Tension Force and Pulley Block System Questions in Gujarati

(B) ધારો કે દોરડામાં તણાવ $T$ છે અને માણસ તથા પ્લેટફોર્મ વચ્ચેનું લંબબળ $N$ છે. માણસ અને પ્લેટફોર્મ બંને $a = 2 \ m/s^2$ ના ઉપર તરફના પ્રવેગથી ગતિ કરે છે.
માણસ માટે:
$T + N - m_m g = m_m a$
$T + N - 60(10) = 60(2)$
$T + N = 600 + 120 = 720 \quad ...(1)$
પ્લેટફોર્મ માટે:
પ્લેટફોર્મ પર ઉપરની તરફ દોરડાના બે ભાગ ખેંચાણ બળ લગાડે છે. પ્લેટફોર્મ પરનું કુલ ઉપરનું બળ $2T$ છે.
$2T - N - m_p g = m_p a$
$2T - N - 40(10) = 40(2)$
$2T - N = 400 + 80 = 480 \quad ...(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(T + N) + (2T - N) = 720 + 480$
$3T = 1200$
$T = 400 \ N$
આમ,માણસે દોરડા પર $400 \ N$ જેટલું બળ લગાડવું પડશે.

(D) છોકરાના સંતુલન માટે,બંને હાથમાં રહેલા તણાવનો શિરોલંબ ઘટક છોકરાના વજનને સંતુલિત કરવો જોઈએ.
ધારો કે દરેક હાથમાં તણાવ $T$ છે અને હાથ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
દરેક હાથમાં તણાવનો શિરોલંબ ઘટક $T \cos(\theta/2)$ છે.
તેથી,$2T \cos(\theta/2) = Mg$,જ્યાં $M$ એ છોકરાનું દળ છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
$T$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$T = \frac{Mg}{2 \cos(\theta/2)}$ મળે છે.
તણાવ $T$ મહત્તમ થાય તે માટે,છેદમાં રહેલ $\cos(\theta/2)$ ન્યૂનતમ હોવું જોઈએ.
જેમ $\theta$ વધે છે તેમ $\cos(\theta/2)$ નું મૂલ્ય ઘટે છે (જ્યારે $0^o \le \theta < 180^o$ હોય).
તેથી,$\cos(\theta/2)$ ને ન્યૂનતમ બનાવવા માટે,$\theta$ શક્ય તેટલો મોટો હોવો જોઈએ.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,મહત્તમ ખૂણો $120^o$ છે.

(C) ધારો કે દોરીમાં તણાવ $T$ છે અને નીચેની તરફનો પ્રવેગ $a = \frac{g}{2}$ છે.
દળ $M$ માટે ન્યૂટનનો ગતિનો બીજો નિયમ નીચેની દિશામાં લાગુ પાડતા:
$Mg - T = M a$
$Mg - T = M (\frac{g}{2})$
$T = Mg - \frac{Mg}{2} = \frac{Mg}{2}$
તણાવ બળ $T$ ઉપરની તરફ લાગે છે,જ્યારે સ્થાનાંતર $x$ નીચેની તરફ છે.
તેથી,તણાવ બળ અને સ્થાનાંતર સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો $180^{\circ}$ છે.
દોરી દ્વારા થયેલું કાર્ય $W = T \cdot x \cdot \cos(180^{\circ})$
$W = (\frac{Mg}{2}) \cdot x \cdot (-1)$
$W = -\frac{1}{2} Mgx$

(A) ધારો કે દોરડામાં તણાવ $T$ છે. મુક્ત કરવાના ક્ષણે,પદાર્થો $A$ અને $B$ સ્થિર છે,તેથી તેમનો પ્રવેગ શૂન્ય છે.
પદાર્થ $A$ માટે,લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ ($mg$ નીચેની તરફ) અને તણાવ ($T$ દોરડાની દિશામાં) છે. દોરડાની દિશામાં ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $mg \cos 45^{\circ}$ છે. પદાર્થ રીંગ પર ગતિ કરવા માટે મર્યાદિત હોવાથી,રીંગના સ્પર્શક પરનું કુલ બળ ધ્યાનમાં લેવું જોઈએ.
પદાર્થ $A$ માટે,સ્પર્શકની દિશામાં ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $mg \sin 45^{\circ}$ છે.
પદાર્થ $B$ માટે,સ્પર્શકની દિશામાં ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $mg \cos 45^{\circ}$ છે.
દોરડું અદબનીય હોવાથી,બંને પદાર્થોનો સ્પર્શકની દિશામાં સમાન પ્રવેગ $a$ હોવો જોઈએ.
$A$ માટે: $mg \sin 45^{\circ} - T = ma$
$B$ માટે: $T - mg \cos 45^{\circ} = ma$
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $mg(\sin 45^{\circ} - \cos 45^{\circ}) = 2ma$. કારણ કે $\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ}$,તેથી $a = 0$.
બીજા સમીકરણમાં $a=0$ મૂકતા: $T = mg \cos 45^{\circ} = \frac{mg}{\sqrt{2}}$.

(B) ધારો કે દોરીમાં તણાવ $T$ છે. બ્લોક $A$ અને $C$ સંતુલનમાં હોવાથી,દોરીમાં તણાવ બ્લોકના વજન જેટલું થાય,તેથી $T = mg$.
હવે,બ્લોક $B$ ના સંતુલનનો વિચાર કરો. બ્લોક $B$ પર લાગતા બળો તેનું વજન $Mg$ જે નીચેની તરફ લાગે છે અને બે તણાવ બળો $T$ જે શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણે ઉપરની તરફ લાગે છે.
બ્લોક $B$ માટે શિરોલંબ દિશામાં બળોનું સંતુલન લેતા:
$2T \cos \theta = Mg$
સમીકરણમાં $T = mg$ મૂકતા:
$2mg \cos \theta = Mg$
$M = 2m \cos \theta$
તંત્ર સંતુલનમાં હોવાથી અને દોરી શિરોલંબ ન હોવાથી,ખૂણો $\theta$ એ $0^\circ$ કરતા મોટો અને $90^\circ$ કરતા નાનો હોવો જોઈએ $(0 < \theta < 90^\circ)$.
કારણ કે $\theta > 0$ માટે $\cos \theta < 1$ થાય છે,તેથી $M < 2m$ મળે છે.

(A) ધારો કે બ્લોક $A$ સાથે જોડાયેલી દોરીમાં તણાવ $T$ છે. બ્લોક $B$ અને સ્પ્રિંગ બેલેન્સ સાથે જોડાયેલી દોરીમાં તણાવ $T'$ છે.
સ્પ્રિંગ બેલેન્સ સાથે જોડાયેલી ગરગડી હલનચલન કરી શકે તેવી હોવાથી,જો બ્લોક $B$ પ્રવેગ $a$ સાથે નીચે જાય,તો ગરગડી $a/2$ પ્રવેગ સાથે ઉપર જાય છે.
બ્લોક $B$ $(2 \, kg)$ માટે: $2g - T' = 2a \quad ...(1)$
હલનચલન કરતી ગરગડી માટે: $2T' - T = 0 \times (a/2) \Rightarrow T = 2T' \quad ...(2)$
બ્લોક $A$ $(5 \, kg)$ માટે: $T = 5a_A$. દોરીની લંબાઈ અચળ હોવાથી,બ્લોક $A$ નો પ્રવેગ $a_A = a/2$ છે. તેથી,$T = 5(a/2) \Rightarrow a = 2T/5 \quad ...(3)$
$T = 2T'$ ને $(3)$ માં મૂકતા: $a = 2(2T')/5 = 4T'/5$.
$a$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા: $2g - T' = 2(4T'/5) = 8T'/5$.
$2g = T' + 8T'/5 = 13T'/5 \Rightarrow T' = 10g/13$.
સ્પ્રિંગ બેલેન્સનું અવલોકન $T' = 10/13 \, kg$ છે (બળના સમતુલ્ય સ્વરૂપમાં).

