Rolling On Inclined Plane Questions in Hindi

(A) नत समतल पर लुढ़कने वाली वस्तु का त्वरण $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{MR^2}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है,$M$ द्रव्यमान है और $R$ त्रिज्या है।
ठोस गोले के लिए,$I = \frac{2}{5}MR^2$,इसलिए $a_{solid} = \frac{g \sin \theta}{1 + 2/5} = \frac{5}{7}g \sin \theta$.
खोखले गोलाकार कोश के लिए,$I = \frac{2}{3}MR^2$,इसलिए $a_{hollow} = \frac{g \sin \theta}{1 + 2/3} = \frac{3}{5}g \sin \theta$.
चूँकि $\frac{5}{7} > \frac{3}{5}$,ठोस गोले का त्वरण खोखले गोलाकार कोश से अधिक है।
इसलिए,ठोस गोला पहले नीचे पहुँचेगा।

(A) $l$ लंबाई और $\theta$ झुकाव वाले नत समतल पर लुढ़कने वाली वस्तु द्वारा लिया गया समय $t = \sqrt{\frac{2l(1 + K^2/R^2)}{g \sin \theta}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $K$ घूर्णन त्रिज्या है और $R$ वस्तु की त्रिज्या है।
ठोस बेलन के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}MR^2$ होता है,इसलिए $K^2 = \frac{1}{2}R^2$,जिसका अर्थ है $K^2/R^2 = 0.5$।
खोखले बेलन के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = MR^2$ होता है,इसलिए $K^2 = R^2$,जिसका अर्थ है $K^2/R^2 = 1$।
चूंकि समय $t$,$\sqrt{1 + K^2/R^2}$ के सीधे आनुपातिक है,जिस वस्तु का $K^2/R^2$ अनुपात कम होगा,वह नीचे पहुँचने में कम समय लेगी।
दोनों की तुलना करने पर,ठोस बेलन का $K^2/R^2$ अनुपात कम $(0.5 < 1)$ है,इसलिए ठोस बेलन पहले नीचे पहुँचेगा।

(A) एक ठोस गोले के लिए,उसके केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} m R^2$ होता है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,खोई हुई स्थितिज ऊर्जा,स्थानांतरीय और घूर्णन गतिज ऊर्जा के योग के बराबर होती है: $mgh = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} I \omega^2$.
चूंकि गोला बिना फिसले लुढ़क रहा है,शुद्ध लोटनिक गति की शर्त $v = R\omega$ है,जिसका अर्थ है $\omega = \frac{v}{R}$।
ऊर्जा समीकरण में मान रखने पर: $mgh = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} (\frac{2}{5} m R^2) (\frac{v}{R})^2$.
व्यंजक को सरल करने पर: $mgh = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{5} m v^2$.
$mgh = (\frac{1}{2} + \frac{1}{5}) m v^2 = \frac{7}{10} m v^2$.
$v$ के लिए हल करने पर: $v^2 = \frac{10}{7} gh$,अतः $v = \sqrt{\frac{10}{7} gh}$।

(B) बेलन की घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_{rot} = \frac{1}{2} I \omega^2$ होती है।
ठोस बेलन के लिए,इसके केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} MR^2$ है और कोणीय वेग $\omega = \frac{v}{R}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$K_{rot} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} MR^2) (\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{4} Mv^2$ प्राप्त होता है।
स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा $K_{trans} = \frac{1}{2} Mv^2$ होती है।
कुल गतिज ऊर्जा $K_{total} = K_{rot} + K_{trans} = \frac{1}{4} Mv^2 + \frac{1}{2} Mv^2 = \frac{3}{4} Mv^2$ है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा और कुल गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{K_{rot}}{K_{total}} = \frac{\frac{1}{4} Mv^2}{\frac{3}{4} Mv^2} = \frac{1}{3}$ है।

(B) $h$ ऊँचाई पर ठोस बेलन की स्थितिज ऊर्जा $U = Mgh$ है।
जब यह तल के निचले हिस्से पर पहुँचता है,तो कुल गतिज ऊर्जा स्थानांतरीय और घूर्णन गतिज ऊर्जा का योग होती है: $K.E. = \frac{1}{2} M v^{2} + \frac{1}{2} I \omega^{2}$.
चूँकि बेलन बिना फिसले लुढ़कता है,$\omega = v/R$ और जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} M R^{2}$ होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$K.E. = \frac{1}{2} M v^{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} M R^{2}) (v/R)^{2} = \frac{1}{2} M v^{2} + \frac{1}{4} M v^{2} = \frac{3}{4} M v^{2}$.
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,$Mgh = \frac{3}{4} M v^{2}$.
$v$ के लिए हल करने पर,हमें $v = \sqrt{\frac{4}{3} gh}$ प्राप्त होता है।

(D) आनत तल पर लुढ़कने वाली वस्तु का त्वरण $a$ सूत्र $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{MR^2}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है,$M$ द्रव्यमान है,और $R$ वस्तु की त्रिज्या है।
ठोस बेलन के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} MR^2$ होता है।
इसे त्वरण के सूत्र में रखने पर: $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{1/2 MR^2}{MR^2}} = \frac{g \sin \theta}{1 + 1/2} = \frac{g \sin \theta}{3/2} = \frac{2}{3} g \sin \theta$.
चूँकि त्वरण $a$ त्रिज्या $R$ और द्रव्यमान $M$ से स्वतंत्र है,इसलिए सभी ठोस बेलनों का त्वरण उनकी त्रिज्या की परवाह किए बिना समान होगा।
चूँकि वे एक ही स्थान से एक ही समय पर समान त्वरण के साथ शुरू करते हैं,इसलिए वे सभी एक साथ आनत तल के निचले सिरे पर पहुँचेंगे।

