Velocity of Simple Harmonic Motion Questions in Hindi

(B) सरल आवर्त गति $(SHM)$ में,वस्तु का अधिकतम वेग इस प्रकार दिया जाता है:
$v_{\max} = A\omega$
इससे,हम आयाम $A$ को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं:
$A = \frac{v_{\max}}{\omega} \quad ...(i)$
जहाँ $A$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
$SHM$ करने वाली वस्तु का अधिकतम त्वरण इस प्रकार है:
$a_{\max} = \omega^2 A$
समीकरण $(i)$ से $A$ का मान $a_{\max}$ के व्यंजक में रखने पर:
$a_{\max} = \omega^2 \left( \frac{v_{\max}}{\omega} \right)$
$a_{\max} = \omega v_{\max}$

(B) सरल आवर्त गति करने वाले कण का समीकरण $x = A \cos \left(\omega t + \frac{\pi}{4}\right)$ है।
कण का वेग $v$,विस्थापन का समय के सापेक्ष अवकलन है:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} \left[ A \cos \left(\omega t + \frac{\pi}{4}\right) \right] = -A \omega \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{4}\right)$.
चाल $|v|$ तब अधिकतम होती है जब $\sin \left(\omega t + \frac{\pi}{4}\right)$ का मान $1$ या $-1$ हो।
प्रथम धनात्मक समय $t$ के लिए,यदि हम $\omega t + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ लें,तो हमें $t = \frac{\pi}{4\omega}$ प्राप्त होता है,जो विकल्प $B$ में दिया गया है।

(B) सरल आवर्त गति $(SHM)$ में,चरम स्थितियों पर कण का वेग शून्य होता है।
मान लीजिए विस्थापन $x = A \sin(\omega t)$ है। वेग $v = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t)$ होगा।
वेग तब शून्य होता है जब $\cos(\omega t) = 0$ हो,जो $t = \frac{T}{4}, \frac{3T}{4}, \dots$ पर होता है।
शून्य वेग वाले दो लगातार बिंदुओं के बीच का समय अंतराल (अर्थात,दो चरम स्थितियों के बीच) एक चरम से दूसरे चरम तक जाने में लगा समय है,जो आवर्तकाल का आधा,$\frac{T}{2}$ होता है।
दिया गया है,$\frac{T}{2} = 0.5 \text{ s}$।
इसलिए,$T = 1 \text{ s}$।
कोणीय आवृत्ति $\omega$ को $\omega = \frac{2\pi}{T}$ द्वारा दिया जाता है।
$T = 1 \text{ s}$ रखने पर,हमें $\omega = \frac{2\pi}{1} = 2\pi \text{ rad s}^{-1}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है,$SHM$ की अधिकतम चाल $v_{\max} = A\omega = 40 \,ms^{-1}$ ... $(i)$
$SHM$ का अधिकतम त्वरण $a_{\max} = A\omega^2 = 60 \,ms^{-2}$ ... (ii)
समीकरण (ii) को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{A\omega^2}{A\omega} = \frac{60}{40}$
$\omega = 1.5 \,rad/s = \frac{3}{2} \,rad/s$
हम जानते हैं कि आवर्तकाल $T$ और कोणीय आवृत्ति $\omega$ के बीच संबंध है:
$T = \frac{2\pi}{\omega}$
$\omega$ का मान रखने पर:
$T = \frac{2\pi}{3/2} = \frac{4\pi}{3} \,s$
अतः,दोलन का आवर्तकाल $\frac{4\pi}{3} \,s$ है।

(B) सरल आवर्त गति $(SHM)$ में, अधिकतम वेग $v_{\text{max}} = \omega a$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $a$ आयाम है।
दिया गया है, $v_{\text{max}} = 6.28 \text{ cm s}^{-1}$।
पथ की लंबाई एक दोलन में कण द्वारा तय की गई कुल दूरी है, जो $2a$ के बराबर होती है।
अतः, $2a = 8 \text{ cm}$, जिसका अर्थ है $a = 4 \text{ cm}$।
सूत्र $v_{\text{max}} = \omega a$ का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है $\omega = \frac{v_{\text{max}}}{a} = \frac{6.28}{4} \text{ rad s}^{-1}$।
चूँकि $\omega = \frac{2\pi}{T}$, हम लिख सकते हैं $\frac{2\pi}{T} = \frac{6.28}{4}$।
$\pi \approx 3.14$ रखने पर, हमें मिलता है $\frac{2 \times 3.14}{T} = \frac{6.28}{4}$।
$\frac{6.28}{T} = \frac{6.28}{4}$।
अतः, $T = 4 \text{ s}$।