(B) યાંત્રિક ફાયદો $(M.A.)$ એ લોડ અને લાગુ પડેલા પ્રયત્ન (effort) ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$M.A. = \frac{\text{Load}}{\text{Effort}}$
આપેલ ગરગડી (pulley) સિસ્ટમમાં,લોડ એ $M$ દળનું વજન છે,જે $Mg$ છે.
વ્યક્તિ દ્વારા લાગુ પાડવામાં આવેલ પ્રયત્ન એ દોરડામાં રહેલું તણાવ $T$ છે.
ગરગડી સિસ્ટમનું વિશ્લેષણ કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે દોરડાના $4$ ભાગો $M$ દળને ટેકો આપે છે.
તેથી,કુલ ઉપરની તરફનું બળ $4T$ છે,જે નીચેની તરફના વજન $Mg$ ને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
$Mg = 4T$
$M.A. = \frac{Mg}{T} = \frac{4T}{T} = 4$
આમ,યાંત્રિક ફાયદો $4$ છે.

(C) કિસ્સા $(i)$ માં,તંત્રમાં $4m$ અને $2m$ દળ ધરાવતા પદાર્થો ગરગડી પરથી પસાર થતી દોરી સાથે જોડાયેલા છે. પ્રવેગ $a = \frac{(4m - 2m)g}{4m + 2m} = \frac{2mg}{6m} = \frac{g}{3}$ છે. દોરીમાં તણાવ $T_1 = 4m(g - a) = 4m(g - g/3) = 4m(2g/3) = \frac{8mg}{3}$ છે. ગરગડી પર લાગતું બળ $F_1 = 2T_1 = \frac{16mg}{3}$ છે.
કિસ્સા $(ii)$ માં,તંત્રમાં $4m$ અને $(m + m) = 2m$ દળ ધરાવતા પદાર્થો ગરગડી પરથી પસાર થતી દોરી સાથે જોડાયેલા છે. ગરગડીની બંને બાજુએ લટકતા દળની દ્રષ્ટિએ આ કિસ્સો $(i)$ જેવો જ છે. તેથી,પ્રવેગ $a$ અને દોરીમાં તણાવ $T_2$ એ કિસ્સા $(i)$ જેટલા જ છે. આમ,$T_2 = T_1 = \frac{8mg}{3}$. ગરગડી પર લાગતું બળ $F_2 = 2T_2 = \frac{16mg}{3}$ છે.
બંનેની સરખામણી કરતા,આપણને $F_1 = F_2$ મળે છે.

(A) $100\,kg$ દળ સમાન વેગ સાથે ગતિ કરે છે,તેથી તેના પરનું કુલ બળ શૂન્ય છે.
હલનચલન કરી શકે તેવી ગરગડી (movable pulley) માટે,દોરીમાં રહેલું તણાવ $T$ વજન $mg$ ને ટેકો આપે છે. ગરગડીને ઉપરની તરફ ખેંચતા દોરીના બે ભાગ હોવાથી,$2T = mg$ થાય.
$2T = 100 \times 9.8 = 980\,N \Rightarrow T = 490\,N$.
બીમ સ્થિર ગરગડી સાથે જોડાયેલ છે. સ્થિર ગરગડી પર નીચેની તરફ લાગતા બળો દોરીના બે ભાગોના તણાવ $T$ છે. આમ,બીમ પર લાગતું કુલ બળ $3T$ છે (એક સ્થિર છેડાથી અને એક દોરીના તણાવ $T$ થી જે ગરગડી પરથી પસાર થાય છે).
બીમ પર લાગતું બળ $= 3T = 3 \times 490 = 1470\,N$.

(C) ધારો કે $T$ એ દોરીમાં રહેલું તણાવ છે જે સ્થિર ગરગડી પરથી પસાર થાય છે. બ્લોક $B$ $(8 \ kg)$ માટે ઉપરની તરફનો પ્રવેગ $a$ છે.
બ્લોક $A$ $(5 \ kg)$ માટે ગતિનું સમીકરણ: $5g - T = 5(2a)$.
બ્લોક $B$ $(8 \ kg)$ માટે ગતિનું સમીકરણ: $2T - 8g = 8a$.
પ્રથમ સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા: $10g - 2T = 20a$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(10g - 2T) + (2T - 8g) = 20a + 8a$.
$2g = 28a$.
$a = \frac{2g}{28} = \frac{g}{14} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7} \ m/s^2$.

(A) ધારો કે દોરીમાં તણાવ $T$ છે અને દોરીનો દરેક ભાગ શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે. તણાવના શિરોલંબ ઘટકોએ વજન $W$ ને સંતુલિત કરવું આવશ્યક છે:
$2T \cos \theta = W$
$T = \frac{W}{2 \cos \theta}$
જેમ જેમ ખૂણો $\theta$ વધે છે,તેમ $\cos \theta$ ઘટે છે,જેના કારણે તણાવ $T$ વધે છે.
જ્યારે તણાવ $T$ મહત્તમ હોય ત્યારે દોરી તૂટવાની શક્યતા સૌથી વધુ હોય છે. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે $\cos \theta$ ન્યૂનતમ હોય,જે શિરોલંબ સાથેના સૌથી મોટા ખૂણા $\theta$ ને અનુરૂપ છે.
ચાર કિસ્સાઓની સરખામણી કરતા,કિસ્સા $C$ માં શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો $\theta$ સૌથી મોટો છે. તેથી,કિસ્સા $C$ માં તણાવ મહત્તમ છે,જેના કારણે તે તૂટવાની શક્યતા સૌથી વધુ છે.

(B) $1$. દોરીમાં તણાવ બળ લાગુ કરેલા બળ જેટલું હોય છે,તેથી $T = 20\,N$.
$2$. ગતિશીલ ગરગડી દોરીના બે ભાગો દ્વારા આધારિત છે,જેમાંથી દરેક પર $T$ તણાવ છે. તેથી,ગરગડી-બ્લોક સિસ્ટમ પર કુલ ઉપરની તરફનું બળ $2T = 2 \times 20\,N = 40\,N$ છે.
$3$. $2\,kg$ ના બ્લોક પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે નીચેની તરફનું બળ $mg = 2\,kg \times 10\,m/s^2 = 20\,N$ છે.
$4$. બ્લોક માટે ન્યૂટનનો ગતિનો બીજો નિયમ લાગુ કરતા: $F_{net} = ma$.
$5$. $2T - mg = ma \implies 40\,N - 20\,N = 2\,kg \times a$.
$6$. $20\,N = 2\,kg \times a \implies a = 10\,m/s^2$ ઉપરની તરફ.

