Conservation of angular momentum (combined translation and rotational motion) Questions in Hindi

(A) एकसमान वृत्तीय गति में, वेग सदिश की दिशा निरंतर बदलती रहती है, इसलिए रैखिक संवेग $(p = mv)$ संरक्षित नहीं रहता है क्योंकि कण पर अभिकेंद्रीय बल निरंतर कार्य करता है।
हालाँकि, वृत्तीय मार्ग के केंद्र के परितः कण पर कार्य करने वाला बल आघूर्ण $(\tau)$ शून्य होता है क्योंकि बल हमेशा केंद्र की ओर (त्रिज्यीय) कार्य करता है।
चूंकि $\tau = \frac{dL}{dt} = 0$ है, इसलिए कोणीय संवेग $(L)$ नियत (संरक्षित) रहता है।

(C) किसी भी बाह्य बल आघूर्ण (टॉर्क) की अनुपस्थिति में,निकाय का कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।
$L_{initial} = L_{final}$
$I \omega = I' \omega'$
प्रारंभ में,वलय का उसकी अक्ष के परित: जड़त्व आघूर्ण $I = MR^2$ है।
जब $m$ द्रव्यमान की दो वस्तुओं को व्यास के विपरीत सिरों पर रखा जाता है,तो वे घूर्णन अक्ष से $R$ दूरी पर होती हैं। नया जड़त्व आघूर्ण $I' = MR^2 + mR^2 + mR^2 = (M + 2m)R^2$ हो जाता है।
कोणीय संवेग संरक्षण के नियम का उपयोग करने पर:
$MR^2 \omega = (M + 2m)R^2 \omega'$
$\omega' = \frac{MR^2 \omega}{(M + 2m)R^2}$
$\omega' = \frac{\omega M}{M + 2m}$

(C) जब लड़का घूर्णन कर रहे प्लेटफार्म पर बैठता है,तो घूर्णन अक्ष के परितः निकाय (लड़का + प्लेटफार्म) पर कोई बाह्य बल आघूर्ण (टॉर्क) कार्य नहीं करता है। कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,यदि किसी निकाय पर कार्य करने वाला कुल बाह्य बल आघूर्ण शून्य है,तो निकाय का कुल कोणीय संवेग नियत रहता है। अतः,कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।

(C) केंद्रीय बल के क्षेत्र में,बल कण और बल के केंद्र को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश कार्य करता है।
चूंकि बल आघूर्ण $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = 0$ है (क्योंकि $\vec{r}$ और $\vec{F}$ संरेखीय हैं),इसलिए कोणीय संवेग के परिवर्तन की दर $\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{\tau} = 0$ होती है।
अतः,कोणीय संवेग $\vec{L}$ नियत रहता है।

(B) वलय का प्रारंभिक कोणीय संवेग $L = I\omega = Mr^2\omega$ है।
जब $m$ द्रव्यमान के दो कणों को व्यास के विपरीत सिरों पर जोड़ा जाता है,तो निकाय का नया जड़त्व आघूर्ण $I' = Mr^2 + m(r)^2 + m(r)^2 = (M + 2m)r^2$ हो जाता है।
चूँकि निकाय पर कोई बाह्य बल आघूर्ण कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए कोणीय संवेग संरक्षित रहता है: $L_{initial} = L_{final}$।
$Mr^2\omega = (M + 2m)r^2\omega'$।
नए कोणीय वेग $\omega'$ के लिए हल करने पर,हमें $\omega' = \frac{M\omega}{M + 2m}$ प्राप्त होता है।

(B) जैसे-जैसे मोती नीचे फिसलते हैं,घूर्णन अक्ष $AO$ से उनकी दूरी बढ़ती है,जिससे निकाय का जड़त्व आघूर्ण $I$ बढ़ जाता है। चूँकि घूर्णन अक्ष के परित: निकाय पर कोई बाह्य बल आघूर्ण (torque) कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए कुल कोणीय संवेग $L = I\omega$ संरक्षित रहता है।
इसके अतिरिक्त,चूँकि मोतियों पर केवल गुरुत्वाकर्षण बल और तारों द्वारा लगाया गया अभिलंब बल कार्य कर रहा है (जो विस्थापन के लंबवत होने के कारण कोई कार्य नहीं करता है),इसलिए निकाय की कुल यांत्रिक ऊर्जा (गतिज + स्थितिज) संरक्षित रहती है।

(B) निकाय पर कोई बाह्य बल आघूर्ण कार्य नहीं कर रहा है, इसलिए निकाय का कोणीय संवेग $L$ संरक्षित रहता है $(L = I\omega = \text{constant})$.
घूर्णी गतिज ऊर्जा $K$ का सूत्र $K = \frac{L^2}{2I}$ है।
चूंकि $L$ नियत है, इसलिए $K \propto \frac{1}{I}$ होगा।
माना प्रारंभिक जड़त्व आघूर्ण $I_1 = I$ और प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_1 = K$ है।
जब बच्चा अपने हाथों को फैलाता है, तो नया जड़त्व आघूर्ण $I_2 = 2I$ हो जाता है।
नई गतिज ऊर्जा $K_2 = \frac{L^2}{2I_2} = \frac{L^2}{2(2I)} = \frac{1}{2} \left( \frac{L^2}{2I} \right) = \frac{K}{2}$ होगी।
अतः, निकाय की गतिज ऊर्जा $K/2$ हो जाएगी।

(B) पृथ्वी पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए इसका कोणीय संवेग $L$ संरक्षित रहता है।
चूँकि $L = I\omega$,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $\omega$ कोणीय चाल है।
एक गोले का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}MR^2$ होता है।
यदि त्रिज्या $R$ घटती है,तो जड़त्व आघूर्ण $I$ कम हो जाता है।
चूँकि $L = I\omega$ स्थिर है,इसलिए $\omega = \frac{L}{I}$ होगा।
जैसे-जैसे $I$ घटता है,कोणीय चाल $\omega$ बढ़नी चाहिए।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) चूंकि निकाय पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए केंद्र $O$ के परितः निकाय का कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।
$O$ के परितः मनके का प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = mvR$ है।
अर्धवृत्ताकार रिंग की उसके केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{ring} = mR^2$ है।
रिंग के किनारे पर स्थित मनके का जड़त्व आघूर्ण $I_{bead} = mR^2$ है।
जब मनका रिंग के सापेक्ष स्थिर हो जाता है,तो निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_{ring} + I_{bead} = mR^2 + mR^2 = 2mR^2$ होता है।
कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,$L_i = L_f$,इसलिए $mvR = I\omega$।
$mvR = (2mR^2)\omega$।
$\omega$ के लिए हल करने पर,हमें $\omega = \frac{mvR}{2mR^2} = \frac{v}{2R}$ प्राप्त होता है।

