Velocity of Simple Harmonic Motion Questions in Hindi

(A) सरल आवर्त गति में एक कण का वेग $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ द्वारा दिया जाता है।
विस्थापन $x = \frac{2A}{3}$ पर,वेग $v = \omega \sqrt{A^2 - (\frac{2A}{3})^2} = \omega \sqrt{A^2 - \frac{4A^2}{9}} = \omega \sqrt{\frac{5A^2}{9}} = \frac{\sqrt{5}A\omega}{3}$ है।
जब गति को तीन गुना बढ़ाया जाता है,तो नया वेग $v' = 3v = 3 \times \frac{\sqrt{5}A\omega}{3} = \sqrt{5}A\omega$ हो जाता है।
माना नया आयाम $A'$ है। समान स्थिति $x = \frac{2A}{3}$ पर नया वेग $v' = \omega \sqrt{(A')^2 - x^2}$ है।
समीकरणों की तुलना करने पर: $\sqrt{5}A\omega = \omega \sqrt{(A')^2 - (\frac{2A}{3})^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $5A^2 = (A')^2 - \frac{4A^2}{9}$.
$(A')^2 = 5A^2 + \frac{4A^2}{9} = \frac{45A^2 + 4A^2}{9} = \frac{49A^2}{9}$.
वर्गमूल लेने पर: $A' = \frac{7A}{3}$.
इसे $\frac{nA}{3}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $n = 7$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है,विस्थापन समीकरण $x = 10 \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{3}\right) \ m$ है।
आवर्तकाल $T = 3.14 \ s$ है। हम जानते हैं कि $T = \frac{2\pi}{\omega}$ होता है।
$\pi \approx 3.14$ लेने पर,$3.14 = \frac{2 \times 3.14}{\omega}$,जिससे $\omega = 2 \ rad/s$ प्राप्त होता है।
वेग $v$,विस्थापन का समय के सापेक्ष अवकलन है: $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} \left[10 \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{3}\right)\right]$.
$v = 10 \omega \cos \left(\omega t + \frac{\pi}{3}\right)$.
$t = 0$ पर,वेग $v = 10 \times 2 \times \cos \left(0 + \frac{\pi}{3}\right)$ होगा।
$v = 20 \times \cos \left(\frac{\pi}{3}\right) = 20 \times \frac{1}{2} = 10 \ m/s$.

(A) सरल आवर्त गति में एक कण का अधिकतम वेग $(V_{\max})$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $V_{\max} = \omega A$.
यहाँ, $\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $A$ आयाम है।
हम जानते हैं कि $\omega = \frac{2\pi}{T}$, जहाँ $T$ आवर्तकाल है।
दिया गया है: $A = 0.06 \,m$ और $T = 3.14 \,s \approx \pi \,s$.
मान रखने पर:
$V_{\max} = \left(\frac{2\pi}{\pi}\right) \times 0.06 = 2 \times 0.06 = 0.12 \,m/s$.
वेग को $cm/s$ में बदलने के लिए, हम $100$ से गुणा करते हैं:
$V_{\max} = 0.12 \times 100 = 12 \,cm/s$.

(A) दिया गया है: स्थिति $x = 4 \ m$,वेग $v = 2 \ ms^{-1}$,त्वरण $a = 16 \ ms^{-2}$।
सरल आवर्त गति में त्वरण का परिमाण $|a| = \omega^2 x$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $16 = \omega^2(4) \Rightarrow \omega^2 = 4 \Rightarrow \omega = 2 \ rad/s$।
सरल आवर्त गति में वेग का सूत्र $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ है,जहाँ $A$ आयाम है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $v^2 = \omega^2(A^2 - x^2) \Rightarrow \frac{v^2}{\omega^2} = A^2 - x^2$।
$A$ के लिए सूत्र बनाने पर: $A^2 = \frac{v^2}{\omega^2} + x^2$।
मान रखने पर: $A^2 = \frac{2^2}{2^2} + 4^2 = \frac{4}{4} + 16 = 1 + 16 = 17$।
अतः,$A = \sqrt{17} \ m$। इसकी तुलना $\sqrt{x} \ m$ से करने पर,हमें $x = 17$ प्राप्त होता है।

(C) $S.H.M.$ में एक कण के लिए,विस्थापन $x$ पर वेग $V$ का सूत्र $V^2 = \omega^2(A^2 - x^2)$ है और त्वरण $a = -\omega^2 x$ है।
त्वरण समीकरण से,$x = -a/\omega^2$ प्राप्त होता है।
इस मान को वेग समीकरण में रखने पर: $V^2 = \omega^2 A^2 - a^2/\omega^2$।
दो स्थितियों के लिए:
$V_1^2 = \omega^2 A^2 - a_1^2/\omega^2$
$V_2^2 = \omega^2 A^2 - a_2^2/\omega^2$
दोनों को घटाने पर: $V_1^2 - V_2^2 = (a_2^2 - a_1^2)/\omega^2$।
दो स्थितियों के बीच की दूरी $d = |x_1 - x_2| = |(-a_1/\omega^2) - (-a_2/\omega^2)| = |a_2 - a_1|/\omega^2$ है।
घटाने के परिणाम से,$1/\omega^2 = (V_1^2 - V_2^2) / (a_2^2 - a_1^2)$।
इस मान को दूरी के सूत्र में रखने पर: $d = |a_2 - a_1| \cdot \frac{V_1^2 - V_2^2}{a_2^2 - a_1^2} = \frac{V_1^2 - V_2^2}{a_2 + a_1}$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) कण का विस्थापन $x = A \cos(\omega t)$ द्वारा दिया गया है,जहाँ $A = 3 \times 10^{-3} \text{ m}$ और $\omega = 2 \pi \text{ rad/s}$ है।
कण का वेग $v$,विस्थापन का समय के सापेक्ष अवकलन है: $v = \frac{dx}{dt} = -A \omega \sin(\omega t)$.
गति $|v| = A \omega |\sin(\omega t)|$ है।
अधिकतम गति तब होती है जब $|\sin(\omega t)| = 1$ हो,जिसका अर्थ है $\omega t = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \dots$.
पहली बार के लिए,$\omega t = \frac{\pi}{2}$ लें।
$\omega = 2 \pi$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2 \pi t = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
$t$ के लिए हल करने पर,हमें $t = 1/4 \text{ s}$ प्राप्त होता है।

