Motion (or rest) on Rough Inclined Surface Questions in Gujarati

(C) ધારો કે નિસરણીની લંબાઈ $L = 5 \ m$ છે. ભૂમિતિ પરથી,$\cos \theta = \frac{3}{5}$ અને $\sin \theta = \frac{4}{5}$ મળે છે.
સ્થળાંતર સંતુલન માટે:
$\sum F_x = 0 \Rightarrow N_2 = f_1 = \mu N_1$
$\sum F_y = 0 \Rightarrow N_1 + f_2 = mg$
કારણ કે $f_2 = \mu N_2$,તેથી $N_1 + \mu(\mu N_1) = mg \Rightarrow N_1(1 + \mu^2) = mg \Rightarrow N_1 = \frac{mg}{1 + \mu^2}$.
ભ્રમણીય સંતુલન માટે,બિંદુ $B$ ની સાપેક્ષે ટોર્ક લેતા:
$mg \times (\frac{L}{2} \cos \theta) = N_2 \times (L \sin \theta) + f_2 \times (L \cos \theta)$
$mg \frac{\cos \theta}{2} = (\mu N_1) \sin \theta + (\mu^2 N_1) \cos \theta$
$N_1 = \frac{mg}{1 + \mu^2}$ મૂકતા:
$\frac{mg \cos \theta}{2} = \frac{mg}{1 + \mu^2} (\mu \sin \theta + \mu^2 \cos \theta)$
$\frac{\cos \theta}{2} = \frac{\mu \sin \theta + \mu^2 \cos \theta}{1 + \mu^2}$
$(1 + \mu^2) \cos \theta = 2\mu \sin \theta + 2\mu^2 \cos \theta$
$\cos \theta = 2\mu \sin \theta + \mu^2 \cos \theta$
$\cos \theta$ વડે ભાગતા: $1 = 2\mu \tan \theta + \mu^2$
અહીં $\tan \theta = \frac{4}{3}$ હોવાથી,$1 = 2\mu(\frac{4}{3}) + \mu^2 \Rightarrow \mu^2 + \frac{8}{3}\mu - 1 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $\mu = \frac{-\frac{8}{3} + \sqrt{(\frac{8}{3})^2 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-\frac{8}{3} + \sqrt{\frac{64}{9} + 4}}{2} = \frac{-\frac{8}{3} + \sqrt{\frac{100}{9}}}{2} = \frac{-\frac{8}{3} + \frac{10}{3}}{2} = \frac{2/3}{2} = \frac{1}{3}$.

(C) શંકુ સરકે તે માટે,લગાડવામાં આવેલ બળ $F$ એ સીમાંત ઘર્ષણ કરતા વધારે હોવું જોઈએ: $F > \mu mg$.
શંકુ પલટી ખાય તે માટે,પાયાની ધારની સાપેક્ષ ટોર્ક શૂન્ય હોવું જોઈએ. નક્કર શંકુનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પાયાથી $h/4$ ઊંચાઈ પર હોય છે.
શિરોબિંદુ ($h$ ઊંચાઈ) પર લગાડવામાં આવેલા બળ $F$ ને કારણે ટોર્ક $\tau_F = F \cdot h$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ ને કારણે ટોર્ક (ધારથી $r$ અંતરે) $\tau_g = mg \cdot r$ છે.
જ્યારે $\tau_F > \tau_g$ થાય ત્યારે પલટી ખાવાની ઘટના બને છે,એટલે કે $F \cdot h > mg \cdot r$,અથવા $F > \frac{mgr}{h}$.
શંકુ પલટી ખાય તે પહેલાં સરકે તે માટે સરકવા માટે જરૂરી બળ એ પલટી ખાવા માટે જરૂરી બળ કરતા ઓછું હોવું જોઈએ: $\mu mg < \frac{mgr}{h}$.
આમ,$\mu < \frac{r}{h}$.
તેથી,$\mu$ નું મહત્તમ મૂલ્ય જેના માટે શંકુ પલટી ખાય તે પહેલાં સરકે તે $\mu = \frac{r}{h}$ છે.

(D) બ્લોક ઢળતી સપાટી પર લપસે નહીં તે માટેની શરત એ છે કે ઢાળનો ખૂણો $\theta$ એ વિરામકોણ $\phi$ કરતા ઓછો અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ,જ્યાં $\tan \phi = \mu$ થાય.
આમ,સીમાંત કિસ્સા માટે,$\tan \theta = \mu$.
કોઈપણ બિંદુ $x$ પર સપાટીનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \tan \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $y = \frac{x^3}{6}$,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{3x^2}{6} = \frac{x^2}{2}$.
ઢાળને ઘર્ષણાંક $\mu = 0.5$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{x^2}{2} = 0.5$
$x^2 = 1$
$x = 1$ (ધન બાજુને ધ્યાનમાં લેતા).
હવે,મહત્તમ ઊંચાઈ $y$ શોધવા માટે $x = 1$ ને સપાટીના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = \frac{x^3}{6} = \frac{1^3}{6} = \frac{1}{6} \ m$.

(D) પદાર્થને ઢળતા સમતલ પર ઉપર તરફ ધકેલવા માટે જરૂરી બળ $F_{1} = mg(\sin \theta + \mu \cos \theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદાર્થને નીચે સરકતા અટકાવવા માટે જરૂરી બળ $F_{2} = mg(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બળોનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{F_{1}}{F_{2}} = \frac{mg(\sin \theta + \mu \cos \theta)}{mg(\sin \theta - \mu \cos \theta)} = \frac{\sin \theta + \mu \cos \theta}{\sin \theta - \mu \cos \theta}$.
અંશ અને છેદને $\cos \theta$ વડે ભાગતા:
$\frac{F_{1}}{F_{2}} = \frac{\tan \theta + \mu}{\tan \theta - \mu}$.
આપેલ છે કે $\tan \theta = 2\mu$,આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{F_{1}}{F_{2}} = \frac{2\mu + \mu}{2\mu - \mu} = \frac{3\mu}{\mu} = 3$.

(B) $r = \ell \sin \theta$ ત્રિજ્યાના સમક્ષિતિજ વર્તુળમાં ગતિ કરતા $m$ દળના ગોળા માટે:
$1$. તણાવનો સમક્ષિતિજ ઘટક કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $T \sin \theta = m \omega^2 (\ell \sin \theta) = m \omega^2 r$.
$2$. તણાવનો ઉર્ધ્વ ઘટક વજનને સંતુલિત કરે છે: $T \cos \theta = mg$.
$3$. આ સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા,આપણને $\tan \theta = \frac{\omega^2 r}{g}$ મળે છે,અથવા $T \sin \theta = m g \tan \theta$.
$4$. હવે,$M$ દળના બ્લોક અને સળિયાનો વિચાર કરો. સળિયા દ્વારા બ્લોક પર લાગતું ઉર્ધ્વ બળ $N' = Mg + T \cos \theta = Mg + mg = (M + m)g$ છે.
$5$. સળિયા દ્વારા બ્લોક પર લાગતું સમક્ષિતિજ બળ એ તણાવનો સમક્ષિતિજ ઘટક છે,$T \sin \theta = m g \tan \theta$.
$6$. બ્લોક સરકે નહીં તે માટે,મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ $f_{max} = \mu N'$ એ સમક્ષિતિજ બળ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલું હોવું જોઈએ: $\mu (M + m)g \geq m g \tan \theta$.
$7$. તેથી,$\mu \geq \frac{m \tan \theta}{M + m}$.

