Velocity of Simple Harmonic Motion Questions in Hindi

(C) दिया गया समीकरण $4v^2 = 16 - x^2$ है।
दोनों पक्षों को $16$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{4v^2}{16} + \frac{x^2}{16} = 1$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $\frac{v^2}{4} + \frac{x^2}{16} = 1$ मिलता है।
इसे $SHM$ के मानक वेग-विस्थापन संबंध $\frac{v^2}{(A\omega)^2} + \frac{x^2}{A^2} = 1$ के साथ तुलना करने पर,हम पाते हैं:
$A^2 = 16 \Rightarrow A = 4$ और $(A\omega)^2 = 4 \Rightarrow A\omega = 2$.
$A = 4$ का मान $A\omega = 2$ में रखने पर,$4\omega = 2$ प्राप्त होता है,इसलिए $\omega = 0.5 \text{ rad/s}$.
आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{0.5} = 4\pi \text{ s}$ है।

(D) विस्थापन के लिए दिए गए समीकरण $y_1 = 4 \sin(10t + \phi)$ और $y_2 = 5 \cos(10t)$ हैं।
वेग ज्ञात करने के लिए,हम समय $t$ के सापेक्ष विस्थापन का अवकलन करते हैं।
$y_1$ के लिए,वेग $v_1 = \frac{dy_1}{dt} = 4 \times 10 \cos(10t + \phi) = 40 \sin(10t + \phi + \frac{\pi}{2})$ है।
$y_2$ के लिए,वेग $v_2 = \frac{dy_2}{dt} = -5 \times 10 \sin(10t) = 50 \sin(10t + \pi)$ है।
वेग $v_1$ की कला $\theta_1 = 10t + \phi + \frac{\pi}{2}$ है।
वेग $v_2$ की कला $\theta_2 = 10t + \pi$ है।
कलांतर $\Delta \phi = \theta_1 - \theta_2 = (10t + \phi + \frac{\pi}{2}) - (10t + \pi) = \phi - \frac{\pi}{2}$।

(B) कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi}{0.4} = 5 \pi \, rad/s$ है।
कोणीय विस्थापन $\theta$ पर कोणीय वेग $\Omega$ का सूत्र $\Omega = \omega \sqrt{\theta_{0}^{2} - \theta^{2}}$ है,जहाँ $\theta_{0}$ कोणीय आयाम है।
यहाँ $\theta_{0} = \pi \, rad$ और $\theta = \pi/2 \, rad$ दिया गया है:
$\Omega = 5 \pi \sqrt{\pi^{2} - (\pi/2)^{2}}$
$\Omega = 5 \pi \sqrt{\pi^{2} - \frac{\pi^{2}}{4}}$
$\Omega = 5 \pi \sqrt{\frac{3 \pi^{2}}{4}}$
$\Omega = 5 \pi \cdot \frac{\pi \sqrt{3}}{2} = \frac{5 \pi^{2} \sqrt{3}}{2}$.
$\pi^{2} \approx 9.87$ और $\sqrt{3} \approx 1.732$ लेने पर:
$\Omega \approx \frac{5 \times 9.87 \times 1.732}{2} \approx 42.76 \, rad/s$.
अतः,सही विकल्प $42.7 \, rad/s$ है।

(C) दिया गया है,आयाम $A = 5\, cm$ और विस्थापन $x = 4\, cm$ है।
सरल आवर्त गति में वेग का परिमाण $|v| = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ होता है।
सरल आवर्त गति में त्वरण का परिमाण $|a| = \omega^2 x$ होता है।
प्रश्न के अनुसार,$x = 4\, cm$ पर $|v| = |a|$ है:
$\omega \sqrt{A^2 - x^2} = \omega^2 x$
मान रखने पर:
$\omega \sqrt{5^2 - 4^2} = 4\omega^2$
$\omega \sqrt{25 - 16} = 4\omega^2$
$3\omega = 4\omega^2$
$\omega = \frac{3}{4}\, rad/s$
आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega}$:
$T = \frac{2\pi}{3/4} = \frac{8\pi}{3}\, s$.

(B) सरल आवर्त गति $(SHM)$ करने वाले कण के लिए:
$(i)$ वेग $v$ और विस्थापन $x$ के बीच का संबंध $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ है। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$v^2 = \omega^2(A^2 - x^2)$,जो एक दीर्घवृत्त का समीकरण है,न कि परवलय का। अतः,$(i)$ गलत है।
$(ii)$ समय के साथ वेग का समीकरण $v(t) = A\omega \cos(\omega t)$ है,जो एक ज्यावक्रीय फलन है। अतः,$(ii)$ सही है।
$(iii)$ त्वरण $a(t) = -A\omega^2 \sin(\omega t)$ है। $v = A\omega \cos(\omega t)$ और $a = -A\omega^2 \sin(\omega t)$ से,$(v/A\omega)^2 + (a/A\omega^2)^2 = \cos^2(\omega t) + \sin^2(\omega t) = 1$ प्राप्त होता है। यह एक दीर्घवृत्त का समीकरण है। अतः,$(iii)$ सही है।
इस प्रकार,कथन $(ii)$ और $(iii)$ सही हैं।

