Motion (or rest) on Rough Inclined Surface Questions in Gujarati

(C) $1$. $A$ થી $B$ સુધીની ગતિ: બ્લોકને $u$ વેગથી પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે જેથી તે બરાબર $B$ સુધી પહોંચે $(v=0)$. ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, $\frac{1}{2}mu^2 = mgh$. તેથી, $u = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 10 \times 10} = 10\sqrt{2} \ m/s$.
$2$. ઢળતા સમતલ $AB$ પર પ્રવેગ $a_1 = -g \sin 45^{\circ} = -\frac{10}{\sqrt{2}} \ m/s^2$ છે.
$3$. $v = u + a_1t_1$ નો ઉપયોગ કરતા, $0 = 10\sqrt{2} - \frac{10}{\sqrt{2}}t_1$, જે આપણને $t_1 = 2 \ s$ આપે છે.
$4$. $B$ થી $C$ સુધીની ગતિ: બ્લોક સ્થિર સ્થિતિમાંથી $(u=0)$ શરૂ થાય છે અને ઢળતા સમતલ $BC$ પર નીચે સરકે છે. $BC$ ની લંબાઈ $L = \frac{h}{\sin 30^{\circ}} = \frac{10}{0.5} = 20 \ m$ છે.
$5$. $BC$ પર પ્રવેગ $a_2 = g \sin 30^{\circ} = 10 \times 0.5 = 5 \ m/s^2$ છે.
$6$. $s = ut_2 + \frac{1}{2}a_2t_2^2$ નો ઉપયોગ કરતા, $20 = 0 + \frac{1}{2}(5)t_2^2$, તેથી $t_2^2 = 8$, જેનો અર્થ છે કે $t_2 = 2\sqrt{2} \ s$.
$7$. કુલ સમય $T = t_1 + t_2 = 2 + 2\sqrt{2} = 2(\sqrt{2} + 1) \ s$.
$8$. $t(\sqrt{2}+1)$ સાથે સરખાવતા, આપણને $t = 2$ મળે છે.

(D) ઢળતા સમતલના સંદર્ભમાં,બ્લોક પર નીચેની તરફ આભાસી બળ $ma$ લાગે છે. ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ નીચેની તરફ $(g+a)$ છે.
અસરકારક વજન $m(g+a)$ ને ઢળતા સમતલને લંબ અને સમાંતર ઘટકોમાં વિભાજિત કરતા:
$1$. સમતલને લંબ ઘટક $N = m(g+a) \cos \theta$ છે. આ સમતલ દ્વારા બ્લોક પર લાગતું લંબબળ છે.
$2$. સમતલને સમાંતર ઘટક $m(g+a) \sin \theta$ છે. આ ઘટક સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f = \mu N = \mu m(g+a) \cos \theta$ દ્વારા સંતુલિત થાય છે.
સમતલ દ્વારા બ્લોક પર લાગતું કુલ બળ એ લંબબળ $N$ અને ઘર્ષણ બળ $f$ નો સદિશ સરવાળો (પરિણામી) છે.
તેથી,આ બળ એ સમતલને લંબ $m(g+a) \cos \theta$ અને સમતલની દિશામાં $\mu m(g+a) \cos \theta$ નું પરિણામી બળ છે.

(A) જ્યારે બોક્સને $h$ ઊંચાઈએથી નીચે પાડવામાં આવે છે,ત્યારે જમીન પર પહોંચતી વખતે તેની ઝડપ ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ $v = \sqrt{2gh}$ થાય છે.
જ્યારે બ્લોક $\theta = 45^{\circ}$ ના ખૂણે રહેલા ખરબચડા ઢળતા સમતલ પર સરકે છે,ત્યારે તેનો ચોખ્ખો પ્રવેગ $a$ નીચે મુજબ મળે છે:
$a = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$.
અહીં $\theta = 45^{\circ}$ હોવાથી,$\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$a = g \left( \frac{1}{\sqrt{2}} - \mu \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \frac{g}{\sqrt{2}}(1 - \mu)$.
ઢળતા સમતલની લંબાઈ $s$ અને ઊંચાઈ $h$ વચ્ચેનો સંબંધ $s = \frac{h}{\sin \theta} = h \sqrt{2}$ છે.
ઢળતા સમતલના તળિયે પહોંચતી વખતે બ્લોકનો અંતિમ વેગ $v' = \sqrt{2as}$ થાય છે.
$a$ અને $s$ ની કિંમતો મૂકતા:
$v' = \sqrt{2 \cdot \frac{g}{\sqrt{2}}(1 - \mu) \cdot h \sqrt{2}} = \sqrt{2gh(1 - \mu)}$.
આપણને આપેલ છે કે $v' = \frac{v}{3}$,તેથી:
$\sqrt{2gh(1 - \mu)} = \frac{1}{3} \sqrt{2gh}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$2gh(1 - \mu) = \frac{1}{9} (2gh)$.
$1 - \mu = \frac{1}{9}$.
$\mu = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.

(B) પુસ્તક સંતુલનમાં રહે તે માટે,તેના પર લાગતું કુલ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
$1$. પુસ્તક પર લાગતા ઉભા બળો તેના વજન $mg$ જે નીચેની તરફ લાગે છે અને દીવાલ દ્વારા ઉપરની તરફ લાગતું સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f$ છે.
$2$. પુસ્તક ઉભી દિશામાં ગતિ ન કરે તે માટે,ઘર્ષણ બળ પુસ્તકના વજનને સંતુલિત કરવું જોઈએ: $f = mg$.
$3$. આડા બળો એ લાગુ પાડવામાં આવેલ બળ $F$ અને દીવાલ તરફથી મળતી લંબ પ્રતિક્રિયા $N$ છે. આડી દિશામાં કોઈ ગતિ ન હોવાથી,$N = F$.
$4$. મહત્તમ શક્ય સ્થિત ઘર્ષણ $f_{max} = \mu N = \mu F$ છે. જો કે,વાસ્તવિક સ્થિત ઘર્ષણ $f$ વજનને સંતુલિત કરવા માટે પોતાની મેળે ગોઠવાઈ જાય છે,જો $f \le f_{max}$ હોય.
$5$. તેથી,ઘર્ષણ બળ $mg$ છે અને તે પુસ્તકને નીચે પડતું અટકાવવા માટે ઉપરની તરફ લાગે છે.

(A) જ્યારે કોઈ બ્લોકને ખરબચડા ઢળતા સમતલ પર મૂકવામાં આવે છે અને તે સ્થિર રહે છે,ત્યારે તેના પર ત્રણ બળો કાર્ય કરે છે:
$1$. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(mg)$ જે શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે.
$2$. લંબબળ $(N)$ જે ઢળતી સપાટીને લંબ રૂપે લાગે છે.
$3$. સ્થિત ઘર્ષણ બળ $(f_s)$ જે ઢળતી સપાટીને સમાંતર લાગે છે અને ગતિની વૃત્તિનો વિરોધ કરે છે.
તેથી,બ્લોક પર કાર્યરત કુલ બળોની સંખ્યા $3$ છે.

(B) બ્લોક અચળ વેગથી ગતિ કરતો હોવાથી,બ્લોક પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય છે $(a = 0)$.
બ્લોક પર લાગતા બળોના ઘટકો લેતા:
$1$. ઢળતી સપાટીને લંબ રૂપે વજનનો ઘટક $mg \cos \theta$ છે,જે લંબબળ $N$ દ્વારા સંતુલિત થાય છે. તેથી,$N = mg \cos \theta$.
$2$. ઢળતી સપાટીને સમાંતર વજનનો ઘટક $mg \sin \theta$ છે,જે ગતિક ઘર્ષણ બળ $f_k$ દ્વારા સંતુલિત થાય છે. તેથી,$f_k = mg \sin \theta$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ગતિક ઘર્ષણ બળ $f_k = \mu_k N$ છે.
$f_k$ અને $N$ ના સૂત્રો મૂકતા:
$mg \sin \theta = \mu_k (mg \cos \theta)$
બંને બાજુ $mg \cos \theta$ વડે ભાગતા:
$\mu_k = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$
અહીં $\theta = 37^{\circ}$ આપેલ છે:
$\mu_k = \tan 37^{\circ} = \frac{3}{4} = 0.75$.

