Motion of Body (or Connected Bodies) on an inclined plane Questions in Hindi

(C) चूंकि लिफ्ट समान वेग से गति कर रही है,इसलिए इसका त्वरण शून्य है। अतः,ब्लॉक पर प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण '$g$' ही रहता है।
घर्षणहीन नत समतल पर नीचे फिसलने वाले ब्लॉक के लिए,त्वरण $a = g \sin \theta$ होता है।
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर,जहाँ $u = 0$ और $s = l$ है:
$l = \frac{1}{2} (g \sin 30^{\circ}) (2)^2 = \frac{1}{2} g (0.5) (4) = g$.
अब,$45^{\circ}$ के नत समतल के लिए,मान लीजिए कि लगा समय '$t$' है:
$l = \frac{1}{2} (g \sin 45^{\circ}) t^2$.
चूंकि '$l$' स्थिर है,हम दोनों समीकरणों की तुलना करते हैं:
$g = \frac{1}{2} g \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) t^2$.
$1 = \frac{1}{2\sqrt{2}} t^2 \Rightarrow t^2 = 2\sqrt{2} \approx 2.828$.
$t = \sqrt{2.828} \approx 1.68\,s$.

(B) निकाय के विराम अवस्था (संतुलन) में होने के लिए,डोरी में तनाव $T$ को $m_{2}$ के भार और नत समतल के अनुदिश $m_{1}$ के भार के घटक को संतुलित करना चाहिए।
$T = m_{2}g$
$T = m_{1}g \sin \theta$
दोनों को बराबर करने पर,हमें $m_{2}g = m_{1}g \sin \theta$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\sin \theta = \frac{m_{2}}{m_{1}} = \frac{3}{5}$।
चूँकि $\sin \theta = \frac{3}{5}$,इसलिए $\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \frac{4}{5}$ होगा।
नत समतल द्वारा $m_{1}$ द्रव्यमान के पिंड पर लगाया गया बल अभिलंब बल $N$ है,जो नत समतल के लंबवत भार के घटक को संतुलित करता है:
$N = m_{1}g \cos \theta$
मान रखने पर: $N = 5 \times 10 \times \frac{4}{5} = 40\,N$।

(A) ब्लॉक का भार,$W = Mg$,ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है।
हम इस भार को दो आयताकार घटकों में विभाजित कर सकते हैं:
$1$. झुके हुए तल के लंबवत घटक: $Mg \cos \theta$.
$2$. झुके हुए तल के समानांतर घटक: $Mg \sin \theta$.
चूंकि ब्लॉक झुके हुए तल पर विरामावस्था में है,इसलिए तल के लंबवत शुद्ध बल शून्य होना चाहिए।
समतल ब्लॉक पर एक अभिलंब प्रतिक्रिया बल $N$ लगाता है,जो भार के लंबवत घटक को संतुलित करता है।
इसलिए,$N = Mg \cos \theta$.
समतल द्वारा ब्लॉक पर लगाया गया कुल बल अभिलंब प्रतिक्रिया बल $N$ है (घर्षण रहित सतह मानते हुए या विकल्पों के अनुसार केवल लंबवत घटक पर विचार करते हुए)।
अतः,समतल द्वारा ब्लॉक पर लगाए गए बल का परिमाण $Mg \cos \theta$ है।

(D) समतल द्वारा ब्लॉक पर लगाया गया बल अभिलंब प्रतिक्रिया बल $N$ है।
जब $m$ द्रव्यमान का एक ब्लॉक $\theta$ कोण वाले नत समतल पर रखा जाता है,तो गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है।
हम गुरुत्वाकर्षण बल को दो आयताकार घटकों में विभाजित कर सकते हैं:
$1$. नत समतल के लंबवत घटक: $mg \cos \theta$.
$2$. नत समतल के समानांतर घटक: $mg \sin \theta$.
चूंकि ब्लॉक समतल के लंबवत दिशा में गति नहीं करता है,इसलिए समतल द्वारा लगाया गया अभिलंब बल $N$ गुरुत्वाकर्षण बल के लंबवत घटक को संतुलित करता है।
इसलिए,$N = mg \cos \theta$.
अतः,समतल द्वारा ब्लॉक पर लगाए गए बल का परिमाण $mg \cos \theta$ है।