(D) $SHM$ में कण का विस्थापन $x(t) = A \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega = \sqrt{K/m}$ है।
कण का वेग $v(t) = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t)$ है।
प्रत्यानयन बल $F(t) = -Kx = -KA \sin(\omega t)$ है।
प्रत्यानयन बल द्वारा दी गई शक्ति $P = F \cdot v = (-KA \sin(\omega t)) \cdot (A\omega \cos(\omega t))$ है।
$P = -KA^2 \omega \sin(\omega t) \cos(\omega t) = -\frac{1}{2} KA^2 \omega \sin(2\omega t)$।
शक्ति का परिमाण $|P| = \frac{1}{2} KA^2 \omega |\sin(2\omega t)|$ है।
अधिकतम शक्ति तब होती है जब $|\sin(2\omega t)| = 1$ हो,इसलिए $P_{max} = \frac{1}{2} KA^2 \omega$।
$\omega = \sqrt{K/m}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $P_{max} = \frac{1}{2} KA^2 \sqrt{\frac{K}{m}} = \frac{K^{3/2} A^2}{2\sqrt{m}}$ प्राप्त होता है।

(D) सरल आवर्त गति में एक कण का विस्थापन $x(t) = A \sin(\omega t)$ है।
वेग $v(t) = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t)$ है।
अधिकतम चाल $v_{max} = A\omega$ है।
औसत चाल को कुल तय की गई दूरी को कुल समय से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है।
एक पूर्ण दोलन में,कण $x = 0$ से $x = A$ तक,फिर $x = -A$ तक,और वापस $x = 0$ तक गति करता है।
तय की गई कुल दूरी $d = A + 2A + A = 4A$ है।
एक पूर्ण दोलन के लिए लिया गया समय आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega}$ है।
इसलिए,औसत चाल $v_{avg} = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{4A}{T} = \frac{4A}{2\pi/\omega} = \frac{2A\omega}{\pi}$ है।
$v_{max} = A\omega$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $v_{avg} = \frac{2v_{max}}{\pi}$ प्राप्त होता है।

(D) सरल आवर्त गति में एक कण की अधिकतम चाल $v_{max} = \omega A$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $A$ आयाम है।
चूंकि $\omega = \frac{2\pi}{T}$,हमारे पास $v_{max} = \frac{2\pi A}{T}$ है,जिसका अर्थ है $A = \frac{v_{max} T}{2\pi}$।
एक पूर्ण दोलन में,कण $T$ समय में कुल $4A$ दूरी तय करता है।
औसत चाल को कुल दूरी को कुल समय से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है: $\text{औसत चाल} = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{4A}{T}$।
औसत चाल के सूत्र में $A$ का मान प्रतिस्थापित करने पर: $\text{औसत चाल} = \frac{4}{T} \times \left( \frac{v_{max} T}{2\pi} \right) = \frac{4 v_{max}}{2\pi} = \frac{2v_{max}}{\pi}$।

(B) पिस्टन का स्ट्रोक आयाम के दोगुने $(2A)$ के बराबर होता है।
दिया गया है,$2A = 6\,m$,इसलिए आयाम $A = 3\,m$ है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = 200\,rad\,min^{-1}$ है।
कोणीय आवृत्ति को $rad\,s^{-1}$ में बदलने के लिए,हम $60$ से भाग देते हैं:
$\omega = \frac{200}{60} = \frac{10}{3}\,rad\,s^{-1}$।
सरल आवर्त गति करने वाले कण की अधिकतम गति $(V_{\max})$ का सूत्र $V_{\max} = A\omega$ है।
मान रखने पर: $V_{\max} = 3 \times \frac{10}{3} = 10\,m\,s^{-1}$।

(B) $S.H.M$ कर रहे कण का विस्थापन $x$ पर वेग $v$ सूत्र $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{T}$ और विस्थापन $x = \frac{A}{2}$ दिया गया है।
इन मानों को वेग के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$v = \frac{2\pi}{T} \sqrt{A^2 - (\frac{A}{2})^2}$
$v = \frac{2\pi}{T} \sqrt{A^2 - \frac{A^2}{4}}$
$v = \frac{2\pi}{T} \sqrt{\frac{3A^2}{4}}$
$v = \frac{2\pi}{T} \cdot \frac{\sqrt{3}A}{2}$
$v = \frac{\sqrt{3} \pi A}{T}$.

(C) $S.H.M.$ में अधिकतम वेग का सूत्र $V_{\max} = \omega A = 0.2 \ m/s$ है।
$S.H.M.$ में त्वरण का सूत्र $|a| = \omega^2 x$ है। दिया गया है कि $x = 0.1 \ m$ पर $a = 0.4 \ m/s^2$,इसलिए $0.4 = \omega^2 (0.1)$.
$\omega^2$ के लिए हल करने पर: $\omega^2 = \frac{0.4}{0.1} = 4$,जिसका अर्थ है $\omega = 2 \ rad/s$.
अधिकतम वेग के समीकरण में $\omega$ का मान रखने पर: $2 \times A = 0.2$.
अतः,आयाम $A = \frac{0.2}{2} = 0.1 \ m$ प्राप्त होता है।

(B) सरल आवर्त गति में स्थिति $x$ पर कण का वेग $V = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ द्वारा दिया जाता है।
अधिकतम वेग $V_{\max} = \omega A$ होता है।
प्रश्न के अनुसार,$V = \frac{V_{\max}}{3} = \frac{\omega A}{3}$ है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{\omega A}{3} = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$।
दोनों पक्षों को $\omega$ से विभाजित करने पर: $\frac{A}{3} = \sqrt{A^2 - x^2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{A^2}{9} = A^2 - x^2$।
$x^2$ के लिए हल करने पर: $x^2 = A^2 - \frac{A^2}{9} = \frac{8A^2}{9}$।
वर्गमूल लेने पर: $x = \sqrt{\frac{8A^2}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}A$।

