Conservation of angular momentum (combined translation and rotational motion) Questions in Hindi

(A) व्यक्ति और प्लेटफॉर्म प्रणाली का जड़त्व आघूर्ण $I_{man+platform} = 7.6\; kg\; m^2$.
भार का प्रारंभिक जड़त्व आघूर्ण $I_{w1} = 2 \times m r_1^2 = 2 \times 5 \times (0.9)^2 = 8.1\; kg\; m^2$.
कुल प्रारंभिक जड़त्व आघूर्ण $I_i = 7.6 + 8.1 = 15.7\; kg\; m^2$.
प्रारंभिक कोणीय गति $\omega_i = 30\; rev/min$.
भार का अंतिम जड़त्व आघूर्ण $I_{w2} = 2 \times m r_2^2 = 2 \times 5 \times (0.2)^2 = 0.4\; kg\; m^2$.
कुल अंतिम जड़त्व आघूर्ण $I_f = 7.6 + 0.4 = 8.0\; kg\; m^2$.
कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,$I_i \omega_i = I_f \omega_f$.
$\omega_f = \frac{I_i \omega_i}{I_f} = \frac{15.7 \times 30}{8.0} = 58.875\; rev/min \approx 58.88\; rev/min$.
$(b)$ गतिज ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती है। अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2} I_f \omega_f^2$,प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2} I_i \omega_i^2$ से अधिक है। गतिज ऊर्जा में यह वृद्धि व्यक्ति द्वारा अपने हाथों को अभिकेंद्री बल के विरुद्ध अंदर की ओर खींचने में किए गए कार्य के कारण होती है।

(A) गोली का द्रव्यमान,$m = 10 \; g = 0.01 \; kg$.
गोली का वेग,$v = 500 \; m/s$.
दरवाजे की चौड़ाई,$L = 1.0 \; m$.
दरवाजे का द्रव्यमान,$M = 12 \; kg$.
गोली केंद्र में धंसती है,इसलिए कब्जे (hinge) से दूरी $r = L/2 = 0.5 \; m$ है।
कब्जे के परितः गोली का कोणीय संवेग: $L_{bullet} = mvr = 0.01 \times 500 \times 0.5 = 2.5 \; kg \cdot m^2/s$.
कब्जे के परितः दरवाजे का जड़त्व आघूर्ण: $I_{door} = \frac{1}{3}ML^2 = \frac{1}{3} \times 12 \times (1.0)^2 = 4 \; kg \cdot m^2$.
कब्जे के परितः गोली का जड़त्व आघूर्ण: $I_{bullet} = mr^2 = 0.01 \times (0.5)^2 = 0.0025 \; kg \cdot m^2$.
कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_{door} + I_{bullet} = 4 + 0.0025 = 4.0025 \; kg \cdot m^2$.
कोणीय संवेग संरक्षण के नियम से,$L_{bullet} = I \omega$.
$\omega = \frac{2.5}{4.0025} \approx 0.6246 \; rad/s \approx 0.625 \; rad/s$.

(N/A) प्रस्तुत चित्र एक ही दृढ़ पिंड की दो अलग-अलग प्रकार की गति को दर्शाता है।
मान लीजिए $P$ पिंड पर कोई बिंदु है और उसका द्रव्यमान केंद्र $O$ पर स्थित है।
$O$ के पथ पिंड के स्थानांतरण पथ $Tr_{1}$ और $Tr_{2}$ हैं। समय के तीन अलग-अलग क्षणों पर $O$ और $P$ की स्थितियाँ दोनों चित्रों में क्रमशः $(O_{1}, O_{2}, O_{3})$ और $(P_{1}, P_{2}, P_{3})$ द्वारा दिखाई गई हैं।
चित्र $(a)$ में,यह देखा गया है कि गति के दौरान पिंड का अभिविन्यास (orientation) नहीं बदलता है। रेखाखंड $OP$ सभी स्थितियों पर क्षैतिज दिशा के साथ समान कोण बनाए रखता है।
$\therefore \alpha_{1} = \alpha_{2} = \alpha_{3}$
ऐसी गति को शुद्ध स्थानांतरण गति कहा जाता है।
शुद्ध स्थानांतरण गति में,दृढ़ पिंड के सभी कण,जैसे $O$ और $P$,किसी भी क्षण समान वेग रखते हैं। चित्र $(b)$ में,जो स्थानांतरण और घूर्णन के संयोजन को दर्शाता है,$O$ और $P$ के वेग अलग-अलग होते हैं क्योंकि पिंड स्थानांतरण के साथ-साथ घूमता भी है। परिणामस्वरूप,$\alpha_{1} \neq \alpha_{2} \neq \alpha_{3}$।
इस प्रकार की गति शुद्ध स्थानांतरण और घूर्णन गति का संयोजन है।
ऐसी गति का एक और उदाहरण बेलन की लुढ़कती गति है। जब कोई बेलन ढलान पर लुढ़कता है,तो उसकी गति उसके केंद्रीय अक्ष के चारों ओर घूर्णन और उसके द्रव्यमान केंद्र की स्थानांतरण गति का संयोजन होती है।
यदि किसी दृढ़ पिंड की गति किसी निश्चित अक्ष के चारों ओर नहीं है या वह स्थिर नहीं है,तो वह या तो शुद्ध स्थानांतरण गति है या स्थानांतरण और घूर्णन गति का संयोजन है।
यदि किसी पिंड की गति किसी निश्चित अक्ष के चारों ओर सीमित है या उसे धुरी पर टिकाया गया है,तो इसे घूर्णन गति के रूप में वर्गीकृत किया जाता है। घूर्णन गति स्थिर अक्ष या परिवर्तनशील अक्ष के चारों ओर हो सकती है।

(C) संयुक्त स्थानांतरण और घूर्णन गति तब होती है जब एक दृढ़ पिंड इस प्रकार गति करता है कि उसका द्रव्यमान केंद्र स्थानांतरण गति करता है और साथ ही पिंड अपने द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के चारों ओर घूमता है।
उदाहरण के लिए,सड़क पर लुढ़कता हुआ पहिया स्थानांतरण गति (पहिये का केंद्र आगे बढ़ता है) और घूर्णन गति (पहिया अपनी धुरी पर घूमता है) दोनों प्रदर्शित करता है।

(N/A) कणों के निकाय का किसी बिंदु (संदर्भ फ्रेम के मूल बिंदु के रूप में लिया गया) के परितः कुल कोणीय संवेग $\vec{L}$ के परिवर्तन की समय दर, निकाय पर कार्य करने वाले बाह्य बल आघूर्णों $\vec{\tau}_{ext}$ के योग के बराबर होती है।
$\therefore \frac{d \vec{L}}{d t} = \vec{\tau}_{ext}$
यदि निकाय पर परिणामी बाह्य बल आघूर्ण शून्य है, अर्थात $\vec{\tau}_{ext} = 0$, तो:
$\frac{d \vec{L}}{d t} = 0$
इसका तात्पर्य है कि $\vec{L} = \text{स्थिरांक}$.
कोणीय संवेग संरक्षण का नियम: "यदि किसी निकाय पर परिणामी बाह्य बल आघूर्ण शून्य है, तो उसका कुल कोणीय संवेग नियत रहता है।"
यहाँ, $\vec{L} = \text{स्थिरांक}$ तीन अदिश समीकरणों के समतुल्य है:
$L_{x} = K_{1}, L_{y} = K_{2}, \text{ और } L_{z} = K_{3}$
जहाँ $K_{1}, K_{2}, \text{ और } K_{3}$ स्थिरांक हैं, और $L_{x}, L_{y}, \text{ और } L_{z}$ क्रमशः $X, Y, \text{ और } Z$ अक्षों के अनुदिश कुल कोणीय संवेग $\vec{L}$ के घटक हैं। कुल कोणीय संवेग के संरक्षित होने का अर्थ है कि इनमें से प्रत्येक घटक संरक्षित रहता है।