(D) $h$ ऊँचाई के नत समतल पर बिना फिसले लुढ़कने वाली वस्तु के लिए,ऊर्जा संरक्षण से: $Mgh = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$. चूँकि $v = R\omega$,हमारे पास $\omega = v/R$ है। इसे प्रतिस्थापित करने पर,$Mgh = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}I(v/R)^2 = \frac{1}{2}Mv^2(1 + \frac{I}{MR^2})$। ठोस बेलन के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}MR^2$ है,इसलिए $Mgh = \frac{1}{2}Mv^2(1 + 1/2) = \frac{3}{4}Mv^2$,जिससे $v = \sqrt{4gh/3}$ प्राप्त होता है। चाल $v$ कारक $k^2/R^2$ पर निर्भर करती है जहाँ $I = Mk^2$ है। विशेष रूप से,$v = \sqrt{\frac{2gh}{1 + k^2/R^2}}$। खोखले बेलन के लिए,$I = MR^2$,इसलिए $k^2/R^2 = 1$। अतः,$v_{hollow} = \sqrt{\frac{2gh}{1+1}} = \sqrt{gh}$। चूँकि $\sqrt{gh} < \sqrt{4gh/3}$,खोखले बेलन के लिए चाल कम होगी। समान ज्यामिति के लिए चाल द्रव्यमान $M$ और त्रिज्या $R$ से स्वतंत्र होती है।

(A) नत समतल पर लुढ़कने वाले पिंड के लिए,त्वरण $a$ स्थिर रहता है और इसे $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{k^2}{R^2}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ घूर्णन त्रिज्या है और $R$ पिंड की त्रिज्या है।
चूंकि पिंड विरामावस्था से शुरू होता है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
गति के समीकरण $L = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर,हमें $L = 0 + \frac{1}{2}at^2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a$ स्थिर है,इसलिए $L = \frac{1}{2}at^2$ होता है,जिसका अर्थ है कि $L \propto t^2$ है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $t \propto \sqrt{L}$ प्राप्त होता है।

(C) $30^{\circ}$ के झुकाव पर $s = 10 \ m$ की दूरी $h = s \sin(30^{\circ}) = 10 \times 0.5 = 5 \ m$ की ऊँचाई के अंतर के बराबर है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,खोई हुई स्थितिज ऊर्जा प्राप्त गतिज ऊर्जा के बराबर होती है:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
खोखले बेलन के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = mr^2$ और $\omega = v/r$ होता है।
इन मानों को रखने पर:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(mr^2)(v/r)^2$
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}mv^2 = mv^2$
अतः,$v^2 = gh$।
$g = 9.8 \ m/s^2$ लेने पर:
$v^2 = 9.8 \times 5 = 49$
$v = \sqrt{49} = 7 \ m/s$।

(B) नत समतल पर लुढ़कने वाली वस्तु का त्वरण $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{MR^2}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ द्रव्यमान केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण है,$M$ द्रव्यमान है और $R$ त्रिज्या है।
ठोस बेलन के लिए,$I = \frac{1}{2}MR^2$,इसलिए $a = \frac{g \sin \theta}{1 + 0.5} = \frac{2}{3} g \sin \theta$.
डिस्क के लिए,$I = \frac{1}{2}MR^2$,इसलिए $a = \frac{g \sin \theta}{1 + 0.5} = \frac{2}{3} g \sin \theta$.
चूंकि त्वरण केवल $\frac{I}{MR^2}$ (आकार कारक) पर निर्भर करता है,समान आकार कारक वाली वस्तुओं का त्वरण समान होगा और वे एक ही समय में नीचे पहुंचेंगी।
ठोस बेलन और डिस्क दोनों के लिए $I = \frac{1}{2}MR^2$ है,जिसका अर्थ है कि उनके आकार कारक समान हैं।
इसलिए,ठोस बेलन और डिस्क एक साथ नीचे पहुंचेंगे।

(C) लुढ़कती हुई गेंद की कुल गतिज ऊर्जा $K$ उसकी स्थानांतरण और घूर्णन गतिज ऊर्जा का योग है:
$K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
एक ठोस गोले (गेंद) के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}mr^2$ होता है। चूँकि $v = r\omega$,इसलिए $\omega = \frac{v}{r}$ है।
$K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mr^2)(\frac{v}{r})^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,शीर्ष पर स्थितिज ऊर्जा नीचे की गतिज ऊर्जा के बराबर होती है:
$mgh = \frac{7}{10}mv^2$
यहाँ $h = l \sin \theta$ दिया गया है,जहाँ $l = 2 \ m$ और $\theta = 35^{\circ}$ है:
$v = \sqrt{\frac{10}{7}gh} = \sqrt{\frac{10}{7} \cdot g \cdot l \sin 35^{\circ}}$
$g = 9.8 \ m/s^2$ का उपयोग करने पर:
$v = \sqrt{\frac{10}{7} \cdot 9.8 \cdot 2 \cdot 0.57} = \sqrt{14 \cdot 2 \cdot 0.57} = \sqrt{15.96} \approx 4 \ m/s$.

(C) नत समतल पर बिना फिसले लुढ़कने वाली वस्तु के लिए,आधार पर वेग $v = \sqrt{\frac{2gh}{1 + k^2/r^2}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ घूर्णन त्रिज्या (radius of gyration) है।
आधार पर सबसे पहले पहुँचने के लिए,वस्तु का वेग सबसे अधिक होना चाहिए,जो $k^2/r^2$ के सबसे छोटे मान के अनुरूप है।
गोले के लिए: $I = \frac{2}{5}mr^2 \Rightarrow k^2/r^2 = 0.4$
डिस्क के लिए: $I = \frac{1}{2}mr^2 \Rightarrow k^2/r^2 = 0.5$
कोश के लिए: $I = \frac{2}{3}mr^2 \Rightarrow k^2/r^2 = 0.67$
रिंग के लिए: $I = mr^2 \Rightarrow k^2/r^2 = 1.0$
अनुपातों की तुलना करने पर: $0.4 < 0.5 < 0.67 < 1.0$।
चूँकि वेग $\sqrt{1 + k^2/r^2}$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,इसलिए सबसे छोटे $k^2/r^2$ वाली वस्तु सबसे पहले आधार पर पहुँचेगी।
अतः,आधार पर पहुँचने का क्रम है: गोला,डिस्क,कोश,रिंग।