(A) सरल आवर्त गति में एक कण का त्वरण $f = -\omega^2 x$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए त्वरण-समय ग्राफ के अनुसार,$t = 0$ पर,$f$ ऋणात्मक है और अपने अधिकतम परिमाण पर है। यह इंगित करता है कि कण धनात्मक चरम स्थिति $(x = A)$ पर है।
विस्थापन के लिए समीकरण $x = A \cos(\omega t)$ है।
वेग $v = \frac{dx}{dt} = -A\omega \sin(\omega t)$ है।
$t = 0$ पर,$v = 0$ है।
$t = T/4$ पर,$v = -A\omega$ (न्यूनतम) है।
$t = T/2$ पर,$v = 0$ है।
$t = 3T/4$ पर,$v = A\omega$ (अधिकतम) है।
इसे दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,जो ग्राफ $t=0$ पर $0$ से शुरू होता है,$t=T/4$ पर ऋणात्मक न्यूनतम मान पर जाता है,$t=T/2$ पर $0$ से गुजरता है और $t=3T/4$ पर धनात्मक अधिकतम मान तक पहुँचता है,वह ग्राफ $A$ है।

(B) गति का समीकरण $x = a \sin(\omega t + \pi/6)$ है।
वेग $v$ विस्थापन का समय के सापेक्ष अवकलन है: $v = \frac{dx}{dt} = a\omega \cos(\omega t + \pi/6)$.
अधिकतम वेग $v_{max} = a\omega$ है।
हमें दिया गया है कि वेग अधिकतम वेग का आधा है: $v = \frac{1}{2} v_{max} = \frac{a\omega}{2}$.
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $a\omega \cos(\omega t + \pi/6) = \frac{a\omega}{2}$,जो सरल होकर $\cos(\omega t + \pi/6) = 1/2$ हो जाता है।
चूंकि $\cos(60^{\circ}) = 1/2$ या $\cos(\pi/3) = 1/2$,इसलिए $\omega t + \pi/6 = \pi/3$ है।
$\omega = 2\pi/T$ रखने पर: $(2\pi/T)t + \pi/6 = \pi/3$.
$(2\pi/T)t = \pi/3 - \pi/6 = \pi/6$.
$t$ के लिए हल करने पर: $t = (\pi/6) \times (T/2\pi) = T/12$.

(C) $S.H.M.$ में विस्थापन $x$ पर कण का वेग $V = \omega \sqrt{a^2 - x^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
माध्य स्थिति पर,$x = 0$,इसलिए वेग $v = \omega \sqrt{a^2 - 0^2} = a\omega$.
आयाम के आधे दूरी पर,$x = \frac{a}{2}$.
इस मान को वेग के सूत्र में रखने पर: $V' = \omega \sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2} = \omega \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}} = \omega \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}a\omega$.
चूंकि $v = a\omega$,इसलिए $V' = \frac{\sqrt{3}}{2}v$ प्राप्त होता है।

(B) $SHM$ में विस्थापन $x$ पर कण का वेग $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें मिलता है $v^2 = \omega^2(A^2 - x^2) = \omega^2 A^2 - \omega^2 x^2$.
दी गई शर्तों के लिए:
$v_1^2 = \omega^2 A^2 - \omega^2 x_1^2$ --- $(1)$
$v_2^2 = \omega^2 A^2 - \omega^2 x_2^2$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ में से $(2)$ को घटाने पर:
$v_1^2 - v_2^2 = \omega^2(x_2^2 - x_1^2)$
$\omega^2 = \frac{v_1^2 - v_2^2}{x_2^2 - x_1^2}$
$\omega = \left[ \frac{v_1^2 - v_2^2}{x_2^2 - x_1^2} \right]^{1/2}$
चूंकि आवृत्ति $f = \frac{\omega}{2\pi}$ है,इसलिए हमें मिलता है:
$f = \frac{1}{2\pi} \left[ \frac{v_1^2 - v_2^2}{x_2^2 - x_1^2} \right]^{1/2}$

(C) ग्राफ से,आयाम $A$ माध्य स्थिति से अधिकतम विस्थापन है,जो $A = 0.2 \, m$ है।
आवर्तकाल $T$ एक पूर्ण दोलन में लगा समय है। ग्राफ से,एक पूर्ण चक्र $t = 0$ पर शुरू होता है और $t = 2 \, s$ पर समाप्त होता है,इसलिए $T = 2 \, s$ है।
कोणीय आवृत्ति $\omega$ को $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2} = \pi \, rad/s$ द्वारा दिया जाता है।
सरल आवर्त गति में कण का अधिकतम वेग $V_{\max}$ को $V_{\max} = A\omega$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$V_{\max} = 0.2 \times \pi = 0.2\pi \, m/s$ प्राप्त होता है।

(C) सरल आवर्त गति करने वाले कण के लिए,विस्थापन $x$ पर चाल $v$ का सूत्र इस प्रकार है:
$v^2 = \omega^2(A^2 - x^2)$
इस समीकरण का विस्तार करने पर हमें प्राप्त होता है:
$v^2 = \omega^2 A^2 - \omega^2 x^2$
यह समीकरण $y = mx + c$ के रूप में है,जहाँ $y = v^2$,$x = x^2$,$m = -\omega^2$ (ढाल) और $c = \omega^2 A^2$ (y-अंतःखंड) है।
चूंकि ढाल ऋणात्मक $(-\omega^2)$ है,इसलिए $v^2$ बनाम $x^2$ का ग्राफ एक ऋणात्मक ढाल और धनात्मक y-अंतःखंड वाली एक सीधी रेखा है।
अतः,सही ग्राफ y-अक्ष से शुरू होने वाली और नीचे की ओर जाने वाली एक सीधी रेखा है।