(N/A) कोणीय संवेग संरक्षण का नियम: यदि किसी निकाय पर कार्य करने वाला कुल बाह्य बल आघूर्ण (torque) शून्य है,तो निकाय का कुल कोणीय संवेग नियत रहता है।
गणितीय व्युत्पत्ति:
एक निश्चित अक्ष के परितः घूर्णन गति के लिए कोणीय संवेग $\overrightarrow{L} = I \vec{\omega}$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{d \overrightarrow{L}}{d t} = I \frac{d \vec{\omega}}{d t} = I \vec{\alpha} = \vec{\tau}$.
यदि बाह्य बल आघूर्ण $\vec{\tau} = 0$ है,तो $\frac{d \overrightarrow{L}}{d t} = 0$,जिसका अर्थ है कि $\overrightarrow{L} = \text{नियत}$.
उदाहरण:
मान लीजिए एक लड़की घूमने वाली कुर्सी पर बैठी है और उसने अपने हाथ फैला रखे हैं। उसका जड़त्व आघूर्ण $I_1$ है और कोणीय वेग $\omega_1$ है। जब वह अपने हाथों को अंदर की ओर खींचती है,तो उसका जड़त्व आघूर्ण घटकर $I_2$ हो जाता है (जहाँ $I_2 < I_1$)। चूंकि बाह्य बल आघूर्ण शून्य है,इसलिए कोणीय संवेग संरक्षित रहता है: $I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$। चूँकि $I_2 < I_1$,इसलिए $\omega_2 > \omega_1$ होता है। इस प्रकार,जब लड़की अपने हाथ सिकोड़ती है तो उसका कोणीय वेग बढ़ जाता है।

(B) कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार, $L = I\omega = \text{स्थिरांक}$.
जब ध्रुवों पर बर्फ पिघलती है और भूमध्य रेखा की ओर बहती है, तो पृथ्वी का द्रव्यमान वितरण घूर्णन अक्ष से दूर चला जाता है।
इससे पृथ्वी का जड़त्व आघूर्ण $(I)$ बढ़ जाता है।
चूंकि $L$ स्थिर है, यदि $I$ बढ़ता है, तो समीकरण $\omega = L/I$ को संतुष्ट करने के लिए कोणीय वेग $(\omega)$ को कम होना चाहिए।
इसलिए, पृथ्वी का कोणीय वेग घट जाता है।

(N/A) डिस्क का द्रव्यमान केंद्र $v = R\omega$ के रैखिक वेग से गति करता है और यह अपने द्रव्यमान केंद्र के परितः $\omega$ कोणीय वेग से घूर्णन करती है।
बिंदु $O$ के परितः कुल कोणीय संवेग $L$,द्रव्यमान केंद्र की गति के कारण कोणीय संवेग और द्रव्यमान केंद्र के परितः घूर्णन के कारण कोणीय संवेग का योग है।
$L = L_{cm} + L_{rot}$
$L = (Mv)R + I_{cm}\omega$
चूंकि $v = R\omega$ और $I_{cm} = \frac{1}{2}MR^2$,इसलिए:
$L = M(R\omega)R + (\frac{1}{2}MR^2)\omega$
$L = MR^2\omega + \frac{1}{2}MR^2\omega$
$L = \frac{3}{2}MR^2\omega$

(D) चूंकि डिस्क एक ही दिशा में घूम रही हैं,इसलिए कुल कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।
प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_{i} = I_{1}\omega_{1} + I_{2}\omega_{2}$
$L_{i} = (0.1 \times 10) + (0.2 \times 5) = 1 + 1 = 2 \; kg \cdot m^{2} \cdot s^{-1}$
अंतिम कोणीय संवेग $L_{f} = (I_{1} + I_{2})\omega_{f}$
$2 = (0.1 + 0.2) \omega_{f} = 0.3 \omega_{f}$
$\omega_{f} = \frac{2}{0.3} = \frac{20}{3} \; rad \cdot s^{-1}$
अंतिम गतिज ऊर्जा $K_{f} = \frac{1}{2}(I_{1} + I_{2})\omega_{f}^{2}$
$K_{f} = \frac{1}{2}(0.3) \left(\frac{20}{3}\right)^{2} = 0.15 \times \frac{400}{9} = \frac{15}{100} \times \frac{400}{9} = \frac{60}{9} = 6.67 \; J$.

(D) चूंकि निकाय पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए कोणीय संवेग संरक्षित रहता है: $L_i = L_f$।
प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = I_i \omega_i = (I_{\text{person}} + I_{\text{platform}}) \omega_i$।
$I_{\text{person}} = mR^2 = 80R^2$ और $I_{\text{platform}} = \frac{1}{2}MR^2 = \frac{1}{2} \times 200 \times R^2 = 100R^2$।
अतः,$L_i = (80R^2 + 100R^2) \omega_i = 180R^2 \omega_i$।
जब व्यक्ति केंद्र पर पहुँचता है,तो अक्ष से उसकी दूरी $0$ हो जाती है,इसलिए $I_{\text{person}} = 0$।
अंतिम कोणीय संवेग $L_f = (0 + 100R^2) \omega_f = 100R^2 \omega_f$।
$L_i = L_f$ को बराबर करने पर: $180R^2 \omega_i = 100R^2 \omega_f$।
$180 \times 5 = 100 \times \omega_f$।
$\omega_f = \frac{900}{100} = 9\, rpm$।

(C) माना बड़ी डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{MR^{2}}{2}$ है।
छोटी डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I_{2} = \frac{M(R/2)^{2}}{2} = \frac{MR^{2}}{8} = \frac{I}{4}$ है।
कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,प्रारंभिक कोणीय संवेग = अंतिम कोणीय संवेग:
$L_{i} = L_{f}$
$I\omega_{1} + I_{2}(0) = (I + I_{2})\omega_{2}$
$I\omega_{1} = (I + I/4)\omega_{2}$
$I\omega_{1} = \frac{5I}{4}\omega_{2} \Rightarrow \omega_{2} = \frac{4\omega_{1}}{5}$.
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_{1} = \frac{1}{2}I\omega_{1}^{2}$ है।
अंतिम गतिज ऊर्जा $K_{2} = \frac{1}{2}(I + I_{2})\omega_{2}^{2} = \frac{1}{2}(I + I/4)(\frac{4\omega_{1}}{5})^{2} = \frac{1}{2}(\frac{5I}{4})(\frac{16\omega_{1}^{2}}{25}) = \frac{1}{2}I\omega_{1}^{2}(\frac{4}{5})$.
नष्ट हुई ऊर्जा का प्रतिशत $p\% = \frac{K_{1} - K_{2}}{K_{1}} \times 100\%$.
$p\% = \frac{K_{1} - \frac{4}{5}K_{1}}{K_{1}} \times 100\% = (1 - 0.8) \times 100\% = 20\%$.
अतः,$p$ का मान $20$ है।

(C) चूंकि धुरी (pivot) पर लगने वाला आवेगी बल शून्य है,इसलिए टक्कर के दौरान धुरी के परितः कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।
प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = m v L$.
अंतिम कोणीय संवेग $L_f = I_{total} \omega$,जहाँ $I_{total} = I_{rod} + I_{particle} = \frac{M L^2}{3} + m L^2$.
$L_i = L_f$ को बराबर करने पर:
$m v L = \left( \frac{M L^2}{3} + m L^2 \right) \omega$
दिए गए मानों $(M = 0.9\, kg, m = 0.1\, kg, L = 1\, m, v = 80\, m/s)$ को रखने पर:
$0.1 \times 80 \times 1 = \left( \frac{0.9 \times 1^2}{3} + 0.1 \times 1^2 \right) \omega$
$8 = (0.3 + 0.1) \omega$
$8 = 0.4 \omega$
$\omega = \frac{8}{0.4} = 20\, rad/s$.