(A) नत समतल पर बिना फिसले लुढ़कने वाले ठोस बेलन के लिए,यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार शीर्ष पर स्थितिज ऊर्जा,तल पर स्थानांतरण और घूर्णन गतिज ऊर्जा के योग के बराबर होती है।
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
ठोस बेलन के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}mr^2$ और कोणीय वेग $\omega = \frac{v}{r}$ होता है।
इन मानों को ऊर्जा समीकरण में रखने पर:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mr^2)(\frac{v}{r})^2$
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2$
$gh = \frac{3}{4}v^2$
$v = \sqrt{\frac{4}{3}gh}$
यहाँ $h = 2.0\ m$ और $g = 9.8\ m/s^2$ लेने पर:
$v = \sqrt{\frac{4}{3} \times 9.8 \times 2.0} = \sqrt{\frac{78.4}{3}} = \sqrt{26.133} \approx 5.11\ m/s$.
यदि $g = 10\ m/s^2$ लिया जाए तो:
$v = \sqrt{\frac{4}{3} \times 10 \times 2.0} = \sqrt{\frac{80}{3}} = \sqrt{26.66} \approx 5.16\ m/s$.
दिए गए विकल्पों के आधार पर,सही उत्तर $5.29\ m/s$ है।

(C) बिना फिसले लुढ़कते हुए बेलन के लिए,कुल गतिज ऊर्जा $(K)$ स्थानांतरण गतिज ऊर्जा और घूर्णन गतिज ऊर्जा का योग है।
$K = K_{\text{trans}} + K_{\text{rot}}$
$K = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
ठोस बेलन के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}MR^2$ है और लुढ़कने की स्थिति $v = R\omega$ (या $\omega = v/R$) है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$K = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}MR^2)(\frac{v}{R})^2$
$K = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{4}Mv^2$
$K = \frac{3}{4}Mv^2$
अतः,गतिज ऊर्जा में वृद्धि $\frac{3}{4}Mv^2$ है।

(B) नत समतल पर बिना फिसले लुढ़कती हुई वस्तु का त्वरण $a$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{mR^2}}$.
एक समान डिस्क के लिए,इसके केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} mR^2$ होता है।
इस मान को त्वरण के सूत्र में रखने पर:
$a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{\frac{1}{2} mR^2}{mR^2}}$
$a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{1}{2}}$
$a = \frac{g \sin \theta}{\frac{3}{2}}$
$a = \frac{2}{3} g \sin \theta$.

(B) घर्षण रहित नत समतल पर फिसलते हुए ठोस बेलन के लिए त्वरण $a_{slide} = g \sin \theta$ होता है।
नत समतल पर बिना फिसले लुढ़कते हुए ठोस बेलन के लिए त्वरण $a_{roll} = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{MR^2}}$ होता है।
ठोस बेलन के लिए,उसकी केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} MR^2$ होता है।
इस मान को लुढ़कते हुए बेलन के त्वरण के सूत्र में रखने पर: $a_{roll} = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{1/2 MR^2}{MR^2}} = \frac{g \sin \theta}{1 + 0.5} = \frac{g \sin \theta}{1.5} = \frac{2}{3} g \sin \theta$ प्राप्त होता है।
लुढ़कने और फिसलने के त्वरण का अनुपात $\frac{a_{roll}}{a_{slide}} = \frac{\frac{2}{3} g \sin \theta}{g \sin \theta} = \frac{2}{3}$ है।
अतः,त्वरण का अनुपात $2:3$ है।

(B) नत समतल (inclined plane) पर $\theta$ कोण पर लुढ़कती हुई वस्तु का त्वरण $a$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{K^2}{R^2}}$
जहाँ $g$ गुरुत्वीय त्वरण है,$K$ घूर्णन त्रिज्या (radius of gyration) है और $R$ वस्तु की त्रिज्या है।
इस सूत्र से हम देख सकते हैं कि:
$1$. त्वरण झुकाव कोण $\theta$ पर निर्भर करता है।
$2$. त्वरण गुरुत्वीय त्वरण $g$ पर निर्भर करता है।
$3$. त्वरण वस्तु की घूर्णन त्रिज्या $K$ और त्रिज्या $R$ पर निर्भर करता है।
$4$. त्वरण नत समतल की लंबाई पर निर्भर नहीं करता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) आनत तल पर लुढ़कने वाली वस्तु का त्वरण $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{k^2}{R^2}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ घूर्णन त्रिज्या है और $R$ वस्तु की त्रिज्या है।
दिए गए आनत तल के लिए,$a \propto \frac{1}{1 + \frac{k^2}{R^2}}$.
जिस वस्तु के लिए $\frac{k^2}{R^2}$ का मान सबसे अधिक होगा,उसका त्वरण सबसे कम होगा और इसलिए वह नीचे पहुँचने में सबसे अधिक समय लेगी।
विभिन्न वस्तुओं के लिए $\frac{k^2}{R^2}$ के मान:
$1$. रिंग: $k^2 = R^2 \implies \frac{k^2}{R^2} = 1$
$2$. डिस्क: $k^2 = \frac{R^2}{2} \implies \frac{k^2}{R^2} = 0.5$
$3$. ठोस गोला: $k^2 = \frac{2}{5}R^2 \implies \frac{k^2}{R^2} = 0.4$
$4$. ठोस बेलन: $k^2 = \frac{R^2}{2} \implies \frac{k^2}{R^2} = 0.5$
चूँकि रिंग के लिए $\frac{k^2}{R^2}$ का मान सबसे अधिक $(1)$ है,इसलिए इसका त्वरण न्यूनतम है और यह सबसे अंत में नीचे पहुँचेगी।

