Conservation of angular momentum (combined translation and rotational motion) Questions in Hindi

(C) टक्कर से पहले,गोली $v$ वेग से गति कर रही है। कब्ज़ा बिंदु $O$ के परितः निकाय का प्रारंभिक कोणीय संवेग $J = m v L$ है।
गोली के छड़ में धंस जाने के बाद,मान लीजिए कि निकाय $\omega$ कोणीय वेग प्राप्त कर लेता है। $O$ से गुजरने वाली अक्ष के परितः गोली-छड़ निकाय का जड़त्व आघूर्ण है:
$I = I_{\text{bullet}} + I_{\text{rod}} = m L^2 + \frac{1}{3} M L^2 = \left( \frac{M + 3m}{3} \right) L^2$.
कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,प्रारंभिक कोणीय संवेग = अंतिम कोणीय संवेग:
$J = J' \implies m v L = I \omega$
$m v L = \left( \frac{M + 3m}{3} \right) L^2 \omega$
$\omega$ के लिए हल करने पर:
$\omega = \frac{3 m v}{(M + 3m) L}$.

(A) अनुप्रस्थ अक्ष के परितः वलय का प्रारंभिक जड़त्व आघूर्ण $I = M R^2$ है। प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = I \omega = M R^2 \omega$ है।
जब $m$ द्रव्यमान की दो वस्तुओं को व्यास के विपरीत सिरों पर जोड़ा जाता है,तो नया जड़त्व आघूर्ण $I' = M R^2 + m R^2 + m R^2 = (M + 2m) R^2$ हो जाता है।
चूंकि निकाय पर कोई बाहरी बल आघूर्ण कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए कोणीय संवेग संरक्षित रहता है,अतः $L_i = L_f$।
$M R^2 \omega = (M + 2m) R^2 \omega'$
$\omega' = \frac{M R^2 \omega}{(M + 2m) R^2} = \frac{M \omega}{M + 2m}$.

(A) प्रारंभिक रैखिक वेग $= v$
प्रारंभिक त्रिज्या $= r$
कोणीय संवेग $L = mvr$
जब डोरी की लंबाई आधी कर दी जाती है,तो नई त्रिज्या $r' = \frac{r}{2}$ हो जाती है।
चूंकि कोणीय संवेग $L$ स्थिर रहता है:
$mvr = mv'r'$
$mvr = mv' \left(\frac{r}{2}\right)$
$v = \frac{v'}{2}$
$v' = 2v$
अतः,नया रैखिक वेग $2v$ होगा।

(A) चूंकि धुरी $C$ के परितः कोई बाहरी टॉर्क नहीं है,इसलिए निकाय का कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।
प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = (2m)(v)(L) + (m)(2v)(2L) = 2mvL + 4mvL = 6mvL$.
अंतिम जड़त्व आघूर्ण $I_f = I_{\text{rod}} + I_{2m} + I_{m} = \frac{(8m)(6L)^2}{12} + (2m)(L)^2 + (m)(2L)^2$.
$I_f = \frac{8m \cdot 36L^2}{12} + 2mL^2 + 4mL^2 = 24mL^2 + 2mL^2 + 4mL^2 = 30mL^2$.
$L_i = I_f \omega$ का उपयोग करने पर:
$6mvL = (30mL^2) \omega$.
$\omega = \frac{6mvL}{30mL^2} = \frac{v}{5L}$.

(C) गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ सूत्र द्वारा दिया जाता है। चूंकि द्रव्यमान स्थिर रहता है, इसलिए $V \propto R^3$ है।
यदि नया आयतन $V_2 = \frac{1}{8} V_1$ है, तो $\frac{V_2}{V_1} = \frac{R_2^3}{R_1^3} = \frac{1}{8}$ होगा।
घनमूल लेने पर, $\frac{R_2}{R_1} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है, अतः $R_2 = \frac{1}{2} R_1$ है।
कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार, $L = I \omega = \text{स्थिरांक}$ होता है।
चूंकि $I = \frac{2}{5} M R^2$ और $\omega = \frac{2 \pi}{T}$ है, इसलिए $I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$ होगा।
मान रखने पर, $\frac{2}{5} M R_1^2 \cdot \frac{2 \pi}{T_1} = \frac{2}{5} M R_2^2 \cdot \frac{2 \pi}{T_2}$ प्राप्त होता है।
यह समीकरण $\frac{R_1^2}{T_1} = \frac{R_2^2}{T_2}$ में सरल हो जाता है, जिससे $T_2 = T_1 \left( \frac{R_2}{R_1} \right)^2$ प्राप्त होता है।
$T_1 = 24$ घंटे दिए गए हैं, अतः $T_2 = 24 \cdot (1/2)^2 = 24 \cdot (1/4) = 6$ घंटे।