(C) कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$I\omega + 3I \times 0 = (I + 3I)\omega'$
$I\omega = 4I\omega'$
$\omega' = \frac{\omega}{4}$
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $(KE)_i = \frac{1}{2}I\omega^2$
अंतिम गतिज ऊर्जा $(KE)_f = \frac{1}{2}(I + 3I)(\omega')^2 = \frac{1}{2}(4I)\left(\frac{\omega}{4}\right)^2 = 2I \times \frac{\omega^2}{16} = \frac{I\omega^2}{8}$
गतिज ऊर्जा में हानि $\Delta KE = (KE)_i - (KE)_f = \frac{1}{2}I\omega^2 - \frac{1}{8}I\omega^2 = \frac{3}{8}I\omega^2$
गतिज ऊर्जा में भिन्नात्मक हानि = $\frac{\Delta KE}{(KE)_i} = \frac{\frac{3}{8}I\omega^2}{\frac{1}{2}I\omega^2} = \frac{3}{8} \times 2 = \frac{3}{4}$

(C) डिस्क और कीड़े से बने निकाय का जड़त्व आघूर्ण $(I)$,$I = I_{disc} + I_{insect} = \frac{1}{2}MR^2 + mx^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M$ डिस्क का द्रव्यमान है,$R$ डिस्क की त्रिज्या है,$m$ कीड़े का द्रव्यमान है,और $x$ केंद्र से कीड़े की दूरी है।
जैसे-जैसे कीड़ा किनारे $(x = R)$ से केंद्र $(x = 0)$ की ओर गति करता है,दूरी $x$ घटती है,इसलिए जड़त्व आघूर्ण $I$ घटता है।
जैसे-जैसे कीड़ा केंद्र $(x = 0)$ से व्यास के दूसरे छोर $(x = R)$ की ओर गति करता है,दूरी $x$ बढ़ती है,इसलिए जड़त्व आघूर्ण $I$ बढ़ता है।
कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,$L = I\omega = \text{नियत}$. चूँकि निकाय पर कोई बाह्य बल आघूर्ण कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए कोणीय संवेग $L$ नियत रहता है।
अतः,$\omega = \frac{L}{I}$. जब $I$ घटता है,तो $\omega$ बढ़ता है,और जब $I$ बढ़ता है,तो $\omega$ घटता है।
इस प्रकार,डिस्क की कोणीय चाल पहले बढ़ती है और फिर घटती है।

(B) माना डिस्क का द्रव्यमान $M$ है और इसकी त्रिज्या $R$ है।
जब $v$ वेग से गति करता हुआ $m$ द्रव्यमान का कण डिस्क की परिधि से टकराता है,तो डिस्क के द्रव्यमान केंद्र के परितः निकाय का कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।
प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = mvr$ है।
निकाय का अंतिम जड़त्व आघूर्ण $I_f = I_{disc} + I_{particle} = \frac{1}{2}MR^2 + mR^2 = (\frac{M}{2} + m)R^2 = \frac{M+2m}{2}R^2$ है।
कोणीय संवेग संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए,$L_i = L_f$,हमें प्राप्त होता है $mvR = I_f \omega$।
$mvR = \frac{M+2m}{2}R^2 \omega$।
$\omega$ के लिए हल करने पर,हमें मिलता है $\omega = \frac{2mvR}{(M+2m)R^2} = \frac{2mv}{R(M+2m)}$।

(C) कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,प्रारंभिक कोणीय संवेग अंतिम कोणीय संवेग के बराबर होता है क्योंकि निकाय पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं करता है।
डिस्क का प्रारंभिक जड़त्व आघूर्ण $I_{1} = \frac{1}{2} M R^{2}$ है।
किनारे पर (केंद्र से $R$ दूरी पर) $m$ द्रव्यमान के दो गोलों को जोड़ने के बाद निकाय का अंतिम जड़त्व आघूर्ण $I_{2} = \frac{1}{2} M R^{2} + m R^{2} + m R^{2} = \frac{1}{2} M R^{2} + 2 m R^{2} = R^{2} (\frac{M}{2} + 2m) = \frac{1}{2} R^{2} (M + 4m)$ है।
$L_{initial} = L_{final}$ का उपयोग करने पर:
$I_{1} \omega_{1} = I_{2} \omega_{2}$
$\frac{1}{2} M R^{2} \omega_{1} = \frac{1}{2} R^{2} (M + 4m) \omega_{2}$
$\omega_{2}$ के लिए हल करने पर:
$\omega_{2} = \left(\frac{M}{M + 4m}\right) \omega_{1}$.

(C) केंद्र से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के परितः वलय का प्रारंभिक जड़त्व आघूर्ण $I = M R^2$ है।
प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega = 2 \; rad \; s^{-1}$ है।
चूंकि निकाय पर कोई बाहरी बल आघूर्ण (torque) कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए कोणीय संवेग संरक्षित रहता है: $L_i = L_f$।
प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = I \omega = (M R^2) \times 2 = 2 M R^2$।
जब $m$ द्रव्यमान की दो वस्तुओं को व्यास के विपरीत सिरों पर जोड़ा जाता है,तो नया जड़त्व आघूर्ण $I' = M R^2 + m R^2 + m R^2 = (M + 2m) R^2$ हो जाता है।
मान लीजिए कि नया कोणीय वेग $\omega'$ है। कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$I \omega = I' \omega'$
$2 M R^2 = (M + 2m) R^2 \omega'$
$\omega' = \frac{2 M}{M + 2m} \; rad \; s^{-1}$।

(B) जब व्यक्ति ट्रेन से उतरता है,तो प्लेटफॉर्म पर संपर्क बिंदु के परितः उसका कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।
कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार:
$L_{\text{initial}} = L_{\text{final}}$
प्रारंभ में,व्यक्ति $m$ द्रव्यमान के एक कण के रूप में कार्य करता है जो जमीन से $h = l/2$ की ऊंचाई पर $v$ वेग से गति कर रहा है। अतः,$L_{\text{initial}} = m v (l/2)$.
उतरने के बाद,व्यक्ति जमीन पर स्थिर एक सिरे के परितः घूमने वाली $l$ लंबाई की एक दृढ़ छड़ के रूप में कार्य करता है। एक सिरे के परितः छड़ का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{m l^2}{3}$ होता है।
अतः,$m v (l/2) = I \omega$
$m v (l/2) = \left( \frac{m l^2}{3} \right) \omega$
$\omega$ के लिए हल करने पर:
$\omega = \frac{3 v (l/2)}{l^2} = \frac{3 v}{2 l}$
यहाँ $v = 2 \, m/s$ और $l = 1.5 \, m$ दिया गया है:
$\omega = \frac{3 \times 2}{2 \times 1.5} = \frac{6}{3} = 2 \, rad/s$.

