Conservation of angular momentum (combined translation and rotational motion) Questions in Hindi

(B) कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,$L = I\omega = \text{नियतांक}$.
इसलिए,$\omega \propto \frac{1}{I}$.
घूर्णन गतिज ऊर्जा का सूत्र $E_R = \frac{1}{2} I \omega^2$ है।
$\omega \propto \frac{1}{I}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $E_R \propto I \times \left(\frac{1}{I}\right)^2 = \frac{1}{I}$ प्राप्त होता है।
यहाँ प्रारंभिक जड़त्व आघूर्ण $I_1 = I$ और अंतिम जड़त्व आघूर्ण $I_2 = 2I$ है।
अतः,$\frac{E_2}{E_1} = \frac{I_1}{I_2} = \frac{I}{2I} = \frac{1}{2}$.
इसलिए,नई गतिज ऊर्जा $E_2 = \frac{E_1}{2} = \frac{K}{2}$ होगी।

(A) वलय का प्रारंभिक जड़त्व आघूर्ण $I = MR^2$ है। प्रारंभिक कोणीय संवेग $L = I\omega = MR^2\omega$ है।
जब $m$ द्रव्यमान के $4$ बिंदु द्रव्यमानों को दो परस्पर लंबवत व्यासों के सिरों पर रखा जाता है,तो वे सभी घूर्णन अक्ष से $R$ दूरी पर होते हैं।
निकाय का नया जड़त्व आघूर्ण $I' = MR^2 + 4(mR^2) = (M + 4m)R^2$ हो जाता है।
चूंकि निकाय पर कोई बाह्य बल आघूर्ण (torque) कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए कोणीय संवेग संरक्षित रहता है $(L_{initial} = L_{final})$।
$MR^2\omega = (M + 4m)R^2\omega'$
दोनों पक्षों को $R^2$ से विभाजित करने पर,हमें $M\omega = (M + 4m)\omega'$ प्राप्त होता है।
अतः,नया कोणीय वेग $\omega' = \left( \frac{M}{M + 4m} \right)\omega$ होगा।

(A) जब ध्रुवों पर बर्फ पिघलती है और भूमध्य रेखा की ओर बहती है,तो द्रव्यमान का वितरण घूर्णन अक्ष से दूर हो जाता है।
चूंकि जड़त्व आघूर्ण $I = \sum mr^2$ होता है,जैसे-जैसे द्रव्यमान अक्ष से दूर जाता है,जड़त्व आघूर्ण $I$ बढ़ जाता है।
कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,$L = I\omega = \text{स्थिरांक}$।
यदि $I$ बढ़ता है,तो कोणीय वेग $\omega$ को घटना चाहिए।
चूंकि समय अवधि $T = \frac{2\pi}{\omega}$ होती है,इसलिए $\omega$ में कमी के कारण दिन की अवधि $T$ बढ़ जाती है (दिन लंबा हो जाता है)।

(B) कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,चूंकि निकाय पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए प्रारंभिक कोणीय संवेग = अंतिम कोणीय संवेग।
प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = I_1 \omega$ है।
जब व्यक्ति केंद्र से $r$ दूरी पर जाता है,तो निकाय का नया जड़त्व आघूर्ण $I_2 = I_1 + mr^2$ हो जाता है।
माना कि अंतिम कोणीय वेग $\omega_2$ है।
अंतिम कोणीय संवेग $L_f = (I_1 + mr^2) \omega_2$ है।
$L_i = L_f$ को बराबर करने पर:
$I_1 \omega = (I_1 + mr^2) \omega_2$।
अतः,अंतिम कोणीय वेग $\omega_2 = \frac{I_1 \omega}{I_1 + mr^2}$ होगा।

(A) कोणीय संवेग तब संरक्षित होता है जब कण पर कार्य करने वाला कुल टॉर्क शून्य हो,अर्थात $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = 0$।
क्रॉस प्रोडक्ट की गणना करने पर:
$\vec{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -6 & -12 \\ p & 3 & 6 \end{vmatrix}$
$\vec{\tau} = \hat{i}(-36 - (-36)) - \hat{j}(12 - (-12p)) + \hat{k}(6 - (-6p))$
$\vec{\tau} = \hat{i}(0) - \hat{j}(12 + 12p) + \hat{k}(6 + 6p)$
कोणीय संवेग के संरक्षण के लिए,$\vec{\tau} = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है:
$12 + 12p = 0$ और $6 + 6p = 0$
$12 + 12p = 0$ को हल करने पर,हमें $12p = -12$ प्राप्त होता है,इसलिए $p = -1$।
इसी प्रकार,$6 + 6p = 0$ से भी $p = -1$ प्राप्त होता है।

(A) प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_1 = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{10} = \frac{\pi}{5} \ rad/s$.
प्रारंभिक जड़त्व आघूर्ण $I_1 = I_{table} + I_{man} = 100 + 50(0)^2 = 100 \ kg \cdot m^2$.
अंतिम जड़त्व आघूर्ण $I_2 = I_{table} + I_{man} = 100 + 50(2)^2 = 100 + 200 = 300 \ kg \cdot m^2$.
कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,$L_1 = L_2 \Rightarrow I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$.
$100 \times \frac{\pi}{5} = 300 \times \omega_2$.
$20\pi = 300 \omega_2$.
$\omega_2 = \frac{20\pi}{300} = \frac{\pi}{15} \ rad/s$.