(C) चूंकि डोरी को खींचने के लिए लगाया गया बल त्रिज्यीय (radial) है,इसलिए वृत्त के केंद्र के परितः वस्तु पर कार्य करने वाला बल-आघूर्ण (torque) शून्य है। अतः,वस्तु का कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।
$L = m v_1 r_1 = m v_2 r_2$
$\therefore v_2 = v_1 \left(\frac{r_1}{r_2}\right)$
अब,नई गतिज ऊर्जा $(K_2)$ और मूल गतिज ऊर्जा $(K_1)$ का अनुपात है:
$\frac{K_2}{K_1} = \frac{\frac{1}{2} m v_2^2}{\frac{1}{2} m v_1^2} = \left(\frac{v_2}{v_1}\right)^2$
कोणीय संवेग समीकरण से $v_2/v_1$ का मान रखने पर:
$\frac{K_2}{K_1} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2$

(A) चूंकि निकाय पर कोई बाहरी टॉर्क नहीं लगाया गया है,इसलिए कण का कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।
वृत्ताकार कक्षा में कण का कोणीय संवेग $L = I\omega = mr^2\omega$ द्वारा दिया जाता है।
कोणीय संवेग संरक्षण के नियम को लागू करने पर:
$mr_1^2 \omega_1 = mr_2^2 \omega_2$
दोनों पक्षों से द्रव्यमान $m$ को हटाने पर:
$r_1^2 \omega_1 = r_2^2 \omega_2$
दिया गया है कि $r_2 = 0.5\, r_1$,इस मान को समीकरण में रखने पर:
$r_1^2 \omega_1 = (0.5\, r_1)^2 \omega_2$
$r_1^2 \omega_1 = 0.25\, r_1^2 \omega_2$
दोनों पक्षों को $r_1^2$ से विभाजित करने पर:
$\omega_1 = 0.25\, \omega_2$
$\omega_2 = \frac{\omega_1}{0.25} = 4\, \omega_1$

(D) बाह्य टॉर्क की अनुपस्थिति में,पिंड का कोणीय संवेग $L$ संरक्षित रहता है।
$L = I \omega = \text{स्थिरांक}$,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $\omega$ कोणीय वेग है।
चूंकि $\omega = 2\pi f$ (जहाँ $f$ आवृत्ति है),इसलिए $I_1 f_1 = I_2 f_2$ होगा।
जड़त्व आघूर्ण $I = Mk^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M$ द्रव्यमान है और $k$ घूर्णन त्रिज्या है।
इसे संरक्षण समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $M k_1^2 f_1 = M k_2^2 f_2$।
चूंकि द्रव्यमान $M$ स्थिर है,इसलिए $k_1^2 f_1 = k_2^2 f_2$।
अतः,$\frac{k_1^2}{k_2^2} = \frac{f_2}{f_1}$।
दिया गया है $f_1 = 1 \text{ cy/sec}$ और $f_2 = 16 \text{ cy/sec}$,तो $\frac{k_1^2}{k_2^2} = \frac{16}{1}$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$\frac{k_1}{k_2} = \sqrt{\frac{16}{1}} = \frac{4}{1}$।
इस प्रकार,घूर्णन त्रिज्या का अनुपात $4 : 1$ है।

(D) निकाय डिस्क और बच्चे से बना है। चूंकि घूर्णन अक्ष के परितः निकाय पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए निकाय का कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।
निकाय का प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = (I + mR^2)\omega$ है।
जब बच्चा जमीन के सापेक्ष $v$ स्पर्शरेखीय वेग के साथ कूदता है,तो डिस्क के केंद्र के परितः बच्चे का कोणीय संवेग $L_{child} = mvR$ होता है।
मान लीजिए डिस्क का नया कोणीय वेग $\omega'$ है। डिस्क का अंतिम कोणीय संवेग $L_f = I\omega'$ है।
कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार:
$L_i = L_{child} + L_f$
$(I + mR^2)\omega = mvR + I\omega'$
$\omega'$ के लिए हल करने पर:
$I\omega' = (I + mR^2)\omega - mvR$
$\omega' = \frac{(I + mR^2)\omega - mvR}{I}$

(D) वलय का अपनी अक्ष के परितः प्रारंभिक जड़त्व आघूर्ण $I = mR^2$ है।
प्रारंभिक कोणीय संवेग $L = I\omega = mR^2\omega$ है।
जब $M$ द्रव्यमान की दो वस्तुओं को व्यास के विपरीत सिरों पर जोड़ा जाता है,तो नया जड़त्व आघूर्ण $I'$ वलय के जड़त्व आघूर्ण और दोनों बिंदु द्रव्यमानों के जड़त्व आघूर्ण का योग हो जाता है: $I' = mR^2 + M R^2 + M R^2 = (m + 2M)R^2$।
चूंकि निकाय पर कोई बाह्य बल आघूर्ण (torque) कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए कोणीय संवेग संरक्षित रहता है: $L_{initial} = L_{final}$।
$mR^2\omega = (m + 2M)R^2\omega'$
$\omega'$ के लिए हल करने पर:
$\omega' = \frac{mR^2\omega}{(m + 2M)R^2} = \frac{\omega m}{(m + 2M)}$।

(D) हम जानते हैं कि टॉर्क $\vec{\tau}$ को कोणीय संवेग $\vec{L}$ के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो $\vec{\tau} = \frac{d\vec{L}}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
केंद्रीय बल वह बल है जो कण और बल के केंद्र (मूल बिंदु) को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश कार्य करता है। चूंकि स्थिति सदिश $\vec{r}$ और बल सदिश $\vec{F}$ एक ही रेखा में होते हैं,इसलिए टॉर्क $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ शून्य होता है।
चूंकि $\vec{\tau} = 0$ है,इसलिए संबंध $\frac{d\vec{L}}{dt} = 0$ से यह स्पष्ट है कि कोणीय संवेग $\vec{L}$ समय के साथ स्थिर रहता है।

(B) निकाय डिस्क और कीड़े से मिलकर बना है। चूंकि निकाय पर कोई बाह्य बल आघूर्ण (torque) कार्य नहीं कर रहा है, इसलिए कोणीय संवेग $L = I\omega$ नियत रहता है।
जैसे-जैसे कीड़ा किनारे से केंद्र की ओर चलता है, घूर्णन अक्ष से कीड़े की दूरी कम होती जाती है, जिससे निकाय का जड़त्व आघूर्ण $I$ घट जाता है।
चूंकि $L = I\omega$ नियत है, इसलिए जैसे-जैसे $I$ घटता है, कोणीय चाल $\omega$ बढ़ती है।
जब कीड़ा केंद्र से व्यास के दूसरे सिरे की ओर चलता है, तो अक्ष से दूरी बढ़ती है, जिससे जड़त्व आघूर्ण $I$ बढ़ जाता है।
परिणामस्वरूप, जैसे-जैसे $I$ बढ़ता है, कोणीय चाल $\omega$ घटती है।
अतः, डिस्क की कोणीय चाल पहले बढ़ती है और फिर घटती है।