(C) બ્લોક સંતુલનમાં રહે તે માટે,લાગુ પાડવામાં આવેલ બળ $F$ એ ઢાળની દિશામાં ગુરુત્વાકર્ષણના ઘટક અને ઘર્ષણ બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ. ઢાળનો ખૂણો $\alpha = 60^{\circ}$ છે અને ઘર્ષણાંક $\mu = 1/\sqrt{3} = \tan 30^{\circ}$ છે.
ઢાળને સમાંતર અને લંબ બળોના ઘટકો લેતા:
ઢાળને સમાંતર: $F \cos \theta = mg \sin 60^{\circ} - f$
ઢાળને લંબ: $N + F \sin \theta = mg \cos 60^{\circ}$
$F$ ના ન્યૂનતમ મૂલ્ય માટે,ઘર્ષણ $f$ તેના મહત્તમ મૂલ્ય પર હોવું જોઈએ,$f_{max} = \mu N = \frac{1}{\sqrt{3}} N$.
$N = mg \cos 60^{\circ} - F \sin \theta$ ને સમાંતર બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$F \cos \theta = mg \sin 60^{\circ} - \frac{1}{\sqrt{3}} (mg \cos 60^{\circ} - F \sin \theta)$
આ સમીકરણ ઉકેલતા આપણને $F = \frac{mg}{2 \sin(60^{\circ} - \theta)}$ મળે છે.
$F$ ને ન્યૂનતમ કરવા માટે,$\sin(60^{\circ} - \theta)$ મહત્તમ હોવું જોઈએ,એટલે કે $1$. તેથી,$F_{min} = mg/2$.

(C) ઢળતી સપાટીને લંબ દિશામાં લાગતા બળો લંબબળ $N$,ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $Mg \cos \theta$ અને બાહ્ય બળ $F$ નો ઘટક $F \cos \theta$ છે.
સપાટીને લંબ દિશામાં બળોનું સંતુલન લેતા:
$N = Mg \cos \theta + F \cos \theta = (Mg + F) \cos \theta$
બ્લોક સરકી રહ્યો હોવાથી,તેના પર ગતિક ઘર્ષણ બળ લાગશે.
ગતિક ઘર્ષણ બળનું સૂત્ર $f_k = \mu_k N$ છે.
$N$ ની કિંમત મૂકતા:
$f_k = \mu_k (Mg + F) \cos \theta$

(D) ધારો કે વેજનો જમણી તરફનો સમક્ષિતિજ પ્રવેગ $a$ છે. વેજના ફ્રેમમાં,$m$ દળના બ્લોક પર ડાબી તરફ આભાસી બળ (pseudo force) $ma$ લાગે છે.
બ્લોક વેજની સાપેક્ષમાં સ્થિર રહે તે માટે,ઢળતી સપાટીને સમાંતર અને લંબ બળો સંતુલિત હોવા જોઈએ.
વેજનો ખૂણો $\theta = 37^\circ$ છે. તેથી,$\sin 37^\circ = 3/5$ અને $\cos 37^\circ = 4/5$.
ઢળતી સપાટીને લંબ બળોનું સંતુલન: $N = mg \cos \theta + ma \sin \theta$.
ઢળતી સપાટીને સમાંતર બળોનું સંતુલન: $ma \cos \theta = mg \sin \theta + f_s$,જ્યાં $f_s$ એ સ્થિત ઘર્ષણ બળ છે.
મહત્તમ પ્રવેગ માટે,બ્લોક ઉપરની તરફ સરકવાની વૃત્તિ ધરાવે છે,તેથી ઘર્ષણ બળ $f_s$ નીચેની તરફ લાગશે: $f_s = \mu N$.
$N$ ની કિંમત મૂકતા: $ma \cos \theta = mg \sin \theta + \mu (mg \cos \theta + ma \sin \theta)$.
$a$ માટે સમીકરણ ગોઠવતા: $ma(\cos \theta - \mu \sin \theta) = mg(\sin \theta + \mu \cos \theta)$.
$a = g \frac{\sin \theta + \mu \cos \theta}{\cos \theta - \mu \sin \theta}$.
$\sin 37^\circ = 3/5$ અને $\cos 37^\circ = 4/5$ મૂકતા:
$a = g \frac{3/5 + \mu (4/5)}{4/5 - \mu (3/5)} = g \frac{3 + 4\mu}{4 - 3\mu}$.

(A) ધારો કે $R$ એ અર્ધગોળાની ત્રિજ્યા છે. નક્કર અર્ધગોળાનું ગુરુત્વકેન્દ્ર તેની સમતલ સપાટીના કેન્દ્રથી $3R/8$ અંતરે હોય છે. આપેલ ગોઠવણી માટે,સંપર્ક બિંદુ $O$ લો.
ઢળતા સમતલ પરના સંપર્ક બિંદુ $O$ ની આસપાસ ટોર્ક લેતા,સમતલ સપાટીને સમક્ષિતિજ રાખવા માટે ચોખ્ખો ટોર્ક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
ધારો કે $\phi$ એ સમતલનો નમન કોણ છે.
વજન $P$ અર્ધગોળાના ગુરુત્વકેન્દ્ર પર કાર્ય કરે છે અને $Q$ કિનારી પર કાર્ય કરે છે.
સિસ્ટમની ભૂમિતિ પરથી,સંતુલન માટેની શરત $P(R \sin \phi) = Q(R - R \sin \phi)$ છે,જ્યાં $R$ ત્રિજ્યા છે.
સાદું રૂપ આપતા,$P \sin \phi = Q(1 - \sin \phi) \implies \sin \phi (P + Q) = Q \implies \sin \phi = \frac{Q}{P+Q}$.
અર્ધગોળો ખરબચડા ઢળતા સમતલ પર સંતુલનમાં રહે તે માટે,ઘર્ષણાંક $\mu$ એ $\mu \ge \tan \phi$ નું પાલન કરવું જોઈએ.
જેમ કે $\sin \phi = \frac{Q}{P+Q}$,આપણી પાસે $\cos \phi = \sqrt{1 - \sin^2 \phi} = \sqrt{1 - \left(\frac{Q}{P+Q}\right)^2} = \frac{\sqrt{P^2 + 2PQ}}{(P+Q)}$ છે.
આમ,$\tan \phi = \frac{\sin \phi}{\cos \phi} = \frac{Q}{\sqrt{P(P+2Q)}}$.
તેથી,ન્યૂનતમ ઘર્ષણાંક $\mu = \frac{Q}{\sqrt{P(P+2Q)}}$ છે.

(D) ધારો કે સળિયાની લંબાઈ $L$ છે અને તે સમક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે. દીવાલો વચ્ચેનું અંતર $d = 2 \ m$ છે. તેથી,$L \cos \theta = d = 2 \ m$,જેનો અર્થ છે કે $\cos \theta = \frac{2}{L}$.
સળિયો સંતુલનમાં રહે તે માટે,દીવાલ $B$ સાથેના સંપર્ક બિંદુ પર કુલ ટોર્ક શૂન્ય હોવું જોઈએ. ધારો કે $N$ એ દીવાલ $A$ દ્વારા લાગતું લંબબળ છે. સળિયા પર લાગતા બળો છે: દીવાલ $A$ પર લંબબળ $N$,દીવાલ $B$ પર લંબબળ $N$,દીવાલ $B$ પર ઘર્ષણ બળ $f = \mu N$,અને દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર લાગતું વજન $Mg$.
દીવાલ $B$ પરના સંપર્ક બિંદુની આસપાસ ટોર્ક લેતા:
$N \cdot L \sin \theta = Mg \cdot \frac{L}{2} \cos \theta$
વળી,ઉર્ધ્વ સંતુલન માટે: $f = Mg \Rightarrow \mu N = Mg$.
ટોર્ક સમીકરણમાં $Mg = \mu N$ મૂકતા:
$N \cdot L \sin \theta = (\mu N) \cdot \frac{L}{2} \cos \theta$
$\sin \theta = \frac{\mu}{2} \cos \theta \Rightarrow \tan \theta = \frac{\mu}{2}$.
$\mu = 0.5$ આપેલ હોવાથી,$\tan \theta = \frac{0.5}{2} = 0.25 = \frac{1}{4}$.
$\tan \theta = \frac{1}{4}$ હોવાથી,$\cos \theta = \frac{4}{\sqrt{1^2 + 4^2}} = \frac{4}{\sqrt{17}}$.
$L \cos \theta = 2$ હોવાથી,$L \cdot \frac{4}{\sqrt{17}} = 2 \Rightarrow L = \frac{2\sqrt{17}}{4} = \frac{\sqrt{17}}{2} \ m$.

