Moment of Inertia and Radius of gyration Questions in Hindi

(A) स्थानांतरित गति में,किसी पिंड के विराम या एकसमान गति की अवस्था में परिवर्तन का विरोध करने के गुण को द्रव्यमान $(m)$ कहा जाता है।
घूर्णन गति में,किसी पिंड के घूर्णन गति की अवस्था में परिवर्तन का विरोध करने के गुण को जड़त्व आघूर्ण $(I)$ कहा जाता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम $(F = ma)$ का घूर्णन गति में अनुरूप रूप $\tau = I\alpha$ है,जहाँ $\tau$ टॉर्क है,$I$ जड़त्व आघूर्ण है और $\alpha$ कोणीय त्वरण है।
इस प्रकार,घूर्णन गति में जड़त्व आघूर्ण वही भूमिका निभाता है जो स्थानांतरित गति में द्रव्यमान निभाता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) माना तार के प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान $\lambda$ है।
लूप $P$ की परिधि $2\pi r$ है,इसलिए इसका द्रव्यमान $M_P = \lambda(2\pi r)$ है।
लूप $P$ का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_P = M_P r^2 = \lambda(2\pi r)r^2 = 2\pi\lambda r^3$ है।
लूप $Q$ की परिधि $2\pi(nr)$ है,इसलिए इसका द्रव्यमान $M_Q = \lambda(2\pi nr) = n M_P$ है।
लूप $Q$ का समान अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_Q = M_Q (nr)^2 = (n M_P)(n^2 r^2) = n^3 M_P r^2 = n^3 I_P$ है।
दिया गया है कि $I_Q = 8 I_P$,इसलिए $n^3 I_P = 8 I_P$ है।
अतः,$n^3 = 8$,जिससे $n = 2$ प्राप्त होता है।

(C) गोले का उसके केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{2}{5}MR^2$ है।
समानांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,स्पर्शरेखा अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{cm} + MR^2$ होता है।
मान रखने पर,$I = \frac{2}{5}MR^2 + MR^2 = \frac{7}{5}MR^2$ प्राप्त होता है।
घूर्णन त्रिज्या $K$ को $I = MK^2$ द्वारा परिभाषित किया जाता है।
अतः,$MK^2 = \frac{7}{5}MR^2$।
$K$ के लिए हल करने पर,हमें $K = \sqrt{\frac{7}{5}}R$ प्राप्त होता है।

(A) वर्ग के केंद्र $P$ से प्रत्येक कण की दूरी $r = \frac{l}{\sqrt{2}}$ है।
केंद्र $P$ से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के परितः निकाय का जड़त्व आघूर्ण $I$ इस प्रकार है:
$I = \sum m_i r_i^2 = 4 \times m \times r^2 = 4m \left( \frac{l}{\sqrt{2}} \right)^2 = 4m \left( \frac{l^2}{2} \right) = 2ml^2$.
घूर्णन त्रिज्या $K$ को $I = MK^2$ संबंध द्वारा परिभाषित किया जाता है,जहाँ $M$ निकाय का कुल द्रव्यमान है।
यहाँ,$M = 4m$,इसलिए:
$4mK^2 = 2ml^2$
$K^2 = \frac{2ml^2}{4m} = \frac{l^2}{2}$
$K = \frac{l}{\sqrt{2}}$.

(B) किसी पिंड की घूर्णन त्रिज्या $K$ को संबंध $I = MK^2$ द्वारा परिभाषित किया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $M$ पिंड का कुल द्रव्यमान है।
इससे,$K = \sqrt{I/M}$ प्राप्त होता है।
पिंड का जड़त्व आघूर्ण $I$ घूर्णन अक्ष के सापेक्ष द्रव्यमान के वितरण पर निर्भर करता है।
चूंकि $K$ को $I$ और $M$ से प्राप्त किया जाता है,और $I$ स्वयं घूर्णन अक्ष के सापेक्ष द्रव्यमान वितरण को दर्शाता है,इसलिए घूर्णन त्रिज्या $K$ द्रव्यमान वितरण और घूर्णन अक्ष पर निर्भर करती है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) चकती के तल के लंबवत और उसके गुरुत्व केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $(I)$ का सूत्र $I = \frac{1}{2}MR^2$ होता है।
घूर्णन त्रिज्या $(K)$ की परिभाषा के अनुसार,जड़त्व आघूर्ण को $I = MK^2$ के रूप में भी लिखा जा सकता है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $MK^2 = \frac{1}{2}MR^2$.
सरल करने पर,$K^2 = \frac{R^2}{2}$,जिसका अर्थ है $K = \frac{R}{\sqrt{2}}$.
यहाँ $R = 2.5 \, cm$ दिया गया है,इसलिए $K = \frac{2.5}{\sqrt{2}} \approx \frac{2.5}{1.414} \approx 1.767 \, cm$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $1.76 \, cm$ है।

(A) डिस्क की उसके गुरुत्व केंद्र से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $(I)$ का सूत्र $I = \frac{1}{2}MR^2$ है।
घूर्णन त्रिज्या $(K)$ की परिभाषा के अनुसार,$I = MK^2$ होता है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $MK^2 = \frac{1}{2}MR^2$.
दोनों पक्षों से द्रव्यमान $(M)$ को हटाने पर: $K^2 = \frac{R^2}{2}$.
वर्गमूल लेने पर: $K = \frac{R}{\sqrt{2}}$.
यहाँ त्रिज्या $R = 5\,cm$ दी गई है,इसलिए $K = \frac{5}{\sqrt{2}} \approx \frac{5}{1.414} \approx 3.535\,cm$.
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,$K = 3.54\,cm$ प्राप्त होता है।

