती हुई वस्तु की कुल गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{K^2}{R^2})$ होती है।
ठोस बेलन के लिए,घूर्णन त्रिज्या $K$ का मान $K^2 = \frac{1}{2}R^2$ होता है,इसलिए $\frac{K^2}{R^2} = \frac{1}{2}$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रारंभिक गतिज ऊर्जा अधिकतम ऊँचाई $h$ पर स्थितिज ऊर्जा के बराबर होती है:
$\frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{1}{2}) = mgh$
$\frac{1}{2}v^2(\frac{3}{2}) = gh$
यहाँ $v = 4 \; m/s$ और $g = 10 \; m/s^2$ लेने पर:
$\frac{1}{2} \times 16 \times \frac{3}{2} = 10h$
$12 = 10h \Rightarrow h = 1.2 \; m$.
नत समतल पर तय की गई दूरी $\ell$ और ऊँचाई $h$ के बीच संबंध $h = \ell \sin 30^{\circ}$ है।
$\ell = \frac{h}{\sin 30^{\circ}} = \frac{1.2}{0.5} = 2.4 \; m$.

(A) हाँ। $(b)$ हाँ। $(c)$ छोटे झुकाव पर।
$(a)$ मान लीजिए गोले का द्रव्यमान $m$,समतल की ऊँचाई $h$ और नीचे वेग $v$ है। ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,शीर्ष पर स्थितिज ऊर्जा नीचे कुल गतिज ऊर्जा (स्थानांतरणीय + घूर्णी) के बराबर होती है:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
ठोस गोले के लिए,$I = \frac{2}{5}mr^2$ और $\omega = v/r$। इन मानों को रखने पर:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mr^2)(v/r)^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$
$v = \sqrt{\frac{10}{7}gh}$। चूँकि $v$ केवल $h$ और $g$ पर निर्भर करता है,इसलिए दोनों समतलों के लिए नीचे गति समान रहेगी।
$(b)$ और $(c)$ $\theta$ झुकाव वाले नत समतल पर लुढ़कते गोले का त्वरण $a = \frac{g \sin \theta}{1 + I/mr^2} = \frac{g \sin \theta}{1 + 2/5} = \frac{5}{7}g \sin \theta$ होता है। चूँकि $a \propto \sin \theta$,छोटे कोण $\theta$ वाले समतल पर त्वरण कम होता है। $u=0$ के साथ गति के पहले समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करने पर,$t = v/a$ प्राप्त होता है। चूँकि $v$ स्थिर है और छोटे कोण के लिए $a$ कम है,इसलिए छोटे झुकाव वाले समतल पर नीचे पहुँचने में लगा समय $t$ अधिक होगा।

(N/A) नत समतल पर ऊपर की ओर लुढ़कते हुए एक ठोस बेलन को चित्र में दर्शाया गया है।
ठोस बेलन का प्रारंभिक वेग,$v = 5 \; m/s$.
झुकाव का कोण,$\theta = 30^{\circ}$.
$(a)$ मान लीजिए कि बेलन द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $h$ है।
निचले सिरे पर कुल ऊर्जा = स्थानांतरण गतिज ऊर्जा + घूर्णन गतिज ऊर्जा
$E_{bottom} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
चूंकि $I = \frac{1}{2}mr^2$ और $v = r\omega$,हमें प्राप्त होता है:
$E_{bottom} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mr^2)(\frac{v}{r})^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2$
अधिकतम ऊँचाई पर,बेलन क्षणिक रूप से स्थिर हो जाता है,इसलिए कुल ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा है:
$E_{top} = mgh$
ऊर्जा संरक्षण के नियम से,$\frac{3}{4}mv^2 = mgh$
$h = \frac{3v^2}{4g} = \frac{3 \times 5^2}{4 \times 9.8} = \frac{75}{39.2} \approx 1.91 \; m$
समतल पर तय की गई दूरी,$d = \frac{h}{\sin 30^{\circ}} = \frac{1.91}{0.5} = 3.82 \; m$.
$(b)$ नत समतल पर नीचे की ओर लुढ़कते हुए पिंड का त्वरण $a = \frac{g \sin \theta}{1 + K^2/R^2}$ होता है।
ठोस बेलन के लिए,$K^2/R^2 = 1/2$,इसलिए $a = \frac{g \sin 30^{\circ}}{1 + 0.5} = \frac{g(0.5)}{1.5} = \frac{g}{3} = \frac{9.8}{3} \approx 3.27 \; m/s^2$.
$d = \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर,वापस आने में लगा समय $t = \sqrt{\frac{2d}{a}} = \sqrt{\frac{2 \times 3.82}{3.27}} = \sqrt{2.337} \approx 1.53 \; s$.