(A) बल $F$ घिरनी (pulley) पर लगाया जाता है। $M$ द्रव्यमान के ब्लॉक से जुड़ी डोरी में तनाव $F$ है। डोरी घिरनी के ऊपर से गुजरती है और एक सिरा नत समतल पर स्थिर है। बल $F$,नत समतल के साथ $\theta$ कोण पर कार्य करता है। नत समतल की दिशा में $F$ का घटक $F \cos \theta$ है। ब्लॉक को ऊपर खींचने वाला कुल बल $T_{total} = F + F \cos \theta$ है।
ब्लॉक के ऊपर की ओर गति करने के लिए,इस बल को नत समतल पर नीचे की ओर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण के घटक को संतुलित करना होगा:
$F + F \cos \theta = M g \sin \theta$
$F(1 + \cos \theta) = M g \sin \theta$
$F = \frac{M g \sin \theta}{1 + \cos \theta}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ और $1 + \cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$F = \frac{M g (2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2})}{2 \cos^2 \frac{\theta}{2}}$
$F = M g \tan \frac{\theta}{2}$

(B) माना द्रव्यमान $m_1 = 4 \, kg$,$60^{\circ}$ के ढलान पर है और $m_2 = 1 \, kg$,$30^{\circ}$ के ढलान पर है।
$4 \, kg$ के ब्लॉक के लिए गति का समीकरण: $m_1 g \sin 60^{\circ} - T = m_1 a \implies 4 \times 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} - T = 4a \implies 20\sqrt{3} - T = 4a \dots (1)$
$1 \, kg$ के ब्लॉक के लिए गति का समीकरण: $T - m_2 g \sin 30^{\circ} = m_2 a \implies T - 1 \times 10 \times \frac{1}{2} = 1a \implies T - 5 = a \dots (2)$
समीकरण $(2)$ से,$a = T - 5$ प्राप्त होता है। इसे समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$20\sqrt{3} - T = 4(T - 5)$
$20\sqrt{3} - T = 4T - 20$
$5T = 20\sqrt{3} + 20$
$T = 4(\sqrt{3} + 1) \, N$.

(A) मान लीजिए कि पिंड $H$ ऊँचाई से गिरता है। यह जमीन से $h$ ऊँचाई पर नत समतल से टकराता है,जिसका अर्थ है कि इसने $(H-h)$ दूरी तय की है।
$(H-h)$ दूरी तय करने में लगा समय $t_1 = \sqrt{\frac{2(H-h)}{g}}$ है।
इस बिंदु पर,टक्कर पूर्णतः प्रत्यास्थ है और वेग क्षैतिज हो जाता है। इसके बाद पिंड $0$ के प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग के साथ $h$ ऊँचाई से गिरता है। शेष $h$ दूरी तय करने में लगा समय $t_2 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ है।
कुल उड़ान का समय $T = t_1 + t_2 = \sqrt{\frac{2(H-h)}{g}} + \sqrt{\frac{2h}{g}}$ है।
$h$ का वह मान ज्ञात करने के लिए जिसके लिए $T$ अधिकतम है,हम $T$ का $h$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे $0$ के बराबर रखते हैं:
$\frac{dT}{dh} = \sqrt{\frac{2}{g}} \left( \frac{1}{2\sqrt{H-h}} \cdot (-1) + \frac{1}{2\sqrt{h}} \right) = 0$.
इसका तात्पर्य है कि $\frac{1}{\sqrt{h}} = \frac{1}{\sqrt{H-h}}$,जिससे $h = H - h$ या $2h = H$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{H}{h} = 2$।