(B) चूंकि तनाव बल त्रिज्या के अनुदिश कार्य करता है,इसलिए वृत्त के केंद्र के परितः बल आघूर्ण (टॉर्क) शून्य है। अतः,कण का कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।
प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = m v_0 R_0$ है।
अंतिम कोणीय संवेग $L_f = m v_f (\frac{R_0}{2})$ है।
कोणीय संवेग संरक्षण के नियम से,$L_i = L_f$,इसलिए $m v_0 R_0 = m v_f (\frac{R_0}{2})$ है।
इससे $v_f = 2 v_0$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2} m v_0^2$ है।
अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2} m v_f^2 = \frac{1}{2} m (2 v_0)^2 = \frac{1}{2} m (4 v_0^2) = 4 K_i$ है।
इस प्रकार,अंतिम गतिज ऊर्जा प्रारंभिक गतिज ऊर्जा की $4$ गुनी है।

(D) अंतरिक्ष यात्रियों द्वारा अनुभव किया जाने वाला कृत्रिम गुरुत्वाकर्षण अभिकेंद्री त्वरण $g = \omega^2 L$ के कारण है,जहाँ $\omega$ कोणीय वेग है और $L$ हब से दूरी है।
प्रारंभ में,केंद्रीय हब के चारों ओर अंतरिक्ष यात्रियों का कुल जड़त्व आघूर्ण $I = 2 \cdot (N \cdot m \cdot L^2) = 2Nm L^2$ है।
जब दो अंतरिक्ष यात्री हब में चले जाते हैं,तो वे घूर्णन की धुरी पर होते हैं,इसलिए उनका जड़त्व आघूर्ण शून्य हो जाता है। नया जड़त्व आघूर्ण $I' = 2 \cdot ((N-1) \cdot m \cdot L^2) = 2(N-1)m L^2$ है।
चूंकि कोई बाहरी टॉर्क नहीं है,कोणीय संवेग संरक्षित रहता है: $I\omega = I'\omega'$.
मान रखने पर: $(2Nm L^2) \omega = (2(N-1)m L^2) \omega'$.
यह सरल होकर $N\omega = (N-1)\omega'$ हो जाता है,इसलिए $\omega' = \omega \cdot \frac{N}{N-1}$।
नया गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $g' = \omega'^2 L$ है।
अनुपात $\frac{g'}{g} = \frac{\omega'^2 L}{\omega^2 L} = \left(\frac{\omega'}{\omega}\right)^2 = \left(\frac{N}{N-1}\right)^2$ है।

(B) निकाय (पृथ्वी + लोग) का प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = (I_E + I_P)\omega_0$ लें।
जब लोग सतह के सापेक्ष $v_{rel}$ गति से दौड़ते हैं,तो पृथ्वी के केंद्र के सापेक्ष उनका वेग $v = v_{rel} + \omega R$ (यदि पूर्व की ओर दौड़ते हैं) या $v = \omega R - v_{rel}$ (यदि पश्चिम की ओर दौड़ते हैं) होता है।
कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार: $L_i = L_f$।
$I_E \omega_0 + I_P \omega_0 = I_E \omega + I_P (\omega + \frac{v_{rel}}{R})$।
$\omega$ के लिए हल करने पर: $(I_E + I_P)\omega_0 = (I_E + I_P)\omega + \frac{I_P v_{rel}}{R}$।
$\omega = \omega_0 - \frac{I_P v_{rel}}{(I_E + I_P)R}$।
यह पूर्व की ओर दौड़ते समय नया कोणीय वेग दर्शाता है। यदि पश्चिम की ओर दौड़ते हैं,तो $v_{rel}$ का चिह्न बदल जाता है,जिसके परिणामस्वरूप कोणीय वेग में वृद्धि होती है।

(D) चूंकि घूर्णन अक्ष के परितः निकाय पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए निकाय का कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।
माना डिस्क का प्रारंभिक जड़त्व आघूर्ण $I_0 = \frac{1}{2} m_0 r^2$ है।
माना प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0$ है।
प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = I_0 \omega_0$ है।
$t$ समय के बाद,अवशोषित पानी का द्रव्यमान $m_w = \mu t$ है। यह पानी डिस्क की रिम पर है,इसलिए इसका जड़त्व आघूर्ण $I_w = m_w r^2 = (\mu t) r^2$ होगा।
निकाय का नया जड़त्व आघूर्ण $I_f = I_0 + I_w = \frac{1}{2} m_0 r^2 + \mu t r^2$ है।
अंतिम कोणीय वेग $\omega_f = \frac{\omega_0}{2}$ है।
कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,$L_i = L_f \Rightarrow I_0 \omega_0 = I_f \omega_f$।
मान रखने पर: $(\frac{1}{2} m_0 r^2) \omega_0 = (\frac{1}{2} m_0 r^2 + \mu t r^2) \frac{\omega_0}{2}$।
दोनों पक्षों को $\frac{\omega_0 r^2}{2}$ से विभाजित करने पर: $m_0 = \frac{1}{2} m_0 + \mu t$।
$t$ के लिए हल करने पर: $\mu t = \frac{1}{2} m_0 \Rightarrow t = \frac{m_0}{2\mu}$।

(B) चूंकि तनाव बल केंद्र (छेद) की ओर कार्य करता है,इसलिए केंद्र के परितः टॉर्क शून्य है। अतः,डिस्क का कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।
मान लीजिए डिस्क का द्रव्यमान $m$ है। प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = m v_1 R = m (\omega_0 R) R = m R^2 \omega_0$ है।
अंतिम कोणीय संवेग $L_f = m v_2 (R/\eta) = m (\omega_f R/\eta) (R/\eta) = m (R^2/\eta^2) \omega_f$ है।
कोणीय संवेग के संरक्षण के नियम से,$L_i = L_f \Rightarrow m R^2 \omega_0 = m (R^2/\eta^2) \omega_f \Rightarrow \omega_f = \omega_0 \eta^2$।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_0 = \frac{1}{2} m v_1^2 = \frac{1}{2} m (\omega_0 R)^2 = \frac{1}{2} m R^2 \omega_0^2$ है।
अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2} m v_2^2 = \frac{1}{2} m (\omega_f \frac{R}{\eta})^2 = \frac{1}{2} m (\omega_0 \eta^2 \frac{R}{\eta})^2 = \frac{1}{2} m R^2 \omega_0^2 \eta^2 = K_0 \eta^2$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,खींचने वाले बल द्वारा किया गया कार्य $W$,गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W = K_f - K_0 = K_0 \eta^2 - K_0 = K_0 (\eta^2 - 1)$।

(B) मान लीजिए कि जमीन के सापेक्ष गोली का वेग $v_1$ है और छड़ का कोणीय वेग $\omega$ है।
बंदूक का वेग (छड़ के सिरे पर) $v_g = \omega \frac{l}{2}$ है,जो गोली की विपरीत दिशा में है।
बंदूक के सापेक्ष गोली का वेग $v_{rel} = v_1 - (-v_g) = v_1 + \omega \frac{l}{2} = v$ है।
अतः,$v_1 = v - \omega \frac{l}{2}$.
धुरी (छड़ का केंद्र) के परितः कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार:
प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = 0$.
अंतिम कोणीय संवेग $L_f = \frac{m}{10} v_1 \frac{l}{2} - I_{total} \omega = 0$.
यहाँ,$I_{total} = I_{rod} + I_{gun} = \frac{ml^2}{12} + m(\frac{l}{2})^2 = \frac{ml^2}{12} + \frac{ml^2}{4} = \frac{ml^2}{3}$.
इसलिए,$\frac{m}{10} (v - \omega \frac{l}{2}) \frac{l}{2} = \frac{ml^2}{3} \omega$.
$\frac{1}{20} (v - \omega \frac{l}{2}) = \frac{l}{3} \omega$.
$v - \omega \frac{l}{2} = \frac{20l}{3} \omega$.
$v = \omega l (\frac{20}{3} + \frac{1}{2}) = \omega l (\frac{40+3}{6}) = \omega l \frac{43}{6}$.
$\omega = \frac{6v}{43l}$.