(N/A) मान लीजिए $m$ द्रव्यमान,$R$ त्रिज्या और $k$ घूर्णन त्रिज्या वाली एक वस्तु $\theta$ कोण और $h$ ऊँचाई वाले नत समतल पर लुढ़क रही है।
$1$. वस्तु पर कार्य करने वाले बल:
- भार का घटक $mg \sin \theta$ जो समतल के नीचे की ओर कार्य करता है।
- घर्षण बल $f$ जो समतल के ऊपर की ओर कार्य करता है।
- अभिलंब बल $N$ जो समतल के लंबवत कार्य करता है।
$2$. गति के समीकरण:
- स्थानांतरण गति के लिए: $mg \sin \theta - f = ma$ (जहाँ $a$ रैखिक त्वरण है)।
- द्रव्यमान केंद्र के परितः घूर्णन गति के लिए: $\tau = I\alpha = fR$,जहाँ $I = mk^{2}$ और $\alpha = a/R$ है।
- अतः,$fR = (mk^{2})(a/R) \implies f = mk^{2}a/R^{2}$।
$3$. त्वरण $a$ के लिए हल:
- $f$ का मान स्थानांतरण समीकरण में रखने पर: $mg \sin \theta - mk^{2}a/R^{2} = ma$।
- $mg \sin \theta = ma(1 + k^{2}/R^{2}) \implies a = \frac{g \sin \theta}{1 + k^{2}/R^{2}}$।
$4$. वेग $v$ ज्ञात करना:
- $v^{2} = u^{2} + 2as$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = 0$ और $s = h/\sin \theta$ है:
- $v^{2} = 2 \left( \frac{g \sin \theta}{1 + k^{2}/R^{2}} \right) \left( \frac{h}{\sin \theta} \right)$।
- $v^{2} = \frac{2gh}{1 + k^{2}/R^{2}}$।
इस प्रकार,परिणाम सिद्ध होता है।

(C) दिया है:
बेलन का द्रव्यमान,$m = 10 \; kg$
बेलन की त्रिज्या,$r = 15 \; cm = 0.15 \; m$
स्थैतिक घर्षण गुणांक,$\mu_{S} = 0.25$
झुकाव कोण,$\theta = 30^{\circ}$
बेलन का उसकी ज्यामितीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण,$I = \frac{1}{2} m r^{2}$
$(a)$ ढलान पर लुढ़कते बेलन का त्वरण:
$a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{mr^2}} = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{2}{3} g \sin 30^{\circ} = \frac{2}{3} \times 9.8 \times 0.5 = 3.27 \; m/s^{2}$
न्यूटन के गति के दूसरे नियम से: $mg \sin \theta - f = ma$
$f = m(g \sin \theta - a) = 10 \times (9.8 \times 0.5 - 3.27) = 10 \times (4.9 - 3.27) = 16.3 \; N$
$(b)$ शुद्ध लोटनिक गति के दौरान,संपर्क बिंदु क्षणिक रूप से स्थिर होता है। अतः,घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य $0 \; J$ है।
$(c)$ बिना फिसले लुढ़कने के लिए शर्त $f \leq \mu_{S} N$ है,जहाँ $N = mg \cos \theta$ है।
$mg \sin \theta - ma \leq \mu_{S} mg \cos \theta$
$a = \frac{2}{3} g \sin \theta$ रखने पर:
$mg \sin \theta - m(\frac{2}{3} g \sin \theta) \leq \mu_{S} mg \cos \theta$
$\frac{1}{3} \sin \theta \leq \mu_{S} \cos \theta \implies \tan \theta \leq 3 \mu_{S}$
$\tan \theta \leq 3 \times 0.25 = 0.75$
$\theta \leq \tan^{-1}(0.75) \approx 36.87^{\circ}$
बेलन $\theta \approx 36.87^{\circ}$ पर फिसलना शुरू कर देगा।