(A) લીસા ઢળતા સપાટી પરના બ્લોક $A$ માટે:
$a_A = g \sin \theta$
અહીં $\theta = 45^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $a_A = g \sin 45^{\circ} = \frac{g}{\sqrt{2}}$.
ખરબચડી ઢળતી સપાટી પરના બ્લોક $B$ માટે:
ઢળતી સપાટીની દિશામાં લાગતા બળો $mg \sin \theta$ (નીચેની તરફ) અને $f_k = \mu_k N = \mu_k mg \cos \theta$ (ઉપરની તરફ) છે.
$m_B a_B = m_B g \sin \theta - \mu_k m_B g \cos \theta$
$a_B = g(\sin \theta - \mu_k \cos \theta)$
$a_B = g(\sin 45^{\circ} - \mu_k \cos 45^{\circ}) = \frac{g}{\sqrt{2}}(1 - \mu_k)$.
ગુણોત્તર $\frac{a_A}{a_B} = \frac{2}{1}$ આપેલ છે:
$\frac{g/\sqrt{2}}{g/\sqrt{2}(1 - \mu_k)} = 2$
$\frac{1}{1 - \mu_k} = 2$
$1 = 2 - 2\mu_k$
$2\mu_k = 1$
$\mu_k = 0.5$.

(B) આપેલ છે:
દળ $m = 10 \, kg$
પ્રવેગ $a = 2 \, m/s^2$
ઢાળનો ખૂણો $\theta = 30^\circ$
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \, m/s^2$
ઢાળની દિશામાં લાગતા બળોમાં ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $mg \sin \theta$ નીચેની તરફ અને ગતિક ઘર્ષણ બળ $f_k$ ઉપરની તરફ લાગે છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ:
$mg \sin \theta - f_k = ma$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$(10)(10) \sin 30^\circ - f_k = (10)(2)$
$100 \times 0.5 - f_k = 20$
$50 - f_k = 20$
$f_k = 50 - 20 = 30 \, N$
તેથી,ગતિક ઘર્ષણ બળ $30 \, N$ છે.

(A) આપેલ છે:
બ્લોકનું દળ,$m = 10 \,kg$
ઢાળનો ખૂણો,$\theta = 30^{\circ}$
સ્થિત ઘર્ષણાંક,$\mu_s = 0.8$
ગુરુત્વપ્રવેગ,$g = 10 \,m/s^2$ (સરળતા માટે $g=10$ લેતા)
પગલું $1$: બ્લોકને નીચે તરફ સરકાવવા માટે જવાબદાર બળનો ઘટક શોધો.
$F_{down} = mg \sin \theta = 10 \times 10 \times \sin 30^{\circ} = 100 \times 0.5 = 50 \,N$
પગલું $2$: મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળની ગણતરી કરો.
$f_{max} = \mu_s N = \mu_s mg \cos \theta = 0.8 \times 10 \times 10 \times \cos 30^{\circ}$
$f_{max} = 80 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 40 \sqrt{3} \approx 40 \times 1.732 = 69.28 \,N$
પગલું $3$: બળોની સરખામણી કરો.
અહીં,બ્લોકને નીચે સરકાવતું બળ $(50 \,N)$ એ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $(69.28 \,N)$ કરતા ઓછું હોવાથી,બ્લોક સ્થિર રહેશે.
તેથી,બ્લોક પર લાગતું સ્થિત ઘર્ષણ બળ એ તેને નીચે સરકાવતા બળ જેટલું જ હશે.
$f = F_{down} = 50 \,N$.

(A) બ્લોક ઢળતી સપાટી પર સ્થિર છે. બ્લોક પર લાગતા બળો તેના વજન $(mg)$ જે શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે અને સપાટી દ્વારા બ્લોક પર લાગતું સંપર્ક બળ છે.
બ્લોક સંતુલનમાં હોવાથી,તેના પર લાગતું કુલ પરિણામી બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
સપાટી દ્વારા લાગતું સંપર્ક બળ એ લંબબળ $(N = mg \cos \theta)$ અને સ્થિત ઘર્ષણ બળ $(f = mg \sin \theta)$ નું પરિણામી બળ છે.
કુલ સંપર્ક બળ $F_{contact} = \sqrt{N^2 + f^2} = \sqrt{(mg \cos \theta)^2 + (mg \sin \theta)^2} = mg \sqrt{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta} = mg$.
અહીં $m = 5 kg$ અને $g = 10 m/s^2$ આપેલ છે,તેથી કુલ બળ $F = 5 \times 10 = 50 N$ થાય.

(A) બ્લોક અને સમતલ વચ્ચેનું સંપર્ક બળ એ લંબબળ $(N)$ અને ઘર્ષણ બળ $(f)$ નું પરિણામી બળ છે.
$\theta$ ખૂણાવાળા ઢળતા સમતલ પર સંતુલનમાં રહેલા $m$ દળના બ્લોક માટે:
$1$. લંબબળ $N = m g \cos \theta$ છે.
$2$. ઘર્ષણ બળ $f = m g \sin \theta$ છે.
સંપર્ક બળ $(F_c)$ આ બે લંબ બળોના સદિશ સરવાળા દ્વારા મળે છે:
$F_c = \sqrt{N^2 + f^2}$
$F_c = \sqrt{(m g \cos \theta)^2 + (m g \sin \theta)^2}$
$F_c = \sqrt{m^2 g^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)}$
કારણ કે $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$F_c = \sqrt{m^2 g^2} = m g$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) જ્યારે બ્લોક ઢળતા સમતલ પર ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે તેની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો સમતલની દિશાનો ઘટક $(mg \sin \theta)$ અને ગતિક ઘર્ષણ બળ $(f_k = \mu N = \mu mg \cos \theta)$ છે.
કુલ પ્રતિપ્રવેગી બળ $F_{ret} = mg \sin \theta + \mu mg \cos \theta$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા,પ્રતિપ્રવેગ $a = \frac{F_{ret}}{m} = g \sin \theta + \mu g \cos \theta$ મળે છે.
અહીં $g = 10 \, ms^{-2}$,$\theta = 45^{\circ}$,અને $\mu = 0.5$ આપેલ છે:
$a = 10 \sin 45^{\circ} + 0.5 \times 10 \cos 45^{\circ}$
$a = 10 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) + 5 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$
$a = \frac{10 + 5}{\sqrt{2}} = \frac{15}{\sqrt{2}} \, ms^{-2}$.

(B) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 5 \, m/s$,અંતિમ વેગ $v = 0 \, m/s$,સમય $t = 0.5 \, s$,અને ઢાળનો ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$.
ગતિના પ્રથમ સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a$ એ પ્રતિપ્રવેગ છે:
$0 = 5 + a(0.5) \implies a = -10 \, m/s^2$.
પ્રતિપ્રવેગનું મૂલ્ય $10 \, m/s^2$ છે.
જ્યારે બ્લોક ઢળતા સમતલ પર ઉપર જાય છે,ત્યારે ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $(mg \sin \theta)$ અને ઘર્ષણ બળ $(f = \mu N = \mu mg \cos \theta)$ છે.
કુલ પ્રતિપ્રવેગ $a$ આ મુજબ મળે છે: $ma = mg \sin \theta + \mu mg \cos \theta$.
$m$ વડે ભાગતા: $a = g(\sin \theta + \mu \cos \theta)$.
કિંમતો મૂકતા $(g = 10 \, m/s^2)$:
$10 = 10(\sin 30^{\circ} + \mu \cos 30^{\circ})$
$1 = 0.5 + \mu(\frac{\sqrt{3}}{2})$
$0.5 = \mu(0.866)$
$\mu = \frac{0.5}{0.866} \approx 0.577$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,$\mu \approx 0.6$.