(C) किसी बिंदु के परितः दृढ़ पिंड का कोणीय संवेग $\vec{L} = \vec{r}_{cm} \times \vec{P}_{cm} + I_{cm}\vec{\omega}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,द्रव्यमान केंद्र $(4R, 3R)$ पर है। वेग $\vec{v} = \omega R \hat{i}$ है।
$O$ के सापेक्ष द्रव्यमान केंद्र का स्थिति सदिश $\vec{r}_{cm} = 4R\hat{i} + 3R\hat{j}$ है।
संवेग $\vec{P}_{cm} = M\vec{v} = M\omega R\hat{i}$ है।
$O$ के परितः कक्षीय कोणीय संवेग: $\vec{L}_{orb} = \vec{r}_{cm} \times \vec{P}_{cm} = (4R\hat{i} + 3R\hat{j}) \times (M\omega R\hat{i}) = -3MR^2\omega \hat{k}$ है।
$O$ के परितः चक्रण कोणीय संवेग: $\vec{L}_{spin} = I_{cm}\vec{\omega} = (\frac{1}{2}MR^2)(-\omega \hat{k}) = -\frac{1}{2}MR^2\omega \hat{k}$ है।
$O$ के परितः कुल कोणीय संवेग: $\vec{L}_O = -3MR^2\omega \hat{k} - 0.5MR^2\omega \hat{k} = -3.5MR^2\omega \hat{k}$ है।
अब,बिंदु $A (0, 3R)$ के परितः जाँच करते हैं। स्थिति सदिश $\vec{r}' = 4R\hat{i}$ है।
$\vec{L}_{orb, A} = \vec{r}' \times \vec{P}_{cm} = (4R\hat{i}) \times (M\omega R\hat{i}) = 0$ है।
$\vec{L}_{spin, A} = I_{cm}\vec{\omega} = -\frac{1}{2}MR^2\omega \hat{k}$ है।
अतः,बिंदु $A$ के परितः कोणीय संवेग $-\frac{1}{2}MR^2\omega \hat{k}$ है।
दिए गए विकल्पों में से कोई भी सटीक मान से मेल नहीं खाता है,लेकिन यदि हम केवल कक्षीय कोणीय संवेग के शून्य होने पर विचार करें,तो विकल्प $C$ को अक्सर इस प्रकार के प्रश्नों में सही उत्तर माना जाता है।

(D) यह निकाय वृत्ताकार मंच और कछुए से बना है। चूंकि घूर्णन अक्ष के परितः निकाय पर कोई बाह्य बल आघूर्ण (torque) कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए निकाय का कुल कोणीय संवेग $J$ संरक्षित रहता है।
$J = I \omega = \text{स्थिरांक}$,जहाँ $I$ निकाय का जड़त्व आघूर्ण है और $\omega$ कोणीय वेग है।
निकाय का जड़त्व आघूर्ण $I = I_{\text{stage}} + I_{\text{tortoise}} = I_{\text{stage}} + m r^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ कछुए का द्रव्यमान है और $r$ घूर्णन अक्ष से उसकी लंबवत दूरी है।
जैसे-जैसे कछुआ वृत्ताकार मंच की जीवा पर चलता है,केंद्र (घूर्णन अक्ष) से उसकी दूरी $r$ पहले घटती है जब तक कि वह जीवा पर केंद्र के सबसे निकटतम बिंदु तक नहीं पहुँच जाता,और उसके बाद जैसे-जैसे वह जीवा के दूसरे सिरे की ओर बढ़ता है,यह दूरी बढ़ती है।
चूंकि $I = I_{\text{stage}} + m r^2$ है,इसलिए जैसे-जैसे $r$ घटता है,जड़त्व आघूर्ण $I$ पहले घटता है,और जैसे-जैसे $r$ बढ़ता है,यह बढ़ता है।
कोणीय संवेग के संरक्षण से,$\omega = J / I$। चूंकि $J$ स्थिर है,$\omega$ का मान $I$ के व्युत्क्रमानुपाती है। इसलिए,जैसे-जैसे $I$ घटता है,$\omega$ बढ़ता है,और जैसे-जैसे $I$ बढ़ता है,$\omega$ घटता है।
अतः,कोणीय वेग $\omega(t)$ पहले बढ़ता है और फिर घटता है। यह ग्राफ $D$ में दिखाए गए व्यवहार के अनुरूप है।

(D) चूंकि तनाव बल त्रिज्या के अनुदिश कार्य करता है,इसलिए घूर्णन केंद्र के परितः बल आघूर्ण (टॉर्क) शून्य है। अतः,द्रव्यमान का कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।
माना $m$ द्रव्यमान है,$v_1$ प्रारंभिक वेग है,और $r_1 = r$ प्रारंभिक त्रिज्या है। माना $v_2$ अंतिम वेग है और $r_2 = r/2$ अंतिम त्रिज्या है।
कोणीय संवेग संरक्षण के नियम से,$L_1 = L_2$:
$m v_1 r_1 = m v_2 r_2$
$v_1 r = v_2 (r / 2)$
$v_2 = 2 v_1$
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $KE_1 = \frac{1}{2} m v_1^2$ है।
अंतिम गतिज ऊर्जा $KE_2 = \frac{1}{2} m v_2^2 = \frac{1}{2} m (2 v_1)^2 = 4 (\frac{1}{2} m v_1^2) = 4 KE_1$ है।
अतः,गतिज ऊर्जा $4$ के गुणक से बढ़ जाएगी।

(A) मान लीजिए डिस्क $I$ का जड़त्व आघूर्ण $I_1$ और कोणीय गति $\omega_1$ है।
मान लीजिए डिस्क $II$ का जड़त्व आघूर्ण $I_2$ और कोणीय गति $\omega_2$ है।
निकाय का प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = I_1 \omega_1 + I_2 \omega_2$ है।
जब डिस्क को संपर्क में लाया जाता है,तो निकाय का अंतिम जड़त्व आघूर्ण $I = I_1 + I_2$ होता है।
मान लीजिए निकाय की अंतिम कोणीय गति $\omega$ है। कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$I_1 \omega_1 + I_2 \omega_2 = (I_1 + I_2) \omega$
$\omega = \frac{I_1 \omega_1 + I_2 \omega_2}{I_1 + I_2}$
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2} I_1 \omega_1^2 + \frac{1}{2} I_2 \omega_2^2$ है।
अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2} (I_1 + I_2) \omega^2 = \frac{1}{2} (I_1 + I_2) \left( \frac{I_1 \omega_1 + I_2 \omega_2}{I_1 + I_2} \right)^2 = \frac{(I_1 \omega_1 + I_2 \omega_2)^2}{2(I_1 + I_2)}$ है।
गतिज ऊर्जा में हानि $\Delta K = K_i - K_f = \left( \frac{1}{2} I_1 \omega_1^2 + \frac{1}{2} I_2 \omega_2^2 \right) - \frac{(I_1 \omega_1 + I_2 \omega_2)^2}{2(I_1 + I_2)}$
इस व्यंजक को सरल करने पर:
$\Delta K = \frac{I_1 I_2 (\omega_1 - \omega_2)^2}{2(I_1 + I_2)}$.