(D) चूंकि $AB$ अक्ष के परितः गोली और ब्लॉक के निकाय पर कोई बाह्य बल आघूर्ण (टॉर्क) नहीं है,इसलिए $AB$ के परितः कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।
सबसे पहले,समानांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करके $AB$ अक्ष के परितः ब्लॉक का जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करें:
$I_{AB} = I_{CM} + Mh^2$
यहाँ $I_{CM} = 2Ma^2/3$ है और द्रव्यमान केंद्र से $AB$ अक्ष तक की दूरी $h = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2}a$ है।
$I_{AB} = \frac{2}{3}Ma^2 + M(\sqrt{2}a)^2 = \frac{2}{3}Ma^2 + 2Ma^2 = \frac{8}{3}Ma^2$.
अब,$AB$ अक्ष के परितः कोणीय संवेग संरक्षण का नियम लागू करने पर:
$L_{initial} = L_{final}$
$mvr = I_{AB}\omega$
जहाँ $r = 4a/3$ अक्ष $AB$ से गोली के पथ की लंबवत दूरी है।
$m v (\frac{4a}{3}) = (\frac{8}{3}Ma^2) \omega$
$\omega$ के लिए हल करने पर:
$\omega = \frac{mv(4a/3)}{8Ma^2/3} = \frac{4mva}{8Ma^2} = \frac{mv}{2Ma}$.

(D) चूंकि डिस्क के निकाय पर कोई बाहरी टॉर्क नहीं लग रहा है,इसलिए निकाय का कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।
$I_1 \omega_1 + I_2 \omega_2 = (I_1 + I_2) \omega \quad ...(i)$
जहाँ $I_1$ और $I_2$ डिस्क के जड़त्व आघूर्ण हैं,और $\omega_1$ तथा $\omega_2$ उनकी कोणीय गति हैं। $\omega$ डिस्क के संयोजन की कोणीय गति है।
दिया गया है:
$I_1 = 4.25 \,kg \cdot m^2, \omega_1 = 15 \,rps$ (वामावर्त,धनात्मक लेने पर)
$I_2 = 1.80 \,kg \cdot m^2, \omega_2 = -25 \,rps$ (दक्षिणावर्त,ऋणात्मक लेने पर)
समीकरण $(i)$ में मान रखने पर:
$I_1 \omega_1 + I_2 \omega_2 = (I_1 + I_2) \omega$
$(4.25 \times 15) + (1.80 \times -25) = (4.25 + 1.80) \omega$
$63.75 - 45 = 6.05 \omega$
$18.75 = 6.05 \omega$
$\omega = \frac{18.75}{6.05} \approx 3.099 \,rps$
चूंकि परिणाम धनात्मक है,इसलिए दिशा वामावर्त (anti-clockwise) होगी।
अतः,नया कोणीय वेग लगभग $3 \,rps$ और वामावर्त दिशा में है।

(D) सही उत्तर $D$ है।
कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,किसी निकाय के कोणीय संवेग $L$ के परिवर्तन की दर उस पर लगाए गए बाह्य टॉर्क $\tau$ के बराबर होती है,जिसे समीकरण $\tau = \frac{dL}{dt}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
जब किसी निकाय पर लगाया गया बाह्य टॉर्क शून्य होता है $(\tau = 0)$,तो कोणीय संवेग के परिवर्तन की दर शून्य होती है,जिसका अर्थ है कि $\frac{dL}{dt} = 0$।
इसका मतलब है कि निकाय का कोणीय संवेग $L$ समय के साथ स्थिर रहता है। यह रेखीय गति के लिए न्यूटन के प्रथम नियम का घूर्णी अनुरूप है,जहाँ यदि कुल बाह्य बल शून्य हो तो रेखीय संवेग स्थिर रहता है।

(B) कोणीय संवेग $\vec{L}$ को $\vec{L} = I\vec{\omega}$ द्वारा दिया जाता है।
कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,यदि बाहरी टॉर्क $\vec{\tau} = 0$ है,तो $\frac{d\vec{L}}{dt} = 0$,जिसका अर्थ है कि $\vec{L}$ स्थिर रहता है।
विकल्प $A$ सही है क्योंकि यदि जड़त्व आघूर्ण $I$ बदलता है,तो $\vec{L}$ को स्थिर रखने के लिए $\vec{\omega}$ को बदलना होगा।
विकल्प $B$ गलत है क्योंकि यदि $\vec{L}$ स्थिर है और $\vec{\omega}$ को स्थिर रखा जाता है,तो $I$ को भी स्थिर रहना होगा। अतः,यदि $\vec{\omega}$ और $I$ स्थिर हैं तो $\vec{L}$ को नहीं बदला जा सकता है।
विकल्प $C$ सही है क्योंकि $I$ को बदला जा सकता है (उदाहरण के लिए,द्रव्यमान के वितरण को बदलकर),जिसके परिणामस्वरूप $\vec{L}$ के स्थिर रहने पर $\vec{\omega}$ में परिवर्तन होगा।
विकल्प $D$ सही है क्योंकि $I$ और $\vec{\omega}$ दोनों एक साथ बदल सकते हैं ताकि उनका गुणनफल $I\vec{\omega}$ स्थिर रहे।
इसलिए,गलत कथन $B$ है।

(D) पृथ्वी अपनी घूर्णन गति के लिए एक विलगित निकाय (isolated system) है,इसलिए इसका कोणीय संवेग $L = I\omega$ संरक्षित रहता है।
जब पृथ्वी के भीतर से खनिजों को निकालकर सतह पर बहुमंजिला इमारतों का निर्माण किया जाता है,तो पृथ्वी का द्रव्यमान वितरण घूर्णन अक्ष से बाहर की ओर स्थानांतरित हो जाता है।
इससे पृथ्वी का जड़त्व आघूर्ण $I$ बढ़ जाता है $(I = \sum mr^2)$।
चूंकि कोणीय संवेग $L$ स्थिर रहता है,इसलिए जड़त्व आघूर्ण $I$ में वृद्धि के परिणामस्वरूप कोणीय वेग $\omega$ में कमी आती है (क्योंकि $L = I\omega$ का अर्थ है $\omega = L/I$)।
चूंकि कोणीय वेग $\omega$ आवर्तकाल $T$ से $\omega = 2\pi/T$ सूत्र द्वारा संबंधित है,इसलिए $\omega$ में कमी आने से आवर्तकाल $T$ में वृद्धि होती है।
अतः,दिन की लंबाई बढ़ जाती है।

(A) प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_1 = 20 \, rad/s$ है।
डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{1}{2} mr^2 = \frac{1 \times (0.1)^2}{2} = 0.005 \, kg \cdot m^2$ है।
जब $M = 0.5 \, kg$ का द्रव्यमान परिधि पर रखा जाता है,तो नया जड़त्व आघूर्ण $I_2 = I_1 + Mr^2 = 0.005 + 0.5 \times (0.1)^2 = 0.005 + 0.005 = 0.01 \, kg \cdot m^2$ हो जाता है।
चूंकि निकाय पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं करता है,इसलिए कोणीय संवेग संरक्षित रहता है: $I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$.
मान रखने पर: $0.005 \times 20 = 0.01 \times \omega_2$.
$\omega_2 = \frac{0.1}{0.01} = 10 \, rad/s$.

