Motion (or rest) on Rough Inclined Surface Questions in Gujarati

(B) $\theta$ ખૂણાવાળા ઢળતા સમતલ પર $m$ દળના પદાર્થનો વિચાર કરો. પદાર્થ પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. ઢળતા સમતલની નીચેની દિશામાં લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ઘટક: $mg \sin \theta$.
$2$. સમતલને લંબ રૂપે લાગતું લંબબળ: $N = mg \cos \theta$.
$3$. સમતલની ઉપરની દિશામાં લાગતું ગતિક ઘર્ષણ બળ: $f_k = \mu N = \mu mg \cos \theta$.
ઢળતા સમતલ પર નીચેની દિશામાં લાગતું પરિણામી બળ $F_{\text{net}}$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ ઘટક અને ઘર્ષણ બળનો તફાવત છે:
$F_{\text{net}} = mg \sin \theta - f_k = mg \sin \theta - \mu mg \cos \theta$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ $F_{\text{net}} = ma$ નો ઉપયોગ કરતા:
$ma = mg \sin \theta - \mu mg \cos \theta$.
બંને બાજુ $m$ વડે ભાગતા,પ્રવેગ $a$ મળે છે:
$a = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$.

(A) જ્યારે કોઈ પદાર્થ ઢાળવાળા સમતલ પર ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણનો સમતલની દિશામાં ઘટક $(mg \sin \theta)$ અને ઘર્ષણ બળ $(f = \mu N = \mu mg \cos \theta)$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પરિણામી બળ $F_{net} = ma = -(mg \sin \theta + \mu mg \cos \theta)$ થાય.
આમ,પ્રતિપ્રવેગ $a = g(\sin \theta + \mu \cos \theta)$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ કિંમતો $\theta = 30^{\circ}$ અને $\mu = 0.5$ મૂકતા:
$a = g(\sin 30^{\circ} + 0.5 \cos 30^{\circ})$
$a = g\left(\frac{1}{2} + 0.5 \times \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
$a = g\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{4}\right)$
$a = g\left(\frac{2 + \sqrt{3}}{4}\right)$.

(A) જ્યારે બ્લોકની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા ઘર્ષણ વિરુદ્ધ કાર્ય કરવામાં અને સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે,ત્યારે બ્લોક ઢળતા સમતલ પર અટકી જાય છે.
ઢળતા સમતલનો ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી ઢાળ પર કાપેલું અંતર $(s)$ અને ઊંચાઈ $(h)$ વચ્ચેનો સંબંધ:
$\sin 45^{\circ} = \frac{h}{s} \implies s = \frac{h}{\sin 45^{\circ}} = h \sqrt{2}$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $(K.E.)$ એ ઘર્ષણ વિરુદ્ધ કરેલા કાર્ય અને સ્થિતિઊર્જામાં થયેલા વધારાના સરવાળા જેટલી હોય છે:
$K.E. = W_{\text{friction}} + \Delta U$
$K.E. = (\mu mg \cos \theta) \cdot s + mgh$
$s = h \sqrt{2}$ અને $\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ કિંમતો મૂકતા:
$100 = (0.5 \times 5 \times 10 \times \frac{1}{\sqrt{2}}) \times (h \sqrt{2}) + (5 \times 10 \times h)$
$100 = (0.5 \times 5 \times 10 \times h) + 50h$
$100 = 25h + 50h$
$100 = 75h$
$h = \frac{100}{75} = \frac{4}{3} \text{ m}$.
તેથી,કાપેલું અંતર $s$:
$s = h \sqrt{2} = \frac{4}{3} \sqrt{2} \text{ m}$.

(A) $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થને $\theta$ ખૂણે નમેલા સમતલ પર ધ્યાનમાં લો. પદાર્થ પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ જે શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે.
$2$. લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $N$ જે સમતલને લંબ લાગે છે.
$3$. ઘર્ષણ બળ $f$ જે સમતલ પર ઉપરની તરફ લાગે છે અને ગતિનો વિરોધ કરે છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળના ઘટકો $mg \sin \theta$ (સમતલને સમાંતર) અને $mg \cos \theta$ (સમતલને લંબ) છે.
સમતલને લંબ દિશામાં સંતુલન માટે,$N = mg \cos \theta$.
ઘર્ષણ બળ $f = \mu N = \mu mg \cos \theta$ છે.
સમતલની દિશામાં ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા:
$mg \sin \theta - f = ma$
$mg \sin \theta - \mu mg \cos \theta = ma$
$m$ વડે ભાગતા,આપણને પ્રવેગ મળે છે:
$a = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$

(A) જ્યારે $m$ દળ ધરાવતો પદાર્થ $a$ પ્રવેગ સાથે ઢળતા સમતલ પર નીચે તરફ સરકે છે,ત્યારે પદાર્થ પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. ઢળતા સમતલની નીચેની દિશામાં લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ઘટક $mg \sin \theta$ છે.
$2$. લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $R$ એ $mg \cos \theta$ જેટલું છે.
$3$. ઢળતા સમતલની ઉપરની દિશામાં લાગતું ઘર્ષણ બળ $f = \mu R = \mu mg \cos \theta$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ સમતલની દિશામાં કરતા:
$ma = mg \sin \theta - f$
$ma = mg \sin \theta - \mu mg \cos \theta$
બંને બાજુ $m$ વડે ભાગતા:
$a = g \sin \theta - \mu g \cos \theta$
$a = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$