(C) $SHM$ करने वाले कण की चाल $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A$ आयाम है और $x$ माध्य स्थिति से विस्थापन है। जैसे-जैसे कण माध्य स्थिति से दूर जाता है,विस्थापन का परिमाण $|x|$ बढ़ता है,जिससे चाल $v$ घटती है। अतः,अभिकथन सही है।
$SHM$ में त्वरण $a = -\omega^2 x$ द्वारा दिया जाता है। त्वरण हमेशा माध्य स्थिति की ओर निर्देशित होता है। जब कण माध्य स्थिति से दूर जाता है,तो वेग माध्य स्थिति से दूर निर्देशित होता है,इसलिए त्वरण और वेग विपरीत दिशाओं में होते हैं (मंदन)। हालाँकि,जब कण माध्य स्थिति की ओर आता है,तो वेग माध्य स्थिति की ओर निर्देशित होता है,इसलिए त्वरण और वेग एक ही दिशा में होते हैं (त्वरण)। इसलिए,कारण गलत है क्योंकि त्वरण हमेशा वेग के विपरीत नहीं होता है।

(D) पिस्टन की कोणीय आवृत्ति $\omega = 200 \; rad/min$ दी गई है।
स्ट्रोक को आयाम के दोगुने के रूप में परिभाषित किया गया है $(2A = 1.0 \; m)$।
इसलिए,आयाम $A = \frac{1.0 \; m}{2} = 0.5 \; m$ है।
सरल आवर्त गति करने वाले कण की अधिकतम गति $(v_{\max})$ का सूत्र $v_{\max} = A \omega$ है।
मान रखने पर,$v_{\max} = 0.5 \; m \times 200 \; rad/min = 100 \; m/min$ प्राप्त होता है।

(N/A) त्रिज्या के वृत्तीय पथ पर $\omega$ कोणीय गति से चलने वाले कण का रैखिक वेग $v = A \omega$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ पर कण के रैखिक वेग की दिशा उस बिंदु पर वृत्त के स्पर्शरेखा की दिशा में होती है।
चित्र के अनुसार,रैखिक वेग $A \omega$ को दो परस्पर लंबवत घटकों में वियोजित किया जा सकता है। $X$-अक्ष की दिशा में घटक $A \omega \sin (\omega t + \phi)$ है,जो समय $t$ पर $X$-अक्ष पर कण के प्रक्षेप का वेग दर्शाता है।
चूंकि प्रक्षेप मूल बिंदु की ओर गति कर रहा है (धनात्मक $X$-अक्ष की विपरीत दिशा में),इसलिए वेग इस प्रकार है:
$v(t) = -A \omega \sin (\omega t + \phi)$
यह व्यंजक $SHM$ करने वाले कण का तात्क्षणिक वेग दर्शाता है।

(N/A) $SHM$ कण का तात्क्षणिक वेग समय के साथ विस्थापन में परिवर्तन की दर है।
मान लीजिए कि $A$ आयाम और $\omega$ कोणीय आवृत्ति वाले $SHM$ कण का समय $t$ पर विस्थापन है:
$x(t) = A \cos(\omega t + \phi) \quad \dots (1)$
जहाँ $\phi$ प्रारंभिक कला है।
समीकरण $(1)$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर तात्क्षणिक वेग प्राप्त होता है:
$v(t) = \frac{d[x(t)]}{dt} = \frac{d}{dt}[A \cos(\omega t + \phi)]$
$v(t) = -A \omega \sin(\omega t + \phi)$
चूंकि $\sin(\omega t + \phi) = \pm \sqrt{1 - \cos^2(\omega t + \phi)}$,इस मान को वेग के समीकरण में रखने पर:
$v(t) = -A \omega (\pm \sqrt{1 - \cos^2(\omega t + \phi)})$
$v(t) = \pm \omega \sqrt{A^2 - A^2 \cos^2(\omega t + \phi)}$
चूंकि $x^2 = A^2 \cos^2(\omega t + \phi)$,हमें प्राप्त होता है:
$v = \pm \omega \sqrt{A^2 - x^2}$
विशेष स्थितियाँ:
$(1)$ माध्य स्थिति पर,$x = 0$:
$v = \pm \omega \sqrt{A^2 - 0} = \pm \omega A$
अतः,अधिकतम वेग $v_{\max} = A \omega$ है।
$(2)$ चरम बिंदुओं पर,$x = \pm A$:
$v = \pm \omega \sqrt{A^2 - A^2} = 0$
अतः,चरम बिंदुओं पर $SHM$ कण का वेग शून्य होता है।

(N/A) $X$-अक्ष के अनुदिश $SHM$ कर रहे कण के लिए,विस्थापन $x(t) = A \sin(\omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ आयाम है,$\omega$ कोणीय आवृत्ति है,और $\phi$ प्रारंभिक कला नियतांक है।
तात्क्षणिक वेग $v(t)$,विस्थापन $x(t)$ का समय के सापेक्ष अवकलन है:
$v(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} [A \sin(\omega t + \phi)]$
$v(t) = A \omega \cos(\omega t + \phi)$
वैकल्पिक रूप से,विस्थापन $x$ के पदों में वेग:
$v = \pm \omega \sqrt{A^2 - x^2}$

(B) $SHM$ कर रहे कण का विस्थापन $x(t) = A \sin(\omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
कण का वेग विस्थापन का समय के सापेक्ष अवकलन है: $v(t) = \frac{dx}{dt} = A \omega \cos(\omega t + \phi)$.
हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(\theta) = \sin(\theta + 90^{\circ})$ का उपयोग करके वेग के समीकरण को फिर से लिख सकते हैं:
$v(t) = A \omega \sin(\omega t + \phi + 90^{\circ})$.
विस्थापन की कला $(\omega t + \phi)$ और वेग की कला $(\omega t + \phi + 90^{\circ})$ की तुलना करने पर,कलांतर $90^{\circ}$ या $\frac{\pi}{2} \text{ रेडियन}$ प्राप्त होता है।