(C) स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा $K_{T} = \frac{1}{2} m v^{2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $m$ वलय का द्रव्यमान है और $v$ द्रव्यमान केंद्र की गति है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_{R} = \frac{1}{2} I \omega^{2}$ द्वारा दी जाती है।
एक वलय के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = m R^{2}$ और कोणीय वेग $\omega = \frac{v}{R}$ होता है।
इन मानों को घूर्णन गतिज ऊर्जा के सूत्र में रखने पर: $K_{R} = \frac{1}{2} (m R^{2}) (\frac{v}{R})^{2} = \frac{1}{2} m v^{2}$ प्राप्त होता है।
दोनों की तुलना करने पर,$K_{T} = \frac{1}{2} m v^{2}$ और $K_{R} = \frac{1}{2} m v^{2}$ है।
अतः,रैखिक (स्थानांतरीय) और घूर्णन गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{K_{T}}{K_{R}} = \frac{1}{1}$ या $1:1$ होगा।

(D) एक ठोस बेलन के लिए,उसकी केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}MR^2$ होता है,जहाँ $M$ द्रव्यमान है और $R$ त्रिज्या है।
चूंकि बेलन बिना फिसले लुढ़कता है,इसलिए रैखिक वेग $v$ और कोणीय वेग $\omega$ के बीच संबंध $v = R\omega$ है।
लुढ़कती हुई वस्तु की कुल गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ उसकी स्थानांतरण गतिज ऊर्जा और घूर्णन गतिज ऊर्जा का योग होती है:
$K.E. = K.E._{trans} + K.E._{rot} = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
$v = R\omega$ रखने पर:
$K.E. = \frac{1}{2}M(R\omega)^2 + \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}MR^2\omega^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
चूंकि $I = \frac{1}{2}MR^2$,इसलिए $MR^2 = 2I$ है।
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$K.E. = \frac{1}{2}(2I)\omega^2 + \frac{1}{2}I\omega^2 = I\omega^2 + \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{3}{2}I\omega^2$.

(C) जब गेंद बिना फिसले लुढ़कती है तो कुल यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है।
$h = 8R$ की ऊंचाई पर प्रारंभिक ऊर्जा केवल स्थितिज ऊर्जा है: $E_i = mgh = mg(8R) = 8mgR$.
बिंदु $P$ पर,गेंद की जमीन से ऊंचाई $R$ है। $P$ पर कुल ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा और गतिज ऊर्जा (स्थानांतरीय + घूर्णन) का योग है।
$E_P = mgR + \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
एक ठोस गेंद के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}mr^2$ है। चूंकि यह बिना फिसले लुढ़कती है,$\omega = v/r$ होगा।
इन मानों को रखने पर,$E_P = mgR + \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mr^2)(\frac{v}{r})^2 = mgR + \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = mgR + \frac{7}{10}mv^2$.
$E_i = E_P$ को बराबर करने पर: $8mgR = mgR + \frac{7}{10}mv^2$.
$7mgR = \frac{7}{10}mv^2$.
$v^2 = 10gR$.
$v = \sqrt{10gR}$.

(B) नत समतल पर फिसलने (sliding) के लिए,त्वरण $a_1 = g \sin \theta$ होता है।
गति के समीकरण $L = \frac{1}{2} a_1 t_1^2$ का उपयोग करने पर,हमें $t_1 = \sqrt{\frac{2L}{g \sin \theta}}$ प्राप्त होता है।
उसी नत समतल पर लुढ़कने (rolling) के लिए,वलय का त्वरण (जड़त्व आघूर्ण $I = MR^2$) $a_2 = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{MR^2}} = \frac{g \sin \theta}{1 + 1} = \frac{g \sin \theta}{2}$ होता है।
गति के समीकरण $L = \frac{1}{2} a_2 t_2^2$ का उपयोग करने पर,हमें $t_2 = \sqrt{\frac{2L}{a_2}} = \sqrt{\frac{2L}{\frac{g \sin \theta}{2}}} = \sqrt{\frac{4L}{g \sin \theta}} = \sqrt{2} \sqrt{\frac{2L}{g \sin \theta}} = \sqrt{2} t_1$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $\frac{t_1}{t_2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
इस प्रकार,विकल्प $B$ सही है।

(A) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,शीर्ष पर स्थित स्थितिज ऊर्जा नीचे आने पर स्थानांतरण और घूर्णन गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली डिस्क के लिए जो $h$ ऊँचाई से लुढ़कती है:
$Mgh = \frac{1}{2} M v^2 + \frac{1}{2} I \omega^2$
चूँकि डिस्क बिना फिसले लुढ़कती है,$\omega = v/R$ और $I = \frac{1}{2} M R^2$ होता है।
$Mgh = \frac{1}{2} M v^2 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} M R^2) (v/R)^2 = \frac{1}{2} M v^2 + \frac{1}{4} M v^2 = \frac{3}{4} M v^2$
$v = \sqrt{\frac{4gh}{3}}$
चूँकि दोनों डिस्क समान ऊँचाई $h$ से शुरू होती हैं और एकसमान हैं,इसलिए नत समतल की लंबाई पर ध्यान दिए बिना,निचले बिंदु पर उनके वेग समान होंगे।
अतः,$v_1 = v_2$.

(B) नत समतल पर बिना फिसले लुढ़कने वाली वस्तु के लिए,यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,शीर्ष पर स्थितिज ऊर्जा तल पर स्थानांतरण और घूर्णन गतिज ऊर्जा के योग के बराबर होती है।
$Mgh = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
ठोस बेलन के लिए,केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}MR^2$ होता है।
बिना फिसले लुढ़कने के लिए,$\omega = \frac{v}{R}$ होता है।
इन मानों को ऊर्जा समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$Mgh = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}MR^2)(\frac{v}{R})^2$
$Mgh = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{4}Mv^2$
$Mgh = \frac{3}{4}Mv^2$
$v^2 = \frac{4}{3}gh$
$v = \sqrt{\frac{4}{3}gh}$.