(B) ધારો કે કણ શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણે છે. કણ પર લાગતા બળો તેના વજન $mg$ નીચેની તરફ,લંબબળ $N$ ત્રિજ્યાવર્તી બહારની તરફ અને ઘર્ષણ બળ $f$ સપાટીને સ્પર્શક દિશામાં છે.
કણ સ્થિર રહે તે માટે,સ્પર્શકની દિશામાં વજનનો ઘટક સીમાંત ઘર્ષણ દ્વારા સંતુલિત થવો જોઈએ: $mg \sin \theta = f = \mu N$.
સપાટીને લંબ દિશામાં વજનનો ઘટક લંબબળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે: $N = mg \cos \theta$.
$N$ ની કિંમત ઘર્ષણના સમીકરણમાં મૂકતા: $mg \sin \theta = \mu (mg \cos \theta) \implies \tan \theta = \mu = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આમ,$\theta = 30^\circ$.
અર્ધગોળાના તળિયેથી કણની ઊંચાઈ $h = R - R \cos \theta = R(1 - \cos 30^\circ)$ છે.
$h = R(1 - \frac{\sqrt{3}}{2})$.

(A) ધારો કે ઢળતા સમતલની કુલ લંબાઈ $l$ છે. ઉપરના અડધા ભાગની લંબાઈ $l/2$ છે અને તે લીસો છે,જ્યારે નીચેના અડધા ભાગની લંબાઈ $l/2$ છે અને તે $\mu$ ઘર્ષણાંક સાથે ખરબચડો છે.
ઉપરના અડધા ભાગ માટે (લીસો):
પ્રવેગ $a_1 = g \sin \phi$ છે. પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે. સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,મધ્યબિંદુ પર વેગ $v$:
$v^2 = 0 + 2(g \sin \phi)(l/2) = gl \sin \phi$.
નીચેના અડધા ભાગ માટે (ખરબચડો):
પ્રારંભિક વેગ $v$ (મધ્યબિંદુથી) છે,અને અંતિમ વેગ $0$ (તળિયે) છે. પ્રવેગ $a_2 = g(\sin \phi - \mu \cos \phi)$ છે. $v_f^2 = v_i^2 + 2a_2s$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0 = v^2 + 2g(\sin \phi - \mu \cos \phi)(l/2)$.
$v^2 = gl \sin \phi$ મૂકતા:
$0 = gl \sin \phi + gl(\sin \phi - \mu \cos \phi)$.
$gl$ વડે ભાગતા:
$0 = \sin \phi + \sin \phi - \mu \cos \phi$.
$2 \sin \phi = \mu \cos \phi$.
તેથી,$\mu = 2 \tan \phi$.

(D) લીસા ઢળતા સમતલ માટે,પ્રવેગ $a_s = g \sin \theta$ છે. $s$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t_s = \sqrt{\frac{2s}{g \sin \theta}}$ છે.
ખરબચડા ઢળતા સમતલ માટે,પ્રવેગ $a_r = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ છે. લાગતો સમય $t_r = \sqrt{\frac{2s}{g(\sin \theta - \mu \cos \theta)}}$ છે.
આપેલ છે કે $t_r = n t_s$,જ્યાં $n = 2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{2s}{g(\sin \theta - \mu \cos \theta)} = n^2 \frac{2s}{g \sin \theta}$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા $\sin \theta = n^2(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ મળે છે.
$\mu$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $\mu = \tan \theta \left(1 - \frac{1}{n^2}\right)$.
$\theta = 45^{\circ}$ અને $n = 2$ કિંમતો મૂકતા: $\mu = \tan 45^{\circ} \left(1 - \frac{1}{2^2}\right) = 1 \times (1 - 0.25) = 0.75$.

(C) જ્યારે કોઈ કણને ઢાળવાળા સમતલ પર ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક અને ઘર્ષણ બળ બંને ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે.
કણ પર લાગતું કુલ બળ $F_{net} = -(mg \sin \theta + f_k)$ છે,જ્યાં $f_k = \mu_k N = \mu_k mg \cos \theta$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$ma = -(mg \sin \theta + \mu_k mg \cos \theta)$.
મંદનનું મૂલ્ય $a = g(\sin \theta + \mu \cos \theta)$ થાય.
અહીં $\theta = 45^{\circ}$ અને $\mu = 0.5$ આપેલ છે,તેથી:
$a = g(\sin 45^{\circ} + 0.5 \cos 45^{\circ})$
$a = g(\frac{1}{\sqrt{2}} + 0.5 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}})$
$a = g(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2 \sqrt{2}}) = g(\frac{2+1}{2 \sqrt{2}})$
$a = \frac{3g}{2 \sqrt{2}}$.

(D) કન્વેયર બેલ્ટ પર વ્યક્તિનો મહત્તમ શક્ય પ્રવેગ ઢાળની દિશામાં લાગતા ચોખ્ખા બળને દળ વડે ભાગવાથી મળે છે:
$a_{\max} = \frac{\mu m g \cos \theta - m g \sin \theta}{m} = g(\mu \cos \theta - \sin \theta)$
અહીં $\theta = 30^{\circ}$,$\mu = \frac{5}{3 \sqrt{3}}$,$\sin 30^{\circ} = 0.5$,અને $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ છે:
$a_{\max} = g \left( \frac{5}{3 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} \right) = g \left( \frac{5}{6} - \frac{3}{6} \right) = \frac{g}{3}$
કન્વેયર બેલ્ટની લંબાઈ $L$ અને ઊંચાઈ $h$ વચ્ચેનો સંબંધ $L = \frac{h}{\sin 30^{\circ}} = 2h$ છે.
વ્યક્તિનો જમીનની સાપેક્ષે પ્રારંભિક વેગ $u = \sqrt{\frac{g h}{6}}$ છે.
ગતિના સમીકરણ $S = ut + \frac{1}{2} a t^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2h = \left( \sqrt{\frac{g h}{6}} \right) t + \frac{1}{2} \left( \frac{g}{3} \right) t^2$
$2h = \frac{t \sqrt{gh}}{\sqrt{6}} + \frac{gt^2}{6}$
બંને બાજુ $6$ વડે ગુણતા:
$12h = t \sqrt{6gh} + gt^2$
$gt^2 + t \sqrt{6gh} - 12h = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$t = \frac{-\sqrt{6gh} + \sqrt{6gh + 48gh}}{2g} = \frac{-\sqrt{6gh} + \sqrt{54gh}}{2g} = \frac{2\sqrt{6gh}}{2g} = \sqrt{\frac{6h}{g}}$