(C) कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,टक्कर से पहले धुरी के परितः मोम का कोणीय संवेग,टक्कर के बाद निकाय (छड़ + मोम) के कोणीय संवेग के बराबर होना चाहिए।
टक्कर से पहले मोम का कोणीय संवेग $L = mvr$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m = 20 \,g = 0.02 \,kg$,$v = 5 \,m/s$,और $r = 0.5 \,m$ (चूंकि छड़ एक मीटर की है और यह केंद्र पर धुरी पर स्थित है,इसलिए केंद्र से सिरे तक की दूरी $0.5 \,m$ है)।
$L = 0.02 \times 5 \times 0.5 = 0.05 \,kg \cdot m^2/s$.
टक्कर के बाद निकाय का कोणीय संवेग $L = I\omega$ है,जहाँ $I = 0.02 \,kg \cdot m^2$ धुरी के परितः छड़ और मोम का जड़त्व आघूर्ण है।
दोनों को बराबर करने पर,हमें प्राप्त होता है $0.05 = 0.02 \times \omega$.
$\omega = \frac{0.05}{0.02} = 2.5 \,rad/s$.

(A) सही उत्तर $A$ है।
कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,बाहरी टॉर्क की अनुपस्थिति में $L = I\omega$ स्थिर रहता है।
जब तैराक अपने हाथ और पैरों को अंदर की ओर खींचता है,तो द्रव्यमान का वितरण घूर्णन अक्ष के करीब आ जाता है,जिससे जड़त्व आघूर्ण $(I)$ कम हो जाता है।
चूंकि $L = I\omega$ स्थिर है,इसलिए $I$ में कमी के परिणामस्वरूप कोणीय वेग $(\omega)$ में वृद्धि होती है।
कोणीय वेग में यह वृद्धि तैराक को तेजी से घूमने और हवा में आसानी से लूप बनाने में सक्षम बनाती है।

(C) माना डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I$ है।
प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_1 = 90 \text{ rpm} = 90 \times \frac{2\pi}{60} = 3\pi \text{ rad/s}$.
अंतिम कोणीय वेग $\omega_2 = 60 \text{ rpm} = 60 \times \frac{2\pi}{60} = 2\pi \text{ rad/s}$.
चूंकि निकाय पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए कोणीय संवेग संरक्षित रहता है: $L_1 = L_2$.
$I \omega_1 = (I + mr^2) \omega_2$.
मान रखने पर: $I(3\pi) = (I + mr^2)(2\pi)$.
$3I = 2I + 2mr^2$.
$I = 2mr^2$.

(D) चूंकि गोले पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं करता है,इसलिए कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।
एक ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} m r^2$ द्वारा दिया जाता है।
कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,$L_i = L_f$,जिसका अर्थ है $I_i \omega_0 = I_f \omega'$।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{2}{5} m r^2 \omega_0 = \frac{2}{5} m \left(\frac{r}{\eta}\right)^2 \omega'$।
समीकरण को सरल करने पर: $r^2 \omega_0 = \frac{r^2}{\eta^2} \omega'$।
$\omega'$ के लिए हल करने पर,हमें $\omega' = \eta^2 \omega_0$ प्राप्त होता है।

(D) गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ द्वारा दिया जाता है। यदि आयतन मूल आयतन का $\frac{1}{64}$ हो जाता है,तो $\frac{V'}{V} = \frac{1}{64} = \left(\frac{R'}{R}\right)^3$. इस प्रकार,$\frac{R'}{R} = \sqrt[3]{\frac{1}{64}} = \frac{1}{4}$,जिसका अर्थ है कि $R' = \frac{R}{4}$.
चूंकि पृथ्वी पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं करता है,इसलिए इसका कोणीय संवेग $L = I\omega$ संरक्षित रहता है। ठोस गोले का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}MR^2$ होता है।
कोणीय संवेग संरक्षण का नियम लागू करने पर: $I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$
$\frac{2}{5} M R^2 \omega_1 = \frac{2}{5} M (R')^2 \omega_2$
$R^2 \omega_1 = \left(\frac{R}{4}\right)^2 \omega_2$
$R^2 \omega_1 = \frac{R^2}{16} \omega_2$
$\omega_2 = 16 \omega_1$
चूंकि $\omega = \frac{2\pi}{T}$,इसलिए $\frac{2\pi}{T_2} = 16 \left(\frac{2\pi}{T_1}\right)$,जिसका अर्थ है $T_2 = \frac{T_1}{16}$.
$T_1 = 24 \text{ h}$ दिया गया है,इसलिए हमें $T_2 = \frac{24}{16} \text{ h}$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $\frac{24}{x} \text{ h}$ से करने पर,हमें $x = 16$ प्राप्त होता है।

(A) घूर्णी गतिज ऊर्जा $K = \frac{L^2}{2I}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $L$ कोणीय संवेग है और $I$ जड़त्व आघूर्ण है।
चूंकि निकाय पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए कोणीय संवेग $L$ स्थिर रहता है।
अतः,गतिज ऊर्जा जड़त्व आघूर्ण के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $K \propto \frac{1}{I}$.
मान लीजिए $I_i$ और $K_i = E$ क्रमशः प्रारंभिक जड़त्व आघूर्ण और प्रारंभिक गतिज ऊर्जा हैं।
मान लीजिए $I_f$ और $K_f$ क्रमशः अंतिम जड़त्व आघूर्ण और अंतिम गतिज ऊर्जा हैं।
दिया गया है कि $I_f = 3I_i$,इसलिए:
$\frac{K_f}{K_i} = \frac{I_i}{I_f} = \frac{I_i}{3I_i} = \frac{1}{3}$.
इस प्रकार,$K_f = \frac{K_i}{3} = \frac{E}{3}$.
इसकी तुलना $\frac{E}{x}$ से करने पर,हमें $x = 3$ प्राप्त होता है।

(D) डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} M R^2 = \frac{1}{2} \times 5 \times (2)^2 = 10 \,kg \cdot m^2$ है।
प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = I \omega_i = 10 \times 10 = 100 \,kg \cdot m^2/s$ है।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $E_i = \frac{1}{2} I \omega_i^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (10)^2 = 500 \,J$ है।
जब एक समान डिस्क को ऊपर रखा जाता है, तो अंतिम जड़त्व आघूर्ण $I_f = I + I = 2I = 20 \,kg \cdot m^2$ हो जाता है।
कोणीय संवेग के संरक्षण के नियम के अनुसार, $L_i = L_f$, इसलिए $100 = I_f \omega_f = 20 \omega_f$।
अतः, अंतिम कोणीय वेग $\omega_f = \frac{100}{20} = 5 \,rad/s$ है।
अंतिम गतिज ऊर्जा $E_f = \frac{1}{2} I_f \omega_f^2 = \frac{1}{2} \times 20 \times (5)^2 = 10 \times 25 = 250 \,J$ है।
व्यय हुई ऊर्जा $\Delta E = E_i - E_f = 500 \,J - 250 \,J = 250 \,J$ है।