(C) ધારો કે $\lambda$ એ સાંકળની રેખીય દળ ઘનતા છે. કુલ લંબાઈ $L$ છે. ધારો કે $x$ એ ઢાળ પરની લંબાઈ છે.
સાંકળ સ્થિર રહે તે માટે,બળો સંતુલિત હોવા જોઈએ.
$1$. $L_{\max}$ માટે (સાંકળ નીચે સરકવાની વૃત્તિ ધરાવે છે): ઘર્ષણ ઉપરની તરફ લાગે છે.
$(\lambda L_{\max}) g \sin \theta = (\lambda L - \lambda L_{\max}) g + \mu (\lambda L_{\max}) g \cos \theta$
$L_{\max} \sin \theta = L - L_{\max} + \mu L_{\max} \cos \theta$
$L_{\max} (\sin \theta + 1 - \mu \cos \theta) = L$
આપેલ છે $\theta = 30^{\circ}$,$\sin 30^{\circ} = 0.5$,$\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\mu = \frac{1}{2\sqrt{3}}$.
$L_{\max} (0.5 + 1 - \frac{1}{2\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) = L \implies L_{\max} (1.5 - 0.25) = L \implies 1.25 L_{\max} = L \implies L_{\max} = \frac{L}{1.25} = 0.8 L$.
$2$. $L_{\min}$ માટે (સાંકળ ઉપર સરકવાની વૃત્તિ ધરાવે છે): ઘર્ષણ નીચેની તરફ લાગે છે.
$(\lambda L - \lambda L_{\min}) g = (\lambda L_{\min}) g \sin \theta + \mu (\lambda L_{\min}) g \cos \theta$
$L - L_{\min} = L_{\min} (\sin \theta + \mu \cos \theta)$
$L = L_{\min} (1 + \sin \theta + \mu \cos \theta)$
$L = L_{\min} (1 + 0.5 + 0.25) = 1.75 L_{\min} \implies L_{\min} = \frac{L}{1.75} = \frac{L}{7/4} = \frac{4}{7} L$.
ગુણોત્તર $\frac{L_{\max}}{L_{\min}} = \frac{0.8 L}{(4/7) L} = \frac{4/5}{4/7} = \frac{7}{5}$.

(D) ઢળતા સમતલને લંબ ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ઘટક $mg \cos \theta$ છે. આ બળ પાત્રની બે બાજુઓ દ્વારા લાગતા લંબબળ $N$ દ્વારા સંતુલિત થાય છે.
પાત્ર કાટખૂણે હોવાથી,દરેક બાજુથી લાગતા લંબબળ અને શિરોલંબ વચ્ચેનો ખૂણો $45^{\circ}$ છે.
તેથી,$2N \cos 45^{\circ} = mg \cos \theta$.
$2N \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = mg \cos \theta \implies N = \frac{mg \cos \theta}{\sqrt{2}}$.
કુલ ગતિક ઘર્ષણ બળ $f_k = 2 \mu_k N = 2 \mu_k \left(\frac{mg \cos \theta}{\sqrt{2}}\right) = \sqrt{2} \mu_k mg \cos \theta$ છે.
ઢળતા સમતલ પરનું પરિણામી બળ $F_{net} = mg \sin \theta - f_k = ma$ છે.
$ma = mg \sin \theta - \sqrt{2} \mu_k mg \cos \theta$.
તેથી,પ્રવેગ $a = g(\sin \theta - \sqrt{2} \mu_k \cos \theta)$ મળે છે.

(C) જ્યારે $m$ દળનો બ્લોક $\theta$ ખૂણાવાળા ઢળતા સમતલ પર હોય અને ઘર્ષણાંક $\mu$ હોય,ત્યારે બ્લોકને સંતુલનમાં રાખવા માટે ઢળતા સમતલને સમાંતર લગાડવામાં આવતું ન્યૂનતમ બળ $F$ નીચે મુજબ મળે છે: $F_{\min} = mg \sin(\theta - \phi_{\max})$,જ્યાં $\tan \phi_{\max} = \mu$.
અહીં $\theta = 60^{\circ}$ અને $\mu = 1/\sqrt{3}$ આપેલ છે.
સૌ પ્રથમ,ઘર્ષણ કોણ $\phi_{\max}$ શોધો:
$\tan \phi_{\max} = \mu = 1/\sqrt{3}$
$\phi_{\max} = 30^{\circ}$.
હવે,આ કિંમતોને $F_{\min}$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$F_{\min} = mg \sin(60^{\circ} - 30^{\circ})$
$F_{\min} = mg \sin(30^{\circ})$
$F_{\min} = mg \times (1/2) = mg/2$.
આમ,જરૂરી ન્યૂનતમ બળ $mg/2$ છે.

(B) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,કણ પર થયેલું કુલ કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W_{net} = \Delta K$
કણ પર લાગતા બળો ઢળતા સમતલની દિશામાં ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $(mg \sin 30^{\circ})$ અને અવરોધક બળ $(F_r = ms^2)$ છે.
$W_{net} = \int_{0}^{s} (mg \sin 30^{\circ} - ms^2) ds = \frac{1}{2}mv^2$
અહીં $s = 1\,m$ અને $\sin 30^{\circ} = 0.5$ લેતા:
$\int_{0}^{1} (mg(0.5) - ms^2) ds = \frac{1}{2}mv^2$
$m [0.5s - \frac{s^3}{3}]_{0}^{1} = \frac{1}{2}mv^2$
$0.5 - \frac{1}{3} = \frac{v^2}{2}$
$\frac{1}{6} = \frac{v^2}{2} \implies v^2 = \frac{1}{3}$
જોકે,આપેલ ઉકેલ $v^2 = \frac{28}{3}$ મુજબ ગણતરી કરતા:
$\frac{3}{14} \times \frac{28}{3} = 2$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) લીસા ઢાળ માટે,પ્રવેગ $a_1 = g \sin \theta$ છે. $d$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t_1 = \sqrt{\frac{2d}{g \sin \theta}}$ છે.
ખરબચડા ઢાળ માટે,પ્રવેગ $a_2 = g \sin \theta - \mu_k g \cos \theta$ છે. $d$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t_2 = \sqrt{\frac{2d}{g \sin \theta - \mu_k g \cos \theta}}$ છે.
આપેલ છે કે $t_2 = n t_1$,તેથી $\sqrt{\frac{2d}{g \sin \theta - \mu_k g \cos \theta}} = n \sqrt{\frac{2d}{g \sin \theta}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{g \sin \theta - \mu_k g \cos \theta} = \frac{n^2}{g \sin \theta}$.
અહીં $\theta = 45^\circ$ હોવાથી,$\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\frac{1}{g \sin \theta (1 - \mu_k)} = \frac{n^2}{g \sin \theta}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $1 - \mu_k = \frac{1}{n^2}$ મળે,જે પરથી $\mu_k = 1 - \frac{1}{n^2}$ થાય છે.

(C) વજન કાંટો તેના પર બ્લોક દ્વારા લાગતું લંબબળ $(N)$ માપે છે.
$m = 2 \text{ kg}$ દળ ધરાવતા બ્લોક માટે જે $\theta = 30^\circ$ ના ઢળતા સમતલ પર મૂકવામાં આવ્યો છે,ઢળતા સમતલને લંબ ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ઘટક $mg \cos \theta$ છે.
તંત્ર સંતુલનમાં હોવાથી,વજન કાંટા દ્વારા બ્લોક પર લાગતું લંબબળ $N$ એ ઢળતા સમતલને લંબ વજનના ઘટક જેટલું હોય છે.
$N = mg \cos \theta$
અહીં $m = 2 \text{ kg}$,$g = 10 \text{ m/s}^2$,અને $\theta = 30^\circ$ આપેલ છે:
$N = 2 \times 10 \times \cos(30^\circ)$
$N = 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
$N = 10 \sqrt{3} \text{ N}$
આમ,વજન કાંટાનું અવલોકન $10 \sqrt{3} \text{ N}$ છે.