(A) एक ठोस बेलन का उसकी केंद्रीय अनुदैर्ध्य अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $(I)$ का सूत्र है: $I = \frac{1}{2}MR^2$।
दिया गया है:
द्रव्यमान $(M)$ = $500 \ g = 0.5 \ kg$।
त्रिज्या $(R)$ = $10 \ cm = 0.1 \ m$।
सूत्र में मान रखने पर:
$I = \frac{1}{2} \times 0.5 \times (0.1)^2$
$I = 0.25 \times 0.01$
$I = 0.0025 \ kg \cdot m^2$
$I = 2.5 \times 10^{-3} \ kg \cdot m^2$।

(A) एक पतली वृत्ताकार चकती का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परित: जड़त्व आघूर्ण $I_z = \frac{1}{2}MR^2$ होता है।
लंबवत अक्ष प्रमेय के अनुसार,$I_z = I_x + I_y$ होता है।
चूंकि चकती सममित है,इसलिए किसी भी व्यास के परित: जड़त्व आघूर्ण समान होता है,अतः $I_x = I_y = I_d$ होगा।
इसलिए,$I_z = 2I_d$ होगा।
$I_z$ का मान रखने पर,हमें $\frac{1}{2}MR^2 = 2I_d$ प्राप्त होता है।
$I_d$ के लिए हल करने पर,हमें $I_d = \frac{1}{4}MR^2$ प्राप्त होता है।

(A) $M$ द्रव्यमान और $L$ लंबाई की एक समान पतली छड़ की उसके द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली और छड़ के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{ML^2}{12}$ होता है।
परिभाषा के अनुसार,घूर्णन त्रिज्या $K$ जड़त्व आघूर्ण से $I = MK^2$ समीकरण द्वारा संबंधित है।
$I$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $MK^2 = \frac{ML^2}{12}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $M$ को हटाने पर,$K^2 = \frac{L^2}{12}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $K = \frac{L}{\sqrt{12}}$ प्राप्त होता है।

(B) एक छल्ले का उसके केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = mR^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $R$ त्रिज्या है।
चूंकि व्यास $D = 2R$ होता है,इसलिए हम $R = D/2$ लिख सकते हैं।
इसे सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I = m(D/2)^2 = m(D^2/4)$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $I \propto mD^2$,या $m \propto I/D^2$।
दिए गए अनुपात $I_1/I_2 = 2/1$ और $D_1/D_2 = 2/1$ के साथ,द्रव्यमानों का अनुपात होगा:
$m_1/m_2 = (I_1/I_2) \times (D_2/D_1)^2$
$m_1/m_2 = (2/1) \times (1/2)^2 = 2 \times (1/4) = 2/4 = 1/2$।
अतः,उनके द्रव्यमानों का अनुपात $1:2$ है।

(B) एक खोखले गोले (पतले गोलीय कोश) के केंद्र से गुजरने वाली अक्ष (व्यास) के परितः जड़त्व आघूर्ण का मानक सूत्र $I = \frac{2}{3}MR^2$ होता है।
यहाँ,$M$ खोखले गोले का द्रव्यमान है और $R$ उसकी त्रिज्या है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) किसी अक्ष के परित: बिंदु द्रव्यमानों के निकाय का जड़त्व आघूर्ण $I = \sum m_i r_i^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r_i$ अक्ष से $i$-वें द्रव्यमान की लंबवत दूरी है।
$m_1$ से गुजरने वाली और $m_2m_3$ भुजा को समद्विभाजित करने वाली अक्ष के लिए:
$1$. $m_1$ की अक्ष से दूरी $r_1 = 0$ है।
$2$. $m_2$ की अक्ष से दूरी $r_2 = a/2$ है।
$3$. $m_3$ की अक्ष से दूरी $r_3 = a/2$ है।
अतः,कुल जड़त्व आघूर्ण होगा:
$I = m_1(0)^2 + m_2(a/2)^2 + m_3(a/2)^2$
$I = 0 + m_2(a^2/4) + m_3(a^2/4)$
$I = (m_2 + m_3) \frac{a^2}{4}$

(C) मान लीजिए कि समबाहु त्रिभुज के शीर्ष $A$,$B$ और $C$ हैं। घूर्णन अक्ष को भुजा $AB$ मान लेते हैं।
$A$ और $B$ पर स्थित कण घूर्णन अक्ष पर स्थित हैं,इसलिए अक्ष से उनकी लंबवत दूरी $0$ है। अतः,जड़त्व आघूर्ण में उनका योगदान $0$ है।
$C$ पर स्थित कण भुजा $AB$ से $x$ लंबवत दूरी पर है। $a$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज में,शीर्षलंब $x$ का मान $x = a \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} a$ होता है।
भुजा $AB$ के परितः निकाय का जड़त्व आघूर्ण $I = \sum m_i r_i^2 = m(0)^2 + m(0)^2 + m(x)^2$ है।
$I = m x^2 = m \left( \frac{\sqrt{3}}{2} a \right)^2 = m \left( \frac{3}{4} a^2 \right) = \frac{3}{4} m a^2$.