(A) $SHM$ में एक कण का अधिकतम वेग $v_{\max} = A \omega = \beta$ द्वारा दिया जाता है।
$SHM$ में एक कण का अधिकतम त्वरण $a_{\max} = A \omega^2 = \alpha$ द्वारा दिया जाता है।
अधिकतम त्वरण को अधिकतम वेग से विभाजित करने पर:
$\frac{a_{\max}}{v_{\max}} = \frac{A \omega^2}{A \omega} = \omega$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\alpha}{\beta} = \omega$.
चूंकि कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi f$ है,जहाँ $f$ आवृत्ति है:
$\frac{\alpha}{\beta} = 2 \pi f$.
अतः,आवृत्ति $f$ होगी:
$f = \frac{\alpha}{2 \pi \beta}$.

(A) सरल आवर्त गति करने वाले कण का अधिकतम वेग $v_{\max}$ सूत्र $v_{\max} = A \omega$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
दिया गया है: आयाम $A = 4 \, cm = 4 \times 10^{-2} \, m$ और आवर्तकाल $T = 0.05 \, s$ है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi}{0.05} = 40 \pi \, rad/s$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$v_{\max} = (4 \times 10^{-2} \, m) \times (40 \pi \, rad/s)$
$v_{\max} = 1.6 \pi \, m/s$.

(A) पथ की लंबाई (कुल आयाम सीमा) $2A = 8 \ cm$ है।
इसलिए,आयाम $A = 4 \ cm$ है।
माध्य स्थिति से चरम स्थिति तक जाने में लगा समय आवर्तकाल $T$ का एक चौथाई है,जो $1 \ s$ दिया गया है।
अतः,$T/4 = 1 \ s$,जिसका अर्थ है $T = 4 \ s$।
संतुलन (माध्य) स्थिति पर वेग अधिकतम वेग होता है,जो $v_{\max} = A\omega$ द्वारा दिया जाता है।
$\omega = 2\pi/T$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $v_{\max} = A(2\pi/T)$ प्राप्त होता है।
$v_{\max} = 4 \times (2\pi / 4) = 2\pi \ cm/s$।

(A) एक सरल आवर्त दोलक का अधिकतम त्वरण $a_{\max} = A\omega^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
एक सरल आवर्त दोलक का अधिकतम वेग $v_{\max} = A\omega$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,अधिकतम त्वरण और अधिकतम वेग का अनुपात:
$\frac{a_{\max}}{v_{\max}} = \frac{A\omega^2}{A\omega} = \omega$ होगा।

(B) संदर्भ वृत्त पर कण $P$ की स्थिति $x = R \cos(\omega t + \phi)$ द्वारा दी जाती है।
$x$-अक्ष पर प्रक्षेप बिंदु $P_1$ का वेग उसकी स्थिति का समय के सापेक्ष अवकलन है:
$v = \frac{dx}{dt} = -R\omega \sin(\omega t + \phi)$.
जैसे-जैसे कण $P$ प्रथम चतुर्थांश में वामावर्त दिशा में गति करता है (जैसा कि चित्र में दिखाया गया है),कोण $\theta = (\omega t + \phi)$,$0$ और $\pi/2$ के बीच होता है।
इस सीमा में,$\sin(\omega t + \phi)$ धनात्मक होता है।
इसलिए,$v = -R\omega \sin(\omega t + \phi)$ ऋणात्मक होगा।
ज्यामितीय रूप से,जैसे $P$ वामावर्त गति करता है,उसका प्रक्षेप $P_1$ मूल बिंदु $O$ की ओर (अर्थात दाईं से बाईं ओर) गति करता है,जो ऋणात्मक वेग को दर्शाता है।

(N/A) $SHM$ कर रहे कण का विस्थापन इस प्रकार दिया गया है:
$x = A \cos(\omega t)$,जहाँ $A$ आयाम है।
विस्थापन की कला $\theta_{1} = \omega t$ है।
वेग ज्ञात करने के लिए,हम समय $t$ के सापेक्ष विस्थापन का अवकलन करते हैं:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}[A \cos(\omega t)]$
$v = -A\omega \sin(\omega t)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(\theta) = \cos(\frac{\pi}{2} + \theta)$ का उपयोग करते हुए,हम वेग को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$v = A\omega \cos(\omega t + \frac{\pi}{2})$
वेग की कला $\theta_{2} = \omega t + \frac{\pi}{2}$ है।
वेग और विस्थापन के बीच कलांतर है:
$\Delta\theta = \theta_{2} - \theta_{1}$
$\Delta\theta = (\omega t + \frac{\pi}{2}) - \omega t$
$\Delta\theta = \frac{\pi}{2}$
इस प्रकार,वेग विस्थापन से $\frac{\pi}{2}$ की कला से आगे है।

(B) $SHM$ करने वाले कण के लिए,विस्थापन $x = A \sin(\omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
समय के सापेक्ष अवकलन करने पर,वेग $v = \frac{dx}{dt} = \omega A \cos(\omega t + \phi)$ प्राप्त होता है।
विस्थापन समीकरण से,$\sin(\omega t + \phi) = \frac{x}{A}$।
वेग समीकरण से,$\cos(\omega t + \phi) = \frac{v}{\omega A}$।
सर्वसमिका $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(\frac{x}{A})^2 + (\frac{v}{\omega A})^2 = 1$।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{x^2}{A^2} + \frac{v^2}{(\omega A)^2} = 1$ प्राप्त होता है।
यह दीर्घवृत्त का मानक समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a = A$ और $b = \omega A$ है।