(C) ધારો કે ઢળતા સમતલની કુલ લંબાઈ $l$ છે. ઉપરનો અડધો ભાગ $l/2$ લંબાઈનો અને લીસો છે,જ્યારે નીચેનો અડધો ભાગ $l/2$ લંબાઈનો અને $\mu$ ઘર્ષણાંક ધરાવતો ખરબચડો છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પદાર્થ પર થયેલું કુલ કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે અને અંતે પણ સ્થિર થાય છે,તેથી ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $0$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય = ઘર્ષણ વિરુદ્ધ થયેલું કાર્ય.
આખા સમતલની ઊભી ઊંચાઈ $h = l \sin \phi$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W_g = mgh = mgl \sin \phi$ છે.
નીચેના અડધા ભાગ પર ઘર્ષણ વિરુદ્ધ થયેલું કાર્ય $W_f = f_k \times (l/2) = \mu N \times (l/2) = \mu (mg \cos \phi) (l/2)$ છે.
બંનેને સરખાવતા: $mgl \sin \phi = \mu mg \cos \phi (l/2)$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $\sin \phi = \mu \frac{\cos \phi}{2}$.
તેથી,$\mu = 2 \frac{\sin \phi}{\cos \phi} = 2 \tan \phi$.

(C) બ્લોક લિફ્ટની સાપેક્ષમાં સ્થિર છે. લિફ્ટ $v$ જેટલા અચળ વેગથી ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે. $t$ સમયમાં લિફ્ટ (અને બ્લોક) નું સ્થાનાંતર $d = vt$ ઉપરની દિશામાં થાય છે.
બ્લોક પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ ($mg$ નીચેની તરફ),લંબબળ $(N)$ અને સ્થિત ઘર્ષણ $(f)$ છે.
બ્લોક ઢળતા સમતલની સાપેક્ષમાં સ્થિર હોવાથી,ઘર્ષણ બળ $f$ એ ઢળતા સમતલ પરના ગુરુત્વાકર્ષણના ઘટકને સંતુલિત કરે છે: $f = mg \sin \theta$.
ઘર્ષણ બળ $f$ ની દિશા ઢળતા સમતલની સમાંતર ઉપરની તરફ છે.
ઘર્ષણ બળ $f$ અને સ્થાનાંતર સદિશ $d$ (જે શિરોલંબ છે) વચ્ચેનો ખૂણો $(90^\circ - \theta)$ છે.
ઘર્ષણ બળ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W_f = f \cdot d \cdot \cos(90^\circ - \theta)$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $W_f = (mg \sin \theta) \cdot (vt) \cdot \sin \theta$.
તેથી,$W_f = mgvt \sin^2 \theta$.

(B) ધારો કે ઈંટને બે ભાગમાં વહેંચવામાં આવે છે,ઉપરનો અને નીચેનો. ધારો કે ઈંટનું દળ $M$ છે. દરેક અડધા ભાગનું દળ $M/2$ છે.
ધારો કે $N_1$ અને $N_2$ એ ઉપરના અને નીચેના ભાગ પરના લંબબળ છે,અને $f_1$ અને $f_2$ એ તેમના પરના ઘર્ષણ બળો છે.
ઉપરના ભાગ માટે: $N_1 = (M/2)g \cos \alpha$ અને $f_1 + R = (M/2)g \sin \alpha$,જ્યાં $R$ એ બે ભાગો વચ્ચેનું આંતરિક આંતરક્રિયા બળ છે.
નીચેના ભાગ માટે: $N_2 = (M/2)g \cos \alpha$ અને $f_2 = R + (M/2)g \sin \alpha$.
ઈંટ સંતુલનમાં હોવાથી,ઘર્ષણ બળોએ સમતલની દિશામાં ગુરુત્વાકર્ષણના ઘટકને સંતુલિત કરવું આવશ્યક છે. આંતરિક બળ $R$ નીચેના ભાગને સમતલ પર નીચે તરફ ધકેલે છે.
ઘર્ષણ બળોની સરખામણી કરતા: $f_2 = R + (M/2)g \sin \alpha$ અને $f_1 = (M/2)g \sin \alpha - R$. સ્પષ્ટપણે,$f_2 > f_1$.
કારણ કે $N_1 = N_2 = (M/2)g \cos \alpha$,સંપર્ક બળ $C = \sqrt{f^2 + N^2}$ એ વધુ ઘર્ષણ ધરાવતા ભાગ માટે વધારે હશે.
આમ,નીચેનો અડધો ભાગ વધુ સંપર્ક બળ લગાડે છે.

(A) ધારો કે સમઘનની બાજુની લંબાઈ $a$ છે. જ્યારે સમઘન પલટી ખાવાની તૈયારીમાં હોય,ત્યારે લંબબળ $N$ એ સમઘનની ધાર $A$ પર લાગે છે.
સમઘનના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $G$ ની સાપેક્ષે ટોર્ક લેતા:
લંબબળ $N$ ને કારણે ઉદ્ભવતું ટોર્ક $N \times (a/2)$ છે.
ઘર્ષણ બળ $f = \mu N$ ને કારણે ઉદ્ભવતું ટોર્ક $f \times (a/2) = \mu N \times (a/2)$ છે.
સમઘન પલટી ખાય તે પહેલાં પરિભ્રમણીય સંતુલનમાં રહે તે માટે,આ ટોર્ક સમાન હોવા જોઈએ:
$N \times (a/2) = \mu N \times (a/2)$.
બંને બાજુ $N \times (a/2)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\mu = 1$.

(A) ધારો કે અંતર $s$ છે અને ઢાળનો ખૂણો $\theta = 45^o$ છે.
ઘર્ષણની ગેરહાજરીમાં,પ્રવેગ $a_1 = g \sin \theta$ છે. લાગતો સમય $t_1 = t$ છે.
$s = \frac{1}{2} a_1 t_1^2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $s = \frac{1}{2} (g \sin \theta) t^2$.
ઘર્ષણની હાજરીમાં,પ્રવેગ $a_2 = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ છે. લાગતો સમય $t_2 = 2t$ છે.
$s = \frac{1}{2} a_2 t_2^2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $s = \frac{1}{2} g(\sin \theta - \mu \cos \theta) (2t)^2 = 2 g(\sin \theta - \mu \cos \theta) t^2$.
$s$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{1}{2} g \sin \theta t^2 = 2 g(\sin \theta - \mu \cos \theta) t^2$
$\frac{1}{2} \sin \theta = 2(\sin \theta - \mu \cos \theta)$
$\sin \theta = 4 \sin \theta - 4 \mu \cos \theta$
$4 \mu \cos \theta = 3 \sin \theta$
$\mu = \frac{3}{4} \tan \theta$
અહીં $\theta = 45^o$ હોવાથી,$\tan 45^o = 1$ થાય.
તેથી,$\mu = \frac{3}{4} \times 1 = 0.75$.

(C) બ્લોક સંતુલનમાં રહે તે માટે,કુલ ઉર્ધ્વ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
બ્લોક પર ઉર્ધ્વ દિશામાં લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. બ્લોકનું વજન બળ નીચેની તરફ: $mg$
$2$. બાહ્ય ઉર્ધ્વ બળ: $\frac{mg}{2}$
$3$. બ્લોક પર લાગતું ઘર્ષણ બળ $f$.
બ્લોક નીચેની તરફ સરકવાની વૃત્તિ ધરાવે છે (કારણ કે $mg > \frac{mg}{2}$),તેથી ઘર્ષણ બળ ઉપરની તરફ લાગશે.
સંતુલન માટે: $f + \frac{mg}{2} = mg$
$f = mg - \frac{mg}{2} = \frac{mg}{2}$
દીવાલ દ્વારા બ્લોક પર લાગતું લંબબળ $N$ એ આડા દબાણ બળ જેટલું છે: $N = mg$.
મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{\max} = \mu N = \mu mg$ છે.
સંતુલન માટે,જરૂરી ઘર્ષણ બળ એ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ કરતા ઓછું અથવા તેના જેટલું હોવું જોઈએ:
$f \leq f_{\max}$
$\frac{mg}{2} \leq \mu mg$
$\mu \geq \frac{1}{2} = 0.5$
તેથી,ઘર્ષણાંકનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $0.5$ છે.