(B) कच्चे अंडे के अंदर तरल होता है,जो खोल के साथ नहीं घूमता है। इस प्रकार,यह एक गोलीय कोश (spherical shell) की तरह व्यवहार करता है जिसका द्रव्यमान सतह के पास केंद्रित होता है। एक गोलीय कोश का जड़त्व आघूर्ण $I_{raw} = \frac{2}{3}MR^2$ होता है।
आधा उबला हुआ अंडा अधिक गाढ़ा होता है और यह एक ठोस गोले की तरह व्यवहार करता है क्योंकि इसकी सामग्री खोल के साथ घूमती है। एक ठोस गोले का जड़त्व आघूर्ण $I_{boiled} = \frac{2}{5}MR^2$ होता है।
इसलिए,कच्चे अंडे और आधे उबले अंडे के जड़त्व आघूर्ण का अनुपात है:
$\frac{I_{raw}}{I_{boiled}} = \frac{\frac{2}{3}MR^2}{\frac{2}{5}MR^2} = \frac{5}{3} = 1.67$.
चूंकि $1.67 > 1$,इसलिए अनुपात एक से अधिक है।

(A) $M$ द्रव्यमान और $L$ लंबाई वाली एक समान छड़ का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसकी लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $(I)$ का सूत्र है:
$I = \frac{ML^2}{12}$
दिया गया है:
द्रव्यमान $(M)$ = $0.12 \ kg$
लंबाई $(L)$ = $1 \ m$
सूत्र में मान रखने पर:
$I = \frac{0.12 \times (1)^2}{12}$
$I = \frac{0.12}{12}$
$I = 0.01 \ kg \cdot m^2$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) माना कि दो वलय $1$ और $2$ हैं।
वलय $1$ के लिए,घूर्णन अक्ष उसके तल के लंबवत है और उसके केंद्र से गुजरती है। इस अक्ष के परित: वलय $1$ का जड़त्व आघूर्ण $I_1 = mr^2$ है।
वलय $2$ के लिए,घूर्णन अक्ष उसके तल में स्थित है और उसके केंद्र से गुजरती है (अर्थात,यह वलय $2$ का व्यास है)। इस व्यास के परित: वलय $2$ का जड़त्व आघूर्ण $I_2 = \frac{1}{2}mr^2$ है।
दिए गए अक्ष के परित: निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_1 + I_2 = mr^2 + \frac{1}{2}mr^2 = \frac{3}{2}mr^2$ होगा।

(D) $M$ द्रव्यमान,$l$ लंबाई और $b$ चौड़ाई वाली एकसमान आयताकार प्लेट के लिए,उसकी लंबाई $l$ के समांतर और केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परित: जड़त्व आघूर्ण की गणना प्लेट को $l$ लंबाई की छड़ों के रूप में मानकर की जाती है।
$m$ द्रव्यमान और $l$ लंबाई की एक पतली छड़ का उसके केंद्र के परित: जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{ml^2}{12}$ होता है।
आयताकार प्लेट के लिए,हम लंबाई के समांतर केंद्रीय अक्ष से $y$ दूरी पर $dy$ चौड़ाई की एक सूक्ष्म पट्टी पर विचार करते हैं। इस पट्टी का द्रव्यमान $dm = \frac{M}{b} dy$ है।
इस पट्टी का केंद्रीय अक्ष के परित: जड़त्व आघूर्ण $dI = (dm) y^2 = \left( \frac{M}{b} dy \right) y^2$ है।
इसका $y = -b/2$ से $y = b/2$ तक समाकलन करने पर:
$I = \int_{-b/2}^{b/2} \frac{M}{b} y^2 dy = \frac{M}{b} \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{-b/2}^{b/2} = \frac{M}{b} \left( \frac{b^3}{24} - (-\frac{b^3}{24}) \right) = \frac{M}{b} \left( \frac{2b^3}{24} \right) = \frac{Mb^2}{12}$.
अतः,सही विकल्प $(D)$ है।

(D) वृत्ताकार चकती का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}MR^2$ होता है।
द्रव्यमान $M = \text{घनत्व} (\rho) \times \text{आयतन} (V) = \rho \times (\pi R^2 t)$ होता है,जहाँ $t$ मोटाई है।
इस मान को सूत्र में रखने पर: $I = \frac{1}{2} (\pi R^2 t \rho) R^2 = \frac{1}{2} \pi t \rho R^4$ प्राप्त होता है।
चूंकि चकतियाँ समान पदार्थ से बनी हैं (समान $\rho$) और उनकी मोटाई समान $(t)$ है,इसलिए $I \propto R^4$ होगा।
व्यास $D = 2R$ होने के कारण,$I \propto D^4$ होगा।
अतः,$\frac{I_A}{I_B} = \left( \frac{D_A}{D_B} \right)^4$ होगा।
यहाँ $D_A = 2 D_B$ दिया गया है,इसलिए $\frac{I_A}{I_B} = (2)^4 = 16$ होगा।
इस प्रकार,$A$ का जड़त्व आघूर्ण $B$ की तुलना में $16$ गुना होगा।

(B) वृत्ताकार वलय का उसके केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = MR^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M$ द्रव्यमान है और $R$ त्रिज्या है।
चूँकि व्यासों का अनुपात $2:1$ है,इसलिए त्रिज्याओं का अनुपात $R_1/R_2$ भी $2:1$ होगा।
दिया है $M_1/M_2 = 1/2$ और $R_1/R_2 = 2/1$।
जड़त्व आघूर्णों का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{M_1 R_1^2}{M_2 R_2^2} = \left( \frac{M_1}{M_2} \right) \left( \frac{R_1}{R_2} \right)^2$ है।
मान रखने पर: $\frac{I_1}{I_2} = \left( \frac{1}{2} \right) \times \left( \frac{2}{1} \right)^2 = \frac{1}{2} \times 4 = 2$।
अतः,अनुपात $2:1$ है।