(D) प्रारंभ में,रिंग के द्रव्यमान केंद्र का वेग $v_0 = 0$ है और प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0$ है।
जब रिंग फिसलना बंद कर देती है,तो मान लीजिए कि द्रव्यमान केंद्र का वेग $v$ और कोणीय वेग $\omega$ है।
चूंकि रिंग बिना फिसले लुढ़क रही है,इसलिए $v = r\omega$ की शर्त पूरी होनी चाहिए।
सतह पर स्थित बिंदु $P$ के परितः कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$L_i = L_f$
$I_{cm}\omega_0 + mvr_0 = I_{cm}\omega + mvr$
रिंग के लिए $I_{cm} = mr^2$ होने के कारण:
$mr^2\omega_0 + 0 = mr^2\omega + mvr$
$mr^2\omega_0 = mr^2(\frac{v}{r}) + mvr$
$mr^2\omega_0 = mrv + mvr$
$mr^2\omega_0 = 2mvr$
$v = \frac{r\omega_0}{2}$

(C) टक्कर के दौरान बिंदु $O$ के परितः कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं करता है,इसलिए निकाय का कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।
बिंदु $O$ के परितः कण का प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = Mv \times r$ है,जहाँ $r = OC = L/4$ है।
अतः,$L_i = Mv(L/4)$.
टक्कर के बाद,कण छड़ से चिपक जाता है (अप्रत्यास्थ टक्कर मानते हुए),और निकाय $\omega$ कोणीय वेग से घूमता है।
बिंदु $O$ के परितः निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण $I$,छड़ और कण के जड़त्व आघूर्ण का योग है।
$I = I_{rod} + I_{particle} = \frac{ML^2}{12} + M(L/4)^2 = \frac{ML^2}{12} + \frac{ML^2}{16} = \frac{4ML^2 + 3ML^2}{48} = \frac{7ML^2}{48}$.
कोणीय संवेग संरक्षण का नियम लागू करने पर: $L_i = I\omega$.
$Mv(L/4) = (7ML^2/48) \omega$.
$\omega$ के लिए हल करने पर: $\omega = \frac{MvL}{4} \times \frac{48}{7ML^2} = \frac{12v}{7L}$.

(A) माना प्रारंभिक आयतन $V_1$ है और अंतिम आयतन $V_2 = \frac{1}{64} V_1$ है।
चूंकि $V = \frac{4}{3} \pi R^3$,इसलिए $\frac{R_2^3}{R_1^3} = \frac{V_2}{V_1} = \frac{1}{64}$ प्राप्त होता है।
घनमूल लेने पर,$\frac{R_2}{R_1} = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $R_2 = \frac{R_1}{4}$।
चूंकि पृथ्वी पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए कोणीय संवेग $L = I\omega$ संरक्षित रहता है।
$I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2 \implies I_1 \left( \frac{2\pi}{T_1} \right) = I_2 \left( \frac{2\pi}{T_2} \right)$।
चूंकि पृथ्वी एक ठोस गोला है,$I = \frac{2}{5}MR^2$।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$\left( \frac{2}{5} M R_1^2 \right) \frac{1}{T_1} = \left( \frac{2}{5} M R_2^2 \right) \frac{1}{T_2}$ प्राप्त होता है।
$T_2 = T_1 \left( \frac{R_2}{R_1} \right)^2$।
यहाँ $T_1 = 24 \text{ घंटे}$ और $\frac{R_2}{R_1} = \frac{1}{4}$ दिया गया है,इसलिए $T_2 = 24 \times \left( \frac{1}{4} \right)^2 = 24 \times \frac{1}{16} = 1.5 \text{ घंटे}$।

(C) कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$L_{initial} = L_{final}$
$I\omega + mvR = (I + mR^2)\omega'$
जहाँ $I$ ठोस बेलन का जड़त्व आघूर्ण है,$I = \frac{1}{2}MR^2$.
$I = \frac{1}{2} \times 2 \times (0.2)^2 = 0.04 \ kg \cdot m^2$.
प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = I\omega + mvR = (0.04 \times 3) + (0.5 \times 5 \times 0.2) = 0.12 + 0.5 = 0.62 \ kg \cdot m^2/s$.
अंतिम जड़त्व आघूर्ण $I_f = I + mR^2 = 0.04 + (0.5 \times (0.2)^2) = 0.04 + 0.02 = 0.06 \ kg \cdot m^2$.
$L_i = I_f \omega'$ का उपयोग करने पर:
$0.62 = 0.06 \times \omega'$
$\omega' = \frac{0.62}{0.06} = \frac{62}{6} \approx 10.33 \ rad/s$.
अतः,कोणीय वेग $10.3 \ rad/s$ है।

(A) माना टक्कर के बाद छड़ के द्रव्यमान केंद्र का वेग $V$ है। रैखिक संवेग संरक्षण के नियम से:
$mv = MV \implies V = \frac{mv}{M}$
छड़ के द्रव्यमान केंद्र के परितः कोणीय संवेग संरक्षण के नियम से:
$mvd = I\omega \implies \omega = \frac{mvd}{I}$,जहाँ $I = \frac{ML^2}{12}$
यह मानते हुए कि टक्कर प्रत्यास्थ है,गतिज ऊर्जा संरक्षण के नियम से:
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}MV^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
$V$ और $\omega$ के मान रखने पर:
$mv^2 = M(\frac{mv}{M})^2 + I(\frac{mvd}{I})^2$
$mv^2 = \frac{m^2v^2}{M} + \frac{m^2v^2d^2}{I}$
$mv^2$ से भाग देने पर:
$1 = \frac{m}{M} + \frac{md^2}{I} = \frac{m}{M} + \frac{md^2}{ML^2/12} = \frac{m}{M}(1 + \frac{12d^2}{L^2})$
$1 = \frac{m}{M}(\frac{L^2 + 12d^2}{L^2})$
$m = \frac{ML^2}{L^2 + 12d^2}$