(D) कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,यदि किसी निकाय पर कार्य करने वाला कुल बाह्य बल आघूर्ण (टॉर्क) शून्य है,तो निकाय का कुल कोणीय संवेग स्थिर रहता है।
इस स्थिति में,व्यक्ति और प्लेटफॉर्म एक विलगित निकाय बनाते हैं जिस पर कोई बाह्य टॉर्क कार्य नहीं कर रहा है।
इसलिए,जब व्यक्ति अपने हाथ फैलाता है,तो जड़त्व आघूर्ण $I$ बढ़ जाता है,जिससे कोणीय वेग $\omega$ कम हो जाता है,लेकिन उनका गुणनफल $L = I\omega$ स्थिर रहता है।

(C) शुद्ध लोटनिक गति (pure rolling) के लिए,द्रव्यमान केंद्र का वेग $v = R \omega$ होता है।
जमीन पर स्थित किसी बिंदु (मूल बिंदु $O$) के परितः लुढ़कती हुई वस्तु का कोणीय संवेग,$O$ के परितः द्रव्यमान केंद्र के कोणीय संवेग और द्रव्यमान केंद्र के परितः कोणीय संवेग के योग के बराबर होता है।
$L_O = L_{cm} + L_{spin}$
$L_O = M v R + I_{cm} \omega$
चूंकि $v = R \omega$ और डिस्क का उसके केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{1}{2} M R^2$ है,इसलिए:
$L_O = M (R \omega) R + (\frac{1}{2} M R^2) \omega$
$L_O = M R^2 \omega + \frac{1}{2} M R^2 \omega$
$L_O = \frac{3}{2} M R^2 \omega$

(A) कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,चूंकि निकाय पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं करता है:
$I_t \omega_i = (I_t + I_b) \omega_f$
$\omega_f = \left( \frac{I_t}{I_t + I_b} \right) \omega_i$
निकाय की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2} I_t \omega_i^2$ है।
निकाय की अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2} (I_t + I_b) \omega_f^2$ है।
$\omega_f$ का मान रखने पर:
$K_f = \frac{1}{2} (I_t + I_b) \left( \frac{I_t}{I_t + I_b} \omega_i \right)^2 = \frac{1}{2} \frac{I_t^2}{I_t + I_b} \omega_i^2$.
घर्षण के कारण खोई गई ऊर्जा $\Delta K = K_i - K_f$ है:
$\Delta K = \frac{1}{2} I_t \omega_i^2 - \frac{1}{2} \frac{I_t^2}{I_t + I_b} \omega_i^2$
$\Delta K = \frac{1}{2} I_t \omega_i^2 \left( 1 - \frac{I_t}{I_t + I_b} \right)$
$\Delta K = \frac{1}{2} I_t \omega_i^2 \left( \frac{I_t + I_b - I_t}{I_t + I_b} \right)$
$\Delta K = \frac{1}{2} \frac{I_b I_t}{I_t + I_b} \omega_i^2$.

(C) वलय का प्रारंभिक जड़त्व आघूर्ण $I_i = MR^2$ है। प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_i = \omega$ है। प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2} I_i \omega_i^2 = \frac{1}{2} MR^2 \omega^2$ है।
चूंकि निकाय पर कोई बाहरी बल आघूर्ण (torque) कार्य नहीं करता है,इसलिए कोणीय संवेग संरक्षित रहता है: $L_i = L_f$.
$I_i \omega_i = I_f \omega_f$.
$R$ दूरी पर दो $m$ द्रव्यमान जोड़ने के बाद नया जड़त्व आघूर्ण $I_f = MR^2 + mR^2 + mR^2 = (M + 2m)R^2$ है।
अतः,$\omega_f = \frac{I_i \omega_i}{I_f} = \frac{MR^2 \omega}{(M + 2m)R^2} = \frac{M \omega}{M + 2m}$ है।
अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2} I_f \omega_f^2 = \frac{1}{2} (M + 2m)R^2 \left( \frac{M \omega}{M + 2m} \right)^2 = \frac{1}{2} \frac{M^2 R^2 \omega^2}{M + 2m}$ है।
गतिज ऊर्जा में हानि $\Delta K = K_i - K_f = \frac{1}{2} MR^2 \omega^2 - \frac{1}{2} \frac{M^2 R^2 \omega^2}{M + 2m}$.
$\Delta K = \frac{1}{2} MR^2 \omega^2 \left( 1 - \frac{M}{M + 2m} \right) = \frac{1}{2} MR^2 \omega^2 \left( \frac{M + 2m - M}{M + 2m} \right) = \frac{1}{2} MR^2 \omega^2 \left( \frac{2m}{M + 2m} \right) = \frac{Mm}{(M + 2m)} \omega^2 R^2$.

(D) पत्थर का कोणीय संवेग $L$,$L = mvr = mr^2\omega$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$v$ रैखिक वेग है,$r$ त्रिज्या है और $\omega$ कोणीय वेग है।
चूंकि कोणीय संवेग नियत है,हमारे पास $mr^2\omega = C$ है (जहाँ $C$ एक नियतांक है)।
इसका अर्थ है $\omega = \frac{C}{mr^2}$।
डोरी में तनाव $T$ वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है:
$T = m\omega^2r$।
तनाव के सूत्र में $\omega$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$T = m \left( \frac{C}{mr^2} \right)^2 r = m \left( \frac{C^2}{m^2r^4} \right) r = \frac{C^2}{mr^3} = \left( \frac{C^2}{m} \right) r^{-3}$।
इसे $T = Ar^n$ के साथ तुलना करने पर,हमें $A = \frac{C^2}{m}$ और $n = -3$ प्राप्त होता है।

(D) चूंकि निकाय पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं करता है,इसलिए कोणीय संवेग संरक्षित रहता है: $L_i = L_f$ ।
छड़ का प्रारंभिक जड़त्व आघूर्ण $I_{rod} = \frac{ML^2}{12}$ है। मनके केंद्र पर हैं,इसलिए अक्ष से उनकी प्रारंभिक दूरी $0$ है। अतः,$I_i = \frac{ML^2}{12}$ ।
प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = I_i \omega_0 = \left( \frac{ML^2}{12} \right) \omega_0$ है।
जब मनके सिरों पर पहुँचते हैं,तो अक्ष से उनकी दूरी $L/2$ होती है। अंतिम जड़त्व आघूर्ण $I_f = \frac{ML^2}{12} + 2 \left( m \left( \frac{L}{2} \right)^2 \right) = \frac{ML^2}{12} + \frac{2mL^2}{4} = \frac{ML^2}{12} + \frac{mL^2}{2} = \frac{ML^2 + 6mL^2}{12} = \frac{L^2(M + 6m)}{12}$ है।
$L_i = L_f$ का उपयोग करते हुए: $\left( \frac{ML^2}{12} \right) \omega_0 = \left( \frac{L^2(M + 6m)}{12} \right) \omega_f$ ।
$\omega_f$ के लिए हल करने पर: $\omega_f = \frac{M\omega_0}{M + 6m}$ ।