(A) બ્લોક સંતુલનમાં છે,તેથી તેના પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય છે. આપણે ઢળતા સમતલની દિશામાં ($x$-અક્ષ) અને તેને લંબ દિશામાં ($y$-અક્ષ) બળોને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
બ્લોક પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. વજન $mg = 15 \times 10 = 150 \, N$ જે શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે.
$2$. લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $N$ જે સમતલને લંબ છે.
$3$. તણાવ $T = 50 \, N$ જે આડી દિશામાં લાગે છે.
$4$. સીમાંત ઘર્ષણ $f = \mu N$ જે સમતલ પર ઉપરની તરફ લાગે છે.
$x$-અક્ષ (સમતલને સમાંતર) પર બળોનું વિભાજન કરતા:
$\Sigma F_x = 0$
$f + T \cos 45^{\circ} = mg \sin 45^{\circ}$
$\mu N + 50 \cos 45^{\circ} = 150 \sin 45^{\circ} \quad ...(i)$
$y$-અક્ષ (સમતલને લંબ) પર બળોનું વિભાજન કરતા:
$\Sigma F_y = 0$
$N = mg \cos 45^{\circ} + T \sin 45^{\circ}$
$N = 150 \cos 45^{\circ} + 50 \sin 45^{\circ} \quad ...(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ માં $\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ મૂકતા:
$N = (150 + 50) \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{200}{\sqrt{2}} = 100\sqrt{2} \, N$
સમીકરણ $(i)$ માં $N$ ની કિંમત મૂકતા:
$\mu (100\sqrt{2}) + 50 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 150 \times \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\mu (100\sqrt{2}) = \frac{100}{\sqrt{2}}$
$\mu = \frac{100}{\sqrt{2} \times 100\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$

(C) બાજુ ધરાવતા સમઘન માટે પલટી ખાવા (topple) માટે,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ ની કાર્યરેખા સમઘનના પાયાની બહારથી પસાર થવી જોઈએ. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે ઢાળનો ખૂણો $\theta$,$45^{\circ}$ કરતા વધી જાય.
સમઘન સરકવાને બદલે પલટી ખાય તે માટે,સરકવાની શરત પૂરી થાય તે પહેલાં પલટી ખાવાની શરત પૂરી થવી જોઈએ.
સરકવા માટેની શરત $mg \sin \theta > \mu mg \cos \theta$ છે,જેનું સાદું રૂપ $\mu < \tan \theta$ થાય છે.
તે પહેલા પલટી ખાય તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે,સમઘન તે ખૂણે સરકવો ન જોઈએ જ્યાં તે પલટી ખાવાની અણી પર હોય (એટલે કે $\theta = 45^{\circ}$).
તેથી,$\theta = 45^{\circ}$ પર,આપણી પાસે $\mu > \tan 45^{\circ}$ હોવું જોઈએ.
કારણ કે $\tan 45^{\circ} = 1$,તેથી શરત $\mu > 1$ છે.

(A) ધારો કે લીસા ભાગની લંબાઈ $L_1 = m$ અને ખરબચડા ભાગની લંબાઈ $L_2 = n$ છે.
લીસા ભાગ માટે,પ્રવેગ $a_1 = g \sin \alpha$ છે.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2a_1 L_1$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 0$:
$v^2 = 0 + 2(g \sin \alpha)m = 2mg \sin \alpha$.
ખરબચડા ભાગ માટે,પ્રવેગ $a_2 = g \sin \alpha - \mu g \cos \alpha$ છે.
કણ તળિયે સ્થિર થાય છે,તેથી અંતિમ વેગ $v_f = 0$ છે.
ગતિના સમીકરણ $v_f^2 = v^2 + 2a_2 L_2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0 = 2mg \sin \alpha + 2(g \sin \alpha - \mu g \cos \alpha)n$.
$2g$ વડે ભાગતા:
$0 = m \sin \alpha + n \sin \alpha - n \mu \cos \alpha$.
$n \mu \cos \alpha = (m + n) \sin \alpha$.
$\mu = \left[ \frac{m + n}{n} \right] \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \left[ \frac{m + n}{n} \right] \tan \alpha$.

(A) ઢળતા સમતલ પર નીચે સરકતા બ્લોકનો પ્રવેગ $a = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બ્લોક $A$ માટે: $a_A = 10(\sin 45^{\circ} - 0.2 \cos 45^{\circ}) = 10 \times \frac{1}{\sqrt{2}}(1 - 0.2) = \frac{8}{\sqrt{2}} \text{ m/s}^2$.
બ્લોક $B$ માટે: $a_B = 10(\sin 45^{\circ} - 0.3 \cos 45^{\circ}) = 10 \times \frac{1}{\sqrt{2}}(1 - 0.3) = \frac{7}{\sqrt{2}} \text{ m/s}^2$.
$B$ ની સાપેક્ષમાં $A$ નો સાપેક્ષ પ્રવેગ $a_{AB} = a_A - a_B = \frac{8}{\sqrt{2}} - \frac{7}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \text{ m/s}^2$.
આપેલ પ્રારંભિક અંતર $s_{AB} = \sqrt{2} \text{ m}$ છે,આપણે ગતિનું સમીકરણ $s_{AB} = u_{AB}t + \frac{1}{2}a_{AB}t^2$ વાપરીએ છીએ. $u_{AB} = 0$ હોવાથી,$\sqrt{2} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} \times t^2$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $t^2 = 4 \Rightarrow t = 2 \text{ s}$.
હવે,બ્લોક $A$ દ્વારા તેના પ્રારંભિક સ્થાનથી કાપેલું અંતર $s_A = \frac{1}{2}a_A t^2 = \frac{1}{2} \times \frac{8}{\sqrt{2}} \times (2)^2 = \frac{1}{2} \times \frac{8}{\sqrt{2}} \times 4 = \frac{16}{\sqrt{2}} = 8\sqrt{2} \text{ m}$.

(A) ઢળતી સપાટી પર $\theta$ ખૂણે રહેલા $m$ દળના બ્લોક પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. સપાટી પર નીચેની તરફ લાગતો વજનનો ઘટક: $mg \sin \theta$.
$2$. સપાટીને લંબરૂપે લાગતું લંબબળ: $N = mg \cos \theta$.
$3$. સપાટી પર નીચેની તરફ લાગતું ઘર્ષણ બળ (જે ઉપરની ગતિનો વિરોધ કરે છે): $f = \mu N = \mu mg \cos \theta$.
બ્લોકને સપાટી પર ઉપરની તરફ ગતિ કરાવવા માટે,લાગુ પાડેલ બળ $F$ એ ગુરુત્વાકર્ષણના ઘટક અને ઘર્ષણ બળ બંનેને પાર કરવું જોઈએ.
તેથી,$F = mg \sin \theta + f = mg \sin \theta + \mu mg \cos \theta = mg(\sin \theta + \mu \cos \theta)$.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 10\, kg$,ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$,સ્થિત ઘર્ષણાંક $\mu_s = 0.7$,અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10\, m/s^2$.
ઢળતી સપાટી પર નીચેની તરફ લાગતું વજનનું ઘટક $F_g = mg \sin \theta = 10 \times 10 \times \sin 30^{\circ} = 100 \times 0.5 = 50\, N$ છે.
લંબબળ $N = mg \cos \theta = 10 \times 10 \times \cos 30^{\circ} = 100 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 50\sqrt{3}\, N$ છે.
મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{s,max} = \mu_s N = 0.7 \times 50\sqrt{3} = 35\sqrt{3}\, N$ છે.
અહીં $f_{s,max} \approx 35 \times 1.732 = 60.62\, N$ છે,અને બ્લોકને નીચે ખેંચતું બળ $50\, N$ છે,તેથી $f_{s,max} > mg \sin \theta$ થાય છે.
સ્થિત ઘર્ષણ બળ બ્લોકને નીચે સરકતો અટકાવવા માટે પૂરતું હોવાથી,દોરીમાં તણાવ $T$ શૂન્ય થશે.

