Conservation of angular momentum (combined translation and rotational motion) Questions in Gujarati

(C) અથડામણ પહેલાં,ગોળી $v$ વેગ સાથે ગતિ કરે છે. મિજાગરા બિંદુ $O$ ની સાપેક્ષે તંત્રનું પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $J = m v L$ છે.
ગોળી સળિયામાં ખૂંપી ગયા પછી,ધારો કે તંત્ર $\omega$ કોણીય વેગ પ્રાપ્ત કરે છે. $O$ માંથી પસાર થતી અક્ષની સાપેક્ષે ગોળી-સળિયા તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I = I_{\text{bullet}} + I_{\text{rod}} = m L^2 + \frac{1}{3} M L^2 = \left( \frac{M + 3m}{3} \right) L^2$.
કોણીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન = અંતિમ કોણીય વેગમાન:
$J = J' \implies m v L = I \omega$
$m v L = \left( \frac{M + 3m}{3} \right) L^2 \omega$
$\omega$ માટે ઉકેલતા:
$\omega = \frac{3 m v}{(M + 3m) L}$.

(A) લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને રીંગની પ્રારંભિક જડત્વની ચાકમાત્રા $I = M R^2$ છે. પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = I \omega = M R^2 \omega$ છે.
જ્યારે $m$ દળના બે પદાર્થોને વ્યાસના વિરુદ્ધ છેડાઓ પર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I' = M R^2 + m R^2 + m R^2 = (M + 2m) R^2$ થાય છે.
તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે,તેથી $L_i = L_f$.
$M R^2 \omega = (M + 2m) R^2 \omega'$
$\omega' = \frac{M R^2 \omega}{(M + 2m) R^2} = \frac{M \omega}{M + 2m}$.

(A) પ્રારંભિક રેખીય વેગ $= v$
પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $= r$
કોણીય વેગમાન $L = mvr$
જ્યારે દોરીની લંબાઈ અડધી કરવામાં આવે,ત્યારે નવી ત્રિજ્યા $r' = \frac{r}{2}$ થાય છે.
કોણીય વેગમાન $L$ અચળ રહેતું હોવાથી:
$mvr = mv'r'$
$mvr = mv' \left(\frac{r}{2}\right)$
$v = \frac{v'}{2}$
$v' = 2v$
તેથી,નવો રેખીય વેગ $2v$ થશે.

(A) ધરી $C$ ની આસપાસ કોઈ બાહ્ય ટોર્ક ન હોવાથી,તંત્રનું કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = (2m)(v)(L) + (m)(2v)(2L) = 2mvL + 4mvL = 6mvL$.
અંતિમ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_f = I_{\text{rod}} + I_{2m} + I_{m} = \frac{(8m)(6L)^2}{12} + (2m)(L)^2 + (m)(2L)^2$.
$I_f = \frac{8m \cdot 36L^2}{12} + 2mL^2 + 4mL^2 = 24mL^2 + 2mL^2 + 4mL^2 = 30mL^2$.
$L_i = I_f \omega$ નો ઉપયોગ કરતા:
$6mvL = (30mL^2) \omega$.
$\omega = \frac{6mvL}{30mL^2} = \frac{v}{5L}$.

(C) ગોળાનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે। દળ અચળ રહેતું હોવાથી, $V \propto R^3$ થાય.
જો નવું કદ $V_2 = \frac{1}{8} V_1$ હોય, તો $\frac{V_2}{V_1} = \frac{R_2^3}{R_1^3} = \frac{1}{8}$.
ઘનમૂળ લેતા, $\frac{R_2}{R_1} = \frac{1}{2}$ મળે, તેથી $R_2 = \frac{1}{2} R_1$.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, $L = I \omega = \text{અચળ}$.
$I = \frac{2}{5} M R^2$ અને $\omega = \frac{2 \pi}{T}$ હોવાથી, $I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$ થાય.
કિંમતો મૂકતા, $\frac{2}{5} M R_1^2 \cdot \frac{2 \pi}{T_1} = \frac{2}{5} M R_2^2 \cdot \frac{2 \pi}{T_2}$.
આ સમીકરણ $\frac{R_1^2}{T_1} = \frac{R_2^2}{T_2}$ માં પરિણમે છે, જે પરથી $T_2 = T_1 \left( \frac{R_2}{R_1} \right)^2$ મળે.
$T_1 = 24$ કલાક આપેલ હોવાથી, $T_2 = 24 \cdot (1/2)^2 = 24 \cdot (1/4) = 6$ કલાક.