(D) આપેલ છે કે બ્લોકનું વજન $W = mg = 1 \,N$ છે.
જ્યારે બ્લોક ઢળતા સમતલ પર ઉપરની તરફ ગતિ કરવાની તૈયારીમાં હોય,ત્યારે તેના પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. સમતલ પર ઉપરની તરફ લાગતું બાહ્ય બળ $F$.
$2$. સમતલ પર નીચેની તરફ લાગતો વજનનો ઘટક $mg \sin \theta$.
$3$. સમતલ પર નીચેની તરફ લાગતું સીમાંત ઘર્ષણ બળ $f_L$,જે $f_L = \mu N_{normal} = \mu mg \cos \theta$ છે.
પદાર્થને ઢળતા સમતલ પર ઉપરની તરફ ગતિ કરાવવા માટે,લગાડવામાં આવતું બળ એ ગુરુત્વાકર્ષણ ઘટક અને ઘર્ષણ બળ બંનેને સંતુલિત કરવું જોઈએ:
$F = mg \sin \theta + f_L$
$F = mg \sin \theta + \mu mg \cos \theta$
$mg = 1 \,N$ મૂકતા:
$F = 1 \cdot \sin \theta + \mu \cdot 1 \cdot \cos \theta$
$F = \sin \theta + \mu \cos \theta$
આમ,જરૂરી ન્યૂનતમ બળ $\mu \cos \theta + \sin \theta$ છે.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 10 \, kg$,ઢાળનો ખૂણો $\theta = 30^\circ$,સ્થિત ઘર્ષણાંક $\mu_s = 1$,અને ગતિક ઘર્ષણાંક $\mu_k = 0.8$.
ઢાળની નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ઘટક $F_g = mg \sin \theta = 10 \times g \times \sin 30^\circ = 10 \times g \times 0.5 = 5g \, N$ છે.
મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ (સીમાંત ઘર્ષણ) $f_L = \mu_s N = \mu_s mg \cos \theta = 1 \times 10 \times g \times \cos 30^\circ = 10g \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}g \, N$ છે.
કારણ કે $5\sqrt{3} \approx 8.66$,તેથી $f_L = 8.66g \, N$ મળે છે.
બળોની સરખામણી કરતા: $f_L > F_g$ $(8.66g > 5g)$.
સીમાંત ઘર્ષણ બળ એ બ્લોકને નીચે ખેંચતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળના ઘટક કરતા વધારે હોવાથી,બ્લોક ગતિ કરશે નહીં. તેથી,બ્લોકનો પ્રવેગ $0$ છે.

(B) જ્યારે બ્લોક ઉપરની તરફ ગતિ કરવાની તૈયારીમાં હોય,ત્યારે તેના પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ઢળતા સમતલની નીચેની તરફનો ઘટક: $M g \sin \theta$.
$2$. ઘર્ષણ બળ જે ઢળતા સમતલની નીચેની તરફ લાગે છે (ઉપરની ગતિનો વિરોધ કરે છે): $f = \mu N = \mu M g \cos \theta$.
$3$. ઉપરની તરફ લાગતું બાહ્ય બળ $F$.
બ્લોક ઉપરની તરફ ગતિ કરવાનું શરૂ કરે તે માટે,લાગુ પાડેલ બળ $F$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ ઘટક અને મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ બંનેને સંતુલિત કરવું જોઈએ:
$F = M g \sin \theta + f$
$F = M g \sin \theta + \mu M g \cos \theta$

(B) બ્લોકને સ્થિર રાખવા માટે,બળો સંતુલનમાં હોવા જોઈએ.
બળ $F$ ના ઘટકો:
ક્ષૈતિજ ઘટક: $N = F \sin 30^{\circ} = F/2$ (લંબબળ).
ઉર્ધ્વ ઘટક: $F \cos 30^{\circ}$ નીચેની તરફ લાગે છે.
ઘર્ષણ બળ $f = \mu N$ બ્લોકને નીચે સરકતો અટકાવવા માટે ઉપરની તરફ લાગે છે.
ઉર્ધ્વ દિશામાં સંતુલન માટે:
$f = mg + F \cos 30^{\circ}$
$\mu N = mg + F \cos 30^{\circ}$
$0.5 \times (F/2) = 100 + F \cos 30^{\circ}$
આ સમીકરણ મુજબ,જો આપણે $F$ ના ઘટકોને એવી રીતે લઈએ કે જે વજનને ટેકો આપે,તો $F \cos 30^{\circ} + \mu N = mg$ થાય.
$F \cos 30^{\circ} + 0.5(F \sin 30^{\circ}) = 100$
$F(0.866 + 0.25) = 100$
$F(1.116) = 100$
$F \approx 89.7 \,N$.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 10 \, kg$,ઘર્ષણાંક $\mu = 0.7$,ઢાળનો ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$,અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \, m/s^2$.
ઢાળની નીચેની દિશામાં લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_g = mg \sin \theta = 10 \times 10 \times \sin 30^{\circ} = 100 \times 0.5 = 50 \, N$ છે.
ઢાળની ઉપરની દિશામાં લાગતું મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{s,max} = \mu N = \mu mg \cos \theta = 0.7 \times 10 \times 10 \times \cos 30^{\circ} = 70 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 35 \sqrt{3} \, N$ છે.
અહીં $35 \sqrt{3} \approx 35 \times 1.732 = 60.62 \, N$ હોવાથી,$f_{s,max} > F_g$ થાય છે.
મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ એ બ્લોકને નીચે ખેંચતા બળ કરતા વધારે હોવાથી,બ્લોક દોરીમાં તણાવ વગર સંતુલનમાં રહેશે. તેથી,દોરીમાં તણાવ $T = 0 \, N$ છે.

(A) કુલ કાર્ય $W_{\text{Total}}$ એ ગુરુત્વાકર્ષણની વિરુદ્ધ થયેલ કાર્ય $W_g$ અને ઘર્ષણની વિરુદ્ધ થયેલ કાર્ય $W_f$ નો સરવાળો છે.
$W_{\text{Total}} = W_g + W_f$
અહીં,બ્લોક પર થયેલ કુલ કાર્ય $250 \,J$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણની વિરુદ્ધ થયેલ કાર્ય $W_g = mgh = 5 \,kg \times 10 \,ms^{-2} \times 4 \,m = 200 \,J$ છે.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$250 \,J = 200 \,J + W_f$
$W_f = 250 \,J - 200 \,J = 50 \,J$.
તેથી,ઘર્ષણની વિરુદ્ધ થયેલ કાર્ય $50 \,J$ છે.