(D) माना आयत का द्रव्यमान $M$ है। माना $AB = l$ और $BC = 2l$ है।
आयत के केंद्र से गुजरने वाली और उसकी भुजाओं के समानांतर अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{M d^2}{12}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $d$ अक्ष के लंबवत भुजा है।
$1$. अक्ष $HF$ के लिए ($AB$ के समानांतर): लंबवत भुजा $BC = 2l$ है। अतः,$I_{HF} = \frac{M(2l)^2}{12} = \frac{4Ml^2}{12} = \frac{Ml^2}{3}$.
$2$. अक्ष $EG$ के लिए ($BC$ के समानांतर): लंबवत भुजा $AB = l$ है। अतः,$I_{EG} = \frac{Ml^2}{12}$.
दोनों की तुलना करने पर,$I_{EG} < I_{HF}$.
अतः,$EG$ अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण न्यूनतम है।

(A) जड़त्व आघूर्ण $(I)$ घूर्णन अक्ष के सापेक्ष द्रव्यमान के वितरण पर निर्भर करता है।
$m$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार वलय के लिए,उसके तल के लम्बवत् अक्ष के परित: $I = mR^2$ होता है।
$m$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली चकती के लिए,उसके तल के लम्बवत् अक्ष के परित: $I = \frac{1}{2}mR^2$ होता है।
$m$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले ठोस गोले के लिए,उसके व्यास के परित: $I = \frac{2}{5}mR^2$ होता है।
$m$ द्रव्यमान और $L$ लंबाई वाली छड़ के लिए,उसके केंद्र के परित: $I = \frac{1}{12}mL^2$ होता है।
इनकी तुलना करने पर,वलय का जड़त्व आघूर्ण सबसे अधिक होता है क्योंकि इसका संपूर्ण द्रव्यमान घूर्णन अक्ष से अधिकतम दूरी $R$ पर स्थित होता है।

(B) किसी दृढ़ पिंड का जड़त्व आघूर्ण $I = \sum m_i r_i^2$ के रूप में परिभाषित होता है।
$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक वलय के लिए,सभी द्रव्यमान अवयव केंद्र से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष से $R$ की स्थिर दूरी पर स्थित हैं।
इसलिए,$I = \int r^2 dm = \int R^2 dm = R^2 \int dm$ होगा।
चूंकि $\int dm = M$ है,इसलिए जड़त्व आघूर्ण $I = M R^2$ प्राप्त होता है।

(C) जड़त्व आघूर्ण एक भौतिक राशि है जो किसी दृढ़ पिंड की घूर्णी जड़ता को दर्शाती है। यह रेखीय गति में द्रव्यमान (mass) के अनुरूप होती है। यह किसी विशिष्ट अक्ष के परितः वस्तु की घूर्णन गति में होने वाले परिवर्तनों के प्रति प्रतिरोध का माप है। इसलिए,यह घूर्णन गति के दौरान प्रभावी होता है।

(A) एक फ्लाई-व्हील (डिस्क) के लिए उसके केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परित: जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}MR^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M$ द्रव्यमान है और $R$ त्रिज्या है।
चूंकि व्यास $D = 2R$ है,इसलिए $R = D/2$ होगा। इस मान को सूत्र में रखने पर,$I = \frac{1}{2}M(D/2)^2 = \frac{1}{8}MD^2$ प्राप्त होता है।
यह दर्शाता है कि $I \propto D^2$ है।
प्रतिशत त्रुटि की अवधारणा का उपयोग करते हुए,यदि $D$ में $1\%$ की वृद्धि होती है,तो $I$ में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\Delta I}{I} \times 100 = 2 \times (\frac{\Delta D}{D} \times 100)$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मान को रखने पर,$\frac{\Delta I}{I} \times 100 = 2 \times 1\% = 2\%$.
अतः,जड़त्व आघूर्ण में प्रतिशत वृद्धि $2\%$ है।

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 1\,kg$,व्यास $D = 0.2\,m$.
त्रिज्या $r = D/2 = 0.1\,m = 10^{-1}\,m$.
वृत्ताकार प्लेट का उसके व्यास के परित: जड़त्व आघूर्ण का सूत्र $I = \frac{1}{4}mr^2$ होता है।
मान रखने पर:
$I = \frac{1}{4} \times 1\,kg \times (0.1\,m)^2$
$I = \frac{1}{4} \times 1 \times 0.01\,kg\cdot m^2$
$I = 0.0025\,kg\cdot m^2 = 2.5 \times 10^{-3}\,kg\cdot m^2$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक वृत्ताकार चकती का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $(I)$ का मान $I = \frac{1}{2}MR^2$ होता है।
परिभाषा के अनुसार,घूर्णन त्रिज्या $(k)$ और जड़त्व आघूर्ण के बीच संबंध $I = Mk^2$ है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$Mk^2 = \frac{1}{2}MR^2$
$k^2 = \frac{R^2}{2}$
$k = \frac{R}{\sqrt{2}}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) अक्ष $AX$ के परितः निकाय का जड़त्व आघूर्ण व्यक्तिगत कणों के जड़त्व आघूर्णों के योग के बराबर होता है:
$I = I_A + I_B + I_C$
चूंकि कण $A$,अक्ष $AX$ पर स्थित है,इसलिए इसकी लंबवत दूरी $r_A = 0$ है। अतः,$I_A = m(0)^2 = 0$.
कण $B$,रेखा $AB$ पर $A$ से $l$ दूरी पर है। चूंकि $AX$,$AB$ के लंबवत है,इसलिए $AX$ से $B$ की लंबवत दूरी $r_B = l$ है। अतः,$I_B = m(l)^2 = m l^2$.
कण $C$,$A$ और $B$ के साथ एक समबाहु त्रिभुज बनाता है। अक्ष $AX$ से $C$ की लंबवत दूरी,$AX$ के लंबवत रेखा (जो $AB$ के समानांतर है) पर भुजा $AC$ का प्रक्षेप है। यह दूरी $r_C = l \cos(60^{\circ}) = l \cdot \frac{1}{2} = \frac{l}{2}$ है।
अतः,$I_C = m(r_C)^2 = m(\frac{l}{2})^2 = \frac{m l^2}{4}$.
कुल जड़त्व आघूर्ण $I = 0 + m l^2 + \frac{m l^2}{4} = \frac{5}{4} m l^2$.

