a त्रिज्या वाली एक वृत्ताकार डिस्क का प्रति इ | vedclass

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Question

(A) $r$ त्रिज्या और $dr$ मोटाई वाली एक पतली वृत्ताकार वलय (ring) पर विचार करें। इस वलय का क्षेत्रफल $dA = 2 \pi r dr$ है।इस सूक्ष्म वलय का द्रव्यमान $

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$2 \pi a^{4} \left( \frac{A}{4} + \frac{aB}{5} \right)$

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(A) $r$ त्रिज्या और $dr$ मोटाई वाली एक पतली वृत्ताकार वलय (ring) पर विचार करें। इस वलय का क्षेत्रफल $dA = 2 \pi r dr$ है।इस सूक्ष्म वलय का द्रव्यमान $dm = \sigma(r) dA = (A + Br) (2 \pi r dr)$ है।डिस्क के तल के लंबवत और केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः इस वलय का जड़त्व आघूर्ण $dI = dm r^{2}$ है।$dm$ का मान रखने पर,हमें $dI = (A + Br) (2 \pi r dr) r^{2} = 2 \pi (A r^{3} + B r^{4}) dr$ प्राप्त होता है।कुल जड़त्व आघूर्ण $I$ ज्ञात करने के लिए,हम $r = 0$ से $r = a$ तक $dI$ का समाकलन करते हैं:$I = \int_{0}^{a} 2 \pi (A r^{3} + B r^{4}) dr = 2 \pi \left[ \frac{A r^{4}}{4} + \frac{B r^{5}}{5} \right]_{0}^{a}$.$I = 2 \pi \left( \frac{A a^{4}}{4} + \frac{B a^{5}}{5} \right) = 2 \pi a^{4} \left( \frac{A}{4} + \frac{aB}{5} \right)$.

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