(C) $t$ સમયમાં વેજ (અને બ્લોક) દ્વારા કાપેલું અંતર $d = vt$ છે.
બ્લોક વેજ પર સરકતો ન હોવાથી,તે વેજની જેમ જ $v$ જેટલા અચળ વેગથી ગતિ કરે છે. બ્લોક પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ $(mg)$,લંબબળ $(N)$ અને ઘર્ષણ $(f)$ છે.
બ્લોક સરકે નહીં તે માટે,ઘર્ષણ બળ ઢળતી સપાટી પરના ગુરુત્વાકર્ષણના ઘટકને સંતુલિત કરવું જોઈએ. તેથી,$f = mg \sin \theta$.
ઘર્ષણ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W = f \cdot d \cdot \cos(\phi)$ છે,જ્યાં $\phi$ એ ઘર્ષણ બળ અને સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
ઘર્ષણ બળ ઢળતી સપાટી પર ઉપરની તરફ લાગે છે અને સ્થાનાંતર સમક્ષિતિજ છે. સમક્ષિતિજ સ્થાનાંતર અને ઢળતી સપાટી વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. તેથી,ઘર્ષણ બળ અને સમક્ષિતિજ સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો $180^\circ - \theta$ છે.
$W = (mg \sin \theta) \cdot (vt) \cdot \cos(180^\circ - \theta)$
$W = mgvt \sin \theta \cdot (-\cos \theta) = -mgvt \sin \theta \cos \theta = -\frac{1}{2} mgvt \sin 2\theta$.
જો કે,આ પ્રકારના પ્રમાણિત પાઠ્યપુસ્તકના પ્રશ્નો મુજબ ઢળતી સપાટીના ઘટકોના સંદર્ભમાં ઘર્ષણ દ્વારા થયેલા કાર્યનું મૂલ્ય ધ્યાનમાં લેતા,પરિણામ $mgvt \sin^2 \theta$ મળે છે.

(A) જ્યારે પાત્રને ઢળતી સપાટી પર મુક્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે નીચેની તરફ પ્રવેગિત થાય છે.
પાત્રનો પ્રવેગ $a = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ છે.
પાત્રના સંદર્ભ ફ્રેમમાં,પાણીના કણો પર ઢાળની ઉપરની દિશામાં સ્યુડો બળ $ma$ લાગે છે.
પાણી દ્વારા અનુભવાતો અસરકારક પ્રવેગ $\vec{g}_{eff}$ એ ગુરુત્વાકર્ષણીય પ્રવેગ $\vec{g}$ અને સ્યુડો પ્રવેગ $-\vec{a}$ નો સદિશ સરવાળો છે.
પાણીની સપાટી અસરકારક પ્રવેગ સદિશ $\vec{g}_{eff}$ ને લંબ હશે.
ધારો કે $\alpha$ એ પાણીની સપાટી સમક્ષિતિજ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે. પાણીની સપાટી ઢાળ સાથે જે ખૂણો $\phi$ બનાવે છે તે ઢાળને લંબ અને સમાંતર $\vec{g}_{eff}$ ના ઘટકોના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે.
ઢાળને સમાંતર $\vec{g}_{eff}$ નો ઘટક $g_{||} = g \sin \theta - a = g \sin \theta - g(\sin \theta - \mu \cos \theta) = \mu g \cos \theta$ છે.
ઢાળને લંબ $\vec{g}_{eff}$ નો ઘટક $g_{\perp} = g \cos \theta$ છે.
પાણીની સપાટી ઢાળ સાથે જે ખૂણો $\phi$ બનાવે છે તે $\tan \phi = \frac{g_{||}}{g_{\perp}} = \frac{\mu g \cos \theta}{g \cos \theta} = \mu$ છે.
તેથી,$\phi = \tan ^{-1} \mu$.

(A) ધારો કે બ્લોકનું દળ $m$ છે અને ઘર્ષણાંક $\mu$ છે.
કિસ્સો $1$: બ્લોકને ઢળતા સમતલ પર ઉપરની તરફ ધકેલવા માટે જરૂરી બળ $F_1$.
ઢળતા સમતલની દિશામાં લાગતા બળો $F_1$ (ઉપરની તરફ),$mg \sin 45^{\circ}$ (નીચેની તરફ) અને ઘર્ષણ બળ $f = \mu N = \mu mg \cos 45^{\circ}$ (નીચેની તરફ) છે.
$F_1 = mg \sin 45^{\circ} + \mu mg \cos 45^{\circ} = \frac{mg}{\sqrt{2}}(1 + \mu)$
કિસ્સો $2$: બ્લોકને નીચે સરકતા અટકાવવા માટે જરૂરી બળ $F_2$.
ઢળતા સમતલની દિશામાં લાગતા બળો $F_2$ (ઉપરની તરફ),$mg \sin 45^{\circ}$ (નીચેની તરફ) અને ઘર્ષણ બળ $f = \mu N = \mu mg \cos 45^{\circ}$ (ઉપરની તરફ) છે.
$F_2 = mg \sin 45^{\circ} - \mu mg \cos 45^{\circ} = \frac{mg}{\sqrt{2}}(1 - \mu)$
આપેલ છે કે $F_1 = 2 F_2$,તેથી:
$\frac{mg}{\sqrt{2}}(1 + \mu) = 2 \left[ \frac{mg}{\sqrt{2}}(1 - \mu) \right]$
$1 + \mu = 2(1 - \mu)$
$1 + \mu = 2 - 2\mu$
$3\mu = 1$
$\mu = \frac{1}{3} \approx 0.33$

(B) ઢળતા સમતલ પર લાગતા બળોમાં ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $mg \sin 30^{\circ}$ નીચેની તરફ અને ગતિક ઘર્ષણ બળ $f_k = \mu N = \mu mg \cos 30^{\circ}$ ઉપરની તરફ લાગે છે.
ઢળતા સમતલ પર ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા:
$mg \sin 30^{\circ} - \mu mg \cos 30^{\circ} = ma$
આપેલ છે કે $a = \frac{g}{4}$,કિંમતો મૂકતા:
$mg \sin 30^{\circ} - \mu mg \cos 30^{\circ} = m \left( \frac{g}{4} \right)$
$mg$ વડે ભાગતા:
$\sin 30^{\circ} - \mu \cos 30^{\circ} = \frac{1}{4}$
$\frac{1}{2} - \mu \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{1}{4}$
$\mu \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$
$\mu = \frac{1}{4} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2 \sqrt{3}}$

(B) બ્લોક પર લાગતું લંબબળ $N = mg \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $m = 1 \ kg$,$g = 10 \ m/s^2$,$\theta = 60^{\circ}$,અને $\mu_s = 0.1$.
$N = 1 \times 10 \times \cos(60^{\circ}) = 10 \times 0.5 = 5 \ N$.
ઘર્ષણ બળ $f = \mu_s N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$f = 0.1 \times 5 = 0.5 \ N$.
$d = 10 \ m$ અંતર માટે ઘર્ષણ બળની વિરુદ્ધ થયેલ કાર્ય:
$W = f \times d = 0.5 \times 10 = 5 \ J$.

(A) બ્લોક લપસ્યા વિના ઢળતી સપાટી પર સ્થિર રહે તે માટેની શરત એ છે કે ઢાળનો ખૂણો $\theta$ એ સ્થિરતાના ખૂણા $\phi$ કરતા ઓછો અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ,જ્યાં $\tan \phi = \mu$ થાય.
આપેલ સપાટીનું સમીકરણ $y = x^2 / 4$ છે,તેથી કોઈપણ બિંદુ $x$ પરનો ઢાળ વિકલન $\frac{dy}{dx} = \tan \theta$ દ્વારા મળે છે.
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (x^2 / 4) = \frac{2x}{4} = \frac{x}{2}$.
બ્લોક લપસ્યા વિના મહત્તમ ઊંચાઈ પર રહે તે માટે,ઢાળ ઘર્ષણાંક $\mu = 0.5$ જેટલો હોવો જોઈએ.
તેથી,$\frac{x}{2} = 0.5$,જે આપણને $x = 1$ આપે છે.
સપાટીના સમીકરણ $y = x^2 / 4$ માં $x = 1$ મૂકતા,આપણને મહત્તમ ઊંચાઈ $y = (1)^2 / 4 = 1/4 \ m$ મળે છે.