(A) वृत्ताकार पथ पर गति करते हुए कण का कोणीय संवेग $L = mr^2\omega$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि निकाय पर कोई बाह्य बल आघूर्ण (torque) कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए कोणीय संवेग संरक्षित रहेगा $(L_1 = L_2)$।
प्रारंभिक स्थिति के लिए: $L_1 = mr_1^2\omega_1$.
अंतिम स्थिति के लिए: $L_2 = mr_2^2\omega_2$.
दोनों को बराबर करने पर: $mr_1^2\omega_1 = mr_2^2\omega_2$.
इसे सरल करने पर $\omega_2 = \omega_1 \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2$ प्राप्त होता है।
यहाँ $r_1 = 0.8 \ m$,$r_2 = 1 \ m$ और $\omega_1 = 44 \ rad \ s^{-1}$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\omega_2 = 44 \times \left( \frac{0.8}{1} \right)^2 = 44 \times 0.64$.
$\omega_2 = 28.16 \ rad \ s^{-1}$।

(B) वलय का उसके केंद्र से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर अक्ष के परितः प्रारंभिक जड़त्व आघूर्ण $I = M R^2$ है।
वलय का प्रारंभिक कोणीय संवेग $L = I \omega = M R^2 \omega$ है।
जब $m$ द्रव्यमान की दो वस्तुओं को व्यास के विपरीत सिरों पर जोड़ा जाता है,तो नया जड़त्व आघूर्ण $I'$ हो जाता है:
$I' = I + 2(m R^2) = M R^2 + 2m R^2 = (M + 2m) R^2$.
चूंकि निकाय पर कोई बाह्य बल आघूर्ण (torque) कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए कोणीय संवेग संरक्षित रहता है,अतः $L' = L$.
$(M + 2m) R^2 \omega' = M R^2 \omega$.
नए कोणीय वेग $\omega'$ के लिए हल करने पर:
$\omega' = \frac{M \omega}{M + 2m}$.

(D) कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रारंभिक कोणीय संवेग = अंतिम कोणीय संवेग: $I_t \omega_i = (I_t + I_b) \omega_f$।
अतः,अंतिम कोणीय गति $\omega_f = \frac{I_t \omega_i}{I_t + I_b}$ है।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2} I_t \omega_i^2$ है।
अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2} (I_t + I_b) \omega_f^2 = \frac{1}{2} (I_t + I_b) \left( \frac{I_t \omega_i}{I_t + I_b} \right)^2 = \frac{1}{2} \frac{I_t^2 \omega_i^2}{I_t + I_b}$ है।
खोई गई ऊर्जा $\Delta E = K_i - K_f = \frac{1}{2} I_t \omega_i^2 - \frac{1}{2} \frac{I_t^2 \omega_i^2}{I_t + I_b}$ है।
इस व्यंजक को सरल करने पर: $\Delta E = \frac{1}{2} I_t \omega_i^2 \left( 1 - \frac{I_t}{I_t + I_b} \right) = \frac{1}{2} I_t \omega_i^2 \left( \frac{I_t + I_b - I_t}{I_t + I_b} \right) = \frac{1}{2} \frac{I_t I_b}{I_t + I_b} \omega_i^2$।

(C) चूंकि निकाय प्रारंभ में स्थिर है,इसलिए प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = 0$ है।
कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,अंतिम कोणीय संवेग $L_f$ भी $0$ होना चाहिए।
माना प्लेटफॉर्म का कोणीय वेग $\omega$ है। व्यक्ति का कोणीय संवेग $L_m = m v R$ है और प्लेटफॉर्म का कोणीय संवेग $L_p = I \omega$ है।
कुल कोणीय संवेग शून्य होने के कारण,व्यक्ति और प्लेटफॉर्म विपरीत दिशाओं में गति करते हैं: $m v R - I \omega = 0$.
$\omega = \frac{m v R}{I} = \frac{50 \times 1 \times 2}{200} = 0.5 \, rad/s$.
जमीन के सापेक्ष व्यक्ति का कोणीय वेग $\omega_m = \frac{v}{R} = \frac{1}{2} = 0.5 \, rad/s$ है।
प्लेटफॉर्म के सापेक्ष व्यक्ति का कोणीय वेग $\omega_r = \omega_m + \omega = 0.5 + 0.5 = 1 \, rad/s$ है।
एक चक्कर पूरा करने में लिया गया समय $T = \frac{2\pi}{\omega_r} = \frac{2\pi}{1} = 2\pi \, s$ है।