(D) આપેલ છે: દળ $m = 2 \ kg$,પ્રવેગ $a = 4 \ m/s^2$,ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$,$g = 10 \ m/s^2$.
કિસ્સો $1$: પદાર્થ નીચે તરફ સરકે છે.
ઢાળની દિશામાં ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ઘટક $mg \sin \theta = 2 \times 10 \times \sin 30^{\circ} = 20 \times 0.5 = 10 \ N$ છે.
ધારો કે $f$ એ ઉપરની તરફ લાગતું ઘર્ષણ બળ છે. ગતિનું સમીકરણ:
$mg \sin \theta - f = ma$
$10 - f = 2 \times 4$
$10 - f = 8$
$f = 2 \ N$.
કિસ્સો $2$: પદાર્થ તેટલા જ પ્રવેગ સાથે ઉપર તરફ ગતિ કરે છે.
ધારો કે $F$ એ ઉપરની તરફ લગાડવામાં આવતું બાહ્ય બળ છે. ઘર્ષણ બળ $f$ હવે નીચેની તરફ લાગશે.
ગતિનું સમીકરણ:
$F - mg \sin \theta - f = ma$
$F - 10 - 2 = 2 \times 4$
$F - 12 = 8$
$F = 20 \ N$.

(C) જ્યારે ઢળતી સપાટીનો ખૂણો (જેને વિરામ કોણ પણ કહેવાય છે) એ ઘર્ષણ કોણ જેટલો થાય ત્યારે પદાર્થ નીચે સરકવાનું શરૂ કરે છે. ધારો કે $\theta$ એ ખૂણો છે જેના પર પદાર્થ સરકવાનું શરૂ કરે છે.
સરકવાની શરૂઆતની સ્થિતિમાં,સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_s$ એ ગુરુત્વાકર્ષણના નીચેની તરફના ઘટક જેટલું હોય છે.
$f_s = mg \sin \theta$
કારણ કે $f_s = \mu N$ અને લંબબળ $N = mg \cos \theta$ છે,તેથી:
$\mu (mg \cos \theta) = mg \sin \theta$
$\mu = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$
$\theta = \tan^{-1} \mu$
આમ,વિરામ કોણ $\theta$ માત્ર સ્થિત ઘર્ષણાંક $\mu$ પર આધાર રાખે છે અને પદાર્થના દળ $m$ થી સ્વતંત્ર છે. તેથી,ત્રણેય દળ એક જ સમયે સમાન ખૂણે સરકવાનું શરૂ કરશે.

(B) $1$. જ્યારે પદાર્થ સમાન વેગ સાથે નીચે સરકે છે,ત્યારે ચોખ્ખું બળ શૂન્ય હોય છે. આનો અર્થ એ છે કે ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $mg \sin \theta$ એ ગતિજ ઘર્ષણ $f_k = \mu_k mg \cos \theta$ દ્વારા સંતુલિત થાય છે. તેથી,$\mu_k = \tan \theta$.
$2$. જ્યારે પદાર્થને $u$ વેગ સાથે ઉપર ધકેલવામાં આવે છે,ત્યારે તેને $a_{up} = g \sin \theta + \mu_k g \cos \theta$ જેટલો પ્રતિપ્રવેગ મળે છે. $\mu_k = \tan \theta$ હોવાથી,$a_{up} = 2g \sin \theta$.
$3$. અટકી ગયા પછી,પદાર્થ નીચે સરકે છે. ઉપરની મુસાફરી દરમિયાન ઘર્ષણને કારણે ગુમાવેલી ઉર્જા $W_f = f_k \times d$ છે. નીચેની મુસાફરી દરમિયાન પણ એટલી જ ઉર્જા ઘર્ષણમાં વ્યય થાય છે. કાર્ય-ઉર્જા પ્રમેય મુજબ,અંતિમ ગતિ ઉર્જા $K_f = K_i + W_{gravity} - W_{friction}$ થાય. ઘર્ષણને કારણે ઉર્જાનો વ્યય થતો હોવાથી,અંતિમ વેગ $u$ કરતા ઓછો હશે.

(D) ધારો કે $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા રેતીના શંકુની ઊંચાઈ $h$ છે. સ્થિરતાનો ખૂણો $\alpha$ એ મહત્તમ ખૂણો છે જેના પર રેતી લપસ્યા વિના ઢગલો કરી શકાય છે. આ ખૂણો સ્થિત ઘર્ષણાંક $\mu$ સાથે $\tan \alpha = \mu$ દ્વારા સંબંધિત છે.
શંકુમાં,ખૂણો $\alpha$ એ ત્રાંસી ઊંચાઈ અને સમક્ષિતિજ જમીન વચ્ચે બને છે. શંકુની ભૂમિતિ પરથી,$\tan \alpha = \frac{h}{R}$.
$\tan \alpha$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા,આપણને $\frac{h}{R} = \mu$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $h = \mu R$.
શંકુનું કદ $V$ એ $V = \frac{1}{3} \pi R^2 h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કદના સૂત્રમાં $h = \mu R$ મૂકતા,આપણને $V_{\max} = \frac{1}{3} \pi R^2 (\mu R) = \frac{\mu \pi R^3}{3}$ મળે છે.