(N/A) मान लीजिए $m$ द्रव्यमान,अपनी ज्यामितीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I$,घूर्णन त्रिज्या $k$ और ज्यामितीय त्रिज्या $R$ वाला एक पिंड $\theta$ झुकाव और $h$ ऊँचाई वाले नत समतल पर बिना फिसले लुढ़क रहा है।
चूंकि पिंड बिना फिसले लुढ़क रहा है,इसलिए इसका द्रव्यमान केंद्र $v_{cm}$ रैखिक वेग से चलता है और पिंड अपनी अक्ष पर $\omega$ कोणीय वेग से घूमता है। पिंड की गति स्थानांतरण और घूर्णन का संयोजन है।
पिंड की कुल गतिज ऊर्जा $K$ इस प्रकार है:
$K = K_{\text{translational}} + K_{\text{rotational}}$
$K = \frac{1}{2} m v_{cm}^{2} + \frac{1}{2} I \omega^{2}$
यहाँ $I = m k^{2}$ और बिना फिसले लुढ़कने की शर्त $v_{cm} = R \omega$ है,इसलिए $\omega = \frac{v_{cm}}{R}$ होगा।
इन मानों को गतिज ऊर्जा के समीकरण में रखने पर:
$K = \frac{1}{2} m v_{cm}^{2} + \frac{1}{2} (m k^{2}) \left( \frac{v_{cm}}{R} \right)^{2}$
$K = \frac{1}{2} m v_{cm}^{2} \left( 1 + \frac{k^{2}}{R^{2}} \right)$
यह लुढ़कते हुए पिंड की कुल गतिज ऊर्जा का सूत्र है।
तली पर वेग ज्ञात करने के लिए,हम ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हैं। शीर्ष पर स्थितिज ऊर्जा तली पर कुल गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है:
$m g h = K$
$m g h = \frac{1}{2} m v^{2} \left( 1 + \frac{k^{2}}{R^{2}} \right)$
$v$ के लिए हल करने पर:
$v^{2} = \frac{2 g h}{1 + \frac{k^{2}}{R^{2}}}$
$v = \sqrt{\frac{2 g h}{1 + \frac{k^{2}}{R^{2}}}}$

(N/A) ढलान से नीचे लुढ़कते गोले की गति स्थानांतरण गति (द्रव्यमान केंद्र की) और घूर्णन गति (द्रव्यमान केंद्र के परितः) का संयोजन है। जब गोला बिना फिसले लुढ़कता है,तो वह ढलान के अनुदिश कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण के घटक $(mg \sin \theta)$ के कारण त्वरित होता है।
लुढ़कते हुए पिंड की कुल गतिज ऊर्जा $(K)$ उसकी स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $(K_t)$ और घूर्णन गतिज ऊर्जा $(K_r)$ का योग होती है:
$K = K_t + K_r$
$K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
चूंकि पिंड बिना फिसले लुढ़कता है,इसलिए $v = r\omega$,जहाँ $v$ रैखिक वेग है,$r$ त्रिज्या है,और $\omega$ कोणीय वेग है। $I = mk^2$ (जहाँ $k$ घूर्णन त्रिज्या है) और $\omega = v/r$ प्रतिस्थापित करने पर:
$K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(mk^2)(v/r)^2$
$K = \frac{1}{2}mv^2 (1 + \frac{k^2}{r^2})$