(C) चूंकि तनाव बल वृत्त के केंद्र की ओर कार्य करता है,इसलिए केंद्र के परितः टॉर्क शून्य है। अतः,द्रव्यमान $m$ का कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।
प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = m v_0 R_0$ है।
अंतिम कोणीय संवेग $L_f = m v R$ है,जहाँ $R = \frac{R_0}{2}$ है।
कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,$L_i = L_f$:
$m v_0 R_0 = m v \left( \frac{R_0}{2} \right)$
$v = 2 v_0$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2} m v_0^2$ है।
अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m (2 v_0)^2 = \frac{1}{2} m (4 v_0^2) = 2 m v_0^2$ होगी।

(B) मूल बिंदु के परितः कोणीय संवेग के संरक्षण के लिए,कण पर कार्य करने वाला कुल बल आघूर्ण (टॉर्क) $\overrightarrow{\tau}$ शून्य होना चाहिए।
परिभाषा के अनुसार,$\overrightarrow{\tau} = \overrightarrow{R} \times \overrightarrow{F}$।
यहाँ $\overrightarrow{R} = 2\hat{i} - 6\hat{j} - 12\hat{k}$ और $\overrightarrow{F} = \alpha \hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k}$ दिया गया है।
सदिश गुणनफल की गणना करने पर:
$\overrightarrow{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -6 & -12 \\ \alpha & 3 & 6 \end{vmatrix}$
$\overrightarrow{\tau} = \hat{i}(-36 - (-36)) - \hat{j}(12 - (-12\alpha)) + \hat{k}(6 - (-6\alpha))$
$\overrightarrow{\tau} = \hat{i}(0) - \hat{j}(12 + 12\alpha) + \hat{k}(6 + 6\alpha)$
$\overrightarrow{\tau} = 0$ होने के लिए,$\hat{j}$ और $\hat{k}$ दोनों घटकों को शून्य होना चाहिए:
$12 + 12\alpha = 0 \implies \alpha = -1$
$6 + 6\alpha = 0 \implies \alpha = -1$
अतः,$\alpha$ का मान $-1$ है।

(D) छड़ का उसके केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः प्रारंभिक जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{ML^2}{12}$ है।
प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_1 = I_1 \omega = \frac{ML^2}{12} \omega$.
जब $\frac{M}{3}$ द्रव्यमान की दो वस्तुओं को सिरों पर जोड़ा जाता है,तो नया जड़त्व आघूर्ण $I_2$ होगा:
$I_2 = I_{\text{rod}} + I_{\text{objects}} = \frac{ML^2}{12} + \left(\frac{M}{3}\right)\left(\frac{L}{2}\right)^2 + \left(\frac{M}{3}\right)\left(\frac{L}{2}\right)^2$
$I_2 = \frac{ML^2}{12} + \frac{ML^2}{12} + \frac{ML^2}{12} = \frac{3ML^2}{12} = \frac{ML^2}{4}$.
कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,$L_1 = L_2$:
$\frac{ML^2}{12} \omega = \frac{ML^2}{4} \omega'$
$\omega' = \frac{4}{12} \omega = \frac{1}{3} \omega$.

(D) प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = I\omega_1 + I\omega_2$.
माना संयुक्त निकाय की अंतिम कोणीय गति $\omega$ है।
अंतिम कोणीय संवेग $L_f = (I + I)\omega = 2I\omega$.
कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,$L_i = L_f$:
$I\omega_1 + I\omega_2 = 2I\omega \implies \omega = \frac{\omega_1 + \omega_2}{2}$.
प्रारंभिक घूर्णन गतिज ऊर्जा $E_i = \frac{1}{2}I\omega_1^2 + \frac{1}{2}I\omega_2^2 = \frac{1}{2}I(\omega_1^2 + \omega_2^2)$.
अंतिम घूर्णन गतिज ऊर्जा $E_f = \frac{1}{2}(2I)\omega^2 = I \left( \frac{\omega_1 + \omega_2}{2} \right)^2 = \frac{I}{4}(\omega_1^2 + \omega_2^2 + 2\omega_1\omega_2)$.
ऊर्जा की हानि $\Delta E = E_i - E_f = \frac{I}{2}(\omega_1^2 + \omega_2^2) - \frac{I}{4}(\omega_1^2 + \omega_2^2 + 2\omega_1\omega_2)$.
$\Delta E = \frac{I}{4} [2\omega_1^2 + 2\omega_2^2 - \omega_1^2 - \omega_2^2 - 2\omega_1\omega_2] = \frac{I}{4}(\omega_1^2 + \omega_2^2 - 2\omega_1\omega_2) = \frac{I}{4}(\omega_1 - \omega_2)^2$.

(C) कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,यदि किसी निकाय पर कार्य करने वाला कुल बाह्य बल आघूर्ण (टॉर्क) शून्य है,तो निकाय का कुल कोणीय संवेग स्थिर रहता है।
इस मामले में,गोला मुक्त आकाश में स्वतंत्र रूप से घूम रहा है,जिसका अर्थ है कि उस पर कोई बाह्य टॉर्क कार्य नहीं कर रहा है $({\tau_{ext}} = 0)$।
चूंकि ${\tau_{ext}} = \frac{dL}{dt} = 0$,इसलिए कोणीय संवेग $(L)$ स्थिर रहना चाहिए।
जब गोले की त्रिज्या बढ़ती है,तो उसका जड़त्व आघूर्ण $(I = \frac{2}{5}MR^2)$ बढ़ जाता है। चूंकि $L = I\omega$ स्थिर है,इसलिए कोणीय वेग $(\omega)$ कम हो जाएगा और घूर्णन गतिज ऊर्जा $(K = \frac{L^2}{2I})$ भी बदल जाएगी। अतः,केवल कोणीय संवेग ही स्थिर रहता है।