(D) ધારો કે $l$ એ ઢળતા સમતલની કુલ લંબાઈ છે અને $\theta$ એ નમનકોણ છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પદાર્થ પર થયેલું કુલ કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે અને તળિયે ફરીથી સ્થિર થાય છે,તેથી ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta K = 0$ છે.
પદાર્થ પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ,ઘર્ષણ અને લંબબળ છે.
$1$. ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય $(W_g)$: $W_g = mgh = mg(l \sin \theta)$.
$2$. ઘર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય $(W_f)$: ઘર્ષણ માત્ર $l(1 - 1/n)$ લંબાઈના નીચેના ભાગ પર લાગે છે. તેથી,$W_f = -f_k \cdot d = -(\mu_k mg \cos \theta) \cdot l(1 - 1/n)$.
$3$. લંબબળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $(W_N)$: લંબબળ હંમેશા સ્થાનાંતરને લંબ હોવાથી,$W_N = 0$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય લાગુ પાડતા: $W_g + W_f + W_N = 0$.
$mg l \sin \theta - \mu_k mg \cos \theta \cdot l \left(\frac{n-1}{n}\right) = 0$.
$mg l \cos \theta$ વડે ભાગતા:
$\tan \theta = \mu_k \left(\frac{n-1}{n}\right)$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}\left[\left(\frac{n-1}{n}\right) \mu_k\right]$.

(B) જ્યારે બ્લોક પ્રવેગી વેજ પર સ્થિર રહે છે,ત્યારે વેજના ફ્રેમમાં બ્લોક પર લાગતા બળો: ગુરુત્વાકર્ષણ ($mg$ નીચેની તરફ),સ્યુડો ફોર્સ ($ma$ સમક્ષિતિજ દિશામાં બહારની તરફ),લંબબળ ($N$ સપાટીને લંબ) અને ઘર્ષણબળ ($f$ સપાટીને સમાંતર) છે.
લઘુત્તમ પ્રવેગ $(a_{\min})$ શોધવા માટે,બ્લોકને નીચે સરકતો અટકાવવા ઘર્ષણબળ ઢાળ પર ઉપરની તરફ લાગવું જોઈએ.
ઢાળને સમાંતર અને લંબ બળોના ઘટકો લેતા:
$N = mg \cos \theta + ma \sin \theta$
$f + ma \cos \theta = mg \sin \theta$
$f = \mu N$ હોવાથી,$\mu(mg \cos \theta + ma \sin \theta) = mg \sin \theta - ma \cos \theta$.
$a$ માટે સમીકરણ ગોઠવતા:
$ma(\mu \sin \theta + \cos \theta) = mg(\sin \theta - \mu \cos \theta)$
$a = g \frac{\sin \theta - \mu \cos \theta}{\cos \theta + \mu \sin \theta}$
અહીં $\theta = 45^{\circ}$ હોવાથી,$\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$a_{\min} = g \frac{1 - \mu}{1 + \mu}$
$g = 10 \ m \ s^{-2}$ અને $\mu = 0.4$ મૂકતા:
$a_{\min} = 10 \times \frac{1 - 0.4}{1 + 0.4} = 10 \times \frac{0.6}{1.4} = \frac{60}{14} = \frac{30}{7} \ m \ s^{-2}$.

(B) બંને બ્લોક પર લાગતું ઘર્ષણ બળ ગતિક પ્રકારનું છે.
$1 \ kg$ ના બ્લોક માટે:
$f_1 = \mu m_1 g \cos 45^{\circ} = 0.4 \times 1 \times 10 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \ N$
$2 \ kg$ ના બ્લોક માટે:
$f_2 = \mu m_2 g \cos 45^{\circ} = 0.4 \times 2 \times 10 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2} \ N$
ઢળતા સમતલની દિશામાં નીચે તરફ લાગતું પરિણામી બળ પ્રવેગ $a = \alpha \sqrt{2}$ આપે છે:
$(m_1 + m_2)g \sin 45^{\circ} - (f_1 + f_2) = (m_1 + m_2)a$
$(1 + 2) \times 10 \times \frac{1}{\sqrt{2}} - (2\sqrt{2} + 4\sqrt{2}) = (1 + 2) \times (\alpha \sqrt{2})$
$30 \times \frac{1}{\sqrt{2}} - 6\sqrt{2} = 3\alpha \sqrt{2}$
બંને બાજુ $\sqrt{2}$ વડે ગુણતા:
$30 - 6 \times 2 = 3\alpha \times 2$
$30 - 12 = 6\alpha$
$18 = 6\alpha$
$\alpha = 3$