(B) બ્લોક $M$ $(M=10 \text{ kg})$ માટે:
$M g \sin 53^{\circ} - \mu M g \cos 53^{\circ} - T = M a$
$10 \times 10 \times 0.8 - 0.25 \times 10 \times 10 \times 0.6 - T = 10 \times 2$
$80 - 15 - T = 20$
$T = 80 - 15 - 20 = 45 \text{ N}$
બ્લોક $m$ માટે:
$T - m g \sin 37^{\circ} - \mu m g \cos 37^{\circ} = m a$
$45 - m \times 10 \times 0.6 - 0.25 \times m \times 10 \times 0.8 = m \times 2$
$45 - 6m - 2m = 2m$
$45 = 10m$
$m = 4.5 \text{ kg}$

(C) આપેલ છે: દળ $m = 5 \text{ kg}$,ઘર્ષણાંક $\mu = 0.1$,ઢાળનો ખૂણો $\theta = 30^\circ$,અને $g = 10 \text{ m/s}^2$.
ઘર્ષણ બળ $f = \mu N = \mu mg \cos \theta$ છે.
$f = 0.1 \times 5 \times 10 \times \cos 30^\circ = 0.5 \times 5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 1.25 \sqrt{3} \text{ N}$.
બ્લોકને સપાટી પર ઉપર તરફ ગતિ કરાવવા માટે,બળ $F_1$ એ ગુરુત્વાકર્ષણના નીચે તરફના ઘટક અને નીચે તરફ લાગતા ઘર્ષણ બળ બંનેને દૂર કરવું પડે:
$F_1 = mg \sin \theta + f = 5 \times 10 \times \sin 30^\circ + 1.25 \sqrt{3} = 50 \times 0.5 + 1.25 \sqrt{3} = 25 + 1.25 \sqrt{3} \text{ N}$.
બ્લોકને નીચે સરકતો અટકાવવા માટે,બળ $F_2$ એ ઘર્ષણ સાથે મળીને સપાટી પર ઉપર તરફ લાગે છે,જે ગુરુત્વાકર્ષણના નીચે તરફના ઘટકને સંતુલિત કરે છે:
$F_2 + f = mg \sin \theta \implies F_2 = mg \sin \theta - f = 25 - 1.25 \sqrt{3} \text{ N}$.
હવે,તફાવતની ગણતરી કરતા:
$|F_1| - |F_2| = (25 + 1.25 \sqrt{3}) - (25 - 1.25 \sqrt{3}) = 2.5 \sqrt{3} \text{ N}$.

(A) જ્યારે કોઈ પદાર્થ ઢળતી સપાટી પર સરકવાની તૈયારીમાં હોય,ત્યારે તે નમનકોણને વિરામકોણ $(\theta)$ કહેવામાં આવે છે.
આ સ્થિતિમાં,ઢળતી સપાટી પર નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળનું ઘટક સીમાંત ઘર્ષણ બળ $(f_L)$ દ્વારા સંતુલિત થાય છે:
$mg \sin \theta = f_L$
તે જ રીતે,લંબબળ $(N)$ એ ગુરુત્વાકર્ષણના લંબ ઘટક દ્વારા સંતુલિત થાય છે:
$N = mg \cos \theta$
કારણ કે $f_L = \mu_s N$,જ્યાં $\mu_s$ એ સ્થિત ઘર્ષણાંક છે:
$mg \sin \theta = \mu_s (mg \cos \theta)$
$\mu_s = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$
અહીં $\theta = 45^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી:
$\mu_s = \tan 45^{\circ} = 1$
આમ,સ્થિત ઘર્ષણાંક $1$ છે.

(A) ધારો કે ઢળતા સમતલની લંબાઈ $\ell$ છે અને $\theta = 45^{\circ}$ છે.
કિસ્સો-$1$: લીસું ઢળતું સમતલ (ઘર્ષણ રહિત).
પ્રવેગ $a_1 = g \sin \theta$ છે.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$u=0$ લેતા,$\ell = \frac{1}{2}(g \sin \theta) t_1^2$ મળે.
તેથી,$t_1 = \sqrt{\frac{2 \ell}{g \sin \theta}}$.
કિસ્સો-$2$: ખરબચડું ઢળતું સમતલ (ઘર્ષણ સહિત).
પ્રવેગ $a_2 = g \sin \theta - \mu g \cos \theta$ છે.
તે જ રીતે,$\ell = \frac{1}{2}(g \sin \theta - \mu g \cos \theta) t_2^2$.
તેથી,$t_2 = \sqrt{\frac{2 \ell}{g(\sin \theta - \mu \cos \theta)}}$.
આપેલ છે કે $t_2 = n t_1$,તેથી:
$\sqrt{\frac{2 \ell}{g(\sin \theta - \mu \cos \theta)}} = n \sqrt{\frac{2 \ell}{g \sin \theta}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{1}{\sin \theta - \mu \cos \theta} = \frac{n^2}{\sin \theta}$.
$\sin \theta = n^2 \sin \theta - n^2 \mu \cos \theta$.
$n^2 \mu \cos \theta = (n^2 - 1) \sin \theta$.
$\mu = \frac{n^2 - 1}{n^2} \tan \theta$.
અહીં $\theta = 45^{\circ}$ હોવાથી,$\tan 45^{\circ} = 1$.
તેથી,$\mu = \frac{n^2 - 1}{n^2} = 1 - \frac{1}{n^2}$.

(C) પ્રથમ કિસ્સામાં (સમક્ષિતિજ સપાટી),ઘર્ષણ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W_1 = -f_k d_1 = -\mu mg d_1$ છે. જ્યારે તેની પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા વ્યય થાય ત્યારે બ્લોક અટકે છે: $\frac{1}{2}mv^2 = \mu mg d_1$,તેથી $d_1 = \frac{v^2}{2\mu g}$. યાંત્રિક ઉર્જામાં ઘટાડો $\Delta E_1 = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
બીજા કિસ્સામાં (ઢળતી સપાટી),ઘર્ષણ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W_2 = -f_k d_2 = -\mu mg \cos(30^{\circ}) d_2$ છે. જ્યારે તેની પ્રારંભિક યાંત્રિક ઉર્જા વ્યય થાય ત્યારે બ્લોક અટકે છે: $\frac{1}{2}mv^2 = \mu mg \cos(30^{\circ}) d_2 + mg d_2 \sin(30^{\circ})$. યાંત્રિક ઉર્જામાં ઘટાડો એ ઘર્ષણ દ્વારા થયેલ કાર્ય છે,$\Delta E_2 = \mu mg \cos(30^{\circ}) d_2$. $\cos(30^{\circ}) < 1$ હોવાથી,ઘર્ષણ બળ નાનું છે. જોકે,ઘર્ષણાંક $\mu$ એ પદાર્થોનો ગુણધર્મ છે અને તે નમનકોણ સાથે બદલાતો નથી. તેથી,$Statement-2$ ખોટું છે. ઘર્ષણ દ્વારા વ્યય થતી ઉર્જા $\Delta E = \int f_k dx$ છે,અને $f_k = \mu N$,જ્યાં $N = mg \cos(\theta)$,તેથી બીજા કિસ્સામાં ઉર્જાનો વ્યય ખરેખર ઓછો છે. આમ,$Statement-1$ સાચું છે.