(C) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार डिस्क के लिए,उसके तल में स्थित स्पर्शरेखीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{\text{disk}} = I_{\text{cm}} + MR^2 = \frac{1}{4}MR^2 + MR^2 = \frac{5}{4}MR^2$ होता है।
चूंकि $I = MK^2$,इसलिए घूर्णन त्रिज्या $K_{\text{disk}} = \sqrt{\frac{5}{4}}R = \frac{\sqrt{5}}{2}R$ है।
$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार वलय के लिए,उसके तल में स्थित स्पर्शरेखीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{\text{ring}} = I_{\text{cm}} + MR^2 = \frac{1}{2}MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2}MR^2$ होता है।
चूंकि $I = MK^2$,इसलिए घूर्णन त्रिज्या $K_{\text{ring}} = \sqrt{\frac{3}{2}}R = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}R$ है।
घूर्णन त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{K_{\text{disk}}}{K_{\text{ring}}} = \frac{\sqrt{5}/2}{\sqrt{3}/\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2} \times \sqrt{3}} = \sqrt{\frac{5}{6}}$ है।

(C) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_A = \frac{2}{5}MR^2 = 0.4 MR^2$ होता है।
$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले खोखले गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_B = \frac{2}{3}MR^2 \approx 0.67 MR^2$ होता है।
चूंकि दोनों गोलों का द्रव्यमान $M$ और त्रिज्या $R$ समान है,इसलिए गुणांकों की तुलना करने पर यह स्पष्ट है कि $0.4 MR^2 < 0.67 MR^2$ है।
अतः,$I_A < I_B$।

(A) कणों के निकाय का किसी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \sum m_i r_i^2$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $r_i$ घूर्णन अक्ष से $i$-वें कण की लंबवत दूरी है।
$x$-अक्ष के लिए, बिंदु $(x, y, z)$ की लंबवत दूरी $r = \sqrt{y^2 + z^2}$ होती है।
$1$. $m_1 = 1 \text{ kg}$ द्रव्यमान के लिए $(0,0,0)$ पर: $r_1 = \sqrt{0^2 + 0^2} = 0 \text{ m}$. अतः, $I_1 = 1 \times 0^2 = 0 \text{ kg} \cdot \text{m}^2$.
$2$. $m_2 = 2 \text{ kg}$ द्रव्यमान के लिए $(2,0,0)$ पर: $r_2 = \sqrt{0^2 + 0^2} = 0 \text{ m}$. अतः, $I_2 = 2 \times 0^2 = 0 \text{ kg} \cdot \text{m}^2$.
$3$. $m_3 = 3 \text{ kg}$ द्रव्यमान के लिए $(0,3,0)$ पर: $r_3 = \sqrt{3^2 + 0^2} = 3 \text{ m}$. अतः, $I_3 = 3 \times 3^2 = 27 \text{ kg} \cdot \text{m}^2$.
$4$. $m_4 = 4 \text{ kg}$ द्रव्यमान के लिए $(-2,-2,0)$ पर: $r_4 = \sqrt{(-2)^2 + 0^2} = 2 \text{ m}$. अतः, $I_4 = 4 \times 2^2 = 16 \text{ kg} \cdot \text{m}^2$.
कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_1 + I_2 + I_3 + I_4 = 0 + 0 + 27 + 16 = 43 \text{ kg} \cdot \text{m}^2$.

(B) वलय (ring) का उसके केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{ring} = mr^2$ होता है।
जब वलय को पिघलाकर समान द्रव्यमान $m$ के गोले में बदला जाता है,तो मान लीजिए गोले की त्रिज्या $r'$ है।
चूंकि आयतन समान रहता है,गोले की त्रिज्या $r'$ वलय की त्रिज्या $r$ की तुलना में बहुत कम होगी (अर्थात $r' \ll r$)।
गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{sphere} = \frac{2}{5}mr'^2$ होता है।
अतः,$I_{sphere} = \frac{2}{5}mr'^2 < mr^2 = I_{ring}$।
इस प्रकार,गोले का जड़त्व आघूर्ण वलय से कम होगा।

(B) $m$ द्रव्यमान और $l$ लंबाई वाली एक छड़ का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसकी लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{ml^2}{12}$ होता है।
चूंकि क्रॉस को दो ऐसी छड़ों को उनके केंद्रों पर जोड़कर बनाया गया है,इसलिए उनके उभयनिष्ठ केंद्र से गुजरने वाली और छड़ों के तल के लंबवत अक्ष के परितः कुल जड़त्व आघूर्ण दोनों व्यक्तिगत छड़ों के जड़त्व आघूर्ण का योग होगा।
$I_{total} = I_{rod1} + I_{rod2} = \frac{ml^2}{12} + \frac{ml^2}{12} = \frac{2ml^2}{12} = \frac{ml^2}{6}$.

