Tension Force and Pulley Block System Questions in Gujarati

(A) ધારો કે દોરડાના ઉપરના અડધા ભાગમાં તણાવ $T$ છે. દોરડાનો નીચેનો અડધો ભાગ શિરોલંબ છે અને તે $10 \; kg$ ના દળને આધાર આપે છે,તેથી નીચેના ભાગમાં તણાવ $T_{lower} = mg = 10 \times 10 = 100 \; N$ થશે.
મધ્યબિંદુ પર જ્યાં બળ $F$ લગાડવામાં આવે છે,ત્યાં બળોનું સંતુલન ધ્યાનમાં લેતા:
ઉપરના દોરડામાં તણાવ $T$ નો સમક્ષિતિજ ઘટક લગાડેલા બળ $F$ ને સંતુલિત કરે છે: $T \sin 45^{\circ} = F$.
ઉપરના દોરડામાં તણાવ $T$ નો શિરોલંબ ઘટક નીચેના દોરડાના તણાવને સંતુલિત કરે છે: $T \cos 45^{\circ} = T_{lower} = 100 \; N$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{T \sin 45^{\circ}}{T \cos 45^{\circ}} = \frac{F}{100}$.
$\tan 45^{\circ} = \frac{F}{100}$.
$\tan 45^{\circ} = 1$ હોવાથી,$1 = \frac{F}{100}$,જેનો અર્થ છે કે $F = 100 \; N$.

(D) ધારો કે દળ $m_1 = 8\; kg$ અને $m_2 = 12\; kg$ છે. આ તંત્ર એક હલકી અદબનીય દોરી દ્વારા ઘર્ષણરહિત ગરગડી પર જોડાયેલ છે.
અહીં $m_2 > m_1$ હોવાથી,દળ $m_2$ પ્રવેગ $a$ સાથે નીચે તરફ ગતિ કરશે અને $m_1$ તેટલા જ પ્રવેગ $a$ સાથે ઉપર તરફ ગતિ કરશે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
દળ $m_1$ માટે: $T - m_1 g = m_1 a$ --- $(i)$
દળ $m_2$ માટે: $m_2 g - T = m_2 a$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$(m_2 - m_1) g = (m_1 + m_2) a$
$a = \left( \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} \right) g = \left( \frac{12 - 8}{12 + 8} \right) \times 10 = \frac{4}{20} \times 10 = 2\; m/s^2$
હવે,તણાવ $T$ શોધવા માટે $a$ ની કિંમત સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$T = m_2(g - a) = 12(10 - 2) = 12 \times 8 = 96\; N$
આમ,પ્રવેગ $2\; m/s^2$ અને તણાવ $96\; N$ છે.

(B) બ્લોકનું દળ,$m = 25 \; kg$
માણસનું દળ,$M = 50 \; kg$
ગુરુત્વપ્રવેગ,$g = 10 \; m/s^2$
બ્લોકને ઊંચકવા માટે જરૂરી બળ,$F = mg = 25 \times 10 = 250 \; N$
માણસનું વજન,$W = Mg = 50 \times 10 = 500 \; N$
કિસ્સો $(a)$: જ્યારે માણસ બ્લોકને સીધો ઊંચકે છે,ત્યારે તે દોરડાને ઉપરની તરફ ખેંચે છે. ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,દોરડું માણસને $F = 250 \; N$ ના બળથી નીચેની તરફ ખેંચે છે. જમીન પર લાગતું કુલ અધોગામી બળ એ માણસનું વજન અને દોરડા દ્વારા લાગતું પ્રતિક્રિયા બળનો સરવાળો છે.
જમીન પર લાગતું બળ $= W + F = 500 + 250 = 750 \; N$.
કિસ્સો $(b)$: જ્યારે માણસ ગરગડી (pulley) નો ઉપયોગ કરીને બ્લોકને ઊંચકે છે,ત્યારે તે દોરડાને નીચેની તરફ ખેંચે છે. ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,દોરડું માણસને $F = 250 \; N$ ના બળથી ઉપરની તરફ ખેંચે છે. જમીન પર લાગતું ચોખ્ખું અધોગામી બળ એ માણસના વજનમાંથી દોરડા દ્વારા લાગતું ઉપરનું પ્રતિક્રિયા બળ બાદ કરવાથી મળે છે.
જમીન પર લાગતું બળ $= W - F = 500 - 250 = 250 \; N$.
નિષ્કર્ષ: કારણ કે જમીન $700 \; N$ પર તૂટી જાય છે,તેથી માણસે બ્લોકને ઊંચકવા માટે પદ્ધતિ $(b)$ અપનાવવી જોઈએ,કારણ કે જમીન પર લાગતું બળ $(250 \; N)$ એ $700 \; N$ ની મર્યાદા કરતા ઓછું છે.

(D) ઘર્ષણરહિત ગરગડી પરથી પસાર થતી દોરી સાથે જોડાયેલા $m_1$ અને $m_2$ દળ ધરાવતા તંત્ર માટે,પ્રવેગ $a$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$a = \frac{(m_2 - m_1)g}{m_1 + m_2}$
અહીં,$m_1 = 4 \, kg$ અને $m_2 = 6 \, kg$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$a = \frac{(6 - 4)g}{6 + 4}$
$a = \frac{2g}{10}$
$a = \frac{g}{5}$
આમ,તંત્રનો પ્રવેગ $\frac{g}{5}$ છે.

(A) ધારો કે $a_{1}$ અને $a_{2}$ એ અનુક્રમે દડા (ઉપરની તરફ) અને સળિયા (નીચેની તરફ) ના પ્રવેગ છે.
બંધન સંબંધ પરથી,$2 a_{1} = a_{2} \dots (i)$
દડા માટે,ગતિનું સમીકરણ છે: $2T - \frac{9}{5}mg = \frac{9}{5}ma_{1} \dots (ii)$
સળિયા માટે,ગતિનું સમીકરણ છે: $mg - T = ma_{2} \dots (iii)$
સમીકરણ $(iii)$ માંથી $T = mg - ma_{2}$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$2(mg - ma_{2}) - \frac{9}{5}mg = \frac{9}{5}ma_{1}$
$2mg - 2ma_{2} - 1.8mg = 1.8ma_{1}$
$0.2g - 2a_{2} = 1.8a_{1}$
સમીકરણ $(i)$ પરથી $a_{2} = 2a_{1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0.2g - 2(2a_{1}) = 1.8a_{1}$
$0.2g = 5.8a_{1} \implies a_{1} = \frac{0.2g}{5.8} = \frac{g}{29} \, m/s^2$ (ઉપરની તરફ)
તેથી $a_{2} = 2a_{1} = \frac{2g}{29} \, m/s^2$ (નીચેની તરફ)
સળિયાની સાપેક્ષમાં દડાનો સાપેક્ષ પ્રવેગ $a_{rel} = a_{1} + a_{2} = \frac{g}{29} + \frac{2g}{29} = \frac{3g}{29}$ છે.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}a_{rel}t^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u=0$ અને $s=1 \, m$:
$1 = 0 + \frac{1}{2} \left(\frac{3 \times 10}{29}\right) t^2$
$1 = \frac{15}{29} t^2 \implies t^2 = \frac{29}{15} \approx 1.933$
$t = \sqrt{1.933} \approx 1.39 \, s \approx 1.4 \, s$.