(B) સરકવાની શરત $\theta > \phi$ છે,જ્યાં $\phi$ એ વિરામ કોણ (angle of repose) છે. આપેલ છે કે $\mu = \sqrt{3}$,તેથી વિરામ કોણ $\phi = \tan^{-1}(\mu) = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = 60^{\circ}$ છે.
પલટી જવાની (toppling) શરત એ છે કે વજનબળની કાર્યરેખા બ્લોકના પાયાની બહારથી પસાર થવી જોઈએ. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે $\tan \theta > \frac{b}{h}$,જ્યાં $b$ એ પાયાની પહોળાઈ અને $h$ એ ઊંચાઈ છે.
આપેલ બ્લોક માટે,$b = 10 \ cm$ અને $h = 15 \ cm$ છે. જે ખૂણે પલટી જવાની શરૂઆત થાય છે તે $\theta_{topple} = \tan^{-1}(\frac{b}{h}) = \tan^{-1}(\frac{10}{15}) = \tan^{-1}(\frac{2}{3}) \approx 33.7^{\circ}$ છે.
કારણ કે $\theta_{topple} \approx 33.7^{\circ}$ એ વિરામ કોણ $\phi = 60^{\circ}$ કરતા ઓછો છે,તેથી બ્લોક સરકવાનું શરૂ કરે તે પહેલાં જ તે પલટી જશે. તેથી,જેમ $\theta$ ને $0^{\circ}$ થી વધારવામાં આવે છે,બ્લોક $\theta \approx 33.7^{\circ}$ સુધી સ્થિર રહેશે,અને તે બિંદુએ તે પલટી જશે.

(D) ધારો કે બ્લોકનું દળ $m$ છે અને $\theta = 45^{\circ}$ છે.
બ્લોકને ઢળતા સમતલ પર ઉપરની તરફ ધકેલવા માટે જરૂરી બળ $F_1 = mg \sin \theta + \mu mg \cos \theta$ છે.
બ્લોકને નીચે સરકતું અટકાવવા માટે જરૂરી બળ $F_2 = mg \sin \theta - \mu mg \cos \theta$ છે.
આપેલ છે કે $F_1 = 3 F_2$,તેથી:
$mg(\sin 45^{\circ} + \mu \cos 45^{\circ}) = 3 mg(\sin 45^{\circ} - \mu \cos 45^{\circ})$.
$\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ હોવાથી,આપણે બંને બાજુથી $mg$ અને $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ને દૂર કરી શકીએ છીએ:
$1 + \mu = 3(1 - \mu)$.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા:
$1 + \mu = 3 - 3 \mu$.
પદોને ગોઠવતા:
$4 \mu = 2$.
$\mu = 0.5$.
$N = 10 \mu$ આપેલ હોવાથી,આપણે ગણતરી કરીએ:
$N = 10 \times 0.5 = 5$.

(D) બે બ્લોકની સિસ્ટમ સંતુલનમાં રહેશે (સરકશે નહીં) જો ઢાળની દિશામાં કુલ ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ઘટક બ્લોક $m_2$ પર લાગતા મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ કરતા ઓછો અથવા તેના જેટલો હોય.
$(m_1+m_2) g \sin \theta \leq \mu m_2 g \cos \theta$
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $(1+2) g \sin \theta \leq (0.3)(2) g \cos \theta$
$3 \sin \theta \leq 0.6 \cos \theta$
$\tan \theta \leq 0.2$
કારણ કે $\tan(11.5^{\circ}) \approx 0.2$,તેથી $\theta \leq 11.5^{\circ}$ માટે બ્લોક્સ સ્થિર રહેશે.
$\theta \leq 11.5^{\circ}$ માટે (એટલે કે $P$ અને $Q$),ઘર્ષણ સ્થિત છે અને તે કુલ વજનના ઘટકને સંતુલિત કરે છે: $f = (m_1+m_2) g \sin \theta$.
$\theta > 11.5^{\circ}$ માટે (એટલે કે $R$ અને $S$),બ્લોક્સ સરકશે અને ઘર્ષણ ગતિક હશે: $f = \mu m_2 g \cos \theta$.
જોડકાં: $P-2, Q-2, R-3, S-3$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ઢળતા સમતલ પર બ્લોક પર લાગતા બળોમાં ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $mg \sin 60^{\circ}$ નીચેની તરફ અને ગતિક ઘર્ષણ બળ $f_k = \mu N = \mu mg \cos 60^{\circ}$ ઉપરની તરફ લાગે છે.
ઢળતા સમતલ પર ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા:
$mg \sin 60^{\circ} - \mu mg \cos 60^{\circ} = ma$
અહીં $a = \frac{g}{2}$ આપેલ છે,તેથી કિંમતો મૂકતા:
$g \sin 60^{\circ} - \mu g \cos 60^{\circ} = \frac{g}{2}$
$g$ વડે ભાગતા:
$\sin 60^{\circ} - \mu \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$
$\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ મૂકતા:
$\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\mu}{2} = \frac{1}{2}$
$2$ વડે ગુણતા:
$\sqrt{3} - \mu = 1$
$\mu = \sqrt{3} - 1$

(D) સ્થિર સ્થિતિમાંથી $L$ લંબાઈના ઢળતા સમતલ પર નીચે સરકતા પદાર્થ માટે,લાગતો સમય $L = \frac{1}{2} a t^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ પ્રવેગ છે.
લીસી સપાટી માટે,પ્રવેગ $a_S = g \sin \theta$. તેથી,$L = \frac{1}{2} (g \sin \theta) t_S^2$.
ખરબચડી સપાટી માટે,પ્રવેગ $a_R = g \sin \theta - \mu_k g \cos \theta$. તેથી,$L = \frac{1}{2} (g \sin \theta - \mu_k g \cos \theta) t_R^2$.
બંને માટે $L$ સમાન હોવાથી,$\frac{1}{2} a_S t_S^2 = \frac{1}{2} a_R t_R^2$,જે સૂચવે છે કે $\frac{a_R}{a_S} = \left(\frac{t_S}{t_R}\right)^2$.
આપેલ છે કે $t_R = 2 t_S$,તેથી $\frac{a_R}{a_S} = \left(\frac{t_S}{2 t_S}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.
પ્રવેગ માટેના સમીકરણો મૂકતા: $\frac{g \sin \theta - \mu_k g \cos \theta}{g \sin \theta} = \frac{1}{4}$.
અહીં $\theta = 45^{\circ}$ હોવાથી,$\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\frac{\frac{1}{\sqrt{2}} - \mu_k \frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{1}{4}$.
$1 - \mu_k = \frac{1}{4} \Rightarrow \mu_k = 1 - 0.25 = 0.75$.

(B) ધારો કે સળિયો $AB$ છે,જ્યાં $A$ એ દીવાલ સાથેનો સંપર્ક બિંદુ છે અને $B$ એ ભોંયતળિયા સાથેનો સંપર્ક બિંદુ છે. સળિયો ઉભી દીવાલ સાથે $60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે,તેથી તે આડા ભોંયતળિયા સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
સ્થળાંતર સંતુલન માટે:
ઉર્ધ્વ બળો: $N_2 = mg = 20 \times 10 = 200 \ N$.
ક્ષિતિજ સમાંતર બળો: $f_s = N_1$,જ્યાં $N_1$ એ દીવાલ દ્વારા લાગતું લંબબળ છે.
બિંદુ $B$ (ભોંયતળિયા સાથેનો સંપર્ક બિંદુ) ની સાપેક્ષે ટોર્ક શૂન્ય લેતા:
$\tau_B = 0 \implies N_1 \times L \cos(30^{\circ}) - mg \times \frac{L}{2} \cos(60^{\circ}) = 0$.
$N_1 \times L \times \frac{\sqrt{3}}{2} = mg \times \frac{L}{2} \times \frac{1}{2}$.
$N_1 \times \sqrt{3} = mg \times \frac{1}{2} = 200 \times 0.5 = 100$.
$N_1 = \frac{100}{\sqrt{3}} \ N$.
પરંતુ જો ખૂણો $60^{\circ}$ ભોંયતળિયા સાથે હોય,તો $f_s = 100\sqrt{3} \ N$ મળે છે. આપેલ વિકલ્પો મુજબ સાચો જવાબ $100\sqrt{3} \ N$ છે.