(D) बाह्य टॉर्क की अनुपस्थिति में पृथ्वी एक विलगित निकाय है, इसलिए इसका कोणीय संवेग $L = I\omega$ स्थिर रहता है।
जब ध्रुवों पर बर्फ पिघलती है और पानी भूमध्य रेखा की ओर बहता है, तो पृथ्वी का द्रव्यमान वितरण इस प्रकार बदल जाता है कि अधिक द्रव्यमान घूर्णन अक्ष से दूर केंद्रित हो जाता है।
इससे पृथ्वी का जड़त्व आघूर्ण $I$ बढ़ जाता है $(I = \sum mr^2)$।
चूंकि $L = I\omega$ स्थिर है, इसलिए $I$ में वृद्धि के परिणामस्वरूप कोणीय वेग $\omega$ में कमी आनी चाहिए।
चूंकि $\omega = 2\pi / T$, जहाँ $T$ दिन की अवधि है, $\omega$ में कमी आने से दिन की अवधि $T$ में वृद्धि होती है।

(C) 'ग्राउंड चक्कर' का घूमना एक घूर्णी गति है जिसमें इसकी घूर्णन अवस्था को बदलने के लिए निकाय पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं करता है।
घूर्णन के लिए न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,टॉर्क $\tau$,कोणीय संवेग $L$ के परिवर्तन की दर के बराबर होता है,जिसे $\tau = \frac{dL}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि 'ग्राउंड चक्कर' पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं कर रहा है $(\tau = 0)$,इसलिए कोणीय संवेग के परिवर्तन की दर शून्य है,जिसका अर्थ है कि $\frac{dL}{dt} = 0$।
अतः,कोणीय संवेग $L$ स्थिर रहता है।
यह घटना कोणीय संवेग संरक्षण के नियम पर आधारित है।

(A) चूंकि निकाय पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए निकाय का कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।
$L_i = L_f$
$I_i \omega_i = I_f \omega_f$
प्रारंभ में,लड़का केंद्र पर है,इसलिए उसका जड़त्व आघूर्ण शून्य है। डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I_{\text{disc}} = \frac{1}{2} M R^2$ है।
$I_i = \frac{1}{2} \times 100 \times 2^2 = 200 \ kg \cdot m^2$.
अंत में,लड़का केंद्र से $r = 1 \ m$ की दूरी पर है। उसका जड़त्व आघूर्ण $I_{\text{boy}} = m r^2 = 60 \times 1^2 = 60 \ kg \cdot m^2$ है।
निकाय का अंतिम जड़त्व आघूर्ण $I_f = I_{\text{disc}} + I_{\text{boy}} = 200 + 60 = 260 \ kg \cdot m^2$ है।
कोणीय संवेग संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए:
$200 \times 1 = 260 \times \omega_f$
$\omega_f = \frac{200}{260} = \frac{20}{26} \approx 0.77 \ rad/s$.

(A) दिया गया है: पहली डिस्क का द्रव्यमान $m_1 = M$,त्रिज्या $r_1 = R$,और प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_1 = \omega$ है।
पहली डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{1}{2} M R^2$ है।
दूसरी डिस्क का द्रव्यमान $m_2 = \frac{1}{8} M$ और त्रिज्या $r_2 = R$ है।
दूसरी डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I_2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{8} M) R^2 = \frac{1}{16} M R^2$ है।
जब दूसरी डिस्क को पहली डिस्क पर रखा जाता है,तो निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण $I_{total} = I_1 + I_2 = \frac{1}{2} M R^2 + \frac{1}{16} M R^2 = \frac{8+1}{16} M R^2 = \frac{9}{16} M R^2$ हो जाता है।
कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,$L_{initial} = L_{final}$ है।
$I_1 \omega = I_{total} \omega_{final}$
$\frac{1}{2} M R^2 \omega = \frac{9}{16} M R^2 \omega_{final}$
$\frac{1}{2} \omega = \frac{9}{16} \omega_{final}$
$\omega_{final} = \frac{16}{18} \omega = \frac{8}{9} \omega$.