(A) कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,कोणीय संवेग $L = I\omega$ नियत रहता है।
चूंकि $I = \frac{2}{5}MR^2$ और $\omega = \frac{2\pi}{T}$,इसलिए $I_1\omega_1 = I_2\omega_2$ होगा।
मान रखने पर:
$\left(\frac{2}{5}MR^2\right) \frac{2\pi}{T_1} = \left(\frac{2}{5}M(\frac{3}{4}R)^2\right) \frac{2\pi}{T_2}$
$R^2 \cdot \frac{1}{T_1} = (\frac{3}{4}R)^2 \cdot \frac{1}{T_2}$
$\frac{1}{T_1} = \frac{9}{16} \cdot \frac{1}{T_2}$
$T_2 = \frac{9}{16} \cdot T_1$
यहाँ $T_1 = 24$ घंटे दिया गया है:
$T_2 = \frac{9}{16} \times 24 = \frac{9 \times 3}{2} = \frac{27}{2} = 13.5$ घंटे।
अतः,दिन की अवधि $13$ घंटे $30$ मिनट होगी।

(C) केंद्रीय अक्ष के परितः पहली डिस्क का प्रारंभिक जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{1}{2} MR^2$ है।
निकाय का प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = I_1 \omega = \frac{1}{2} MR^2 \omega$ है।
जब $M/2$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली दूसरी डिस्क को समाक्षीय रूप से रखा जाता है,तो निकाय का नया जड़त्व आघूर्ण $I_2 = I_1 + I_{disc2} = \frac{1}{2} MR^2 + \frac{1}{2} (M/2) R^2 = \frac{1}{2} MR^2 + \frac{1}{4} MR^2 = \frac{3}{4} MR^2$ हो जाता है।
कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,$L_i = L_f$,जिसका अर्थ है $I_1 \omega = I_2 \omega_2$।
मान रखने पर: $(\frac{1}{2} MR^2) \omega = (\frac{3}{4} MR^2) \omega_2$।
नए कोणीय वेग $\omega_2$ के लिए हल करने पर: $\omega_2 = \frac{1/2}{3/4} \omega = \frac{2}{3} \omega$।

(A) डिस्क का उसकी केंद्रीय धुरी के परितः प्रारंभिक जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{1}{2} M R^2 = \frac{1}{2} \times 50 \times (0.4)^2 = 4 \ kg \ m^2$ है।
प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_1 = 10 \ rad \ s^{-1}$ है।
जब दो रिंगों को डिस्क पर रखा जाता है,तो घूर्णन की धुरी के परितः उनके जड़त्व आघूर्ण की गणना समानांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करके की जानी चाहिए। $m$ द्रव्यमान और $r$ त्रिज्या वाली प्रत्येक रिंग के लिए,उसकी अपनी केंद्रीय धुरी के परितः जड़त्व आघूर्ण $mr^2$ होता है। घूर्णन की धुरी से प्रत्येक रिंग के केंद्र की दूरी $r = 0.2 \ m$ है। इस प्रकार,डिस्क की धुरी के परितः एक रिंग का जड़त्व आघूर्ण $I_{ring} = mr^2 + mr^2 = 2mr^2 = 2 \times 6.25 \times (0.2)^2 = 0.5 \ kg \ m^2$ है।
दो रिंगों को रखने के बाद निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण $I_2 = I_{disc} + 2 \times I_{ring} = 4 + 2 \times 0.5 = 5 \ kg \ m^2$ है।
कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,$I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$ है।
मान रखने पर: $4 \times 10 = 5 \times \omega_2$।
$\omega_2 = \frac{40}{5} = 8 \ rad \ s^{-1}$।

(D) निकाय (प्लेटफॉर्म + दो गेंदें) शुरू में स्थिर है,इसलिए प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = 0$ है।
गेंदों के फायर होने के बाद,कुल कोणीय संवेग को संरक्षित करने के लिए प्लेटफॉर्म गेंदों को दिए गए कोणीय संवेग की विपरीत दिशा में $\omega$ कोणीय वेग से घूमता है।
घूर्णन अक्ष के परितः दो गेंदों का कोणीय संवेग $L_{balls} = 2 \times (mvr) = 2mvr$ है।
प्लेटफॉर्म का कोणीय संवेग $L_{platform} = I\omega = \left(\frac{MR^2}{2}\right)\omega$ है।
कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,कुल कोणीय संवेग शून्य रहता है:
$L_{balls} + L_{platform} = 0$
$2mvr + \left(\frac{MR^2}{2}\right)\omega = 0$
परिमाण लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\omega = \frac{4mvr}{MR^2}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$m = 0.05 \ kg, M = 0.45 \ kg, v = 9 \ m/s, r = 0.25 \ m, R = 0.5 \ m$
$\omega = \frac{4 \times 0.05 \times 9 \times 0.25}{0.45 \times (0.5)^2} = 4 \ rad/s$

(D) निकाय का प्रारंभिक जड़त्व आघूर्ण $I_i = I_{ring} + I_{masses} = MR^2 + 0 = MR^2$ है।
प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = I_i \omega = MR^2 \omega$ है।
दिए गए क्षण पर,कोणीय गति $\omega' = \frac{8}{9} \omega$ है।
इस क्षण पर निकाय का जड़त्व आघूर्ण $I_f = I_{ring} + I_{masses} = MR^2 + \frac{M}{8} r_1^2 + \frac{M}{8} r_2^2$ है,जहाँ $r_1 = \frac{3}{5} R$ और $r_2$ दूसरे द्रव्यमान की दूरी है।
कोणीय संवेग संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए,$L_i = L_f \Rightarrow I_i \omega = I_f \omega'$.
$MR^2 \omega = (MR^2 + \frac{M}{8} (\frac{3}{5} R)^2 + \frac{M}{8} r_2^2) \times \frac{8}{9} \omega$.
$MR^2 = (MR^2 + \frac{M}{8} \times \frac{9}{25} R^2 + \frac{M}{8} r_2^2) \times \frac{8}{9}$.
$\frac{9}{8} R^2 = R^2 + \frac{9}{200} R^2 + \frac{1}{8} r_2^2$.
$\frac{9}{8} R^2 - R^2 - \frac{9}{200} R^2 = \frac{1}{8} r_2^2$.
$\frac{225 - 200 - 9}{200} R^2 = \frac{1}{8} r_2^2$.
$\frac{16}{200} R^2 = \frac{1}{8} r_2^2$.
$r_2^2 = \frac{16 \times 8}{200} R^2 = \frac{128}{200} R^2 = \frac{16}{25} R^2$.
$r_2 = \frac{4}{5} R$.