(D) $S.H.M.$ में '$x$' विस्थापन पर कण की गति $u = \omega \sqrt{a^2 - x^2}$ द्वारा दी जाती है।
कण की अधिकतम गति $V_{\text{max}} = a\omega$ है।
यह दिया गया है कि गति '$u$',अधिकतम गति की आधी है,इसलिए $u = \frac{V_{\text{max}}}{2} = \frac{a\omega}{2}$ है।
गति के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{a\omega}{2} = \omega \sqrt{a^2 - x^2}$।
दोनों पक्षों से $\omega$ को हटाने पर: $\frac{a}{2} = \sqrt{a^2 - x^2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{a^2}{4} = a^2 - x^2$।
'$x^2$' के लिए व्यवस्थित करने पर: $x^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$।
वर्गमूल लेने पर: $x = \frac{\sqrt{3}a}{2}$।

(A) कण का विस्थापन $x = A \cos(\omega t + \pi/6)$ है।
वेग $v$,विस्थापन का समय के सापेक्ष अवकलन है: $v = \frac{dx}{dt} = -A \omega \sin(\omega t + \pi/6)$।
चाल तब अधिकतम होती है जब वेग का परिमाण $|v|$ अधिकतम हो,जो तब होता है जब $|\sin(\omega t + \pi/6)| = 1$ हो।
यह तब होता है जब $(\omega t + \pi/6) = \pi/2$ हो।
$\omega t + \pi/6 = \pi/2$ रखने पर,हमें $\omega t = \pi/2 - \pi/6 = 3\pi/6 - \pi/6 = 2\pi/6 = \pi/3$ प्राप्त होता है।
अतः,$t = \frac{\pi}{3 \omega} \text{ s}$।

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 1 \,kg$, बल नियतांक $k = 4 \,N/m$, वेग $v = 20 \,cm/s = 0.2 \,m/s$, आयाम $A = 0.4 \,m$.
सबसे पहले, कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{k/m} = \sqrt{4/1} = 2 \,rad/s$ की गणना करें।
$S.H.M.$ में कण का वेग $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $x$ विस्थापन है।
मान रखने पर: $0.2 = 2 \sqrt{0.4^2 - x^2}$.
$2$ से विभाजित करने पर: $0.1 = \sqrt{0.16 - x^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $0.01 = 0.16 - x^2$.
$x^2$ के लिए व्यवस्थित करने पर: $x^2 = 0.16 - 0.01 = 0.15$.
अतः, विस्थापन $x = \sqrt{0.15} \,m$ है।

(D) सरल आवर्त गति $(SHM)$ में कण का विस्थापन $x = a \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
कण का वेग $v = \omega \sqrt{a^2 - x^2}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
यहाँ आवर्तकाल $T$ दिया गया है,इसलिए कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{T}$ होगी।
$x = \frac{a}{2}$ पर वेग:
$v = \frac{2\pi}{T} \sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2}$
$v = \frac{2\pi}{T} \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}}$
$v = \frac{2\pi}{T} \sqrt{\frac{3a^2}{4}}$
$v = \frac{2\pi}{T} \cdot \frac{\sqrt{3}a}{2}$
$v = \frac{\sqrt{3} \pi a}{T}$.

(C) माध्य स्थिति पर वेग अधिकतम होता है, जिसे $v_{\max} = A\omega$ द्वारा दर्शाया जाता है।
यहाँ $A = 4 \,cm$ और $v_{\max} = 12 \,cm/s$ दिया गया है।
अतः, $\omega = \frac{v_{\max}}{A} = \frac{12}{4} = 3 \,rad/s$.
किसी भी विस्थापन $x$ पर वेग $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $v^2 = \omega^2 (A^2 - x^2)$.
$x$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $x^2 = A^2 - \frac{v^2}{\omega^2}$.
$A = 4$, $v = 6$ और $\omega = 3$ का मान रखने पर:
$x^2 = 4^2 - \frac{6^2}{3^2} = 16 - \frac{36}{9} = 16 - 4 = 12$.
अतः, $x = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \,cm$.

(C) सरल आवर्त गति $(SHM)$ में,विस्थापन $x$ पर वेग $V$ का सूत्र $V = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ होता है,जहाँ $A$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$V^2 = \omega^2(A^2 - x^2)$ प्राप्त होता है।
दी गई शर्तों के अनुसार:
$V_1^2 = \omega^2(A^2 - x_1^2)$ --- $(1)$
$V_2^2 = \omega^2(A^2 - x_2^2)$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{V_1^2}{V_2^2} = \frac{A^2 - x_1^2}{A^2 - x_2^2}$
तिर्यक गुणा करने पर:
$V_1^2(A^2 - x_2^2) = V_2^2(A^2 - x_1^2)$
$V_1^2 A^2 - V_1^2 x_2^2 = V_2^2 A^2 - V_2^2 x_1^2$
$A^2$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$A^2(V_1^2 - V_2^2) = V_1^2 x_2^2 - V_2^2 x_1^2$
$A^2 = \frac{V_1^2 x_2^2 - V_2^2 x_1^2}{V_1^2 - V_2^2}$
वर्गमूल लेने पर,आयाम प्राप्त होता है:
$A = \sqrt{\frac{V_1^2 x_2^2 - V_2^2 x_1^2}{V_1^2 - V_2^2}}$