(C) ધારો કે તંત્રનો પ્રવેગ ડાબી તરફ $a$ છે.
બરફના સ્લેબ પર રહેલા $4M$ દળ માટે,ડાબી તરફ લાગતું ખેંચાણ બળ $2Mg$ અને જમણી તરફ લાગતું તણાવ બળ $T$ છે. ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ: $2Mg - T = 4Ma$ (સમીકરણ $1$).
લટકતા $M$ દળ માટે,ઉપરની તરફ લાગતું તણાવ બળ $T$ અને નીચેની તરફ લાગતું વજન બળ $Mg$ છે. તંત્ર ડાબી તરફ પ્રવેગિત થતું હોવાથી,$M$ દળ ઉપરની તરફ ગતિ કરશે. ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ: $T - Mg = Ma$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ અને સમીકરણ $2$ નો સરવાળો કરતા: $(2Mg - T) + (T - Mg) = 4Ma + Ma$.
$Mg = 5Ma$,જે આપણને $a = \frac{g}{5}$ આપે છે.
$a$ ની કિંમત સમીકરણ $2$ માં મૂકતા: $T = Mg + M(\frac{g}{5}) = Mg + \frac{Mg}{5} = \frac{6Mg}{5}$.
આ કિંમતને આપેલ પદ $\frac{x}{5}Mg$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 6$ મળે છે.

(B) ઘર્ષણરહિત ગરગડી પર દોરી વડે જોડાયેલા બે દળ $M_{1}$ અને $M_{2}$ ના તંત્રનો પ્રવેગ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$a = \frac{|M_{2} - M_{1}|}{M_{1} + M_{2}} g$
કિસ્સો $1$: આપેલ છે $M_{2} = 2M_{1}$.
$a_{1} = \frac{|2M_{1} - M_{1}|}{M_{1} + 2M_{1}} g = \frac{M_{1}}{3M_{1}} g = \frac{g}{3}$
કિસ્સો $2$: આપેલ છે $M_{2} = 3M_{1}$.
$a_{2} = \frac{|3M_{1} - M_{1}|}{M_{1} + 3M_{1}} g = \frac{2M_{1}}{4M_{1}} g = \frac{g}{2}$
હવે,ગુણોત્તર $\frac{a_{1}}{a_{2}}$ ની ગણતરી કરતા:
$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{g/3}{g/2} = \frac{2}{3}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) નીચે તરફ ગતિ કરતી વખતે વાંદરાની ફ્રી બોડી ડાયાગ્રામ ($F$.$B$.$D$):
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $mg - T = ma_1$
$500 - T = 50 \times 4 \Rightarrow T = 300\,N$.
ઉપર તરફ ગતિ કરતી વખતે વાંદરાની ફ્રી બોડી ડાયાગ્રામ ($F$.$B$.$D$):
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $T - mg = ma_2$
$T - 500 = 50 \times 5 \Rightarrow T = 750\,N$.
દોરડાની તોડવાની ક્ષમતા $350\,N$ છે.
કારણ કે $750\,N > 350\,N$,તેથી જ્યારે વાંદરો ઉપર ચઢતો હશે ત્યારે દોરડું તૂટી જશે.

(D) ધારો કે $\lambda$ એ સાંકળની રેખીય દળ ઘનતા છે,તેથી $\lambda = \frac{m}{L}$.
એક બાજુ સાંકળનું દળ $m_1 = \lambda l$ છે અને બીજી બાજુ $m_2 = \lambda (L - l)$ છે.
સાંકળ પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = (m_2 - m_1)g = \lambda(L - l - l)g = \lambda(L - 2l)g$ છે.
સાંકળનું કુલ દળ $m = \lambda L$ છે.
સાંકળનો પ્રવેગ $a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{\lambda(L - 2l)g}{\lambda L} = \frac{(L - 2l)g}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે જ્યારે $l = \frac{L}{x}$ હોય ત્યારે $a = \frac{g}{2}$,તેથી આપણે આ મૂલ્યો મૂકીએ:
$\frac{g}{2} = \frac{(L - 2(\frac{L}{x}))g}{L}$
$\frac{1}{2} = 1 - \frac{2}{x}$
$\frac{2}{x} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
$x = 4$.

(B) શરૂઆતમાં,તંત્ર સંતુલનમાં છે. દળ $M$ માટે,સ્પ્રિંગ બળ $F_s = Mg$. ગરગડી દળરહિત હોવાથી અને દોરી સળંગ હોવાથી,દોરીમાં તણાવ $T$ એ સ્પ્રિંગ બળ જેટલું જ હોય,તેથી $T = Mg$.
દળ $m$ માટે,બળો ઉપરની તરફ તણાવ $T$ અને નીચેની તરફ ગુરુત્વાકર્ષણ $mg$ છે. $m$ ને જમીન સાથે જોડતી દોરી કાપ્યા પછી,દોરીમાં તણાવ $T = Mg$ થાય છે.
$m$ પર લાગતું પરિણામી બળ ઉપરની તરફ $T - mg = Mg - mg$ છે. તેથી,$m$ નો પ્રવેગ $a_m = (Mg - mg)/m = (M-m)g/m$ ઉપરની તરફ છે.
$M$ પર લાગતું સ્પ્રિંગ બળ $Mg$ અને તેનું વજન $Mg$ એકબીજાને સંતુલિત કરે છે,તેથી $M$ નો પ્રવેગ શૂન્ય છે.