(A) नत समतल पर बिना फिसले लुढ़कने वाली वस्तु के लिए,त्वरण $(a)$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{K^2}{R^2}}$
जहाँ $K$ घूर्णन त्रिज्या है और $R$ गोले की त्रिज्या है।
एक ठोस गोले के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}MR^2$ होता है। चूँकि $I = MK^2$,इसलिए $K^2 = \frac{2}{5}R^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\frac{K^2}{R^2} = \frac{2}{5}$।
इस मान को त्वरण के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{2}{5}} = \frac{g \sin \theta}{\frac{7}{5}} = \frac{5}{7}g \sin \theta$।

(B) नत समतल पर लुढ़कने वाले किसी वस्तु द्वारा लिया गया समय $t = \sqrt{\frac{2h(1 + \frac{k^2}{R^2})}{g \sin^2 \theta}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
चूँकि $h$,$g$ और $\theta$ स्थिर हैं,इसलिए $t \propto \sqrt{1 + \frac{k^2}{R^2}}$ होगा।
ठोस गोले के लिए,$\frac{k^2}{R^2} = 0.4$ है।
चकती के लिए,$\frac{k^2}{R^2} = 0.5$ है।
वलय के लिए,$\frac{k^2}{R^2} = 1$ है।
$\frac{k^2}{R^2}$ के मानों की तुलना करने पर,हमें $0.4 < 0.5 < 1$ प्राप्त होता है।
अतः,लिए गए समय का क्रम $t_{sphere} < t_{disc} < t_{ring}$ होगा।
इस प्रकार,गोला सबसे पहले सतह पर पहुँचेगा,उसके बाद चकती और अंत में वलय पहुँचेगी।

(C) नत समतल पर बिना फिसले लुढ़कने वाली वस्तु का रेखीय त्वरण $a$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{k^2}{R^2}}$
एक पतली समान वृत्ताकार वलय के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = MR^2$ होता है। चूंकि $I = Mk^2$,इसलिए $k^2 = R^2$ होगा,जिसका अर्थ है कि $\frac{k^2}{R^2} = 1$ है।
दिया गया झुकाव कोण $\theta = 30^o$ है,इसलिए हम सूत्र में मान रखते हैं:
$a = \frac{g \sin 30^o}{1 + 1}$
चूंकि $\sin 30^o = 1/2$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$a = \frac{g(1/2)}{2} = \frac{g}{4}$

(D) $h$ ऊंचाई और $\theta$ कोण वाले नत समतल पर लुढ़कने वाले पिंड के लिए समय का सूत्र $t = \frac{1}{\sin \theta} \sqrt{\frac{2h}{g} \left( 1 + \frac{k^2}{R^2} \right)}$ है।
चूंकि $h$,$g$ और $\theta$ दोनों के लिए समान हैं,इसलिए समय का अनुपात $t_s / t_d = \sqrt{\frac{1 + k_s^2/R^2}{1 + k_d^2/R^2}}$ होगा।
ठोस गोले के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}MR^2$ है,इसलिए $k_s^2/R^2 = 2/5$ है।
डिस्क के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}MR^2$ है,इसलिए $k_d^2/R^2 = 1/2$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $t_s / t_d = \sqrt{\frac{1 + 2/5}{1 + 1/2}} = \sqrt{\frac{7/5}{3/2}} = \sqrt{\frac{7}{5} \times \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{14}{15}}$।
अतः,अनुपात $\sqrt{14} : \sqrt{15}$ है।

(A) नत समतल पर लुढ़कने वाली वस्तु का वेग इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $v = \sqrt{\frac{2gh}{1 + \frac{k^2}{R^2}}}$.
यहाँ,$h = l \sin \theta$,जहाँ $l = 1.4\,m$ और $\sin \theta = \frac{1}{10}$ है।
ठोस गोले के लिए,घूर्णन त्रिज्या $k$ के लिए $k^2 = \frac{2}{5}R^2$ होता है,इसलिए $\frac{k^2}{R^2} = \frac{2}{5}$ है।
मान रखने पर: $h = 1.4 \times \frac{1}{10} = 0.14\,m$.
$v = \sqrt{\frac{2 \times 9.8 \times 0.14}{1 + \frac{2}{5}}} = \sqrt{\frac{2.744}{1.4}} = \sqrt{1.96} = 1.4\,m/s$.

(B) जब एक ठोस गोला बिना फिसले नत समतल पर लुढ़कता है,तो यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है। शीर्ष पर स्थितिज ऊर्जा नीचे स्थानांतरण और घूर्णन गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है: $mgh = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
ठोस गोले के लिए,$I = \frac{2}{5}mr^2$ और $\omega = \frac{v_1}{r}$.
इन मानों को रखने पर,$mgh = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mr^2)(\frac{v_1^2}{r^2}) = \frac{7}{10}mv_1^2$.
अतः,$v_1 = \sqrt{\frac{10}{7}gh}$.
जब गोला घर्षण के बिना फिसलता है,तो कोई घूर्णन नहीं होता है,इसलिए पूरी स्थितिज ऊर्जा स्थानांतरण गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है: $mgh = \frac{1}{2}mv_2^2$.
अतः,$v_2 = \sqrt{2gh}$.
दोनों की तुलना करने पर,$\frac{v_1}{v_2} = \frac{\sqrt{10/7}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{5}{7}}$.
इसलिए,$v_1 = \sqrt{\frac{5}{7}} v_2$.