(A) $M$ द्रव्यमान और $r$ त्रिज्या वाली वलय का उसके केंद्र से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = Mr^2$ होता है।
चूंकि वलय समान पदार्थ से बनी हैं और उनका अनुप्रस्थ काट समान है,इसलिए उनका द्रव्यमान उनकी परिधि के समानुपाती होता है ($M = \lambda \cdot 2\pi r$,जहाँ $\lambda$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है)।
पहली वलय के लिए: $M_1 = \lambda \cdot 2\pi R$ और $I_1 = M_1 R^2 = (\lambda \cdot 2\pi R) R^2 = 2\pi \lambda R^3$.
दूसरी वलय के लिए: $M_2 = \lambda \cdot 2\pi (nR)$ और $I_2 = M_2 (nR)^2 = (\lambda \cdot 2\pi nR) (nR)^2 = 2\pi \lambda n^3 R^3$.
जड़त्व आघूर्ण का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{1}{8}$ दिया गया है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{2\pi \lambda R^3}{2\pi \lambda n^3 R^3} = \frac{1}{n^3} = \frac{1}{8}$.
अतः,$n^3 = 8$,जिससे $n = 2$ प्राप्त होता है।

(B) एक ठोस बेलन का उसकी ज्यामितीय अक्ष (अनुदैर्ध्य अक्ष) के परितः जड़त्व आघूर्ण $I$ का सूत्र इस प्रकार है:
$I = \frac{1}{2} M R^2$
दिया गया है:
द्रव्यमान $M = 20 \ kg$
त्रिज्या $R = 0.2 \ m$
सूत्र में मान रखने पर:
$I = \frac{1}{2} \times 20 \times (0.2)^2$
$I = 10 \times 0.04$
$I = 0.4 \ kg \cdot m^2$

(B) जब एक तैराक अपने शरीर को सिकोड़ता है,तो द्रव्यमान का वितरण घूर्णन अक्ष के करीब आ जाता है।
सूत्र $I = \sum mr^2$ के अनुसार,अक्ष से द्रव्यमान की दूरी $r$ में कमी होने से जड़त्व आघूर्ण $(I)$ का मान घट जाता है।
चूंकि बाह्य टॉर्क की अनुपस्थिति में कोणीय संवेग $(L = I\omega)$ संरक्षित रहता है,इसलिए जड़त्व आघूर्ण $(I)$ में कमी होने पर कोणीय वेग $(\omega)$ बढ़ जाता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) जब व्यक्ति अपने हाथ भीतर की ओर खींचता है,तो द्रव्यमान का वितरण घूर्णन अक्ष के समीप आ जाता है।
चूंकि जड़त्व आघूर्ण $I = \sum m_i r_i^2$ होता है,इसलिए अक्ष से द्रव्यमान की दूरी $r$ कम होने पर जड़त्व आघूर्ण का मान घट जाता है।
कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,$L = I\omega = \text{नियत}$.
चूंकि $I$ घटता है,इसलिए $L$ को नियत बनाए रखने के लिए कोणीय वेग $\omega$ बढ़ जाता है।
अतः,सही अवलोकन यह है कि जड़त्व आघूर्ण घट जाता है।

(A) $M_{total}$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक पूर्ण समान वृत्ताकार चकती का उसके केन्द्र से गुजरने वाली और उसके तल के लम्बवत् अक्ष के परित: जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}M_{total}R^2$ होता है।
चूंकि चकती समान है,द्रव्यमान क्षेत्रफल के समानुपाती वितरित होता है। एक-चौथाई वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल कुल क्षेत्रफल का $\frac{1}{4}$ होता है,इसलिए इसका द्रव्यमान $M = \frac{1}{4}M_{total}$ है,जिसका अर्थ है कि $M_{total} = 4M$.
उसी अक्ष के परित: एक-चौथाई वृत्तखण्ड का जड़त्व आघूर्ण पूरी चकती के जड़त्व आघूर्ण का $\frac{1}{4}$ होगा।
अतः,$I_{sector} = \frac{1}{4} \times (\frac{1}{2} M_{total} R^2) = \frac{1}{4} \times (\frac{1}{2} \times 4M \times R^2) = \frac{1}{2}MR^2$.

(B) चकती का जड़त्व आघूर्ण $I$ उसके केंद्र से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के लिए $I = \frac{1}{2}MR^2$ होता है।
द्रव्यमान $M$,घनत्व $\rho$,मोटाई $t$ और त्रिज्या $R$ के बीच संबंध $M = \rho \cdot V = \rho \cdot (\pi R^2 t)$ है,जिससे $R^2 = \frac{M}{\pi t \rho}$ प्राप्त होता है।
इस मान को जड़त्व आघूर्ण के सूत्र में रखने पर: $I = \frac{1}{2}M \left( \frac{M}{\pi t \rho} \right) = \frac{M^2}{2 \pi t \rho}$।
यहाँ द्रव्यमान $M$ और मोटाई $t$ समान हैं,इसलिए $I \propto \frac{1}{\rho}$ प्राप्त होता है।
अतः,जड़त्व आघूर्णों का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{\rho_2}{\rho_1}$ होगा।
दिया गया घनत्व अनुपात $\rho_1 : \rho_2 = 1 : 3$ है,इसलिए $\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{3}{1}$ होगा।
इस प्रकार,$\frac{I_1}{I_2} = 3:1$ है।