(C) बल आघूर्ण और कोणीय संवेग के बीच संबंध के अनुसार,कोणीय संवेग के परिवर्तन की दर निकाय पर लगाए गए बाह्य बल आघूर्ण के बराबर होती है: $\tau = \frac{dL}{dt}$।
यदि बाह्य बल आघूर्ण $\tau = 0$ है,तो $\frac{dL}{dt} = 0$ होगा।
इसका अर्थ है कि कोणीय संवेग $L$ परिमाण और दिशा दोनों में नियत रहता है।

(C) बल आघूर्ण $\vec{\tau}$ और कोणीय संवेग $\vec{L}$ के बीच का संबंध $\vec{\tau} = \frac{d\vec{L}}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
यदि कुल बल आघूर्ण $\vec{\tau} = 0$ है,तो $\frac{d\vec{L}}{dt} = 0$ होगा।
इसका अर्थ है कि $\vec{L}$ एक नियत सदिश है।
एक नियत सदिश का परिमाण और दिशा दोनों स्थिर होते हैं।
अतः,कोणीय संवेग परिमाण और दिशा दोनों में नियत रहता है।

(A) कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,$L = I\omega = mr^2\omega = \text{नियतांक}$.
चूंकि द्रव्यमान $m$ स्थिर रहता है,इसलिए $r_1^2\omega_1 = r_2^2\omega_2$ होगा।
दिया गया है: $r_1 = 0.8 \ m$,$\omega_1 = 44 \ rad/s$,$r_2 = 1 \ m$.
मान रखने पर: $(0.8)^2 \times 44 = (1)^2 \times \omega_2$.
$0.64 \times 44 = \omega_2$.
$\omega_2 = 28.16 \ rad/s$.

(B) कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,किसी निकाय का कोणीय संवेग $\vec{L}$ तब संरक्षित रहता है जब निकाय पर कार्य करने वाला कुल बाह्य बल आघूर्ण (टॉर्क) $\vec{\tau}_{ext}$ शून्य हो।
यह संबंध $\vec{\tau}_{ext} = \frac{d\vec{L}}{dt}$ से प्राप्त होता है।
यदि $\vec{\tau}_{ext} = 0$ है,तो $\frac{d\vec{L}}{dt} = 0$ होगा,जिसका अर्थ है कि $\vec{L} = \text{स्थिरांक}$।
अतः,सही शर्त यह है कि निकाय पर कोई बाह्य बल आघूर्ण कार्य नहीं करना चाहिए।

(C) कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रारंभिक कोणीय संवेग अंतिम कोणीय संवेग के बराबर होता है।
$L_i = L_f$
$I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$
यहाँ,पहली वलय का केंद्र से गुजरने वाले अक्ष के परित: जड़त्व आघूर्ण $I_1 = MR^2$ है।
जब दूसरी वलय को समाक्षीय रूप से रखा जाता है,तो कुल जड़त्व आघूर्ण $I_2 = I_1 + I_{ring2} = MR^2 + (\frac{M}{4})R^2 = \frac{5}{4}MR^2$ हो जाता है।
इन मानों को संरक्षण समीकरण में रखने पर:
$MR^2 \omega = (\frac{5}{4}MR^2) \omega_2$
$\omega_2 = \frac{4}{5} \omega$.

(A) चूंकि नर्तकी पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए निकाय का कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।
कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार: $L = I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$।
दिया गया है: प्रारंभिक जड़त्व आघूर्ण $I_1 = I$,प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_1 = 20 \ rad/s$,और अंतिम कोणीय वेग $\omega_2 = 10 \ rad/s$।
समीकरण में मान रखने पर: $I \times 20 = I_2 \times 10$।
नए जड़त्व आघूर्ण $I_2$ के लिए हल करने पर: $I_2 = \frac{20}{10} I = 2I$।

(D) जब बच्चा घूमती हुई चकती पर बैठता है,तो घूर्णन अक्ष के परितः निकाय (चकती + बच्चा) पर कोई बाह्य बल आघूर्ण (टॉर्क) कार्य नहीं करता है। कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,यदि कुल बाह्य बल आघूर्ण $\tau_{ext} = 0$ है,तो निकाय का कोणीय संवेग $L$ नियत रहता है। अतः,कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।

(A) चूँकि कोई बाह्य बल आघूर्ण आरोपित नहीं है,इसलिए पिण्ड का कोणीय संवेग $L$ संरक्षित रहता है।
$L = I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$
हम जानते हैं कि जड़त्व आघूर्ण $I = MK^2$ होता है,जहाँ $M$ द्रव्यमान है और $K$ घूर्णन त्रिज्या है।
इस मान को संरक्षण समीकरण में रखने पर:
$M K_1^2 \omega_1 = M K_2^2 \omega_2$
$K_1^2 \omega_1 = K_2^2 \omega_2$
$\frac{K_1^2}{K_2^2} = \frac{\omega_2}{\omega_1}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें घूर्णन त्रिज्याओं का अनुपात प्राप्त होता है:
$\frac{K_1}{K_2} = \sqrt{\frac{\omega_2}{\omega_1}}$
अतः,अनुपात $K_1 : K_2 = \sqrt{\omega_2} : \sqrt{\omega_1}$ होगा।