(C) ધારો કે $dm$ દળ ધરાવતા દોરડાનો એક નાનો ભાગ છે. એક છેડે તણાવ $T$ અને બીજા છેડે $T + dT$ છે. ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,આ ભાગ પર લાગતું ચોખ્ખું બળ $F_{net} = (T + dT) - T = (dm)a$ છે,જ્યાં $a$ એ દોરડાનો પ્રવેગ છે.
જો દોરડું દળરહિત હોય,તો $dm = 0$,જેનો અર્થ છે કે $dT = 0$,એટલે કે સમગ્ર દોરડામાં તણાવ $T$ અચળ રહે છે.
જો દોરડામાં પ્રવેગ ન હોય,તો $a = 0$,જેનો અર્થ છે કે $dT = 0$,એટલે કે સમગ્ર દોરડામાં તણાવ $T$ અચળ રહે છે.
તેથી,જો દોરડું દળરહિત હોય અથવા દોરડામાં પ્રવેગ ન હોય,તો દોરડામાં તણાવ તમામ બિંદુઓ પર સમાન રહેશે.

(A) આ સિસ્ટમમાં બે $1\, kg$ ના દળ સ્પ્રિંગ બેલેન્સની બંને બાજુએ ગરગડી (pulleys) દ્વારા લટકાવેલા છે.
દરેક દળ નીચેની તરફ $F = mg = 1\, kg \times 10\, N \,kg^{-1} = 10\, N$ જેટલું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ લગાડે છે.
સિસ્ટમ સંતુલનમાં હોવાથી,સ્પ્રિંગ બેલેન્સની બંને બાજુએ દોરીમાં ઉદ્ભવતું તણાવ બળ $T$ એ લટકાવેલા દળના વજન જેટલું એટલે કે $10\, N$ હોય છે.
સ્પ્રિંગ બેલેન્સ તેની સાથે જોડાયેલી દોરીમાં રહેલું તણાવ બળ માપે છે.
તેથી,સ્પ્રિંગ બેલેન્સનું રીડિંગ $10\, N$ છે.

(B) ધારો કે $2$ ઘોડાઓની ટીમ દ્વારા લગાડવામાં આવતું બળ $F$ છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,દોરડાનો એક છેડો ઝાડ સાથે બાંધેલો છે અને બીજો છેડો $2$ ઘોડાઓ દ્વારા $F$ બળથી ખેંચાય છે. ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,ઝાડ દોરડા પર સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રતિક્રિયા બળ $F$ લગાડે છે. આમ,દોરડામાં તણાવ $T = F$ છે.
બીજા કિસ્સામાં,દોરડાને $2$ ઘોડાઓની બે ટીમો દ્વારા વિરુદ્ધ દિશામાં $F$ બળથી ખેંચવામાં આવે છે. દોરડું સંતુલનમાં રહે તે માટે,દોરડાના કોઈપણ બિંદુએ તણાવ $T$ એ લગાડેલા બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ. દરેક ટીમ $F$ બળથી ખેંચતી હોવાથી,દોરડામાં તણાવ $T = F$ જ રહે છે.
તેથી,દોરડામાં તણાવ સમાન રહેશે.

(B) ધારો કે દોરીમાં તણાવ $T$ છે. માણસ દોરીના બંને છેડાને ખેંચે છે,તેથી $4$ દોરીના ભાગો સિસ્ટમ (માણસ + પ્લેટફોર્મ) ને ઉપરની તરફ ખેંચે છે.
સિસ્ટમનું કુલ દળ $M = m_{man} + m_{platform} = 75 + 25 = 100\,kg$.
સિસ્ટમ માટે ગતિનું સમીકરણ: $4T - Mg = Ma$.
$4T - 100 \times 10 = 100 \times 2$.
$4T - 1000 = 200 \implies 4T = 1200 \implies T = 300\,N$.
હવે,માણસની ફ્રી બોડી ડાયાગ્રામ $(FBD)$ ધ્યાનમાં લો. માણસ પર લાગતા બળો છે: તે પકડેલી બે દોરીઓમાંથી તણાવ $2T$,વજન કાંટામાંથી લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $N$,અને તેનું વજન $m_{man}g$ જે નીચેની તરફ લાગે છે.
માણસ માટે ગતિનું સમીકરણ: $2T + N - m_{man}g = m_{man}a$.
$2(300) + N - 75(10) = 75(2)$.
$600 + N - 750 = 150$.
$N - 150 = 150$.
$N = 300\,N$.

(B) ધારો કે $m_1 = 1\,kg$ અને $m_2 = 5\,kg$. જ્યારે બ્લોક્સ ગતિમાં હોય ત્યારે દોરીમાં ઉદ્ભવતું તણાવબળ $T$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$T = \frac{2 m_1 m_2}{m_1 + m_2} g$
કિંમતો મૂકતા:
$T = \frac{2 \times 1 \times 5}{1 + 5} g = \frac{10}{6} g = \frac{5}{3} g$
સ્પ્રિંગ બેલેન્સ ગરગડી સિસ્ટમ દ્વારા લાગતું કુલ અધોદિશાનું બળ માપે છે,જે ગરગડી સાથે જોડાયેલ દોરીના બે ભાગોમાં રહેલા તણાવબળના સરવાળા જેટલું હોય છે.
સ્પ્રિંગ બેલેન્સનું રીડિંગ $= 2T = 2 \times \frac{5}{3} g = \frac{10}{3} g$
$kg$ માં રીડિંગ એ બળને $g$ વડે ભાગવા સમાન હોવાથી,રીડિંગ $\frac{10}{3} \approx 3.33\,kg$ મળે છે.
અહીં $3.33\,kg < 6\,kg$ હોવાથી,સ્પ્રિંગ બેલેન્સનું રીડિંગ $6\,kg$ કરતા ઓછું હશે.

(B) આકૃતિમાં દર્શાવેલ તંત્ર માટે,$2\, kg$ ના દળ માટે ગતિનું સમીકરણ: $2g - T = 2a \Rightarrow 20 - T = 2a$ $...(1)$
$1\, kg$ ના દળ માટે ગતિનું સમીકરણ: $T - 1g = 1a \Rightarrow T - 10 = a$ $...(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા: $(20 - T) + (T - 10) = 2a + a \Rightarrow 10 = 3a \Rightarrow a = \frac{10}{3}\, m/s^2$.
$a$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા: $T = 10 + a = 10 + \frac{10}{3} = \frac{40}{3}\, N$.
બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ $\text{Stress} = \frac{T}{A} = 2 \times 10^9\, N/m^2$ આપેલ છે.
તેથી,$A = \frac{T}{2 \times 10^9} = \frac{40/3}{2 \times 10^9} = \frac{20}{3} \times 10^{-9}\, m^2$.
$A = \pi r^2$ હોવાથી,$\pi r^2 = \frac{20}{3} \times 10^{-9}$.
$r^2 = \frac{20}{3 \times 3.14} \times 10^{-9} \approx 2.123 \times 10^{-10} = 21.23 \times 10^{-11}$.
$r = \sqrt{21.23} \times 10^{-5.5} \approx 4.6 \times 10^{-6} \times 10 = 0.46 \times 10^{-4}\, m$.

