Tension Force and Pulley Block System Questions in Gujarati

(A) આ એટવુડ મશીન સિસ્ટમનું ઉદાહરણ છે. સિસ્ટમનો પ્રવેગ $a$ નીચે મુજબ મળે છે:
$a = \left(\frac{M-m}{M+m}\right) g$
કિંમતો $M = 3 \ kg$,$m = 2 \ kg$,અને $g = 10 \ m/s^2$ મૂકતા:
$a = \left(\frac{3-2}{3+2}\right) \times 10 = \frac{1}{5} \times 10 = 2 \ m/s^2$
સ્થિર સ્થિતિ $(u = 0)$ થી શરૂ કરીને $t = 2 \ s$ માં $3 \ kg$ ના બ્લોક દ્વારા કાપેલું અંતર $s$:
$s = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 2 \times (2)^2 = 4 \ m$
$3 \ kg$ ના બ્લોક પર ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય એ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(Mg)$ અને સ્થાનાંતર $(s)$ નો ગુણાકાર છે:
$W = Mgs = 3 \times 10 \times 4 = 120 \ J$
આમ,થયેલું કાર્ય $120 \ J$ છે.

(A) ધારો કે દળ $m_1$ અને $m_2$ છે. ગરગડી $a_0 = g$ ના પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે. ગરગડીના ફ્રેમમાં,દરેક બ્લોક નીચેની તરફ $m_i g$ જેટલું આભાસી બળ અનુભવે છે.
દળ $m_1$ માટે (ધારો કે તે ગરગડીની સાપેક્ષમાં $a$ પ્રવેગ સાથે નીચે જાય છે):
$m_1 g + m_1 g - T = m_1 a \implies 2m_1 g - T = m_1 a$ $(i)$
દળ $m_2$ માટે (ગરગડીની સાપેક્ષમાં $a$ પ્રવેગ સાથે ઉપર જાય છે):
$T - m_2 g - m_2 g = m_2 a \implies T - 2m_2 g = m_2 a$ (ii)
$(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:
$2m_1 g - 2m_2 g = (m_1 + m_2) a \implies a = \frac{2g(m_1 - m_2)}{m_1 + m_2}$
$a$ ની કિંમત (ii) માં મૂકતા:
$T = m_2(a + 2g) = m_2 \left( \frac{2g(m_1 - m_2)}{m_1 + m_2} + 2g \right)$
$T = 2m_2 g \left( \frac{m_1 - m_2 + m_1 + m_2}{m_1 + m_2} \right) = 2m_2 g \left( \frac{2m_1}{m_1 + m_2} \right) = \frac{4 m_1 m_2 g}{m_1 + m_2}$

(B) ધારો કે સળિયાનું દળ $M$ છે અને દડાનું દળ $m = 1.2M$ છે। ધારો કે સળિયા સાથે જોડાયેલી દોરીમાં તણાવ $T$ છે। ગતિશીલ ગરગડી બે દોરીના ભાગો દ્વારા આધારિત છે,દરેક $T$ તણાવ સાથે,તેથી ગતિશીલ ગરગડી પરનું ઉપરની તરફનું બળ $2T$ છે। આ બળ દડા પર સ્થાનાંતરિત થાય છે,તેથી દડા સાથે જોડાયેલી દોરીમાં તણાવ $2T$ છે.
દડા (દળ $m$) માટે,ગતિનું સમીકરણ: $m a_1 = 2T - mg$ $(i)$
સળિયા (દળ $M$) માટે,ગતિનું સમીકરણ: $M a_2 = Mg - T$ (ii)
દોરીની લંબાઈ અચળ હોવાથી,પ્રવેગ વચ્ચેનો સંબંધ $a_2 = 2a_1$ છે,અથવા $a_1 = a_2/2$.
$a_1$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $m(a_2/2) = 2T - mg \Rightarrow T = \frac{m a_2}{4} + \frac{mg}{2}$.
$T$ ને (ii) માં મૂકતા: $M a_2 = Mg - (\frac{m a_2}{4} + \frac{mg}{2})$.
$a_2$ માટે ગોઠવતા: $a_2(M + m/4) = g(M - m/2)$.
$a_2 = g \frac{M - m/2}{M + m/4} = g \frac{1 - (m/M)/2}{1 + (m/M)/4}$.
$m/M = 1.2$ આપેલ છે,તેથી $a_2 = 10 \times \frac{1 - 0.6}{1 + 0.3} = 10 \times \frac{0.4}{1.3} = \frac{4}{1.3} \approx 3.07 \,m/s^2$. નજીકનો વિકલ્પ $3 \,m/s^2$ છે।