(A) बिना फिसले लुढ़कने वाले एक ठोस गोले के लिए,कुल गतिज ऊर्जा $K$,स्थानांतरीय और घूर्णन गतिज ऊर्जा का योग है।
$K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
चूंकि $I = \frac{2}{5}mr^2$ और बिना फिसले लुढ़कने के लिए $\omega = \frac{v}{r}$:
$K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mr^2)(\frac{v}{r})^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $h$ ऊँचाई पर स्थितिज ऊर्जा के बराबर होनी चाहिए (यह मानते हुए कि यह शीर्ष पर शून्य वेग के साथ पहुँचता है):
$\frac{7}{10}mv^2 = mgh$
$v^2 = \frac{10}{7}gh$
$v = \sqrt{\frac{10}{7}gh}$

(A) नत समतल पर बिना फिसले लुढ़कने वाली वस्तु के लिए,समतल के अनुदिश कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण का घटक $Mg \sin \theta$ और स्थैतिक घर्षण $f$ हैं। गति का समीकरण $Mg \sin \theta - f = Ma$ है,जहाँ $a$ रैखिक त्वरण है।
द्रव्यमान केंद्र के परितः घूर्णन गति के लिए,बलाघूर्ण का समीकरण $\tau = I \alpha = fR$ है,जहाँ $\alpha$ कोणीय त्वरण है। चूंकि यह बिना फिसले लुढ़कती है,$a = R \alpha$,इसलिए $f = I \alpha / R = I(a/R)/R = Ia/R^2$ है।
बल समीकरण में $f$ का मान रखने पर: $Mg \sin \theta - Ia/R^2 = Ma$ प्राप्त होता है।
$a$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर: $Mg \sin \theta = Ma + Ia/R^2 = Ma(1 + I/MR^2)$।
अतः,$a = \frac{g \sin \theta}{1 + I/MR^2}$।

(D) जब बेलन आनत तल पर ऊपर की ओर लुढ़कता है,तो गुरुत्वाकर्षण के कारण इसमें नीचे फिसलने की प्रवृत्ति होती है,लेकिन घूर्णन के कारण यह ऊपर जाता है। घर्षण बल उस दिशा में कार्य करता है जो फिसलने की प्रवृत्ति का विरोध करता है,जो कि आनत तल पर ऊपर की ओर होता है ताकि लुढ़कने के लिए आवश्यक टॉर्क प्रदान किया जा सके।
जब बेलन आनत तल पर नीचे की ओर लुढ़कता है,तो इसमें नीचे फिसलने की प्रवृत्ति होती है। इस फिसलने की प्रवृत्ति का विरोध करने और लुढ़कने के लिए आवश्यक टॉर्क प्रदान करने के लिए घर्षण बल आनत तल पर ऊपर की ओर कार्य करता है।
अतः,दोनों स्थितियों में (ऊपर जाते समय और नीचे आते समय),घर्षण बल आनत तल पर ऊपर की ओर कार्य करता है।

(B) नत समतल पर लुढ़कती हुई वस्तु का त्वरण $a$ इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{MR^2}}$,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है,$M$ द्रव्यमान है,और $R$ त्रिज्या है।
गोलीय कोश के लिए,$I_1 = \frac{2}{3} MR^2$। अतः,$a_1 = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{g \sin \theta}{5/3} = \frac{3}{5} g \sin \theta$।
ठोस बेलन के लिए,$I_2 = \frac{1}{2} MR^2$। अतः,$a_2 = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{g \sin \theta}{3/2} = \frac{2}{3} g \sin \theta$।
उनके त्वरण का अनुपात $\frac{a_1}{a_2} = \frac{3/5}{2/3} = \frac{3}{5} \times \frac{3}{2} = \frac{9}{10}$ है।

(C) जब कोई वस्तु घर्षण रहित नत समतल पर फिसलती है,तो उसकी स्थितिज ऊर्जा पूरी तरह से स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है: $mgh = \frac{1}{2}mv^2$,जिससे $v_{slide} = \sqrt{2gh}$ प्राप्त होता है।
जब एक ठोस गोला बिना फिसले लुढ़कता है,तो उसकी स्थितिज ऊर्जा स्थानांतरीय और घूर्णन गतिज ऊर्जा दोनों में परिवर्तित हो जाती है: $mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
ठोस गोले के लिए,$I = \frac{2}{5}mr^2$ और $\omega = \frac{v}{r}$। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mr^2)(\frac{v}{r})^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$.
वेग के लिए हल करने पर,$v_{roll} = \sqrt{\frac{10}{7}gh} \approx \sqrt{1.43gh}$.
चूंकि $\sqrt{2gh} > \sqrt{1.43gh}$,इसलिए फिसलने वाले ब्लॉक का वेग लुढ़कने वाले गोले से अधिक होता है,अतः आयताकार ब्लॉक पहले नीचे पहुँचेगा।

(B) $L$ लंबाई और $\theta$ झुकाव वाले नत समतल पर फिसलने के लिए त्वरण $a_1 = g \sin \theta$ होता है।
फिसलने में लगा समय $t_1 = \sqrt{\frac{2L}{a_1}} = \sqrt{\frac{2L}{g \sin \theta}}$ है।
उसी नत समतल पर लुढ़कने के लिए त्वरण $a_2 = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{MR^2}}$ होता है।
रिंग के लिए जड़त्व आघूर्ण $I = MR^2$ है,इसलिए $a_2 = \frac{g \sin \theta}{1 + 1} = \frac{g \sin \theta}{2}$ प्राप्त होता है।
लुढ़कने में लगा समय $t_2 = \sqrt{\frac{2L}{a_2}} = \sqrt{\frac{2L \times 2}{g \sin \theta}} = \sqrt{2} \times \sqrt{\frac{2L}{g \sin \theta}}$ है।
अतः,अनुपात $\frac{t_1}{t_2} = \frac{\sqrt{\frac{2L}{g \sin \theta}}}{\sqrt{2} \times \sqrt{\frac{2L}{g \sin \theta}}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
इस प्रकार,$t_1 : t_2 = 1 : \sqrt{2}$ होगा।