(D) प्रारंभिक कुल ऊर्जा $E_i = \frac{1}{2} I_1 \omega_1^2 + \frac{1}{2} (\frac{I_1}{2}) (\frac{\omega_1}{2})^2 = \frac{1}{2} I_1 \omega_1^2 + \frac{1}{16} I_1 \omega_1^2 = \frac{9}{16} I_1 \omega_1^2$.
कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,$I_1 \omega_1 + (\frac{I_1}{2}) (\frac{\omega_1}{2}) = (I_1 + \frac{I_1}{2}) \omega_f$.
$I_1 \omega_1 + \frac{1}{4} I_1 \omega_1 = \frac{3}{2} I_1 \omega_f \Rightarrow \frac{5}{4} I_1 \omega_1 = \frac{3}{2} I_1 \omega_f \Rightarrow \omega_f = \frac{5}{6} \omega_1$.
अंतिम कुल ऊर्जा $E_f = \frac{1}{2} (I_1 + \frac{I_1}{2}) \omega_f^2 = \frac{1}{2} (\frac{3}{2} I_1) (\frac{5}{6} \omega_1)^2 = \frac{3}{4} I_1 (\frac{25}{36} \omega_1^2) = \frac{25}{48} I_1 \omega_1^2$.
ऊर्जा में परिवर्तन $E_f - E_i = I_1 \omega_1^2 (\frac{25}{48} - \frac{9}{16}) = I_1 \omega_1^2 (\frac{25 - 27}{48}) = -\frac{2}{48} I_1 \omega_1^2 = -\frac{I_1 \omega_1^2}{24}$.

(A) चूंकि निकाय पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए कुल कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।
प्रारंभ में,डिस्क और कॉकरोच दोनों स्थिर हैं,इसलिए प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = 0$ है।
मान लीजिए डिस्क का कोणीय वेग $\omega$ है। कॉकरोच जमीन के सापेक्ष $V$ वेग से चलता है। कॉकरोच का कोणीय संवेग $L_c = mvr = (\frac{M}{2})VR$ है।
डिस्क का कोणीय संवेग $L_d = I\omega = (\frac{MR^2}{2})\omega$ है।
कोणीय संवेग के संरक्षण के नियम के अनुसार,कुल अंतिम कोणीय संवेग शून्य होना चाहिए: $L_c + L_d = 0$.
$(\frac{M}{2})VR + (\frac{MR^2}{2})\omega = 0$.
$\omega$ के लिए हल करने पर: $(\frac{MR^2}{2})\omega = -(\frac{M}{2})VR$.
$\omega = -\frac{V}{R}$.
कोणीय वेग का परिमाण $\frac{V}{R}$ है,और ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि डिस्क कॉकरोच की गति की विपरीत दिशा में घूमती है।

(C) मूल बिंदु के परितः कोणीय संवेग के संरक्षण के लिए,मूल बिंदु के परितः कार्य करने वाला कुल टॉर्क $\vec{\tau}$ शून्य होना चाहिए।
टॉर्क सदिश गुणनफल द्वारा दिया जाता है: $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = 0$।
सारणिक विधि का उपयोग करके सदिश गुणनफल की गणना करने पर:
$\vec{r} \times \vec{F} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -6 & -12 \\ \alpha & 3 & 6 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$\hat{i} [(-6)(6) - (-12)(3)] - \hat{j} [(2)(6) - (-12)(\alpha)] + \hat{k} [(2)(3) - (-6)(\alpha)] = 0$
$\hat{i} [-36 + 36] - \hat{j} [12 + 12\alpha] + \hat{k} [6 + 6\alpha] = 0$
$0\hat{i} - (12 + 12\alpha)\hat{j} + (6 + 6\alpha)\hat{k} = 0$
इस सदिश के शून्य होने के लिए,प्रत्येक घटक शून्य होना चाहिए:
$12 + 12\alpha = 0 \Rightarrow 12\alpha = -12 \Rightarrow \alpha = -1$
$6 + 6\alpha = 0 \Rightarrow 6\alpha = -6 \Rightarrow \alpha = -1$
अतः,$\alpha$ का मान $-1$ है।

(D) बाह्य बल आघूर्ण $(\tau_{ext})$ और कोणीय संवेग $(L)$ के बीच संबंध $\tau_{ext} = \frac{dL}{dt}$ समीकरण द्वारा दिया जाता है।
यदि वस्तु पर कोई बाह्य बल आघूर्ण कार्य नहीं कर रहा है, तो $\tau_{ext} = 0$ होगा।
इसे समीकरण में रखने पर, हमें $\frac{dL}{dt} = 0$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि कोणीय संवेग में परिवर्तन की दर शून्य है, जिसका तात्पर्य है कि कोणीय संवेग $(L)$ समय के साथ नियत रहता है।
इसे कोणीय संवेग संरक्षण का नियम कहा जाता है।

(C) कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,निकाय का कोणीय संवेग संरक्षित रहता है क्योंकि पृथ्वी पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं करता है।
$L_i = L_f$
$I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$
चूंकि पृथ्वी एक ठोस गोला है,इसका जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}MR^2$ है। कोणीय वेग $\omega = \frac{2\pi}{T}$ है।
इन मानों को संरक्षण समीकरण में रखने पर:
$\frac{2}{5}MR^2 \left(\frac{2\pi}{T_1}\right) = \frac{2}{5}M\left(\frac{R}{n}\right)^2 \left(\frac{2\pi}{T_2}\right)$
$R^2 \left(\frac{1}{T_1}\right) = \frac{R^2}{n^2} \left(\frac{1}{T_2}\right)$
$T_1 = 24 \ hr$ दिया गया है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{24} = \frac{1}{n^2 T_2}$
$T_2 = \frac{24}{n^2} \ hr$

(B) एक तैराक जड़त्व आघूर्ण $(I)$ को कम करने के लिए अपने शरीर को मोड़ता है।
कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार, $L = I\omega = \text{स्थिरांक}$.
शरीर को मोड़ने से, द्रव्यमान का वितरण घूर्णन अक्ष के करीब आ जाता है, जिससे जड़त्व आघूर्ण $(I)$ कम हो जाता है।
चूंकि $L$ स्थिर रहता है, इसलिए $I$ में कमी आने से कोणीय वेग $(\omega)$ बढ़ जाता है।
यह तैराक को तेजी से घूमने और सीमित समय में सफलतापूर्वक कलाबाजी (somersault) पूरी करने में सक्षम बनाता है।