(A) बल $\vec{F} = -k(x \hat{i} + y \hat{j})$ एक केंद्रीय बल है जो $z$-अक्ष की ओर निर्देशित है। मूल बिंदु के परितः आघूर्ण $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ शून्य है क्योंकि बल सदिश हमेशा $xy$-समतल में होता है। कोणीय संवेग का $z$-घटक $L_z = m(x v_y - y v_x)$ संरक्षित रहता है।
$t=0$ पर,$\vec{r}_0 = (\frac{1}{\sqrt{2}}, \sqrt{2}, 0)$ और $\vec{v}_0 = (-\sqrt{2}, \sqrt{2}, \frac{2}{\pi})$ है।
कोणीय संवेग का $z$-घटक $L_z = m(x_0 v_{y0} - y_0 v_{x0}) = 1 \times [(\frac{1}{\sqrt{2}})(\sqrt{2}) - (\sqrt{2})(-\sqrt{2})] = 1 + 2 = 3 \ kg \ m^2 \ s^{-1}$ है।
चूंकि $L_z$ संरक्षित है,इसलिए किसी भी समय पर $x v_y - y v_x = 3 \ m^2 \ s^{-1}$ होगा।

(B) एक ठोस गोले का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}MR^2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि घनत्व $\rho$ समान है,$M = \rho \cdot V = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3$।
अतः,$M \propto R^3$।
जब त्रिज्या $R$ से बदलकर $R/2$ हो जाती है,तो द्रव्यमान $M$ से बदलकर $M' = M \cdot (1/2)^3 = M/8$ हो जाता है।
चूंकि गोले पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए कोणीय संवेग संरक्षित रहता है: $L_1 = L_2$।
$I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$।
मान रखने पर: $(\frac{2}{5}MR^2)\omega_1 = (\frac{2}{5}M'(R/2)^2)\omega_2$।
$(\frac{2}{5}MR^2)\omega_1 = (\frac{2}{5} \cdot \frac{M}{8} \cdot \frac{R^2}{4})\omega_2$।
$MR^2 \omega_1 = (\frac{M R^2}{32}) \omega_2$।
$\omega_2 = 32 \omega_1$।
इसे $x\omega_1$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 32$ प्राप्त होता है।

(D) कोणीय संवेग का संरक्षण होता है क्योंकि सूर्य पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं कर रहा है।
$L = I \omega = \text{स्थिरांक}$
समान घनत्व वाले ठोस गोले के लिए, जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} M R^2$ होता है।
चूंकि द्रव्यमान $M$ स्थिर रहता है, इसलिए $I \propto R^2$ है।
प्रारंभिक त्रिज्या $R_1$ और अंतिम त्रिज्या $R_2 = 2 R_1$ दी गई है, इसलिए नया जड़त्व आघूर्ण $I_2 = \frac{2}{5} M (2 R_1)^2 = 4 \times (\frac{2}{5} M R_1^2) = 4 I_1$ होगा।
कोणीय संवेग के संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए: $I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$।
मान रखने पर: $I_1 \omega_1 = (4 I_1) \omega_2$, जिससे $\omega_2 = \frac{\omega_1}{4}$ प्राप्त होता है।
चूंकि कोणीय वेग $\omega = \frac{2 \pi}{T}$ है, इसलिए $\frac{2 \pi}{T_2} = \frac{1}{4} \times \frac{2 \pi}{T_1}$ होगा।
इसे सरल करने पर $T_2 = 4 T_1$ प्राप्त होता है।
$T_1 = 27$ दिन दिए गए हैं, इसलिए नया काल $T_2 = 4 \times 27 = 108$ दिन होगा।

(C) अपने ज्यामितीय अक्ष के परितः पहली डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{1}{2}MR^2$ है।
चूंकि निकाय पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए कोणीय संवेग संरक्षित रहता है: $L_i = L_f$.
$I_1 \omega = (I_1 + I_2) \omega_2$,जहाँ $I_2$ दूसरी डिस्क का जड़त्व आघूर्ण है।
$I_2 = \frac{1}{2} \left(\frac{M}{4}\right) R^2 = \frac{1}{4} I_1$.
संरक्षण समीकरण में $I_2$ का मान रखने पर:
$I_1 \omega = (I_1 + \frac{1}{4} I_1) \omega_2$
$I_1 \omega = \frac{5}{4} I_1 \omega_2$
$\omega_2 = \frac{4}{5} \omega$.

(A) कथन सही है क्योंकि,बाहरी टॉर्क की अनुपस्थिति में,कोणीय संवेग $L = I\omega$ स्थिर रहता है। यदि जड़त्व आघूर्ण $I$ बदलता है,तो $L$ को स्थिर रखने के लिए कोणीय वेग $\omega$ को बदलना होगा।
हालाँकि,घूर्णन गतिज ऊर्जा $K = \frac{L^2}{2I}$ का मान $I$ पर निर्भर करता है। चूंकि $L$ स्थिर है,यदि $I$ बदलता है,तो $K$ भी बदल जाएगा।
कारण गलत है क्योंकि कोणीय संवेग $L$ को $L = I\omega$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जो सीधे वस्तु के जड़त्व आघूर्ण $I$ पर निर्भर करता है।
अतः,$(A)$ सही है लेकिन $(R)$ गलत है।

(C) शंकु लोलक में,गोलक (bob) एक स्थिर गति से क्षैतिज वृत्त में घूमता है। गोलक पर कार्य करने वाले बल तनाव $(T)$ और भार $(mg)$ हैं।
ऊर्ध्वाधर अक्ष निलंबन बिंदु और वृत्ताकार पथ के केंद्र से होकर गुजरती है। तनाव बल निलंबन बिंदु से होकर गुजरता है और भार बल ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है। ये दोनों बल ऊर्ध्वाधर अक्ष से होकर गुजरते हैं या उसके समानांतर होते हैं,जिसके परिणामस्वरूप ऊर्ध्वाधर अक्ष के परितः टॉर्क शून्य होता है।
चूंकि ऊर्ध्वाधर अक्ष के परितः नेट टॉर्क $(\tau_{net} = 0)$ शून्य है,इसलिए इस अक्ष के परितः कोणीय संवेग $(L)$ संरक्षित रहता है (स्थिर रहता है)।
अतः,अभिकथन $(A)$ सत्य है और कारण $(R)$ असत्य है।

(B) कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत $(COAM)$ के अनुसार,कोणीय संवेग स्थिर रहता है क्योंकि निकाय पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं करता है।
$L_1 = L_2$
$I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$
प्रारंभ में,लड़का केंद्र पर है,इसलिए उसका जड़त्व आघूर्ण $0$ है। कुल जड़त्व आघूर्ण $I_1 = 100 \ kg\ m^2$ है।
प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_1 = \frac{2\pi}{T_1} = \frac{2\pi}{10} \ rad/s$ है।
जब लड़का केंद्र से $2 \ m$ दूर जाता है,तो उसका जड़त्व आघूर्ण $I_{boy} = mr^2 = 20 \times (2)^2 = 80 \ kg\ m^2$ हो जाता है।
नया कुल जड़त्व आघूर्ण $I_2 = 100 + 80 = 180 \ kg\ m^2$ है।
मान लीजिए कि नया समय अंतराल $T_2$ है,इसलिए $\omega_2 = \frac{2\pi}{T_2}$।
इन मानों को $COAM$ समीकरण में रखने पर:
$100 \times \frac{2\pi}{10} = 180 \times \frac{2\pi}{T_2}$
$10 = \frac{180}{T_2}$
$T_2 = \frac{180}{10} = 18 \ s$.