(A) मान लीजिए फुटबॉल की त्रिज्या $R$ है और छेद की त्रिज्या $r$ है। छेद का व्यास $2r$ है। जब तख्ते को $\theta$ कोण पर झुकाया जाता है,तो फुटबॉल छेद के किनारे पर टिकी होती है।
गति की शुरुआत की स्थिति में (लुढ़कने की तैयारी में),छेद के दूसरी तरफ से लगने वाला अभिलंब बल शून्य हो जाता है।
मान लीजिए फुटबॉल का केंद्र $O$ है। फुटबॉल छेद के किनारे पर बिंदु $P$ पर संपर्क में है। केंद्र $O$ से संपर्क बिंदु $P$ तक की दूरी $R$ है।
केंद्र $O$ से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा तख्ते के लंबवत रेखा के साथ $\theta$ कोण बनाती है।
फुटबॉल के केंद्र,छेद के केंद्र और संपर्क बिंदु द्वारा निर्मित त्रिभुज में,छेद के केंद्र से संपर्क बिंदु तक की दूरी $r$ है।
इस प्रकार,$\sin \theta = \frac{r}{R}$।
अतः,वह अधिकतम कोण $\theta$ जिसके लिए फुटबॉल लुढ़कती नहीं है,$\sin \theta = \frac{r}{R}$ द्वारा दिया जाता है।

(B) चिकने नत समतल पर ब्लॉक को स्थिर रखने के लिए,ब्लॉक पर कार्य करने वाले बलों को संतुलित होना चाहिए।
नत समतल के अनुदिश,नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल का घटक $mg \sin 37^{\circ}$ है।
क्षैतिज बल $F$ लगाया जाता है,और नत समतल के अनुदिश ऊपर की ओर कार्य करने वाला इसका घटक $F \cos 37^{\circ}$ है।
ब्लॉक के संतुलन में रहने के लिए,ये दोनों बल बराबर होने चाहिए:
$F \cos 37^{\circ} = mg \sin 37^{\circ}$
$\cos 37^{\circ} = \frac{4}{5}$ और $\sin 37^{\circ} = \frac{3}{5}$ मानों का उपयोग करने पर:
$F \left( \frac{4}{5} \right) = mg \left( \frac{3}{5} \right)$
$F = \frac{3 mg}{4}$

(A) निकाय का कुल द्रव्यमान $M = 2m + 4m + 6m = 12m$ है।
दाहिनी ओर के ब्लॉकों के लिए ढलान की दिशा में कार्य करने वाला प्रेरक बल $F_1 = (4m + 6m)g \sin 53^{\circ} = 10mg \sin 53^{\circ}$ है।
बाईं ओर के ब्लॉक के लिए ढलान की विपरीत दिशा में कार्य करने वाला बल $F_2 = 2mg \sin 37^{\circ}$ है।
निकाय के लिए न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करने पर,$F_{net} = Ma$,जहाँ $F_{net} = F_1 - F_2$:
$10mg \sin 53^{\circ} - 2mg \sin 37^{\circ} = 12ma$
दिए गए मान $\sin 53^{\circ} = \frac{4}{5}$ और $\sin 37^{\circ} = \frac{3}{5}$ रखने पर:
$10mg \left(\frac{4}{5}\right) - 2mg \left(\frac{3}{5}\right) = 12ma$
$8mg - 1.2mg = 12ma$
$6.8mg = 12ma$
$a = \frac{6.8}{12} g = \frac{68}{120} g = \frac{17}{30} g$.

(A) दिए गए निकाय के लिए,गति का समीकरण कुल बल को कुल द्रव्यमान से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है।
$a = \frac{M_2 g \sin \theta}{M_1 + M_2}$
जब $M_1$ का द्रव्यमान दोगुना $(M_1' = 2M_1)$ और $M_2$ का द्रव्यमान आधा $(M_2' = M_2/2)$ कर दिया जाता है,तो नया त्वरण $a'$ होगा:
$a' = \frac{M_2' g \sin \theta}{M_1' + M_2'} = \frac{(M_2/2) g \sin \theta}{2M_1 + M_2/2}$
अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर:
$a' = \frac{M_2 g \sin \theta}{4M_1 + M_2}$
अब,$a'$ को $a$ के पदों में व्यक्त करने पर:
$a' = \left( \frac{M_2 g \sin \theta}{M_1 + M_2} \right) \times \left( \frac{M_1 + M_2}{4M_1 + M_2} \right) = a \left( \frac{M_1 + M_2}{4M_1 + M_2} \right)$