(B) જ્યારે વળાંકનો ઢાળ તે બિંદુએ વિરામ કોણના ટેન્જેન્ટ $(\tan \theta = \mu_s)$ જેટલો થાય ત્યારે બ્લોક લપસવાનું શરૂ કરશે.
કોઈપણ બિંદુ $x$ પર વળાંકનો ઢાળ વિકલન દ્વારા મળે છે:
$m = \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2}{20} \right) = \frac{2x}{20} = \frac{x}{10}$.
બ્લોક લપસ્યા વગર સંતુલનમાં રહે તે માટે,ઢાળ નીચેની શરતનું પાલન કરવો જોઈએ:
$\frac{dy}{dx} \leq \mu_s$
લપસવાના બિંદુએ,$\frac{x}{10} = 0.5$.
$x$ માટે ઉકેલતા:
$x = 0.5 \times 10 = 5 \ m$.
હવે,મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ શોધવા માટે પેરાબોલાના સમીકરણમાં $x = 5 \ m$ મૂકતા:
$h = y = \frac{x^2}{20} = \frac{5^2}{20} = \frac{25}{20} = 1.25 \ m$.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 4 \ kg$,સ્થિત ઘર્ષણાંક $\mu_s = 0.5$,અને ઘર્ષણ બળ $f = 14.14 \ N = 10\sqrt{2} \ N$.
બ્લોક ઢળતા સમતલ પર સ્થિર હોવાથી,ઘર્ષણ બળ એ ઢળતા સમતલની નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળના ઘટકને સંતુલિત કરે છે.
$f = mg \sin \theta$
$10\sqrt{2} = 4 \times 10 \times \sin \theta$
$10\sqrt{2} = 40 \sin \theta$
$\sin \theta = \frac{10\sqrt{2}}{40} = \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \approx 0.3535$.
જો આપણે માની લઈએ કે આપેલ ઘર્ષણ બળ એ સીમાંત ઘર્ષણ $(f_L = \mu_s N)$ છે:
લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $N = mg \cos \theta = 40 \cos \theta$.
$f_L = \mu_s N = 0.5 \times 40 \cos \theta = 20 \cos \theta$.
$f_L = 10\sqrt{2}$ ને સરખાવતા:
$20 \cos \theta = 10\sqrt{2}$
$\cos \theta = \frac{10\sqrt{2}}{20} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\theta = 45^{\circ}$.

(A) બ્લોક સ્થિર રહે તે માટેનો મહત્તમ ખૂણો $\theta$ શોધવા માટે,$m$ દળ ધરાવતા બ્લોક પર લાગતા બળોને ધ્યાનમાં લો:
$1$. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે.
$2$. લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $N$ ઢળતી સપાટીને લંબ રૂપે લાગે છે.
$3$. સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_s$ ગતિના વિરોધમાં ઢાળની ઉપરની દિશામાં લાગે છે.
વજન $mg$ ના ઘટકો પાડતા:
- ઢાળને લંબ ઘટક: $mg \cos \theta$
- ઢાળને સમાંતર ઘટક: $mg \sin \theta$
ઢાળને લંબ સંતુલન માટે:
$N = mg \cos \theta$
બ્લોક સ્થિર રહે તે માટે,ગતિ કરાવતું બળ એ સીમાંત ઘર્ષણ બળ કરતા ઓછું અથવા તેના જેટલું હોવું જોઈએ:
$mg \sin \theta \leq f_{s, \text{max}}$
કારણ કે $f_{s, \text{max}} = \mu N = \mu mg \cos \theta$,તેથી:
$mg \sin \theta \leq \mu mg \cos \theta$
બંને બાજુ $mg \cos \theta$ વડે ભાગતા ($\cos \theta \neq 0$ ધારીને):
$\tan \theta \leq \mu$
આમ,$\theta$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $\tan \theta = \mu$ દ્વારા મળે છે.

(D) ધારો કે $a$ એ બંને બ્લોક્સનો સામાન્ય પ્રવેગ છે.
પ્રથમ બ્લોક $(m_1)$ માટે: ઢળતા સમતલ પર લાગતા બળોમાં ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $m_1 g \sin 60^{\circ}$ નીચેની તરફ,ઘર્ષણ બળ $f_1 = \mu_1 N_1 = 1.5 \mu m_1 g \cos 60^{\circ}$ ઉપરની તરફ અને બીજા બ્લોક દ્વારા લાગતું પ્રતિક્રિયા બળ $R$ ઉપરની તરફ છે.
ગતિનું સમીકરણ: $m_1 g \sin 60^{\circ} - 1.5 \mu m_1 g \cos 60^{\circ} + R = m_1 a$ --- $(i)$
બીજા બ્લોક $(m_2)$ માટે: ઢળતા સમતલ પર લાગતા બળોમાં ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $m_2 g \sin 60^{\circ}$ નીચેની તરફ,ઘર્ષણ બળ $f_2 = \mu_2 N_2 = \mu m_2 g \cos 60^{\circ}$ ઉપરની તરફ અને પ્રથમ બ્લોક દ્વારા લાગતું પ્રતિક્રિયા બળ $R$ નીચેની તરફ છે.
ગતિનું સમીકરણ: $m_2 g \sin 60^{\circ} - \mu m_2 g \cos 60^{\circ} - R = m_2 a$ --- $(ii)$
$(i)$ પરથી,$a = g \sin 60^{\circ} - 1.5 \mu g \cos 60^{\circ} + \frac{R}{m_1}$.
$(ii)$ પરથી,$a = g \sin 60^{\circ} - \mu g \cos 60^{\circ} - \frac{R}{m_2}$.
$a$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$g \sin 60^{\circ} - 1.5 \mu g \cos 60^{\circ} + \frac{R}{m_1} = g \sin 60^{\circ} - \mu g \cos 60^{\circ} - \frac{R}{m_2}$
$R \left( \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} \right) = 1.5 \mu g \cos 60^{\circ} - \mu g \cos 60^{\circ} = 0.5 \mu g \cos 60^{\circ}$
$R \left( \frac{m_1 + m_2}{m_1 m_2} \right) = 0.5 \mu g \left( \frac{1}{2} \right) = 0.25 \mu g = \frac{1}{4} \mu g$
$R = \frac{1}{4} \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} \mu g$.