(C) $1$. चूंकि निकाय पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए कुल कोणीय संवेग $L = I\omega$ संरक्षित रहता है। जैसे-जैसे गेंदें बाहर की ओर बढ़ती हैं,जड़त्व आघूर्ण $I$ बढ़ता है,इसलिए कोणीय वेग $\omega$ कम हो जाता है।
$2$. निकाय गुरुत्वाकर्षण मुक्त स्थान में है और इस पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए कुल रैखिक संवेग संरक्षित रहता है।
$3$. घूर्णन की गतिज ऊर्जा $K = \frac{L^2}{2I}$ है। चूंकि $L$ स्थिर है और गेंदें बाहर की ओर बढ़ने पर $I$ बढ़ता है,इसलिए घूर्णन गतिज ऊर्जा $K$ कम होनी चाहिए।
$4$. गेंदें बाहर की ओर बढ़ते समय अपकेंद्री बल के कारण कार्य करती हैं। यह कार्य घूर्णन गतिज ऊर्जा की कीमत पर किया जाता है। चूंकि निकाय विलगित है और कोई गैर-संरक्षी बल (जैसे घर्षण) नहीं है,इसलिए कुल यांत्रिक ऊर्जा (घूर्णन गतिज ऊर्जा + स्थितिज ऊर्जा) स्थिर रहती है। अतः,'निकाय की कुल गतिज ऊर्जा कम हो जाएगी' कथन गलत है क्योंकि त्रिज्यीय गतिज ऊर्जा में वृद्धि होती है।

(C) कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,कोणीय संवेग $L = I\omega$ स्थिर रहता है क्योंकि निकाय पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं करता है।
$I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$
चूंकि पृथ्वी एक गोला है,इसका जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}MR^2$ है। कोणीय वेग $\omega = \frac{2\pi}{T}$ है,जहाँ $T$ दिन की अवधि है।
इन मानों को संरक्षण समीकरण में रखने पर:
$\frac{2}{5} MR^2 \times \frac{2\pi}{24} = \frac{2}{5} M \left(\frac{R}{n}\right)^2 \times \frac{2\pi}{T'}$
दोनों पक्षों से सामान्य पदों $\frac{2}{5} M$ और $2\pi$ को हटाने पर:
$R^2 \times \frac{1}{24} = \frac{R^2}{n^2} \times \frac{1}{T'}$
$T'$ के लिए हल करने पर:
$T' = \frac{24}{n^2} \text{ घंटे}$

(C) कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार, $L = I\omega = \text{constant}$, जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $\omega$ कोणीय वेग है।
जैसे-जैसे चींटी डिस्क के किनारे से केंद्र की ओर चलती है, घूर्णन अक्ष से चींटी की दूरी कम हो जाती है, जिससे निकाय का जड़त्व आघूर्ण $I$ कम हो जाता है।
चूंकि $L$ स्थिर है, इसलिए जैसे-जैसे $I$ घटता है, कोणीय वेग $\omega$ बढ़ना चाहिए।
जैसे-जैसे चींटी केंद्र से दूसरे किनारे की ओर चलती है, अक्ष से दूरी बढ़ती है, जिससे जड़त्व आघूर्ण $I$ बढ़ जाता है।
परिणामस्वरूप, कोणीय वेग $\omega$ कम हो जाना चाहिए।
अतः, डिस्क का कोणीय वेग पहले बढ़ेगा और फिर घटेगा।

(A) कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,$I_t \omega_i = (I_t + I_b) \omega_f$.
इसलिए,अंतिम कोणीय चाल $\omega_f = \left( \frac{I_t}{I_t + I_b} \right) \omega_i$ प्राप्त होती है।
गतिज ऊर्जा में कमी (ऊर्जा का ह्रास) = प्रारंभिक गतिज ऊर्जा - अंतिम गतिज ऊर्जा।
$\Delta K = \frac{1}{2} I_t \omega_i^2 - \frac{1}{2} (I_t + I_b) \omega_f^2$.
$\omega_f$ का मान रखने पर,$\Delta K = \frac{1}{2} I_t \omega_i^2 - \frac{1}{2} (I_t + I_b) \left( \frac{I_t}{I_t + I_b} \right)^2 \omega_i^2$.
$\Delta K = \frac{1}{2} I_t \omega_i^2 \left[ 1 - \frac{I_t}{I_t + I_b} \right]$.
$\Delta K = \frac{1}{2} I_t \omega_i^2 \left[ \frac{I_t + I_b - I_t}{I_t + I_b} \right] = \frac{1}{2} \left( \frac{I_b I_t}{I_t + I_b} \right) \omega_i^2$.

(B) चूंकि निकाय पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए कोणीय संवेग $L_{ang}$ संरक्षित रहता है।
$L_{initial} = L_{final}$
$I_1 \omega_0 = I_2 \omega_2$
प्रारंभ में,मनके केंद्र में हैं,इसलिए घूर्णन अक्ष से उनकी दूरी $0$ है। निकाय का जड़त्व आघूर्ण केवल छड़ का है:
$I_1 = \frac{ML^2}{12}$
जब मनके छड़ के सिरों पर पहुँचते हैं,तो घूर्णन अक्ष से उनकी दूरी $L/2$ हो जाती है। निकाय का जड़त्व आघूर्ण हो जाता है:
$I_2 = \frac{ML^2}{12} + 2 \times m\left(\frac{L}{2}\right)^2 = \frac{ML^2}{12} + \frac{2mL^2}{4} = \frac{ML^2}{12} + \frac{mL^2}{2} = \frac{ML^2 + 6mL^2}{12} = \frac{(M + 6m)L^2}{12}$
कोणीय संवेग संरक्षण के नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{ML^2}{12} \omega_0 = \frac{(M + 6m)L^2}{12} \omega_2$
$\omega_2 = \frac{M\omega_0}{M + 6m}$

(D) हम जानते हैं कि कोणीय संवेग के परिवर्तन की दर निकाय पर कार्य करने वाले नेट बाहरी टॉर्क के बराबर होती है,जिसे $\vec{\tau}_{ext} = \frac{d\vec{L}}{dt}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
यदि किसी निकाय पर कार्य करने वाला नेट बाहरी टॉर्क शून्य है $(\vec{\tau}_{ext} = 0)$,तो $\frac{d\vec{L}}{dt} = 0$ होगा।
इसका अर्थ है कि निकाय का कोणीय संवेग $\vec{L}$ स्थिर रहता है।
इसलिए,एक गतिशील पिंड का कोणीय संवेग स्थिर रहता है यदि कोई नेट बाहरी टॉर्क नहीं लगाया जाता है।

(B) कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार, चूंकि निकाय पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं करता है, इसलिए कोणीय संवेग $L = I\omega$ स्थिर रहता है।
जब श्यान द्रव को केंद्र पर गिराया जाता है और वह फैलता है, तो द्रव्यमान का वितरण घूर्णन अक्ष से दूर चला जाता है, जिससे निकाय का जड़त्व आघूर्ण $I$ बढ़ जाता है।
चूंकि $L = I\omega$ स्थिर है, इसलिए $I$ में वृद्धि के कारण कोणीय वेग $\omega$ में कमी आती है।
जैसे ही द्रव अंततः प्लेटफॉर्म से नीचे गिर जाता है, निकाय का द्रव्यमान कम हो जाता है, जिससे जड़त्व आघूर्ण $I$ वापस अपने मूल मान की ओर घट जाता है।
परिणामस्वरूप, जैसे ही द्रव प्लेटफॉर्म छोड़ता है, कोणीय वेग $\omega$ फिर से बढ़ जाता है।