(A) कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार, $L = I \omega = \text{स्थिरांक}$.
पृथ्वी को एक ठोस गोले के रूप में मानने पर, इसका जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}MR^2$ होता है।
प्रारंभ में, $I_1 = \frac{2}{5}MR^2$ और समय अवधि $T_1 = 24 \text{ घंटे}$ है।
जब त्रिज्या आधी कर दी जाती है, $R_2 = \frac{R}{2}$, तो नया जड़त्व आघूर्ण $I_2 = \frac{2}{5}M(\frac{R}{2})^2 = \frac{1}{4}I_1$ हो जाता है।
$I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$ का उपयोग करने पर, हमें मिलता है $I_1 (\frac{2\pi}{T_1}) = I_2 (\frac{2\pi}{T_2})$.
मान रखने पर: $I_1 (\frac{2\pi}{24}) = (\frac{1}{4}I_1) (\frac{2\pi}{T_2})$.
इसे सरल करने पर $\frac{1}{24} = \frac{1}{4T_2}$ प्राप्त होता है, जिससे $T_2 = \frac{24}{4} = 6 \text{ घंटे}$ होता है।

(C) कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,यदि निकाय पर कोई बाह्य बल आघूर्ण (torque) कार्य नहीं करता है,तो कोणीय संवेग $L$ नियत रहता है।
चूंकि प्लास्टिक की बूंद चकती पर चिपक जाती है,इसलिए निकाय का जड़त्व आघूर्ण $I$ बढ़ जाता है।
चूंकि $L = I\omega$ और $L$ नियत है,इसलिए $I$ में वृद्धि होने पर कोणीय वेग $\omega$ का मान घट जाता है।
अतः,केवल कोणीय संवेग $L$ ही नियत रहता है।

(B) कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार, $L = I\omega = \text{नियत}$.
जब व्यक्ति अपनी भुजाओं को अंदर की ओर सिकोड़ता है, तो द्रव्यमान का वितरण घूर्णन अक्ष के करीब आ जाता है, जिससे जड़त्व आघूर्ण $(I)$ कम हो जाता है।
चूँकि $L$ नियत है, यदि $I$ घटता है, तो कोणीय वेग $(\omega)$ को इसकी भरपाई के लिए बढ़ना होगा।
अतः, जड़त्व आघूर्ण घट जाता है और कोणीय वेग बढ़ जाता है।

(C) कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,जुड़ने से पहले का कुल कोणीय संवेग जुड़ने के बाद के कुल कोणीय संवेग के बराबर होता है।
$I_1\omega_1 + I_2\omega_2 = (I_1 + I_2)\omega$
जहाँ $\omega$ निकाय का उभयनिष्ठ कोणीय वेग है।
अतः,उभयनिष्ठ कोणीय वेग $\omega = \frac{I_1\omega_1 + I_2\omega_2}{I_1 + I_2}$ है।
निकाय की घूर्णन गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} I_{total} \omega^2$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$K = \frac{1}{2} (I_1 + I_2) \left( \frac{I_1\omega_1 + I_2\omega_2}{I_1 + I_2} \right)^2$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर,हमें $K = \frac{(I_1\omega_1 + I_2\omega_2)^2}{2(I_1 + I_2)}$ प्राप्त होता है।

(D) कोणीय संवेग संरक्षण का सिद्धांत यह बताता है कि यदि किसी निकाय पर कार्य करने वाला कुल बाह्य बल आघूर्ण (टॉर्क) शून्य है, तो निकाय का कोणीय संवेग नियत रहता है।
गणितीय रूप से, यदि $\tau_{ext} = 0$ है, तो $\frac{dL}{dt} = 0$ होगा, जिसका अर्थ है कि $L = \text{नियत}$।
विकल्प $A$ गलत है क्योंकि यह केवल बाह्य बल आघूर्ण की अनुपस्थिति में ही संरक्षित रहता है।
विकल्प $B$ गलत है क्योंकि कोणीय संवेग जड़त्व आघूर्ण और कोणीय वेग का गुणनफल होता है $(L = I\omega)$।
विकल्प $C$ गलत है क्योंकि इसके लिए बल आघूर्ण का शून्य होना आवश्यक है, न कि केवल नियत होना।
अतः, सही उत्तर $D$ है।

(D) कोणीय संवेग के संरक्षण के नियम के अनुसार,यदि निकाय पर कोई बाह्य बल आघूर्ण (torque) कार्य नहीं करता है,तो कोणीय संवेग $(L)$ नियत रहता है।
$L = I \omega$,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $\omega$ कोणीय वेग है।
जब व्यक्ति अपने हाथों को फैलाता है,तो जड़त्व आघूर्ण $(I)$ का मान बढ़ जाता है क्योंकि द्रव्यमान घूर्णन अक्ष से दूर चला जाता है।
कोणीय संवेग $(L)$ को नियत बनाए रखने के लिए,कोणीय वेग $(\omega)$ का मान घट जाता है।
अतः,कोणीय संवेग अपरिवर्तित रहता है।