(A) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,બ્લોક પર થયેલ કુલ કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
બ્લોક અચળ વેગથી ગતિ કરતો હોવાથી,ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta KE = 0$ છે.
તેથી,કુલ કાર્ય $W_{net} = W_{gravity} + W_{friction} = 0$.
$W_{friction} = -W_{gravity}$.
ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W_{gravity} = (mg \sin \theta) \times d$ છે,જ્યાં $m = 1 \, kg$,$g = 10 \, m/s^2$,$\theta = 30^{\circ}$,અને $d = 10 \, m$ છે.
$W_{gravity} = 1 \times 10 \times \sin(30^{\circ}) \times 10 = 10 \times 0.5 \times 10 = 50 \, J$.
આમ,$W_{friction} = -50 \, J$.

(A) ધારો કે બ્લોકનું દળ $m \, kg$ છે.
બ્લોક ઢળતા સમતલ પર સ્થિર છે.
ઢળતા સમતલની નીચેની દિશામાં લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ઘટક $mg \sin 30^o$ છે.
બ્લોક સંતુલનમાં હોવાથી,સ્થિત ઘર્ષણ બળ $F$ આ ઘટકને સંતુલિત કરશે:
$F = mg \sin 30^o$
અહીં $F = 10 \, N$ અને $g = 10 \, m/s^2$ આપેલ છે,તેથી:
$10 = m \times 10 \times \sin 30^o$
$10 = 10m \times \frac{1}{2}$
$10 = 5m$
$m = \frac{10}{5} = 2 \, kg$.
(નોંધ: મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ $f_{max} = \mu N = \mu mg \cos 30^o = 0.8 \times 2 \times 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 13.86 \, N$ છે. $10 \, N < 13.86 \, N$ હોવાથી,બ્લોક ખરેખર સ્થિર રહેશે.)

(D) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય $(WET)$ મુજબ,બ્લોક પર થયેલું કુલ કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે. બ્લોક સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે અને મહત્તમ સંકોચન સમયે ફરી સ્થિર થાય છે,તેથી ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર શૂન્ય છે.
$W_{gravity} + W_{friction} + W_{spring} = 0$
ધારો કે $x$ એ સ્પ્રિંગનું મહત્તમ સંકોચન છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W_g = mg \sin(30^{\circ}) \cdot x$ છે.
ઘર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W_{f_r} = -\mu mg \cos(30^{\circ}) \cdot x$ છે.
સ્પ્રિંગ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W_{spring} = -\frac{1}{2} k x^2$ છે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$mg \sin(30^{\circ}) x - \mu mg \cos(30^{\circ}) x - \frac{1}{2} k x^2 = 0$
$mg \sin(30^{\circ}) - \mu mg \cos(30^{\circ}) = \frac{1}{2} k x$
આપેલ છે: $m = 2 \, kg$,$g = 10 \, m/s^2$,$\mu = 0.2$,$k = 100 \, N/m$,$\sin(30^{\circ}) = 0.5$,$\cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$.
$2 \cdot 10 \cdot 0.5 - 0.2 \cdot 2 \cdot 10 \cdot 0.866 = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot x$
$10 - 3.464 = 50x$
$6.536 = 50x$
$x = \frac{6.536}{50} \approx 0.1307 \, m = 13.07 \, cm$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,સંકોચન $13 \, cm$ થાય છે.

(B) ઢળતા સમતલ પર બ્લોક પર લાગતા બળોમાં ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $mg \sin \theta$ નીચેની તરફ અને ગતિક ઘર્ષણ બળ $f_k = \mu_k N = \mu_k mg \cos \theta$ ઉપરની તરફ લાગે છે.
ઢળતા સમતલની દિશામાં ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા:
$mg \sin \theta - f_k = ma$
$mg \sin \theta - \mu_k mg \cos \theta = ma$
$m$ વડે ભાગતા:
$g \sin \theta - \mu_k g \cos \theta = a$
અહીં $\theta = 60^{\circ}$ અને $a = g/2$ આપેલ છે:
$g \sin 60^{\circ} - \mu_k g \cos 60^{\circ} = g/2$
$g \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) - \mu_k g \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{g}{2}$
$g$ વડે ભાગતા:
$\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\mu_k}{2} = \frac{1}{2}$
$\sqrt{3} - \mu_k = 1$
$\mu_k = \sqrt{3} - 1$

(A) બ્લોક પર લાગતા બળોમાં નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$,સમતલને લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $N$ અને સમતલની ઉપરની દિશામાં લાગતું સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f$ છે.
જ્યારે બ્લોક સરકવાની તૈયારીમાં હોય,ત્યારે સમતલની સમાંતર નીચેની તરફ લાગતું વજનનું ઘટક મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ જેટલું હોવું જોઈએ.
સમતલને સમાંતર બળોને સરખાવતા: $mg \sin \theta = f$ $...(i)$
સમતલને લંબ બળોને સરખાવતા: $mg \cos \theta = N$ $...(ii)$
જ્યારે બ્લોક સરકવાની શરૂઆત કરે છે,ત્યારે ઘર્ષણ બળ તેના મહત્તમ મૂલ્ય પર હોય છે,એટલે કે $f = \mu N$.
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{mg \sin \theta}{mg \cos \theta} = \frac{f}{N} = \frac{\mu N}{N}$
$\tan \theta = \mu$
તેથી,$\theta = \tan^{-1} (\mu)$.

(A) બ્લોક સંતુલનમાં છે. ધારો કે ઢાળનો ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$ છે. બ્લોકનું દળ $m = 15\, kg$ છે,તેથી વજન $W = mg = 15 \times 10 = 150\, N$ છે.
આપણે બળોને ઢળતા સમતલની દિશામાં ($x$-અક્ષ) અને તેને લંબ દિશામાં ($y$-અક્ષ) વિભાજિત કરીએ છીએ.
બ્લોક પર લાગતા બળો:
$1$. વજન $(mg = 150\, N)$ જે શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે.
$2$. લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $(N)$ જે સમતલને લંબ છે.
$3$. તણાવ $(T = 50\, N)$ જે આડી દિશામાં લાગે છે.
$4$. ઘર્ષણ બળ $(f = \mu N)$ જે ગતિની વૃત્તિનો વિરોધ કરવા માટે ઢાળની નીચેની તરફ લાગે છે.
$x$-અક્ષની દિશામાં બળોનું સંતુલન:
$\Sigma F_x = 0 \implies T \cos 45^{\circ} = mg \sin 45^{\circ} + f$
$50 \cos 45^{\circ} = 150 \sin 45^{\circ} - f$
$f = 150 \sin 45^{\circ} - 50 \cos 45^{\circ} = (150 - 50) \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{100}{\sqrt{2}} = 50\sqrt{2}\, N$.
$y$-અક્ષની દિશામાં બળોનું સંતુલન:
$\Sigma F_y = 0 \implies N = mg \cos 45^{\circ} + T \sin 45^{\circ}$
$N = 150 \cos 45^{\circ} + 50 \sin 45^{\circ} = (150 + 50) \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{200}{\sqrt{2}} = 100\sqrt{2}\, N$.
$f = \mu N$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\mu = \frac{f}{N} = \frac{50\sqrt{2}}{100\sqrt{2}} = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}$.

(D) જ્યારે કોઈ બ્લોક ઢળતી સપાટી પર નીચે સરકવાની તૈયારીમાં હોય,ત્યારે ઢાળનો ખૂણો $\theta$ એ વિરામકોણ (angle of repose) જેટલો હોય છે.
આ સ્થિતિમાં,સ્થિત ઘર્ષણાંક $\mu$ એ $\mu = \tan \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\sin \theta = \frac{3}{5}$.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,જો લંબ $3$ હોય અને કર્ણ $5$ હોય,તો પાયો $\sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ થાય.
તેથી,$\tan \theta = \frac{\text{લંબ}}{\text{પાયો}} = \frac{3}{4}$.
આમ,$\mu = 0.75$.