(A) चूंकि कोई बाहरी टॉर्क नहीं लगाया गया है,इसलिए पिंड का कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।
$L_1 = L_2$
$I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$
हम जानते हैं कि जड़त्व आघूर्ण $I$ को घूर्णन त्रिज्या $K$ के पदों में $I = MK^2$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $M$ पिंड का द्रव्यमान है।
इस मान को संरक्षण समीकरण में रखने पर:
$M K_1^2 \omega_1 = M K_2^2 \omega_2$
$K_1^2 \omega_1 = K_2^2 \omega_2$
घूर्णन त्रिज्या का अनुपात $K_1/K_2$ ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{K_1^2}{K_2^2} = \frac{\omega_2}{\omega_1}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{K_1}{K_2} = \sqrt{\frac{\omega_2}{\omega_1}} = \sqrt{\omega_2} : \sqrt{\omega_1}$

(A) पृथ्वी और उसका वायुमंडल एक निकाय बनाते हैं। बाहरी टॉर्क की अनुपस्थिति में इस निकाय का कुल कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।
$L = I\omega = \text{constant}$
जब वायुमंडल में बड़े वायु द्रव्यमान स्थानांतरित होते हैं, तो घूर्णन अक्ष के सापेक्ष द्रव्यमान का वितरण बदल जाता है, जिससे पृथ्वी-वायुमंडल निकाय के कुल जड़त्व आघूर्ण $(I)$ में परिवर्तन होता है।
चूंकि कोणीय संवेग $(L)$ स्थिर रहना चाहिए, इसलिए जड़त्व आघूर्ण $(I)$ में कोई भी परिवर्तन पृथ्वी के कोणीय वेग $(\omega)$ में संबंधित परिवर्तन लाता है।
अतः, वायु द्रव्यमानों का स्थानांतरण पृथ्वी की घूर्णन गति में छोटे और छिटपुट परिवर्तनों का कारण बनता है।
इस प्रकार, $Assertion$ और $Reason$ दोनों सही हैं और $Reason$ का $Assertion$ सही स्पष्टीकरण है।

(A) केंद्रीय बल क्षेत्र में,प्रत्येक कण पर कार्य करने वाला बल बल के केंद्र और कण को जोड़ने वाली रेखा की दिशा में होता है।
चूंकि बल त्रिज्यीय (radial) है,इसलिए स्थिति सदिश $\vec{r}$ और बल सदिश $\vec{F}$ संरेखीय होते हैं।
टॉर्क $\vec{\tau}$ को $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि $\vec{r}$ और $\vec{F}$ समानांतर हैं,इसलिए उनका क्रॉस गुणनफल शून्य होता है,जिसका अर्थ है कि निकाय पर कार्य करने वाला कुल टॉर्क शून्य है।
कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,यदि किसी निकाय पर कार्य करने वाला कुल बाह्य टॉर्क शून्य है,तो कुल कोणीय संवेग $\vec{L}$ स्थिर रहता है।
इसलिए,$Assertion$ और $Reason$ दोनों सही हैं,और $Reason$,$Assertion$ की सही व्याख्या है।

(B) मान लीजिए टक्कर के बाद निकाय का कोणीय वेग $\omega$ है।
छड़ के लंबवत द्रव्यमान $m$ के वेग का घटक $v_{\perp} = v \sin(\theta) = v \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{v}{\sqrt{2}}$ है।
धुरी (छड़ का केंद्र) के परितः कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार:
$L_{initial} = L_{final}$
$m v_{\perp} r = I_{total} \omega$
$m \left(\frac{v}{\sqrt{2}}\right) \left(\frac{\ell}{2}\right) = \left( I_{rod} + I_{mass} \right) \omega$
छड़ के केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{rod} = \frac{M \ell^2}{12} = \frac{(4m) \ell^2}{12} = \frac{m \ell^2}{3}$ है।
$\frac{\ell}{2}$ दूरी पर स्थित द्रव्यमान $m$ का जड़त्व आघूर्ण $I_{mass} = m \left(\frac{\ell}{2}\right)^2 = \frac{m \ell^2}{4}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{m v \ell}{2 \sqrt{2}} = \left( \frac{m \ell^2}{3} + \frac{m \ell^2}{4} \right) \omega$
$\frac{m v \ell}{2 \sqrt{2}} = \left( \frac{4m \ell^2 + 3m \ell^2}{12} \right) \omega$
$\frac{m v \ell}{2 \sqrt{2}} = \frac{7m \ell^2}{12} \omega$
$\omega$ के लिए हल करने पर:
$\omega = \left( \frac{m v \ell}{2 \sqrt{2}} \right) \left( \frac{12}{7 m \ell^2} \right) = \frac{6 v}{7 \sqrt{2} \ell} = \frac{6 \sqrt{2} v}{14 \ell} = \frac{3 \sqrt{2}}{7} \frac{v}{\ell}$.

(A) प्रारंभिक कोणीय वेग,$\omega_{1} = 40\; rev/min$.
अंतिम कोणीय वेग $= \omega_{2}$.
हाथ फैलाए हुए बच्चे का जड़त्व आघूर्ण $= I_{1}$.
हाथ मोड़े हुए बच्चे का जड़त्व आघूर्ण $= I_{2}$.
दोनों जड़त्व आघूर्णों के बीच संबंध: $I_{2} = \frac{2}{5} I_{1}$.
चूंकि निकाय पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं करता है,इसलिए कोणीय संवेग $L$ संरक्षित रहता है।
अतः,$I_{2} \omega_{2} = I_{1} \omega_{1}$.
$\omega_{2} = \frac{I_{1}}{I_{2}} \omega_{1} = \frac{I_{1}}{\frac{2}{5} I_{1}} \times 40 = \frac{5}{2} \times 40 = 100\; rev/min$.
$(b)$ अंतिम गतिज ऊर्जा $E_{F} = \frac{1}{2} I_{2} \omega_{2}^{2}$.
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $E_{I} = \frac{1}{2} I_{1} \omega_{1}^{2}$.
$\frac{E_{F}}{E_{I}} = \frac{\frac{1}{2} I_{2} \omega_{2}^{2}}{\frac{1}{2} I_{1} \omega_{1}^{2}} = \frac{2}{5} \times \left(\frac{100}{40}\right)^{2} = \frac{2}{5} \times \left(\frac{5}{2}\right)^{2} = \frac{2}{5} \times \frac{25}{4} = 2.5$.
इसलिए,$E_{F} = 2.5 E_{I}$.
घूर्णन गतिज ऊर्जा में वृद्धि बच्चे द्वारा अपने हाथों को मोड़ने में किए गए कार्य के कारण है,जो उसकी आंतरिक मांसपेशियों की ऊर्जा द्वारा प्रदान की जाती है।