(C) $S.H.M.$ निष्पादित करने वाले कण का विस्थापन $x$ पर वेग $v$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $v^2 = \omega^2(A^2 - x^2)$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $v^2 = \omega^2 A^2 - \omega^2 x^2$,जिससे $v^2 + \omega^2 x^2 = \omega^2 A^2$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $\omega^2 A^2$ से विभाजित करने पर: $\frac{v^2}{(\omega A)^2} + \frac{x^2}{A^2} = 1$.
यह समीकरण दीर्घवृत्त (ellipse) के मानक रूप $\frac{y^2}{b^2} + \frac{x^2}{a^2} = 1$ में है,जहाँ $y$ वेग है और $x$ विस्थापन है।
अतः,विस्थापन के फलन के रूप में वेग का ग्राफ एक दीर्घवृत्त है।

(D) $S.H.M.$ में $y$ विस्थापन पर कण का वेग $v = \omega \sqrt{a^2 - y^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
अधिकतम चाल $v_{\max} = a\omega$ है।
दिया गया है कि चाल $v = \frac{v_{\max}}{2}$,इसलिए $\frac{a\omega}{2} = \omega \sqrt{a^2 - y^2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{a^2}{4} = a^2 - y^2$।
विस्थापन $y$ के लिए हल करने पर: $y^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$।
अतः,$y = \frac{\sqrt{3} a}{2}$।
इसे दिए गए व्यंजक $\frac{\sqrt{x} a}{2}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 3$ प्राप्त होता है।

(B) सरल आवर्त गति में $x$ विस्थापन पर कण का वेग $v^{2} = \omega^{2}(A^{2} - x^{2})$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
दी गई स्थितियों के लिए:
$v_{1}^{2} = \omega^{2}(A^{2} - x_{1}^{2}) \implies A^{2} = x_{1}^{2} + \frac{v_{1}^{2}}{\omega^{2}}$
$v_{2}^{2} = \omega^{2}(A^{2} - x_{2}^{2}) \implies A^{2} = x_{2}^{2} + \frac{v_{2}^{2}}{\omega^{2}}$
$A^{2}$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$x_{1}^{2} + \frac{v_{1}^{2}}{\omega^{2}} = x_{2}^{2} + \frac{v_{2}^{2}}{\omega^{2}}$
$\frac{v_{1}^{2} - v_{2}^{2}}{\omega^{2}} = x_{2}^{2} - x_{1}^{2}$
$\omega^{2} = \frac{v_{1}^{2} - v_{2}^{2}}{x_{2}^{2} - x_{1}^{2}}$
चूँकि $T = \frac{2\pi}{\omega}$,इसलिए $\omega^{2} = \frac{4\pi^{2}}{T^{2}}$ होगा।
$\frac{4\pi^{2}}{T^{2}} = \frac{v_{1}^{2} - v_{2}^{2}}{x_{2}^{2} - x_{1}^{2}}$
$T = 2\pi \sqrt{\frac{x_{2}^{2} - x_{1}^{2}}{v_{1}^{2} - v_{2}^{2}}}$

(B) दिया गया समीकरण $x = \sin \pi (t + 1/3) \, m$ है।
समीकरण का विस्तार करने पर,$x = \sin (\pi t + \pi/3) \, m$ प्राप्त होता है।
वेग $v$,विस्थापन $x$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन है:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} [\sin (\pi t + \pi/3)] = \pi \cos (\pi t + \pi/3) \, m/s$.
$t = 1 \, s$ पर:
$v = \pi \cos (\pi(1) + \pi/3) = \pi \cos (4\pi/3) \, m/s$.
चूंकि $\cos (4\pi/3) = \cos (\pi + \pi/3) = -\cos (\pi/3) = -1/2$:
$v = \pi \times (-1/2) = -\pi/2 \, m/s$.
चाल वेग का परिमाण है:
$|v| = |-\pi/2| = \pi/2 \, m/s$.
$cm/s$ में बदलने पर $(1 \, m = 100 \, cm)$:
$|v| = (\pi/2) \times 100 = 50\pi \, cm/s$.
$\pi = 3.14$ रखने पर:
$|v| = 50 \times 3.14 = 157 \, cm/s$.

(B) $SHM$ में एक कण के लिए,उसका वेग $v$ विस्थापन $x$ पर इस प्रकार निर्भर करता है:
$v = \omega \sqrt{A^{2} - x^{2}}$
जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $A$ आयाम है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$v^{2} = \omega^{2} (A^{2} - x^{2})$
$v^{2} = \omega^{2} A^{2} - \omega^{2} x^{2}$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$v^{2} + \omega^{2} x^{2} = \omega^{2} A^{2}$
$\omega^{2} A^{2}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{v^{2}}{(\omega A)^{2}} + \frac{x^{2}}{A^{2}} = 1$
यह समीकरण $\frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{x^{2}}{a^{2}} = 1$ के रूप में है,जो एक दीर्घवृत्त (ellipse) को दर्शाता है।
अतः,वेग $v$ और विस्थापन $x$ के बीच का ग्राफ दीर्घवृत्ताकार होता है।