(B) बिंदु $A$ और $B$ $SHM$ की चरम स्थितियाँ हैं क्योंकि इन बिंदुओं पर वेग शून्य है।
चरम स्थितियों $A$ और $B$ के बीच की दूरी $L = b - a$ है।
$SHM$ का आयाम $A_{amp}$ चरम स्थितियों के बीच की दूरी का आधा होता है:
$A_{amp} = \frac{b - a}{2}$
संतुलन स्थिति (माध्य स्थिति) $A$ और $B$ के मध्य बिंदु पर है,जो $O$ से $\frac{a + b}{2}$ की दूरी पर है।
माध्य स्थिति से $x$ विस्थापन पर $SHM$ में कण का वेग $v = \omega \sqrt{A_{amp}^2 - x^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$A$ और $B$ के बीच के मध्य बिंदु पर,कण माध्य स्थिति पर होता है,इसलिए विस्थापन $x = 0$ है।
अतः,मध्य बिंदु पर वेग अधिकतम वेग $v_{max} = \omega A_{amp}$ होता है।
दिया गया है कि $v_{max} = v$,इसलिए $v = \omega \left(\frac{b - a}{2}\right)$।
कोणीय आवृत्ति $\omega$ के लिए हल करने पर:
$\omega = \frac{2v}{b - a}$
आवर्तकाल $T$ इस प्रकार प्राप्त होता है:
$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\left(\frac{2v}{b - a}\right)} = \frac{\pi(b - a)}{v}$

(B) सरल आवर्त गति में,बल $F = -kx = -m\omega^2 x$ द्वारा दिया जाता है। अधिकतम बल $F_{max} = m\omega^2 A$ है।
दिया गया है कि स्थिति $x$ पर बल $F_{max}$ का $86.6 \%$ है,इसलिए $F = 0.866 F_{max} = \frac{\sqrt{3}}{2} F_{max}$।
चूंकि $F = m\omega^2 x$ और $F_{max} = m\omega^2 A$,हमें $x = \frac{\sqrt{3}}{2} A$ प्राप्त होता है।
$SHM$ में स्थिति $x$ पर कण का वेग $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ होता है।
$x = \frac{\sqrt{3}}{2} A$ प्रतिस्थापित करने पर,$v = \omega \sqrt{A^2 - (\frac{\sqrt{3}}{2} A)^2} = \omega \sqrt{A^2 - \frac{3}{4} A^2} = \omega \sqrt{\frac{1}{4} A^2} = \frac{1}{2} \omega A$ प्राप्त होता है।
अधिकतम वेग $v_{max} = \omega A$ है।
अतः,उस बिंदु पर वेग और अधिकतम वेग का अनुपात $\frac{v}{v_{max}} = \frac{\frac{1}{2} \omega A}{\omega A} = \frac{1}{2}$ है।

(D) सरल आवर्त गति में एक कण के लिए गति का समीकरण $F = -ky$ होता है। दिए गए समीकरण $F + 0.04 \pi^2 y = 0$ से, हमें $F = -0.04 \pi^2 y$ प्राप्त होता है। इसकी तुलना $F = -ky$ से करने पर, बल नियतांक $k = 0.04 \pi^2 \text{ N/m}$ है।
कण का द्रव्यमान $m = 90 \text{ g} = 0.09 \text{ kg}$ है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{0.04 \pi^2}{0.09}} = \sqrt{\frac{4 \pi^2}{9}} = \frac{2 \pi}{3} \text{ rad/s}$ है।
आयाम $A = \frac{6}{\pi} \text{ m}$ है।
अधिकतम वेग $v_{\text{max}} = A \omega$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर, $v_{\text{max}} = \left( \frac{6}{\pi} \right) \times \left( \frac{2 \pi}{3} \right) = 4 \text{ m/s}$।

(B) $t=2 \ s$ पर मूल बिंदु से गुजरने वाले कण के लिए सरल आवर्त गति का समीकरण $x(t) = A \sin(\omega(t - 2))$ है।
दिया गया है $T = 16 \ s$,इसलिए कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi}{16} = \frac{\pi}{8} \ rad/s$ है।
वेग का समीकरण $v(t) = \frac{dx}{dt} = A \omega \cos(\omega(t - 2))$ है।
$t = 4 \ s$ पर,$v = 4 \ m/s$:
$4 = A \left(\frac{\pi}{8}\right) \cos\left(\frac{\pi}{8}(4 - 2)\right)$
$4 = A \left(\frac{\pi}{8}\right) \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$
$4 = A \left(\frac{\pi}{8}\right) \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$
$A = \frac{4 \times 8 \times \sqrt{2}}{\pi} = \frac{32 \sqrt{2}}{\pi} \ m$.