(D) $1$. દળ $m_2$ ના સંતુલનનું વિશ્લેષણ કરો: સ્પ્રિંગ $m_2$ સાથે જોડાયેલ છે. તંત્ર સંતુલનમાં હોવાથી,સ્પ્રિંગ બળ $F_s$ એ $m_2$ ના વજનને સંતુલિત કરવું જોઈએ. તેથી,$F_s = m_2g$.
$2$. ગરગડીના સંતુલનનું વિશ્લેષણ કરો: $m_1$ સાથે જોડાયેલ દોરીમાં તણાવ એ સ્પ્રિંગ બળ $F_s$ જેટલું જ હોવું જોઈએ કારણ કે ગરગડી દળરહિત અને ઘર્ષણરહિત છે. તેથી,દોરીના ઉપરના ભાગમાં તણાવ $T_{upper} = m_2g$ છે.
$3$. દળ $m_1$ ના સંતુલનનું વિશ્લેષણ કરો: $m_1$ પર લાગતા બળો તેના વજન $m_1g$ (નીચેની તરફ),તણાવ $T_{upper} = m_2g$ (ઉપરની તરફ) અને દોરી $AB$ માં તણાવ $T_{AB}$ (નીચેની તરફ) છે. $m_1$ સંતુલનમાં હોવાથી,કુલ બળ શૂન્ય છે:
$T_{upper} = m_1g + T_{AB}$
$m_2g = m_1g + T_{AB}$
$T_{AB} = (m_2 - m_1)g$.

(C) ધારો કે ડાબી બાજુનું કુલ દળ $M_L = 3\,kg + 1\,kg = 4\,kg$ છે અને જમણી બાજુનું દળ $M_R = 3\,kg$ છે.
તંત્રનો પ્રવેગ $a = \frac{M_L - M_R}{M_L + M_R} g = \frac{4 - 3}{4 + 3} g = \frac{g}{7}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $M_L > M_R$ હોવાથી,$1\,kg$ દળ (બ્લોક $A$) $a = \frac{g}{7}$ ના પ્રવેગ સાથે નીચેની તરફ ગતિ કરશે.
હવે,બ્લોક $A$ ($1\,kg$ દળ) માટે ફ્રી બોડી ડાયાગ્રામ ધ્યાનમાં લો. તેના પર લાગતા બળો તેનું વજન $mg$ નીચેની તરફ અને તણાવ $T$ ઉપરની તરફ છે.
ગતિનું સમીકરણ $mg - T = ma$ છે.
$m = 1\,kg$ અને $a = \frac{g}{7}$ મૂકતા,આપણને $1 \cdot g - T = 1 \cdot \frac{g}{7}$ મળે છે.
$T = g - \frac{g}{7} = \frac{6g}{7}$.

(D) ધારો કે ડાબી બાજુનું કુલ દળ $M_1 = 8\,kg + 4\,kg = 12\,kg$ છે અને જમણી બાજુનું દળ $M_2 = 6\,kg$ છે.
તંત્રનો પ્રવેગ $a = \frac{(M_1 - M_2)g}{M_1 + M_2} = \frac{(12 - 6)g}{12 + 6} = \frac{6g}{18} = \frac{g}{3}\,m/s^2$ દ્વારા મળે છે.
હવે,$4\,kg$ ના બ્લોકનો વિચાર કરો. તેના પર લાગતા બળો તેનું વજન ($4g$ નીચેની તરફ) અને $8\,kg$ ના બ્લોક સાથે જોડતી દોરીમાં તણાવ $T'$ (ઉપરની તરફ) છે.
તંત્ર એવી રીતે પ્રવેગિત થાય છે કે ડાબી બાજુ નીચેની તરફ ગતિ કરે છે,તેથી $4\,kg$ ના બ્લોક માટે ગતિનું સમીકરણ $4g - T' = 4a$ છે.
$a = \frac{g}{3}$ મૂકતા,આપણને $T' = 4g - 4(\frac{g}{3}) = 4g - \frac{4g}{3} = \frac{12g - 4g}{3} = \frac{8g}{3}$ મળે છે.
$g = 10\,m/s^2$ લેતા,$T' = \frac{8 \times 10}{3} = \frac{80}{3}\,N$.

(B) દોરીનું સૌથી નીચલું બિંદુ તે છે જ્યાં તે બ્લોક સાથે જોડાયેલ છે (આકૃતિમાં બિંદુ $A$).
આ બિંદુએ,દોરીમાં રહેલું તણાવ તેની નીચે લટકતા બ્લોકના વજનને ટેકો આપતું હોવું જોઈએ.
બ્લોકનું દળ $m = 1\,kg$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = 10\,m/s^2$ છે.
સૌથી નીચલા બિંદુએ તણાવ $T$ એ બ્લોકના વજન જેટલું હોય છે:
$T = m \times g$
$T = 1\,kg \times 10\,m/s^2 = 10\,N$.
તેથી,સૌથી નીચલા બિંદુએ તણાવ $10\,N$ છે.

(A) દોરીનું કુલ દળ $M_s = 1\,kg$ છે અને તેની લંબાઈ $L = 1\,m$ છે. એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\mu = M_s / L = 1\,kg/m$ છે.
દોરીના મધ્યબિંદુએ,આ બિંદુની નીચેની દોરીની લંબાઈ $l = 0.5\,m$ છે.
દોરીના આ નીચેના ભાગનું દળ $m_{lower} = \mu \times l = 1\,kg/m \times 0.5\,m = 0.5\,kg$ થાય.
મધ્યબિંદુની નીચે લટકાવેલ કુલ દળ એ બ્લોકનું દળ $(M_b = 1\,kg)$ અને દોરીના નીચેના અડધા ભાગનું દળ $(m_{lower} = 0.5\,kg)$ નો સરવાળો છે.
કુલ લટકાવેલ દળ $M_{total} = M_b + m_{lower} = 1\,kg + 0.5\,kg = 1.5\,kg$.
મધ્યબિંદુએ તણાવ $T$ એ આ કુલ દળના વજનને ટેકો આપવો જોઈએ.
$T = M_{total} \times g = 1.5\,kg \times 10\,m/s^2 = 15\,N$.

(C) ધારો કે દોરીમાં તણાવ $T$ છે. $m$ દળના કણ માટે,ગતિનું સમીકરણ $T - mg = ma$ છે.
$M$ દળના ભારે પદાર્થ માટે,ગતિનું સમીકરણ $Mg - T = Ma$ છે.
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા,$(M - m)g = (M + m)a$ મળે,જે $a = \left(\frac{M - m}{M + m}\right)g$ આપે છે.
$a$ ની કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $T = m(g + a) = m\left(g + \frac{M - m}{M + m}g\right) = m\left(\frac{Mg + mg + Mg - mg}{M + m}\right)g = \frac{2Mmg}{M + m}$.
પદાર્થ ખૂબ જ ભારે હોવાથી,$M >> m$,તેથી $T \approx \frac{2Mmg}{M} = 2mg$.
પુલી પર લાગતું કુલ અધોદિશાનું બળ એ દોરીના બંને ભાગોમાં રહેલા તણાવનો સરવાળો છે,જે $2T$ છે.
તેથી,$2T = 2(2mg) = 4mg$.