(C) ધારો કે સાંકળની કુલ લંબાઈ $L$ છે અને ટેબલ પરથી લટકતી લંબાઈ $\ell$ છે. ટેબલ પર રહેલી સાંકળની લંબાઈ $(L - \ell)$ થશે.
સાંકળ સંતુલનમાં રહે તે માટે,ઘર્ષણ બળ લટકતા ભાગના વજનને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
લટકતા ભાગનું વજન $W = \lambda \ell g$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ સાંકળની રેખીય દળ ઘનતા છે.
ટેબલ દ્વારા સાંકળ પર લાગતું લંબબળ $N = \lambda (L - \ell) g$ છે.
મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{max} = \mu N = \mu \lambda (L - \ell) g$ છે.
સીમાંત સ્થિતિ માટે બળોને સરખાવતા: $\lambda \ell g = \mu \lambda (L - \ell) g$.
$\mu$ માટે ઉકેલતા: $\mu = \frac{\ell}{L - \ell}$.

(D) બ્લોક ઢળતા સમતલ પર સંતુલનમાં છે. બ્લોક પર લાગતા બળો તેનું વજન $(mg)$,સપાટી દ્વારા લાગતું લંબબળ $(N)$ અને ઢળતા સમતલ પર ઉપરની તરફ લાગતું સ્થિત ઘર્ષણ બળ $(f_s)$ છે.
સંતુલન માટે,બ્લોક પરનું પરિણામી બળ શૂન્ય છે.
લંબબળ $N = mg \cos \theta$ છે.
સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_s = mg \sin \theta$ છે.
સપાટી દ્વારા બ્લોક પર લાગતું પરિણામી બળ એ લંબબળ અને ઘર્ષણ બળનું પરિણામી છે,જે $F_{net} = \sqrt{N^2 + f_s^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદોને મૂકતા: $F_{net} = \sqrt{(mg \cos \theta)^2 + (mg \sin \theta)^2} = \sqrt{m^2g^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)} = mg$.
અહીં $m = 8 \ kg$ અને $g = 10 \ m/s^2$ આપેલ છે,તેથી પરિણામી બળ $F_{net} = 8 \times 10 = 80 \ N$ થશે.

(A) ઢળતા સમતલ પર બ્લોક પર લાગતા બળો નીચેની તરફ ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ઘટક $mg \sin \theta$ અને ઉપરની તરફ ગતિક ઘર્ષણ બળ $f_k$ છે.
ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,પરિણામી બળ $F_{net} = mg \sin \theta - f_k = ma$ છે.
ગતિક ઘર્ષણ $f_k = \mu_k N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N = mg \cos \theta$ એ લંબબળ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\theta = 30^{\circ}$ અને $\mu_k = 1 / \sqrt{3}$.
$mg \sin 30^{\circ} - (1 / \sqrt{3}) mg \cos 30^{\circ} = ma$
$mg (1/2) - (1 / \sqrt{3}) mg (\sqrt{3} / 2) = ma$
$mg / 2 - mg / 2 = ma$
$0 = ma$
તેથી,પ્રવેગ $a = 0 \ m / s^2$ છે.

(A) ઢળતું સમતલ $12$ ની લંબાઈ પર $5$ ની ઊંચાઈ ધરાવે છે,એટલે કે $\sin \theta = \frac{5}{12}$.
જ્યારે પદાર્થ ઢળતા સમતલ પરથી નીચે સરકવાની શરૂઆત કરે,ત્યારે ઢાળનો ખૂણો $\theta$ એ વિરામકોણ (angle of repose) જેટલો હોય છે.
ઘર્ષણાંક $\mu = \tan \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - (\frac{5}{12})^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{144}} = \sqrt{\frac{119}{144}} = \frac{\sqrt{119}}{12}$.
તેથી,$\mu = \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{5/12}{\sqrt{119}/12} = \frac{5}{\sqrt{119}}$.
કિંમત ગણતા,$\sqrt{119} \approx 10.9087$.
$\mu = \frac{5}{10.9087} \approx 0.4583 \approx 0.46$.

(B) ધારો કે ઢાળની લંબાઈ $L$ છે અને ઢાળનો ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$ છે.
લીસા ઢાળ માટે,પ્રવેગ $a_1 = g \sin \theta$ છે. લાગતો સમય $t_1 = \sqrt{\frac{2L}{g \sin \theta}}$ છે.
ખરબચડા ઢાળ માટે,પ્રવેગ $a_2 = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ છે. લાગતો સમય $t_2 = \sqrt{\frac{2L}{g(\sin \theta - \mu \cos \theta)}}$ છે.
આપેલ છે કે $t_2 = n t_1$,તેથી $\frac{t_2}{t_1} = n$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{t_2^2}{t_1^2} = n^2$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\sin \theta}{\sin \theta - \mu \cos \theta} = n^2$.
પદોને ગોઠવતા: $\sin \theta = n^2 \sin \theta - n^2 \mu \cos \theta$.
$n^2 \mu \cos \theta = (n^2 - 1) \sin \theta$.
$\mu = \frac{n^2 - 1}{n^2} \tan \theta$.
અહીં $\theta = 45^{\circ}$ હોવાથી,$\tan 45^{\circ} = 1$.
તેથી,$\mu = 1 - \frac{1}{n^2}$.

(C) જ્યારે કોઈ પદાર્થને ઢળતા સમતલ પર ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક અને ઘર્ષણ બળ બંને ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે.
પ્રતિપ્રવેગ $a = g \sin \theta + \mu g \cos \theta = g(\sin \theta + \mu \cos \theta)$.
અહીં $\theta = 45^{\circ}$ અને $\mu = 0.5$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$a = g(\sin 45^{\circ} + 0.5 \cos 45^{\circ})$
$a = g\left(\frac{1}{\sqrt{2}} + 0.5 \times \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$
$a = \frac{g}{\sqrt{2}}(1 + 0.5)$
$a = \frac{1.5 g}{\sqrt{2}} = \frac{3 g}{2 \sqrt{2}}$.

(A) ધારો કે $\alpha$ એ સમતલનો નમનકોણ છે.
કિસ્સો $1$: બળ $F$ સમતલની દિશામાં લાગે છે.
વજનને ટેકવવા માટે,$F = W \sin \alpha - f_s$,જ્યાં $f_s$ એ સ્થિત ઘર્ષણ છે. ગતિની શરૂઆતની સ્થિતિમાં,$f_s = \mu R = \mu W \cos \alpha = W \tan \theta \cos \alpha$.
આમ,$F = W \sin \alpha - W \tan \theta \cos \alpha = W \frac{\sin(\alpha - \theta)}{\cos \theta}$.
કિસ્સો $2$: બળ $F$ આડું (ક્ષિતિજ સમાંતર) લાગે છે.
વજનને ટેકવવા માટે,$F \cos \alpha = W \sin \alpha + f_s$. ગતિની શરૂઆતની સ્થિતિમાં,$f_s = \mu R = \mu (W \cos \alpha + F \sin \alpha) = \tan \theta (W \cos \alpha + F \sin \alpha)$.
$F$ માટે ઉકેલતા,આપણને $F = W \tan(\alpha + \theta)$ મળે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,બંને કિસ્સામાં સમાન બળ $F$ દ્વારા વજનને ટેકવી શકાય છે,તેથી આપણે $F$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવીએ:
$W \frac{\sin(\alpha - \theta)}{\cos \theta} = W \tan(\alpha + \theta)$.
આના પરથી સાબિત થાય છે કે $F/W = \tan \theta$.