(A) આ સિસ્ટમ ગરગડી દ્વારા જોડાયેલી બે બાજુઓ ધરાવે છે। એક બાજુ $m_3 = 4 \, kg$ દળ છે। બીજી બાજુ $m_1$ અને $m_2$ દળ શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે, તેથી તે બાજુનું કુલ દળ $M_{right} = m_1 + m_2 = 4 \, kg + 2 \, kg = 6 \, kg$ છે।
સિસ્ટમ પર લાગતું ચોખ્ખું બળ $F_{net}$ એ બંને બાજુના વજન વચ્ચેનો તફાવત છે:
$F_{net} = (M_{right} \cdot g) - (m_3 \cdot g) = (6 \, kg \cdot 10 \, m/s^2) - (4 \, kg \cdot 10 \, m/s^2) = 60 \, N - 40 \, N = 20 \, N$.
સિસ્ટમનું કુલ દળ $M_{total} = m_1 + m_2 + m_3 = 4 \, kg + 2 \, kg + 4 \, kg = 10 \, kg$ છે।
ન્યૂટનના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા, $a = \frac{F_{net}}{M_{total}} = \frac{20 \, N}{10 \, kg} = 2 \, m/s^2$.
તેથી, બ્લોક્સનો પ્રવેગ $2 \, m/s^2$ છે।

(B) આપેલ છે:
$F_1 = 20 \, N$ ($4 \, kg$ ના બ્લોક પર જમણી તરફ લાગતું બળ)
$F_2 = 10 \, N$ ($2 \, kg$ ના બ્લોક પર ડાબી તરફ લાગતું બળ)
$m_1 = 2 \, kg$,$m_2 = 4 \, kg$
ધારો કે દોરીમાં તણાવ $T$ છે.
અહીં $F_1 > F_2$ હોવાથી,તંત્ર જમણી તરફ પ્રવેગિત થાય છે.
તંત્ર પર લાગતું કુલ બળ $F_{net} = F_1 - F_2 = 20 - 10 = 10 \, N$ છે.
તંત્રનું કુલ દળ $M = m_1 + m_2 = 2 + 4 = 6 \, kg$ છે.
તંત્રનો પ્રવેગ $a = \frac{F_{net}}{M} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \, m/s^2$ છે.
હવે,$2 \, kg$ ના બ્લોક માટે ફ્રી બોડી ડાયાગ્રામ ધ્યાનમાં લો:
તેના પર લાગતા બળો $T$ (જમણી તરફ) અને $F_2$ (ડાબી તરફ) છે.
$T - F_2 = m_1 a$
$T - 10 = 2 \times \frac{5}{3}$
$T = 10 + \frac{10}{3} = \frac{30 + 10}{3} = \frac{40}{3} \, N$.

(B) ધારો કે બ્લોકનું કુલ દળ $m$ છે. લાગુ પાડવામાં આવેલ બળ $F = 40 \, N$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,બ્લોકનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{m} = \frac{40}{m}$ થાય.
હવે,બ્લોકને બે સમાન ભાગોમાં વિભાજિત થયેલ ગણો,જેમાંથી દરેકનું દળ $\frac{m}{2}$ છે.
ધારો કે $T$ એ બ્લોકના મધ્યમાં રહેલું તણાવ છે. આ તણાવ $T$ એ બ્લોકના પાછળના અડધા ભાગને ખેંચતા બળ તરીકે કાર્ય કરે છે.
બ્લોકના પાછળના અડધા ભાગ માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા:
$T = (\text{પાછળના અડધા ભાગનું દળ}) \times a$
$T = \left(\frac{m}{2}\right) \times \left(\frac{40}{m}\right)$
$T = \frac{40}{2} = 20 \, N$.
તેથી,બ્લોકના મધ્યમાં તણાવ $20 \, N$ છે.

(C) તંત્ર સંતુલનમાં છે,તેથી પ્રવેગ $a = 0$ છે.
બ્લોક $C$ માટે (દળ $m = 5 \ kg$): તણાવ $T_1$ એ બ્લોક $C$ ના વજનને ટેકો આપે છે.
$T_1 = mg = 5 \times 10 = 50 \ N$.
બ્લોક $B$ માટે (દળ $m = 5 \ kg$): તણાવ $T_2$ એ બ્લોક $B$ અને બ્લોક $C$ ના વજનને ટેકો આપે છે.
$T_2 = (m + m)g = 10 \times 10 = 100 \ N$.
બ્લોક $A$ માટે (દળ $m = 5 \ kg$): તણાવ $T_3$ એ બ્લોક $A$,$B$ અને $C$ ના વજનને ટેકો આપે છે.
$T_3 = (m + m + m)g = 15 \times 10 = 150 \ N$.
તેથી,ગુણોત્તર:
$\frac{T_3}{T_1} = \frac{150}{50} = 3$.

(C) દ્રઢ આધાર પર કુલ તણાવ $T$ એ દરેક વ્યક્તિ દ્વારા દોરડા પર લગાડવામાં આવતા તણાવનો સરવાળો છે.
વ્યક્તિ $A$ $(m_A = 60 \, kg)$ માટે,જે $a_A = 2 \, m/s^2$ ના પ્રવેગ સાથે ઉપર ચઢે છે:
$T_A - m_A g = m_A a_A$
$T_A = m_A(g + a_A) = 60(10 + 2) = 60 \times 12 = 720 \, N$
વ્યક્તિ $B$ $(m_B = 50 \, kg)$ માટે,જે અચળ વેગ $(a_B = 0)$ સાથે નીચે ઉતરે છે:
$T_B = m_B g = 50 \times 10 = 500 \, N$
વ્યક્તિ $C$ $(m_C = 40 \, kg)$ માટે,જે $a_C = 1 \, m/s^2$ ના પ્રવેગ સાથે નીચે ઉતરે છે:
$m_C g - T_C = m_C a_C$
$T_C = m_C(g - a_C) = 40(10 - 1) = 40 \times 9 = 360 \, N$
દ્રઢ આધાર પર કુલ તણાવ $T = T_A + T_B + T_C = 720 + 500 + 360 = 1580 \, N$ છે.

(C) આ તંત્રમાં એક ગગડી છે જેની એક બાજુ $m$ દળનો બ્લોક છે અને બીજી બાજુ $2m + 3m = 5m$ જેટલું કુલ દળ છે.
એટવુડ મશીન માટે,જેમાં $M_1$ અને $M_2$ દળ હોય,તેનો પ્રવેગ $a = \left( \frac{M_1 - M_2}{M_1 + M_2} \right) g$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$M_1 = 5m$ અને $M_2 = m$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$a = \left( \frac{5m - m}{5m + m} \right) g$
$a = \left( \frac{4m}{6m} \right) g$
$a = \frac{2}{3} g$
તેથી,$m$ દળનો બ્લોક $\frac{2g}{3}$ ના પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરશે.