(B) घर्षणरहित नत समतल पर एकसमान चाल से गति करने वाली वस्तु के लिए, उस पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य होना चाहिए.
जब वस्तु को समतल पर ऊपर खींचा जाता है, तो लगाया गया बल $F$ समतल के नीचे की ओर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल के घटक को संतुलित करता है.
नत समतल पर नीचे की ओर कार्य करने वाला भार $W = mg$ का घटक $mg \sin \theta$ है.
दिया गया है:
लगाया गया बल $F = 500 \,N$
नत कोण $\theta = 30^{\circ}$
चूंकि वस्तु एकसमान चाल से गति करती है, इसलिए बल संतुलन में हैं:
$F = mg \sin 30^{\circ}$
$500 \,N = mg \cdot \frac{1}{2}$
$mg = 500 \,N \times 2$
$mg = 1000 \,N$
अतः, वस्तु का भार $1000 \,N$ है.

(B) माना $m_2 = 300 \ g$ और $m_1 = 200 \ g$ है। झुकाव कोण $\theta = 30^{\circ}$ है।
$m_2$ द्रव्यमान वाले ब्लॉक के लिए गति का समीकरण: $m_2 g \sin \theta - T = m_2 a$ $(i)$
$m_1$ द्रव्यमान वाले ब्लॉक के लिए गति का समीकरण: $T - m_1 g \sin \theta = m_1 a$ (ii)
समीकरण $(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$(m_2 - m_1) g \sin \theta = (m_1 + m_2) a$
$a = \frac{(m_2 - m_1) g \sin \theta}{m_1 + m_2}$
मान रखने पर: $a = \frac{(300 - 200) g \sin 30^{\circ}}{300 + 200}$
$a = \frac{100 \times g \times 0.5}{500} = \frac{50}{500} g = \frac{1}{10} g$
$a = 0.1 g = 10 \% \text{ of } g$.

(C) $h$ ऊंचाई और $\theta$ कोण वाले नत समतल की लंबाई $L = \frac{h}{\sin \theta}$ होती है।
चिकने नत समतल पर नीचे फिसलने वाले ब्लॉक का त्वरण $a = g \sin \theta$ होता है।
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर,जहाँ $u = 0$ और $s = L$:
$L = \frac{1}{2} (g \sin \theta) t^2 \implies \frac{h}{\sin \theta} = \frac{1}{2} g \sin \theta \ t^2$.
अतः,$t = \sqrt{\frac{2h}{g \sin^2 \theta}} = \frac{1}{\sin \theta} \sqrt{\frac{2h}{g}}$.
यहाँ $h = 20 \ m$ और $g = 10 \ m \ s^{-2}$ दिया गया है,इसलिए $\sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 20}{10}} = 2 \ s$.
समतल $A$ $(\theta_1 = 30^{\circ})$ के लिए: $t_1 = \frac{1}{\sin 30^{\circ}} \times 2 = \frac{1}{0.5} \times 2 = 4 \ s$.
समतल $B$ $(\theta_2 = 60^{\circ})$ के लिए: $t_2 = \frac{1}{\sin 60^{\circ}} \times 2 = \frac{1}{\sqrt{3}/2} \times 2 = \frac{4}{\sqrt{3}} \ s$.
इसलिए,$t_1 - t_2 = 4 - \frac{4}{\sqrt{3}} = 4 \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = 4 \left( \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}} \right) \ s$.

(B) ब्लॉक के फ्री बॉडी डायग्राम चित्र में दिखाए गए हैं।
संतुलन की स्थिति में,किसी पिंड पर कुल बल शून्य होता है।
ऊर्ध्वाधर लटके हुए ब्लॉक $A$ के लिए:
$m_A g = k x$
$\Rightarrow k = \frac{m_A g}{x}$
नत समतल पर रखे ब्लॉक $B$ के लिए:
$m_B g \sin 30^{\circ} = k x^{\prime}$
$\Rightarrow x^{\prime} = \frac{m_B g \sin 30^{\circ}}{k} = \frac{m_B g \sin 30^{\circ}}{(m_A g / x)} = \frac{m_B}{m_A} x \sin 30^{\circ}$
चूंकि दोनों ब्लॉक एक ही पदार्थ से बने हैं,द्रव्यमान आयतन के समानुपाती होता है $(m = \rho V)$:
$\Rightarrow x^{\prime} = \frac{V_B}{V_A} x \sin 30^{\circ} = \frac{0.75}{0.25} \times 0.2 \times \sin 30^{\circ}$
$\Rightarrow x^{\prime} = 3 \times 0.2 \times 0.5 = 0.3 \ m$
ऊपर से ब्लॉक की कुल दूरी बिना खिंची लंबाई $l$ और विस्तार $x^{\prime}$ का योग है:
$d = l + x^{\prime} = 1.0 \ m + 0.3 \ m = 1.3 \ m$.