(C) दिया गया है:
- प्रारंभिक अधिकतम वेग $V = A\omega$ है।
- आयाम दोगुना हो जाता है: $A' = 2A$।
- आवर्तकाल एक-तिहाई हो जाता है: $T' = \frac{T}{3}$।
चरण $1$: नई कोणीय आवृत्ति $\omega'$ की गणना करें।
चूंकि $\omega = \frac{2\pi}{T}$,नई कोणीय आवृत्ति है:
$\omega' = \frac{2\pi}{T'} = \frac{2\pi}{T/3} = 3 \left(\frac{2\pi}{T}\right) = 3\omega$।
चरण $2$: नए अधिकतम वेग $V'$ की गणना करें।
अधिकतम वेग का सूत्र $V_{\max} = A\omega$ है।
$V' = A' \omega' = (2A)(3\omega) = 6(A\omega)$।
चूंकि $V = A\omega$,हमें प्राप्त होता है:
$V' = 6V$।

(D) मान लीजिए कि दो क्षणों पर कण की स्थितियाँ $x_1$ और $x_2$ हैं।
$SHM$ में त्वरण $a = -\omega^2 x$ द्वारा दिया जाता है। परिमाणों पर विचार करते हुए,$a_1 = \omega^2 |x_1|$ और $a_2 = \omega^2 |x_2|$ है।
$SHM$ में वेग $v^2 = \omega^2 (A^2 - x^2)$ द्वारा दिया जाता है।
पहले क्षण के लिए: $u^2 = \omega^2 A^2 - \omega^2 x_1^2$ . . . $(i)$
दूसरे क्षण के लिए: $V^2 = \omega^2 A^2 - \omega^2 x_2^2$ . . . $(ii)$
$(i)$ में से $(ii)$ घटाने पर: $u^2 - V^2 = \omega^2 (x_2^2 - x_1^2) = \omega^2 (x_2 - x_1)(x_2 + x_1)$ . . . $(iii)$
त्वरण समीकरणों से: $a_2 - a_1 = \omega^2 (x_2 - x_1)$ (मानते हुए कि $x_2 > x_1$)।
हालाँकि,स्थितियों के बीच की दूरी $|x_2 - x_1|$ है।
$a_1 = \omega^2 x_1$ और $a_2 = \omega^2 x_2$ का उपयोग करने पर,हमें $x_1 = a_1/\omega^2$ और $x_2 = a_2/\omega^2$ प्राप्त होता है।
वेग अंतर में मान रखने पर: $u^2 - V^2 = \omega^2 (x_2^2 - x_1^2) = \omega^2 (a_2^2/\omega^4 - a_1^2/\omega^4) = \frac{1}{\omega^2} (a_2^2 - a_1^2)$।
इसका अर्थ है $\omega^2 = \frac{a_2^2 - a_1^2}{u^2 - V^2}$।
दूरी $d = |x_2 - x_1| = |\frac{a_2 - a_1}{\omega^2}| = |\frac{a_2 - a_1}{(a_2^2 - a_1^2)/(u^2 - V^2)}| = |\frac{u^2 - V^2}{a_2 + a_1}|$।
अतः,दूरी $\frac{u^2 - V^2}{a_1 + a_2}$ है।

(B) $S.H.M.$ कर रहे कण की माध्य स्थिति से $x$ विस्थापन पर चाल $V$ को सूत्र $V = \omega \sqrt{a^2 - x^2}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2 \pi}{T}$ और विस्थापन $x = \frac{a}{3}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$V = \frac{2 \pi}{T} \sqrt{a^2 - (\frac{a}{3})^2}$
$V = \frac{2 \pi}{T} \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{9}}$
$V = \frac{2 \pi}{T} \sqrt{\frac{8 a^2}{9}}$
$V = \frac{2 \pi}{T} \times \frac{2 \sqrt{2} a}{3}$
$V = \frac{4 \sqrt{2} \pi a}{3 T}$

(C) $S.H.M.$ में $x$ विस्थापन पर कण का वेग $V = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ द्वारा दिया जाता है।
अधिकतम वेग $V_{\max} = \omega A$ है।
दिया गया है कि चाल $V = \frac{V_{\max}}{3} = \frac{\omega A}{3}$ है।
दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: $\frac{\omega A}{3} = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{A^2}{9} = A^2 - x^2$।
$x^2$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $x^2 = A^2 - \frac{A^2}{9} = \frac{8A^2}{9}$।
वर्गमूल लेने पर: $x = \sqrt{\frac{8}{9} A^2} = \frac{2\sqrt{2}}{3} A$।

(A) मान लीजिए कि दो क्षणों पर कण की स्थितियाँ $x_1$ और $x_2$ हैं।
$S.H.M.$ में,त्वरण $a = -\omega^2 x$ होता है। परिमाणों पर विचार करने पर,$\alpha = \omega^2 |x_1|$ और $\beta = \omega^2 |x_2|$.
अतः,$|x_1| = \frac{\alpha}{\omega^2}$ और $|x_2| = \frac{\beta}{\omega^2}$.
$S.H.M.$ में वेग $v^2 = \omega^2(A^2 - x^2)$ द्वारा दिया जाता है।
पहले क्षण के लिए: $u^2 = \omega^2 A^2 - \omega^2 x_1^2$ . . . $(i)$
दूसरे क्षण के लिए: $v^2 = \omega^2 A^2 - \omega^2 x_2^2$ . . . $(ii)$
$(i)$ में से $(ii)$ घटाने पर: $u^2 - v^2 = \omega^2(x_2^2 - x_1^2) = \omega^2(x_2 - x_1)(x_2 + x_1)$.
चूंकि $\alpha = \omega^2 x_1$ और $\beta = \omega^2 x_2$,हमारे पास $\alpha + \beta = \omega^2(x_1 + x_2)$ है।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $u^2 - v^2 = \omega^2(x_2 - x_1) \cdot \frac{\alpha + \beta}{\omega^2}$.
इसलिए,दोनों स्थितियों के बीच की दूरी $|x_2 - x_1| = \frac{u^2 - v^2}{\alpha + \beta}$ है।