(C) आनत तल पर लुढ़कती हुई वस्तु का त्वरण $a$ सूत्र $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{MR^2}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है,$M$ द्रव्यमान है और $R$ त्रिज्या है।
दिए गए आनत तल के लिए,$g$ और $\theta$ स्थिर हैं। इसलिए,त्वरण $a$ कारक $(1 + \frac{I}{MR^2})$ के व्युत्क्रमानुपाती है।
जिस वस्तु के लिए $\frac{I}{MR^2}$ का मान सबसे कम होगा,उसका त्वरण सबसे अधिक होगा और वह सबसे पहले आधार पर पहुँचेगी।
- रिंग के लिए: $I = MR^2$,इसलिए $\frac{I}{MR^2} = 1$.
- डिस्क के लिए: $I = \frac{1}{2}MR^2$,इसलिए $\frac{I}{MR^2} = 0.5$.
- ठोस गोले के लिए: $I = \frac{2}{5}MR^2$,इसलिए $\frac{I}{MR^2} = 0.4$.
- बेलन के लिए: $I = \frac{1}{2}MR^2$,इसलिए $\frac{I}{MR^2} = 0.5$.
मानों की तुलना करने पर,ठोस गोले का मान सबसे कम $(0.4)$ है।
अतः,ठोस गोले का त्वरण सबसे अधिक है और वह सबसे पहले आधार पर पहुँचेगा।

(D) नत समतल पर शुद्ध लोटनी गति करते ठोस गोले के लिए:
$(1)$ घर्षण बल $f = \frac{mg \sin \theta}{1 + \frac{MR^2}{I}}$ द्वारा दिया जाता है। ठोस गोले के लिए,$I = \frac{2}{5}MR^2$,इसलिए $f = \frac{mg \sin \theta}{1 + 2.5} = \frac{2}{7}mg \sin \theta$। अतः,कथन $(1)$ गलत है।
$(2)$ शुद्ध लोटनी गति में,संपर्क बिंदु तात्क्षणिक रूप से स्थिर होता है,इसलिए घर्षण द्वारा कोई कार्य नहीं किया जाता है। अतः,यह एक क्षयकारी बल नहीं है। कथन $(2)$ गलत है।
$(3)$ घर्षण नत समतल के ऊपर की ओर कार्य करता है,जो एक टॉर्क प्रदान करता है जो कोणीय वेग $\omega$ को बढ़ाता है और एक बल जो स्थानांतरण गति का विरोध करता है,जिससे रैखिक त्वरण कम हो जाता है। कथन $(3)$ सही है।
$(4)$ चूंकि $f = \frac{2}{7}mg \sin \theta$,यदि $\theta$ घटता है,तो $\sin \theta$ घटता है,और इस प्रकार घर्षण बल $f$ घट जाता है। कथन $(4)$ सही है।
अतः,कथन $(3)$ और $(4)$ सही हैं।

(A) मान लीजिए $R = 3a$ स्थिर रिंग की त्रिज्या है और $r = a$ छोटी लुढ़कने वाली रिंग की त्रिज्या है।
जब छोटी रिंग क्षैतिज स्थिति $A$ पर होती है,तो सबसे निचले बिंदु से इसके केंद्र की ऊँचाई $h = R - r = 3a - a = 2a$ होती है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,छोटी रिंग द्वारा खोई गई स्थितिज ऊर्जा सबसे निचले बिंदु पर प्राप्त गतिज ऊर्जा के बराबर होती है।
खोई गई स्थितिज ऊर्जा,$\Delta U = mgh = mg(2a) = 2mga$.
सबसे निचले बिंदु पर,गतिज ऊर्जा $K$ स्थानांतरण गतिज ऊर्जा और घूर्णन गतिज ऊर्जा का योग है: $K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
बिना फिसले लुढ़कने वाली रिंग के लिए,$I = mr^2$ और $\omega = v/r$.
इन मानों को रखने पर,$K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(mr^2)(v/r)^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}mv^2 = mv^2$.
ऊर्जा को बराबर करने पर: $2mga = mv^2$.
इसलिए,$v^2 = 2ga$,जिससे हमें $v = \sqrt{2ga}$ प्राप्त होता है।

(B) लुढ़कती हुई वस्तु की कुल गतिज ऊर्जा $(KE_{total})$ उसकी स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $(KE_{trans})$ और घूर्णन गतिज ऊर्जा $(KE_{rot})$ का योग होती है।
$KE_{trans} = \frac{1}{2} mv^2$
$KE_{rot} = \frac{1}{2} I\omega^2$
एक ठोस गोले के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} mr^2$ और शुद्ध लोटनिक गति के लिए,$\omega = \frac{v}{r}$ होता है।
इन मानों को घूर्णन गतिज ऊर्जा के सूत्र में रखने पर:
$KE_{rot} = \frac{1}{2} (\frac{2}{5} mr^2) (\frac{v}{r})^2 = \frac{1}{2} (\frac{2}{5} mr^2) (\frac{v^2}{r^2}) = \frac{1}{5} mv^2$.
अब,कुल गतिज ऊर्जा:
$KE_{total} = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{5} mv^2 = \frac{5+2}{10} mv^2 = \frac{7}{10} mv^2$.
घूर्णन गतिज ऊर्जा का अंश $\frac{KE_{rot}}{KE_{total}} = \frac{1/5 mv^2}{7/10 mv^2} = \frac{1}{5} \times \frac{10}{7} = \frac{2}{7}$ है।
स्थानांतरण गतिज ऊर्जा का अंश $\frac{KE_{trans}}{KE_{total}} = \frac{1/2 mv^2}{7/10 mv^2} = \frac{1}{2} \times \frac{10}{7} = \frac{5}{7}$ है।
अतः,घूर्णन गतिज ऊर्जा कुल ऊर्जा का $2/7$ भाग है और स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $5/7$ भाग है।