(B) દોરડામાં તણાવબળ $T$ એ લાગુ પાડેલા બળ $F$ જેટલું હોય છે,તેથી $T = F = \frac{3}{2} mg$ થાય.
દળ $m$ માટે ન્યૂટનનો ગતિનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા:
$F_{\text{net}} = ma$
અહીં,ઉપરની તરફ લાગતું બળ તણાવબળ $T$ છે અને નીચેની તરફ લાગતું બળ વજનબળ $mg$ છે:
$T - mg = ma$
$T$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{3}{2} mg - mg = ma$
$\frac{1}{2} mg = ma$
$a = \frac{g}{2}$

(B) દોરડાના એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\mu = \frac{M}{L}$ છે.
દ્રઢ આધારથી $l$ અંતરે આવેલા બિંદુનો વિચાર કરો. આ બિંદુની નીચેના દોરડાની લંબાઈ $(L-l)$ છે.
દોરડાના આ નીચેના ભાગનું દળ $m' = \mu \times (L-l) = \frac{M}{L}(L-l)$ થાય.
દોરડું સંતુલિત અવસ્થામાં હોવાથી,$l$ અંતરે રહેલું તણાવ $T$ એ દોરડાના નીચેના ભાગના વજનને સંતુલિત કરે છે.
નીચેના ભાગ માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા,$\sum F_y = m' a_y$. અહીં તંત્ર સ્થિર હોવાથી,$a_y = 0$ છે.
તેથી,$T - m'g = 0$,જેનો અર્થ છે કે $T = m'g$.
$m'$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $T = \frac{M}{L}(L-l)g$ મળે છે.

(C) ધારો કે દોરીમાં તણાવબળ $T$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પદાર્થની નીચેની તરફની ગતિ માટે:
$mg - T = ma$
અહીં પ્રવેગ $a = \frac{g}{6}$ આપેલ છે,તેથી:
$mg - T = m(\frac{g}{6})$
$T = mg - \frac{mg}{6} = \frac{5mg}{6}$
તણાવબળ $T$ ઉપરની તરફ લાગે છે જ્યારે સ્થાનાંતર $x$ નીચેની તરફ છે. તેથી,બળ (તણાવ) અને સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો $180^{\circ}$ છે.
દોરી દ્વારા થયેલું કાર્ય:
$W = T \cdot x \cdot \cos(180^{\circ})$
$W = (\frac{5mg}{6}) \cdot x \cdot (-1)$
$W = -\frac{5mgx}{6}$

(D) આ સિસ્ટમમાં $M_0$ દળની ટ્રોલી અને ગરગડી પરથી પસાર થતી દોરી વડે જોડાયેલા $M$ અને $m$ દળના બે બ્લોક છે. બધી સપાટીઓ લીસી છે.
જો $F=0$ હોય,તો સિસ્ટમ પ્રવેગિત થતી નથી,પરંતુ બ્લોક $m$ પર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ નીચેની તરફ લાગે છે,જેના કારણે તે ગતિ કરશે. તેથી,બ્લોક્સ સ્થિર રહી શકતા નથી.
જો ટ્રોલી $a = F / (M + m + M_0)$ પ્રવેગ સાથે ગતિ કરે,તો ટ્રોલીના ફ્રેમમાં બ્લોક્સ પર આભાસી બળ (Pseudo force) લાગે છે. બ્લોક્સ ટ્રોલીની સાપેક્ષમાં સ્થિર રહે તે માટે,તેમના પર લાગતા બળો સંતુલિત હોવા જોઈએ. બ્લોક $m$ માટે,આભાસી બળ $ma$ એ તણાવ બળ $T$ ને સંતુલિત કરવું જોઈએ,અને બ્લોક $M$ માટે,તણાવ બળ $T$ એ આભાસી બળ $Ma$ ને સંતુલિત કરવું જોઈએ. આ માટે $ma = T$ અને $T = Ma$ હોવું જરૂરી છે,જેનો અર્થ છે કે $m=M$. જો $M=m$ હોય,તો $F$ નું એક એવું ચોક્કસ મૂલ્ય અસ્તિત્વ ધરાવે છે જે સિસ્ટમને ટ્રોલીની સાપેક્ષમાં સ્થિર બનાવે છે. તેથી,વિધાન $(a)$ અને $(b)$ બંને સાચા છે.

(A) દોરી સહન કરી શકે તેવું મહત્તમ તણાવ $T_{max} = 600 \,N$ છે.
વાંદરાનું વજન $W = mg = 40 \times 10 = 400 \,N$ છે.
મહત્તમ પ્રવેગ $a$ સાથે ઉપર ચઢતા વાંદરા માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા:
$T_{max} - mg = ma$
$600 - 400 = 40a$
$200 = 40a$
$a = 5 \,m/s^2$
ગતિનું સમીકરણ $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ વાપરતા,જ્યાં પ્રારંભિક વેગ $u = 0$,અંતર $S = 10 \,m$,અને $a = 5 \,m/s^2$ છે:
$10 = 0 + \frac{1}{2} \times 5 \times t^2$
$10 = 2.5 t^2$
$t^2 = 4$
$t = 2 \,s$
આમ,લાગતો સમય $2 \,s$ છે.

(C) દોરીમાં તણાવ બળ શોધવા માટે,આપણે કારના અજડત્વીય સંદર્ભ ફ્રેમમાં $m$ દળના બોબ પર લાગતા બળોનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ.
કારની ફ્રેમમાં,બોબ પર નીચેની તરફ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ અને પાછળની તરફ આડું આભાસી બળ (pseudo force) $ma$ લાગે છે.
આ ફ્રેમમાં ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff} = \sqrt{g^2+a^2}$ છે.
દોરીની દિશામાં લાગતા અસરકારક વજનનો ઘટક $m g_{eff} = m \sqrt{g^2+a^2}$ છે.
કારણ કે દોરીને શિરોલંબ દિશામાં '$a$' પ્રવેગ સાથે ખેંચવામાં આવે છે,તેથી બોબ પણ કારની સાપેક્ષમાં ઉપરની તરફ '$a$' પ્રવેગ અનુભવે છે.
દોરીની દિશામાં ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા:
$T - m \sqrt{g^2+a^2} = ma$
તેથી,દોરીમાં તણાવ બળ $T = m \sqrt{g^2+a^2} + ma$ થશે.

(C) તંત્રનું કુલ દળ $M_{total} = M + M/2 = 3M/2$ છે.
આપેલ બળ $F = 2Mg$ હોવાથી,સમગ્ર તંત્રનો પ્રવેગ $a = F / M_{total} = (2Mg) / (3M/2) = 4g/3$ મળે.
દોરડા દ્વારા બ્લોક પર લાગતું બળ એ દોરડા અને બ્લોકના સંપર્ક બિંદુએ ઉદ્ભવતું તણાવબળ $T$ છે. આ બળ $M$ દળના બ્લોકને પ્રવેગિત કરવા માટે જવાબદાર છે.
બ્લોક માટે ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $T = M \times a$.
$a$ ની કિંમત મૂકતા: $T = M \times (4g/3) = 4Mg/3$.