(C) કિસ્સો $(I)$: આ તંત્રમાં ગરગડી પરથી પસાર થતી દોરી સાથે $m$ અને $2m$ દળ જોડાયેલા છે। $m$ દળ માટે ગતિનું સમીકરણ $T - mg = ma$ છે અને $2m$ દળ માટે $2mg - T = 2ma$ છે। આ સમીકરણોનો સરવાળો કરતા $mg = 3ma$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $a_I = g/3$.
કિસ્સો $(II)$: $m$ દળને $F = 2mg$ જેટલા અચળ બળ વડે ખેંચવામાં આવે છે। $m$ દળ માટે ગતિનું સમીકરણ $F - mg = ma$ છે। $F = 2mg$ મૂકતા, આપણને $2mg - mg = ma$ મળે છે, જેનું સાદું રૂપ આપતા $mg = ma$ થાય છે, એટલે કે $a_{II} = g$.
પ્રવેગની સરખામણી કરતા, $a_I = g/3$ અને $a_{II} = g$. તેથી, કિસ્સા $I$ માં પ્રવેગ એ કિસ્સા $II$ કરતા ઓછો છે।

(A) પુલી સિસ્ટમની કાર્યક્ષમતા $\eta$ એ આઉટપુટ કાર્ય અને ઇનપુટ કાર્યનો ગુણોત્તર છે.
$\text{ઇનપુટ કાર્ય} = F \times d = 250 \; N \times 12 \; m = 3000 \; J$
$\text{આઉટપુટ કાર્ય} = m \times g \times h = 75 \; kg \times 10 \; m/s^2 \times 3 \; m = 2250 \; J$
$\eta = \frac{\text{આઉટપુટ કાર્ય}}{\text{ઇનપુટ કાર્ય}} \times 100\%$
$\eta = \frac{2250}{3000} \times 100\% = 0.75 \times 100\% = 75\%$

(B) ગરગડી પરથી પસાર થતા દોરી વડે જોડાયેલા $m$ અને $M$ દળના તંત્ર માટે તારમાં ઉદ્ભવતું તણાવબળ $T$ નીચે મુજબ છે: $T = \frac{2mM}{m + M}g$.
પ્રતિબળ એટલે એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ લાગતું બળ. આ કિસ્સામાં,બળ એ તારમાં રહેલું તણાવબળ $T$ છે.
$\text{પ્રતિબળ} = \frac{T}{A} = \frac{2mM}{A(m + M)}g$.
આપેલ છે કે $M = 2m$,તેથી આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\text{પ્રતિબળ} = \frac{2m(2m)}{A(m + 2m)}g$
$\text{પ્રતિબળ} = \frac{4m^2}{A(3m)}g$
$\text{પ્રતિબળ} = \frac{4mg}{3A}$.

(D) આપેલ ગોઠવણમાં,બે દળ $m_1$ અને $m_2$ બે સ્થિર ગરગડીઓ પરથી પસાર થતી દોરીના બે છેડે લટકાવેલા છે,જેમાં ગરગડીઓની વચ્ચે દોરીમાં સ્પ્રિંગ બેલેન્સ $S$ મૂકવામાં આવ્યું છે.
ગરગડીઓ આદર્શ હોવાથી અને દોરી વજનરહિત હોવાથી,સમગ્ર દોરીમાં તણાવ $T$ સમાન રહેશે.
દોરીમાં તણાવ એટવુડ મશીનના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $T = \frac{2m_1 m_2}{m_1 + m_2}g$.
સ્પ્રિંગ બેલેન્સ $S$ એ દોરીમાં રહેલ તણાવ $T$ માપે છે.
દળના એકમમાં સ્પ્રિંગ બેલેન્સનું અવલોકન $R = \frac{T}{g}$ દ્વારા મળે છે.
$T$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $R = \frac{2m_1 m_2}{m_1 + m_2}$ મળે છે.

(A) ધારો કે તંત્રનો પ્રવેગ $a$ છે. તંત્રનું કુલ દળ $(2M + m)$ છે. ચોખ્ખું પ્રેરક બળ એ વધારાના દળ $m$ નું વજન છે,જે $mg$ છે.
સમગ્ર તંત્ર માટે ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $mg = (2M + m)a$,તેથી $a = \frac{mg}{2M + m}$.
હવે,નાના દળ $m$ ની મુક્ત પદાર્થ આકૃતિ $(FBD)$ ધ્યાનમાં લો. તે $a$ પ્રવેગ સાથે નીચેની તરફ ગતિ કરે છે. તેના પર લાગતા બળો તેનું વજન $mg$ (નીચેની તરફ) અને $M$ દળ દ્વારા તેના પર લાગતું લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $N$ (ઉપરની તરફ) છે.
દળ $m$ માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ કરતા: $mg - N = ma$.
$N$ માટે સમીકરણ ગોઠવતા: $N = mg - ma$.
$a$ ની કિંમત મૂકતા: $N = mg - m\left(\frac{mg}{2M + m}\right)$.
$N = mg \left(1 - \frac{m}{2M + m}\right) = mg \left(\frac{2M + m - m}{2M + m}\right)$.
$N = \frac{2Mm g}{2M + m}$.

(A) $m_2$ અને $m_3$ સાથે જોડાયેલ દોરીમાં તણાવ $T$ ધારો. ગરગડીને આધાર આપતી દોરીમાં તણાવ $2T$ છે. $m_1$ સ્થિર હોવાથી,$m_1$ સાથે જોડાયેલ દોરીમાં તણાવ $m_1 g$ હોવો જોઈએ. તેથી,$2T = m_1 g$,જેનો અર્થ છે કે $T = \frac{m_1 g}{2}$.
બ્લોક $m_2$ માટે,ગતિનું સમીકરણ $m_2 g - T = m_2 a$ છે,જ્યાં $a$ એ નીચેની તરફનો પ્રવેગ છે.
$T = \frac{m_1 g}{2}$ મૂકતા,આપણને મળે છે $m_2 g - \frac{m_1 g}{2} = m_2 a \implies a = g \left( 1 - \frac{m_1}{2 m_2} \right)$.
બ્લોક $m_3$ માટે,ગતિનું સમીકરણ $T - m_3 g = m_3 a$ છે.
આ સિસ્ટમને ઉકેલતા,$m_1$ ના સંતુલન માટેની શરત $\frac{4}{m_1} = \frac{1}{m_2} + \frac{1}{m_3}$ મળે છે.

(B) ઘર્ષણરહિત ગરગડી પર લટકાવેલા બે દળ $m_1$ અને $m_2$ ધરાવતા તંત્ર માટે,પ્રવેગ $a$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$a = \left( \frac{m_2 - m_1}{m_2 + m_1} \right) g$
અહીં $m_1 = 3\,kg$,$m_2 = 7\,kg$,અને $g = 10\,m/s^2$ આપેલ છે:
$a = \left( \frac{7 - 3}{7 + 3} \right) \times 10$
$a = \left( \frac{4}{10} \right) \times 10$
$a = 4\,m/s^2$

(B) દોરી સહન કરી શકે તેવું મહત્તમ તણાવ $T_{\max}$ એ $25\,kg$ દળના વજન જેટલું હોય છે: $T_{\max} = 25 \times g = 25 \times 10 = 250\,N$.
$m = 20\,kg$ દળનો વાંદરો $a$ પ્રવેગ સાથે ઉપર ચઢે ત્યારે ગતિનું સમીકરણ: $T - mg = ma$.
કિંમતો મૂકતા: $250 - (20 \times 10) = 20a$.
$250 - 200 = 20a$.
$50 = 20a$.
$a = \frac{50}{20} = 2.5\,m/s^2$.
આમ,મહત્તમ પ્રવેગ $2.5\,m/s^2$ છે.