(A) माना प्रत्येक ब्लॉक का द्रव्यमान $m$ है। ढलान के अनुदिश कार्य करने वाले बल $mg \sin 60^{\circ}$ और $mg \sin 30^{\circ}$ हैं।
चूंकि $mg \sin 60^{\circ} > mg \sin 30^{\circ}$,निकाय इस प्रकार त्वरित होता है कि $60^{\circ}$ ढलान वाला ब्लॉक नीचे की ओर गति करता है।
$60^{\circ}$ ढलान वाले ब्लॉक के लिए: $mg \sin 60^{\circ} - T = ma$ --- $(i)$
$30^{\circ}$ ढलान वाले ब्लॉक के लिए: $T - mg \sin 30^{\circ} = ma$ --- (ii)
$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर: $mg(\sin 60^{\circ} - \sin 30^{\circ}) = 2ma$
$a = \frac{g}{2} \left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}\right) = \frac{(\sqrt{3}-1)g}{4}$.
ब्लॉकों के लिए त्वरण सदिश $\vec{a}_1 = a(\cos 60^{\circ} \hat{i} - \sin 60^{\circ} \hat{j})$ और $\vec{a}_2 = a(-\cos 30^{\circ} \hat{i} - \sin 30^{\circ} \hat{j})$ हैं।
द्रव्यमान केंद्र का त्वरण $\vec{a}_{cm} = \frac{m\vec{a}_1 + m\vec{a}_2}{2m} = \frac{\vec{a}_1 + \vec{a}_2}{2}$ है।
$\vec{a}_{cm} = \frac{a}{2} [(\cos 60^{\circ} - \cos 30^{\circ}) \hat{i} - (\sin 60^{\circ} + \sin 30^{\circ}) \hat{j}]$.
$\cos 60^{\circ} = 1/2, \cos 30^{\circ} = \sqrt{3}/2, \sin 60^{\circ} = \sqrt{3}/2, \sin 30^{\circ} = 1/2$ का उपयोग करने पर:
$|\vec{a}_{cm}| = \frac{a}{2} \sqrt{(\frac{1-\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}+1}{2})^2} = \frac{a}{2} \sqrt{\frac{1+3-2\sqrt{3} + 3+1+2\sqrt{3}}{4}} = \frac{a}{2} \sqrt{\frac{8}{4}} = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$.
$a$ का मान रखने पर: $|\vec{a}_{cm}| = \frac{(\sqrt{3}-1)g}{4\sqrt{2}}$.

(D) निकाय का कुल द्रव्यमान $M = (8 + 5 + 3) \,kg = 16 \,kg$ है।
चूंकि ब्लॉक जुड़े हुए हैं और एक साथ गति करते हैं,इसलिए पूरे निकाय को $M = 16 \,kg$ द्रव्यमान के एक एकल पिंड के रूप में माना जा सकता है जो $a$ त्वरण के साथ नत समतल पर ऊपर की ओर गति कर रहा है।
लगाया गया बाहरी बल $F = 104 \,N$ है।
नत समतल के नीचे की ओर कार्य करने वाला कुल भार का घटक $Mg \sin 30^{\circ}$ है।
निकाय पर न्यूटन का गति का दूसरा नियम लागू करने पर:
$F - Mg \sin 30^{\circ} = Ma$
$104 - 16 \times 10 \times \sin 30^{\circ} = 16a$
$104 - 160 \times 0.5 = 16a$
$104 - 80 = 16a$
$24 = 16a$
$a = \frac{24}{16} = 1.5 \,m / s^2$.
अतः,ब्लॉकों का त्वरण $1.5 \,m / s^2$ है।