(A) એક લીસી સ્થિર ગરગડી પરથી પસાર થતી હલકી દોરી વડે જોડાયેલા $m_1$ અને $m_2$ દળના તંત્ર માટે,પ્રવેગ $a$ નું મૂલ્ય નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$a = \frac{|m_1 - m_2| g}{m_1 + m_2}$
આપેલ છે કે પ્રવેગ $a = g / 8$,તેથી:
$\frac{|m_1 - m_2| g}{m_1 + m_2} = \frac{g}{8}$
ધારો કે $m_1 > m_2$,તો આપણને મળે:
$\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} = \frac{1}{8}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$8(m_1 - m_2) = m_1 + m_2$
$8m_1 - 8m_2 = m_1 + m_2$
$7m_1 = 9m_2$
તેથી,દળનો ગુણોત્તર:
$\frac{m_1}{m_2} = \frac{9}{7}$

(D) ધારો કે તંત્રનું કુલ દળ $M = M_1 + M_2 + M_3 = 4 \ kg + 6 \ kg + 10 \ kg = 20 \ kg$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે લાગતું કુલ અધોદિશામાં બળ $W = Mg = 20 \ kg \times 10 \ m/s^2 = 200 \ N$ છે.
તંત્ર $a = 2 \ m/s^2$ ના પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે.
આખા તંત્ર માટે ન્યૂટનનો ગતિનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા: $T_1 - Mg = Ma$.
કિંમતો મૂકતા: $T_1 - 200 = 20 \times 2$.
$T_1 - 200 = 40$.
$T_1 = 240 \ N$.

(A) $m_1$ અને $m_2$ $(m_2 > m_1)$ દળ ધરાવતી એટવુડ મશીન માટે,પ્રવેગ $a$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$a = \left( \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} \right) g$
આપેલ છે કે $a = \frac{g}{\sqrt{2}}$,તેથી આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{g}{\sqrt{2}} = \left( \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} \right) g$
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2}$
$m_1 + m_2 = \sqrt{2} m_2 - \sqrt{2} m_1$
$m_1 + \sqrt{2} m_1 = \sqrt{2} m_2 - m_2$
$m_1(1 + \sqrt{2}) = m_2(\sqrt{2} - 1)$
$\frac{m_1}{m_2} = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1}$

(B) $\text{પદાર્થ અને સાંકળ ધરાવતી આ સિસ્ટમ સંતુલનમાં છે.}$
$\text{ડાળી પર લાગતું કુલ અધોદિશાનું બળ એ પદાર્થનું વજન અને સાંકળના વજનનો સરવાળો છે.}$
$\text{પદાર્થનું વજન},W_b = 200 \,N$.
$\text{સાંકળનું વજન},W_c = m \times g = 10 \,kg \times 10 \,m/s^2 = 100 \,N$.
$\text{સિસ્ટમ સંતુલનમાં હોવાથી,સાંકળ જ્યાં ડાળી સાથે જોડાયેલી છે ત્યાં સાંકળમાં ઉદ્ભવતું તણાવબળ } T \text{ કુલ વજનને સંતુલિત કરે છે.}$
$T = W_b + W_c = 200 \,N + 100 \,N = 300 \,N$.
$\text{તેથી,ડાળી સાંકળને } 300 \,N \text{ ના બળથી ખેંચે છે.}$

(A) $m_1$ અને $m_2$ દળ ધરાવતી એટવુડ મશીન (જ્યાં $m_2 > m_1$) માટે,સિસ્ટમનો પ્રવેગ $a$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $a = \left( \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} \right) g$.
આપેલ છે કે પ્રવેગ $a = \frac{g}{8}$ છે,તેથી આપણે બંને સમીકરણોને સરખાવીએ: $\frac{g}{8} = \left( \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} \right) g$.
બંને બાજુથી $g$ ને દૂર કરતા,આપણને મળે છે: $\frac{1}{8} = \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $m_1 + m_2 = 8(m_2 - m_1)$.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $m_1 + m_2 = 8m_2 - 8m_1$.
$m_1$ અને $m_2$ ને એક બાજુ લાવતા: $m_1 + 8m_1 = 8m_2 - m_2$.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $9m_1 = 7m_2$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{m_2}{m_1} = \frac{9}{7}$ થાય.

(B) ધારો કે દોરી દ્વારા સમક્ષિતિજ સાથે બનાવેલો ખૂણો $\theta$ છે. દોરીના દરેક અડધા ભાગની લંબાઈ $a$ છે. જ્યારે કણો વચ્ચેનું અંતર $2x$ હોય,ત્યારે કેન્દ્ર $P$ થી દરેક કણનું સમક્ષિતિજ અંતર $x$ છે.
ભૂમિતિ પરથી,$\cos \theta = \frac{x}{a}$ અને $\sin \theta = \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a}$.
દોરીના મધ્યબિંદુના શિરોલંબ સંતુલનને ધ્યાનમાં લેતા: $2T \sin \theta = F$,તેથી $T = \frac{F}{2 \sin \theta}$.
દરેક કણ પર લાગતું સમક્ષિતિજ બળ $T \cos \theta = ma$ છે,જ્યાં $a$ એ કણનો પ્રવેગ છે.
$T$ ની કિંમત મૂકતા: $ma = \left( \frac{F}{2 \sin \theta} \right) \cos \theta = \frac{F}{2} \cot \theta$.
કારણ કે $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{x/a}{\sqrt{a^2-x^2}/a} = \frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}$,
તેથી આપણને $ma = \frac{F}{2} \left( \frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}} \right)$ મળે છે,
જેના પરથી પ્રવેગ $a = \frac{F}{2m} \left( \frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}} \right)$ મળે છે.

(C) ધારો કે તંત્રનો પ્રવેગ $a$ છે અને દોરીમાં તણાવબળ $T$ છે.
શિરોલંબ લટકતા $6 \ kg$ દળ માટે ગતિનું સમીકરણ: $6g - T = 6a \quad \dots(i)$
ઘર્ષણરહિત ટેબલ પર રહેલા $4 \ kg$ દળ માટે ગતિનું સમીકરણ: $T = 4a \quad \dots(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$6g - T + T = 6a + 4a$
$6g = 10a$
$g = 10 \ ms^{-2}$ મૂકતા:
$6 \times 10 = 10a$
$60 = 10a$
$a = 6 \ ms^{-2}$
આમ,$6 \ kg$ દળના પદાર્થનો પ્રવેગ $6 \ ms^{-2}$ છે.

(D) તંત્ર $m$ અને $2m$ દળના બે બ્લોક્સનું બનેલું છે જે ગરગડી પરથી પસાર થતી દોરી વડે જોડાયેલા છે. તંત્રનો પ્રવેગ $a = \frac{(m_2 - m_1)g}{m_1 + m_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$a = \frac{(2m - m)g}{2m + m} = \frac{mg}{3m} = \frac{g}{3}$.
તારમાં તણાવ $T$ એ $m$ દળ માટે ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે: $T - mg = ma$,તેથી $T = m(g + a)$.
$a = \frac{g}{3}$ મૂકતા,આપણને $T = m(g + \frac{g}{3}) = m(\frac{4g}{3}) = \frac{4mg}{3}$ મળે છે.
પ્રતિબળ (Stress) એ એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,તેથી $\text{Stress} = \frac{T}{A} = \frac{4mg}{3A}$.