(C) किसी पिंड का जड़त्व आघूर्ण $I$,$I = \sum m_i r_i^2$ द्वारा दिया जाता है। द्रव्यमान $M$ को परिधि पर (घूर्णन अक्ष से $R$ दूरी पर) केंद्रित करने से,घूर्णन त्रिज्या (Radius of gyration) अधिकतम हो जाती है। एक वलय जैसी संरचना के लिए $I = MR^2$ होने के कारण,द्रव्यमान को घूर्णन अक्ष से यथासंभव दूर रखने से जड़त्व आघूर्ण में काफी वृद्धि होती है। उच्च जड़त्व आघूर्ण गतिपालक चक्र को अधिक घूर्णी गतिज ऊर्जा संग्रहीत करने और अपनी घूर्णी गति में होने वाले परिवर्तनों का विरोध करने की अनुमति देता है,जो कि एक गतिपालक चक्र का प्राथमिक कार्य है।

(B) एक रिम (या पतले छल्ले) का उसके केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I$ का सूत्र $I = mr^2$ होता है।
दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 6 \ kg$
त्रिज्या $r = 40 \ cm = 0.4 \ m$
सूत्र में मान रखने पर:
$I = 6 \times (0.4)^2$
$I = 6 \times 0.16$
$I = 0.96 \ kg \cdot m^2$.
अतः,जड़त्व आघूर्ण $0.96 \ kg \cdot m^2$ है।

(D) डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} M r^2$ होता है।
चूंकि द्रव्यमान $M = V \rho = (\pi r^2 t) \rho$,हम $r^2 = \frac{M}{\pi t \rho}$ लिख सकते हैं।
$r^2$ का मान जड़त्व आघूर्ण के सूत्र में रखने पर: $I = \frac{1}{2} M \left( \frac{M}{\pi t \rho} \right) = \frac{M^2}{2 \pi t \rho}$ प्राप्त होता है।
यह दिया गया है कि दोनों डिस्क का द्रव्यमान $M$ और मोटाई $t$ समान है,इसलिए जड़त्व आघूर्ण घनत्व के व्युत्क्रमानुपाती है: $I \propto \frac{1}{\rho}$।
अतः,उनके जड़त्व आघूर्ण का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{\rho_2}{\rho_1}$ होगा।

(C) ठोस गोले का उसके व्यास के परित: जड़त्व आघूर्ण $I_S = \frac{2}{5}MR_S^2$ होता है।
खोखले गोले का उसके व्यास के परित: जड़त्व आघूर्ण $I_H = \frac{2}{3}MR_H^2$ होता है।
दिया गया है कि जड़त्व आघूर्ण समान हैं,इसलिए $I_H = I_S$।
सूत्रों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{2}{3}MR_H^2 = \frac{2}{5}MR_S^2$।
समान पदों को काटने पर: $\frac{R_H^2}{3} = \frac{R_S^2}{5}$।
त्रिज्याओं के अनुपात के लिए व्यवस्थित करने पर: $\frac{R_H^2}{R_S^2} = \frac{3}{5}$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{R_H}{R_S} = \sqrt{\frac{3}{5}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$।
अतः,अनुपात $\sqrt{3}:\sqrt{5}$ है।

(B) प्रत्येक पिंड के लिए उसके द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण इस प्रकार है:
पिंड $A$ ($R$ त्रिज्या का ठोस बेलन) के लिए: $I_{A} = \frac{1}{2} mR^{2} = 0.5 mR^{2}$.
पिंड $B$ ($R$ भुजा वाली वर्गाकार पट्टिका) के लिए: केंद्र से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{B} = \frac{m}{12}(R^{2} + R^{2}) = \frac{2mR^{2}}{12} = \frac{1}{6} mR^{2} \approx 0.167 mR^{2}$ है।
पिंड $C$ ($R$ त्रिज्या का ठोस गोला) के लिए: $I_{C} = \frac{2}{5} mR^{2} = 0.4 mR^{2}$.
मानों की तुलना करने पर: $0.5 mR^{2} > 0.4 mR^{2} > 0.167 mR^{2}$.
अतः,$I_{A} > I_{C} > I_{B}$.
इसलिए,पिंड $B$ का जड़त्व आघूर्ण सबसे कम है।

(D) मान लीजिए प्रत्येक निकाय का कुल द्रव्यमान $m$ है। द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $(I)$ इस प्रकार है:
$1$. $a$ त्रिज्या की डिस्क के लिए: $I_{\text{disc}} = \frac{1}{2} m a^2 = 0.5 m a^2$.
$2$. $a$ त्रिज्या के वलय के लिए: $I_{\text{ring}} = m a^2 = 1.0 m a^2$.
$3$. $2a$ भुजा वाली वर्गाकार पट्टिका के लिए: लंबवत अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I_z = I_x + I_y$। चूँकि $I_x = I_y = \frac{m L^2}{12}$,इसलिए $I_{\text{sq}} = \frac{m(2a)^2}{12} + \frac{m(2a)^2}{12} = \frac{8 m a^2}{12} = \frac{2}{3} m a^2 \approx 0.67 m a^2$.
$4$. $2a$ भुजा का वर्ग बनाने वाली चार छड़ों के लिए: प्रत्येक छड़ का द्रव्यमान $m/4$ है। समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए एक छड़ के लिए: $I_{\text{rod}} = I_{\text{cm}} + (m/4)d^2 = \frac{(m/4)(2a)^2}{12} + (m/4)a^2 = \frac{7}{12} m a^2$। चार छड़ों के लिए,$I_{\text{total}} = 4 \times \frac{7}{12} m a^2 = \frac{7}{3} m a^2 \approx 2.33 m a^2$.
अतः,वर्ग बनाने वाली चार छड़ों का जड़त्व आघूर्ण सबसे अधिक है।