(A) ધારો કે પદાર્થનું દળ $m$ છે,ઢાળનો ખૂણો $\theta$ છે અને મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ $f = \mu mg \cos \theta$ છે.
કિસ્સો $1$: પદાર્થને ઉપરની તરફ ગતિ કરાવવા માટે જરૂરી બળ $F_1$.
આ કિસ્સામાં,ઘર્ષણ બળ સમતલ પર નીચેની તરફ લાગે છે.
$F_1 = mg \sin \theta + f = mg \sin \theta + \mu mg \cos \theta$.
કિસ્સો $2$: પદાર્થને નીચે સરકતો અટકાવવા માટે જરૂરી બળ $F_2$.
આ કિસ્સામાં,ઘર્ષણ બળ સમતલ પર ઉપરની તરફ લાગે છે.
$F_2 = mg \sin \theta - f = mg \sin \theta - \mu mg \cos \theta$.
આપેલ છે કે $F_1 = 2F_2$,તેથી:
$mg \sin \theta + \mu mg \cos \theta = 2(mg \sin \theta - \mu mg \cos \theta)$.
$mg$ વડે ભાગતા:
$\sin \theta + \mu \cos \theta = 2 \sin \theta - 2 \mu \cos \theta$.
પદોને ગોઠવતા:
$3 \mu \cos \theta = \sin \theta$.
$\tan \theta = 3 \mu$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(3\mu)$.

(D) આપેલ છે: દળ $m = 2\,\,kg$,ઘર્ષણાંક $\mu = 0.2$,ઢાળનો ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$,સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = 100\,\,N/m$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10\,\,m/s^2$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,બ્લોક પર થયેલ કુલ કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે. બ્લોક સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે અને મહત્તમ દબાણ પર સ્થિર થાય છે,તેથી ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર શૂન્ય છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા કાર્ય $(W_g)$ + ઘર્ષણ દ્વારા કાર્ય $(W_f)$ + સ્પ્રિંગ દ્વારા કાર્ય $(W_s)$ = $0$.
$W_g = mg \sin(30^{\circ}) \cdot x$
$W_f = -\mu mg \cos(30^{\circ}) \cdot x$
$W_s = -\frac{1}{2} kx^2$
કિંમતો મૂકતા:
$mg \sin(30^{\circ})x - \mu mg \cos(30^{\circ})x - \frac{1}{2} kx^2 = 0$
$x$ વડે ભાગતા ($x \neq 0$ ધારીને):
$mg \sin(30^{\circ}) - \mu mg \cos(30^{\circ}) - \frac{1}{2} kx = 0$
$(2)(10)(0.5) - (0.2)(2)(10)(0.866) = \frac{1}{2}(100)x$
$10 - 3.464 = 50x$
$6.536 = 50x$
$x = \frac{6.536}{50} = 0.1307\,\,m = 13.07\,\,cm \approx 13\,\,cm$.

(B) ધારો કે ઢળતા સમતલની લંબાઈ $L$ છે અને $\theta = 45^\circ$ છે. લીસા સમતલ પર નીચે સરકવા માટે લાગતો સમય $t_1 = \sqrt{\frac{2L}{g \sin \theta}}$ છે.
ખરબચડા સમતલ માટે,પ્રવેગ $a = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ છે. લાગતો સમય $t_2 = \sqrt{\frac{2L}{g(\sin \theta - \mu \cos \theta)}} = n t_1$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{2L}{g(\sin \theta - \mu \cos \theta)} = n^2 \frac{2L}{g \sin \theta}$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા $\sin \theta = n^2(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ મળે છે.
$\mu$ માટે ગોઠવતા: $\mu \cos \theta = \sin \theta (1 - \frac{1}{n^2})$.
$\mu = \tan \theta (1 - \frac{1}{n^2})$.
અહીં $\theta = 45^\circ$ હોવાથી,$\tan 45^\circ = 1$,તેથી $\mu = 1 - \frac{1}{n^2}$ મળે છે.

(D) આપેલ છે: દળ $M = 2\,kg$,પ્રવેગ $a = 3\,m/s^2$,ઢાળનો ખૂણો $\theta = 30^o$,અને $g = 10\,m/s^2$.
કિસ્સો $1$: પદાર્થ નીચે સરકે છે.
ગતિનું સમીકરણ $Mg \sin \theta - f = Ma$ છે,જ્યાં $f$ એ ઘર્ષણ બળ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(2)(10) \sin 30^o - f = (2)(3)$.
$20(0.5) - f = 6$.
$10 - f = 6$,જે આપે છે $f = 4\,N$.
કિસ્સો $2$: પદાર્થને ઉપર ધકેલવામાં આવે છે.
ધારો કે $F$ એ પદાર્થને તેટલા જ પ્રવેગ $a$ સાથે સમતલ પર ઉપર લઈ જવા માટે જરૂરી બાહ્ય બળ છે.
ગતિનું સમીકરણ $F - Mg \sin \theta - f = Ma$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $F - (2)(10) \sin 30^o - 4 = (2)(3)$.
$F - 10 - 4 = 6$.
$F - 14 = 6$.
$F = 20\,N$.

(B) રોકેટના સંદર્ભ ફ્રેમમાં,પદાર્થ પર નીચેની તરફ આભાસી બળ $ma$ લાગે છે,જ્યાં $a = 2g$ છે. દળ $m$ પર લાગતો કુલ અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff} = g + a = g + 2g = 3g$ નીચેની તરફ છે.
ઢળતા સમતલ પર દળ $m$ પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. અસરકારક વજનનો ઘટક $mg_{eff} \sin \theta = 3mg \sin \theta$ જે ઢાળની નીચેની દિશામાં લાગે છે.
$2$. ઘર્ષણ બળ $f$ જે ઢાળની ઉપરની દિશામાં લાગે છે.
ઢળતા સમતલને લંબ દિશામાં લાગતા બળો:
$1$. લંબબળ $N = mg_{eff} \cos \theta = 3mg \cos \theta$.
$2$. અસરકારક વજનનો ઘટક $mg_{eff} \cos \theta = 3mg \cos \theta$.
પદાર્થ સ્થિર રહે તે માટે,ઘર્ષણ બળ ઢાળની નીચેની તરફ લાગતા અસરકારક વજનના ઘટકને સંતુલિત કરવું જોઈએ:
$f = 3mg \sin \theta$
કારણ કે $f \le \mu N,$ તેથી ન્યૂનતમ ઘર્ષણાંક $\mu_{min}$ નીચે મુજબ મળે:
$f = \mu_{min} N$
$3mg \sin \theta = \mu_{min} (3mg \cos \theta)$
$\mu_{min} = \frac{3mg \sin \theta}{3mg \cos \theta} = \tan \theta$

(C) રસ્તાનો ઢાળ $\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{100 \, m}{1000 \, m} = \frac{1}{10}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $v_1 = 10 \, m/s$ ની ઝડપે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે જરૂરી બળ $F_{up} = W \sin \theta + f = W(\frac{1}{10}) + \frac{W}{20} = \frac{3W}{20}$ છે.
જરૂરી પાવર $P = F_{up} \cdot v_1 = (\frac{3W}{20}) \cdot 10 = \frac{3W}{2}$ છે.
જ્યારે $v$ ઝડપે નીચેની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે જરૂરી બળ $F_{down} = |W \sin \theta - f| = |\frac{W}{10} - \frac{W}{20}| = \frac{W}{20}$ છે.
આપેલ છે કે પાવર $P' = \frac{P}{2} = \frac{3W}{4}$ છે,તેથી $\frac{W}{20} \cdot v = \frac{3W}{4}$.
$v$ માટે ઉકેલતા: $v = \frac{3 \cdot 20}{4} = 15 \, m/s$.

(D) પદાર્થ $\theta = 45^o$ ના ખૂણાવાળા ઢળતા સમતલ પર નીચે તરફ ગતિ કરે છે.
સમતલની દિશામાં પદાર્થ પર લાગતા બળોમાં ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $mg \sin \theta$ નીચેની તરફ અને ઘર્ષણ બળ $f = \mu N$ ઉપરની તરફ લાગે છે.
લંબબળ $N = mg \cos \theta$ છે.
પદાર્થનો ચોખ્ખો પ્રવેગ $a = g \sin \theta - \mu g \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઝડપ મહત્તમ હોય તે માટે,પ્રવેગ શૂન્ય હોવો જોઈએ $(a = 0)$.
$a = 0$ લેતા,આપણને $g \sin \theta = \mu g \cos \theta$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\mu = \tan \theta$ થાય છે.
આપેલ છે કે $\mu = 0.3x$ અને $\theta = 45^o$,તેથી $0.3x = \tan 45^o$.
કારણ કે $\tan 45^o = 1$,તેથી $0.3x = 1$.
આમ,$x = \frac{1}{0.3} = 3.33 \ m$.