(D) ધારો કે તંત્રનો પ્રવેગ $a$ છે. તંત્રનું કુલ દળ $M = 5 \text{ kg} + 3 \text{ kg} + 1 \text{ kg} = 9 \text{ kg}$ છે.
ચોખ્ખું પ્રેરક બળ વજનમાં તફાવત જેટલું છે: $F_{\text{net}} = (5g) - (3g + 1g) = 5g - 4g = g$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$F_{\text{net}} = Ma$,તેથી $g = 9a$,જે $a = \frac{g}{9}$ આપે છે.
હવે,બ્લોક $B$ ($1 \text{ kg}$ દળ) ની મુક્ત પદાર્થ આકૃતિ $(FBD)$ ધ્યાનમાં લો. તેના પર લાગતા બળો તેનું વજન $(1g)$ નીચેની તરફ અને તણાવ $T_2$ ઉપરની તરફ છે. કારણ કે તંત્ર એવી રીતે પ્રવેગિત થાય છે કે બ્લોક $B$ ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,તેથી:
$T_2 - 1g = 1a$
$T_2 = g + a = g + \frac{g}{9} = \frac{10g}{9}$.
આમ,બ્લોક $A$ અને $B$ ને જોડતી દોરીમાં તણાવ $\frac{10g}{9}$ છે.

(B) એટવુડ મશીનમાં,દોરીમાં તણાવ $T$ એ $T = \frac{2 m_1 m_2 g}{m_1 + m_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. સ્પ્રિંગમાં વિસ્તરણ $x$ એ તણાવ $T$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(x = T/k)$.
કિસ્સો $1$: $m_1 = 2 \ kg, m_2 = 2 \ kg$. તણાવ $T_1 = \frac{2 \times 2 \times 2 \times g}{2 + 2} = 2g$.
કિસ્સો $2$: $m_1 = 3 \ kg, m_2 = 2 \ kg$. તણાવ $T_2 = \frac{2 \times 3 \times 2 \times g}{3 + 2} = 2.4g$.
કિસ્સો $3$: $m_1 = 1 \ kg, m_2 = 2 \ kg$. તણાવ $T_3 = \frac{2 \times 1 \times 2 \times g}{1 + 2} = 1.33g$.
તણાવની સરખામણી કરતા,આપણને $T_2 > T_1 > T_3$ મળે છે.
જેમ કે $x \propto T$,તેથી વિસ્તરણ પણ સમાન ક્રમમાં હશે: $x_2 > x_1 > x_3$.

(D) ધારો કે દોરીઓમાં તણાવબળ $T$ છે. ગરગડીઓ ઘર્ષણરહિત અને દળરહિત હોવાથી,દોરીમાં તણાવ $T$ એ લટકતા દળ $M$ ના વજન જેટલું હોય છે,તેથી $T = Mg$.
કેન્દ્રમાં રહેલા $\sqrt{2}M$ દળને સંતુલનમાં રાખવા માટે,તણાવબળના ઉર્ધ્વ ઘટકોએ તેના વજનને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
બંને દોરીઓમાં તણાવબળનો ઉર્ધ્વ ઘટક $T \cos \theta$ છે.
તેથી,કુલ ઉર્ધ્વ બળ $2T \cos \theta$ થાય.
આ બળને કેન્દ્રના દળના વજન સાથે સરખાવતા:
$2T \cos \theta = (\sqrt{2}M)g$
$T = Mg$ હોવાથી,આપણે આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2(Mg) \cos \theta = \sqrt{2}Mg$
$2 \cos \theta = \sqrt{2}$
$\cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$

(B) આ તંત્રમાં બે બ્લોક $A$ અને $B$ એક દોરી વડે જોડાયેલા છે. ટેબલ ઘર્ષણરહિત હોવાથી અને તંત્ર $a = 2 \,ms^{-2}$ ના પ્રવેગથી ગતિ કરતું હોવાથી, આપણે બ્લોક $A$ ની ગતિનું અલગથી વિશ્લેષણ કરી શકીએ છીએ.
બ્લોક $A$ દોરીમાં રહેલા તણાવબળ $T$ દ્વારા ખેંચાય છે. ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ, બ્લોક $A$ પર લાગતું બળ નીચે મુજબ છે:
$T = M_A \times a$
આપેલ છે:
$M_A = 20 \,kg$
$a = 2 \,ms^{-2}$
કિંમતો મૂકતા:
$T = 20 \,kg \times 2 \,ms^{-2} = 40 \,N$
આમ, દોરીમાં ઉદ્ભવતું તણાવબળ $40 \,N$ છે.

(B) ધારો કે દોરીમાં તણાવ $T$ છે અને તંત્રનો પ્રવેગ $a$ છે.
દળ $m$ માટે (ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે): $T - mg = ma$ --- $(1)$
દળ $\frac{3}{2}m$ માટે (નીચેની તરફ ગતિ કરે છે): $\frac{3}{2}mg - T = \frac{3}{2}ma$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(T - mg) + (\frac{3}{2}mg - T) = ma + \frac{3}{2}ma$
$\frac{1}{2}mg = \frac{5}{2}ma$
$a = \frac{g}{5}$
આમ,દળ $m$ એ $\frac{g}{5}$ ના પ્રવેગ સાથે ઉપર તરફ ગતિ કરશે.

(A) ધારો કે તંત્રનો પ્રવેગ $a$ છે અને દોરીમાં તણાવબળ $T$ છે.
$(M+m)$ દળ ધરાવતા બ્લોક માટે (નીચેની તરફ ગતિ કરે છે):
$(M+m)g - T = (M+m)a$ --- $(1)$
$M$ દળ ધરાવતા બ્લોક માટે (ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે):
$T - Mg = Ma$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(M+m)g - Mg = (M+m+M)a$
$mg = (2M+m)a$
$a = \frac{mg}{2M+m}$

(B) જ્યારે લિફ્ટ $a$ પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે ત્યારે દોરડામાં ઉદ્ભવતું તણાવબળ $T = M(g + a)$ થાય છે.
પ્રતિબળ $\sigma$ ને એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,તેથી $\sigma = \frac{T}{A}$,જ્યાં $A = \pi r^2 = \pi (\frac{d}{2})^2 = \frac{\pi d^2}{4}$ છે.
મહત્તમ સુરક્ષિત પ્રતિબળ $S$ આપેલ હોવાથી,$S = \frac{M(g + a)}{\frac{\pi d^2}{4}}$ થાય.
વ્યાસ $d$ માટે સૂત્ર બનાવતા,$d^2 = \frac{4 M(g + a)}{\pi S}$ મળે.
તેથી,લઘુત્તમ વ્યાસ $d = [\frac{4 M(g + a)}{\pi S}]^{\frac{1}{2}}$ થાય.