(D) $S.H.M.$ में कण का अधिकतम वेग $V = A\omega$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
हम जानते हैं कि $\omega = \frac{2\pi}{T}$,जहाँ $T$ आवर्तकाल है।
दिया गया है कि नया आवर्तकाल $T' = \frac{1}{3}T$ और नया आयाम $A' = 2A$ है।
नई कोणीय आवृत्ति $\omega' = \frac{2\pi}{T'} = \frac{2\pi}{\frac{1}{3}T} = 3 \left(\frac{2\pi}{T}\right) = 3\omega$ होगी।
नया अधिकतम वेग $V' = A'\omega'$ द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$V' = (2A) \times (3\omega) = 6(A\omega) = 6V$।

(B) विस्थापन के लिए दिए गए समीकरण हैं:
$y_1 = 0.1 \sin \left(100 \pi t + \frac{\pi}{3} \right)$
$y_2 = 0.1 \cos (100 \pi t) = 0.1 \sin \left(100 \pi t + \frac{\pi}{2} \right)$
वेग विस्थापन का समय के सापेक्ष अवकलन है:
$v_1 = \frac{dy_1}{dt} = 0.1 \times 100 \pi \cos \left(100 \pi t + \frac{\pi}{3} \right) = 10 \pi \sin \left(100 \pi t + \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} \right) = 10 \pi \sin \left(100 \pi t + \frac{5\pi}{6} \right)$
$v_2 = \frac{dy_2}{dt} = 0.1 \times 100 \pi \cos \left(100 \pi t + \frac{\pi}{2} \right) = 10 \pi \sin \left(100 \pi t + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} \right) = 10 \pi \sin (100 \pi t + \pi)$
$v_1$ की कला $\phi_1 = 100 \pi t + \frac{5\pi}{6}$ है और $v_2$ की कला $\phi_2 = 100 \pi t + \pi$ है।
कलान्तर $\Delta \phi = \phi_1 - \phi_2 = \frac{5\pi}{6} - \pi = -\frac{\pi}{6}$।

(B) कण का विस्थापन $x = a \sin (\omega t - \phi)$ द्वारा दिया गया है।
वेग ज्ञात करने के लिए,हम विस्थापन का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} [a \sin (\omega t - \phi)] = a \omega \cos (\omega t - \phi)$.
अब,दिए गए समय $t = \frac{\phi}{\omega}$ को वेग के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$v = a \omega \cos \left( \omega \left( \frac{\phi}{\omega} \right) - \phi \right)$.
$v = a \omega \cos (\phi - \phi) = a \omega \cos (0)$.
चूंकि $\cos 0^{\circ} = 1$,इसलिए:
$v = a \omega \times 1 = a \omega$.

(D) सही विकल्प $D$ है।
अवधारणा: $S.H.M.$ के लिए,विस्थापन $x = A \sin(\omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
वेग $v = \frac{dx}{dt} = A \omega \cos(\omega t + \phi)$ है।
अधिकतम चाल $V = A \omega$ है।
एक पूर्ण समयावधि $T$ में,कण कुल $4A$ दूरी तय करता है।
औसत चाल को कुल दूरी को कुल समय से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है।
$\text{औसत चाल} = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{4A}{T}$.
चूंकि $T = \frac{2\pi}{\omega}$ और $\omega = \frac{V}{A}$,इसलिए $T = \frac{2\pi A}{V}$ है।
औसत चाल के सूत्र में $T$ का मान रखने पर:
$\text{औसत चाल} = \frac{4A}{\left(\frac{2\pi A}{V}\right)} = \frac{4A \cdot V}{2\pi A} = \frac{2V}{\pi}$.

(C) रैखिक $S.H.M$ के लिए मानक समीकरण $x = a \sin(\omega t + \phi)$ है।
दिए गए समीकरण $x = 5 \sin(4t - \frac{\pi}{6})$ की तुलना मानक समीकरण से करने पर,हमें आयाम $a = 5 \ cm$ और कोणीय आवृत्ति $\omega = 4 \ rad/s$ प्राप्त होती है।
$S.H.M$ में $x$ विस्थापन पर कण का वेग $v$ ज्ञात करने का सूत्र है:
$v = \omega \sqrt{a^2 - x^2}$
दिए गए मान $a = 5 \ cm$,$x = 3 \ cm$ और $\omega = 4 \ rad/s$ रखने पर:
$v = 4 \sqrt{5^2 - 3^2}$
$v = 4 \sqrt{25 - 9}$
$v = 4 \sqrt{16}$
$v = 4 \times 4 = 16 \ cm/s$.
अतः,कण का वेग $16 \ cm/s$ है।

(D) $S.H.M.$ में,विस्थापन $x = A \sin(\omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
वेग $v = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है। माध्य स्थिति $(x = 0)$ पर,वेग अधिकतम $(v_{max} = A\omega)$ होता है।
त्वरण $a = -\omega^2 x$ द्वारा दिया जाता है। माध्य स्थिति $(x = 0)$ पर,त्वरण न्यूनतम $(a = 0)$ होता है।
प्रत्यानयन बल $F = -kx$ हमेशा माध्य स्थिति की ओर निर्देशित होता है।
कुल ऊर्जा $E = K.E. + P.E. = \frac{1}{2}kA^2$ हर समय स्थिर रहती है।
इसलिए,कथन $D$ गलत है क्योंकि माध्य स्थिति पर वेग न्यूनतम नहीं बल्कि अधिकतम होता है।

(D) दिया गया है,$x = A \cos \left(\omega t + \frac{\pi}{4}\right)$.
वेग $v = \frac{dx}{dt} = -A \omega \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{4}\right)$.
वेग तब अधिकतम होता है जब ज्या फलन का परिमाण अधिकतम हो,अर्थात $\sin \left(\omega t + \frac{\pi}{4}\right) = -1$ या $1$ हो।
यह तब होता है जब कला कोण $\left(\omega t + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{2}$ हो।
$\omega t + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \implies \omega t = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.
$t = \frac{\pi}{4\omega}$.