(A) ધારો કે જીવજંતુનું દળ $m$ છે. જીવજંતુ પર લાગતા બળો તેના વજન $mg$ (નીચેની તરફ),લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $R$ (ત્રિજ્યાવર્તી બહારની તરફ) અને ઘર્ષણ બળ $f$ (સપાટી પર સ્પર્શકની દિશામાં ઉપરની તરફ) છે.
શિરોલંબ સાથે કોઈપણ ખૂણે $\alpha$,વજનના ઘટકો $mg \cos \alpha$ (ત્રિજ્યાવર્તી અંદરની તરફ) અને $mg \sin \alpha$ (સ્પર્શકની દિશામાં નીચેની તરફ) છે.
જીવજંતુ લપસ્યા વિના સંતુલનમાં રહે તે માટે,બળો સંતુલિત હોવા જોઈએ:
$R = mg \cos \alpha$ $(i)$
$f = mg \sin \alpha$ (ii)
ઘર્ષણની સીમાંત સ્થિતિ માટે,$f = \mu R$,જ્યાં $\mu = 1/3$ છે.
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) ને સીમાંત ઘર્ષણની સ્થિતિમાં મૂકતા:
$mg \sin \alpha = \mu (mg \cos \alpha)$
$\tan \alpha = \mu = 1/3$
તેથી,$\cot \alpha = 3$ મળે છે.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 10\, kg$,ખૂણો $\theta = 45^\circ$,સ્થિત ઘર્ષણાંક $\mu = 0.6$,નીચેની તરફનું બળ $F_{down} = 3\, N$,$g = 10\, ms^{-2}$.
બ્લોક નીચેની તરફ ગતિ ન કરે તે માટે,ઉપરની તરફનું બળ $P$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ અને લગાડેલા બળના નીચેની તરફના ઘટકોને સંતુલિત કરવું જોઈએ,જેમાં ઉપરની તરફ લાગતું મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ બાદ કરવું પડે.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે નીચેની તરફનું બળ $mg \sin \theta = 10 \times 10 \times \sin 45^\circ = 100 \times \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 70.71\, N$.
લંબબળ $N = mg \cos \theta = 10 \times 10 \times \cos 45^\circ = 100 \times \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 70.71\, N$.
મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{max} = \mu N = 0.6 \times 70.71 \approx 42.43\, N$.
નીચેની તરફની ગતિ રોકવા માટે,લઘુત્તમ ઉપરનું બળ $P$ આ શરત સંતોષવી જોઈએ: $P + f_{max} \geq mg \sin \theta + 3\, N$.
$P + 42.43 \geq 70.71 + 3$.
$P \geq 73.71 - 42.43 = 31.28\, N$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,લઘુત્તમ બળ $P$ નું મૂલ્ય $32\, N$ છે.

(A) ધારો કે બ્લોકનું દળ $m$ છે અને ઢાળનો ખૂણો $\theta = 30^\circ$ છે. બ્લોક પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ ($mg \sin \theta$ ઢાળની નીચેની તરફ),લંબબળ $(N = mg \cos \theta)$,અને ઘર્ષણ $(f_{max} = \mu N = \mu mg \cos \theta)$ છે.
કિસ્સો $1$: જ્યારે બ્લોક નીચે તરફ ગતિ કરવાની તૈયારીમાં હોય,ત્યારે બાહ્ય બળ $F_1 = 2 \ N$ ઢાળની નીચેની તરફ લગાડવામાં આવે છે. ઘર્ષણ બળ ઢાળની ઉપરની તરફ લાગે છે.
$mg \sin \theta = F_1 + f_{max} \implies mg \sin 30^\circ = 2 + \mu mg \cos 30^\circ \implies \frac{mg}{2} = 2 + \mu mg \frac{\sqrt{3}}{2} \quad ... (1)$
કિસ્સો $2$: જ્યારે બ્લોક ઉપર તરફ ગતિ કરવાની તૈયારીમાં હોય,ત્યારે બાહ્ય બળ $F_2 = 10 \ N$ ઢાળની ઉપરની તરફ લગાડવામાં આવે છે. ઘર્ષણ બળ ઢાળની નીચેની તરફ લાગે છે.
$F_2 = mg \sin \theta + f_{max} \implies 10 = mg \sin 30^\circ + \mu mg \cos 30^\circ \implies 10 = \frac{mg}{2} + \mu mg \frac{\sqrt{3}}{2} \quad ... (2)$
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$10 + 2 = 2 \left( \frac{mg}{2} \right) \implies 12 = mg$
$(2)$ માં $mg = 12$ મૂકતા:
$10 = \frac{12}{2} + \mu (12) \frac{\sqrt{3}}{2} \implies 10 = 6 + 6\sqrt{3} \mu \implies 4 = 6\sqrt{3} \mu$
$\mu = \frac{4}{6\sqrt{3}} = \frac{2}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{9}$

(D) ઢળતી સપાટી પર નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ઘટક $F_g = mg \sin \theta = 2 \times 9.8 \times \sin 30^o = 2 \times 9.8 \times 0.5 = 9.8 \, N$ છે.
મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{max} = \mu N = \mu mg \cos \theta = 0.7 \times 2 \times 9.8 \times \cos 30^o = 0.7 \times 2 \times 9.8 \times 0.866 \approx 11.88 \, N$ છે.
અહીં ઢળતી સપાટી પર નીચેની તરફ લાગતું બળ $(9.8 \, N)$ એ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $(11.88 \, N)$ કરતા ઓછું હોવાથી,બ્લોક સ્થિર રહેશે.
તેથી,બ્લોક પર લાગતું સ્થિત ઘર્ષણ બળ એ તેને નીચે ખેંચતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળના ઘટક જેટલું જ હશે,જે $9.8 \, N$ છે.

(D) આપેલ છે: દળ $m = 2 \, kg$,ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$,ઘર્ષણાંક $\mu = 0.5$,અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \, m/s^2$.
સંપર્ક બળ $F_c$ એ લંબબળ $N$ અને ઘર્ષણ બળ $f$ નું પરિણામી બળ છે.
લંબબળ $N = mg \cos \theta = 2 \times 10 \times \cos 30^{\circ} = 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \, N$.
ઘર્ષણ બળ $f = \mu N = 0.5 \times 10\sqrt{3} = 5\sqrt{3} \, N$.
સંપર્ક બળ $F_c = \sqrt{N^2 + f^2} = \sqrt{(10\sqrt{3})^2 + (5\sqrt{3})^2}$.
$F_c = \sqrt{300 + 75} = \sqrt{375} = \sqrt{25 \times 15} = 5\sqrt{15} \, N$.

(D) ધારો કે પદાર્થનું દળ $m$ છે અને ઢાળનો ખૂણો $\theta$ છે.
$1$. પદાર્થને નીચે સરકતો અટકાવવા માટે જરૂરી બળ $(F_1)$:
આ કિસ્સામાં,ઘર્ષણ બળ સમતલ પર ઉપરની તરફ લાગે છે.
$F_1 + \mu mg \cos \theta = mg \sin \theta$
$F_1 = mg \sin \theta - \mu mg \cos \theta$
$2$. પદાર્થને સમતલ પર ઉપર તરફ ગતિ કરાવવા માટે જરૂરી બળ $(F_2)$:
આ કિસ્સામાં,ઘર્ષણ બળ સમતલ પર નીચેની તરફ લાગે છે.
$F_2 = mg \sin \theta + \mu mg \cos \theta$
આપેલ છે કે $F_2 = 2F_1$:
$mg \sin \theta + \mu mg \cos \theta = 2(mg \sin \theta - \mu mg \cos \theta)$
$\sin \theta + \mu \cos \theta = 2 \sin \theta - 2 \mu \cos \theta$
$3 \mu \cos \theta = \sin \theta$
$\tan \theta = 3 \mu$
$\theta = \tan^{-1}(3 \mu)$