(D) छड़ के द्रव्यमान केंद्र (मध्य बिंदु $O$) के परितः कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए:
प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = m(2v)(a) + (2m)(v)(2a) = 2mav + 4mav = 6mav$.
अंतिम कोणीय संवेग $L_f = I_{total} \omega$,जहाँ $I_{total}$ कणों के छड़ से चिपकने के बाद द्रव्यमान केंद्र के परितः निकाय का जड़त्व आघूर्ण है।
$I_{total} = I_{rod} + I_{m} + I_{2m} = \frac{(6m)(8a)^2}{12} + m(a)^2 + (2m)(2a)^2$.
$I_{total} = \frac{6m(64a^2)}{12} + ma^2 + 8ma^2 = 32ma^2 + ma^2 + 8ma^2 = 41ma^2$.
$L_i = L_f$ को बराबर करने पर:
$6mav = (41ma^2) \omega$.
अतः,$\omega = \frac{6mav}{41ma^2} = \frac{6v}{41a}$.

(C) पृथ्वी का कोणीय संवेग संरक्षित रहता है क्योंकि इस पर कोई बाहरी बल आघूर्ण (torque) कार्य नहीं करता है।
$L = I \omega$
चूंकि $I = \frac{2}{5} MR^2$ और $\omega = \frac{2 \pi}{T}$ है,इसलिए:
$I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$
$\frac{2}{5} MR^2 \times \frac{2 \pi}{T_1} = \frac{2}{5} M(xR)^2 \times \frac{2 \pi}{T_2}$
समान पदों को काटने पर:
$\frac{R^2}{T_1} = \frac{x^2 R^2}{T_2}$
$T_2 = T_1 x^2$
पृथ्वी का वर्तमान घूर्णन काल $T_1 = 24 \text{ घंटे}$ है,अतः नया आवर्तकाल:
$T_2 = 24 x^2 \text{ घंटे}$ होगा।

(A) कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,चूंकि निकाय पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं करता है,इसलिए प्रारंभिक कोणीय संवेग अंतिम कोणीय संवेग के बराबर होता है।
प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = I \omega_0$,जहाँ $\omega_0$ प्रारंभिक कोणीय वेग है।
जब $m$ द्रव्यमान का चूहा $R$ त्रिज्या वाले किनारे पर कूदता है,तो निकाय का नया जड़त्व आघूर्ण $I' = I + m R^2$ हो जाता है।
मान लीजिए कि नया कोणीय वेग $\omega$ है। तब,$L_f = (I + m R^2) \omega$.
$L_i = L_f$ को बराबर करने पर,हमें $I \omega_0 = (I + m R^2) \omega$ प्राप्त होता है।
अतः,$\omega = \frac{I \omega_0}{I + m R^2}$.
कोणीय वेग में आंशिक हानि $\frac{\omega_0 - \omega}{\omega_0} = 1 - \frac{\omega}{\omega_0}$ द्वारा दी जाती है।
$\omega$ का मान रखने पर,हमें $1 - \frac{I}{I + m R^2} = \frac{I + m R^2 - I}{I + m R^2} = \frac{m R^2}{I + m R^2}$ प्राप्त होता है।

(C) कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,चूंकि पृथ्वी पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं करता है,इसलिए कोणीय संवेग स्थिर रहता है: $L_1 = L_2$.
चूंकि $L = I\omega$,हमारे पास $I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$ है।
एक ठोस गोले का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}MR^2$ होता है।
मान लीजिए $R_1 = R$ और $R_2 = \frac{R}{n}$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $\frac{2}{5}MR^2 \left(\frac{2\pi}{T_1}\right) = \frac{2}{5}M\left(\frac{R}{n}\right)^2 \left(\frac{2\pi}{T_2}\right)$.
समीकरण को सरल करने पर: $R^2 \left(\frac{1}{T_1}\right) = \frac{R^2}{n^2} \left(\frac{1}{T_2}\right)$.
अतः,$T_2 = \frac{T_1}{n^2}$।
दिन की प्रारंभिक अवधि $T_1 = 24 \text{ hr}$ दी गई है,इसलिए नई अवधि $T_2 = \frac{24}{n^2} \text{ hr}$ होगी।