(B) दिया गया है: आवर्तकाल $T = \frac{2 \pi}{\sqrt{3}} \text{ s}$, कुल पथ लंबाई $= 4 \text{ cm}$।
आयाम $A = \frac{\text{पथ लंबाई}}{2} = \frac{4}{2} = 2 \text{ cm}$।
कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi}{2 \pi / \sqrt{3}} = \sqrt{3} \text{ rad/s}$।
त्वरण का परिमाण $a = \omega^2 |x|$ और वेग का परिमाण $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$।
दिया गया है कि $v = a$, इसलिए $\omega \sqrt{A^2 - x^2} = \omega^2 |x|$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\omega^2 (A^2 - x^2) = \omega^4 x^2$।
$\omega^2$ से विभाजित करने पर: $A^2 - x^2 = \omega^2 x^2$।
मान रखने पर: $2^2 - x^2 = (\sqrt{3})^2 x^2$।
$4 - x^2 = 3x^2 \implies 4x^2 = 4 \implies x^2 = 1$।
अतः, $x = 1 \text{ cm}$।

(A) $S.H.M.$ कर रहे कण का अधिकतम वेग सूत्र द्वारा दिया जाता है: $V_{max} = \omega A = \frac{2 \pi}{T} A$.
यहाँ,$A$ आयाम है और $T$ आवर्तकाल है।
दिया गया है कि प्रारंभिक अधिकतम वेग $v = \frac{2 \pi A}{T}$ है।
यदि आयाम को तीन गुना $(A' = 3A)$ और आवर्तकाल को दोगुना $(T' = 2T)$ कर दिया जाए,तो नया अधिकतम वेग $V'_{max}$ होगा:
$V'_{max} = \frac{2 \pi A'}{T'} = \frac{2 \pi (3A)}{2T} = \frac{3}{2} \left( \frac{2 \pi A}{T} \right) = 1.5 v$.
अतः,नया अधिकतम वेग $1.5 v$ होगा।

(B) $S.H.M.$ में कण का त्वरण $a = \omega^2 x$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $x$ विस्थापन है।
दिया गया है $a = 0.5 \,m/s^2$ और $x = 0.02 \,m$।
$\omega^2 = \frac{a}{x} = \frac{0.5}{0.02} = 25 \,rad^2/s^2$।
वर्गमूल लेने पर,$\omega = 5 \,rad/s$ प्राप्त होता है।
अधिकतम वेग $V_{\max}$ का सूत्र $V_{\max} = A \omega$ है,जहाँ $A$ आयाम है।
दिया गया है $A = 0.1 \,m$।
अतः,$V_{\max} = 0.1 \times 5 = 0.5 \,m/s$।

(D) $S.H.M.$ में $x$ विस्थापन पर कण का वेग $V = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ द्वारा दिया जाता है।
अधिकतम चाल $V_{\max}$ माध्य स्थिति पर होती है और यह $V_{\max} = A\omega$ है।
प्रश्न के अनुसार,चाल $V$ अधिकतम चाल की एक-चौथाई है:
$V = \frac{1}{4} V_{\max}$
$\omega \sqrt{A^2 - x^2} = \frac{1}{4} (A\omega)$
$\sqrt{A^2 - x^2} = \frac{A}{4}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$A^2 - x^2 = \frac{A^2}{16}$
$x^2 = A^2 - \frac{A^2}{16} = \frac{15A^2}{16}$
$x = \frac{A\sqrt{15}}{4}$

(C) दिया गया है,$y_{1} = 2 \sin (10 t + \theta)$.
वेग $V_{1} = \frac{dy_{1}}{dt} = 2 \times 10 \cos (10 t + \theta) = 20 \cos (10 t + \theta)$.
दिया गया है,$y_{2} = 3 \cos 10 t = 3 \sin (10 t + \frac{\pi}{2})$.
वेग $V_{2} = \frac{dy_{2}}{dt} = 3 \times 10 \cos (10 t + \frac{\pi}{2}) = 30 \cos (10 t + \frac{\pi}{2})$.
$V_{1}$ की कला $\phi_{1} = 10 t + \theta$ है।
$V_{2}$ की कला $\phi_{2} = 10 t + \frac{\pi}{2}$ है।
कलांतर $\Delta \phi = \phi_{1} - \phi_{2} = (10 t + \theta) - (10 t + \frac{\pi}{2}) = \theta - \frac{\pi}{2}$.

(B) $S.H.M.$ में विस्थापन $x$ पर कण का वेग $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$x = \frac{2A}{3}$ पर,वेग $v = \omega \sqrt{A^2 - (\frac{2A}{3})^2} = \omega \sqrt{A^2 - \frac{4A^2}{9}} = \omega \sqrt{\frac{5A^2}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3} \omega A$ है।
जब गति को तीन गुना किया जाता है,तो नया वेग $v' = 3v = 3 \times \frac{\sqrt{5}}{3} \omega A = \sqrt{5} \omega A$ हो जाता है।
$S.H.M.$ की कुल ऊर्जा किसी भी बिंदु पर स्थिर रहती है,इसलिए $E' = K' + U$।
नई कुल ऊर्जा $E' = \frac{1}{2} m \omega^2 A'^2$ है।
$x = \frac{2A}{3}$ पर स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 (\frac{2A}{3})^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 \frac{4A^2}{9}$ है।
नई गतिज ऊर्जा $K' = \frac{1}{2} m v'^2 = \frac{1}{2} m (\sqrt{5} \omega A)^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 (5A^2)$ है।
कुल ऊर्जा को बराबर करने पर: $\frac{1}{2} m \omega^2 A'^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 (\frac{4A^2}{9}) + \frac{1}{2} m \omega^2 (5A^2)$।
$A'^2 = \frac{4A^2}{9} + 5A^2 = A^2 (\frac{4+45}{9}) = \frac{49A^2}{9}$।
वर्गमूल लेने पर,$A' = \frac{7A}{3}$ प्राप्त होता है।

(A) $S.H.M.$ में कण का वेग $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ है।
दिया गया है: $m = 10 \ kg$,$k = 10 \ N/m$,$A = 0.5 \ m$,और $v = 40 \ cm/s = 0.4 \ m/s$.
सबसे पहले,कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{10}{10}} = 1 \ rad/s$ की गणना करें।
अब,मानों को वेग समीकरण में रखें: $0.4 = 1 \cdot \sqrt{(0.5)^2 - x^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $0.16 = 0.25 - x^2$.
$x^2$ के लिए व्यवस्थित करने पर: $x^2 = 0.25 - 0.16 = 0.09$.
वर्गमूल लेने पर: $x = 0.3 \ m$.