(A) ઢળતા સમતલ પર નીચે તરફ સરકતા બ્લોકનો પ્રવેગ $a$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$a = g \sin \theta - \mu g \cos \theta$
આપેલ છે: દળ $m = 10 \ kg$,ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$,ગતિશીલ ઘર્ષણાંક $\mu = 0.3$,સમય $t = 2 \ s$,અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \ m/s^2$.
આ કિંમતોને પ્રવેગના સૂત્રમાં મૂકતા:
$a = 10 \sin 45^{\circ} - 0.3 \times 10 \cos 45^{\circ}$
$a = 10 \times \frac{1}{\sqrt{2}} - 3 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{7}{\sqrt{2}} \ m/s^2$
શરૂઆતનો વેગ $u = 0$ લઈને અંતર $s$ માટે ગતિના બીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$s = ut + \frac{1}{2}at^2$
$s = 0 \times 2 + \frac{1}{2} \times \left( \frac{7}{\sqrt{2}} \right) \times (2)^2$
$s = \frac{1}{2} \times \frac{7}{\sqrt{2}} \times 4 = \frac{14}{\sqrt{2}} = 7 \sqrt{2} \ m$
આમ,કાપેલું અંતર $7 \sqrt{2} \ m$ છે.

(A) આપેલ છે કે,$\mu = C s^2$.
ઢળતા સમતલ પર બ્લોક પર લાગતું પરિણામી બળ:
$M g \sin \theta - f = M a$
$M g \sin \theta - \mu M g \cos \theta = M a$
$a = g \sin \theta - \mu g \cos \theta$
$\mu = C s^2$ અને $\theta = 45^{\circ}$ મૂકતા:
$a = g \sin 45^{\circ} - C s^2 g \cos 45^{\circ} = \frac{g}{\sqrt{2}} (1 - C s^2)$
$a = v \frac{dv}{ds}$ સંબંધનો ઉપયોગ કરતા:
$v \frac{dv}{ds} = \frac{g}{\sqrt{2}} (1 - C s^2)$
$v dv = \frac{g}{\sqrt{2}} (1 - C s^2) ds$
બંને બાજુ પ્રારંભિક સ્થિતિ $(s=0, v=0)$ થી અંતિમ સ્થિતિ $(s=s_{max}, v=0)$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{0}^{0} v dv = \int_{0}^{s_{max}} \frac{g}{\sqrt{2}} (1 - C s^2) ds$
$0 = \frac{g}{\sqrt{2}} [s - \frac{C s^3}{3}]_{0}^{s_{max}}$
$g \neq 0$ હોવાથી:
$s_{max} - \frac{C s_{max}^3}{3} = 0$
$s_{max} (1 - \frac{C s_{max}^2}{3}) = 0$
$s_{max} \neq 0$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$1 = \frac{C s_{max}^2}{3}$
$s_{max}^2 = \frac{3}{C}$
$s_{max} = \sqrt{\frac{3}{C}}$

(D) બોક્સને સ્થિર સંતુલનમાં રાખવા માટે,ઢાળની દિશામાં નીચે તરફ લાગતું બળ $(mg \sin \theta)$ એ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $(f_{max})$ દ્વારા સંતુલિત થવું જોઈએ.
બોક્સ પર લાગતું લંબબળ $N$ એ ઢાળને લંબ વજનનો ઘટક અને લાગુ પાડેલા બળ $F$ નો સરવાળો છે:
$N = mg \cos \theta + F$
મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ નીચે મુજબ મળે છે:
$f_{max} = \mu N = \mu(mg \cos \theta + F)$
સંતુલન માટે,$mg \sin \theta \leq f_{max}$,તેથી જરૂરી લઘુત્તમ બળ $F$ ત્યારે મળે જ્યારે $mg \sin \theta = \mu(mg \cos \theta + F)$.
$F$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$F = \frac{mg \sin \theta}{\mu} - mg \cos \theta = mg \left( \frac{\sin \theta}{\mu} - \cos \theta \right)$
અહીં $m = 1 \ kg$,$g = 10 \ m/s^2$,$\theta = 30^{\circ}$,અને $\mu = 0.2$ આપેલ છે:
$F = 1 \times 10 \left( \frac{\sin 30^{\circ}}{0.2} - \cos 30^{\circ} \right)$
$F = 10 \left( \frac{0.5}{0.2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 10 \left( 2.5 - 0.866 \right)$
$F = 10 \times 1.634 = 16.34 \ N$
આમ,$F$ નું લઘુત્તમ મૂલ્ય $\geq 16.3 \ N$ છે.

(C) ઉપરની ગતિ માટે,જરૂરી બળ $F_{\text{up}} = mg(\sin \theta + \mu \cos \theta)$ છે.
નીચેની ગતિ માટે,સરકતા અટકાવવા માટે જરૂરી બળ $F_{\text{down}} = mg(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$F_{\text{up}} = 2 F_{\text{down}}$.
પદોને મૂકતા,$mg(\sin \theta + \mu \cos \theta) = 2mg(\sin \theta - \mu \cos \theta)$.
બંને બાજુ $mg$ વડે ભાગતા,$\sin \theta + \mu \cos \theta = 2 \sin \theta - 2 \mu \cos \theta$.
પદોને ગોઠવતા,$3 \mu \cos \theta = \sin \theta$,જેનું સાદું રૂપ $\mu = \frac{1}{3} \tan \theta$ થાય છે.
આપેલ છે કે $\theta = 60^{\circ}$,તેથી $\mu = \frac{1}{3} \tan 60^{\circ} = \frac{1}{3} \times \sqrt{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(A) લીસા ઢળતા સમતલ માટે,પ્રવેગ $a_s = g \sin \theta$ છે. $s$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t_s = \sqrt{\frac{2s}{g \sin \theta}}$ છે.
ખરબચડા ઢળતા સમતલ માટે,પ્રવેગ $a_r = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ છે. લાગતો સમય $t_r = \sqrt{\frac{2s}{g(\sin \theta - \mu \cos \theta)}} = n t_s$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{2s}{g(\sin \theta - \mu \cos \theta)} = n^2 \frac{2s}{g \sin \theta}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\sin \theta = n^2(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ મળે,જેમાંથી $\mu \cos \theta = \sin \theta (1 - \frac{1}{n^2})$ મળે છે.
આમ,$\mu = \tan \theta (1 - \frac{1}{n^2})$.
અહીં $\theta = 45^{\circ}$ આપેલ હોવાથી,$\tan 45^{\circ} = 1$,તેથી $\mu = 1 - \frac{1}{n^2}$ થાય.