(A) वलय का अपनी अक्ष के परितः प्रारंभिक जड़त्व आघूर्ण $I_i = Mr^2$ है।
प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = I_i \omega = Mr^2 \omega$ है।
जब $m$ द्रव्यमान के दो कणों को अक्ष से $r$ दूरी पर व्यासीय रूप से विपरीत बिंदुओं पर जोड़ा जाता है,तो नया जड़त्व आघूर्ण $I_f = Mr^2 + mr^2 + mr^2 = (M+2m)r^2$ हो जाता है।
चूंकि निकाय पर कोई बाहरी बल आघूर्ण कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए कोणीय संवेग संरक्षित रहता है,अतः $L_i = L_f$।
$Mr^2 \omega = (M+2m)r^2 \omega'$।
नई कोणीय चाल $\omega'$ के लिए हल करने पर,हमें $\omega' = \frac{Mr^2 \omega}{(M+2m)r^2} = \frac{\omega M}{M+2m}$ प्राप्त होता है।

(D) कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,जब दो डिस्क को जोड़ा जाता है तो निकाय का कुल कोणीय संवेग स्थिर रहता है।
प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = I_1 \omega_1 + I_2 \omega_2$ है।
जब डिस्क एक साथ घूमती हैं,तो वे $I = I_1 + I_2$ के संयुक्त जड़त्व आघूर्ण और $\omega$ के सामान्य कोणीय वेग के साथ एक एकल निकाय बनाती हैं।
अंतिम कोणीय संवेग $L_f = (I_1 + I_2) \omega$ है।
$L_i = L_f$ को बराबर करने पर,हमें $\omega = \frac{I_1 \omega_1 + I_2 \omega_2}{I_1 + I_2}$ प्राप्त होता है।
निकाय की घूर्णन गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ द्वारा दी जाती है।
$I$ और $\omega$ के मान रखने पर:
$K = \frac{1}{2} (I_1 + I_2) \left( \frac{I_1 \omega_1 + I_2 \omega_2}{I_1 + I_2} \right)^2$.
$K = \frac{(I_1 \omega_1 + I_2 \omega_2)^2}{2(I_1 + I_2)}$.

(A) मान लीजिए प्रारंभिक जड़त्व आघूर्ण $I_1$ है और अंतिम जड़त्व आघूर्ण $I_2 = 0.75 I_1 = \frac{3}{4} I_1$ है।
चूंकि निकाय पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए कोणीय संवेग $L$ संरक्षित रहता है,अतः $L = I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$।
इस प्रकार,$\omega_2 = \frac{I_1}{I_2} \omega_1 = \frac{I_1}{0.75 I_1} \omega_1 = \frac{4}{3} \omega_1$।
प्रारंभिक घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_1 = \frac{L^2}{2 I_1}$ है।
अंतिम घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_2 = \frac{L^2}{2 I_2} = \frac{L^2}{2 (0.75 I_1)} = \frac{L^2}{1.5 I_1} = \frac{4}{3} K_1$ है।
गतिज ऊर्जा में प्रतिशत वृद्धि $\frac{K_2 - K_1}{K_1} \times 100 = (\frac{4}{3} - 1) \times 100 = \frac{1}{3} \times 100 \approx 33.3 \%$ है।

(B) चूंकि निकाय पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं करता है,इसलिए निकाय का कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।
प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = I_1 \omega_1$,जहाँ $I_1 = \frac{1}{2} M R^2$ और $\omega_1 = \omega$ है।
अंतिम जड़त्व आघूर्ण $I_2 = I_{\text{disc1}} + I_{\text{disc2}} = \frac{1}{2} M R^2 + \frac{1}{2} (\frac{M}{3}) R^2 = \frac{1}{2} R^2 (M + \frac{M}{3}) = \frac{1}{2} R^2 (\frac{4M}{3}) = \frac{2}{3} M R^2$ है।
कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,$I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$ है।
मान रखने पर: $(\frac{1}{2} M R^2) \omega = (\frac{2}{3} M R^2) \omega_2$।
$\omega_2$ के लिए हल करने पर: $\omega_2 = \frac{1/2}{2/3} \omega = \frac{3}{4} \omega$ प्राप्त होता है।

(A) निकाय की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I$ प्रारंभिक जड़त्व आघूर्ण है और $\omega$ प्रारंभिक कोणीय वेग है।
कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,चूंकि निकाय पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं करता है,इसलिए कोणीय संवेग $L$ स्थिर रहता है: $L = I \omega = I^{\prime} \omega^{\prime}$।
यह दिया गया है कि नया जड़त्व आघूर्ण $I^{\prime} = 2I$ है,इसलिए $2I \omega^{\prime} = I \omega$,जिसका अर्थ है $\omega^{\prime} = \frac{\omega}{2}$।
नई गतिज ऊर्जा $K^{\prime} = \frac{1}{2} I^{\prime} \omega^{\prime 2}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$K^{\prime} = \frac{1}{2} (2I) \left( \frac{\omega}{2} \right)^2 = I \left( \frac{\omega^2}{4} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} I \omega^2 \right) = \frac{K}{2}$।

(D) कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,चूंकि निकाय पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं करता है,इसलिए प्रारंभिक कोणीय संवेग = अंतिम कोणीय संवेग:
$I_1 \omega_1 = (I_1 + I_2) \omega_2$
$\omega_2 = \frac{I_1 \omega_1}{I_1 + I_2}$
प्रारंभिक घूर्णन गतिज ऊर्जा $E_1 = \frac{1}{2} I_1 \omega_1^2$ है।
अंतिम घूर्णन गतिज ऊर्जा $E_2 = \frac{1}{2} (I_1 + I_2) \omega_2^2$ है।
$E_2$ के व्यंजक में $\omega_2$ का मान रखने पर:
$E_2 = \frac{1}{2} (I_1 + I_2) \left( \frac{I_1 \omega_1}{I_1 + I_2} \right)^2 = \frac{1}{2} \frac{I_1^2 \omega_1^2}{I_1 + I_2}$.
खोई गई ऊर्जा $\Delta E = E_1 - E_2 = \frac{1}{2} I_1 \omega_1^2 - \frac{1}{2} \frac{I_1^2 \omega_1^2}{I_1 + I_2}$.
$\Delta E = \frac{1}{2} I_1 \omega_1^2 \left( 1 - \frac{I_1}{I_1 + I_2} \right) = \frac{1}{2} I_1 \omega_1^2 \left( \frac{I_1 + I_2 - I_1}{I_1 + I_2} \right)$.
$\Delta E = \frac{1}{2} \left[ \frac{I_1 I_2}{I_1 + I_2} \right] \omega_1^2$.

(A) केंद्रीय अक्ष के परितः पहली डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{1}{2} MR^2$ है।
चूंकि निकाय पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं करता है,इसलिए कोणीय संवेग संरक्षित रहता है: $L_i = L_f$।
प्रारंभ में,$L_i = I_1 \omega = \frac{1}{2} MR^2 \omega$।
जब $\frac{M}{2}$ द्रव्यमान की दूसरी डिस्क को पहली डिस्क पर रखा जाता है,तो कुल जड़त्व आघूर्ण $I_2 = I_1 + I_{\text{disc2}} = \frac{1}{2} MR^2 + \frac{1}{2} (\frac{M}{2}) R^2 = \frac{1}{2} MR^2 + \frac{1}{4} MR^2 = \frac{3}{4} MR^2$ हो जाता है।
कोणीय संवेग संरक्षण का उपयोग करते हुए: $I_1 \omega = I_2 \omega_2$।
$\frac{1}{2} MR^2 \omega = \frac{3}{4} MR^2 \omega_2$।
$\omega_2$ के लिए हल करने पर: $\omega_2 = (\frac{1}{2} \times \frac{4}{3}) \omega = \frac{2}{3} \omega$।