(D) सरल आवर्त गति में $x$ विस्थापन पर कण का वेग $v$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$.
यह दिया गया है कि कण माध्य स्थिति $(x = 0)$ और चरम स्थिति $(x = A)$ के बीच आधे रास्ते पर है,इसलिए विस्थापन $x = \frac{A}{2}$ है।
कोणीय आवृत्ति $\omega$ और आवर्तकाल $T$ के बीच संबंध $\omega = \frac{2 \pi}{T}$ है।
इन मानों को वेग के सूत्र में रखने पर:
$v = \frac{2 \pi}{T} \sqrt{A^2 - (\frac{A}{2})^2}$
$v = \frac{2 \pi}{T} \sqrt{A^2 - \frac{A^2}{4}}$
$v = \frac{2 \pi}{T} \sqrt{\frac{3 A^2}{4}}$
$v = \frac{2 \pi}{T} \times \frac{\sqrt{3} A}{2}$
$v = \frac{\sqrt{3} \pi A}{T}$

(D) संतुलन स्थिति से शुरू होने वाले $S.H.M.$ कण का विस्थापन $x = A \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
कण का वेग $v = \frac{dx}{dt} = A \omega \cos(\omega t)$ है।
दिया गया है: $v = \pi \ m \ s^{-1}$,$T = 16 \ s$,और $t = 2 \ s$।
कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{16} = \frac{\pi}{8} \ rad \ s^{-1}$ है।
वेग समीकरण में मान रखने पर:
$\pi = A \times \frac{\pi}{8} \times \cos\left(\frac{\pi}{8} \times 2\right)$
$\pi = A \times \frac{\pi}{8} \times \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$
$1 = \frac{A}{8} \times \frac{1}{\sqrt{2}}$
$A = 8\sqrt{2} \ m$।

(B) सरल आवर्त गति करने वाले कण का अधिकतम वेग $(v_{\max})$ सूत्र $v_{\max} = A \omega$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $A$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
दिया गया है: आयाम $A = 50 \,mm = 50 \times 10^{-3} \,m = 0.05 \,m$.
आवर्तकाल $T = 2 \,s$.
कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi}{2} = \pi \,rad/s$.
मान रखने पर: $v_{\max} = 0.05 \times \pi \approx 0.05 \times 3.14159 = 0.157 \,ms^{-1}$.
अतः, दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $0.15 \,ms^{-1}$ है।

(C) $SHM$ में कण का वेग $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$SHM$ में कण का त्वरण $a = \omega^2 x$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि त्वरण का परिमाण वेग के परिमाण के बराबर है:
$\omega^2 x = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$
$\omega x = \sqrt{A^2 - x^2}$ (समीकरण $i$)
आवर्तकाल $T = \frac{2 \pi}{\sqrt{3}} \,s$ दिया गया है,इसलिए कोणीय आवृत्ति:
$\omega = \frac{2 \pi}{T} = \sqrt{3} \,rad/s$.
$\omega$ का मान समीकरण $i$ में रखने पर:
$\sqrt{3} x = \sqrt{A^2 - x^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$3x^2 = A^2 - x^2$
$4x^2 = A^2 \Rightarrow A = 2x$.
पथ की लंबाई $4 \,cm$ है,इसलिए आयाम $A = \frac{\text{पथ की लंबाई}}{2} = 2 \,cm$.
$A = 2 \,cm$ को $A = 2x$ में रखने पर:
$2 = 2x \Rightarrow x = 1 \,cm$.

(D) $S.H.M.$ में वेग के लिए समीकरण दिया गया है: $4V^2 = 50 - x^2$।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,$V^2 = \frac{1}{4}(50 - x^2) = \frac{1}{4}(50 - x^2)$ प्राप्त होता है।
इसे मानक $S.H.M.$ वेग समीकरण $V^2 = \omega^2(A^2 - x^2)$ के साथ तुलना करने पर,हम दिए गए समीकरण को $V^2 = \frac{1}{4} \cdot 50 - \frac{1}{4}x^2$ के रूप में लिख सकते हैं।
इसका अर्थ है कि $\omega^2 = \frac{1}{4}$,इसलिए $\omega = \frac{1}{2} \text{ rad/s}$।
आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$ है।
$\pi = \frac{22}{7}$ रखने पर,$T = 4 \times \frac{22}{7} = \frac{88}{7} \text{ सेकंड}$ प्राप्त होता है।
इसे दिए गए आवर्तकाल $\frac{x}{7}$ के साथ तुलना करने पर,$x = 88$ प्राप्त होता है।