(C) ખરબચડી ઢળતી સપાટી પર પદાર્થને ઉપર તરફ ગતિ કરાવવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ બળ $F_1 = mg(\sin \theta + \mu \cos \theta)$ છે.
પદાર્થને નીચે સરકતો અટકાવવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ બળ $F_2 = mg(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$F_1 = 3F_2$.
સમીકરણો મૂકતા,$mg(\sin \theta + \mu \cos \theta) = 3mg(\sin \theta - \mu \cos \theta)$.
બંને બાજુ $mg$ વડે ભાગતા,$\sin \theta + \mu \cos \theta = 3\sin \theta - 3\mu \cos \theta$.
પદોને ગોઠવતા,$4\mu \cos \theta = 2\sin \theta$,જેનું સાદું રૂપ $\tan \theta = 2\mu$ થાય છે.
આપેલ છે કે $\mu = \frac{1}{2\sqrt{3}}$,તેથી $\tan \theta = 2 \times \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આમ,$\theta = \tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}}) = 30^{\circ}$.

(C) આપેલ છે: ઘર્ષણાંક $\mu = 0.5$. ચોખ્ખા બળ $F$ અને લંબ પ્રતિક્રિયા $R$ નો ગુણોત્તર $\frac{F}{R} = \frac{1}{2}$ છે.
ઢળતા સમતલ પર નીચે સરકતા પદાર્થ પર લાગતું ચોખ્ખું બળ $F = mg \sin \theta - f$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ ઘર્ષણ બળ છે.
ઘર્ષણ બળ $f = \mu R$ છે અને લંબ પ્રતિક્રિયા $R = mg \cos \theta$ છે.
આ કિંમતોને $F$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $F = mg \sin \theta - \mu mg \cos \theta$.
હવે,આપેલ ગુણોત્તર $\frac{F}{R} = \frac{1}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{mg \sin \theta - \mu mg \cos \theta}{mg \cos \theta} = \frac{1}{2}$
અંશને છેદ વડે ભાગતા:
$\tan \theta - \mu = \frac{1}{2}$
$\tan \theta = \frac{1}{2} + \mu = 0.5 + 0.5 = 1.0$.
તેથી,$\tan \theta = 1$ હોવાથી,$\theta = 45^{\circ}$ મળે છે.

(B) બ્લોક પરનું લંબબળ $N = mg \cos \theta$ છે.
ઘર્ષણાંક $\mu = \frac{2}{3} x$ હોવાથી,ગતિક ઘર્ષણ બળ $f_k = \mu N = \left( \frac{2}{3} x \right) mg \cos \theta$ થાય.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,બ્લોક પર થયેલું કુલ કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W_g + W_f = \Delta K.E. = 0 - 0 = 0$.
જ્યારે બ્લોક $x$ અંતર નીચે સરકે ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W_g = mgx \sin \theta$ છે.
ચલ ઘર્ષણ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W_f = - \int_0^x f_k \, dx = - \int_0^x \left( \frac{2}{3} x mg \cos \theta \right) dx = - \frac{2}{3} mg \cos \theta \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^x = - \frac{1}{3} mgx^2 \cos \theta$ થાય.
આ કિંમતોને કાર્ય-ઊર્જા સમીકરણમાં મૂકતા: $mgx \sin \theta - \frac{1}{3} mgx^2 \cos \theta = 0$.
$mgx$ વડે ભાગતા ($x \neq 0$ ધારીને): $\sin \theta - \frac{1}{3} x \cos \theta = 0$.
$x$ માટે ઉકેલતા: $x = 3 \tan \theta$.
અહીં $\theta = 30^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $x = 3 \tan 30^{\circ} = 3 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \text{ m}$.

(D) ઢળતા સમતલ પર ઉપર તરફ ગતિ કરતા પદાર્થ પર લાગતું કુલ અવરોધક બળ $F_{net} = mg \sin \theta + f_k$ છે,જ્યાં $f_k = \mu R = \mu mg \cos \theta$ છે.
તેથી,$F_{net} = mg(\sin \theta + \mu \cos \theta)$.
મંદન $a = \frac{F_{net}}{m} = g(\sin \theta + \mu \cos \theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,બધા બળો દ્વારા થયેલું કુલ કાર્ય ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W_{total} = \Delta KE = 0 - E = -E$.
ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W_g = -mg \sin \theta \cdot s$ છે અને ઘર્ષણ વિરુદ્ધ થયેલું કાર્ય $W_f = f_k \cdot s = \mu mg \cos \theta \cdot s$ છે.
$v^2 - u^2 = 2as$ પરથી,આપણને $0 - u^2 = -2as$ મળે છે,તેથી $s = \frac{u^2}{2a} = \frac{2E/m}{2g(\sin \theta + \mu \cos \theta)} = \frac{E}{mg(\sin \theta + \mu \cos \theta)}$.
ઘર્ષણ વિરુદ્ધ થયેલું કાર્ય $W_f = (\mu mg \cos \theta) \cdot s = (\mu mg \cos \theta) \cdot \frac{E}{mg(\sin \theta + \mu \cos \theta)} = \frac{\mu E \cos \theta}{\sin \theta + \mu \cos \theta}$ છે.