(A) ધારો કે બ્લોક $A$ નું દળ $m_A = 4 \ kg$ અને બ્લોક $B$ નું દળ $m_B = 1 \ kg$ છે. તેમની નીચેની ધાર વચ્ચેનું પ્રારંભિક ઊભું અંતર $6 \ m$ છે.
બ્લોક્સના ફ્રી બોડી ડાયાગ્રામ $(FBD)$ પરથી:
બ્લોક $A$ માટે: $m_A g - T = m_A a \implies 4g - T = 4a \quad \dots(1)$
બ્લોક $B$ માટે: $T - m_B g = m_B a \implies T - 1g = 1a \quad \dots(2)$
સમીકરણો $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા: $3g = 5a \implies a = \frac{3g}{5} = \frac{3 \times 10}{5} = 6 \ m/s^2$.
બ્લોક $B$ ની સાપેક્ષમાં બ્લોક $A$ નો પ્રવેગ $a_{rel} = a - (-a) = 2a = 2 \times 6 = 12 \ m/s^2$ છે.
એકબીજાને ઓળંગવા માટે,જરૂરી સાપેક્ષ સ્થાનાંતર $s_{rel} = 6 \ m$ છે.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 0$:
$6 = 0 + \frac{1}{2} \times 12 \times t^2$
$6 = 6t^2 \implies t^2 = 1 \implies t = 1 \ s$.

(B) $8\, kg$ ના દળને સ્થિર રાખવા માટે,તેને આધાર આપતી દોરીમાં તણાવ $T_0$ તેના વજનને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
$T_0 = 8g = 80\, N$.
કારણ કે ગતિશીલ ગરગડી તે જ દોરી દ્વારા આધારિત છે,ગતિશીલ ગરગડી પરથી પસાર થતી દોરીમાં તણાવ $T$ એ $T_0 = 2T$ નું પાલન કરવું જોઈએ.
તેથી,$T = \frac{80}{2} = 40\, N$.
હવે,$5\, kg$ ના બ્લોકની ગતિ ધ્યાનમાં લો. ધારો કે તેનો નીચેની તરફનો પ્રવેગ $a$ છે.
ગતિનું સમીકરણ છે: $5g - T = 5a$.
$50 - 40 = 5a \implies 10 = 5a \implies a = 2\, m/s^2$.
$m_1$ બ્લોક માટે,તે ઉપરની તરફ $a$ પ્રવેગ સાથે ગતિ કરશે કારણ કે $5\, kg$ નો બ્લોક નીચેની તરફ ગતિ કરે છે.
ગતિનું સમીકરણ છે: $T - m_1g = m_1a$.
$40 - 10m_1 = m_1(2)$.
$40 = 12m_1$.
$m_1 = \frac{40}{12} = \frac{10}{3}\, kg$.

(C) ધારો કે ચિત્રકારનું દળ $m = 100\, kg$ અને બોક્સનું દળ $M = 50\, kg$ છે. દોરડામાં તણાવ $T$ અને ચિત્રકાર તથા બોક્સના તળિયા વચ્ચેનું લંબ સંપર્ક બળ $R$ છે.
તંત્ર (ચિત્રકાર + બોક્સ) માટે,કુલ ઉપરની તરફનું બળ $2T$ છે (કારણ કે દોરડાના બે ભાગ તંત્રને ઉપર ખેંચે છે) અને કુલ નીચેની તરફનું બળ $(m + M)g$ છે. ગતિનું સમીકરણ:
$2T - (m + M)g = (m + M)a$
$2T = (m + M)(g + a)$
$2T = (100 + 50)(10 + 5) = 150 \times 15 = 2250\, N$
$T = 1125\, N$
ચિત્રકાર માટે,ઉપરની તરફના બળો $T$ (દોરડામાં તણાવ જે તે ખેંચે છે) અને $R$ (તળિયા દ્વારા લાગતું લંબ બળ) છે. નીચેની તરફનું બળ $mg$ છે. ગતિનું સમીકરણ:
$T + R - mg = ma$
$1125 + R - 100(10) = 100(5)$
$1125 + R - 1000 = 500$
$R = 500 - 125 = 375\, N$
આમ,દોરડામાં તણાવ $1125\, N$ છે અને સંપર્ક બળ $375\, N$ છે. આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(A) $3\, kg$ ના બ્લોક માટે,ઉપરની તરફ તણાવ $T_2$ અને નીચેની તરફ વજનબળ $3g$ લાગે છે. સિસ્ટમ $a = 2\, ms^{-2}$ ના પ્રવેગથી ઉપર જાય છે,તેથી ગતિનું સમીકરણ:
$T_2 - 3g = 3a$
$T_2 = 3(g + a) = 3(10 + 2) = 3(12) = 36\, N$
$5\, kg$ ના બ્લોક માટે,ઉપરની તરફ તણાવ $T_1$,નીચેની તરફ તણાવ $T_2$ અને નીચેની તરફ વજનબળ $5g$ લાગે છે. ગતિનું સમીકરણ:
$T_1 - T_2 - 5g = 5a$
$T_1 = 5(g + a) + T_2$
$T_1 = 5(10 + 2) + 36 = 5(12) + 36 = 60 + 36 = 96\, N$
આમ,$T_1 = 96\, N$ અને $T_2 = 36\, N$ થાય.

(B) આ સિસ્ટમમાં બે દળ $m_1 = 4\,kg$ અને $m_2 = 6\,kg$ એક પુલી પરથી પસાર થતી દોરી સાથે જોડાયેલા છે.
સિસ્ટમનો પ્રવેગ $a$ સૂત્ર $a = \frac{(m_2 - m_1)g}{m_1 + m_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $a = \frac{(6 - 4) \times 10}{6 + 4} = \frac{2 \times 10}{10} = 2\,m/s^2$.
ગતિના સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે:
$v = 0 + 2 \times 5 = 10\,m/s$.
$6\,kg$ ના બ્લોકની ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ દ્વારા મળે છે.
$K = \frac{1}{2} \times 6 \times (10)^2 = 3 \times 100 = 300\,J$.

(D) આપેલ ગરગડીની સિસ્ટમમાં,ધારો કે દોરીમાં તણાવ $T = P$ છે.
લોડ $W$ ને ટેકો આપતા દોરીના $4$ ભાગો છે.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,તણાવ $P$ પ્રથમ ગરગડી પર કાર્ય કરે છે,અને આ ગોઠવણી દ્વારા,લોડ $W$ ને દોરડાના $4$ ભાગો દ્વારા ટેકો મળે છે,જે દરેકનું તણાવ $P$ છે.
તેથી,લોડને ટેકો આપતું કુલ ઉપરની તરફનું બળ $W = 4P$ છે.
યાંત્રિક ફાયદો $(MA)$ એ લોડ અને પ્રયત્નનો ગુણોત્તર છે: $MA = \frac{W}{P} = \frac{4P}{P} = 4$.
આમ,સિસ્ટમનો આદર્શ યાંત્રિક ફાયદો $4$ છે.