(A) कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार, $L = I\omega = \text{नियतांक}$.
चूंकि पृथ्वी एक गोला है, इसका जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}MR^2$ होता है।
अतः, $I \propto R^2$.
चूंकि $L = I\omega = I \cdot \frac{2\pi}{T}$, इसलिए $I_1 \cdot \frac{1}{T_1} = I_2 \cdot \frac{1}{T_2}$, जिसका अर्थ है $T \propto I \propto R^2$.
यदि त्रिज्या $R$ घटकर $R' = \frac{R}{2}$ हो जाती है, तो नया आवर्त काल $T' = T \cdot (\frac{R'}{R})^2 = T \cdot (\frac{1}{2})^2 = \frac{T}{4}$ होगा।
वर्तमान दिन की अवधि $T = 24 \text{ घंटे}$ है, इसलिए नई अवधि $T' = \frac{24}{4} = 6 \text{ घंटे}$ होगी।
दिन की अवधि में कमी $\Delta T = T - T' = 24 - 6 = 18 \text{ घंटे}$ है।

(A) घूमती हुई चकती का कोणीय संवेग $L = I\omega$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I = \frac{1}{2}MR^2$ जड़त्व आघूर्ण है।
चूंकि कोई बाहरी टॉर्क नहीं लगाया गया है,इसलिए कोणीय संवेग संरक्षित रहता है,अर्थात $L = \text{नियतांक}$.
इसलिए,$I_1\omega_1 = I_2\omega_2$.
जड़त्व आघूर्ण का मान रखने पर: $(\frac{1}{2}MR_1^2)\omega_1 = (\frac{1}{2}MR_2^2)\omega_2$.
दिया गया है कि $R_2 = \frac{R_1}{2}$,इसलिए $R_1^2\omega_1 = (\frac{R_1}{2})^2\omega_2$.
$R_1^2\omega_1 = \frac{R_1^2}{4}\omega_2$.
$\omega_2$ के लिए हल करने पर,हमें प्राप्त होता है $\omega_2 = 4\omega_1$.
अतः,कोणीय वेग मूल मान का चार गुना हो जाएगा।

(D) कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,$L = I\omega = \text{नियत}$.
जब बर्फ पिघलती है,तो पानी टेबल की सतह पर फैल जाता है,जिससे घूर्णन अक्ष से द्रव्यमान की दूरी बढ़ जाती है।
द्रव्यमान के वितरण में इस वृद्धि के कारण निकाय का जड़त्व आघूर्ण $(I)$ बढ़ जाता है।
चूंकि $L$ नियत रहता है और $I$ बढ़ता है,इसलिए समीकरण $\omega = L/I$ को संतुष्ट करने के लिए कोणीय वेग $\omega$ को कम होना चाहिए।
अतः,निकाय की घूर्णन गति $\omega$ से कम हो जायेगी।

(B) घूर्णी गतिज ऊर्जा $E$ का सूत्र $E = \frac{L^2}{2I}$ है,जहाँ $L$ कोणीय संवेग है और $I$ जड़त्व आघूर्ण है।
चूंकि निकाय पर कोई बाहरी बल आघूर्ण (टॉर्क) कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए कोणीय संवेग $L$ नियत रहता है।
संबंध $E \propto \frac{1}{I}$ से यह स्पष्ट है कि यदि जड़त्व आघूर्ण $I$ बढ़ता है,तो गतिज ऊर्जा $E$ कम हो जाएगी।
पहली स्थिति में,$I_1 = 1 \ kg \cdot m^2$ है। दूसरी स्थिति में,$I_2 = 2 \ kg \cdot m^2$ है।
चूंकि $I_2 > I_1$ है,इसलिए दूसरी स्थिति में गतिज ऊर्जा पहली स्थिति की तुलना में कम होगी।

(D) कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार, जब निकाय पर कोई बाह्य बल आघूर्ण (torque) कार्य नहीं करता है, तो $L = I\omega = \text{नियत}$ रहता है।
जब व्यक्ति अपने हाथों को शरीर के करीब सिकोड़ता है, तो निकाय का जड़त्व आघूर्ण $(I)$ कम हो जाता है क्योंकि द्रव्यमान का वितरण घूर्णन अक्ष के करीब आ जाता है।
चूंकि $L$ नियत रहता है, यदि $I$ का मान कम होता है, तो कोणीय वेग $(\omega)$ को इसकी भरपाई के लिए बढ़ना होगा।
अतः, सही कथन यह है कि कोणीय वेग बढ़ता है।

(C) कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,यदि किसी निकाय पर कोई बाह्य बल आघूर्ण (torque) कार्य नहीं करता है,तो कोणीय संवेग $(L = I\omega)$ नियत रहता है।
जब व्यक्ति अपनी भुजाओं को अंदर की ओर सिकोड़ता है,तो जड़त्व आघूर्ण $(I)$ कम हो जाता है।
चूंकि $L = I\omega$ नियत है,यदि $I$ कम होता है,तो कोणीय वेग $(\omega)$ बढ़ जाता है,जिससे व्यक्ति तेजी से घूमने लगता है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $K = \frac{L^2}{2I}$ द्वारा दी जाती है। चूंकि $L$ नियत है और $I$ घटता है,इसलिए गतिज ऊर्जा $(K)$ में वृद्धि होती है।

(B) कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,$L = I\omega = \text{नियतांक}$.
जब व्यक्ति द्रव्यमानों को गिरा देता है,तो निकाय का जड़त्व आघूर्ण $(I)$ कम हो जाता है क्योंकि घूर्णन अक्ष से कुछ दूरी पर स्थित द्रव्यमान निकाय से हट जाता है।
चूंकि $L = I\omega$ नियत रहता है,यदि $I$ का मान घटता है,तो कोणीय वेग $\omega$ को बढ़ना होगा ताकि संतुलन बना रहे।
अतः,नया कोणीय वेग प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega$ से अधिक होगा।