(D) બાહ્ય ટોર્કની ગેરહાજરીમાં પૃથ્વી એક અલગ તંત્ર છે, તેથી તેનું કોણીય વેગમાન $L = I\omega$ અચળ રહે છે.
જ્યારે ધ્રુવો પરનો બરફ પીગળે છે અને પાણી વિષુવવૃત્ત તરફ વહે છે, ત્યારે પૃથ્વીનું દળ વિતરણ બદલાય છે જેથી વધુ દળ પરિભ્રમણની ધરીથી દૂર કેન્દ્રિત થાય છે.
આનાથી પૃથ્વીની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ વધે છે $(I = \sum mr^2)$.
જેમ કે $L = I\omega$ અચળ છે, તેથી $I$ માં વધારો થવાથી કોણીય વેગ $\omega$ માં ઘટાડો થાય છે.
જેમ કે $\omega = 2\pi / T$, જ્યાં $T$ એ દિવસનો સમયગાળો છે, $\omega$ માં ઘટાડો થવાથી દિવસના સમયગાળા $T$ માં વધારો થાય છે.

(C) 'ગ્રાઉન્ડ ચક્કર'નું ફરવું એ એક એવી ભ્રમણ ગતિ છે જેમાં તેની ભ્રમણની સ્થિતિ બદલવા માટે સિસ્ટમ પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક કાર્ય કરતું નથી.
ભ્રમણ ગતિ માટે ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,ટોર્ક $\tau$ એ કોણીય વેગમાન $L$ ના ફેરફારના દર જેટલું હોય છે,જે $\tau = \frac{dL}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
'ગ્રાઉન્ડ ચક્કર' પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક કાર્ય કરતું ન હોવાથી $(\tau = 0)$,કોણીય વેગમાનના ફેરફારનો દર શૂન્ય છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dL}{dt} = 0$.
તેથી,કોણીય વેગમાન $L$ અચળ રહે છે.
આ ઘટના કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ પર આધારિત છે.

(A) તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,તંત્રનું કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
$L_i = L_f$
$I_i \omega_i = I_f \omega_f$
શરૂઆતમાં,છોકરો કેન્દ્ર પર છે,તેથી તેની જડત્વની ચાકમાત્રા શૂન્ય છે. તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{\text{disc}} = \frac{1}{2} M R^2$ છે.
$I_i = \frac{1}{2} \times 100 \times 2^2 = 200 \ kg \cdot m^2$.
અંતે,છોકરો કેન્દ્રથી $r = 1 \ m$ અંતરે છે. તેની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{\text{boy}} = m r^2 = 60 \times 1^2 = 60 \ kg \cdot m^2$ છે.
તંત્રની અંતિમ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_f = I_{\text{disc}} + I_{\text{boy}} = 200 + 60 = 260 \ kg \cdot m^2$ છે.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$200 \times 1 = 260 \times \omega_f$
$\omega_f = \frac{200}{260} = \frac{20}{26} \approx 0.77 \ rad/s$.

(A) આપેલ છે: પ્રથમ તકતીનું દળ $m_1 = M$,ત્રિજ્યા $r_1 = R$,અને પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_1 = \omega$.
પ્રથમ તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{1}{2} M R^2$ છે.
બીજી તકતીનું દળ $m_2 = \frac{1}{8} M$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = R$ છે.
બીજી તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{8} M) R^2 = \frac{1}{16} M R^2$ છે.
જ્યારે બીજી તકતીને પ્રથમ તકતી પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{total} = I_1 + I_2 = \frac{1}{2} M R^2 + \frac{1}{16} M R^2 = \frac{8+1}{16} M R^2 = \frac{9}{16} M R^2$ થાય છે.
કોણીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$L_{initial} = L_{final}$.
$I_1 \omega = I_{total} \omega_{final}$
$\frac{1}{2} M R^2 \omega = \frac{9}{16} M R^2 \omega_{final}$
$\frac{1}{2} \omega = \frac{9}{16} \omega_{final}$
$\omega_{final} = \frac{16}{18} \omega = \frac{8}{9} \omega$.