(A) લીસા ઢળતા સમતલ માટે,પ્રવેગ $a_s = g \sin \theta$ છે. $d$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t_s = \sqrt{2d / a_s} = \sqrt{2d / (g \sin \theta)}$ છે.
ખરબચડા ઢળતા સમતલ માટે,પ્રવેગ $a_r = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ છે. $d$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t_r = \sqrt{2d / a_r} = \sqrt{2d / (g(\sin \theta - \mu \cos \theta))}$ છે.
આપેલ છે કે $t_r = t$ અને $t_s = t/2$,તેથી $t_r = 2t_s$ થાય.
તેથી,$\sqrt{2d / (g(\sin \theta - \mu \cos \theta))} = 2 \sqrt{2d / (g \sin \theta)}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $1 / (\sin \theta - \mu \cos \theta) = 4 / \sin \theta$.
$\sin \theta = 4 \sin \theta - 4 \mu \cos \theta$.
$4 \mu \cos \theta = 3 \sin \theta$.
$\mu = (3/4) \tan \theta$.
$\theta = 45^{\circ}$ મૂકતા,$\mu = (3/4) \tan 45^{\circ} = 3/4 \times 1 = 3/4$.

(B) બ્લોક પ્રવેગ વગર નીચે તરફ ગતિ કરે તે માટે,ઢળતા સમતલની દિશામાં પરિણામી બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ધારો કે $F$ એ ઢળતા સમતલ પર ઉપરની તરફ લગાડવામાં આવતું બળ છે.
ઢળતા સમતલ પર નીચેની તરફ લાગતું બળ ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $mg \sin 30^{\circ}$ છે.
ઢળતા સમતલ પર ઉપરની તરફ લાગતા બળો એ લગાડવામાં આવેલ બળ $F$ અને ગતિક ઘર્ષણ $f_k = \mu N = \mu mg \cos 30^{\circ}$ છે.
બળોને સરખાવતા: $mg \sin 30^{\circ} = F + \mu mg \cos 30^{\circ}$.
કિંમતો મૂકતા: $5 \times 10 \times \frac{1}{2} = F + \frac{\sqrt{3}}{2} \times 5 \times 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$25 = F + \frac{\sqrt{3}}{2} \times 50 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = F + \frac{3}{4} \times 50 = F + 37.5$.
$F = 25 - 37.5 = -12.5 \ N$.
ઋણ નિશાની સૂચવે છે કે અચળ વેગ જાળવી રાખવા માટે બળ $F$ વિરુદ્ધ દિશામાં (એટલે કે ઢળતા સમતલ પર નીચેની તરફ) લગાડવું આવશ્યક છે.
તેથી,ઢળતા સમતલ પર નીચેની તરફ $12.5 \ N$ નું બળ લગાડવું પડશે.

(C) ધારો કે ઢાળની લંબાઈ $L$ છે.
લીસા સમતલ માટે,પ્રવેગ $a_1 = g \sin\theta$ છે. લાગતો સમય $t_1 = \sqrt{2L/a_1}$ છે.
ખરબચડા સમતલ માટે,પ્રવેગ $a_2 = g(\sin\theta - \mu \cos\theta)$ છે. લાગતો સમય $t_2 = \sqrt{2L/a_2}$ છે.
આપેલ છે કે $t_2 = 1.5 t_1$,તેથી $t_2^2 = 2.25 t_1^2$.
$t_1$ અને $t_2$ ના સમીકરણો મૂકતા,આપણને $\frac{2L}{a_2} = 2.25 \frac{2L}{a_1}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $a_1 = 2.25 a_2$ થાય છે.
$a_1$ અને $a_2$ ની કિંમત મૂકતા,$g \sin\theta = 2.25 g(\sin\theta - \mu \cos\theta)$ મળે છે.
અહીં $\theta = 45^\circ$ હોવાથી,$\sin\theta = \cos\theta = 1/\sqrt{2}$ થાય.
$g \sin\theta$ વડે ભાગતા,$1 = 2.25(1 - \mu)$ મળે છે.
આમ,$1 - \mu = 1/2.25 = 4/9$.
તેથી,$\mu = 1 - 4/9 = 5/9$.

(A) ધારો કે નમેલા સમતલની લંબાઈ $L$ છે. ખરબચડી સપાટી પર બ્લોકનો પ્રવેગ $a_1 = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ છે અને લીસી સપાટી પર $a_2 = g \sin \theta$ છે.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે,આપણને મળે છે $L = \frac{1}{2} a_1 t^2$ અને $L = \frac{1}{2} a_2 (t/2)^2$.
$L$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{1}{2} a_1 t^2 = \frac{1}{2} a_2 \frac{t^2}{4}$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $a_1 = \frac{a_2}{4}$ અથવા $4a_1 = a_2$ મળે છે.
$\theta = 45^\circ$ (જ્યાં $\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$) મૂકતા:
$4g(\frac{1}{\sqrt{2}} - \mu \frac{1}{\sqrt{2}}) = g(\frac{1}{\sqrt{2}})$.
બંને બાજુ $\frac{g}{\sqrt{2}}$ વડે ભાગતા,આપણને $4(1 - \mu) = 1$ મળે છે.
$4 - 4\mu = 1 \implies 4\mu = 3 \implies \mu = 0.75$.
આમ,$\mu = \frac{\alpha}{100}$ હોવાથી,$\frac{\alpha}{100} = 0.75$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = 75$.