(B) $S.H.M.$ में कण का वेग $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ द्वारा दिया जाता है।
दी गई मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$x_1 = 3 \ cm$ के लिए,$v_1 = 8 \ cm/s$: $8 = \omega \sqrt{A^2 - 3^2} \implies 8 = \omega \sqrt{A^2 - 9}$ ... $(i)$
$x_2 = 4 \ cm$ के लिए,$v_2 = 6 \ cm/s$: $6 = \omega \sqrt{A^2 - 4^2} \implies 6 = \omega \sqrt{A^2 - 16}$ ... (ii)
समीकरण $(i)$ को (ii) से विभाजित करने पर:
$\frac{8}{6} = \frac{\sqrt{A^2 - 9}}{\sqrt{A^2 - 16}} \implies \frac{4}{3} = \frac{\sqrt{A^2 - 9}}{\sqrt{A^2 - 16}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{16}{9} = \frac{A^2 - 9}{A^2 - 16} \implies 16(A^2 - 16) = 9(A^2 - 9)$
$16A^2 - 256 = 9A^2 - 81 \implies 7A^2 = 175 \implies A^2 = 25 \ cm^2$.
$A^2 = 25$ का मान समीकरण (ii) में रखने पर:
$6 = \omega \sqrt{25 - 16} = \omega \sqrt{9} = 3\omega \implies \omega = 2 \ rad/s$.
आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{2} = \pi \ s$ प्राप्त होता है।

(B) साम्यावस्था से शुरू होने वाले $S.H.M.$ कण का विस्थापन $x = A \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
कण का वेग $v = \frac{dx}{dt} = A \omega \cos(\omega t) \dots (i)$ है।
दिया गया है: $v = \pi \ m/s$,$T = 12 \ s$,और $t = 2 \ s$.
कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi}{12} = \frac{\pi}{6} \ rad/s$.
इन मानों को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$\pi = A \times \frac{\pi}{6} \times \cos\left(\frac{\pi}{6} \times 2\right)$
$\pi = A \times \frac{\pi}{6} \times \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$
चूंकि $\cos(60^{\circ}) = 0.5 = \frac{1}{2}$,इसलिए:
$1 = \frac{A}{6} \times \frac{1}{2}$
$1 = \frac{A}{12}$
$A = 12 \ m$.

(D) सरल आवर्त गति ($S$.$H$.$M$.) में एक कण का अधिकतम वेग $(V_{\max})$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $V_{\max} = A \omega$,जहाँ $A$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
दिया गया है: आयाम $A = 7 \ mm = 7 \times 10^{-3} \ m$,अधिकतम वेग $V_{\max} = 4.4 \ ms^{-1}$,और $\pi = \frac{22}{7}$.
हम जानते हैं कि $\omega = \frac{2\pi}{T}$,जहाँ $T$ आवर्तकाल है।
मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $4.4 = (7 \times 10^{-3}) \times \left(\frac{2 \times 22/7}{T}\right)$.
व्यंजक को सरल करने पर: $4.4 = (7 \times 10^{-3}) \times \left(\frac{44}{7T}\right)$.
$4.4 = \frac{44 \times 10^{-3}}{T}$.
$T = \frac{44 \times 10^{-3}}{4.4} = 10 \times 10^{-3} = 0.01 \ s$.

(C) $S.H.M.$ में माध्य स्थिति से $x$ दूरी पर कण का वेग $V = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$V^2 = \omega^2(A^2 - x^2)$ प्राप्त होता है।
दी गई शर्तों के लिए:
$V_1^2 = \omega^2(A^2 - x_1^2)$ $(i)$
$V_2^2 = \omega^2(A^2 - x_2^2)$ $(ii)$
समीकरण $(i)$ को $(ii)$ से घटाने पर:
$V_2^2 - V_1^2 = \omega^2(A^2 - x_2^2 - A^2 + x_1^2)$
$V_2^2 - V_1^2 = \omega^2(x_1^2 - x_2^2)$
$\omega^2 = \frac{V_2^2 - V_1^2}{x_1^2 - x_2^2}$
$\omega = \sqrt{\frac{V_2^2 - V_1^2}{x_1^2 - x_2^2}}$
चूंकि आवृत्ति $f = \frac{\omega}{2\pi}$ होती है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{V_2^2 - V_1^2}{x_1^2 - x_2^2}}$

(C) $SHM$ निष्पादित कर रहे एक कण के लिए,विस्थापन $x = A \sin(\omega t + \phi)$ है।
वेग $v = \frac{dx}{dt} = A \omega \cos(\omega t + \phi)$ है।
त्वरण $a = \frac{dv}{dt} = -A \omega^2 \sin(\omega t + \phi) = -\omega^2 x$ है।
हम जानते हैं कि कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2 \pi}{T}$ है।
अब,विकल्प $(c)$ में दिए गए व्यंजक का विमीय विश्लेषण करते हैं:
$\frac{a T}{v}$ की विमा $= \frac{[L T^{-2}] [T]}{[L T^{-1}]} = \frac{[L T^{-1}]}{[L T^{-1}]} = [M^0 L^0 T^0]$.
यह व्यंजक विमाहीन है और $SHM$ की विशेषता दर्शाने वाला एक स्थिरांक है,इसलिए यह समय के साथ नहीं बदलता है।

(B) हम जानते हैं कि $SHM$ करने वाले कण के लिए वेग $v$ और त्वरण $a$ निम्नलिखित समीकरणों द्वारा दिए जाते हैं:
$v = \omega \sqrt{A^2 - y^2}$
$a = -\omega^2 y$
माध्य स्थिति पर,विस्थापन $y = 0$ होता है।
वेग के समीकरण में $y = 0$ रखने पर:
$v = \omega \sqrt{A^2 - 0} = \omega A$
अतः,वेग अधिकतम $(v_{\max} = \omega A)$ होता है।
त्वरण के समीकरण में $y = 0$ रखने पर:
$a = -\omega^2 (0) = 0$
अतः,त्वरण शून्य होता है।

(B) $SHM$ कर रहे कण के लिए विस्थापन समीकरण $x = A \sin(\omega t + \phi)$ होता है।
दिए गए समीकरण $x = 3 \sin \left(2 \pi t + \frac{\pi}{4}\right)$ की तुलना मानक समीकरण से करने पर:
आयाम $A = 3 \ m$ प्राप्त होता है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi \ rad/s$ प्राप्त होती है।
$SHM$ में कण की अधिकतम चाल $v_{\max}$ का सूत्र $v_{\max} = \omega A$ है।
मान रखने पर: $v_{\max} = (2 \pi \ rad/s) \times (3 \ m) = 6 \pi \ m/s$.
अतः,आयाम $3 \ m$ है और अधिकतम चाल $6 \pi \ m/s$ है।