(A) मान लीजिए गोले का द्रव्यमान $M$ और त्रिज्या $R$ है।
एक ठोस गोले का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}MR^2$ होता है।
शुद्ध लोटनिक गति (pure rolling) के लिए,रेखीय वेग और कोणीय वेग के बीच संबंध $v = R\omega$ है,जिसका अर्थ है $\omega = \frac{v}{R}$।
कुल गतिज ऊर्जा $(K_{total})$,घूर्णन गतिज ऊर्जा $(K_{rot})$ और स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $(K_{trans})$ का योग है:
$K_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2} \times (\frac{2}{5}MR^2) \times (\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{5}Mv^2$।
$K_{trans} = \frac{1}{2}Mv^2$।
$K_{total} = K_{rot} + K_{trans} = \frac{1}{5}Mv^2 + \frac{1}{2}Mv^2 = \frac{2+5}{10}Mv^2 = \frac{7}{10}Mv^2$।
घूर्णन गतिज ऊर्जा का प्रतिशत इस प्रकार है:
$\text{प्रतिशत} = \frac{K_{rot}}{K_{total}} \times 100 = \frac{\frac{1}{5}Mv^2}{\frac{7}{10}Mv^2} \times 100 = \frac{1}{5} \times \frac{10}{7} \times 100 = \frac{2}{7} \times 100 \approx 28.57\%$।
निकटतम पूर्णांक में,हमें $28\%$ प्राप्त होता है।

(D) नत समतल (inclined plane) पर बिना फिसले लुढ़कने वाली वस्तु के रैखिक त्वरण का सूत्र $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{K^2}{R^2}}$ होता है।
ठोस गोले के लिए,घूर्णन त्रिज्या $K$ का मान $K^2 = \frac{2}{5}R^2$ होता है,इसलिए $\frac{K^2}{R^2} = \frac{2}{5}$ है।
यहाँ झुकाव का कोण $\theta = 30^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$ होगा।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$a = \frac{g \sin 30^{\circ}}{1 + \frac{2}{5}} = \frac{g(1/2)}{7/5} = \frac{g}{2} \times \frac{5}{7} = \frac{5g}{14}$.
अतः,गोले का रैखिक त्वरण $\frac{5g}{14}$ होगा।

(A) $h$ ऊँचाई के नत समतल पर लुढ़कती हुई वस्तु का वेग $v$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v = \sqrt{\frac{2gh}{1 + \frac{K^2}{R^2}}}$
यहाँ,$h = L \sin\theta$ और एक डिस्क के लिए,घूर्णन त्रिज्या $K$ का मान $K^2 = \frac{R^2}{2}$ होता है,इसलिए $\frac{K^2}{R^2} = \frac{1}{2}$ होगा।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$v = \sqrt{\frac{2g(L \sin\theta)}{1 + \frac{1}{2}}}$
$v = \sqrt{\frac{2gL \sin\theta}{\frac{3}{2}}}$
$v = \sqrt{\frac{4gL \sin\theta}{3}}$

(A) $h$ ऊंचाई वाले नत समतल पर बिना फिसले लुढ़कने वाली वस्तु के लिए,यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,शीर्ष पर स्थितिज ऊर्जा नीचे पहुँचने पर स्थानांतरीय और घूर्णन गतिज ऊर्जा के योग के बराबर होती है।
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
गोले के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}mR^2$ है और लुढ़कने की शर्त $\omega = \frac{v}{R}$ है।
इन मानों को ऊर्जा समीकरण में रखने पर:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mR^2)(\frac{v}{R})^2$
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2$
$mgh = \frac{7}{10}mv^2$
$v^2 = \frac{10}{7}gh$
$v = \sqrt{\frac{10}{7}gh}$

(C) नत समतल पर बिना फिसले लुढ़कने वाली वस्तु के लिए,तल पर पहुँचने पर द्रव्यमान केंद्र का वेग $v$ ऊर्जा संरक्षण के नियम द्वारा दिया जाता है: $mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
बेलन के लिए,केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}mR^2$ होता है।
बिना फिसले लुढ़कने के लिए,$\omega = \frac{v}{R}$ होता है।
इन मानों को ऊर्जा समीकरण में रखने पर: $mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mR^2)(\frac{v}{R})^2$.
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2$.
$v$ के लिए हल करने पर: $v^2 = \frac{4}{3}gh$,जिससे $v = \sqrt{\frac{4}{3}gh}$ प्राप्त होता है।

(A) लुढ़कती हुई वस्तु की कुल गतिज ऊर्जा $(E_{total})$ उसकी स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $(E_t)$ और घूर्णन गतिज ऊर्जा $(E_r)$ का योग होती है।
$E_{total} = E_t + E_r = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
चूंकि $I = mk^2$ और $v = r\omega$,इसलिए $E_r = \frac{1}{2}mk^2(\frac{v^2}{r^2}) = \frac{1}{2}mv^2(\frac{k^2}{r^2})$.
डिस्क के लिए,घूर्णन त्रिज्या $k^2 = \frac{1}{2}r^2$ है,इसलिए $\frac{k^2}{r^2} = \frac{1}{2}$.
$E_{total} = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{k^2}{r^2}) = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{1}{2}) = \frac{3}{4}mv^2$.
घूर्णन गतिज ऊर्जा $E_r = \frac{1}{2}mv^2(\frac{1}{2}) = \frac{1}{4}mv^2$ है।
कुल ऊर्जा का घूर्णन ऊर्जा के रूप में भाग $\frac{E_r}{E_{total}} = \frac{\frac{1}{4}mv^2}{\frac{3}{4}mv^2} = \frac{1}{3}$ है।

(B) ढलान पर बिना फिसले लुढ़कने वाली वस्तु का त्वरण $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{K^2}{R^2}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $K$ घूर्णन त्रिज्या है।
चूँकि जड़त्व आघूर्ण $I = M K^2$ है,इसलिए $K^2 = \frac{I}{M}$ होता है।
इस मान को त्वरण के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I/M}{R^2}} = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{M R^2}}$.

(B) लुढ़कती हुई डिस्क की कुल गतिज ऊर्जा उसकी स्थानांतरण और घूर्णन गतिज ऊर्जा का योग है।
$K_{total} = K_{trans} + K_{rot} = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
एक डिस्क के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}MR^2$ और $\omega = \frac{v}{R}$ होता है।
$K_{total} = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}MR^2)(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{4}Mv^2 = \frac{3}{4}Mv^2$
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,अधिकतम ऊँचाई $h$ पर कुल गतिज ऊर्जा गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
$K_{total} = Mgh$
$\frac{3}{4}Mv^2 = Mgh$
$h = \frac{3v^2}{4g}$