(D) સળિયાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર (મધ્યબિંદુ $O$) ની સાપેક્ષે કોણીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = m(2v)(a) + (2m)(v)(2a) = 2mav + 4mav = 6mav$.
અંતિમ કોણીય વેગમાન $L_f = I_{total} \omega$,જ્યાં $I_{total}$ એ કણો સળિયા સાથે ચોંટી ગયા પછી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષે તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
$I_{total} = I_{rod} + I_{m} + I_{2m} = \frac{(6m)(8a)^2}{12} + m(a)^2 + (2m)(2a)^2$.
$I_{total} = \frac{6m(64a^2)}{12} + ma^2 + 8ma^2 = 32ma^2 + ma^2 + 8ma^2 = 41ma^2$.
$L_i = L_f$ ને સરખાવતા:
$6mav = (41ma^2) \omega$.
તેથી,$\omega = \frac{6mav}{41ma^2} = \frac{6v}{41a}$.

(C) પૃથ્વી પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી તેનું કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
$L = I \omega$
જ્યાં $I = \frac{2}{5} MR^2$ અને $\omega = \frac{2 \pi}{T}$ છે,તેથી:
$I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$
$\frac{2}{5} MR^2 \times \frac{2 \pi}{T_1} = \frac{2}{5} M(xR)^2 \times \frac{2 \pi}{T_2}$
સમાન પદોને દૂર કરતા:
$\frac{R^2}{T_1} = \frac{x^2 R^2}{T_2}$
$T_2 = T_1 x^2$
પૃથ્વીનો વર્તમાન પરિભ્રમણ સમય $T_1 = 24 \text{ કલાક}$ હોવાથી,નવો સમયગાળો:
$T_2 = 24 x^2 \text{ કલાક}$ થાય.

(A) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સિસ્ટમ પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન એ અંતિમ કોણીય વેગમાન જેટલું હોય છે.
પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = I \omega_0$,જ્યાં $\omega_0$ એ પ્રારંભિક કોણીય વેગ છે.
જ્યારે $m$ દળનો ઉંદર $R$ ત્રિજ્યા પર ધાર પર બેસે છે,ત્યારે સિસ્ટમની નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I' = I + m R^2$ થાય છે.
ધારો કે નવો કોણીય વેગ $\omega$ છે. તેથી,$L_f = (I + m R^2) \omega$.
$L_i = L_f$ ને સરખાવતા,આપણને $I \omega_0 = (I + m R^2) \omega$ મળે છે.
આમ,$\omega = \frac{I \omega_0}{I + m R^2}$.
કોણીય વેગમાં થતો આંશિક ઘટાડો $\frac{\omega_0 - \omega}{\omega_0} = 1 - \frac{\omega}{\omega_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $1 - \frac{I}{I + m R^2} = \frac{I + m R^2 - I}{I + m R^2} = \frac{m R^2}{I + m R^2}$ મળે છે.

(C) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પૃથ્વી પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,કોણીય વેગમાન અચળ રહે છે: $L_1 = L_2$.
$L = I\omega$ હોવાથી,આપણી પાસે $I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$ છે.
ઘન ગોળાની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}MR^2$ છે.
ધારો કે $R_1 = R$ અને $R_2 = \frac{R}{n}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{2}{5}MR^2 \left(\frac{2\pi}{T_1}\right) = \frac{2}{5}M\left(\frac{R}{n}\right)^2 \left(\frac{2\pi}{T_2}\right)$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $R^2 \left(\frac{1}{T_1}\right) = \frac{R^2}{n^2} \left(\frac{1}{T_2}\right)$.
તેથી,$T_2 = \frac{T_1}{n^2}$.
દિવસનો પ્રારંભિક સમયગાળો $T_1 = 24 \text{ hr}$ આપેલ હોવાથી,નવો સમયગાળો $T_2 = \frac{24}{n^2} \text{ hr}$ થશે.