(N/A) $M$ द्रव्यमान,$R$ त्रिज्या और $I = kMR^2$ जड़त्व आघूर्ण (जहाँ $k$ आकार पर निर्भर एक स्थिरांक है) वाली वस्तु के $\theta$ कोण वाले नत समतल पर लुढ़कने के लिए:
$1$. ढलान के समानांतर त्वरण $a$ इस प्रकार है:
$a = \frac{g \sin \theta}{1 + k}$
$2$. ढलान के समानांतर कार्य करने वाला घर्षण बल $f$ इस प्रकार है:
$f = \frac{kMg \sin \theta}{1 + k}$
यहाँ,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है।

(N/A) $M$ द्रव्यमान,$R$ त्रिज्या और $I = kMR^2$ (जहाँ $k$ एक स्थिरांक है) जड़त्व आघूर्ण वाली वस्तु के लिए $\theta$ कोण वाले नत समतल पर बिना फिसले लुढ़कने के लिए,स्थैतिक घर्षण बल $f$ को $f \le \mu_s N$ शर्त को संतुष्ट करना चाहिए।
वस्तु का त्वरण $a = \frac{g \sin \theta}{1 + k}$ है।
घर्षण बल $f = \frac{mg \sin \theta}{1 + \frac{MR^2}{I}} = \frac{mg \sin \theta}{1 + \frac{1}{k}}$ द्वारा दिया जाता है।
अभिलंब बल $N = mg \cos \theta$ है।
इन मानों को $f \le \mu_s N$ असमिका में रखने पर:
$\frac{mg \sin \theta}{1 + \frac{1}{k}} \le \mu_s mg \cos \theta$.
अतः,बिना फिसले लुढ़कने के लिए शर्त $\mu_s \ge \frac{\tan \theta}{1 + \frac{1}{k}}$ है।

(B) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली वस्तु जब $\theta$ कोण वाले ढलान पर लुढ़कती है,तो उस पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण $(Mg \sin \theta)$,अभिलंब बल $(N = Mg \cos \theta)$ और स्थैतिक घर्षण $(f)$ हैं।
शुद्ध लोटनिक गति के लिए,त्वरण $a = \frac{Mg \sin \theta}{M + I/R^2}$ होता है।
ठोस बेलन के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} MR^2$ है।
$I$ का मान रखने पर,$a = \frac{Mg \sin \theta}{M + (1/2)MR^2/R^2} = \frac{Mg \sin \theta}{1.5M} = \frac{2}{3} g \sin \theta$ प्राप्त होता है।
घर्षण बल $f = Mg \sin \theta - Ma$ है।
$f = Mg \sin \theta - M(\frac{2}{3} g \sin \theta) = \frac{1}{3} Mg \sin \theta$.
बिना फिसले लुढ़कने के लिए,$f \leq \mu_{S} N$ होना चाहिए।
$\frac{1}{3} Mg \sin \theta \leq \mu_{S} Mg \cos \theta$.
अतः,$\mu_{S} \geq \frac{1}{3} \tan \theta$।

(B) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली डिस्क के लिए $\theta$ कोण वाले झुके हुए तल पर गति के समीकरण इस प्रकार हैं:
$1$. स्थानांतरण गति: $Mg \sin \theta - f = Ma_{cm}$
$2$. द्रव्यमान केंद्र के परितः घूर्णन गति: $\tau = I_{cm} \alpha \implies fR = (\frac{1}{2} MR^2) \alpha$
शुद्ध लोटनिक गति के लिए शर्त $a_{cm} = R\alpha$ है,इसलिए $\alpha = \frac{a_{cm}}{R}$ होगा।
इस मान को टॉर्क समीकरण में रखने पर: $fR = \frac{1}{2} MR^2 (\frac{a_{cm}}{R}) \implies f = \frac{1}{2} Ma_{cm} \implies Ma_{cm} = 2f$.
अब $Ma_{cm} = 2f$ को स्थानांतरण गति के समीकरण में रखने पर: $Mg \sin \theta - f = 2f \implies Mg \sin \theta = 3f \implies f = \frac{Mg \sin \theta}{3}$.
दिया गया है: $M = 0.5 \, kg$,$\theta = 45^{\circ}$,$g = 10 \, m/s^2$.
$f = \frac{0.5 \times 10 \times \sin(45^{\circ})}{3} = \frac{5 \times (1/\sqrt{2})}{3} = \frac{5}{3 \sqrt{2}} \, N$.