(B) सरल आवर्त गति $\text{(S.H.M.)}$ में कण का त्वरण $a = -\omega^2 x$ द्वारा दिया जाता है। परिमाण लेने पर,$|a| = \omega^2 |x|$.
दिया गया है $x = 1 \ cm$ और $a = 3 \ cm s^{-2}$,इसलिए $3 = \omega^2 (1)$,जिसका अर्थ है $\omega^2 = 3 \ s^{-2}$.
सरल आवर्त गति में कण का वेग $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ द्वारा दिया जाता है।
जब $x = 2 \ cm$ है तब $v = 6 \ cm s^{-1}$ दिया गया है,मान रखने पर:
$6 = \sqrt{3} \sqrt{A^2 - 2^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$36 = 3 (A^2 - 4)$.
$3$ से विभाजित करने पर:
$12 = A^2 - 4$.
$A^2 = 16$.
$A = 4 \ cm$.

(D) सरल आवर्त गति $(SHM)$ में एक कण के लिए वेग $v$ और विस्थापन $x$ से संबंधित समीकरण दिया गया है:
$4v^2 = 25 - x^2$
$4$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$v^2 = \frac{1}{4}(25 - x^2) = \frac{1}{4}(5^2 - x^2)$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$v = \frac{1}{2}\sqrt{5^2 - x^2} \quad ... (i)$
हम जानते हैं कि $SHM$ में वेग का मानक समीकरण है:
$v = \omega\sqrt{A^2 - x^2} \quad ... (ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{1}{2} \ rad/s$
आयाम $A = 5 \ m$
आवर्तकाल $T$ का सूत्र है:
$T = \frac{2\pi}{\omega}$
$\omega$ का मान रखने पर:
$T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi \ s$

(B) माना आयाम $A$ है। कोणीय आवृत्तियाँ $\omega_1 = \frac{2\pi}{T_1} = \frac{2\pi}{3}$ और $\omega_2 = \frac{2\pi}{T_2} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$ हैं।
चूँकि दोनों $t=0$ पर मूल बिंदु से शुरू करते हैं,उनका विस्थापन $x_1 = A \sin(\omega_1 t)$ और $x_2 = A \sin(\omega_2 t)$ है।
जब वे मिलते हैं,तो $x_1 = x_2$,इसलिए $\sin(\omega_1 t) = \sin(\omega_2 t)$।
$t=0$ के बाद पहली मुलाकात के लिए,$\omega_1 t = \pi - \omega_2 t$,जिससे $t = \frac{\pi}{\omega_1 + \omega_2} = \frac{\pi}{\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3}} = 1 \ s$ प्राप्त होता है।
सरल आवर्त गति में कण का वेग $v = A\omega \cos(\omega t)$ होता है।
वेगों का अनुपात $\frac{v_P}{v_Q} = \frac{A\omega_1 \cos(\omega_1 t)}{A\omega_2 \cos(\omega_2 t)} = \frac{(2\pi/3) \cos(2\pi/3 \cdot 1)}{(\pi/3) \cos(\pi/3 \cdot 1)} = \frac{2 \cos(120^\circ)}{\cos(60^\circ)} = \frac{2(-1/2)}{1/2} = -2$ है।
अतः परिमाण का अनुपात $2:1$ है।

(D) दिया गया है, आयाम, $A = 0.2 \,cm = 2 \times 10^{-3} \,m$।
सरल आवर्त गति में माध्य स्थिति पर वेग अधिकतम वेग होता है, $v_{\text{max}} = 5 \,m/s$।
हम जानते हैं कि अधिकतम वेग का सूत्र $v_{\text{max}} = A \omega$ है।
इसलिए, कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{v_{\text{max}}}{A}$ होगी।
मान रखने पर, $\omega = \frac{5}{2 \times 10^{-3}} = 2.5 \times 10^3 = 2500 \,rad/s$।

(C) माध्य स्थिति से शुरू होने वाली सरल आवर्त गति में कण की स्थिति का समीकरण $y(t) = A \sin(\omega t)$ है,जहाँ $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4} \ rad/s$ है।
पहली सेकंड ($t=0$ से $t=1$) में तय की गई दूरी $y_1 = A \sin(\frac{\pi}{4} \times 1) = A \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{A}{\sqrt{2}}$ है।
$t=2$ सेकंड पर स्थिति $y(2) = A \sin(\frac{\pi}{4} \times 2) = A \sin(\frac{\pi}{2}) = A$ है।
दूसरी सेकंड ($t=1$ से $t=2$) में तय की गई दूरी $y_2 = y(2) - y(1) = A - \frac{A}{\sqrt{2}} = A(1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$ है।
दूरियों का अनुपात $\frac{y_1}{y_2} = \frac{A/\sqrt{2}}{A(1 - 1/\sqrt{2})} = \frac{1/\sqrt{2}}{(\sqrt{2}-1)/\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}-1}$ है।