(D) ધારો કે દળ $m_1 = 4 \ kg$ (ડાબી બાજુ),$m_2 = 3 \ kg$ (ઉપરની જમણી બાજુ),અને $m_3 = 3 \ kg$ (નીચેની જમણી બાજુ) છે.
જમણી બાજુનું કુલ દળ $M_R = m_2 + m_3 = 3 \ kg + 3 \ kg = 6 \ kg$ છે.
ડાબી બાજુનું દળ $M_L = 4 \ kg$ છે.
$M_R > M_L$ હોવાથી,સિસ્ટમ જમણી તરફ $a$ પ્રવેગ સાથે ગતિ કરશે.
પ્રવેગ $a = \frac{(M_R - M_L)g}{M_R + M_L} = \frac{(6 - 4)g}{6 + 4} = \frac{2g}{10} = 0.2g$ મળે.
નીચેના $3 \ kg$ ના બ્લોક માટે,ગતિનું સમીકરણ $T_1 - m_3g = m_3a$ છે.
$T_1 = m_3(g + a) = 3(g + 0.2g) = 3(1.2g) = 3.6g$.
આખી સિસ્ટમ માટે,ગરગડી પરથી પસાર થતી દોરીમાં તણાવ $T_2 = \frac{2 M_L M_R g}{M_L + M_R} = \frac{2(4)(6)g}{4 + 6} = \frac{48g}{10} = 4.8g$ છે.
તણાવનો ગુણોત્તર $\frac{T_1}{T_2} = \frac{3.6g}{4.8g} = \frac{36}{48} = \frac{3}{4}$ થાય.

(D) ધારો કે $T$ એ દોરીમાં તણાવ છે અને $a$ એ દળના પ્રવેગનું મૂલ્ય છે.
કારણ કે $m_{2} > m_{1}$,દળ $m_{2}$ પ્રવેગ $a$ સાથે નીચેની તરફ ગતિ કરે છે,અને દળ $m_{1}$ પ્રવેગ $a$ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે.
દળ $m_{1}$ માટે (ઉપરની તરફ ગતિ): $T - m_{1}g = m_{1}a$ ....$(i)$
દળ $m_{2}$ માટે (નીચેની તરફ ગતિ): $m_{2}g - T = m_{2}a$ ....(ii)
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$(T - m_{1}g) + (m_{2}g - T) = m_{1}a + m_{2}a$
$(m_{2} - m_{1})g = (m_{1} + m_{2})a$
$a = \frac{m_{2} - m_{1}}{m_{1} + m_{2}} g$

(B) ગરગડી પર દોરી વડે જોડાયેલા બે દળોની સિસ્ટમ માટે,દરેક દળનો પ્રવેગ $a = \frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2}} g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે દળો વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ $(a_{CM})$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$a_{CM} = \frac{m_{1}a_{1} + m_{2}a_{2}}{m_{1} + m_{2}}$.
$m_{1}$ ની દિશાને ધન લેતા,$a_{1} = a$ અને $a_{2} = -a$.
$a_{CM} = \frac{m_{1}a - m_{2}a}{m_{1} + m_{2}} = \left(\frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2}}\right) a$.
$a$ ની કિંમત મૂકતા:
$a_{CM} = \left(\frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2}}\right) \times \left(\frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2}}\right) g = \left(\frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2}}\right)^{2} g$.
સિસ્ટમ પર લાગતું કુલ બાહ્ય બળ $F_{ext} = (m_{1} + m_{2}) a_{CM}$ છે.
$F_{ext} = (m_{1} + m_{2}) \times \left(\frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2}}\right)^{2} g = \frac{(m_{1} - m_{2})^{2}}{m_{1} + m_{2}} g$.

(B) ધારો કે તંત્રનો પ્રવેગ $a$ છે. તંત્ર એવી રીતે ગતિ કરે છે કે જેથી $m_3$ નીચેની તરફ અને $m_1$ ઉપરની તરફ ગતિ કરે.
દળ $m_3$ માટે: $m_3g - T_2 = m_3a \implies 60 - T_2 = 6a$ ---$(1)$
તંત્ર $(m_1 + m_2)$ માટે: $T_2 - (m_1 + m_2)g = (m_1 + m_2)a \implies T_2 - 80 = 8a$ ---$(2)$
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા: $60 - 80 = 14a \implies -20 = 14a \implies a = -20/14 = -10/7 \text{ m/s}^2$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે તંત્ર વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે.
$a = 10/7 \text{ m/s}^2$ (મૂલ્ય) લેતા,$m_3$ ઉપર જાય છે: $T_2 = m_3(g + a) = 6(10 + 10/7) = 480/7 \text{ N}$.
$T_1$ એ $m_1$ સાથે જોડાયેલ દોરીમાં તણાવ છે: $T_1 = m_1(g + a) = 4(10 + 10/7) = 320/7 \text{ N}$.
ગુણોત્તર $T_1/T_2 = (320/7) / (480/7) = 320/480 = 2/3$.