(C) $SHM$ कर रहे कण की अधिकतम चाल $(V_{\max})$ का सूत्र $V_{\max} = A \omega$ है,जहाँ $A$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
दिया गया है:
आयाम $A = 20 \, cm = 0.2 \, m$
आवर्तकाल $T = 1 \, s$
कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi}{1} = 2 \pi \, rad/s$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$V_{\max} = A \omega$
$V_{\max} = 0.2 \, m \times 2 \pi \, rad/s$
$V_{\max} = 0.4 \pi \, m/s$
$\pi \approx 3.14$ का उपयोग करने पर:
$V_{\max} = 0.4 \times 3.14 = 1.256 \, m/s$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) $S.H.M.$ में एक कण का वेग $v$,विस्थापन $x$ पर $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $A$ आयाम है।
दिया गया है:
$x_1 = 4 \, m$ के लिए,$v_1 = 3 \, m/s$. अतः,$3 = \omega \sqrt{A^2 - 4^2} \implies 9 = \omega^2 (A^2 - 16) \quad (i)$
$x_2 = 3 \, m$ के लिए,$v_2 = 4 \, m/s$. अतः,$4 = \omega \sqrt{A^2 - 3^2} \implies 16 = \omega^2 (A^2 - 9) \quad (ii)$
समीकरण $(i)$ को $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{9}{16} = \frac{\omega^2 (A^2 - 16)}{\omega^2 (A^2 - 9)} = \frac{A^2 - 16}{A^2 - 9}$
$9(A^2 - 9) = 16(A^2 - 16)$
$9A^2 - 81 = 16A^2 - 256$
$7A^2 = 175 \implies A^2 = 25 \implies A = 5 \, m$
$A^2 = 25$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$9 = \omega^2 (25 - 16) = 9\omega^2$
$\omega^2 = 1 \implies \omega = 1 \, rad/s$
अतः,कोणीय आवृत्ति $1 \, rad/s$ है और आयाम $5 \, m$ है।

(A) दिए गए ग्राफ से,आयाम $(A)$ अधिकतम विस्थापन है,जो $A = 10 \, cm = 0.1 \, m$ है।
अधिकतम वेग $(v_{max})$ का सूत्र $v_{max} = A \omega = 0.4 \, m/s$ है।
$A$ का मान रखने पर,हमें $0.1 \times \omega = 0.4$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\omega = 4 \, rad/s$ है।
दोलन का आवर्तकाल $(T)$ का सूत्र $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ है।
$\omega = 4 \, rad/s$ रखने पर,हमें $T = \frac{2 \pi}{4} = \frac{\pi}{2} \, s$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $(A)$ है।

(A) सरल आवर्त गति करने वाले दोलक का अधिकतम वेग $v_{max} = A\omega$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
चूंकि दोनों लोलक समान हैं,इसलिए उनका द्रव्यमान,लंबाई और कोणीय आवृत्ति $\omega$ समान है। यह दिया गया है कि उनका आयाम $A$ भी समान है।
दोनों लोलकों के बीच कलांतर $\frac{\pi}{4}$ स्थिर है,जिसका अर्थ है कि उनकी आवृत्तियाँ समान हैं।
चूंकि $v_{max} = A\omega$ केवल आयाम और कोणीय आवृत्ति पर निर्भर करता है,और दोनों लोलकों के लिए ये दोनों पैरामीटर समान हैं,इसलिए दूसरे लोलक का अधिकतम वेग भी $v$ ही होगा।

(A) दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 1.00 \times 10^{-20} \,kg$
आवर्तकाल $T = 1.00 \times 10^{-5} \,s$
अधिकतम गति $v_{max} = A \omega = 1.00 \times 10^3 \,m/s$
कोणीय आवृत्ति $\omega$ इस प्रकार है:
$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{1.00 \times 10^{-5}} = 2\pi \times 10^5 \,rad/s$
अधिकतम गति के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$v_{max} = A \omega$
$1.00 \times 10^3 = A \times (2\pi \times 10^5)$
आयाम $A$ के लिए हल करने पर:
$A = \frac{1.00 \times 10^3}{2\pi \times 10^5} = \frac{1}{2\pi} \times 10^{-2} \,m$
$A \approx 0.15915 \times 10^{-2} \,m = 1.5915 \times 10^{-3} \,m$
चूंकि $1 \,m = 1000 \,mm$:
$A = 1.5915 \times 10^{-3} \times 10^3 \,mm = 1.5915 \,mm$
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,$A = 1.59 \,mm$।

(B) कण $t = 0$ पर माध्य स्थिति $(x = 0)$ से चलना शुरू करता है।
माध्य स्थिति पर कला (phase) $\phi_1 = 0$ है।
माध्य और चरम स्थिति के बीच के मध्य-बिंदु पर विस्थापन $x = \frac{A}{2}$ है।
समीकरण $x = A \sin \omega t$ का उपयोग करने पर,$\frac{A}{2} = A \sin(\omega t)$।
इससे $\sin(\omega t) = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है,इसलिए $\omega t = \frac{\pi}{6}$,जिसका अर्थ है $t = \frac{\pi}{6 \omega}$।
तय की गई कुल दूरी $d = \frac{A}{2} - 0 = \frac{A}{2}$ है।
औसत चाल = $\text{कुल दूरी} / \text{कुल समय}$।
औसत चाल $= \frac{A/2}{\pi / (6 \omega)} = \frac{A}{2} \times \frac{6 \omega}{\pi} = \frac{3 A \omega}{\pi}$।

(B) गति का दिया गया समीकरण: $v^2 + ax^2 = b$ है।
$v^2$ को अलग करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $v^2 = b - ax^2$ प्राप्त होता है।
दाहिनी ओर से $a$ को कॉमन लेने पर: $v^2 = a \left( \frac{b}{a} - x^2 \right)$ प्राप्त होता है।
$S.H.M.$ में कण के वेग के लिए मानक समीकरण $v^2 = \omega^2 (A^2 - x^2)$ है,जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $A$ आयाम है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,हमें $\omega^2 = a$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\omega = \sqrt{a}$।
दोलन आवृत्ति $f$ का मान $f = \frac{\omega}{2 \pi}$ द्वारा दिया जाता है।
$\omega$ का मान रखने पर: $f = \frac{\sqrt{a}}{2 \pi}$ प्राप्त होता है।