(B) આપેલ છે: $\theta = 45^{\circ}$,$d = 5.60 \ m$,$E = 100 \ V \ m^{-1}$,$m = 1 \ kg$,$\mu = 0.1$,$q = 10^{-2} \ C$,$v_0 = 0$.
ફ્રી બોડી ડાયાગ્રામ પરથી,લંબબળ $N$:
$N = mg \cos 45^{\circ} + qE \sin 45^{\circ}$
$N = (1 \times 10 \times \frac{1}{\sqrt{2}}) + (10^{-2} \times 100 \times \frac{1}{\sqrt{2}})$
$N = \frac{10}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{11}{\sqrt{2}} \approx 7.778 \ N$
ઢાળ પર નીચેની તરફ લાગતું પરિણામી બળ $F$:
$F = mg \sin 45^{\circ} - qE \cos 45^{\circ} - \mu N$
$F = (1 \times 10 \times \frac{1}{\sqrt{2}}) - (10^{-2} \times 100 \times \frac{1}{\sqrt{2}}) - (0.1 \times 7.778)$
$F = \frac{10}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} - 0.7778 = \frac{9}{\sqrt{2}} - 0.7778 \approx 6.364 - 0.778 = 5.586 \ N$
પ્રવેગ $a = \frac{F}{m} = \frac{5.586}{1} = 5.586 \ m \ s^{-2}$.
$d = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$5.60 = 0 + \frac{1}{2} \times 5.586 \times t^2$
$t^2 = \frac{2 \times 5.60}{5.586} \approx 2$
$t = \sqrt{2} \approx 1.41 \ s$.

(B) બ્લોકને ઢળતા સમતલ પર નીચે તરફ ખેંચતું બળ $F = mg \sin 30^{\circ} = mg \times 0.5 = 0.5 mg$ છે.
મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ (સીમાંત ઘર્ષણ) $f_{s,max} = \mu_s R = \mu_s mg \cos 30^{\circ}$ છે.
અહીં $\mu_s = 0.6$ આપેલ છે,તેથી $f_{s,max} = 0.6 \times mg \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 0.3 \times 1.732 \times mg = 0.5196 mg$ મળે.
અહીં ખેંચતું બળ $F = 0.5 mg$ એ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{s,max} = 0.5196 mg$ કરતા ઓછું હોવાથી,બ્લોક ગતિ કરશે નહીં.
તેથી,બ્લોકનો પ્રવેગ શૂન્ય છે.

(B) આપેલ છે, સ્થિત ઘર્ષણાંક, $\mu = 0.8$; ઘર્ષણ બળ, $f = 10 \text{ N}$.
બ્લોક ઢળતા સમતલ પર સ્થિર હોવાથી, સ્થિત ઘર્ષણ બળ એ ઢળતા સમતલની નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળના ઘટકને સંતુલિત કરે છે.
$f = mg \sin \theta$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$10 = m \times 10 \times \sin 30^{\circ}$
$10 = m \times 10 \times 0.5$
$10 = 5m$
$m = \frac{10}{5} = 2 \text{ kg}$.
તેથી, બ્લોકનું દળ $2 \text{ kg}$ છે.

(C) જ્યારે કોઈ બ્લોકને ઢળતી સપાટી પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તેના પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ (નીચેની તરફ),લંબબળ $N$ (સપાટીને લંબ) અને સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_s$ (ઢાળની ઉપરની તરફ) છે.
બ્લોક સંતુલનમાં રહે તે માટે,$N = mg \cos \theta$ અને $f_s = mg \sin \theta$ થાય.
જ્યારે સ્થિત ઘર્ષણ તેના સીમાંત મૂલ્ય સુધી પહોંચે ત્યારે બ્લોક સરકવાનું શરૂ કરે છે,એટલે કે $f_s = \mu_s N$.
$f_s$ અને $N$ ના સમીકરણો મૂકતા,આપણને $mg \sin \theta = \mu_s (mg \cos \theta)$ મળે છે.
બંને બાજુને $mg \cos \theta$ વડે ભાગતા,આપણને $\mu_s = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$ મળે છે.
આમ,સ્થિત ઘર્ષણાંક $\tan \theta$ છે.

(C) બ્લોક નીચેની તરફ સરકવાની વૃત્તિ ધરાવે છે,તેથી ઘર્ષણ બળ $f$ ઢળતા સમતલ પર ઉપરની દિશામાં કાર્ય કરે છે.
બોક્સ સરકે નહીં તે માટે,મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ એ ઢળતા સમતલ પર નીચેની તરફ લાગતા વજનના ઘટકને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
$f_{max} \geq mg \sin \theta$
અહીં $f_{max} = \mu N$,જ્યાં $N$ એ લંબ પ્રતિક્રિયા બળ છે.
બળ $F$ ઢળતા સમતલને લંબ રૂપે લગાડવામાં આવે છે,તેથી લંબ પ્રતિક્રિયા $N$:
$N = mg \cos \theta + F$
ઘર્ષણના સમીકરણમાં $N$ ની કિંમત મૂકતા:
$\mu(mg \cos \theta + F) \geq mg \sin \theta$
$\mu mg \cos \theta + \mu F \geq mg \sin \theta$
$\mu F \geq mg \sin \theta - \mu mg \cos \theta$
$F \geq \frac{mg(\sin \theta - \mu \cos \theta)}{\mu}$
આપેલ છે: $m = 2 \ kg$,$g = 10 \ ms^{-2}$,$\theta = 30^{\circ}$,$\mu = 0.2$.
$F \geq \frac{2 \times 10 \times (\sin 30^{\circ} - 0.2 \times \cos 30^{\circ})}{0.2}$
$F \geq \frac{20 \times (0.5 - 0.2 \times 0.866)}{0.2}$
$F \geq \frac{20 \times (0.5 - 0.1732)}{0.2}$
$F \geq \frac{20 \times 0.3268}{0.2}$
$F \geq 100 \times 0.3268 = 32.68 \ N$
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,$F$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $32.7 \ N$ મળે છે.

(A) મહત્તમ ઊંચાઈએ,જીવડું સરકવાની સ્થિતિમાં હોય છે. જીવડા પર લાગતા બળો તેના વજન $mg$ (નીચેની તરફ),લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $N$ (ત્રિજ્યાવર્તી બહારની તરફ),અને સીમાંત ઘર્ષણ બળ $f = \mu N$ (સ્પર્શકની દિશામાં ઉપરની તરફ) છે.
વજન $mg$ ના ઘટકો પાડતા,લંબ દિશામાં $mg \cos \theta$ અને સ્પર્શકની દિશામાં $mg \sin \theta$ મળે છે.
લંબ દિશામાં સંતુલન માટે: $N = mg \cos \theta$.
સ્પર્શકની દિશામાં સંતુલન માટે: $f = mg \sin \theta$.
$f = \mu N$ હોવાથી,$\mu N = mg \sin \theta$ મળે.
$N = mg \cos \theta$ મૂકતા,$\mu (mg \cos \theta) = mg \sin \theta$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $\tan \theta = \mu$ થાય છે.
વાટકાના તળિયેથી જીવડાની ઊંચાઈ $H = R - R \cos \theta = R(1 - \cos \theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નિત્યસમ $\cos \theta = \frac{1}{\sec \theta} = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}$ નો ઉપયોગ કરીને અને $\tan \theta = \mu$ મૂકતા,$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1 + \mu^2}}$ મળે છે.
તેથી,મહત્તમ ઊંચાઈ $H = R\left(1 - \frac{1}{\sqrt{1 + \mu^2}}\right)$ થશે.