(A) કણ લીસી આડી ટેબલ પર નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ કરી રહ્યો છે.
આ ગતિમાં,કણ પર વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ લાગતું એકમાત્ર આડું બળ એ દોરીમાં રહેલું તણાવ બળ $T$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,વર્તુળાકાર ગતિ કરતા પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ એ તે ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ જેટલું હોવું જોઈએ.
કેન્દ્રગામી બળ $F_c$ નું સૂત્ર $F_c = \frac{m v^{2}}{l}$ છે.
અહીં તણાવ બળ $T$ એ જ કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે,તેથી:
પરિણામી બળ (કેન્દ્ર તરફની દિશામાં) $= T = \frac{m v^{2}}{l}$.
આમ,કણ પર કેન્દ્ર તરફ લાગતું પરિણામી બળ $T$ છે.

(B) તંત્રનો પ્રવેગ $a$ એ $a = \left(\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\right) g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિના સમીકરણ $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $S = 3 \ m$,$u = 0$,અને $t = 3 \ s$ છે:
$3 = 0 + \frac{1}{2} \times a \times (3)^2$
$3 = \frac{1}{2} \times a \times 9$
$a = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \ ms^{-2}$.
હવે,$a$ ની કિંમત પ્રવેગના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{2}{3} = \left(\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\right) \times 10$
$\frac{2}{30} = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}$
$\frac{1}{15} = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}$
$m_1 + m_2 = 15m_1 - 15m_2$
$16m_2 = 14m_1$
$\frac{m_1}{m_2} = \frac{16}{14} = \frac{8}{7}$.

(A) આપેલ છે:
પદાર્થનું દળ,$m = 200 \, kg$
દોરડાનું બ્રેકિંગ ફોર્સ,$T = 50 \, kg\text{-wt} = 50 \times 10 \, N = 500 \, N$
ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ,$g = 10 \, ms^{-2}$
જ્યારે પદાર્થને $a$ પ્રવેગ સાથે નીચે ઉતારવામાં આવે છે,ત્યારે ગતિનું સમીકરણ:
$mg - T = ma$
કિંમતો મૂકતા:
$(200 \times 10) - 500 = 200a$
$2000 - 500 = 200a$
$1500 = 200a$
$a = \frac{1500}{200} = 7.5 \, ms^{-2}$
આમ,મહત્તમ પ્રવેગ $7.5 \, ms^{-2}$ છે.

(C) ધારો કે દોરીમાં તણાવ $T$ છે.
ક્લેમ્પ પર લાગતું મહત્તમ ઉર્ધ્વ બળ $T \sin 30^{\circ} = 40 \,N$ છે.
$\sin 30^{\circ} = 1/2$ ની કિંમત મૂકતા:
$T \cdot (1/2) = 40$
$T = 80 \,N$
હવે,$m = 5 \,kg$ દળ ધરાવતા વાંદરા માટે મુક્ત પદાર્થ આકૃતિ $\text{(FBD)}$ ધ્યાનમાં લો જે $a$ પ્રવેગ સાથે ઉપર ચઢે છે.
વાંદરા પર લાગતા બળો ઉપરની તરફ તણાવ $T$ અને નીચેની તરફ વજન $mg$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ: $T - mg = ma$
$a = (T - mg) / m$
$T = 80 \,N$,$m = 5 \,kg$,અને $g = 10 \,ms^{-2}$ ની કિંમતો મૂકતા:
$a = (80 - 5 \times 10) / 5$
$a = (80 - 50) / 5$
$a = 30 / 5 = 6 \,ms^{-2}$
આમ,મહત્તમ પ્રવેગ $6 \,ms^{-2}$ છે.

(C) ધારો કે વજન $W_1 = 2 \,N$ અને $W_2 = 3 \,N$ છે. દળ $m_1 = W_1/g$ અને $m_2 = W_2/g$ છે.
ગરગડી $a = g$ ના પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે.
ગરગડીના સંદર્ભ ફ્રેમમાં, દરેક દળ પર નીચેની તરફ આભાસી બળ $F_p = ma$ લાગે છે.
આમ, દરેક દળ માટે અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ $g_{eff} = g + a = g + g = 2g$ થાય છે.
અસરકારક વજન $W_1' = m_1(2g) = 2W_1 = 4 \,N$ અને $W_2' = m_2(2g) = 2W_2 = 6 \,N$ છે.
ગરગડી પર રહેલી દોરીમાં તણાવ $T = \frac{2m_1m_2}{m_1+m_2} g_{eff}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અસરકારક વજન મૂકતા: $T = \frac{2 W_1' W_2'}{W_1' + W_2'} = \frac{2 \times 4 \times 6}{4 + 6} = \frac{48}{10} = 4.8 \,N$.

(D) ધારો કે એક અવગણ્ય દળ ધરાવતો તાર છત પરથી લટકાવેલ છે. તારના નીચેના છેડે $F$ જેટલું બળ લગાડવામાં આવે છે.
તારનું દળ શૂન્ય હોવાથી,સંતુલન સ્થિતિમાં તારના કોઈપણ ભાગ પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
જો આપણે તારનો કોઈપણ આડછેદ લઈએ અને તે આડછેદની નીચેનો ભાગ વિચારીએ,તો આ ભાગ પર માત્ર બે જ બળો લાગે છે: આડછેદ પર ઉપરની તરફ લાગતું તણાવ બળ $T$ અને છેડે નીચેની તરફ લાગતું વજન $F$.
ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,$T - F = ma$. અહીં તારનું દળ $m = 0$ હોવાથી,$T - F = 0$,જે દર્શાવે છે કે $T = F$.
તેથી,તારના કોઈપણ આડછેદ પર તણાવ $F$ જેટલું હોય છે.

(B) તંત્રનો સામાન્ય પ્રવેગ નીચે મુજબ છે:
$a = \left( \frac{m_A - m_B}{m_A + m_B} \right) g = \left( \frac{1.5 - 0.5}{1.5 + 0.5} \right) g = \frac{1}{2} g = 5 \ m/s^2$.
જ્યારે બ્લોક $A$ ને $80 \ cm$ $(0.8 \ m)$ ની ઊંચાઈથી મુક્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે $a = 5 \ m/s^2$ ના પ્રવેગ સાથે નીચે તરફ ગતિ કરે છે. જ્યારે બ્લોક $A$ જમીન પર અથડાય છે ત્યારે બ્લોકનો વેગ $v$ એ $v^2 = u^2 + 2as$ દ્વારા મળે છે:
$v^2 = 0 + 2(5)(0.8) = 8 \ (m/s)^2$.
આ ક્ષણે,બ્લોક $B$ જમીનથી $80 \ cm$ ની ઊંચાઈ પર છે અને તેનો ઉપરની તરફનો વેગ $v = \sqrt{8} \ m/s$ છે.
બ્લોક $A$ જમીન પર અથડાયા પછી,દોરી ઢીલી થઈ જાય છે અને બ્લોક $B$ ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ $g = 10 \ m/s^2$ ના પ્રતિપ્રવેગ સાથે ગતિ કરે છે.
બ્લોક $B$ દ્વારા વધારાની કાપવામાં આવેલી ઊંચાઈ $h$ શોધવા માટે ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$v_f^2 = v^2 - 2gh$
$0 = 8 - 2(10)h$
$h = \frac{8}{20} = 0.4 \ m = 40 \ cm$.
બ્લોક $B$ દ્વારા જમીનથી પ્રાપ્ત કરવામાં આવતી મહત્તમ ઊંચાઈ એ પ્રારંભિક ઊંચાઈ અને વધારાની ઊંચાઈનો સરવાળો છે:
$H_{max} = 80 \ cm + 40 \ cm = 120 \ cm$.