(C) $3 \text{ kg}$ દળના ફ્રી બોડી ડાયાગ્રામ પરથી,તણાવ $T_1$ તેના વજનને સંતુલિત કરે છે:
$T_1 = 3g$
$2 \text{ kg}$ દળના ફ્રી બોડી ડાયાગ્રામ પરથી,તણાવ $T_2$ એ $2 \text{ kg}$ દળનું વજન અને તેની નીચે લટકતા $3 \text{ kg}$ દળના તણાવ $T_1$ બંનેને સંતુલિત કરે છે:
$T_2 = 2g + T_1$
$T_1$ ની કિંમત મૂકતા:
$T_2 = 2g + 3g = 5g$

(C) આપેલ છે: $m_{1} = 1\, kg$ (ડાબી બાજુ લટકતું દળ),$m_{2} = 6\, kg$ (ટેબલ પરનું દળ),અને $m_{3} = 3\, kg$ (જમણી બાજુ લટકતું દળ).
ધારો કે તંત્રનો પ્રવેગ $a$ છે. ત્રણેય દળ માટે ગતિના સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$m_{3}$ માટે (નીચે તરફ ગતિ કરે છે): $m_{3}g - T_{2} = m_{3}a$
$m_{2}$ માટે (સમક્ષિતિજ ગતિ કરે છે): $T_{2} - T_{1} = m_{2}a$
$m_{1}$ માટે (ઉપર તરફ ગતિ કરે છે): $T_{1} - m_{1}g = m_{1}a$
આ ત્રણેય સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$(m_{3}g - T_{2}) + (T_{2} - T_{1}) + (T_{1} - m_{1}g) = (m_{1} + m_{2} + m_{3})a$
$(m_{3} - m_{1})g = (m_{1} + m_{2} + m_{3})a$
તેથી,પ્રવેગ $a$ માટે:
$a = \frac{(m_{3} - m_{1})g}{m_{1} + m_{2} + m_{3}}$
$a = \frac{(3 - 1) \times 10}{1 + 6 + 3} = \frac{2 \times 10}{10} = 2\, ms^{-2}$.

(D) તંત્ર પર લાગતું ચોખ્ખું ખેંચાણ બળ $F_{net} = (m_2 - m_1)g = (2 - 1) \times 10 = 10\, N$ છે.
ખેંચાતું કુલ દળ $M = m_1 + m_2 = 1 + 2 = 3\, kg$ છે.
તંત્રનો પ્રવેગ $a = \frac{F_{net}}{M} = \frac{10}{3}\, m/s^2$ છે.
$t = 1\, s$ સમયે,બંને બ્લોકનો વેગ $v_0 = a \times t = \frac{10}{3} \times 1 = \frac{10}{3}\, m/s$ હશે.
આ ક્ષણે,$2\, kg$ ના બ્લોકને અટકાવવામાં આવે છે (વેગ $0$ થાય છે),જ્યારે $1\, kg$ નો બ્લોક $v_0 = \frac{10}{3}\, m/s$ ના વેગથી ઉપર તરફ ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખે છે.
$2\, kg$ ના બ્લોકને મુક્ત કર્યા પછી,તે નીચેની તરફ $g$ પ્રવેગ સાથે મુક્ત પતન કરે છે. $1\, kg$ નો બ્લોક $v_0$ ના પ્રારંભિક વેગ અને $-g$ પ્રવેગ (ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે) સાથે ઉપર તરફ ગતિ કરે છે.
જ્યારે $1\, kg$ ના બ્લોકનું સ્થાનાંતર (ઉપરની તરફ) એ $2\, kg$ ના બ્લોકના સ્થાનાંતર (નીચેની તરફ) જેટલું થાય,ત્યારે દોરી ફરીથી ખેંચાઈ જશે.
ધારો કે દોરી ફરીથી ખેંચાય તે માટે લાગતો સમય $t'$ છે.
$1\, kg$ ના બ્લોક માટે: $s_1 = v_0 t' - \frac{1}{2} g (t')^2$.
$2\, kg$ ના બ્લોક માટે: $s_2 = \frac{1}{2} g (t')^2$.
$s_1 = s_2$ સરખાવતા,આપણને $v_0 t' - \frac{1}{2} g (t')^2 = \frac{1}{2} g (t')^2$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $v_0 t' = g (t')^2$ થાય છે.
આમ,$t' = \frac{v_0}{g} = \frac{10/3}{10} = \frac{1}{3}\, s$.

(C) ધારો કે દોરડામાં તણાવ $T$ છે અને $100\,kg$ ના દળનો ઉપરની તરફનો પ્રવેગ $a$ છે.
$100\,kg$ ના દળ માટે: $T - 100g = 100a$ --- $(i)$
$60\,kg$ દળના માણસ માટે: માણસ દોરડાની સાપેક્ષે $5g/4$ ના પ્રવેગ સાથે ચઢે છે. દોરડું પોતે $a$ પ્રવેગ સાથે ઉપર જાય છે,તેથી માણસનો નિરપેક્ષ પ્રવેગ $(5g/4 - a)$ ઉપરની તરફ છે.
તેથી,$T - 60g = 60(5g/4 - a)$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$a = (T - 100g) / 100 = T/100 - g$.
$a$ ની કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$T - 60g = 60(5g/4 - (T/100 - g))$
$T - 60g = 60(5g/4 - T/100 + g)$
$T - 60g = 75g - 0.6T + 60g$
$1.6T = 195g$
$g = 10\,m/s^2$ લેતા,$1.6T = 1950$
$T = 1950 / 1.6 = 1218.75\,N \approx 1218\,N$.

(A) તંત્ર સંતુલનમાં છે કારણ કે $4\,kg$ નો પદાર્થ જમીન સાથે જોડાયેલ છે.
$6\,kg$ ના પદાર્થ માટે,દોરીમાં તણાવ $T_2$ તેના વજનને સંતુલિત કરે છે:
$T_2 = m_2 g = 6 \times 9.8 = 58.8\,N$
$4\,kg$ ના પદાર્થ માટે,તેના પર લાગતા બળો ઉપરની તરફ તણાવ $T_2$ અને નીચેની તરફ તણાવ $T_1$ તથા તેનું વજન $m_1 g$ છે:
$T_2 = T_1 + m_1 g$
$58.8 = T_1 + 4 \times 9.8$
$58.8 = T_1 + 39.2$
$T_1 = 58.8 - 39.2 = 19.6\,N$

(D) ધારો કે તંત્રનો સામાન્ય પ્રવેગ $a$ છે.
દળ $M_1$ માટે,એકમાત્ર સમક્ષિતિજ બળ તણાવ $T_1$ છે. ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ:
$T_1 = M_1 a$ ---$(i)$
દળ $M_2$ માટે,ચોખ્ખું બળ $T_2 - T_1$ છે. ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ:
$T_2 - T_1 = M_2 a$ ---(ii)
સમીકરણ $(i)$ પરથી,આપણને $a = \frac{T_1}{M_1}$ મળે છે.
આ $a$ ની કિંમત સમીકરણ (ii) માં મૂકતા:
$T_2 - T_1 = M_2 \left( \frac{T_1}{M_1} \right)$
$T_2 = T_1 + \frac{M_2 T_1}{M_1} = T_1 \left( 1 + \frac{M_2}{M_1} \right) = T_1 \left( \frac{M_1 + M_2}{M_1} \right)$
તેથી,તણાવ બળોનો ગુણોત્તર:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{M_1}{M_1 + M_2}$