(D) कण की स्थिति $x = 2 \cos (2t)$ द्वारा दी गई है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें वेग $v$ प्राप्त होता है:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} [2 \cos (2t)] = -2 \sin (2t) \times 2 = -4 \sin (2t) \,m/s$.
अधिकतम वेग $v_{\max}$ तब होता है जब $|\sin (2t)| = 1$ हो,इसलिए $|v_{\max}| = 4 \,m/s$.
अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max}$ का सूत्र $K_{\max} = \frac{1}{2} m (v_{\max})^2$ है।
दिए गए द्रव्यमान $m = 2 \,kg$ और $v_{\max} = 4 \,m/s$ का मान रखने पर:
$K_{\max} = \frac{1}{2} \times 2 \,kg \times (4 \,m/s)^2 = 16 \,J$.

(A) सरल आवर्त गति $(SHM)$ कर रहे एक कण के लिए, अधिकतम वेग $v_{max} = A\omega$ द्वारा और अधिकतम त्वरण $a_{max} = A\omega^2$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $A$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
दिया गया है: $v_{max} = 5 \,m \,s^{-1}$ और $a_{max} = 10 \,m \,s^{-2}$।
$a_{max}$ के व्यंजक को $v_{max}$ से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है: $\frac{a_{max}}{v_{max}} = \frac{A\omega^2}{A\omega} = \omega$।
अतः, $\omega = \frac{10}{5} = 2 \,rad \,s^{-1}$।
दोलन काल $T$ कोणीय आवृत्ति से $T = \frac{2\pi}{\omega}$ सूत्र द्वारा संबंधित है।
$\omega$ का मान रखने पर, हमें $T = \frac{2\pi}{2} = \pi \,s$ प्राप्त होता है।

(D) सरल आवर्त गति में,$x$ विस्थापन पर वेग $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $A$ आयाम है।
प्रारंभ में,वेग $v_1 = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ है।
झटका लगने के बाद,वेग $v_2 = 2v_1 = 2\omega \sqrt{A^2 - x^2}$ हो जाता है।
मान लीजिए कि नया आयाम $A'$ है। चूंकि आवृत्ति $\omega$ स्थिर रहती है,समान स्थिति $x$ पर नया वेग $v_2 = \omega \sqrt{A'^2 - x^2}$ होगा।
$v_2$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\omega \sqrt{A'^2 - x^2} = 2\omega \sqrt{A^2 - x^2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $A'^2 - x^2 = 4(A^2 - x^2)$।
$A'^2 - x^2 = 4A^2 - 4x^2$।
$A'^2 = 4A^2 - 3x^2$।
अतः,नया आयाम $A' = \sqrt{4A^2 - 3x^2}$ है।

(C) प्रथम कण का विस्थापन $y_1 = 0.1 \sin(100 \pi t + \frac{\pi}{3})$ है। वेग $v_1 = \frac{dy_1}{dt} = 0.1 \times 100 \pi \cos(100 \pi t + \frac{\pi}{3}) = 10 \pi \sin(100 \pi t + \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2})$ है।
$t=0$ पर,$v_1$ की कला $\phi_1 = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{6}$ है।
दूसरे कण का विस्थापन $y_2 = 0.1 \cos(\pi t) = 0.1 \sin(\pi t + \frac{\pi}{2})$ है। वेग $v_2 = \frac{dy_2}{dt} = 0.1 \times \pi \cos(\pi t + \frac{\pi}{2}) = 0.1 \pi \sin(\pi t + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}) = 0.1 \pi \sin(\pi t + \pi)$ है।
$t=0$ पर,$v_2$ की कला $\phi_2 = \pi$ है।
कलांतर $\Delta \phi = |\phi_2 - \phi_1| = |\pi - \frac{5\pi}{6}| = \frac{\pi}{6}$ है।

(A) संतुलन स्थिति से शुरू होने वाली सरल आवर्त गति $(SHM)$ में कण का विस्थापन $x = A \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $A = 10 \,cm$ और $x = 5 \,cm$ दिया गया है,इसलिए $5 = 10 \sin(\omega t)$,जिसका अर्थ है $\sin(\omega t) = 1/2$।
अतः,$\omega t = \pi/6$। चूंकि $\omega = 2\pi/T$,हमें $t = \frac{\pi/6}{2\pi/T} = T/12$ प्राप्त होता है।
$T = 0.6 \,s$ दिया गया है,इसलिए समय अंतराल $t = 0.6/12 = 0.05 \,s$ है।
औसत वेग $V_{\text{mean}}$ को कुल विस्थापन को कुल समय अंतराल से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है:
$V_{\text{mean}} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_f - x_i}{t_f - t_i}$।
संतुलन स्थिति ($t_i = 0$ पर $x_i = 0$) से $t_f = 0.05 \,s$ पर $x_f = 5 \,cm$ तक:
$V_{\text{mean}} = \frac{5 \,cm - 0}{0.05 \,s} = 100 \,cm/s = 1 \,m/s$।

(A) दिया गया है, द्रव्यमान $m = 400 \, g = 0.4 \, kg$।
बल $F = -10 x$।
$S.H.M.$ के मानक समीकरण $F = -m \omega^2 x$ के साथ तुलना करने पर, हमें $m \omega^2 = 10$ प्राप्त होता है।
$m$ का मान रखने पर:
$0.4 \omega^2 = 10$
$\omega^2 = \frac{10}{0.4} = 25$
$\omega = 5 \, rad/s$।
दोलन के केंद्र पर अधिकतम गति $V_{max} = \omega A$ द्वारा दी जाती है।
$V_{max} = 10 \, m/s$ दिया गया है, इसलिए:
$10 = 5 \times A$
$A = \frac{10}{5} = 2 \, m$।