(D) विस्थापन के लिए दिया गया समीकरण $x = 10 \cos \left(2 \pi t + \frac{\pi}{2}\right)$ है।
वेग $v$,समय के सापेक्ष विस्थापन का अवकलन है: $v = \frac{dx}{dt}$।
$v = \frac{d}{dt} \left[10 \cos \left(2 \pi t + \frac{\pi}{2}\right)\right] = -10 \cdot 2 \pi \sin \left(2 \pi t + \frac{\pi}{2}\right)$।
$v = -20 \pi \sin \left(2 \pi t + \frac{\pi}{2}\right)$।
$t = \frac{1}{6} \, s$ पर,वेग:
$v = -20 \pi \sin \left(2 \pi \cdot \frac{1}{6} + \frac{\pi}{2}\right) = -20 \pi \sin \left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2}\right)$।
$v = -20 \pi \sin \left(\frac{5\pi}{6}\right)$।
चूंकि $\sin \left(\frac{5\pi}{6}\right) = \sin \left(150^\circ\right) = \frac{1}{2}$,इसलिए:
$v = -20 \pi \cdot \frac{1}{2} = -10 \pi$।
वेग का परिमाण $|v| = 10 \pi \approx 10 \cdot 3.14 = 31.4 \, cm/s$ है।

(B) $SHM$ के लिए दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{v dv}{dx} = -\omega^2 x$.
विस्थापन $x$ पर वेग $v$ ज्ञात करने के लिए,हम दोनों पक्षों का समाकलन करेंगे:
$\int_{v_0}^{v} v dv = \int_{0}^{x} -\omega^2 x dx$.
समाकलन करने पर:
$\left[ \frac{v^2}{2} \right]_{v_0}^{v} = -\omega^2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{x}$.
$\frac{1}{2}(v^2 - v_0^2) = -\frac{\omega^2 x^2}{2}$.
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर:
$v^2 - v_0^2 = -\omega^2 x^2$.
$v$ के लिए व्यवस्थित करने पर:
$v^2 = v_0^2 - \omega^2 x^2$.
वर्गमूल लेने पर:
$v = \sqrt{v_0^2 - \omega^2 x^2}$.

(C) कण का विस्थापन समीकरण $y = A \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
दिए गए समीकरण $y = 0.25 \sin(200t)$ के साथ तुलना करने पर:
आयाम $A = 0.25 \ cm$
कोणीय आवृत्ति $\omega = 200 \ rad \ s^{-1}$
कण का वेग $v$,विस्थापन का समय के सापेक्ष अवकलन है:
$v = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} [0.25 \sin(200t)] = 0.25 \times 200 \cos(200t) = 50 \cos(200t)$
अधिकतम चाल $v_{max}$ तब होती है जब $\cos(200t) = 1$ हो:
$v_{max} = A \omega = 0.25 \times 200 = 50 \ cm \ s^{-1}$.

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 250\,g = 0.25\,kg$,बल $F = -25x$,और अधिकतम चाल $v_{max} = 4\,m/s$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma$,इसलिए $ma = -25x$,जिससे $a = -\frac{25}{0.25}x = -100x$ प्राप्त होता है।
इसे सरल आवर्त गति के मानक समीकरण $a = -\omega^2 x$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\omega^2 = 100$ प्राप्त होता है,इसलिए $\omega = 10\,rad/s$ है।
सरल आवर्त गति में अधिकतम चाल $v_{max} = \omega A$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $4 = 10 \times A$।
अतः,$A = 0.4\,m$ है।
सेंटीमीटर में बदलने पर: $A = 0.4 \times 100 = 40\,cm$।

(C) दिया गया समीकरण $4v^2 = 50 - x^2$ है।
$4$ से भाग देने पर,हमें $v^2 = \frac{50}{4} - \frac{x^2}{4} = 12.5 - \frac{x^2}{4}$ प्राप्त होता है।
इसे $SHM$ के मानक वेग समीकरण $v^2 = \omega^2(A^2 - x^2)$ के साथ तुलना करने पर,हम समीकरण को $v^2 = \frac{1}{4}(50 - x^2) = \frac{50}{4}(1 - \frac{x^2}{50})$ के रूप में लिखते हैं।
अतः,$\omega^2 = \frac{1}{4}$,जिससे $\omega = \frac{1}{2} \ rad/s$ प्राप्त होता है।
आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$ होता है।
$\pi = \frac{22}{7}$ लेने पर,$T = 4 \times \frac{22}{7} = \frac{88}{7} \ s$ प्राप्त होता है।
इसे दिए गए आवर्तकाल $\frac{x}{7} \ s$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 88$ प्राप्त होता है।

(C) सरल आवर्त गति में माध्य स्थिति पर कण का वेग $V_{max} = A\omega$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $A = 4 \ cm$ और $V_{max} = 10 \ cm/s$ दिया गया है,इसलिए $10 = 4\omega$,जिससे $\omega = 2.5 \ rad/s$ प्राप्त होता है।
माध्य स्थिति से $x$ विस्थापन पर वेग $V$ का सूत्र $V = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ है।
दिए गए मानों को रखने पर: $5 = 2.5 \sqrt{4^2 - x^2}$.
$2.5$ से भाग देने पर: $2 = \sqrt{16 - x^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $4 = 16 - x^2$.
अतः,$x^2 = 12$,जिसका अर्थ है कि $x = \sqrt{12} \ cm$.
इसकी तुलना $\sqrt{\alpha} \ cm$ से करने पर,हमें $\alpha = 12$ प्राप्त होता है।