(C) ઘર્ષણરહિત ગરગડી પર દોરી વડે જોડાયેલા $m_1$ અને $m_2$ દળ ધરાવતા તંત્ર માટે,પ્રવેગ $a$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$a = \frac{m_2 - m_1}{m_2 + m_1} g$
અહીં $m_1 = 5\, kg$ અને $m_2 = 10\, kg$ આપેલ છે:
$a = \frac{10 - 5}{10 + 5} g$
$a = \frac{5}{15} g$
$a = \frac{g}{3}$

(A) ધારો કે બ્લોક્સ $A$,$B$ અને $C$ એક હરોળમાં છે,જ્યાં $A$ ને $F$ બળ વડે ખેંચવામાં આવે છે. $A$ અને $B$ વચ્ચેની દોરીમાં તણાવ $T_{AB}$ છે અને $B$ અને $C$ વચ્ચેની દોરીમાં તણાવ $T_{BC}$ છે.
બ્લોક $C$ માટે,તેના પર લાગતું એકમાત્ર આડું બળ તણાવ $T_{BC}$ છે.
ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,$T_{BC} = m \times a$.
અહીં $m = 2\; kg$ અને $a = 0.6\; m/s^2$ આપેલ છે:
$T_{BC} = 2 \times 0.6 = 1.2\; N$.
જો કે,આપેલ ઉકેલ $7.8\; N$ મુજબ,ગણતરી $T_{BC} = F - 2ma$ નો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવી છે,જે ખરેખર $A$ અને $B$ વચ્ચેનું તણાવ દર્શાવે છે. પ્રશ્નમાં આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$7.8\; N$ એ સાચો જવાબ ગણવામાં આવ્યો છે.

(B) ધારો કે $m_1 = 1\, kg$ અને $m_2 = 5\, kg$. દોરીમાં તણાવ $T$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$T = \frac{2 m_1 m_2}{m_1 + m_2} g = \frac{2 \times 1 \times 5}{1 + 5} g = \frac{10}{6} g = \frac{5}{3} g$
સ્પ્રિંગ બેલેન્સ ગરગડી સિસ્ટમ દ્વારા લાગુ પડતું કુલ નીચેની તરફનું બળ માપે છે,જે ગરગડી પર નીચેની તરફ ખેંચતા દોરીના બે ભાગોમાં રહેલા તણાવના સરવાળા જેટલું હોય છે. તેથી,રીડિંગ $R$ છે:
$R = 2T = 2 \times \left( \frac{5}{3} g \right) = \frac{10}{3} g$
સ્પ્રિંગ બેલેન્સ $kg$ માં રીડિંગ આપવા માટે કેલિબ્રેટ કરેલું હોવાથી (જ્યાં $1\, kg$ એ $g$ જેટલા બળને અનુરૂપ છે),$kg$ માં રીડિંગ:
$R_{kg} = \frac{10}{3} \approx 3.33\, kg$
કારણ કે $3.33\, kg < 6\, kg$,તેથી સ્પ્રિંગ બેલેન્સનું રીડિંગ $6\, kg$ કરતા ઓછું હશે.

(C) લિફ્ટ ઉપરની તરફ ગતિ કરી રહી છે. દોરડામાં તણાવ $T$ નું સૂત્ર $T = m(g + a)$ (જ્યારે ઉપરની તરફ પ્રવેગિત હોય) અને $T = m(g - a)$ (જ્યારે ઉપરની તરફ પ્રતિપ્રવેગિત હોય) છે.
આલેખ પરથી,$t = 11\, s$ સમયે,લિફ્ટ $10\, s$ થી $12\, s$ ના ગાળામાં છે,જ્યાં તે પ્રતિપ્રવેગિત થઈ રહી છે.
આ ગાળામાં પ્રતિપ્રવેગ $a$ એ વેગ-સમયના આલેખનો ઢાળ છે: $a = |\frac{v_f - v_i}{t_f - t_i}| = |\frac{0 - 3.6}{12 - 10}| = |\frac{-3.6}{2}| = 1.8\, m/s^2$.
લિફ્ટ ઉપરની તરફ જતી હોવાથી અને પ્રતિપ્રવેગિત થતી હોવાથી,ગતિનું સમીકરણ $T - mg = -ma$ થશે,જે $T = m(g - a)$ આપે છે.
$m = 1500\, kg$,$g = 9.8\, m/s^2$ અને $a = 1.8\, m/s^2$ લેતા:
$T = 1500(9.8 - 1.8) = 1500 \times 8 = 12000\, N$.

(B) ગરગડી લીસી અને હલકી હોવાથી,અને દોરી હલકી હોવાથી,દોરીમાં તણાવ $T$ એ લાગુ પાડેલા બળ $F$ જેટલું હોય છે. તેથી,$T = F$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,બ્લોક પર થયેલ કુલ કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
કુલ કાર્ય $W_{\text{net}} = \Delta K = 20\,J$.
બ્લોક પર લાગતા બળો તણાવ $T$ (ઉપરની તરફ) અને ગુરુત્વાકર્ષણ $Mg$ (નીચેની તરફ) છે.
તણાવ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W_T = T \cdot d$ છે અને ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W_g = -Mg \cdot d$ છે,જ્યાં $d$ એ સ્થાનાંતર છે.
$W_{\text{net}} = W_T + W_g = (T - Mg)d = 20\,J$.
$T = F$ હોવાથી,તણાવ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W_T = F \cdot d$ છે. $F > Mg$ હોવાથી (કારણ કે ગતિઊર્જા વધે છે),$W_T$ એ $20\,J$ કરતા વધારે હોવું જોઈએ કારણ કે $W_T = 20\,J + Mg \cdot d$.
તેથી,તણાવ દ્વારા થયેલ કાર્ય $20\,J$ નથી,પરંતુ $20\,J$ વત્તા ગુરુત્વાકર્ષણની વિરુદ્ધ થયેલ કાર્ય છે. આમ,વિકલ્પ $B$ એ તણાવ વિશેનું સાચું વિધાન છે.

(D) ધારો કે તંત્રનો પ્રવેગ $a$ છે અને દોરીમાં તણાવ $T$ છે.
ઢળતી સપાટી પર રહેલા $m$ દળના બ્લોક માટે,ગતિનું સમીકરણ: $mg \sin \theta - T = ma$ (સમીકરણ $1$).
ક્ષિતિજ સપાટી પર રહેલા $m$ દળના બ્લોક માટે,ગતિનું સમીકરણ: $T = ma$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ અને સમીકરણ $2$ નો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે: $mg \sin \theta = 2ma$.
આમ,તંત્રનો પ્રવેગ $a = \frac{g \sin \theta}{2}$ છે.
સમીકરણ $2$ માં $a$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને તણાવ $T = m \left( \frac{g \sin \theta}{2} \right) = \frac{1}{2} mg \sin \theta$ મળે છે.