(A) जब डोरी को नीचे की ओर खींचा जाता है,तो हाथ द्वारा लगाया गया बल वृत्ताकार पथ की त्रिज्या के अनुदिश (केंद्र की ओर) कार्य करता है।
चूंकि बल त्रिज्यीय है,इसलिए वृत्त के केंद्र के परितः बल आघूर्ण $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ शून्य होता है क्योंकि स्थिति सदिश $\vec{r}$ और बल $\vec{F}$ के बीच का कोण $180^{\circ}$ (या संदर्भ के अनुसार $0^{\circ}$) है।
कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,यदि किसी निकाय पर कार्य करने वाला कुल बाह्य बल आघूर्ण शून्य है,तो कोणीय संवेग $L = mvr$ संरक्षित रहता है।
अतः,वस्तु का कोणीय संवेग नियत रहता है।

(A) अपने हाथ और पैरों को भीतर की ओर मोड़ने से,तैराक अपने जड़त्व आघूर्ण $(I)$ को कम कर लेता है।
कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,$L = I\omega$ स्थिर रहता है।
चूंकि $I$ कम हो जाता है,इसलिए कोणीय वेग $(\omega)$ बढ़ जाता है,जिससे तैराक आसानी से कलाबाजी कर सकता है।

(C) कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,चूंकि दो डिस्क के निकाय पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं करता है,इसलिए कुल कोणीय संवेग स्थिर रहता है।
निकाय का प्रारंभिक कोणीय संवेग: $L_{i} = I_{1}\omega + I_{2}(0) = I_{1}\omega$.
डिस्क के जुड़ने के बाद निकाय का अंतिम कोणीय संवेग: $L_{f} = (I_{1} + I_{2})\omega_{f}$,जहाँ $\omega_{f}$ अंतिम कोणीय वेग है।
प्रारंभिक और अंतिम कोणीय संवेग की तुलना करने पर: $I_{1}\omega = (I_{1} + I_{2})\omega_{f}$.
अंतिम कोणीय वेग के लिए हल करने पर: $\omega_{f} = \frac{I_{1}\omega}{I_{1} + I_{2}}$.

(B) कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,यदि किसी निकाय पर कोई बाह्य बल आघूर्ण (torque) कार्य नहीं करता है,तो कुल कोणीय संवेग नियत रहता है। चूँकि गोला मुक्त स्थान में घूर्णन कर रहा है,इसलिए इस पर कोई बाह्य बल आघूर्ण कार्य नहीं कर रहा है। अतः,त्रिज्या बदलने पर भी कोणीय संवेग प्रभावित नहीं होगा।

(A) बल आघूर्ण $\vec{\tau}$ और कोणीय संवेग $\vec{L}$ के बीच का संबंध इस समीकरण द्वारा दिया जाता है: $\vec{\tau} = \frac{d\vec{L}}{dt}$.
यदि बाह्य बल आघूर्ण $\vec{\tau} = 0$ है,तो $\frac{d\vec{L}}{dt} = 0$ होगा।
इसका अर्थ है कि $\vec{L} = \text{नियतांक}$ (constant)।
अतः,निकाय का कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।

(A) कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार, $L = I\omega = \text{नियतांक}$.
जब तैराक अपने शरीर को मोड़ता है, तो वह अपने द्रव्यमान को घूर्णन अक्ष के करीब लाता है।
यह क्रिया उसके जड़त्व आघूर्ण $(I)$ को काफी कम कर देती है।
चूंकि $L$ स्थिर रहता है, इसलिए $I$ में कमी के परिणामस्वरूप कोणीय वेग $(\omega)$ में वृद्धि होती है, जिससे तैराक अधिक प्रभावी ढंग से कलाबाजी कर पाता है।
अतः, सही विकल्प $A$ है।

(B) किसी निकाय के कोणीय संवेग के परिवर्तन की दर उस पर कार्य करने वाले कुल बाह्य बल आघूर्ण के बराबर होती है,जिसे समीकरण $\vec{\tau}_{ext} = \frac{d\vec{L}}{dt}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
यदि कुल बाह्य बल आघूर्ण $\vec{\tau}_{ext} = 0$ है,तो $\frac{d\vec{L}}{dt} = 0$ होगा,जिसका अर्थ है कि कोणीय संवेग $\vec{L}$ स्थिर (संरक्षित) रहता है।
इसलिए,यदि निकाय पर कोई कुल बाह्य बल आघूर्ण कार्य करता है,तो कोणीय संवेग संरक्षित नहीं रहता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार, $L = I\omega = \text{नियत}$.
जैसे-जैसे व्यक्ति प्लेट के किनारे से केंद्र की ओर चलता है, घूर्णन अक्ष से व्यक्ति की दूरी कम हो जाती है।
इसके परिणामस्वरूप निकाय के जड़त्व आघूर्ण $(I)$ में कमी आती है $(I = \sum mr^2)$.
चूंकि कोणीय संवेग $(L)$ संरक्षित रहता है और $I$ का मान घटता है, इसलिए $L$ को नियत बनाए रखने के लिए कोणीय वेग $(\omega = L/I)$ का मान बढ़ जाएगा।