(C) सरल आवर्त गति के लिए,विस्थापन $y = A \sin(\omega t)$ द्वारा और वेग $v = \frac{dy}{dt} = A \omega \cos(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
इन्हें पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{y}{A} = \sin(\omega t)$ और $\frac{v}{A \omega} = \cos(\omega t)$ प्राप्त होता है।
वर्ग करके जोड़ने पर,हमें $\frac{v^2}{(A \omega)^2} + \frac{y^2}{A^2} = 1$ प्राप्त होता है,जो एक दीर्घवृत्त को दर्शाता है।
$X$-अक्ष (वेग) के अनुदिश दीर्घ अक्ष $2A \omega$ है और $Y$-अक्ष (विस्थापन) के अनुदिश लघु अक्ष $2A$ है।
दीर्घ अक्ष और लघु अक्ष का अनुपात $\frac{2A \omega}{2A} = \omega$ है।
यह दिया गया है कि अनुपात $20 \pi$ है,इसलिए $\omega = 20 \pi$।
चूंकि $\omega = 2 \pi f$,इसलिए $2 \pi f = 20 \pi$।
अतः,$f = 10 \ Hz$।

(B) सरल आवर्त गति कर रहे कण की चाल $v = \omega \sqrt{a^2 - x^2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $a$ आयाम है,$\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $x$ साम्यावस्था से विस्थापन है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें मिलता है $v^2 = \omega^2 (a^2 - x^2)$।
दिए गए दो मामलों के लिए:
$v_1^2 = \omega^2 (a^2 - x_1^2) \implies 13^2 = \omega^2 (a^2 - 3^2) \implies 169 = \omega^2 (a^2 - 9) \quad (1)$
$v_2^2 = \omega^2 (a^2 - x_2^2) \implies 12^2 = \omega^2 (a^2 - 5^2) \implies 144 = \omega^2 (a^2 - 25) \quad (2)$
समीकरण $(2)$ को $(1)$ से घटाने पर:
$169 - 144 = \omega^2 (a^2 - 9 - a^2 + 25)$
$25 = \omega^2 (16)$
$\omega^2 = \frac{25}{16} \implies \omega = \frac{5}{4} \ rad/s$।
आवृत्ति $f$ कोणीय आवृत्ति से $\omega = 2 \pi f$ द्वारा संबंधित है।
इसलिए,$f = \frac{\omega}{2 \pi} = \frac{5/4}{2 \pi} = \frac{5}{8 \pi} \ Hz$।

(A) गतिज ऊर्जा के दोलन की कोणीय आवृत्ति $\omega_k = 176 \ rad/s$ दी गई है।
एक सरल आवर्त दोलक के लिए,गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 \sin^2(\omega t + \phi)$ होती है।
सर्वसमिका $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$ का उपयोग करने पर,$K = \frac{1}{4} m \omega^2 A^2 (1 - \cos(2\omega t + 2\phi))$ प्राप्त होता है।
यह दर्शाता है कि गतिज ऊर्जा $\omega_k = 2\omega$ कोणीय आवृत्ति के साथ दोलन करती है,जहाँ $\omega$ दोलक की कोणीय आवृत्ति है।
दिया गया है $\omega_k = 176 \ rad/s$,इसलिए $2\omega = 176 \ rad/s$,जिसका अर्थ है $\omega = 88 \ rad/s$।
दोलक की आवृत्ति $f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{88}{2 \times (22/7)} = \frac{88 \times 7}{44} = 2 \times 7 = 14 \ Hz$ है।

(A) सरल आवर्त गति $(SHM)$ में वेग के लिए मानक समीकरण $v^2 = \omega^2 (A^2 - x^2)$ है,जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $A$ आयाम है।
दिए गए समीकरण $v^2 = 50 - x^2$ को $v^2 = 1(50 - x^2)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे मानक समीकरण के साथ तुलना करने पर,हमें $\omega^2 = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\omega = 1 \ \text{rad/s}$।
आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{1} = 2\pi \ \text{s}$ है।
$\pi \approx \frac{22}{7}$ का उपयोग करने पर,हमें $T = 2 \times \frac{22}{7} = \frac{44}{7} \ \text{s}$ प्राप्त होता है।
प्रश्न के अनुसार,$T = \frac{x}{7} \ \text{s}$ है।
$T$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{x}{7} = \frac{44}{7}$।
अतः,$x = 44$।