(B) $m$ द्रव्यमान और $l$ लंबाई की एक पतली छड़ का उसके एक सिरे से गुजरने वाली और उसकी लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{ml^2}{3}$ होता है।
$1$. $x$-अक्ष पर स्थित छड़ के लिए: घूर्णन अक्ष $z$-अक्ष है। छड़ $xy$-तल में स्थित है और मूल बिंदु पर $z$-अक्ष के लंबवत है,इसलिए $z$-अक्ष के परितः इसका जड़त्व आघूर्ण $I_x = \frac{ml^2}{3}$ होगा।
$2$. $y$-अक्ष पर स्थित छड़ के लिए: घूर्णन अक्ष $z$-अक्ष है। छड़ $yz$-तल में स्थित है और मूल बिंदु पर $z$-अक्ष के लंबवत है,इसलिए $z$-अक्ष के परितः इसका जड़त्व आघूर्ण $I_y = \frac{ml^2}{3}$ होगा।
$3$. $z$-अक्ष पर स्थित छड़ के लिए: छड़ स्वयं घूर्णन अक्ष पर ही स्थित है। इसलिए,इस छड़ के प्रत्येक द्रव्यमान अवयव की $z$-अक्ष से दूरी शून्य है। अतः,$I_z = 0$ होगा।
कुल जड़त्व आघूर्ण $I_{\text{total}} = I_x + I_y + I_z = \frac{ml^2}{3} + \frac{ml^2}{3} + 0 = \frac{2ml^2}{3}$।

(C) $m$ द्रव्यमान और $l$ लंबाई की छड़ के लिए उसके केंद्र से गुजरने वाली और छड़ के साथ $\theta$ कोण बनाने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{ml^2}{12} \sin^2 \theta$ होता है।
$x$-अक्ष पर स्थित छड़ के लिए,$x=y$ रेखा के साथ कोण $\theta = 45^\circ$ है। अतः,$I_1 = \frac{ml^2}{12} \sin^2 45^\circ = \frac{ml^2}{12} \times \frac{1}{2} = \frac{ml^2}{24}$।
$y$-अक्ष पर स्थित छड़ के लिए,$x=y$ रेखा के साथ कोण भी $\theta = 45^\circ$ है। अतः,$I_2 = \frac{ml^2}{12} \sin^2 45^\circ = \frac{ml^2}{24}$।
कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_1 + I_2 = \frac{ml^2}{24} + \frac{ml^2}{24} = \frac{2ml^2}{24} = \frac{ml^2}{12}$ होगा।

(D) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक अर्धवृत्ताकार प्लेट के लिए,केंद्र से गुजरने वाली और व्यास के लंबवत (सममिति की अक्ष) अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{MR^2}{4}$ होता है।
चूंकि अर्धवृत्ताकार प्लेट इस अक्ष के परितः सममित है,इसलिए प्लेट के तल में केंद्र से गुजरने वाली किसी भी अक्ष के लिए जड़त्व आघूर्ण समान होगा क्योंकि द्रव्यमान का वितरण सममिति की अक्ष के सापेक्ष समान रहता है।
अतः,अक्ष $AA'$ के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{MR^2}{4}$ है।

(B) $M'$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक पूर्ण वृत्ताकार डिस्क का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{total} = \frac{1}{2} M' R^2$ होता है।
$M$ द्रव्यमान वाली अर्धवृत्ताकार डिस्क के लिए,हम इसे $2M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक पूर्ण वृत्ताकार डिस्क के आधे भाग के रूप में मान सकते हैं।
इस पूर्ण वृत्ताकार डिस्क (द्रव्यमान $2M$) का उसके केंद्र $O$ से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{total} = \frac{1}{2} (2M) R^2 = MR^2$ होता है।
चूंकि अर्धवृत्ताकार डिस्क इस पूर्ण डिस्क का ठीक आधा भाग है,इसलिए उसी अक्ष के परितः इसका जड़त्व आघूर्ण कुल जड़त्व आघूर्ण का आधा होगा।
अतः,$I = \frac{1}{2} I_{total} = \frac{1}{2} (MR^2) = \frac{1}{2} MR^2$.

(B) वर्गाकार शीट की भुजा की लंबाई $L$ है। जब इसे मोड़कर एक खोखला बेलन बनाया जाता है,तो भुजा की लंबाई $L$ बेलन के आधार की परिधि बन जाती है।
अतः,$L = 2\pi R$,जिससे त्रिज्या $R = \frac{L}{2\pi}$ प्राप्त होती है।
शीट का कुल द्रव्यमान $M$,$M = \sigma \times \text{क्षेत्रफल} = \sigma L^2$ द्वारा दिया जाता है।
$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले खोखले बेलन का उसकी केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = MR^2$ होता है।
$M$ और $R$ के मान रखने पर:
$I = (\sigma L^2) \times \left(\frac{L}{2\pi}\right)^2$
$I = \sigma L^2 \times \frac{L^2}{4\pi^2}$
$I = \frac{\sigma L^4}{4\pi^2}$.