(B) ધારો કે $M = 10 \ kg$ એ આડી સપાટી પરનું દળ છે અને $m$ એ લટકતા બ્લોકનું દળ છે.
સિસ્ટમ સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે.
લટકતા બ્લોક દ્વારા કાપેલું અંતર $s = 2 \ m$ છે અને સમય $t = 2 \ s$ છે.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 = 0 + \frac{1}{2} \times a \times (2)^2$
$2 = 2a \Rightarrow a = 1 \ ms^{-2}$.
હવે,સિસ્ટમ પર ન્યૂટનનો ગતિનો બીજો નિયમ લાગુ કરતા:
લટકતા બ્લોક માટે: $mg - T = ma$
સપાટી પરના બ્લોક માટે: $T = Ma$
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $mg = (M + m)a$
$m(g - a) = Ma$
$m(10 - 1) = 10 \times 1$
$9m = 10 \Rightarrow m = \frac{10}{9} \ kg \approx 1.11 \ kg$.
લટકતા બ્લોકનું વજન $W = mg = \frac{10}{9} \times 10 = \frac{100}{9} \ N \approx 11.11 \ N$ થાય.

(B) ધારો કે જ્યારે દોરીને ખેંચવામાં આવે છે ત્યારે તે સમક્ષિતિજ સપાટી સાથે ત્રિકોણ બનાવે છે. દોરીના દરેક અડધા ભાગની લંબાઈ $a$ છે. ધારો કે મધ્યબિંદુથી દરેક કણનું સમક્ષિતિજ અંતર $x$ છે. મધ્યબિંદુ $P$ ની શિરોલંબ ઊંચાઈ $y = \sqrt{a^2 - x^2}$ છે.
ધારો કે $\theta$ એ દોરી સમક્ષિતિજ સપાટી સાથે બનાવેલો ખૂણો છે. તેથી $\cos \theta = \frac{x}{a}$ અને $\sin \theta = \frac{y}{a} = \frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{a}$.
મધ્યબિંદુ $P$ માટે,શિરોલંબ બળનું સંતુલન $2T \sin \theta = F$ છે,તેથી $T = \frac{F}{2 \sin \theta}$.
$m$ દળ ધરાવતા દરેક કણ માટે,સમક્ષિતિજ બળ $T \cos \theta = ma_{p}$ છે,જ્યાં $a_{p}$ એ કણનો પ્રવેગ છે.
$T$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $a_{p} = \frac{T \cos \theta}{m} = \frac{F \cos \theta}{2m \sin \theta} = \frac{F}{2m} \cot \theta$ મળે છે.
કારણ કે $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{x/a}{\sqrt{a^2 - x^2}/a} = \frac{x}{\sqrt{a^2 - x^2}}$,તેથી પ્રવેગ $a_{p} = \frac{F}{2m} \frac{x}{\sqrt{a^2 - x^2}}$ થાય છે.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 4 \text{ kg}$,સ્પ્રિંગ અચળાંક $K = 8 \times 10^3 \text{ Nm}^{-1}$,$g = 10 \text{ ms}^{-2}$.
નીચેની ગરગડીના ફ્રી બોડી ડાયાગ્રામ પરથી,$4 \text{ kg}$ દળને ટેકો આપતી દોરીમાં તણાવ $T = mg = 4 \times 10 = 40 \text{ N}$ છે.
નીચેની ગરગડી દોરીના બે ભાગો દ્વારા ટેકો પામે છે,જેમાં દરેકનું તણાવ $T$ છે. આમ,નીચેની ગરગડી દ્વારા ઉપરની ગરગડી પર લાગતું બળ $2T = 2 \times 40 = 80 \text{ N}$ છે.
ઉપરની ગરગડી સ્પ્રિંગ અને જમીન સાથે જોડાયેલી દોરી દ્વારા ટેકો પામે છે. ઉપરની ગરગડી પરનું કુલ અધોગામી બળ એ જમીન સાથે જોડાયેલી દોરીનું તણાવ $(2T)$ અને નીચેની ગરગડી દ્વારા લાગતું બળ $(2T)$ નો સરવાળો છે.
તેથી,સ્પ્રિંગમાં કુલ બળ $F = 2T + 2T = 4T = 4 \times 40 = 160 \text{ N}$ છે.
હૂકના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,સ્પ્રિંગમાં વિસ્તરણ $x = \frac{F}{K} = \frac{160}{8 \times 10^3} = 20 \times 10^{-3} \text{ m} = 2 \times 10^{-2} \text{ m} = 2 \text{ cm}$ મળે છે.

(A) આપેલ છે:
બ્લોક $1$ નું દળ, $m_1 = 0.36 \,kg$
બ્લોક $2$ નું દળ, $m_2 = 0.72 \,kg$
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ, $g = 10 \,m/s^2$
સમય, $t = 1 \,s$
તંત્રનો પ્રવેગ $a$ નીચે મુજબ મળે છે:
$a = \frac{(m_2 - m_1)g}{m_1 + m_2} = \frac{(0.72 - 0.36) \times 10}{0.72 + 0.36} = \frac{0.36 \times 10}{1.08} = \frac{3.6}{1.08} = \frac{10}{3} \,m/s^2$
દોરીમાં તણાવબળ $T$:
$T = m_1(g + a) = 0.36 \times (10 + \frac{10}{3}) = 0.36 \times \frac{40}{3} = 0.12 \times 40 = 4.8 \,N$
$t = 1 \,s$ માં બ્લોક $m_1$ નું સ્થાનાંતર $s$:
$s = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2} \times \frac{10}{3} \times (1)^2 = \frac{5}{3} \,m$
બ્લોક $m_1$ પર દોરી દ્વારા થયેલ કાર્ય:
$W = T \times s \times \cos(0^\circ) = 4.8 \times \frac{5}{3} = 1.6 \times 5 = 8 \,J$