(A) नत समतल पर ऊपर की ओर लुढ़कते हुए गोले का मंदन $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{k^2}{r^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
ठोस गोले के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} mr^2$ है,इसलिए घूर्णन त्रिज्या $k$ के लिए $mk^2 = \frac{2}{5} mr^2$ होता है,जिसका अर्थ है $\frac{k^2}{r^2} = \frac{2}{5}$।
इस मान को त्वरण के सूत्र में रखने पर:
$a = \frac{g \sin 30^{\circ}}{1 + \frac{2}{5}} = \frac{g(0.5)}{\frac{7}{5}} = \frac{5g}{14}$।
$g = 10 \, m/s^2$ लेने पर,$a = \frac{50}{14} \approx 3.57 \, m/s^2$।
गति के समीकरण $v^2 = u^2 - 2as$ का उपयोग करने पर,जहाँ अधिकतम दूरी पर $v = 0$ है:
$0 = (2.8)^2 - 2as$।
प्रश्न में दी गई गणना के अनुसार $s = 2.8^2 \times \frac{7}{20} = 7.84 \times 0.35 = 2.744 \, m$ प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प $A$ है।

(C) $m$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली वस्तु के लिए $\theta$ कोण वाले आनत तल पर लुढ़कते समय त्वरण $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{k^2}{R^2}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ घूर्णन त्रिज्या है।
$S$ लंबाई के आनत तल के निचले सिरे तक पहुँचने में लगा समय $t = \sqrt{\frac{2S}{a}} = \sqrt{\frac{2S}{g \sin \theta} \left(1 + \frac{k^2}{R^2}\right)}$ है।
समय $t$ को न्यूनतम होने के लिए,अनुपात $\frac{k^2}{R^2}$ न्यूनतम होना चाहिए।
दी गई वस्तुओं के लिए $\frac{k^2}{R^2}$ के मानों की तुलना करने पर:
$(1)$ वलय: $k^2 = R^2 \Rightarrow \frac{k^2}{R^2} = 1$
$(2)$ चकती: $k^2 = \frac{R^2}{2} \Rightarrow \frac{k^2}{R^2} = 0.5$
$(3)$ ठोस बेलन: $k^2 = \frac{R^2}{2} \Rightarrow \frac{k^2}{R^2} = 0.5$
$(4)$ ठोस गोला: $k^2 = \frac{2R^2}{5} \Rightarrow \frac{k^2}{R^2} = 0.4$
चूंकि ठोस गोले के लिए $\frac{k^2}{R^2}$ का मान सबसे कम है,इसलिए इसका त्वरण सबसे अधिक होगा और यह आनत तल के निचले सिरे पर सबसे पहले पहुँचेगा।

(C) नत समतल पर बिना फिसले लुढ़कने वाली वस्तु का त्वरण $a_{cm}$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$a_{cm} = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{mR^2}}$
एक ठोस डिस्क के लिए,इसके केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} mR^2$ होता है।
इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$a_{cm} = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{\frac{1}{2} mR^2}{mR^2}} = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{g \sin \theta}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} g \sin \theta$
दिए गए व्यंजक $\frac{2}{b} g \sin \theta$ के साथ तुलना करने पर,हमें $b = 3$ प्राप्त होता है।